46,56 10 Pa ⋅ → → → → → → 5 QCT nR T 2

Aufgaben Kreisprozesse
1. Ein ideales Gas durchläuft den im V(T)Diagramm dargestellten Kreisprozess. Es ist
bekannt:
V2 = V3 = 48 cm 3
V4 = 16 cm 3
T1 = T2 = 1200 K
p 3 = 18 MPa
p 1 = 45 MPa
a) Geben Sie die fehlenden Zustandsgrößen p, V
und T für die Zustände (1), (2), (3) und (4) an.
b) Skizzieren Sie das zugehörige p(V)-Diagramm
und markieren Sie die Zustände (1) bis (4).
c) Begründen Sie, dass während der
Zustandsänderung von (1) nach (2) Wärme
zugeführt werden muss.
2. Ein einatomiges ideales Gas der Stoffmenge 1,4 mol durchläuft einen 4-stufigen
Kreisprozess aus isobaren und isochoren Zustandsänderungen. Zu Beginn hat das Gas sein
kleinstes Volumen mit 750 cm³ und seinen größten Druck mit 46,56 ⋅105 Pa . Die erste
Zustandsänderung ist eine isobare Expansion auf das doppelte Volumen. Es schließt sich
eine isochore Abkühlung auf die Ausgangstemperatur an.
a) Benennen Sie die fehlende Zustandsänderung.
b) Ermitteln Sie für alle vier Zustände Druck, Volumen und Temperatur und stellen Sie diese
in einer Tabelle dar.
c) Zeichnen Sie das p(V)-Diagramm des Kreisprozesses.
d) Berechnen Sie für jede Zustandsänderung die dabei verrichtete Volumenarbeit W V und die
zugeführte bzw. abgegebene Wärme Q.
Stellen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle dar.
e) Zeichnen Sie in das p(V)-Diagramm die Isotherme für die Temperatur T1 ein. Geben Sie
dazu mindestens 4 Wertepaare an.
f) Durch die Isotherme ergeben sich zwei Kreisprozesse:
Prozess A: 1→ 2 → 3 → 1
Prozess B: 1→ 3 → 4 → 1
Vergleichen sie die Nutzarbeiten und berechnen Sie die Wirkungsgrade beider Prozesse.
Hinweis: Für einatomige Gase gilt:
5
2
3
isochore Zustandsänderung: Q = CP ⋅∆T = ⋅ n ⋅ R ⋅∆ T
2
isobare Zustandsänderung: Q = CP ⋅∆T = ⋅ n ⋅ R ⋅∆ T
Lösungen
1.
geg.:
V2 = V3 = 48 cm 3
ges.:
V4 = 16 cm 3
T1 = T2 = 1200 K
p 3 = 18 MPa
p 1 = 45 MPa
Lösungen a) Die Zustandsänderungen
:
(1) -> (2) isotherm
(2) -> (3) isochor
(3) -> (4) isobar
(4) -> (1) isochor
* Punkt (1)
p 1 = 45 MPa
V1 = 16 cm 3
T1 = 1200 K
Punkt (2)
V2 = 48 cm 3
T2 = 1200 K
Der Druck im Punkt (2) muss berechnet werden.
p 1 ⋅ V1 = p 2 ⋅ V2
p2 =
p2 =
p 1 ⋅ V1
V2
45 MPa ⋅ 16 cm 3
48 cm 3
p 2 = 15 MPa
* Punkt (3)
p 3 = 18 MPa
V3 = 48 cm 3
p2 p3
=
T2 T3
T3 =
p 3 ⋅ T2
p2
T3 =
18 MPa ⋅ 1200 K
15 MPa
T3 = 1440 K
* Punkt (4)
Die Kurve verläuft vom Punkt (3) zum Punkt (4) auf einer Geraden, die durch
den Ursprung des Koordinatensystems geht. Die beiden Größen Volumen und
Temperatur sind zueinander proportional, der Proportionalitätsfaktor ist p und
damit für beide Punkte gleich groß.
p 4 = 18 MPa
V4 = 16 cm 3
Damit kann die Temperatur im Punkt (4) berechnet werden:
V3 V4
=
T3 T4
T4 =
T4 =
V4 ⋅ T3
V3
16 MPa ⋅ 1440 K
48 cm 3
T4 = 480 K
Antwort:
b)
Die Kurve verläuft von Punkt (1) zum Punkt (2)
als Isotherme. Der Druck und das Volumen sind
zueinander umgekehrt proportional.
c) Vom Zustand (1) zum Zustand (2) bleibt die Temperatur konstant, das Volumen wird
größer und der Druck kleiner. Es muss die Volumenarbeit berechnet werden. Für den Fall,
dass die Temperatur konstant bleibt, gilt:
W = − p ⋅ V ⋅ ln
V2
V1
W = − 45 MPa ⋅ 16 cm −3 ⋅ ln
W = − 45 ⋅ 10 6
N
m2
48 cm −3
16 cm −3
⋅ 16 ⋅ 10 −6 m −3 ⋅ ln 3
W = − 791Nm
Die Volumenarbeit ist negativ, das heißt, das System verrichtet nach außen Arbeit. Das
bedeutet aber, es muss nach dem 1. Hauptsatz der Wärmelehre dem System Wärme
zugeführt werden.
2.
a) Der Kreisprozess mit einer Skizze in einem
p(V)-Diagramm darzustellen. Dabei erkennt man
die fehlenden Zustandsänderungen.
1 -> 2 isobare Expansion
2 -> 3 isochore Abkühlung
3 -> 4 isobare Kompression
4 -> 1 isochore Erwärmung
b)
In der Tabelle werden die bekannten Größen für alle vier Zustände blau eingetragen.
Zustand
1
p
46,56 ⋅105 Pa
V
750cm³
T
300K
2
46,56 ⋅105 Pa
1500 cm³
600K
3
23,28 ⋅105 Pa
1500 cm³
300 K
4
23,28 ⋅105 Pa
750 cm³
150 K
Nun werden die fehlenden Größen berechnet und grün eingetragen.
1. Temperatur für Zustand 1
Es gilt:
p ⋅ V = n ⋅R ⋅ T
p ⋅V
T1 = 1 1
n ⋅R
n ist die Stoffmenge in mol und R die universelle Gaskonstante.
T1 =
46,56 ⋅105 Pa ⋅ 750 ⋅10 −6 m3
1,4mol ⋅ 8,314 J ⋅ K −1 ⋅ mol−1
T1 = 300K
2. Temperatur für Zustand 2
Von 1 nach 2 findet eine isochore Expansion statt, der Druck bleibt konstant. Nach der
Zustandsgleichung für das ideale Gas ist bei konstantem Druck die Temperatur proportional
zum Volumen. Da das Volumen verdoppelt wird, steigt die Temperatur ebenfalls auf das
Doppelte, also 600 K.
3. Die Temperatur fällt auf die Ausgangstemperatur, also auf 300 K.
Da die Zustandänderung isochor verläuft, also bei konstantem Volumen, ist nach der
Zustandsgleichung der Druck proportional zur Temperatur. die Temperatur halbiert sich, also
auch der Druck.
4. Das Gas gelangt in den 4. Zustand durch eine isobare Kompression, der Druck bleibt
konstant, das Volumen sinkt auf die Hälfte. Volumen und Temperatur sind proportional
zueinander, also sinkt die Temperatur auf die Hälfte des Wertes vom Zustand 3, 150 K.
c)
50
2
1
45
40
p in 10^5 Pa
35
30
25
4
3
20
15
10
5
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
V in cm³
d) Volumenarbeit wird nur bei den beiden isobaren Zustandsänderungen verrichtet, da dies
ja immer mit einer Volumenänderung verbunden ist.
1 -> 2
Volumenarbeit:
W12 = − p1 (V2 − V1 )
(
W12 = − 46,56 ⋅105 Pa ⋅ 1500 ⋅10−6 m3 − 750 ⋅10 −6 m3
)
W12 = − 3,49kJ
Das System gibt diese Arbeit ab.
Wärme:
Die Wärme ist allgemein Q = m ⋅ c ⋅∆T
Bei Gasen muss man aber die spezifische Wärmekapazität bei konstanten Druck cp und bei
konstantem Volumen cV unterscheiden.
Für die isobare Zustandsänderung gilt:
5
⋅ n ⋅R ⋅ ∆ T
2
5
Q12 = ⋅ n ⋅ R ⋅ ( T2 − T1 )
2
5
Q12 = ⋅1,4mol ⋅ 8,314 J ⋅ K −1 ⋅ mol−1 ⋅ (600K − 300K)
2
Q12 = 8,73kJ
Q=
2 -> 3
W23 = 0
Für die isochore Zustandsänderung gilt jetzt:
3
⋅ n ⋅ R ⋅∆ T
2
3
Q23 = ⋅ n ⋅ R ⋅ ( T3 − T2 )
2
Q23 = − 5,24kJ
Q=
Da das Gas bei konstantem Volumen zusammengepresst wird und die Temperatur sinkt,
muss Wärme abgegeben werden.
3 -> 4
W34 = 1,75kJ
Q34 = 4,36kJ
4 -> 1
W41 = 0
Q41 = 2,62kJ
Zusammenfassung
Vorgang
1 -> 2
2 -> 3
3 -> 4
4 -> 1
Gesamt
Arbeit
-3,49 kJ
0
1,75 kJ
0
- 1,74 kJ
Wärme
8,73 kJ
- 5,24 kJ
4,36 kJ
2,62 kJ
5,23 kJ
In dem Prozess werden pro Durchlauf 1,74 kJ an Arbeit abgegeben. Dazu ist eine Wärme
von 5,23 kJ notwendig.
e) Die Isotherme verbindet im Diagramm die Zustände 1 und 3, denn da ist ja die
Temperatur gleich. Damit sind schon zwei Punkte für die gesuchte Kurve gegeben.
Für die geforderten zwei weiteren Punkte müssen Wertepaare Druck-Volumen berechnet
werden.
Bei einer isothermen Zustandsänderung gilt:
p1 ⋅ V1 = p2 ⋅ V2
Der erste Quotient enthält z.B. die Werte für den Zustand 1. Nun gibt man sich einen Druck
im gewünschten Bereich vor und berechnet daraus das Volumen.
Der gewünschte Druckbereich liegt zwischen p1 und 0,5 p1. Damit sind möglich: 0,9 p1, 0,8
p1, 0,85 p1 ...
Ich wähle 0,8 p1 und 0,65 p1.
p1 ⋅ V1 = p2 ⋅ V2
V2 =
p1 ⋅ V1
p2
V2 =
46,56 ⋅105 Pa ⋅ 750 cm3
0,8 ⋅ 46,56 ⋅105 Pa
V2 =
750cm3
0,8
V2 = 937,5 cm3
50
2
1
45
40
p in 10^5 Pa
35
30
25
4
3
20
15
10
5
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
V in cm³
f) Der Wirkungsgrad ist allgemein das Verhältnis aus der abgegebenen Arbeit und der
zugeführten Wärme.
Dabei muss beachtet werden, dass während des Kreisprozesses auch Arbeit in das System
gesteckt und Wärme wieder abgegeben werden kann. Es muss also sehr genau untersucht
werden, was bei den einzelnen Teilprozessen mit der Arbeit und der Wärme passiert.
Der erste Kreisprozess verläuft 1 -> 2 -> 3 -> 1.
1 -> 2: isobar (Druck konstant)
Die Arbeit und die Wärme wurde in Teilaufgabe d) berechnet:
und eingesetzt:
W12 = − 3,49kJ
Q12 = 8,73kJ
2 -> 3: isochor (Volumen konstant)
Die Arbeit ist Null und die Wärme kommt wieder aus d):
Q23 = − 5,24kJ
3 -> 1
Das ist eine isotherme Kompression, das Gas wird zusammengedrückt, wobei die
Temperatur gleich bleibt. Dafür muss aber Wärme abgegeben werden, die genau so groß ist
wie die Arbeit, die am System verrichtet wird. (1. Hauptsatz)
Es gilt:
V1
W31 = − ∫ p dV
V3
V1
n ⋅ R ⋅ T1
dV
V
V3
W31 = − ∫
V1
W31 = − n ⋅ R ⋅ T1 ⋅ ∫
V3
W31 = − n ⋅ R ⋅ T1 ⋅ ln
dV
V
V1
V3
W31 = − 1,4mol ⋅ 8,314 J ⋅ K −1 ⋅ mol−1 ⋅ 300K ⋅ ln
V1
2 V1
W31 = 2,42kJ
Dem Gas werden also bei diesem Prozess 2,42 kJ Energie zugeführt, die es als Wärme
wieder abgeben muss. Die abgegebene Wärme spielt beim Wirkungsgrad aber keine Rolle,
da sie nicht nutzbar ist.
Der Wirkungsgrad ist die Summe aller bei diesem Prozess verrichteten Arbeiten durch die
zugeführte Wärme:
η=
Wges
Q zu
Es wird nur im Teilprozess 1 -> 2 Wärme zugeführt. Also kann man schreiben:
η=
W12 + W23 + W31
Q12
η=
−3,49kJ + 0 + 2,42kJ
8,73kJ
η=
−1,07kJ
8,73kJ
η= 0,123
η= 12,3%
Der zweite Kreisprozess verläuft 1 -> 3 -> 4 -> 1.
1 -> 3
Das ist aus dem ersten Teil der Aufgabe der gleiche Betrag wie 3 -> 1, nur diesmal Arbeit
abgegeben wird:
W13 = − 2,42kJ
Damit die Temperatur konstant bleibt, muss der gleiche Betrag als Wärme zugeführt werden:
Q13 = 2,42kJ
3 -> 4
Die Arbeit wurde in Teil d) berechnet
W34 = 1,75kJ
Bei diesem Teil wird Wärme abgegeben, die nicht beachtet werden muss.
4 -> 1
In Teil d) wurde die Arbeit mit 0 berechnet. Es wird Wärme zugeführt, also
Q41 = 2,62kJ
Der Wirkungsgrad berechnet sich also mit:
η=
η=
W13 + W34
Q13 + Q 41
−2,42kJ + 1,75kJ
2,42kJ + 2,62kJ
η= 0,133
η= 13,3%
Nutzarbeit: Der erste Prozess liefert 1,07 kJ, der zweite nur 0,67 kJ.
Wirkungsgrad: Der zweite Prozess hat einen größeren Wirkungsgrad.