12. Übungsblatt zu Physik I - Delta

12. Übungsblatt zu Physik I
WS 2014/2015
Prof. Dr. Thomas Weis / Prof. Dr. Heinrich Päs
Abgabe im Physik Foyer
Abgabe bis Fr, 16.01.15, 10 Uhr
Ausgabe: Fr, 9.01.15
Aufgabe 1: Relativistische Geschwindigkeit und Energie
7 Punkte
Für Teilchen mit Ruhemasse m 0 und Impuls p = γm 0 v lautet die relativistische Energie-Impulsbeziehung
E g2 es = m 02 c 4 + p 2 c 2
.
(1)
a) Zeigen Sie ausgehend von dieser Beziehung, dass die Geschwindigkeit des Teilchens in Abhängigkeit
der kinetischen Energie gegeben ist durch
s
v(E ki n ) = c
1−
µ
m0 c 2
m 0 c 2 + E ki n
¶2
.
b) Skizzieren Sie qualitativ v(E ki n für den klassischen und den relativistischen Fall. Worin liegen die we-
sentlichen Unterschiede?
c) Überzeugen Sie sich weiter, dass (1) gleichwertig zu der Aussage E g es = γm 0 c 2 ist. Welcher Ausdruck er-
gibt sich ausgehend von dieser Formulierung für die kinetische Energie? Zeigen Sie, dass die kinetische
Energie für kleine Geschwindigkeiten durch die bekannte Beziehung E ki n = 21 m 0 v 2 genähert werden
kann.
Aufgabe 2: Kosmische Myonen
3 Punkte
In einer Höhe von ca. 10km werden durch die kosmische Strahlung Myonen (eine Art schwerere Elektronen) erzeugt. Ihre Masse beträgt m µ = 105, 7MeV /c 2 . In ihrem Ruhesystem besitzen sie eine durchschnittliche Lebensdauer von etwa τ = 2µs, bevor Sie in ein Elektron und zwei Neutrinos zerfallen.
a) Welche Geschwindigkeit hat ein Myon, das mit einer Energie von 1GeV erzeugt wird?
b) Welche Strecke legt das Licht in 2µs zurück? Berechnen Sie warum man trotzdem kosmische Myonen
auf der Erdoberfläche nachweisen kann.
Aufgabe 3: Astronaut
5 Punkte
Ein Astronaut fliegt mit einer Geschwindigkeit v 1 = 0, 8c von der Erde fort. Während des Fluges durch ein 4
Lichtjahre entferntes Sonnensystem erreicht ihn eine Radio-Nachricht von der Erde, worauf er sofort umkehrt und mit maximaler, konstanter Geschwindigkeit v 2 = 0, 9c zurück fliegt. Die Beschleunigungsphasen
können vernachlässigt werden. da das Raumschiff mit Trägheitsdämpfern ausgestattet ist und quasi sofort
seine Endgeschwindigkeit erreicht.
a) Skizzieren Sie den Sachverhalt im Minkowski-Diagramm des Ruhesystems der Erde.
b) Wann wurde die Nachricht auf der Erde abgeschickt?
c) Wie viel Zeit ist bis zum Eintreffen der Nachricht für den Astronauten vergangen?
d) Auf welche Frequenz muss das Funkgerät des Astronauten eingestellt sein, wenn die Sendefrequenz
des Radiosignals f = 93, 0MHz beträgt?
e) Berechnen Sie den Altersunterschied des Astronauten bei seiner Rückkehr zu seiner, beim Start gleich-
altrigen, daheim gebliebenen Kollegin.
Aufgabe 4: Lorentz-Invarianten
5 Punkte
a) Zeigen Sie explizit an Hand einer einfachen Lorentztransformation (z.B. Boost in x-Richtung), dass das
Viererskalarprodukt aus zwei beliebigen Vierervektoren a µ und b µ eine Lorentzinvariante ist.
b) Leiten Sie jetzt die Energie-Impulsbeziehung (1) aus Aufgabe 1 mit Hilfe des Viererimpulses und der
Lorentzinvarianz des Skalarprodukts her. (Hinweis: In welchem Bezugssystem ist der Viererimpuls eines Teilchens besonders einfach?)