Spezielle Relativitätstheorie
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Spezielle Relativitätstheorie 1. GRUNDBEGRIFFE DER RELATIVITÄTSTHEORIE 1.1 RELATIVBEWEGUNGEN Bewegung eines Körpers ist gleich bedeutend mit Lageänderung des Körpers. Die Lage eines Körpers wird immer relativ zu etwas angegeben. Bewegungen sind somit relativ, sie hängen vom Bezugsystem ab, relativ zu dem die Bewegungen angegeben werden. An einem Beispiel erläutern wir, dass Geschwindigkeitsangaben nur dann sinnvoll sind, wenn dabei gleichzeitig das Bezugsystem angegeben wird. Je ein Beobachter am Straßenrand, im vorbeifahrenden Auto sowie im dahineilenden Zug führen Geschwindigkeitsmessungen durch. Der Zug und das Auto fahren dabei vom Straßenrand aus gesehen in die gleiche Richtung. Die Tabelle enthält die Geschwindigkeiten, die jeweils von den drei Beobachtern, jeder sich selbst als ruhend betrachtet, gemessen wurde: Geschwindigkeitsangabe des Beobachters in km/h vom Straßenrand aus vom Auto aus vom Zug aus für den Straßenrand 0 -50 -120 für das Auto 50 0 -70 für den Zug 120 70 0 Jeder Beobachter misst gegenüber einem anderen Beobachter eine andere Geschwindigkeit. Daraus ergibt sich das folgende Relativitätsprinzip, das schon Galileo Galilei (1564-1642) erkannte: Altes Relativitätsprinzip: Jede Bewegung spielt sich in allen Bezugsystemen so ab, als ob diese ruhen würden. Daher ist jede Bewegung relativ, da das jeweilige ruhende Bezugsystem frei gewählt werden kann. Man kann Vorgänge aus einem beliebig gewählten Bezugssystem heraus beobachten. Es gibt also keinen absoluten Ruhezustand. Es stellte sich heraus, dass dieses Relativitätsprinzip für Geschwindigkeiten viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit gültig ist. 1.2 INERTIALSYSTEME Zur Beschreibung von physikalischen Vorgängen benötigt man Bezugsysteme für den Raum und für die Zeit. Ein Bezugsystem besteht dabei aus materiellen Punkten, auf die wir die Bewegung der Körper beziehen. Mit dem Bezugsystem ist ein Koordinatensystem starr verbunden, so dass die Lage eines jeden Punktes des bewegten Körpers mit drei Ortskoordinaten eindeutig festgelegt ist. Das Bezugsystem kann frei gewählt werden. Allerdings werden in der Speziellen Relativitätstheorie nur so genannte Inertialsysteme benutzt. Inertialsysteme sind räumliche Bezugsysteme, in denen ein kräftefreier Körper in Ruhe oder in geradlinig gleichförmiger Bewegung verharrt, also in denen das Trägheitsprinzip gilt. Das Bezugsystem S mit den Koordinaten (x, y, z) ist mit dem Bahndamm verbunden, während das System S’ mit den Koordinaten (x’, y’, z’) vom Güterzug getragen wird. Beide Systeme bewegen sich geradlinig gleichförmig zueinander. Man erwartet, dass die physikalischen Gesetze in beiden Bezugsystemen die gleiche Form haben. Relativitätstheorie 2 Eingeschlossen in einem schwarzen Kasten kann man durch keinen Versuch herausfinden, ob man sich im System S oder im System S’ befindet. Insbesondere kann nicht festgestellt werden, welches dieser beiden System in Ruhe ist. Es gibt nur relativ zueinander in Ruhe befindliche Systeme. Sogar wenn man zum Fenster herausschaut und einen zweiten Zug wahrnimmt, ist es oft sehr schwierig zu beurteilen, ob der eigene Zug oder der andere in Bewegung ist. In Nicht-Inertialsystemen treten zusätzliche Trägheitskräfte auf. Erst die Allgemeine Relativitätstheorie ermöglicht die Betrachtung von Bezugsystemen, die relativ zu einem Inertialsystem beschleunigt sind. 1.3 GRUNDPRINZIPIEN DER SPEZIELLEN REALITIVITÄTSTHEORIE Einstein postulierte, dass sich alle Inertialsysteme gleichermaßen zum Aufbau der Physik eignen. Dies ist der Inhalt des Relativitätsprinzips, das Einstein als Grundlage für seine Spezielle Relativitätstheorie wählte: Relativitätsprinzip: Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen die gleiche Form. Die physikalischen Gesetzmäßigkeiten haben in zwei zueinander bewegten Systemen dieselbe Form und sind unabhängig von der relativen Geschwindigkeit zwischen den beiden Systemen. Dies hat insbesonders große Konsequenzen in der Theorie des Elektromagnetismus, in der die Vakuumlichtgeschwindigkeit explizit in den Gleichungen auftritt. Wenn alle Inertialsysteme gleichberechtigt sind, so muss sich ein Lichtsignal im Vakuum offensichtlich in jedem dieser Systeme in alle Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreiten. Dies ist das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Bei gleichförmig geradliniger Bewegung zwischen Lichtquelle und Beobachter wird die Vakuumlichtgeschwindigkeit unabhängig von der Relativgeschwindigkeit v zum selben Werte c gemessen. Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die Lichtgeschwindigkeit ist vom Bewegungszustand der Lichtquelle und des Beobachters unabhängig. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt in jedem Inertialsystem c = 300 000 km/s. Das Relativitätsprinzip (nach Einstein) und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit sind aus Erfahrung gewonnen und im eigentlichen Sinne nicht beweisbar, sondern nur widerlegbar; es sind Postulate. Man kann nur Schlussfolgerungen aus ihnen ableiten und die so gewonnenen Erkenntnisse experimentell überprüfen. Das auf diesen beiden Grundprinzipien aufgebaute Begriffsystem und die Gesamtheit der daraus folgenden Resultate stellen den Inhalt der Speziellen Relativitätstheorie dar. Relativitätstheorie 3 2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK 2.1 LICHTUHR Wir wollen den Gang einer bewegten Uhr untersuchen. Um diese Überlegungen zu erleichtern, konstruieren wir zunächst in Gedanken eine möglichst einfache Uhr, die Lichtuhr. Sie besteht aus einem Zylinder, an dessen oberen Ende sich eine Blitzlampe befindet. Ein von der Lampe ausgesendeter Lichtblitz durchläuft den Zylinder und wird am unteren Ende von einem Spiegel reflektiert. Wenn der Lichtblitz wieder am oberen Ende eintrifft, soll von der Lampe sofort ein neuer Blitz ausgesendet werden. Außerdem rückt die Anzeige der Uhr um eine Zeiteinheit weiter. D Für die Länge des Zylinders D = 0,15 m ist die Zeiteinheit im Ruhesystem SRuh der Uhr: t R 2 D 2 0,15 m 10 9 s 1 ns c 3 108 m / s Die Anzeige gibt hier die Zeit in Nanosekunden an. 2.2 ZEITDILATATION 000 ns 001 ns A L L tB D B ½ vtB C vtB Wir betrachten den Lichtweg nun in einem Bezugssystem SBew (z.B. in einem Raumschiff), in dem sich die Lichtuhr mit der Geschwindigkeit v bewegt. Zwischen dem Aussenden und dem Registrieren eines Lichtblitzes wird im Bezugssystem SBew das Zeitintervall tB gemessen. Während dieser Zeit legt das Raumschiff mit der Lichtuhr eine Distanz v tB zurück. Verglichen mit dem Lichtweg in SRuh muss das Licht in SBew einen längeren Weg zurücklegen. Gemäß dem Prinzip der konstanten Lichtgeschwindigkeit wird in beiden Systemen dieselbe Lichtgeschwindigkeit c gemessen. Daraus folgt, dass der Lichtblitz im bewegten System SBew für einen Durchlauf eine Zeit tB braucht, die länger ist als tR im Ruhesystem SRuh. Relativitätstheorie 4 Aus Sicht des Inertialsystemes SBew benötigt das Licht mehr Zeit, bevor es am oberen Ende des Zylinders eintrifft. Das „tick-tack“ der ruhenden Uhr wird zum „tiiick-taaack“ der bewegten Uhr. Diesen Effekt bezeichnen wir als Zeitdilatation (Zeitdehnung). Um die Zeitdilatation zu berechnen, müssen wir feststellen, welche Beziehung zwischen dem Zeitintervall tB im bewegten System SBew und der Zeitspanne tR im Ruhesystem SRuh besteht. Wenden wir den Satz des Pythagoras auf dieses rechtwinklige Dreieck (ABC) an, so erhalten wir : v t B D2 2 2 L2 [A] Im Bezugssystem SBew beträgt die vom Lichtblitz in der Zeit tB zurückgelegte Strecke 2L : 2 L c t B L c t B 2 Im Ruhesystem SRuh beträgt die vom Lichtblitz in der Zeit tR zurückgelegte Strecke 2D : 2 D c t R D c t R 2 Durch Einsetzen der Ausdrücke für L und D in die Beziehung [A] erhalten wir : c t R v t B 2 2 2 2 c tR 2 v tB 2 c tB 2 v tB 2 c 2 t R2 t R2 t R2 t R c t B 2 2 c tB 2 c tR 2 t B c 2 v 2 2 c2 v2 c2 v2 2 t B 1 2 c t B 2 t B 1 t B v2 c2 t R 1 v2 c2 Wegen v < c gilt immer tB > tR . Die von einer bewegten Uhr für einen Vorgang tB gemessene Zeitspanne ist stets größer als die im Ruhesystem ermittelte Zeitspanne tR für den gleichen Vorgang. Es gilt der Zusammenhang t B t R 1 v2 c2 t R mit 1 v2 c2 wobei v die Relativgeschwindigkeit zwischen den Bezugssystemen und c die Lichtgeschwindigkeit sind. bezeichnen wir als relativistischen -Faktor. Relativitätstheorie 5 Zwischen zwei Ereignissen misst der Beobachter den kürzesten Zeitabstand, der sie direkt – also ruhend in seinem eigenen Bezugssystem – erlebt. Diese Zeit heißt Eigenzeit. Die Zeitdilatation tritt nicht nur bei den hier betrachteten Lichtuhren auf, sondern gilt für alle Uhren und bei allen Vorgängen. Man kann weitergehen und jedes Werden und Vergehen in der Natur als ein Maß für den Ablauf der Zeit ansehen. So stellen Pflanzen, Tiere und Menschen ebenfalls Uhren dar, die der Zeitdilatation unterworfen sind. Eine Blume, die in einem Raumschiff in ihrer Eigenzeit nur eine Woche blüht, könnte bei entsprechend großer Geschwindigkeit des Raumschiffs von der Erde aus gesehen länger als ein Jahr blühen. 2.3 LÄNGENKONTRAKTION Hat eine Strecke in einem zu ihr ruhenden System eine Länge xR, so hat die gegen den Beobachter in Längsrichtung bewegte Strecke eine kleinere Länge xB : xB 1 v2 c2 xR Die im Ruhesystem gemessene Länge heißt Eigenlänge xR . Im Inertialsystem mit ruhendem Maßstab misst man in Bewegungsrichtung den maximalen Wert einer Länge gegenüber allen anderen Inertialsystemen. Die Längen senkrecht zur Bewegungsrichtung bleiben ungeändert. Der Superheld fliegt mit v << c : Alles erscheint wie gewohnt. Der Superheld fliegt mit v annähernd gleich c : Aus seiner Sicht sind Einstein und die Stadt verkürzt. Der Superheld fliegt mit v annähernd gleich c : Aus Einsteins Perspektive ist der Held verkürzt. Hier gilt für die Längenkontraktion xB = 0,55·xR , was einer Geschwindigkeit v = 0,835·c entspricht Relativitätstheorie 6 2.4 MYONENZERFALL Die Myonen gleichen in vielen Eigenschaften den Elektronen; sie sind jedoch schwerer und sie zerfallen schon kurze Zeit nach ihrer Entstehung in andere Teilchen: man sagt, sie seien instabil. Dieser Zerfall folgt einem exponentiellen Zeitgesetz. Hat man z. B. zum Zeitpunkt t = 0 insgesamt 10 000 Myonen erzeugt, so findet man nach der so genannten Halbwertszeit nur mehr die Hälfte vor. Die anderen 5000 Myonen sind in der Zwischenzeit zerfallen. Eine Naturerscheinung, die mit Hilfe der Zeitdilatation bzw. der Längenkontraktion erklärt werden kann, betrifft die in der Natur vorkommenden Myonen. Sie werden in ungefähr 10 km Höhe von der Höhenstrahlung erzeugt und bewegen sich annähernd mit Lichtgeschwindigkeit (z. B. v = 0,99942c) zur Erde. Trotz ihrer geringen Eigenhalbwertszeit tH,R = 1,52 s erreicht noch ein beträchtlicher Anteil dieser Myonen die Erdoberfläche.. Dies lässt sich nur mit Hilfe der speziellen Relativitätstheorie erklären : Erklärung aus der Sicht eines relativ zur Erdoberfläche ruhenden Systems : Dieses System misst die Eigenlänge der Flugstrecke der Myonen : xR = 10 km . Um diese Strecke zu durchfliegen benötigen die Myonen die Zeit t xR 104 m 3 105 s 30 s . 0,99942 c 0,99942 3 108 m / s Wegen der Zeitdilatation ist der Zerfall der Myonen verlangsamt, und die Halbwertszeit tH,B der sich in Bewegung befindlichen Myonen vergrößert sich daher auf den Wert tH , B tH , R 1 v2 c2 1,52 tH , B 1 0,99942 c 2 c2 t H , B 44,6 s tH,B und t sind in der gleichen Größenordnung. Dies erklärt warum noch ein beträchtlicher Teil der Myonen die Erdoberfläche erreichen kann. Erklärung aus der Sicht eines relativ zu den Myonen ruhenden Systems : Dieses System misst die Eigenhalbwertszeit der Myonen tH,R = 1,52 s . In diesem System bewegt sich die Erdoberfläche fast mit Lichtgeschwindigkeit auf die ruhenden Myonen zu. Wegen der Längenkontraktion schrumpft die Höhe von 10 km auf den Wert xB mit xB xR 1 v2 c2 104 1 0,99942 c 2 c2 340,5 m Um diese Strecke xB zu durchfliegen benötigen die Myonen die Zeit t' xB v 340,5 0.99942 3 108 1,14 s tH,R und t‘ sind in der gleichen Größenordnung. Dies erklärt warum noch ein beträchtlicher Teil der Myonen die Erdoberfläche erreichen kann. Relativitätstheorie 7 3. RELATIVISTISCHE DYNAMIK 3.1 RELATIVISTISCHE MASSENZUNAHME Nehmen wir mal an der Antrieb einer Rakete sei genau so eingestellt, dass die Rakete mit einer Kraft beschleunigt wird, die der Erdbeschleunigung entspricht: a ≈ 10 m/s-2. Gemäß den Gesetzen der klassischen Physik nimmt bei einer konstanten Beschleunigung die Geschwindigkeit linear mit der Zeit zu, d. h. man kann errechnen, dass etwa nach einem Jahr die Lichtgeschwindigkeit überschritten würde. Dies aber widerspricht eindeutig den Postulaten der Relativitätstheorie. In den 1980er Jahren hat man am Linearbeschleuniger der Stanford-Universität Elektronen so stark beschleunigt, dass sie klassisch gerechnet eine 280fache Lichtgeschwindigkeit hätten erreichen müssen, tatsächlich wurde die Lichtgeschwindigkeit nicht überschritten. Der Ausgang dieser Beschleunigungsexperimente lässt sich nur dadurch erklären, dass die Masse eines Körpers mit wachsender Geschwindigkeit zunimmt und bei Lichtgeschwindigkeit einen unendlichen Wert hat. Nur so ist eine weitere Beschleunigung über Lichtgeschwindigkeit hinaus ausgeschlossen. Mit Hilfe eines Gedankenexperiments können wir die Massenzunahme für bewegte Körper ableiten. u0 Es fliege im relativ zur Wand ruhenden Inertialsystem S0 eine schwere Eisenkugel der Masse m0 mit der konstanten Geschwindigkeit u0 gegen eine Wand und schlage dort ein Loch hinein. Die Kugel überträgt also ihren gesamten Impuls p0 = m0·u0 an die Wand. Der Grad der Zerstörung der Wand ist ein Maß für diesen Impuls der Kugel, der sich aus seiner Geschwindigkeit und seiner Masse zusammensetzt. S0 S0 Nun sei derselbe Vorgang von einem Inertialsystem S aus betrachtet, das sich parallel zur Wand mit der Geschwindigkeit v bewegt. u S Vom System S aus betrachtet fliegen die Wand und die Kugel mit der Geschwindigkeit –v nach links. Für den Beobachter in S ist das System S ruhend, währenddem die Wand und die Kugel das bewegte System darstellen. Somit ist wegen der Zeitdilatation die im System S gemessene Zeitspanne t größer als die im System S0 gemessene Zeitspanne t0 . Es gilt t S S t 0 1 v2 c2 Der Beobachter in S zieht die Mauer ebenso tief eingedrückt wie der Beobachter in S0, denn senkrecht zur Bewegungsrichtung gibt es keine Längenkontraktion. In S hat die Kugel vor dem Stoß also den gleichen Impuls als in S0. p = p0 m u = m0 u0 [A] Von S aus betrachtet laufen also alle Vorgänge langsamer ab, insbesonders ist u < u0 . Da die Impulskomponente senkrecht zur Wand in beiden Systemen gleich ist (p = p0), bedeutet dies, dass die Kugel in S nicht die Masse m0 sondern eine höhere Masse m besitzt Massenzuwachs. Relativitätstheorie 8 Aus [A] folgt : m m u0 u s 0 t m0 t 0 s m0 Es findet keine Längenkontraktion statt, da sich das Inertialsystem S senkrecht zur Bewegungsrichtung der Kugel bewegt, d. h.: s s 0 Für die Masse der bewegten Kugel gilt dann: m m0 m0 t t 0 t 0 t 0 1 m v2 c2 m0 1 v2 c2 Wir bezeichnen die Masse m0 in unserem Gedankenexperiment als Ruhemasse; m ist die dynamische Masse des bewegten Körpers, die somit von seiner Geschwindigkeit abhängt. Relativistische Massenzunahme: Bewegt sich ein Körper der Ruhemasse m0 mit der Geschwindigkeit v, so beträgt seine dynamische Masse m m0 1 mit (relativistischer -Faktor) m m0 v2 v2 1 2 1 2 c c Da v immer kleiner als c ist, muss die dynamische Masse m des Körpers immer größer als seine Ruhemasse m0 sein. Die Masse des Körpers nimmt mit steigender Geschwindigkeit immer weiter zu. Physikalisch gesehen bedeutet dies, dass der Körper mit wachsender Geschwindigkeit immer träger wird: er „widersetzt“ sich also immer mehr einer weiteren Beschleunigung; der Grenzfall v = c bleibt demnach für einen mit Masse behafteten Körper unerreichbar. Masselose Teilchen (deren Ruhemasse m0 = 0 also verschwindet) bewegen sich immer mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit. Das Photon (Lichtteilchen) hat keine Ruhemasse; deshalb breitet sich Licht mit der durch die Relativitätstheorie vorgegebenen maximalen Grenzgeschwindigkeit aus. Masselose Teilchen bewegen sich immer, und in jedem Bezugsystem, mit der gleichen Geschwindigkeit c = 3·108 m/s. Relativitätstheorie 9 3.2 RELATIVISTISCHES GRUNDGESETZ DER DYNAMIK Wie muss man sich jetzt das 2. Newtonsche Gesetz der Mechanik in relativistischer Form vorstellen? Da ein Erreichen der Lichtgeschwindigkeit für massive Körper unmöglich ist, muss auch der Ausdruck für die kinetische Energie abgeändert werden. Wir müssen in Betracht ziehen, dass die Masse eines Körpers nicht länger eine Konstante, sondern geschwindigkeitsabhängig ist. Wir untersuchen, wie sich eine Impulsänderung auswirkt: F dp dt mit mv p m0 v 1 v2 c2 Da in der Impulsformel nur die Geschwindigkeit v mit der Zeit t ändert, ergibt sich für die Ableitung: dp dp dv dp F a dt dv dt dv wobei a = dv/dt die Beschleunigung bezeichnet. Die Ableitung p’ (v) = dp/dv kann nun mit Hilfe der folgenden Regel berechnet werden: mit f g f (v) f g f g (1) g2 bzw. m0 v g (v) Dann finden wir für die entsprechenden Ableitungen: f ' (v) m0 1 v2 c2 . (2) beziehungsweise: g ' (v ) 1 v2 1 2 c 2 1 2 v 2 2 c v g ' v 3 c2 1 v2 c2 Setzt man die Ausdrücke (2) und (3) in die Gleichung (1) ein, so ergibt sich: m0 1 dp dv dp dv v2 c2 m0 v 1 v c2 1 v2 c2 v2 c2 v2 v m0 1 2 m0 v 2 c c v2 v2 1 2 1 2 c c v2 v2 m0 1 2 2 c c 2 v v2 1 2 1 2 c c Relativitätstheorie 10 m0 Daraus ergibt sich : dp dv F v 1 2 c m v2 1 2 c v2 1 2 c dp a dv 2 m 1 v2 a c2 Grundgleichung der Dynamik: F ma 1 v 2 c 2 mit der dynamischen Masse m m0 1 v2 c2 Für im Vergleich zur Vakuumlichtgeschwindigkeit kleine Geschwindigkeiten v << c geht das relativistische Grundgesetz in die klassisch bekannte Form über. 3.3 RELATIVISTISCHE FORM DER KINETISCHEN ENERGIE Zum Beschleunigen eines Körpers aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit v muss Beschleunigungsarbeit verrichtet werden, die dann als kinetische Energie Ekin gespeichert ist : v E kin F ds 0 Es gilt außerdem : dv dt dv dt a a ds v dt ds v dv a Daraus folgt für die kinetische Energie: v E kin m0 a 1 v 0 v c m0 v 1 v 0 2 2 c v dv a dv 2 32 2 32 v f (v) dv F (v) F (0) 0 E kin wobei F(v) eine Stammfunktion der Funktion f(v) ist: F (v ) m0 c 2 1 v2 c2 Relativitätstheorie 11 Schlussendlich erhalten wir : E kin E kin m0 c 2 1 v c 2 2 m0 c 2 m c 2 m0 c 2 m c 2 m c 2 m0 c 2 Es liegt nun nahe, in der Gleichung Ekin den Term m0 c 2 als Ruhenergie E0 eines Teilchens anzusehen, denn es ist die Energie, die ein Teilchen auch schon bei v = 0 hat. E m c 2 ist dann die Gesamtenergie eines Teilchens bei der Geschwindigkeit v. Es gilt : Gesamtenergie = Ruheenergie + kinetische Energie E = E0 + Ekin MERKE : Für Geschwindigkeiten v geringer als 10% der Lichtgeschwindigkeit kann der relativistische Ausdruck der kinetischen Energie E kin m c 2 durch den uns bekannten Ausdruck der klassischen Physik Ekin 1 2 m0 v 2 ersetzt. Für Geschwindigkeiten höher als 10% der Lichtgeschwindigkeit muss der relativistische Ausdruck verwendet werden. 3.4 ÄQUIVALENZ VON MASSE UND ENERGIE Einstein zeigte, dass Energie und Masse zwei äquivalente (gleichwertige) Größen sind. Die Umrechnung von der einen zur anderen Größe erfolgt gemäß der Masse-Energie-Relation (Einsteinsche Gleichung): E m c2 Die Gesamtenergie und die dynamische Masse unterscheiden sich nur durch den Faktor c2. Führen wir also einem ruhenden Teilchen die Energie E zu, so steigt seine Masse um E/c2. Jede Massenänderung bedeutet eine Energieänderung und umgekehrt. Beispiel: Die Massenzunahme bei üblicher Energiezufuhr, z. B. beim Erwärmen von Badewasser oder beim Beschleunigen eines Autos von 0 km/h auf 100 km/h ist so klein, dass sie gegenüber den sonst vorkommenden Massen absolut vernachlässigbar ist. So gilt beispielsweise für das Beschleunigen eines Automobils der Ruhemasse m0 = 103 kg von 0 auf 100 km/h = 27,8 m/s: 1 1 m0 v 2 103 kg ( 27,8 m / s )2 386 kJ 2 2 Dieser Bewegungsenergie entspricht ein Massenzuwachs von: Ekin Relativitätstheorie 12 m E kin c 2 386kJ 3 10 8 m/ s 2 4 ,28 10 12 kg Umgekehrt werden allerdings bereits, wenn kleine Massen in Energie umgewandelt werden, sehr große Energien frei. So wird z. B. bei der Explosion einer Wasserstoffbombe durch die Fusion (Kernverschmelzung) von Wasserstoff zu Helium pro kg Helium eine Energie von ungefähr 200 Millionen kWh frei, genug, um den jährlichen Energiebedarf einer mittelgroßen Ortschaft zu decken. Dabei tritt bei der Fusionsreaktion pro kg Helium bloß ein Massenverlust von etwa 7 g auf. In einem Teilchenbeschleuniger erhöht sich bei einer Energiezufuhr von 400 GeV die Masse auf das etwa 40 000fache der Ruhemasse. Dabei erreicht das Teilchen nahezu Lichtgeschwindigkeit. MERKE : Ein Elektronenvolt (1 eV) ist die Energie, die ein freies Elektron in einem elektrischen Feld der Spannung von 1 Volt aufnimmt : E e U E 1,6 1019 1 E 1,6 1019 J 1 eV Aus der Einsteinschen Gleichung folgt aber auch, dass man die gesamte materielle Welt als eine Anhäufung von Energie betrachten kann. Zum Glück ist die Speicherung der Energie in Form von Masse außergewöhnlich stabil, so dass sich bei den meisten physikalischen und chemischen Vorgängen nur winzige Bruchteile der Masse in freie Energie umwandeln. 3.5 MASSENDEFEKT Jeder Atomkern ist aus Nukleonen (Protonen und Neutronen) aufgebaut, die durch starke Kernkräfte aneinander gebunden sind. Um ein Nukleon aus dem Atomkern zu entfernen, muss man Arbeit gegen die Kernkräfte verrichten, also Energie aufwenden. Baut man den Atomkern dagegen aus Nukleonen auf, so wird Energie frei, die Kernbindungsenergie. Diese Energieabgabe entspricht wegen der Masse-Energie-Beziehung einer Abnahme der Ruhemasse der zum Atomkern vereinigten Nukleonen um m0. Die Masse des vereinigten Atomkerns ist stets kleiner als die Summe der Massen der einzelnen Nukleonen. Diese Differenz m0 heißt Massendefekt. Allgemein gilt für den Massendefekt: m0 ( Z m0 p N m0n ) m0k Hierin bedeutet Z die Anzahl der im Atomkern vorhandenen Protonen (Kernladungszahl), N die Zahl der im Atomkern vorhandenen Neutronen, m0,p die Ruhemasse eines Protons, m0,n die Ruhemasse eines Neutrons und m0k die Gesamt-Ruhemasse des Atomkerns. Massendefekt: Die Masse eines Atomkerns ist stets kleiner als die Summer der Nukleonenmassen. Die der Massendifferenz entsprechende Energie ist die Kernbindungsenergie, welche beim Zusammenfügen des Atomkerns aus seinen Nukleonen frei wird. Beispiel: Der Kern des schweren Wasserstoffes (Deuterium) besteht aus einem Proton und einem Neutron. Beim Zusammenfügen dieser beiden Teilchen wird die Bindungsenergie E = 2,23 MeV = 3,58·10-13 J an die Umgebung abgegeben. Der Deuteriumkern muss also eine geringere Masse haben als Proton und Neutron zusammengenommen. Der Massendefekt beträgt: m0 E c 2 3,58 1013 J ( 3 10 ) 8 2 3,97 1030 kg Relativitätstheorie 13 Die Masse des Deuteriumkernes kann wie folgt berechnet werden: m0 ( Z m0 p N m0 n ) m0 k m0 k ( Z m0 p N m0 n ) m0 Für m0p = 1672,62·10-30 kg, m0n = 1674,93·10-30 kg, m0 = 3,97·10-30 kg und Z = N = 1 ergibt sich für die Masse des Deuteriumkernes: m0k = 3 343,58·10-30 kg. 3.6 PAAR-ZERSTRAHLUNG Im Jahre 1932 beobachtete man Teilchen, die in den meisten Eigen-schaften mit Elektronen übereinstimmen. Ihre Ablenkung im Magnetfeld zeigte jedoch, dass diese Teilchen positive Ladung aufweisen. Man nannte sie daher Positronen. Diese Positronen vereinigen sich sofort mit den zahlreich vorhandenen Elektronen. Dabei kommt es zu einer Paar-Zerstrahlung, d. h. das Elektron-Positron-Paar verschwindet und seine gesamte Energie wird in Strahlung ungewandelt. Positronen waren die ersten Antiteilchen, die man entdeckte. Inzwischen können Antiprotonen, Antineutronen und andere Formen der Antimaterie erzeugt werden. Trifft diese Antimaterie mit Materie zusammen, so wandelt sich die Ruhemasse vollständig in Energie um. Antimaterie kann nur unter sehr hohem Energieaufwand in großen Beschleunigern erzeugt werden. Zur Zeit besteht also keine Hoffnung auf eine praktische Realisierung der Energiegewinnung beim Zusammentreffen von Materie und Antimaterie. 3.7 RELATIVISTISCHER IMPULS Für den Stoß zweier Teilchen gelten in der Newtonschen Physik folgende Stoßgesetze: Stoßgesetze der Newtonschen Physik: Impulserhaltung: p1 p 2 p3 p4 Energieerhaltung: E0 ,1 E0 ,2 E0 ,3 E0 ,4 Massenerhaltung: m0 ,1 m0 ,2 m0 ,3 m0 ,4 1 Der Impuls ist durch p m0 v und die Energie durch E0 m0 v 2 gegeben. 2 Der Vollständigkeit halber ist hier auch die Massenerhaltung in die Stoßgesetze aufgenommen. Die Punkte auf der rechten Seite der Gleichungen deuten an, dass die Teilchen beim Stoß auseinander brechen können. Um die Stoßgesetze auf die relativistische Physik zu verallgemeinern, müssen wir die Massenzunahme berücksichtigen und daher den Ausdruck für den Impuls ersetzen durch: Relativitätstheorie 14 p mv m0 1 v2 c2 v Der relativistische Impulssatz hat die gleiche Form wie in der Newtonschen Physik, wobei jedoch an die Stelle der Ruhemasse m0 die dynamische Masse m der Teilchen tritt. Experimente mit Materie und Antimaterie zeigen, dass die Erhaltung der Ruhemasse nicht allgemein gilt. Im Massenerhaltungssatz muss sie durch die dynamische Masse ersetzt werden: m1 m2 m3 m4 Multiplizieren wir diesen Erhaltungssatz mit c2, so folgt: m1 c 2 m2 c 2 m3 c 2 m4 c 2 Weil E = m·c2 die Gesamtenergie eines Teilchens ist, können wir in dieser Gleichung die Energie einsetzen. Der Erhaltungssatz schreibt sich dann: E1 E2 E3 E4 Die Erhaltung der dynamischen Masse erweist sich also zugleich als Erhaltungsgröße für die Gesamtenergie. Zerlegen wir sie in kinetische Energie Ekin und Ruheenergie m0·c2 , so wird deutlich, wie Energieerhaltung und Massenerhaltung nunmehr in einem einzigen Erhaltungssatz auftreten: Ekin ,1 m0 ,1 c 2 Ekin ,2 m0 ,2 c 2 Ekin ,3 m0 ,3 c 2 Ekin ,4 m0 ,4 c 2 Die Trennung von Energie- und Masseerhaltung ist aufgehoben, da Energie und Masse äquivalent sind. Stoßgesetze der relativistischen Physik: p1 p2 p3 p4 Impulserhaltung: E1 E2 E3 E4 Energieerhaltung: Der Impuls eines Teilchens beträgt: p mv m0 1 v v 2 c2 Die Gesamtenergie eines bewegten Teilchens besteht aus Ruhenergie und kinetischer Energie: E Ekin m0 c 2 m c 2 m0 1 c2 v 2 c2 Beim Zusammenprall von Elektronen und Positronen entsteht bei einer bestimmten Energie ein -Teilchen (sprich: Psi-Teilchen) mit hoher Masse. Die Messungen ergeben, dass die Masse des neuen Teilchens gleich der Summe der dynamischen Massen von Elektron und Positron ist, was die oben aufgeführten Ergebnisse bestätigt. Relativitätstheorie 15 4. AUFGABEN ZUR RELATIVITÄTSTHEORIE 1. Zur Überprüfung der Zeitdilatation können Myonen herangezogen werden. Solche Myonen entstehen in der Hochatmosphäre in einer Höhe von 10 km über der Erdoberfläche. Diese Elementarteilchen gleichen in vielen Eigenschaften den Elektronen, sind jedoch instabil und zerfallen sofort. Der Zerfall genügt einem Exponentialgesetz, wie dies auch für den radioaktiven Zerfall gilt. Die Halbwertszeit für Myonen beträgt 1,52 μs. Die Halbwertszeit ist die Zeit nach der die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Teilchen zerfallen ist. Die Geschwindigkeit der Myonen ist v = 0,999 42 c. Zeigen Sie, dass solche Myonen die Erdoberfläche nur in Folge der Zeitdilatation erreichen können ! 2. In einem Versuch werden Atomkerne mit positiv geladenen Pionen beschossen, die sich mit 0,9facher Lichtgeschwindigkeit bewegen. Die von den Pionen zurückzulegende Strecke von der Quelle bis zum Ziel beträgt 44,5 m. Ruhende Pionen haben eine Halbwertszeit von 1,8·10-8 s. Wie viele Pionen erreichen prozentual das Ziel ? (6,29 %) 3. Um wie viel wird ein Auto schwerer, wenn es statt zu stehen mit einer Geschwindigkeit von 200 km/h fährt? (1 + 1,7·10-14 mal schwerer) 4. Ein Teilchenbeschleuniger bringt Elektronen auf eine kinetische Energie von 7500 MeV. a) Wie groß ist die dynamische Masse der Elektronen ? b) Wie schnell bewegen sich die Elektronen ? (m = 1,34·10-26 kg) (v = 0,999 999 998 c) 5. Der nächste Fixstern ist Alpha-Centauri am südlichen Sternenhimmel. Seine Entfernung beträgt 4,5 Lichtjahre. a) Wie lange braucht ein utopisches Raumschiff, um zum Stern und wieder zur Erde zu gelangen, wenn seine Geschwindigkeit v = 0,5 c beträgt ? b) Wie lange würde der Flug für die Astronauten an Bord des Raumschiffs dauern? (t = 18 a) (t’ = 15,6 a) c) Welche Geschwindigkeit müsste das Raumschiff haben, damit für die Besatzung während der Reise nur ein Jahr vergeht? (v = 0,9938 c) 6. Die Strahlungsleistung der Sonne beträgt 4·1023 kW. Um wie viel verringert sich dadurch die Masse der Sonne pro Sekunde? (m = 4,4·109 kg) 7. Die Masse eines Heliumkerns ist etwa 0,6 % geringer als die Masse von 4 Wasserstoffkernen. a) Wie viel Energie wird bei der Verschmelzung von 1 kg Wasserstoff zu Helium frei? (E = 5,39·1014 J) b) Wie viel Wasserstoff muss im Sonneninneren pro Sekunde verarbeitet werden, um die Sonnenstrahlung aufrecht zu erhalten? (m = 7,42·1011 kg) 8. Wie groß ist die Geschwindigkeit eines Elektrons, wenn sein Impuls p = 4 MeV/c beträgt ? (v = 0,991 92 c) Relativitätstheorie 16 9. Ein Heliumatomkern besitzt die kinetische Energie 5 GeV. Wie groß sind seine dynamische Masse und seine Geschwindigkeit ? (m = 1,56·10-26 kg, v = 0,904 c) 10. Ein Proton besitzt eine Gesamtenergie von 1500 MeV. a) Wie groß sind seine dynamische Masse und seine Geschwindigkeit ? (m = 2,67·10-27 kg, v = 0,78 c) b) Welcher Prozentsatz der Gesamtenergie des Protons entfällt auf die Ruheenergie beziehungsweise auf die kinetische Energie ? (Ekin: 37,5 %, E0: 62,5 %) 11. Ein Elektron durchläuft eine Beschleunigungsspannung von 150 kV. a) Berechne seine Geschwindigkeit mit klassischen Gesetzen ! b) Berechne seine Geschwindigkeit relativistisch ! c) Berechne seine Gesamtenergie ! (v = 2,30·108 m/s) (v = 1,90·108 m/s) (E = 1,06·10-13 J = 661 keV) Relativitätstheorie 17
