Übungsblatt 7

Universität Hamburg, Fachbereich Physik
Quantenmechanik I
Übungsblatt 7
SS 12
Abgabetermin: 22.5
[5 Punkte]
Aufgabe 1
~ 2 in Kugelkoordinaten dar und zeigen Sie
Stellen Sie die Operatoren Lx , Ly , Lz und L
Lx = − ~i (sin ϕ ∂θ + cot θ cos ϕ ∂ϕ ) ,
Ly = ~i (cos ϕ ∂θ − cot θ sin ϕ ∂ϕ ) ,
1
1
1
2
2
2
∂
sin
θ
∂
+
L2 = −~2 ∂θ2 + cot θ ∂θ +
∂
=
−~
∂
.
θ
θ
sin θ
sin2 θ ϕ
sin2 θ ϕ
Lz =
~
i
∂ϕ ,
Benutzen Sie dazu
x = r sin θ cos ϕ,
y = r sin θ sin ϕ,
z = r cos θ ,
sin ϕ
∂ϕ ,
r sin θ
cos ϕ
∂y = sin θ sin ϕ ∂r + 1r cos θ sin ϕ ∂θ +
∂ϕ ,
r sin θ
∂x = sin θ cos ϕ ∂r + 1r cos θ cos ϕ ∂θ −
∂z = cos θ ∂r − 1r sin θ ∂θ .
[2a) 3 Punkte, 2b) 2 Punkte]
Aufgabe 2
a) Zeigen Sie, daß die Legendrepolynome
Pl (ξ) :=
1 dl 2
(ξ − 1)l
2l l! dξ l
die Legendresche Differentialgleichung
d 2 Pl
dPl
(1 − ξ ) 2 − 2ξ
+ l(l + 1)Pl = 0
dξ
dξ
2
erfüllen. Hinweis: Differenzieren Sie dazu (l + 1)-mal die Gleichung
(ξ 2 − 1)
d 2
(ξ − 1)l = 2lξ(ξ 2 − 1)l
dξ
b) Berechnen Sie explizit als Funktion von θ, ϕ die Kugelflächefunktionen Ylm für l = 0, 1, 2.
Hinweis:
Ylm = (−1)
1
(m+|m|)
2
q
(2l+1) (l−|m|)!
4π (l+|m|)!
Pl|m| eimϕ ,
Pl|m| = (1 − ξ 2 ) 2
m
dm
Pl (ξ)
dξ m
Aufgabe 3
[3a) 3 Punkte, 3b),3c) je 1 Punkt]
~ 2 und Lz . Berechnen
a) Ein physikalisches System befinde sich im Eigenzustand ψlm zu L
Sie die Erwartungswerte hLx i, hLy i sowie ∆Lx , ∆Ly .
Hinweis: Drücken Sie Lx , Ly durch L± aus.
b) Gegeben sei der Hamilton-Operator
H = aL2z + b(L2x + L2y ) ,
a, b ∈ R .
Bestimmen Sie die Eigenfunktionen und Eigenwerte von H.
c) Wie lautet die allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger Gleichung?
Aufgabe 4
[4a), 4c), 4d) je 1 Punkt, 4b) 2 Punkte]
Gegeben sei der Hamiltonoperator
H=
1 ~2
L ,
2a
a∈R.
a) Geben Sie die Eigenfunktionen und Eigenwerte von H an.
b) Zur Zeit t = 0 befinde sich das physikalische System im Zustand
ψ(θ, ϕ) = c (sin θ cos ϕ + cos θ) ,
c =∈ R .
Berechnen Sie c so, daß ψ ein normierter Zustand ist.
Hinweis: Drücken Sie ψ durch die Kugelflächenfunktionen Ylm aus und benutzen Sie die
Orthogonalität der Ylm .
c) Wie lautet die Wellenfunktion Ψ(θ, ϕ, t)?
d) Berechnen Sie die Erwartungswerte von H und Lz im Zustand Ψ.