Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. B. Jung Wintersemester 2016/17 Mathematik 1 (Studiengang Elektrotechnik und Informationstechnik) Übungsblatt 2 Hinweis: Endergebnisse, die mit dem Taschenrechner berechnet wurden, sind auf drei Nachkommastellen zu runden. Aufgabe 1: Wandeln Sie in die arithmetische Form um (Rundung auf drei Nachkommastellen): i h 3π 1 3π + j sin b) z = (cos π+j sin π) c) z = 12[cos(−150◦ )+j sin(−150◦ )] a) z = 8 cos 4 4 2 Aufgabe 2: π π ) + j sin( 12 ) Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 3 cos( π4 ) + j sin( π4 ) , z2 = 1.5 cos( 12 z1 z 3π sowie z3 = 2 cos( 3π und 1 in trigonometrischer Form. 4 ) + j sin( 4 ) . Berechnen Sie z1 · z2 , z1 · z3 , z2 z3 Aufgabe 3: Gegeben sei z ∈ C mit Im(z) 6= 0. Zeigen Sie dass gilt: |z ∗ | = |z| und arg z ∗ = −arg z (d.h.: z und z ∗ haben gleiche Beträge, ihre Argumente unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen). Aufgabe 4: 2π 5π 5π a) Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 2 cos(− 2π 3 ) + j sin(− 3 ) und z2 = 4 cos( 6 ) + j sin( 6 ) . Berechnen Sie z1 · z2 und z1 z2 jeweils in der trigonometrischen Form. b) Berechnen Sie mit den in Teilaufgabe a) gegebenen komplexen Zahlen: z1 + z2 und z1 − z2 . √ c) Begründen Sie, dass 2 cos( π3 ) − j sin( π3 ) nicht die korrekte trigonometrische Form einer komplexen Zahl ist. Wandeln Sie den Ausdruck so um, dass eine korrekte trigonometrische Form entsteht. Aufgabe 5: Berechnen Sie die folgenden Potenzen. Geben Sie das Ergebnis jeweils in trigonometrischer und in arithmetischer Form an (bei der trigonometrischen Form: ggf. Rückführung auf den Hauptwert ). 3 − j 5 √ √ 1 1 7 a) [5(cos 60◦ + j sin 60◦ )]4 b) − j d) c) (− 2 + 2 j)6 2 3 2+j √ 10 √ 10 e) (1 + 3 j) + (1 − 3 j) Aufgabe 6: Gegeben sei z ∈ C mit z 6= 0. Mit r und ϕ sind, wie üblich, der Betrag und das Argument in der trigonometrischen Darstellung von z bezeichnet. 1 1 a) Zeigen Sie, dass gilt: = (cos ϕ − j sin ϕ) . Begründen Sie, dass dies nicht die korrekte trigonometrische z Form von 1 z r ist. Wandeln Sie den Ausdruck so um, dass eine korrekte trigonometrische Form entsteht. 1 b) Sei nun z ∈ C mit |z| = 1. In welcher Beziehung stehen die Zeiger der Zahlen z und bei der Darstellung z in der komplexen Zahlenebene ? Zusatzaufgabe: 1 a) Sei z1 ∈ C \ {0; 1}. Berechnen Sie z2 = unter Verwendung der Darstellung z1 = a + b j. 1 − z1 Geben Sie Re(z2 ) und Im(z2 ) an. b) Berechnen Sie z2 = 1 1 − z1 unter Verwendung der Darstellung z1 = r(cos ϕ + j sin ϕ). Geben Sie Re(z2 ) und Im(z2 ) in Abhängigkeit von r und ϕ an. Die entstehenden Ausdrücke sind so weit wie möglich zu vereinfachen.