2M - 1. Institut für Theoretische Physik

Komplexe SUSY-Partner des
PT -symmetrischen Doppelmuldenpotentials
mit reellen Energien
Bachelorarbeit von
Timur Koyuk
21. Juli 2016
Prüfer: Priv.-Doz. Dr. Holger Cartarius
1. Institut für Theoretische Physik
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1.1. Motivation und Einführung in das Thema . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Nichthermitesche Quantenmechanik
2.1. Hermitescher Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Eigenschaften hermitescher Operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Beschreibung offener Quantensysteme: Nichthermitesche Hamiltonoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Zeitabhängigkeit der Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Die Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
5
6
3. PT -Symmetrie in der nichthermiteschen
3.1. Der PT -Operator . . . . . . . . . . .
3.1.1. Definitionen . . . . . . . . . .
3.1.2. Eigenschaften . . . . . . . . .
3.2. Lineare PT -symmetrische Systeme .
Quantenmechanik
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4. Supersymmetrie
4.1. Lineare Bose-Fermi-Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Fermionische und Bosonische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. SUSY-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Supersymmetrische Hamiltonoperatoren . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Der supersymmetrische Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Kanonische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Energiespektren und das Superpotential . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Supersymmetrische Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Faktorisierung des Hamiltonoperators . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3. SUSY- Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
5. Konstruktion des Grundsystems und numerische Vorgehensweise
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24
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27
iii
Inhaltsverzeichnis
5.1. Das PT -symmetrische Doppelmuldenpotential . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Numerisches Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
30
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
6.1. Wahrscheinlichkeitsstromdichten der SUSY-Kette 0 . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Verhalten der Systeme vor dem exzeptionellen Punkt . . . . . . .
6.1.2. Verhalten der Systeme nach dem exzeptionellen Punkt . . . . . .
6.2. Erster angeregter Zustand in SUSY-Level 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Gesamter Gewinn und Verlust bei asymmetrischen Quelltermen .
6.2.2. Untersuchung des ersten angeregten Zustands in SUSY-Level 1 .
6.2.3. Diskussion numerischer Schwierigkeiten bei Potentialkonstruktionen mittels SUSY-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
34
34
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42
43
7. PT -Symmetrie des zweiten SUSY-Levels mit PT -symmetrischem Grundsystem
7.1. PT -Symmetrie des Potentials in der nullten SUSY-Kette . . . . . . . .
7.2. PT -Symmetrie des Potentials der ersten SUSY-Kette . . . . . . . . . .
7.3. Unabhängigkeit von der globalen Phase der Wellenfunktion . . . . . . . .
7.3.1. Konstruktion des Potentials durch Wellenfunktion des ersten SUSY-Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2. Konstruktion des Potentials durch Wellenfunktion des nullten SUSY-Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Asymmetrische Potentiale mit reellen Eigenwerten
8.1. Konstruktionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1. Erste Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2. Zweite Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Herleitung der Potentiale über den Supersymmetrieformalismus
8.2.1. Erste Klasse: SUSY-Partner erster Hierarchie . . . . . .
8.2.2. Zweite Klasse: SUSY-Partner zweiter Hierarchie . . . .
8.3. Einordnung des ersten SUSY-Levels . . . . . . . . . . . . . . .
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9. Zusammenfassung und Ausblick
79
A. Anhang
A.1. Erste Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Zweite Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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81
81
Literaturverzeichnis
85
Danksagung
87
iv
1. Einleitung
1.1. Motivation und Einführung in das Thema
In der klassischen Mechanik wird ein physikalischer Zustand vollständig durch einen
Punkt im Phasenraum beschrieben, wohingegen in der Quantenmechanik solch ein Zustand durch eine Wellenfunktion charakterisiert wird. Diese Wellenfunktion ist ein Element des Hilbertraums, welcher zur mathematischen Beschreibung der Quantenmechanik verwendet wird, und ist im Allgemeinen komplex. Dies widerstrebt jedoch unserer
alltäglichen Erfahrung, denn physikalische Messgrößen sind reelle Zahlen. Daher können
nur mit dem Betragsquadrat einer Wellenfunktion physikalische Aussagen getroffen werden. Weiterhin werden in der Quantenmechanik Observablen mit Hilfe von Operatoren
mathematisch beschrieben. Dementsprechend müssen deren Eigenwerte reell sein. Eine
Möglichkeit, dies sicherzustellen, ist, Observablen durch hermitesche Operatoren darzustellen. So ist der Energieeigenwert eines hermiteschen Hamiltonoperators, welcher ein
abgeschlossenes quantenmechanisches System charakterisiert, immer reell. Soll jedoch
nur ein Teil eines solchen Systems oder ein nicht perfekt isoliertes System betrachtet
werden, so qualifizieren sich nichthermitesche Hamiltonoperatoren zur Beschreibung.
Hamiltonoperatoren dieser Klasse beschreiben Systeme mit Gewinn und Verlust. Sie
besitzen im Allgemeinen komplexe Energien, welche zu einer zeitabhängigen Norm mit
einem exponentiellen Anstieg oder Zerfall führen. Allerdings sind bei nichthermiteschen
Hamiltonoperatoren stationäre Zustände mit reellen Eigenwerten möglich, die in der
Physik auf besonderes Interesse stoßen. Darum stellt sich die Frage, welche Bedingungen oder Eigenschaften erfüllt sein müssen, damit ein nichthermitesches System reelle
Eigenwerte besitzen kann. Eine solche Eigenschaft wurde von Bender und Boettcher [1]
1998 vorgestellt: Sie erwähnten erstmals, dass PT -symmetrische Systeme, also solche,
die invariant unter Zeitumkehr und Raumspiegelung sind, ein reelles Eigenwertspektrum
besitzen können.
Die experimentelle Realisierung dieser PT -symmetrischen Systeme konnte in den letzten Jahren allerdings nur in der Optik [2, 3], in welcher sich der mathematische Formalismus der Quantenmechanik übertragen lässt, durchgeführt werden. Für quantenmechanische Systeme war bisher keine experimentelle Umsetzung möglich. Jedoch wurde herausgefunden, dass sich hierfür ein Bose-Einstein-Kondensat in einem PT -symmetrischen
Doppelmuldenpotential [4–7] anbietet. Hierbei können allerdings störende Zustände auftreten, welche in linearen Systemen mit Hilfe des Supersymmetrieformalismus [8–11]
entfernt werden konnten. Auf nichtlineare Systeme, wie beispielsweise Bose-Einstein-
1
1. Einleitung
Kondensate, kann der Supersymmtrieformalismus nicht direkt angewandt werden, da
dieser nur für lineare entwickelt wurde. Daher bleibt es noch zu untersuchen, ob sich dieser auf nichtlineare Systeme so erweitern lässt, dass störende Zustände ohne Auftreten
von neuen Problematiken entfernt werden können.
PT -symmetrische Systeme sind nicht die einzigen, die reelle Energieeigenwerte besitzen können. In der Bachelorarbeit von Cedric Sommer [8] konnte mittels Supersymmetrieformalismus ein Partnerpotential zur PT -symmetrischen Doppelmulde generiert
werden, welches nicht mehr PT -symmetrisch ist, aber immer noch reelle Eigenwerte besitzt. Die Stromdichte eines stationären Zustands dieses Systems muss speziell beschaffen
sein, damit ein solcher Zustand existieren kann. Dementsprechend ist es von Interesse,
die Wahrscheinlichkeitsstromdichte dieses Zustands genauer zu betrachten. Das Ziel der
vorliegenden Arbeit ist es, diese Stromdichte zu berechnen und analysieren. Des Weiteren
wurde in der Bachelorarbeit [8] herausgefunden, dass bei erneuter Anwendung des Supersymmetrieformalismus auf das nicht-PT -symmetrische Potential unabhängig von der
Reihenfolge der Entfernung des komplexen Eigenwertpaares dasselbe PT -symmetrische
Potential erhalten wird. Daher soll in dieser Arbeit untersucht werden, ob dieses Verhalten bezüglich des Supersymmetrieformalismus zufällig ist oder ob sich daraus eine
verallgemeinerte Eigenschaft ableiten lässt.
Nicht nur der Supersymmetrieformalismus erlaubt es, nicht-PT -symmetrische Potentiale mit reellen Eigenwerten zu konstruieren. In [12] wurde kürzlich eine Methode zur
Konstruktion von Potentialen mit beliebigem Imaginärteil entwickelt, die ein reelles
Spektrum besitzen können. Hierbei ist es möglich asymmetrische Potentiale zu erhalten,
bei welchen keine PT -Symmetrie vorhanden ist und dennoch reelle Eigenwerte existieren können. In diesem Zusammenhang soll in dieser Arbeit untersucht werden, ob sich
das durch den Supersymmetrieformalismus konstruierte Potential in diese Kategorie von
Potentialen einordnen lässt. Ferner wird darauf eingegangen, ob die herausgefundene
Methode mit dem Supersymmetrieformalismus in Bezug gesetzt werden kann.
1.2. Aufbau der Arbeit
Diese Bachelorarbeit gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil befasst sich mit den
notwendigen Grundlagen, die zum Verständnis der Ergebnisse beitragen. Der zweite Teil
dieser Arbeit behandelt die im vorherigen Abschnitt formulierten Ziele. Hierbei werden
eine detaillierte Beschreibung, Analyse sowie Auswertung und Diskussion der Ergebnisse
durchgeführt.
Zunächst sollen in den Kapiteln 2 und 3 die notwendigen Grundlagen vermittelt werden, welche nötig sind, um offene Quantensysteme mit PT -Symmetrie zu verstehen.
Weiterhin werden in Kapitel 4 die Supersymmetrie und deren Anwendung auf die Quantenmechanik behandelt. Danach soll in Kapitel 5 auf das PT -symmetrische Doppelmuldenpotential eingegangen werden, welches als Ausgangssystem für die Anwendung des
Supersymmetrieformalismus dient. Des Weiteren wird hierbei die numerische Herange-
2
1.2. Aufbau der Arbeit
hensweise vorgestellt, die notwendig ist, um die stationären Zustände der Systeme zu
berechnen.
Anschließend werden in den Kapiteln 6 bis 8 die Ergebnisse dieser Arbeit diskutiert.
Hierbei wird in Kapitel 6 die Wahrscheinlichkeitstromdichte des ersten angeregten Zustands des in [8] erhaltenen nicht-PT -symmetrischen Potentials untersucht. Als Nächstes wird in Kapitel 7 versucht, mit analytischen Rechnungen Aussagen über die PT Symmetrie des Partnersystems zu treffen. Weiterhin soll in Kapitel 8 herausgefunden
werden, ob die in [12] gefundene Methode zur Konstruktion von Potentialen mit dem
Supersymmetrieformalismus in Verbindung gebracht werden kann. Schließlich soll untersucht werden, ob sich das in [8] konstruierte nicht-PT -symmetrische Potential in eine
Kategorie dieser Potentiale einordnen lässt.
3
2. Nichthermitesche Quantenmechanik
Zur Beschreibung offener Quantensysteme werden häufig nichthermitesche Hamiltonoperatoren verwendet. Dabei werden komplexe Potentiale benötigt, mit welchen eine
Ein- und Auskopplung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit beschrieben werden können.
Dieses Kapitel widmet sich den Grundlagen, die benötigt werden, um die mathematische Beschreibung offener Quantensysteme zu verstehen. Hierbei orientieren sich die
grundlegenden mathematischen Definitionen am Lehrbuch von Wolfgang Nolting [13].
Des Weiteren ist die Darstellung zur Beschreibung offener Quantensysteme zum Teil an
die Abschlussarbeiten von Dennis Dast [4] und Cedric Sommer [8] sowie der Habilitationsschrift von Holger Cartarius [14] angelehnt.
2.1. Hermitescher Operator
Hermitesche Operatoren spielen in der Quantenmechanik eine Schlüsselrolle. Sie besitzen
ein reelles Eigenwertspektrum sowie reelle Erwartungswerte, womit sie sich zur Beschreibung physikalischer Messgrößen qualifizieren. Zudem folgen aus der Hermitizität eines
Hamiltonoperators die Normerhaltung in der Zeitentwicklung und die Kontinuitätsgleichung. Zunächst soll nun eine mathematische Definition von hermiteschen Operatoren
gegeben werden.
2.1.1. Definitionen
Um einen hermiteschen Operator definieren zu können, muss der adjungierte Operator
eingeführt werden.
Adjungierter Operator
Sei H ein Hilbertraum und DÂ ⊆ H der Definitionsbereich eines Operators Â. Dann
gibt es zu jedem Operator  einen adjungierten Operator † , der wie folgt definiert ist:
Sei D† : Menge aller |βi ∈ H, für die ein |βi ∈ H existiert mit
hβ|Â|αi = hβ|αi
∀ |αi ∈ DÂ .
(2.1)
5
2. Nichthermitesche Quantenmechanik
Dann ist die Abbildungsvorschrift des Operators †
† |βi := |βi
(2.2)
und der Definitionsbereich des Operators † ist demnach D† .
Hermitescher Operator
Da wir nun den adjungierten Operator eingeführt haben, können wir einen hermiteschen
Operator definieren:
Der Operator  heißt hermitesch, wenn gilt
 |αi = † |αi
oder kurz:
∀ |αi ∈ H,
(2.3)
 = † .
(2.4)
Linearer Operator
Zuletzt sei noch auf die Definition eines linearen Operators verwiesen:
Sei DÂ ⊆ H der Definitionsbereich eines Operators Â, |αi , |βi ∈ DÂ und c1 , c2 ∈ C.
Dann ist  ein linearer Operator, wenn gilt:
 c1 |αi + c2 |βi = c1  |αi + c2  |βi .
(2.5)
2.1.2. Eigenschaften hermitescher Operatoren
Im Folgenden sollen zwei wichtige Eigenschaften hermitescher Operatoren vorgestellt
werden.
Reelles Eigenwertspektrum Wie bereits einleitend erwähnt, besitzt ein hermitescher
Operator ein reelles Eigenwertspektrum. Hierzu nehmen wir an, dass ψ ein normierter
Eigenzustand zum Eigenwert bezüglich des hermiteschen Operators  ist:
∗
(2.4)
= hψ|Â|ψi = h† ψ|ψi = hÂψ|ψi = hψ|Â|ψi = ∗ .
(2.6)
Reelle Erwartungswerte Des Weiteren sind Erwartungswerte hermitescher Operatoren
ebenfalls reell: Sei |αi , |βi ∈ H, dann gilt:
∗ (2.4)
κ := hα|Â|βi = hβ|† |αi
∗
= hβ|Â|αi .
Setzen wir nun |βi = |αi, so ist κ ein Erwartungswert und rein reell.
6
(2.7)
2.2. Beschreibung offener Quantensysteme: Nichthermitesche Hamiltonoperatoren
2.2. Beschreibung offener Quantensysteme:
Nichthermitesche Hamiltonoperatoren
Wie bereits einleitend erwähnt, werden komplexe Potentiale in der nichthermiteschen
Quantenmechanik verwendet, um effektiv einen Gewinn oder Verlust an Wahrscheinlichkeit in einem Teilsystem zu beschreiben. Eine externe Ein- und Auskopplung von
Aufenthaltswahrscheinlichkeit in das oder aus dem System hat zur Folge, dass die Norm
eines Zustands im offenen Quantensystem im Allgemeinen nicht mehr erhalten ist.
2.2.1. Zeitabhängigkeit der Norm
Zunächst soll nun die zeitabhängige Schrödingergleichung für einen Zustand |ψi betrachtet werden:
Ĥ |ψi = i~∂t |ψi .
(2.8)
Mit Hilfe der stationären Schrödingergleichung (2.8) kann die Norm wie folgt ausgedrückt
werden:
1
d hψ|ψi
= h∂t ψ|ψi + hψ|∂t ψi =
hψ|Ĥ − Ĥ † |ψi .
(2.9)
dt
i~
= 0 und die Norm der Wellenfunktion ist aufgrund der
Für hermitesche Systeme ist dhψ|ψi
dt
Hermitizität des Hamiltonoperators nicht zeitabhängig, wohingegen für nichthermitesche
Operatoren die Ableitung der Norm ungleich null sein kann. Wenn wir nun in eine
P̂ 2
konkrete Darstellung mit Ĥ = 2m
+ V (x̂) übergehen und V (x̂) ∈ C ist, dann gilt
Ĥ − Ĥ † = 2 Im V (x̂) i.
(2.10)
Der Imaginärteil des Potentials sorgt dementsprechend für eine zeitabhängige Norm. Eine
Veranschaulichung dieses Umstandes ist in Abbildung 2.1 zu sehen. Hier ist zu erkennen,
dass die Norm im gesamten geschlossenen Quantensystem weiterhin erhalten bleibt, denn
die Zu- und Abnahme der Wahrscheinlichkeit im Gesamtsystem ist ausgeglichen. Wird
hingegen das System, welches durch den Kasten begrenzt wird, betrachtet, ist nur eine
Zunahme der Norm zu erkennen.
Nun stellt sich die Frage, unter welchen Umständen eine zeitabhängige Norm vorhanden ist, denn es können Zustände existieren, bei welchen der Erwartungswert (2.9) auch
im Fall Ĥ 6= Ĥ † verschwindet. Hierzu soll eine Lösung ψ der stationären Schrödingergleichung zum Eigenwert mit einem nichthermiteschen Hamiltonoperator Ĥ betrachtet
werden:
Ĥψ(x) = ψ(x).
(2.11)
Da ein reelles Spektrum bei hermiteschen Hamiltonoperatoren vorkommt, wie in (2.6)
gezeigt wurde, ist ein komplexes Spektrum des Hamiltonoperators Ĥ möglich. Daher ist
7
2. Nichthermitesche Quantenmechanik
offenes Quantensystem
V (x)
ψ(x, t)2
Abbildung 2.1.: Qualitative Darstellung eines geschlossenen Quantensystems mit einem
offenen Teilsystem, in dem die Norm der Wellenfunktion zeitabhängig
ist: Im gesamten System bleibt die Norm erhalten, denn in der rechten
Mulde ist eine Abnahme und in der linken eine Zunahme der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zu erkennen. Zur effektiven Beschreibung des
Systems, das durch den Kasten eingeschränkt wird, kann ein nichthermitescher Hamiltonoperator verwendet werden, wobei das komplexe Potential einen Zu- und Abfluss der Wahrscheinlichkeit beschreibt. Darstellung nach [9].
8
2.2. Beschreibung offener Quantensysteme: Nichthermitesche Hamiltonoperatoren
im Allgemeinen ∈ C. Verwenden wir nun die bekannte Zeitentwicklung
i
ψ (x, t) = ψ (x, 0) e− ~ t
(2.12)
und berechnen damit die Norm, so erhalten wir:
ψ (x, t)2 = ψ (x, 0)2 e 2 Im[]t
~
.
(2.13)
Offensichtlich bleibt die Norm der Wellenfunktion genau dann erhalten, wenn der Imaginärteil des Eigenwertes null ist. Trifft dies nicht auf einen Zustand zu, so wächst oder
zerfällt dessen Norm exponentiell mit der Zeit.
2.2.2. Die Kontinuitätsgleichung
Nun soll erneut die zeitliche Änderung der Norm betrachtet werden: Mit (2.8) und (2.9)
können wir in der Ortsdarstellung folgenden Ausdruck für die Norm erhalten:
ρ̇ :=
d hψ|ψi
(2.8) i
= ψ̇ ∗ ψ + ψ ∗ ψ̇ =
ψ Ĥ ∗ ψ ∗ − ψ ∗ Ĥψ .
dt
~
(2.14)
~
Für den Hamiltonoperator wird der explizite Ausdruck − 2m
∆ + Vr + iVi verwendet und
es gilt:
2 Im [V ] 2
∂ρ
=
|ψ| − i~ (ψ∆ψ ∗ − ψ ∗ ∆ψ) .
(2.15)
∂t
~
]
Definieren wir nun Q(x) := 2 Im[V
|ψ|2 und ~j(x) := i~ (ψ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ), so erhalten wir
~
die Kontinuitätsgleichung für nichthermitesche Hamiltonoperatoren:
2
∂ρ
+ ∇~j = Q.
∂t
(2.16)
Hierbei tritt der zusätzliche Term Q(x) auf, welcher bei hermiteschen Hamiltonoperatoren verschwindet. Dieser Term kann als zusätzliche Quelle bzw. Senke von Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. Der Imaginärteil des Potentials spielt dabei eine wichtige
Rolle, denn dieser ist maßgeblich für die Form des Quellterms Q(x).
9
3. PT -Symmetrie in der
nichthermiteschen
Quantenmechanik
PT -Symmetrie spielt in der nichthermiteschen Quantenmechanik eine herausragende
Rolle, denn PT -symmetrische Systeme können reelle Eigenwerte besitzen, welche, wie
im vorherigen Kapitel gezeigt, zu stationären Zuständen, deren Norm erhalten ist, führen.
Diese Eigenschaft PT -symmetrischer Systeme wurde erstmals von Bender und Boettcher
[1] erwähnt. In diesem Kapitel werden der PT -Operator und dessen Eigenschaften sowie
relevante Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme vorgestellt. Dabei orientieren sich
die Darstellungen teilweise an den Abschlussarbeiten von Cedric Sommer [8] und Dennis
Dast [4].
3.1. Der PT -Operator
Der PT -Operator setzt sich aus dem Paritätsoperator P und dem Zeitumkehroperator T
zusammen. Um den PT -Operator genauer verstehen zu können, müssen also die beiden
Operatoren P und T betrachten werden.
3.1.1. Definitionen
Der Paritätsoperator bewirkt eine Raumspiegelung und der Zeitumkehroperator eine
Zeitspiegelung. Um die beiden Operatoren zu definieren, werden Eigenzustände des Ortsbzw. Impulsoperators verwendet:
!
!
P |xi = |−xi ,
P |pi = |−pi ,
(3.1)
T |xi = |+xi ,
T |pi = |−pi .
(3.2)
!
!
Als Hintereinanderausführung des P- und T -Operators ist der PT -Operator aufgrund
(3.1) und (3.2) wie folgt definiert:
!
PT |xi = |−xi ,
!
PT |pi = |+pi .
(3.3)
11
3. PT -Symmetrie in der nichthermiteschen Quantenmechanik
3.1.2. Eigenschaften
Mit Hilfe der beiden Definitionen (3.1) und (3.2) lassen sich Eigenschaften der beiden
Operatoren P und T sowie des PT -Operators herleiten.
Paritäts- und Zeitumkehroperator
Aus den beiden Definitionen (3.1) und (3.2) wird ersichtlich, dass PP = 1 und T T = 1.
Damit sind die beiden Operatoren selbstinvers.
Des Weiteren können Kommutator- oder Antikommutatorbeziehungen zwischen Paritätsbzw. Zeitumkehroperator und Orts- bzw. Impulsoperator aus den obigen Definitionen
erhalten werden:
{P, x̂} = 0,
[T , x̂] = 0,
{P, p̂} = 0,
{T , p̂} = 0.
(3.4)
(3.5)
Hierbei ist [∗, ∗] der Kommutator und {∗, ∗} der Antikommutator.
Eine weitere besondere Eigenschaft ist die Antilinearität des T -Operators: Hierfür
wird die Kommutator-Beziehung
[x̂, p̂] = i~
(3.6)
verwendet. Betrachten wir die Wirkung des T -Operators auf die imaginäre Einheit:
[x̂, p̂]
T x̂p̂ − T p̂x̂
(3.5) x̂T p̂ + p̂T x̂
|ψi =
|ψi =
|ψi
~
~
~
[x̂, p̂]
(3.5) −x̂p̂T + p̂x̂T
=
|ψi = −
T |ψi = −iT (|ψi).
~
~
(3.6)
T (i |ψi) = T
Der Zeitumkehroperator verletzt somit (2.5) und ist damit kein linearer Operator mehr.
Allerdings erfüllt er folgende Eigenschaft, welche als Antilinearität bezeichnet wird:
T c |ψi = c∗ T |ψi ,
c ∈ C.
(3.7)
Mit Hilfe (3.7) ist die physikalische Bedeutung des Zeitumkehroperators ersichtlich, wenn
der Evolutionsoperator Û (t) für einen stationären Zustand |ψ0 i := |ψ (t = 0)i verwendet
wird:
T |ψ (t)i = T Û (t) |ψ0 i = T e−i
Ĥt
Ĥt
~
(3.7)
|ψ0 i = ei
Ĥt
~
T |ψ0 i
= ei ~ |ψ0 i = Û (−t) |ψ0 i
= |ψ(−t)i .
Der Zeitumkehroperator verursacht demnach eine Zeitspiegelung.
12
3.1. Der PT -Operator
PT -Operator
Aus der Definition (3.3) können für den PT -Operator ebenfalls Kommutator- bzw. Antikommutatorbeziehungen formuliert werden:
{PT , x̂} = 0,
[PT , p̂] = 0,
{PT , i} = 0.
(3.8)
Der P-Operator ist linear und der T -Operator antilinear. Folglich ist die Hintereinanderausführung der beiden Operatoren auch antilinear. Dies spiegelt sich im Verschwinden
des Antikommutators des PT -Operators mit der imaginären Einheit i wider.
Aus dem Vertauschen des Impulsoperators folgt ebenfalls eine Kommutatorbeziehung
für den Ableitungsoperator ∂x , wobei p̂ = −i~∂x :
[PT , p̂] = 0 ⇔ PT (−i~∂x ) − (−i~∂x )PT = 0 ⇔ i~PT ∂x + i~∂x PT = 0
⇔ PT ∂x + ∂x PT = 0 ⇔ {PT , ∂x } = 0.
(3.9)
Betrachten wir nun Eigenzustände des PT -Operators: Sei |ψi Eigenzustand des PT Operators mit Eigenwert µ. Der PT -Operator ist ebenfalls selbstinvers, darum können
wir zusammen mit dessen Antilinearität folgende Aussage treffen:
(3.3)
(3.8)
|ψi = PT PT |ψi = PT µ |ψi = µ∗ PT |ψi = |µ|2 |ψi
⇒ µ = eiϕ
mit ϕ ∈ [0, 2π) .
(3.10)
Eigenwerte eines Eigenzustands des PT -Operators sind demnach komplexe Zahlen mit
Betrag eins. Dies ist sehr nützlich, denn die Phase ϕ dieses Eigenwertes kann unter Zuhilfenahme der frei wählbaren globalen Phase Φ einer Wellenfunktion beliebig manipuliert
werden: Wenn ein Zustand |ψi Eigenzustand zum PT -Operator ist, d.h. der Zustand
|ψi PT -symmetrisch ist, so kann aufgrund der beliebig wählbaren globalen Phase der
Eigenwert µ = 1 gewählt werden:
PT |ψi = eiϕ |ψi ,
|ψi := eiΦ |ψi
⇒ PT |ψi = PT eiΦ |ψi = ei(−Φ+ϕ) |ψi = ei(ϕ−2Φ) |ψi .
Wählen wir nun Φ = ϕ2 , so gilt:
PT |ψi = |ψi .
(3.11)
Der Zustand |ψi ist demnach Eigenzustand zum Eigenwert eins und damit invariant
unter Anwendung des PT -Operators. Diese Zustände werden als exakt PT -symmetrisch
bezeichnet.
Bisher wurde die Anwendung des PT -Operators auf einen ortsabhängigen Zustand nur
abstrakt behandelt. Nun soll diese in der konkreten Ortsdarstellung betrachtet werden.
13
3. PT -Symmetrie in der nichthermiteschen Quantenmechanik
Hierfür sei |ψi ein beliebiger Zustand:
Z
PT |ψi = PT 1 |ψi = PT
hx|ψi |xi dx
R
Z
Z
Z
(3.8)
(3.3)
∗
PT ψ (x) |xi dx =
hx|ψi PT |xi dx =
hx|ψi∗ |−xi dx
=
R
R
ZR
=
ψ ∗ (x) |−xi dx
Z
ZR
PT ψ (x) |xi dx =
ψ ∗ (x) |−xi dx.
⇒
R
R
Substituieren wir nun auf der rechten Seite der Gleichung x → −x und bringen beide
Integrale auf eine Seite, so ergibt sich:
Z
PT ψ (x) − ψ ∗ (−x) |xi dx = 0
R
⇒ PT ψ (x) = ψ ∗ (−x) .
(3.12)
Im Ortsraum verursacht der PT -Operator demnach eine Raumspiegelung sowie eine
komplexe Konjugation.
Des Weiteren kann (3.12) genutzt werden, um Aussagen über PT -symmetrische Funktionen zu treffen: Wenn nun ψ Eigenzustand mit Eigenwert eins, also exakt PT -symmetrisch ist, dann gilt mit (3.12):
ψ (x) = ψ ∗ (−x) .
(3.13)
Der Realteil der Wellenfunktion ist demnach eine gerade, der Imaginärteil eine ungerade
Funktion von x.
Schließlich folgt aus (3.12) für die Anwendung des PT -Operators auf eine multiplikative Verknüpfung zweier Funktionen ψ und χ:
PT ψ (x) · χ (x) = PT ψ (x) · PT χ (x) .
(3.14)
3.2. Lineare PT -symmetrische Systeme
Als lineares PT -symmetrisches System wird ein System bezeichnet, dessen linearer Hamiltonoperator mit dem PT -Operator kommutiert:
h
i
Ĥ, PT = 0.
(3.15)
Mit Hilfe der Eigenschaften des PT -Operators, die im vorherigen Abschnitt hergeleitet wurden, sollen nun zwei wichtige Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme gezeigt
werden, welche eine herausragende Stellung für die vorliegende Arbeit haben.
14
3.2. Lineare PT -symmetrische Systeme
Betrachten wir zunächst einen PT -symmetrischen Hamiltonoperator Ĥ und einen
Eigenzustand |ψi zum Eigenwert :
h
i
Ĥ, PT = 0,
Ĥ |ψi = |ψi ,
(3.15)
Ĥ PT |ψi = PT Ĥ |ψi = PT |ψi = ∗ (PT ψ) .
(3.16)
Offensichtlich existiert zu jedem Eigenzustand |ψi von Ĥ mit dem Eigenwert ein Eigenzustand PT |ψi mit dem komplex konjugierten Eigenwert ∗ , da der Kern von PT
die leere Menge ist. Demnach sind die Eigenwerte PT -symmetrischer Systeme reell oder
komplex konjugierte Eigenwertpaare. Des Weiteren lässt sich folgende Aussage zeigen:
Ist der Zustand |ψi ein Eigenzustand zum PT -Operator, so ist der zugehörige Eigenwert
rein reell:
PT |ψi = eiϕ |ψi
(3.15)
⇒ |ψi = Ĥ |ψi = Ĥ e−iϕ PT |ψi = e−iϕ PT Ĥ |ψi
(3.8)
= e−iϕ PT |ψi = e−iϕ ∗ PT |ψi
= ∗ |ψi .
(3.17)
Schließlich soll nun folgende konkrete Darstellung des Hamiltonoperators verwendet
p̂2
+ V (x). Damit können wir nun eine Bedingung an das Potential eines
werden: Ĥ = 2m
PT -symmetrisches Systems zeigen:
!
!
p̂2
p̂2
0 = [H, PT ] =
+ V (x) PT − PT
+ V (x)
2m
2m
(3.8)
=
(3.12)
p̂2
p̂2
PT −
PT + V (x)PT − PT V (x) = V (x)PT − PT V (x)
2m
2m
⇒ V (x) = V ∗ (−x).
(3.18)
Hiermit wurde gezeigt, dass ein lineares offenes Quantensystem genau dann PT -symmetrisch
ist, wenn der Realteil des Potentials eine gerade und der Imaginärteil eine ungerade
Funktion von x ist.
15
4. Supersymmetrie
Ursprünglich wurde die Supersymmetrie im Hinblick auf die Quantenfeldtheorie entwickelt. Dort wurde sie verwendet, um Fermionen und Bosonen in Verbindung zu bringen.
Erst später wurde der mathematische Formalismus der Supersymmetrie auf die Quantenmechanik und die klassische Mechanik angewandt. In der Quantenmechanik wird die
Supersymmetrie verwendet, um Transformationen mit Hilfe eines Operators zwischen
zwei Systemen mit (fast) identischen Spektren durchzuführen.
Für diese Bachelorarbeit spielt die Supersymmetrie eine zentrale Rolle, denn mit ihr
können zu einem Ausgangspotential Partnerpotentiale konstruiert werden, bei welchen
störende Zustände ohne Verlust des übrigen Spektrums des Ausgangssystems entfernt
werden können. Ebenso ist es möglich, Potentiale zu konstruieren, die exakt dasselbe
Spektrum wie das Ausgangspotential besitzen. Wichtig hierbei ist, dass nur der mathematische Formalismus der Supersymmetrie verwendet wird. Dementsprechend ist es in
dieser Bachelorarbeit nicht von Belang, ob Supersymmetrie, wie sie für die Quantenfeldtheorie entwickelt wurde, in der Natur vorkommt oder nicht.
In diesem Kapitel werden supersymmetrische Modelle und der mathematische Formalismus der Supersymmetrie sowie dessen Anwendung auf die Quantenmechanik behandelt. Die nachfolgenden Darstellungen sind hauptsächlich an das Buch Supersymmetrie“
”
von H. Kalka und G. Soff [15] sowie die an Bachelorarbeit von Cedric Sommer [8] angelehnt.
4.1. Lineare Bose-Fermi-Supersymmetrie
Das einfachste supersymmetrische Modell, welches keine gegenseitige Wechselwirkung
berücksichtigt, kann mit Hilfe der zweiten Quantisierung formuliert werden. Hierbei wird
die Erzeugung und Vernichtung von Fermionen und Bosonen zugelassen. Zunächst werden die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen und Bosonen eingeführt.
4.1.1. Fermionische und Bosonische Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren
Im Folgenden wird die Besetzungsdarstellung verwendet, in welcher ein Zustand |nb i
durch die Besetzungsquantenzahl nb definiert ist. Dabei ist nb die Besetzungszahl der
Bosonen und nf die der Fermionen. In diesem Zusammenhang gilt für Bosonen nb ∈ N
und aufgrund des Pauli-Prinzips für Fermionen nf ∈ {0, 1}. Analog zum Erzeugungs-
17
4. Supersymmetrie
und Vernichtungsoperator des quantenmechanischen harmonischen Oszillators können
derartige Operatoren definiert werden:
!
!
fˆ− |nf = 0i = 0,
b̂− |nb = 0i = 0,
√
b̂+ |nb i := nb + 1 |nb + 1i ,
p
fˆ+ |nf i := nf + 1 |nf + 1i ,
!
fˆ+ |nf = 1i = 0,
√
b̂− |nb i := nb |nb − 1i ,
√
fˆ− |nf i := nf |nf − 1i .
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Hierbei sind b̂+ und fˆ+ der bosonische bzw. fermionische Erzeugungsoperator und b̂−
und fˆ− der bosonische bzw. fermionische Vernichtungsoperator. Die Vorfaktoren in (4.2)
und (4.3) sorgen für die Normierung der Zustände.
Weiterhin sei angemerkt, dass die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wie beim
harmonischen Oszillator zueinander adjungiert sind:
(b̂+ )† = b̂− ,
(fˆ+ )† = fˆ− .
(4.4)
Dies kann gezeigt werden, indem die Matrixelemente der jeweiligen Operatoren in der
Besetzungszahldarstellung berechnet werden.
Mit Hilfe von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren kann der Besetzungszahloperator N̂f /b definiert werden:
N̂b |nb i := b̂+ b̂− |nb i = nb |nb i ,
N̂f |nf i := fˆ+ fˆ− |nf i = nf |nf i .
(4.5)
(4.6)
Demnach sind der Zustand |nb i bzw. |nf i Eigenzustand zum Besetzungszahloperator N̂b
bzw. N̂f .
Weiterhin erfüllen die bosonischen Erzeuger und Vernichter Kommutatorrelationen,
wohingegen die fermionischen Antikommutatorrelationen erfüllen:
h
i
− +
b̂ , b̂ = 1,
n
o
fˆ− , fˆ+ = 1,
Des Weiteren gilt:
h
i h
i
+ +
− −
b̂ , b̂ = b̂ , b̂ = 0,
n
o n
o
fˆ+ , fˆ+ = fˆ− , fˆ− = 0.
± ±
b , f = 0.
(4.7)
(4.8)
(4.9)
Die obigen Kommutator- und Antikommutatorbeziehungen sind für die Supersymmetrie essentiell, denn die sogenannten SUSY-Operatoren beruhen auf den Erzeugern und
Vernichtern. Diese Operatoren sollen nun eingeführt werden.
18
4.1. Lineare Bose-Fermi-Supersymmetrie
4.1.2. SUSY-Operatoren
Wie bereits einleitend erwähnt, verknüpft die Supersymmetrie Bosonen mit Fermionen.
Dies wird dadurch realisiert, dass ein System beide Teilchenarten enthalten kann. Um
dies mathematisch beschreiben zu können, werden Produktzustände benötigt:
|nb , nf i := |nb i |nf i .
(4.10)
Mit Hilfe der sogenannten SUSY-Operatoren können fermionische und bosonische Zustände ineinander umgewandelt werden. Diese Operatoren werden durch die im vorherigen Kapitel behandelten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren definiert:
Q̂+ := b̂− fˆ+ ,
Q̂− := b̂+ fˆ− ,
Q̂+ |nb , nf i ∝ |nb − 1, nf + 1i ,
Q̂− |nb , nf i ∝ |nb + 1, nf − 1i .
(4.11)
(4.12)
Es ist zu erkennen, dass der Operator Q̂+ ein Boson in ein Fermion umwandelt, wohingegen der Operator Q̂− ein Fermion in ein Boson umwandelt.
Aufgrund des Pauliprinzips und der Tatsache, dass ohne ein existierendes Fermion
kein Boson erzeugt werden kann, erhalten wir eine besondere Eigenschaft der SUSYOperatoren:
Q̂+ Q̂+ |nb , 0i = 0,
⇒ Q̂2+ = Q̂2− = 0.
Q̂− Q̂− |nb , 1i = 0
(4.13)
Diese Eigenschaft wird als Nilpotenz bezeichnet.
4.1.3. Supersymmetrische Hamiltonoperatoren
Ein supersymmetrischer Hamiltonoperator ĤS erfüllt folgende Bedingung:
h
i
ĤS , Q̂± = 0.
Auf den einfachen Ansatz
n
o
ĤS = Q̂+ , Q̂−
(4.14)
(4.15)
trifft dies zu. Dies kann mit Hilfe der Nilpotenz (4.13) gezeigt werden.
Wegen (4.4) und (4.9) gilt (Q̂± )† = Q̂∓ . Die SUSY-Operatoren Q̂± sind demnach
nicht hermitesch. Es können allerdings zwei hermitesche SUSY-Operatoren Q̂1,2 aus
den Operatoren Q̂± konstruiert werden:
:=
:=
Q̂1
Q̂+ + Q̂− ,
Q̂2
−i Q̂+ − Q̂− .
(4.16)
19
4. Supersymmetrie
Der Hamiltonoperator in (4.15) kann damit durch die zwei hermiteschen SUSYOperatoren Q̂1 und Q̂2 ausgedrückt werden:
n
o (4.13) n
o
2
Q̂+ , Q̂− = Q̂+ , Q̂− + Q̂2+ + Q̂2− = Q̂+ + Q̂− = Q̂21 ,
(4.17)
n
o (4.13)
n
o 2
2
2
2
ˆ
Q̂+ , Q̂− = (−i) Q̂+ + Q̂− − Q+ , Q̂−
= −i Q̂+ − Q̂−
(4.18)
= Q̂22
n
o
⇒ HS = Q̂+ , Q̂− = Q̂21 = Q̂22 .
(4.19)
Dieser Hamiltonoperator erfüllt nicht nur (4.14), sondern er vertauscht ebenfalls mit den
hermiteschen SUSY-Operatoren:
h
i
ĤS , Q̂1,2 = 0.
(4.20)
Zusammenfassend erhalten wir damit ein Konstrukt aus Kommutator und Antikommutator, welches auf den hermiteschen SUSY-Operatoren beruht und SUSY-Algebra
genannt wird:
h
i
ĤS , Q̂α = 0,
(4.21)
o
n
α, β = 1, 2.
(4.22)
Q̂α , Q̂β = 2ĤS δα,β ,
4.2. Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie
Im vorherigen Abschnitt wurde ein einfaches supersymmetrisches Modell behandelt, welches keine gegenseitige Wechselwirkung berücksichtigt. Soll eine Wechselwirkung zwischen Bosonen und Fermionen stattfinden, so müssen nichtlineare Systeme betrachtet
werden.
4.2.1. Der supersymmetrische Hamiltonoperator
Wir fordern, dass die Superymmetrie erhalten bleibt, d.h. wir wählen zunächst (4.19)
als Ansatz für einen supersymmetrischen Hamiltonoperator. Allerdings wird folgender
Ansatz für die SUSY-Operatoren verwendet:
Q̂+ = B̂ − fˆ+ ,
Q̂− = B̂ + fˆ− .
(4.23)
Hierbei sind die Größen B̂ + = B̂ + (b̂+ , b̂− ) und B̂ − = B̂ − (b̂+ , b̂− ) Funktionen der bosonischen Einteilchenoperatoren b̂− und b̂+ . Die Nilpotenz bleibt bei diesem Ansatz erhalten,
da die Fermioperatoren fˆ± unverändert auftreten.
Mit Hilfe von (4.23) und unserem Ansatz für den supersymmetrischen Hamiltonoperator (4.19) gilt für diesen:
ĤS = B̂ − B̂ + fˆ+ fˆ− + B̂ + B̂ − fˆ− fˆ+ .
20
(4.24)
4.2. Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie
Da dieser Hamiltonoperator hermitesch sein soll, muss für die beiden bosonischen Operatoren B̂ ± Folgendes gefordert werden:
(B̂ ± )† = B̂ ∓ .
(4.25)
Daraus folgt wiederum (Q̂± )† = Q̂∓ . Hierzu sei darauf verwiesen, dass die obige Relation
keinesfalls für nichthermitesche Hamiltonoperatoren gilt.
Weiterhin sei angemerkt, dass der supersymmetrische Hamiltonoperator in (4.24) zwar
mit dem fermionischen Besetzungszahloperator vertauscht, allerdings ist dies nicht mehr
für den bosonischen der Fall. Dies bedeutet, dass die Besetzungszahldarstellung der
Bosonen nicht mehr sinnvoll für die Beschreibung der Zustände eines superymmetrischen Hamiltonoperators ist. Es kann jedoch, statt der Besetzungszahl die Energie zur
Charakterisierung eines Zustandes verwendet werden. Darum wählen wir nun als neue
Darstellung einen Zustand |E, nf i, der Eigenzustand zum Hamiltonoperator sowie zum
Bestzungszahloperator der Fermionen ist:
ĤS |E, nf i = E |E, nf i ,
N̂f |E, nf i = nf |E, nf i .
(4.26)
4.2.2. Kanonische Darstellung
Die Darstellung (4.26) von Zuständen in nichtlinearen Systemen spaltet sich in zwei
Bereiche auf: Da nf nur zwei Werte annehmen kann, können wir zwischen fermionischen
|E, nf = 1i und bosonischen |E, nf = 0i Zuständen unterscheiden. Hierbei bietet sich
eine konkrete zweidimensionale Darstellung dieser Zustände an:
!
|E, nf = 0i
|E, nf i =
.
(4.27)
|E, nf = 1i
Damit können wir die fermionischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in der
Form einer 2 × 2-Matrix darstellen:
!
!
0
0
0
1
+
−
fˆ =
,
fˆ =
.
(4.28)
1 0
0 0
Des Weiteren ist es mit (4.28) möglich, die SUSY-Operatoren in einer 2×2-Matrixdarstellung
zu formulieren:
!
!
+
0
0
0 B̂
Q̂+ = B̂ − fˆ+ =
,
Q̂− = B̂ + fˆ− =
,
(4.29)
B̂ − 0
0 0
!
!
0 B̂ +
0
iB̂ +
Q̂1 = Q̂+ + Q̂− =
, Q̂2 = −i(Q̂+ − Q̂− ) =
. (4.30)
B̂ − 0
−iB̂ − 0
21
4. Supersymmetrie
Mit dieser zweidimensionalen Darstellung der SUSY-Operatoren kann nun der supersymmetrische Hamiltonoperator durch eine 2 × 2-Matrix ausgedrückt werden:
!
n
o
+ −
B̂ B̂
0
ĤS = Q̂21 = Q̂22 = Q̂+ , Q̂− =
.
(4.31)
− +
0
B̂ B̂
Dies ist die sogenannte kanonische Darstellung. Da die Matrix des Hamiltonoperators
Diagonalgestalt hat, kann die Eigenwertgleichung
ĤS |E, nf i = E |E, nf i
(4.32)
des supersymmetrischen Hamiltonoperators in zwei Gleichungen für bosonische und fermionische Systeme separiert werden:
Ĥ1 |E1 , nf = 0i := B̂ + B̂ − |E1 , nf = 0i = E1 |E1 , nf = 0i ,
−
+
Ĥ2 |E2 , nf = 1i := B̂ B̂ |E2 , nf = 1i = E2 |E2 , nf = 1i .
(4.33)
(4.34)
4.2.3. Energiespektren und das Superpotential
Mit Hilfe der Darstellungen (4.33) und (4.34) können nun Aussagen über die Spektren
der beiden Untersysteme des superymmetrischen Hamiltonoperators getroffen werden.
Betrachten wir hierfür Zustände, die (4.33) und (4.34) erfüllen. Dann gilt:
(4.33)
(4.34)
(4.34)
(4.33)
Ĥ1 (B̂ + |E2 , 1i) = B̂ + B̂ − B̂ + |E2 , 1i = B̂ + Ĥ2 |E2 , 1i = E2 (B̂ + |E2 , 1i),
(4.35)
Ĥ2 (B̂ − |E1 , 0i) = B̂ − B̂ + B̂ − |E1 , 0i = B̂ − Ĥ1 |E1 , 0i = E1 (B̂ − |E1 , 0i).
(4.36)
Hierbei ist |E1 , 0i := |E1 , nf = 0i und |E2 , 1i := |E2 , nf = 1i. Dies bedeutet, dass die
Spektren der beiden Hamiltonoperatoren äquivalent sind, wenn für alle E1,2 gilt:
B̂ + |E2 , 1i =
6 0 und B̂ − |E1 , 0i =
6 0.
(4.37)
Allgemein lassen sich die obigen Bedingungen für alle Energieeigenwerte ungleich null
sogar für nichthermitesche Systeme zeigen. Hierfür werden die Gleichungen (4.33) und
(4.34) mit hE1 , 0| bzw. hE2 , 1| multipliziert und die Schwarzsche Ungleichung verwendet:
2 2
|E1 |2 = hE1 , 0|B̂ + B̂ − |E1 , 0i = h(B̂ + )† E1 , 0|B̂ − |E1 , 0i
2 2
≤ B̂ − |E1 , 0i (B̂ + )† |E1 , 0i ,
(4.38)
2 2
|E2 |2 = hE2 , 1|B̂ − B̂ + |E2 , 1i = h(B̂ − )† E2 , 1|B̂ + |E2 , 1i
2 2
≤ B̂ + |E2 , 1i (B̂ − )† |E2 , 1i .
(4.39)
22
4.2. Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie
Für E1,2 6= 0 folgt B̂ + |E2 , 1i =
6 0 und B̂ − |E1 , 0i =
6 0.
Wenn jedoch E1 = 0 oder E2 = 0 gilt, kann für hermitesche Systeme gezeigt werden,
dass entweder B̂ + |E2 , 1i = 0 oder B̂ − |E1 , 0i = 0. Hierfür wird (4.25) in (4.38) und
(4.39) eingesetzt:
2 2 2
−
−
−
⇔ B̂ − |E1 , 0i = 0,
0 = hB̂ E1 , 0|B̂ E1 , 0i = B̂ |E1 , 0i
2 2 2
+
+
+
0 = hB̂ E2 , 1|B̂ E2 , 1i = B̂ |E2 , 1i
⇔ B̂ + |E2 , 1i = 0.
(4.40)
(4.41)
Das bedeutet, dass ein Zustand |E1 , 0i bzw. |E2 , 1i des einen Systems mit Hilfe des B̂ − bzw. B̂ + -Operators in einen Zustand |E2 , 1i bzw. |E1 , 0i des anderen Systems transformiert werden kann, sofern E1 6= 0 bzw. E2 6= 0 sowie die Eigenzustände der Systeme
eindeutig sind. Ist der Eigenwert eines Zustands in einem System null, so kann kein Zustand zum selben Eigenwert im anderen System gefunden werden. Um dies eindeutig zu
zeigen, muss das sogenannte Superpotential eingeführt werden.
Hierzu verwenden wir eine konkrete Darstellung der bosonischen Operatoren B̂ ± . Um
ein nichtlineares Supersymmetriemodell zu erhalten, wählen wir in Analogie zu den Erzeugungs- und Vernichtungsoperator des quantenmechanischen harmonischen Oszillators
r
mω
ip̂
±
b̂ =
x̂ ∓
(4.42)
2~
mω
die Operatoren
1
ip̂
B̂ = √ W (x̂) ∓ √
.
m
2
±
(4.43)
Hierbei wird W (x̂) als Superpotential bezeichnet, welches die Einheit [Energie]1/2 besitzt.
Formulieren wir nun (4.40) und (4.41) mit Hilfe der konkreten Darstellung (4.43) für
den bosonischen Operator B̂ ± in der Ortsdarstellung:
~ d
√
+ W ψ0(1) = 0,
(4.44)
m dx
~ d
√
− W ψ0(2) = 0.
(4.45)
m dx
Hierbei ist ψ0(1) (x) := hx|E1 , 0i der Grundzustand zum Eigenwert null im ersten System
und ψ0(2) (x) := hx|E2 , 1i im zweiten System. Die formale Lösung dieser Differentialgleichungen lautet:
" √ Z
#
m x
(1,2)
ψ0 (x) = C exp ∓
W (x0 )dx0 .
(4.46)
~ 0
23
4. Supersymmetrie
Physikalisch sinnvolle Lösungen der Wellenfunktionen ψ0(1,2) müssen im Unendlichen abfallen. Für ψ0(1) muss damit
Z 0
Z ∞
0
0
W (x )dx = −∞
und
W (x0 )dx0 = ∞
(4.47)
−∞
0
erfüllt sein, und für ψ0(2) :
Z 0
W (x0 )dx0 = ∞
−∞
und
Z
∞
0
W (x0 )dx0 = −∞.
(4.48)
Die beiden Forderungen (4.47) und (4.48) schließen sich gegenseitig aus. Darum kann es
nur in einem der beiden Subsysteme einen Grundzustand zum Eigenwert null geben.
Zusammenfassend lassen sich damit zwei Fälle in Bezug auf die Spektren der beiden
Untersysteme des supersymmetrischen Hamitonoperators unterscheiden:
1. Es existiert ein Grundzustand mit dem Eigenwert E = 0: Dieser Zustand gehört
entweder zu Ĥ1 oder Ĥ2 . Das restliche Spektrum der beiden Subsysteme ist identisch. Dies wird als exakte Supersymmetrie bezeichnet
2. Es existiert kein Grundzustand zum Eigenwert E = 0: Der Grundzustand liegt
bei einem Eigenwert E 6= 0 und gehört zu Ĥ1 und Ĥ2 . Die Spektren der beiden
Subsysteme sind vollkommen äquivalent.
4.3. Supersymmetrische Quantenmechanik
Wie bereits einleitend erwähnt, kann die Supersymmetrie auf die nichtrelativistische
Quantenmechanik angewandt werden. In diesem Zusammenhang wird der Begriff supersymmetrische Quantenmechanik verwendet, welche die nichtrelativistische Quantenmechanik unter Verknüpfung der SUSY-Algebra bezeichnet.
Hierzu wird zunächst, wie üblich in der Quantenmechanik, die stationäre Schrödingergleichung Ĥψ = Eψ verwendet, in welcher der Hamiltonoperator
Ĥ =
p̂2
+ V (x̂)
2m
(4.49)
benutzt wird. Im Folgenden wird die kanonische Darstellung für einen supersymmetrischen Hamiltonoperator, welche in Abschnitt 4.2.2 eingeführt wurde, verwendet.
4.3.1. Faktorisierung des Hamiltonoperators
Der erste Schritt zur Verknüpfung der Supersymmetrie mit der Quantenmechanik besteht darin, die Hamiltonoperatoren der Subsysteme gemäß (4.33) und (4.34) zu faktorisieren. Für die bosonischen Operatoren B̂ ± können wir den Ansatz (4.43) verwenden.
In der Ortsdarstellung haben wir demnach folgende Ansätze:
24
4.3. Supersymmetrische Quantenmechanik
−~2 2
∂x + V (i) (x),
2m
1
~
B̂ ± = √ W (x) ∓ √ ∂x .
2
2m
Ĥi =
i = 1, 2
(4.50)
(4.51)
Nun fordern wir die Faktorisierungen der Hamiltonoperatoren
Ĥ1 = B̂ + B̂ − ,
Ĥ2 = B̂ − B̂ +
(4.52)
und erhalten damit die Bedingungen
W (x)
~∂x
~∂x
W (x)
−
ˆ
√ +√
ψ
B̂ B ψ = √ − √
2
2m
2
2m
"
#
"
W 2 (x) ~(∂x W (x)) ~2 ∂x2
!
√
=
−
ψ = V (1) (x) −
−
(4.52)
2
2m
2 m
"
"
#
2 2
2
~
∂
W
(x)
~(∂
W
(x))
!
x
x
√
B̂ − B̂ + ψ =
−
+
ψ = V (2) (x) −
(4.52)
2
2m
2 m
+
#
~2 ∂x2
ψ,
2m
#
~2 ∂x2
ψ,
2m
(4.53)
(4.54)
welche schließlich zu den Differentialgleichungen
~
1
V (1,2) (x) = W 2 (x) ∓ √ (∂x W (x))
2
2 m
(4.55)
führen. Demnach kann mit Hilfe der Differentialgleichung (4.55) zu einem gegebenen
System Ĥ1 das Superpotential W (x) bestimmt werden, um somit den SUSY-Partner
Ĥ2 zu erhalten.
Der SUSY-Partner Ĥ2 besitzt bei gebrochener Supersymmetrie dasselbe Spektrum
wie Ĥ1 ; bei exakter ist dies auch der Fall mit der Ausnahme, dass der Zustand bei Energie
E = 0 fehlt. Hierzu sei angemerkt, dass bei hermiteschen Systemen alle Eigenwerte
größer null sein müssen und daher der Grundzustand der einzige Zustand ist, welcher
entfernt werden kann. Allerdings ist bei nichthermiteschen Systemen ein Spektrum mit
negativen Eigenwerten möglich, daher können in diesem Fall auch angeregte Zustände
entfernt werden.
Wenn ein Zustand in System Ĥ1 entfernt werden soll, muss also exakte Supersymmetrie
vorhanden sein. Dies ist allerdings immer möglich, denn es kann ein Potential Ṽ (1) =
(1)
V (1) − (1)
0 konstruiert werden, welches um die Energie 0 vermindert wurde und damit
(1)
den Eigenwert ˜(1)
0 = 0 zur selben Wellenfunktion ψ0 besitzt.
Liegt exakte Supersymmetrie vor, so kann direkt eine Lösung für das Superpotential
W (x) gefunden werden: Wir nehmen nun an, ψ0(1) sei eine Wellenfunktion des Systems
Ĥ1 zum Eigenwert (1)
0 = 0. Dann gilt offensichtlich
25
4. Supersymmetrie
−~2 2 (1)
∂ ψ + V (1) (x)ψ0(1) (x)
2m x 0
2
1 2
~
(4.55) −~
2 (1)
=
∂x ψ0 (x) +
W (x) − √ (∂x W (x)) ψ0(1)
2m
2
2 m
2 2 (1)
~ ∂x ψ0
~
⇔
= W 2 (x) − √ (∂x W (x)).
(1)
m ψ0
m
0 = Ĥ1 =
(4.56)
Weiterhin können wir den Term auf der linken Seite ausdrücken durch
∂x2 ψ0(1)
= ∂x
ψ0(1)
∂x ψ0(1)
ψ0(1)
!
+
∂x ψ0(1)
ψ0(1)
!2
.
(4.57)
Damit kann nun direkt aus
∂x ψ0(1)
ψ0(1)
∂x
!
+
∂x ψ0(1)
ψ0(1)
!2
(4.56)
= ∂x
√
m
−
W (x)
~
!
!2
m
−
W (x)
~
√
+
(4.58)
eine mögliche Lösung1 für das Superpotential W (x) erhalten werden:
~ ∂x ψ0(1)
W (x) = − √
.
m ψ0(1)
(4.59)
Hierbei ist die Knotenfreiheit die einzige Bedingung an die Wellenfunktion ψ0(1) , d.h.
∀x ∈ R : ψ0(1) (x) 6= 0. Damit kann nun direkt das Potential des SUSY-Partners Ĥ2
erhalten werden:
(4.55)
V (2) =
(4.59)
0
00

~ 
2
2m
2
(1) 0
ψ0
ψ0(1)
!2
−
(1) 00

ψ0 
,
ψ0(1)
(4.60)
wobei ψ0(1) := ∂x ψ0(1) und ψ0(1) := ∂x2 ψ0(1) .
Zusammenfassend wurde gezeigt, dass ein eindimensionales physikalisches Quantensystem immer einen Superpartner besitzt, welcher über die Grundzustandswellenfunktion erhalten werden kann. Zudem sei an dieser Stelle nochmals darauf verwiesen, dass
für nichthermitesche Systeme sogar angeregte Zustände entfernt werden können, sofern
diese knotenfrei sind.
1
Hierzu sei angemerkt, dass die gefunde Lösung nicht eindeutig ist. Die nichtlineare Differentialgleichung (4.55) ist eine Riccati-Differentialgleichung. Mit dem Ansatz W̃ (x) = W (x) + Φ(x) kann ein
Φ(x) gefunden werden, mit welchem das neue Superpotential W̃ die Differentialgleichung lösen kann.
26
4.3. Supersymmetrische Quantenmechanik
4.3.2. Wellenfunktionen
In Abschnitt 4.2.3 wurde gezeigt, dass ein Zustand ψ0(1) eines SUSY-Partners durch Anwendung des B̂ − -Operators auf eine Wellenfunktion ψ0(2) des Partnersystems abgebildet
werden kann. Analog lässt sich dies mit Hilfe des B̂ + -Operators, angewandt auf ψ0(2) ,
durchführen. Nehmen wir nun an, dass jeweils zwei Sätze von normierten und eindeutigen Wellenfunktionen ψn(1) und ψn(2) zu den beiden Systemen Ĥ1,2 mit den Eigenwerten
(2)
(1)
n und n gehören:
(1)
Ĥ1 ψn(1) = (1)
n ψn ,
(4.61)
(2)
Ĥ2 ψn(2) = (2)
n ψn .
(4.62)
− (1)
Ĥ2 (B̂ − ψn(1) ) = (1)
n (B̂ ψn ),
(4.63)
+ (2)
Ĥ1 (B̂ + ψn(2) ) = (2)
n (B̂ ψn ).
(4.64)
Dann gilt nach (4.35) und (4.36):
Wir nehmen nun an, dass exakte Supersymmetrie vorliegt, daher gilt:
(1)
0 = 0
und
(1)
(2)
n = n+1 .
(4.65)
Folglich erhalten wir
1
(1)
ψn(2) = q
B̂ − ψn+1
,
(1)
n+1
1
ψn(1) = p (2) B̂ + ψn(2) ,
n
(4.66)
(4.67)
was geprüft werden kann, wenn (4.67) in (4.66) eingesetzt wird, und (4.66) in (4.67),
denn dann erhalten wir (4.61) bzw. (4.62) unter Zufhilfenahme von (4.52).
4.3.3. SUSY- Ketten
In den vorherigen Abschnitten wurde gezeigt, dass der Supersymmetrieformalismus immer auf eindimensionale Systeme anwendbar ist. Damit kann ein Partnersystem Ĥ2 erhalten werden, das dasselbe Spektrum bis auf den Grundzustand des Systems Ĥ1 besitzt,
wenn exakte Supersymmetrie vorliegt. Prinzipiell kann der Formalismus erneut auf das
System Ĥ2 angewandt werden, um somit ein drittes Partnersystem Ĥ3 zu erhalten, in
dem der Grundzustand von Ĥ2 , also der erste angeregte Zustand von Ĥ1 , entfernt wurde.
27
4. Supersymmetrie
Letzteres gilt allerdings nur unter der Voraussetzung, dass exakte Supersymmetrie vorliegt. D.h. bevor der Supersymmetrieformalismus erneut angewandt werden kann, muss
eine Energieverschiebung Ṽ (2) = V (2) − (2)
0 durchgeführt werden. Wenn ein Partnerpotential gemäß (4.60) konstruiert wird, ist daher das Spektrum des Partnersystems Ĥ3
um den Energiewert (2)
0 verschoben. Hierbei muss die Grundzustandswellenfunktion im
Partnersystem bekannt sein. Diese kann jedoch entweder durch Lösen der Schrödingergleichung oder durch Anwendung des B̂ − -Operators erhalten werden. Dieser Formalismus kann endlos fortgesetzt werden, vorausgesetzt das Spektrum des Grundsystems Ĥ1
ist nicht endlich. Die Menge an SUSY-Partnern, die durch die Fortsetzung des Formalismus erhalten werden kann, wird als SUSY-Kette bezeichnet. In dieser Bachelorarbeit
wird für einen SUSY-Partner in einer SUSY-Kette der Begriff SUSY-Level verwendet.
Beispielsweise wird das Partnersystem Ĥ2 SUSY-Level 1 genannt.
Überdies ist es, wie bereits erwähnt, in nichthermiteschen Systemen möglich, angeregte
Zustände zu entfernen und damit ein entsprechendes Partnersystem zu konstruieren.
Hierbei können mehrere unterschiedliche SUSY-Ketten entstehen, wenn zum Beispiel
in einer SUSY-Kette der Grundzustand ψ0(1) von Ĥ1 entfernt wird, und in einer anderen
der erste angeregte Zustand ψ1(1) . In der vorliegenden Arbeit werden diese Ketten durch
Nummerierung unterschieden: Beispielsweise sei SUSY-Kette 1 die Kette, bei welcher
zu Beginn der Zustand ψ0(1) entfernt wurde; oder SUSY-Kette 2 die Kette, in der zuerst
der Zustand ψ1(1) zur Konstruktion des SUSY-Partners verwendet wurde.
28
5. Konstruktion des Grundsystems und
numerische Vorgehensweise
Die vorliegende Arbeit beruht auf den Ergebnissen der Bachelorarbeit von Cedric Sommer [8]. In dieser konnte gezeigt werden, dass in einem PT -symmetrischen System mehrere Eigenwerte mit Hilfe des Supersymmetrieformalismus entfernt werden können. Dies
wurde anhand des PT -symmetrischen Doppelmuldenpotentials gezeigt, indem eine SUSY-Kette gebildet wurde. Da in der vorliegenden Arbeit das primäre Ziel ist, einen bestimmten Zustand in dieser SUSY-Kette im Hinblick auf dessen Stromdichte genauer zu
untersuchen, wird sowohl dasselbe Doppelmuldenpotential als auch dasselbe numerische
Verfahren zur Lösung der stationären Schrödingergleichung wie in der Abschlussarbeit
[8] verwendet.
Dementsprechend widmet sich dieses Kapitel der Beschreibung zur Konstruktion des
verwendeten Doppelmuldenpotentials als Ausgangsystem einer SUSY-Kette und der numerischen Vorhergehensweise zum Lösen der stationären Schrödingergleichung. Hierbei
orientiert sich der vorliegende Abschnitt an der Bachelorarbeit von Cedric Sommer [8]
und den Masterarbeiten von Dennis Dast [4] und Daniel Haag [5].
5.1. Das PT -symmetrische Doppelmuldenpotential
Eine Doppelmulde besitzt ein Maximum und zwei Minima. Diese können durch einen
quadratischen Term und eine Gaußfunktion erzeugt werden. Hierbei ist darauf zu achten,
dass das Potential PT -symmetrisch sein soll. Daher müssen, wie in Abschnitt 3.2 gezeigt,
der Realteil des Potentials eine gerade und der Imaginärteil eine ungerade Funktion sein.
Damit können wir folgenden Ansatz für ein Doppelmuldenpotential verwenden:
Ṽ (x̃) =
−x2
mω̃ 2 2
2
x̃ + Ṽ0 e 2σ̃2 + iγ̃ x̃−ρ̃x̃ ,
2
m, ω̃, ρ̃, γ̃, Ṽ0 , σ̃ ∈ R.
(5.1)
Hierbei wird γ als Ein- und Auskopplungsparameter bezeichnet, welcher zu einer Bifurkation eines Eigenwertpaares führen kann, wenn er eine bestimmte Schwelle überschreitet.
In diesem Zusammenhang bestimmt ρ̃ die Breite des Ein- und Auskopplungsbereichs.
Des Weiteren sind ω̃ die Fallenfrequenz, m die Masse eines Teilchens, Ṽ0 die Höhe und
σ̃ die Breite der gaußförmigen Barriere.
Um das Potential numerisch verwenden zu können, müssen wir dieses in eine dimen-
29
5. Konstruktion des Grundsystems und numerische Vorgehensweise
sionslose Form bringen:
V (x) =
−x2
2m
ω2 2
−ρx2
2σ 2 + iγxe
x
+
V
e
V
(x̃)
=
.
0
2
~
4
(5.2)
Hierbei sind
2m
2m
ω̃,
V0 = 2 V˜0 ,
σ = aσ̃,
a~
~
ρ̃
2m
γ̃,
ρ = 2,
γ=
x̃ = ax,
a~
a
wobei a = [x̃]. Weiterhin wird, wie in [8], der Parameter ρ so gewählt, dass
ω=
ρ=
4σ 2
ln
1
2V0
σ2 ω2
= ρ (ω, σ, V0 ) ,
(5.3)
die Extrema des Imaginärteils sich am gleichen Ort x befinden wie die beiden Minima
des Realteils des Doppelmuldenpotentials. Hiermit bleiben die drei Parameter ω, σ und
V0 frei wählbar. Diese werden entsprechend der Bachelorarbeit von Cedric Sommer [8]
gewählt zu
ω = 1, σ = 1, V0 = 4,
(5.4)
um vergleichbare Zustände zu erhalten.
In Abbildung 5.1 ist das PT -symmetrische Doppelmuldenpotential für die Parameter
aus (5.4) und γ = 0.03 zu sehen.
5.2. Numerisches Verfahren
Wie bereits erwähnt, wird dasselbe numerische Verfahren wie in der Bachelorarbeit von
Cedric Sommer [8] verwendet, um die stationäre Schrödingergleichung zu lösen. Bei dieser
handelt es sich um eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Um ein RungeKutta-Verfahren vierter Ordnung verwenden zu können, wird die Schrödingergleichung
auf zwei Differentialgleichungen erster Ordnung reduziert.
Des Weiteren werden insgesamt fünf Anfangswerte benötigt, um eineIntegration
durch
das Runge-Kutta-Verfahren
durchführen
zu
können:
Re
[],
Im
[],
Re
ψ(0)
,
Re
ψ 0 (0)
0 und Im ψ (0) . Hierzu sei angemerkt, dass Im ψ(0) = 0 gewählt wird, denn die globale
Phase der Wellenfunktion kann wie in Abschnitt 3.1.2 benutzt werden, um exakte PT Symmetrie zu erhalten. Konkret bedeutet dies, dass eine globale Phase existiert, bei der
der Imaginärteil der Wellenfunktion bei x = 0 verschwindet. Dann gilt:
!
PT ψ|x=0 = Re ψ(0) = eiϕ Re ψ(0)
⇒ϕ=0
⇒ PT ψ = ψr (−x) − ψi (−x)i = ψr (x) + ψi (x)i
⇒ ψr (x) = ψr (−x) ∧ ψi (x) = −ψi (−x) .
(5.5)
30
5.2. Numerisches Verfahren
8
0.04
Re V (x)
Im V (x)
7
6
0.03
0.02
4
0
Im V (x)
0.01
Re V (x)
5
3
-0.01
2
-0.02
1
-0.03
0
-4
-2
0
x
2
4
-0.04
Abbildung 5.1.: Real- und Imaginärteil des PT -symmetrischen Doppelmuldenpotentials
mit den in (5.4) angegeben Parametern und bei einem Ein- und Auskopplungsparameter von γ = 0.03.
Außerdem werden für physikalisch sinnvolle Lösungen zusätzliche Bedingungen benötigt: Zum einen müssen Real- und Imaginärteil der Wellenfunktion für x → ±∞ auf Null
abfallen und zum anderen muss die Wellenfunktion normiert sein, d.h. kψk = 1. Somit
müssen fünf Forderungen erfüllt sein. Um Lösungen zu finden, welche diese Forderungen
einhalten, wird eine fünfdimensionale Nullstellensuche numerisch durchgeführt. Hierbei
wird bis zu einer gewissen Integrationsgrenze ±xmax mit Hilfe des Runge-Kutta-Verfahrens integriert und die Einhaltung dieser Forderungen überprüft. Die Anfangsbedingungen spielen in diesem Zusammenhang eine wichtige Rolle, denn die Nullstellensuche ist
vor allem bei Startwerten für die Eigenwerte sehr empfindlich.
Zudem sei darauf verwiesen, dass bei der Bildung von SUSY-Ketten bei jedem SUSYLevel das oben beschriebene numerische Verfahren angewandt wird, um eine stationäre
Lösung zu berechnen und damit das nächste SUSY-Level zu konstruieren. Dementsprechend ist die Nullstellensuche für jedes weitere SUSY-Level, das konstruiert wird,
numerisch anspruchsvoller, da sich numerische Ungenauigkeiten fortpflanzen können.
Im Folgenden soll bei der Nummerierung der SUSY-Level mit null begonnen werden,
sodass SUSY-Level 0 das Grundsystem, also das Doppelmuldenpotential, bezeichnet.
Ferner wird die SUSY-Kette, bei der die Grundzustandswellenfunktion der Doppelmulde zuerst entfernt wurde, als SUSY-Kette 0 bezeichnet. Die SUSY-Kette, bei welcher
der erste angeregte Zustand zuerst entfernt wurde, soll als SUSY-Kette 1 bezeichnet
werden.
31
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
In diesem Kapitel werden die Wahrscheinlichkeitsstromdichten j der Grundzustandswellenfunktionen aller drei SUSY-Level der SUSY-Kette 0 sowie der erste angeregte
Zustand des SUSY-Level 1 diskutiert. Hierzu wird die Kontinuitätsgleichung für nichthermitesche Hamiltonoperatoren in einer Dimension verwendet:
∂ρ (x) ∂j (x)
+
= Q (x) .
∂t
∂x
Hierbei ist j die Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die definiert ist durch
i~
∂ψ ∗
∗ ∂ψ
j=
−ψ
ψ
,
2m
∂x
∂x
(6.1)
(6.2)
und Q der Quellterm, gegeben durch
Q=
2 Im [V ]
ρ
~
(6.3)
mit ρ = |ψ|2 .
Neben der Stromdichte j sollen
Quellterm Q(x),
die Ableitung der Stromdichte ∂j/∂x ,
sowie die Terme ρ̇ := ∂ρ/∂t und Q − ∂j/∂x aus der Kontinuitätsgleichung untersucht
werden. Letztere werden verwendet, um die Einhaltung der Kontinuitätsgleichung (6.1)
zu überprüfen. Der Quellterm Q kann direkt
über das Potential und die Wellenfunktion
erhalten werden, wohingegen für ∂j/∂x der analytische Ausdruck
!
2
i~
∂ 2ψ∗
∂
ψ
∂j
=
ψ
− ψ∗ 2
(6.4)
∂x
2m
∂x2
∂x
verwendet wird. Dieser ergibt sich durch einmaliges Ableiten von j. Darüber hinaus wird
iµ
für ρ̇ die aus der Schrödinger-Gleichung bekannte Zeitentwicklung ψ (x, t) = ψ (x, 0) e− ~ t
verwendet. Damit resultiert
2
2 Im [µ] 2 Im[µ]t ρ̇ (t) =
e ~ ψ(x, 0) .
(6.5)
~
Die Kontinuitätsgleichung gilt für alle Zeitpunkte und kann daher mittels obiger Zeitentwicklung (6.5) der Wellenfunktion in eine zeitunabhängige Form gebracht werden.
Aufgrund dessen reicht es, zu deren Überprüfung den Zeitpunkt t = 0 zu wählen und
2
2 Im [µ] ρ̇(0) =
ψ(x, 0)
(6.6)
~
zu betrachten.
33
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
6.1. Wahrscheinlichkeitsstromdichten der SUSY-Kette 0
Zunächst werden die Stromdichten j(x) der Grundzustände in der SUSY-Kette 0, in welcher der Grundzustand ψ0(0) des Grundsystems zuerst entfernt wurde, behandelt. Hierbei
sind alle drei Systeme zunächst im Bereich vor und anschließend nach dem exzeptionellen
Punkt des ersten Eigenwertpaares (0)
1,2 zu betrachten.
6.1.1. Verhalten der Systeme vor dem exzeptionellen Punkt
Die PT -Symmetrie der Wellenfunktionen vor dem exzeptionellen Punkt ist noch nicht
gebrochen. Es sind nur reelle Eigenwerte vorhanden. Folglich ist das Betragsquadrat ρ
der Wellenfunktionen der Grundzustände aller drei SUSY-Level zeitlich konstant, daher
gilt ρ̇ = 0.
In Abbildung 6.1 sind die Wellenfunktionen, Wahrscheinlichkeitsstromdichten, Quellterme, sowie Terme aus der Kontinuitätsgleichung für γ = 0.03 dargestellt. Die Wellenfunktionen in den Abbildungen 6.1(a),(c) und (d) sind exakt PT -symmetrisch, da deren
Realteil eine gerade und deren Imaginärteil eine ungerade Funktion von x sind. Weiterhin ist aus den Abbildungen 6.1(b), (d) und (f) ersichtlich, dass ρ̇ = 0 und damit zeitlich
konstante Zustände vorhanden sind. In allen drei SUSY-Leveln wird die Kontinuitätsgleichung erfüllt, denn es gilt für alle x: ∇~j = Q und dementsprechend Q − ∇~j = ρ̇ = 0.
Ferner ist ersichtlich, dass die Wahrscheinlichkeitsstromdichten in den Abbildungen
6.1(b), (d) und (f) gerade Funktionen von x sind. Dies lässt mit Hilfe der exakten PT Symmetrie der Wellenfunktionen zeigen: Wie bereits oben erwähnt, handelt es sich bei
dem Realteil einer exakt PT -symmetrischen Funktion um eine gerade und beim Imaginärteil um 6eine ungerade Funktion. So können wir folgenden Ansatz für eine exakt
PT -symmetrische Wellenfunktion wählen:
ψ(x) = ψr (x) + iψi (x),
ψr , ψi ∈ R.
(6.7)
Hierbei ist ψr eine gerade und ψi eine ungerade Funktion. Nun wird der Ansatz (6.7) in
den Ausdruck der Wahrscheinlichkeitsstromdichte (6.2) eingesetzt. Damit resultiert:
j(x) =
~
· (ψr ψ 0 − ψi ψ 0 ),
2m |{z}i |{z}r
gerade
(6.8)
gerade
wobei ψ 0 := ∂ψ/∂x . Des Weiteren ist ψi eine ungerade Funktion. Dementsprechend handelt es sich beim ersten Term in (6.8) um eine symmetrische Funktion. Weiterhin ist ψr
eine gerade Funktion. Der zweite Term in Gleichung (6.8) muss somit eine symmetrische
Funktion sein, da zwei antisymmetrische Funktionen miteinander multipliziert werden.
Folglich ist j(x) eine symmetrische Funktion von x.
Eine weitere Eigenschaft, welche aus der PT -Symmetrie der Systeme aller drei SUSY-Level folgt, ist die Antisymmetrie des Quellterms Q(x). Diese Implikation ergibt
34
6.1. Wahrscheinlichkeitsstromdichten der SUSY-Kette 0
SUSY-Level 2
SUSY-Level 1
SUSY-Level 0
γ = 0.03
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
(a)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
(c)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
(e)
-6
-4
-2
0
x
Re [ψ]
Im [ψ]
2
4
6
|ψ|2
j
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
(b)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
2
4
6
4
6
(d)
-6
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
-0.025
-4
-2
0
x
(f)
-6
-4
Q
∇~j
-2
0
x
2
Q − ∇~j
ρ̇
Abbildung 6.1.: Wellenfunktionen und Ströme vor dem exzeptionellen Punkt des ersten
Eigenwertpaares bei γ = 0.03: Die Wellenfunktionen der Grundzustände im nullten, ersten und zweiten SUSY-Level sind in den Abbildungen (a), (c) und (e) zu sehen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsstromdichten, Quellterme, sowie Terme aus der Kontinuitätsgleichung
des nullten, ersten und zweiten SUSY-Levels sind in den Abbildungen
2
(b), (d) und
(f) zu erkennen. Hierbei ist ρ̇ = ∂|ψ| /∂t und der Quellterm
Q = 2 Im V (x) ρ.
35
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
sich mit (6.3) aus der Antisymmetrie des Imaginärteils des Potentials und der Tatsache,
dass |ψ|2 eine gerade Funktion ist. Die Symmetrie des Quellterms kann in den Abbildungen 6.1(b),(d) und (f) gesehen werden. In diesem Zusammenhang sei erwähnt, dass
die Symmetrieeigenschaft des Quellterms ebenfalls aufgrund der Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsstromdichte vorhanden ist, denn aus ρ̇ = 0 folgt j 0 (x) = Q(x).
Aus der Antisymmetrie des Quellterms folgt weiterhin:
Z
∞
Q(x)dx = 0.
(6.9)
−∞
Dies bedeutet physikalisch, dass der gesamte Zu- und Abfluss von Aufenthaltswahrscheinlichkeit ausgeglichen ist. Dementsprechend wird dem offenen Quantensystem genauso viel Wahrscheinlichkeit zu- wie abgeführt. Damit lässt sich das Verhalten der
stationären Wellenfunktionen aller drei SUSY-Level vor dem exzeptionellen Punkt nachvollziehen:
In Abbildung 6.1(b) und (f) sind eine Quelle auf der positiven und eine Senke auf der
negativen x-Achse zu sehen, wohingegen in Abbildung 6.1(d) die Quelle auf der negativen
und die Senke auf der positiven x-Achse vorhanden sind. In allen drei SUSY-Leveln sind
die Quellen genauso stark wie die Senken. In SUSY-Level 0 und 2 ist zu erkennen, dass
die Wahrscheinlichkeitsstromdichte negativ ist, was bedeutet, dass Wahrscheinlichkeit
von Quelle zu Senke fließt. In SUSY-Level 1 hingegen ist der Fluss positiv, was ebenfalls bedeutet, dass Wahrscheinlichkeit von Quelle zu Senke fließt. Der Fluss aller drei
SUSY-Level ist am Wendepunkt des Quellterms, an dem keine Ein- oder Auskopplung
von Wahrscheinlichkeit stattfindet, am stärksten. So wird aufgrund der PT -Symmetrie
der Systeme ein Ausgleich des gesamten Zu-und Abflusses der Wahrscheinlichkeit, sowie
eine gleich starke und symmetrische Quellen- und Senkenverteilung erreicht, die einen
symmetrischen Fluss von Aufenthaltswahrscheinlichkeit hervorruft. Letztendlich führen
genau diese Symmetrien zu einem Zustand, der ρ̇ = 0 erfüllt.
In Abbildung 6.2 sind die Wellenfunktionen, Wahrscheinlichkeitsstromdichten, Quellterme, sowie Terme aus der Kontinuitätsgleichung für γ = 0.041 dargestellt. Da sich
auch hier alle Systeme vor dem exzeptionellen Punkt befinden, ist das Betragsquadrat ρ
der Grundzustandswellenfunktionen aller drei SUSY-Level zeitlich konstant. Die Wellenfunktionen in den Abbildungen 6.2(a), (c), und (e) sind weiterhin alle exakt PT symmetrisch. Zudem gilt für alle x: ρ̇ = Q − ∇~j = 0 und ∇j = Q, was aus den
Abbildungen 6.2(b), (d), und (f) ersichtlich wird. Es sind somit stationäre Grundzustände in allen Systemen vorhanden und die Kontinuitätsgleichung ist erfüllt. Außerdem
erfüllen die Wahrscheinlichkeitsstromdichten und Quellterme die oben erwähnten Symmetrien. Die Quellen und Senken sind in den gleichen Bereichen wie bei den Systemen
für γ = 0.03. Dementsprechend resultiert ebenfalls ein gleiches Verhalten der Stromdichten. Im Gegensatz zu den Strom- und Quelltermen bei γ = 0.03 sind die Quellen und
Senken jedoch stärker, was aufgrund des stärkeren Ein- und Auskopplungsparameters
36
6.1. Wahrscheinlichkeitsstromdichten der SUSY-Kette 0
SUSY-Level 2
SUSY-Level 1
SUSY-Level 0
γ = 0.041
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
(a)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
(c)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
(e)
-6
-4
-2
0
x
Re [ψ]
Im [ψ]
2
4
6
|ψ|2
j
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
3
2
1
0
-1
-2
-3
(b)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
4
6
4
6
(d)
-6
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-4
-2
0
x
2
(f)
-6
-4
Q
∇~j
-2
0
x
2
Q − ∇~j
ρ̇
Abbildung 6.2.: Wellenfunktionen und Ströme vor dem exzeptionellen Punkt des ersten
Eigenwertpaares bei γ = 0.041: Die Wellenfunktionen der Grundzustände im nullten, ersten und zweiten SUSY-Level sind in den Abbildungen (a), (c) und (e) zu sehen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsstromdichten, Quellterme, sowie Terme aus der Kontinuitätsgleichung
des nullten, ersten und zweiten SUSY- Levels sind in den Abbildungen
∂|ψ|2
(b), (d) und
(f)
zu
erkennen.
Hierbei
ist
ρ̇
=
und der Quellterm
∂t
Q = 2 Im V (x) ρ.
37
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
γ nachvollziehbar ist. Daher ist auch ein stärkerer Fluss der Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Quelle zu Senke zu erkennen. Des Weiteren sind Gewinn und Verlust wie
bei γ = 0.03 aufgrund der PT -Symmetrie und des reellen Eigenwertes ausgeglichen.
Demnach lässt sich das Verhalten der stationären Wellenfunktionen wiederum durch die
symmetrische Verteilung der gleich starken Quellen und Senken, die einen symmetrischen Wahrscheinlichkeitsstrom hervorrufen, sowie der Ausgeglichenheit des gesamten
Gewinns und Verlusts des offenen Quantensystems erklären.
6.1.2. Verhalten der Systeme nach dem exzeptionellen Punkt
Nach dem exzeptionellen Punkt ist die PT -Symmetrie der Wellenfunktionen der SUSY-Level 0 und 1 gebrochen. Die Eigenwerte dieser beiden Wellenfunktionen sind in
diesem Fall nicht rein reell, sondern komplex. Daher sind diese Zustände nicht mehr
zeitlich konstant und es gilt ρ̇ 6= 0. Zudem kann in SUSY-Level 0 nicht mehr zwischen
einem Grund- und angeregten Zustand aufgrund des komplex konjugierten Eigenwertpaares unterschieden werden. Im SUSY-Level 2 wurde das erste Eigenwertpaar entfernt.
Dementsprechend hat der Grundzustand in diesem System einen reellen Eigenwert, welcher dem Eigenwert des zweiten angeregten Zustands von SUSY-Level 0 entspricht, und
es gilt ρ̇ = 0. Weiterhin ist das Potential dieses Systems PT -symmetrisch1 . Daraus und
aus dem reellen Eigenwert folgt, dass die Wellenfunktion ebenfalls PT -symmetrisch sein
muss.
In Abbildung 6.3 sind die Wellenfunktionen, Wahrscheinlichkeitsstromdichten, Quellterme, sowie Terme aus der Kontinuitätsgleichung für γ = 0.042 dargestellt. Die Wellenfunktionen der SUSY-Level 0 und 1 in Abbildung 6.3(a) und (c) sind nicht mehr PT symmetrisch, wohingegen die Wellenfunktion im SUSY-Level 2 weiterhin PT -Symmetrie
aufweist. Hierbei besitzt die Wellenfunktion aus SUSY-Level 0 einen Eigenwert mit positivem und die aus SUSY-Level 1 einen Eigenwert mit negativem Imaginärteil. Aus den
Abbildungen 6.3(b), (d) und (f) ist ersichtlich, dass die Kontinuitätsgleichung aufgrund
von ρ̇ = Q − ∇j in allen drei Systemen erfüllt ist. Da in den ersten beiden Systemen
keine zeitlich konstanten Zustände vorhanden sind, gilt dort nicht mehr ∇j = Q im
Gegensatz zu SUSY-Level 2.
In Abbildung 6.3(b) ist das zeitliche Verhalten der Wellenfunktion zum Zeitpunkt
t = 0 des Grundsystems zu sehen. Offensichtlich findet eine Zunahme der Aufenthaltswahrscheinlichkeit an den beiden Maxima der Wellenfunktion statt. Dies kann dadurch
begründet werden, dass Gewinn und Verlust des offenen Quantensystems aufgrund der
Asymmetrie der Wellenfunktion nicht mehr ausgeglichen sind. Daher wird mehr Wahrscheinlichkeit in das System überführt als abtransportiert. Der Quellterm Q(x) sowie die
Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(x) haben aufgrund der Asymmetrien der Wellenfunktionen keine Symmetrien mehr. Hierbei ist die Quelle auf der positiven x-Achse stärker
1
Der besonders interessierte Leser sei darauf verwiesen, dass die PT -Symmetrie des Potentials von SUSY-Level 2 nach dem exzeptionellen Punkt des ersten Eigenwertpaares nicht ganz trivial ersichtlich
ist. Ein analytischer Beweis befindet sich im Kapitel 7
38
6.1. Wahrscheinlichkeitsstromdichten der SUSY-Kette 0
SUSY-Level 2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
(b)
(a)
0.005
0.04
0.02
0
nur ρ̇
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0
-0.02
-0.04
-6
-4
-2
0
x
2
4
(c)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
(e)
-6
-4
-2
0
x
Re [ψ]
Im [ψ]
2
4
-6
6
6
|ψ|2
j
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-4
-2
0
x
2
4
6
-0.005
(d)
0.02
0.01
nur ρ̇
SUSY-Level 1
SUSY-Level 0
γ = 0.042
0
-0.01
-6
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-4
-2
0
x
2
4
6
-0.02
(f)
-6
-4
Q
∇~j
-2
0
x
2
4
6
Q − ∇~j
ρ̇
Abbildung 6.3.: Wellenfunktionen und Ströme nach dem exzeptionellen Punkt des ersten
Eigenwertpaares bei γ = 0, 042: Die Wellenfunktionen im nullten, ersten
und zweiten SUSY-Level sind in den Abbildungen (a), (c) und (e) zu sehen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsstromdichte, Quellterm, sowie
Terme aus der Kontinuitätsgleichung des nullten, ersten und zweiten
SUSY-Levels sind in den Abbildungen (b), (d) und(f) zu erkennen.
Hierbei ist ρ̇ = ∂|ψ|2 /∂t und der Quellterm Q = 2 Im V (x) ρ.
39
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
als die Senke auf der negativen x-Achse. Daraus resultiert ein stärkerer Fluss in der Nähe
der Quelle, was die Asymmetrie in der Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(x) hervorruft.
Des Weiteren ist zu erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit an der Quelle zum Zeitpunkt
t = 0 stärker zunimmt als an der Senke, da diese für eine Verlust von Wahrscheinlichkeit
sorgt.
In Abbildung 6.3(d) ist die zeitliche Entwicklung des Grundzustands von SUSY-Level
1 zum Zeitpunkt t = 0 zu sehen. Die Wahrscheinlichkeit im System nimmt aufgrund der
ungleichen Quellen- und Senkenverteilung ab. Die Senke ist offensichtlich stärker als die
Quelle, was zu einem Fluss von Wahrscheinlichkeit von Quelle zu Senke führt, welcher
an der Senke stärker ist als an der Quelle. Die Zu- und Abfuhr von Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist auch in diesem System nicht mehr ausgeglichen, da Asymmetrien des
Potentials und der Wellenfunktion in den Quellterm einhergehen.
In Abbildung 6.3(f) ist zu erkennen, dass das Betragsquadrat der Wellenfunktion ρ des
Grundzustands von SUSY-Level 2 zeitlich konstant ist. Die gezeigten Symmetrien von
j und Q in Abschnitt 6.1.1 sind in diesem System erhalten, da das erste Eigenwertpaar
durch den SUSY-Formalismus entfernt wurde. Für γ = 0.042 hat dieses System somit
reelle Eigenwerte und dadurch stationäre Zustände. Dementsprechend ist das stationäre
Verhalten des Grundzustands auf dieselben Symmetrien wie in Abschnitt 6.1.1 zurückzuführen.
In Abbildung 6.4 sind die Wellenfunktionen, Wahrscheinlichkeitsstromdichten, Quellterme, sowie Terme aus der Kontinuitätsgleichung für γ = 0.05 dargestellt. Die PT Symmetrie der Wellenfunktionen der ersten beiden SUSY-Level in Abbildungen 6.4(a)
und (c) ist gebrochen. Dabei hat die Wellenfunktion aus SUSY-Level 0 einen Eigenwert mit positivem und die aus SUSY-Level 1 einen Eigenwert negativem Imaginärteil.
Weiterhin besitzen beide Zustände komplexe Eigenwerte, wodurch sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten zeitlich verändern. Demnach gilt ρ̇ 6= 0 und ∇~j 6= Q, was in den
Abbildungen 6.4(b) und (d) zu sehen ist. Außerdem ist zu erkennen, dass die Kontinuitätsgleichung erfüllt ist, da ρ̇ = Q − ∇~j gilt. Des Weiteren ist die Grundzustandswellenfunktion des zweiten SUSY-Levels in Abbildung 6.4(e) PT -symmetrisch und hat einen
reellen Eigenwert. Daher gilt ρ̇ = 0 und ∇~j = Q, was in Abbildung 6.4(f) zu sehen ist.
Die Einhaltung der Kontinuitätsgleichung ist auch in diesem System zu erkennen.
Die Zeitentwicklung der Wellenfunktion mit negativen Imaginärteil des Eigenwertes
in SUSY-Level 0 in Abbildung 6.4(b) deutet daraufhin, dass die Amplitude der Wellenfunktion zeitlich abnimmt. Dies lässt sich durch die Senke auf der negativen x-Achse
erklären, denn diese ist stärker als die der Quelle auf der positiven x-Achse. Daher findet
eine Auskopplung von Wahrscheinlichkeit aus dem offenen Quantensystem statt. Aufgrund der ungleichen Quellen- und Senkenstärke ist die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
asymmetrisch und in der Nähe der Senke größer als in der Nähe der Quelle. Hierdurch
lässt sich ebenfalls die stärkere zeitliche Abnahme der Amplitude der Wellenfunktion in
der Nähe der Senke erklären.
Die Amplitude der Wellenfunktion mit positiven Imaginärteil des Eigenwertes in SU-
40
6.1. Wahrscheinlichkeitsstromdichten der SUSY-Kette 0
SUSY-Level 2
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
(a)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
(c)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
(e)
-6
-4
-2
0
x
Re [ψ]
Im [ψ]
2
4
6
|ψ|2
j
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
(b)
-6
-4
-2
0
x
2
4
(d)
6
0.06
0.03
nur ρ̇
SUSY-Level 1
SUSY-Level 0
γ = 0.05
0
-0.03
-6
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-4
-2
0
x
2
4
6
-0.06
(f)
-6
-4
Q
∇~j
-2
0
x
2
4
6
Q − ∇~j
ρ̇
Abbildung 6.4.: Wellenfunktionen und Ströme nach dem exzeptionellen Punkt des ersten Eigenwertpaares bei γ = 0.05: Die Wellenfunktionen im nullten, ersten und zweiten SUSY-Level sind in den Abbildungen (a), (c) und (e)
zu sehen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsstromdichten, Quellterme,
sowie Terme aus der Kontinuitätsgleichung des nullten, ersten und zweiten SUSY-Levels sind in den Abbildungen (b), (d) und (f) zu
erkennen.
Hierbei ist ρ̇ = ∂|ψ|2 /∂t und der Quellterm Q = 2 Im V (x) ρ.
41
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
SY-Level 1 nimmt mit der Zeit zu, was in Abbildung 6.4(d) zu sehen ist. Diese Zunahme lässt sich durch die stärkere Quelle erklären, denn dadurch wird in das System
mehr Wahrscheinlichkeit ein- als ausgeführt. Außerdem ist zu erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit von Quelle zu Senke fließt, wobei die Wahrscheinlichkeitsstromdichte an
der Quelle größer ist als an der Senke. Hierdurch resultiert eine leichte Asymmetrie der
Stromdichte.
Das Verhalten der stationären Grundzustandswellenfunktion in SUSY-Level 2 lässt
sich durch den Ausgleich des gesamten Gewinns und Verlusts erklären, denn die Quelle
ist genauso stark wie die Senke im System. Hierdurch resultiert eine symmetrische Wahrscheinlichkeitsstromdichte. Daher sind ebenfalls dieselben Symmetrien, die in Abschnitt
6.1.1 diskutiert wurden, vorhanden, welche zu einem stationären Zustand führen.
6.2. Erster angeregter Zustand in SUSY-Level 1
Der erste angeregte Zustand in SUSY-Level 1 hat per Konstruktion durch den SUSYFormalismus vor der Bifurkation einen reellen Eigenwert, welcher gegeben ist durch den
(0)
Eigenwert des zweiten angeregten Zustands im Grundsystem: (1)
1 = 2 . Das Potential
des Systems von SUSY-Level 1 ist wie die zugehörige Wellenfunktion des ersten angeregten Zustands des SUSY-Levels 1 nicht mehr PT -symmetrisch. Dennoch ist dieser
Zustand stationär mit reellem Eigenwert. Insofern soll nun die Quellen- und Senkenverteilung, sowie die Wahrscheinlichkeitsstromdichte dieses Zustands für die SUSY-Ketten
0 und 1 untersucht werden.
6.2.1. Gesamter Gewinn und Verlust bei asymmetrischen
Quelltermen
Um den oben erwähnten stationären Zustand zu erhalten, muss der gesamte Gewinn
und Verlust der Wahrscheinlichkeit im offenen Quantensystem ausgeglichen sein. Aufgrund der Asymmetrien im Potential und in der Wellenfunktion des SUSY-Levels 1
ist der Quellterm jedoch nicht mehr antisymmetrisch, wodurch die Voraussetzung zur
Erfüllung von Gleichung (6.9) nicht mehr gegeben ist. Daher können Symmetrien keine
Aussagen mehr über den gesamten Gewinn und Verlust der Aufenthaltswahrscheinlichkeit im System liefern. Allerdings kann gezeigt werden, dass der Ausgleich des gesamten
Gewinns und Verlusts, wie er in Gleichung (6.9) mathematisch formuliert ist, eine notwendige Bedingung für einen zeitlich konstanten Zustand darstellt. Hierzu soll nun zuerst
die Kontinuitätsgleichung allgemein für drei Dimensionen verwendet werden:
ρ̇ (~x) + ∇~j (~x) = Q (~x) .
42
(6.10)
6.2. Erster angeregter Zustand in SUSY-Level 1
Zuerst wird (6.10) über eine Kugel Ω mit endlichem Radius R integriert. Weiterhin kann
der Satz von Gauß für ∇~j angewandt werden:
ZZ
ZZZ
3
ˆ dA.
~j · ~n
∇~j d r =
(6.11)
Ω
∂Ω
ˆ der Einheitsvektor, der senkrecht auf der Kugeloberfläche steht, und dA
Hierbei ist ~n
das Oberflächenelement der Kugel. Wählen wir nun Ω → R3 , so gilt
ZZZ
ZZZ
3
ρ̇ (~x) d r =
Q (~x) d3 r,
(6.12)
R3
R3
wenn
ˆ |∂Ω = 0
lim R2 ~j · ~n
R→∞
(6.13)
erfüllt ist. Die Bedingung (6.13) vereinfacht sich im Eindimensionalen zu
lim j (x) = 0.
x→±∞
(6.14)
Dies ist in unserem Fall jedoch gegeben, denn die Forderungen an die Wellenfunktion
sind limx→±∞ ψ (x) = 0 und limx→±∞ ψ 0 (x) = 0. Dementsprechend gilt für beliebige2
Q (x):
Z
Z
Q(x) dx = ρ̇ dx.
(6.15)
R
R
Aus ρ̇ = 0 folgt nun Relation (6.9), welche die Ausgeglichenheit von Gewinn- und Verlust
in einem offenen Quantensystem beschreibt.
Schließlich sei noch angemerkt, dass eine notwendige Bedingung für die Konvergenz
des Integrals über Q(x) in (6.15)
2
lim Q(x) = lim 2 Im V (x) · ψ(x) = 0
x→±∞
x→±∞
(6.16)
ist. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion muss demnach für x → ±∞ stärker abfallen
als der Imaginärteil des Potentials ansteigt, um die Konvergenz von (6.16) zu sichern.
6.2.2. Untersuchung des ersten angeregten Zustands in
SUSY-Level 1
Um eine genaue Analyse des ersten angeregten Zustands im ersten SUSY-Level beider
SUSY-Ketten zu betreiben, wird Folgendes untersucht: Die Wellenfunktion ψ1(1) selbst
2
In diesem Zusammenhang sei erwähnt, dass Q(x) natürlich durch die Quadratintegrabilitätsforderung
an die Wellenfunktion ψ(x) eingeschränkt wird, ansonsten jedoch beliebig ist.
43
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
und das zugehörige Potential V1 , die Wahrscheinlichkeitsstromdichte ~j und Quellterme
Q(x), sowie die Ableitung der Stromdichte ∇~j, welche durch ihre Beschaffenheit einen
stationären Zustand verursacht.
In Abbildung 6.5 sind die Wellenfunktionen des ersten angeregten Zustands, Stromdichten, Quellterme, Terme aus der Kontinuitätsgleichung, sowie Potentiale der beiden
SUSY-Ketten des ersten SUSY-Levels zu sehen. Zuerst sollen die Wellenfunktionen und
Potentiale der beiden SUSY-Ketten untersucht werden.
Wellenfunktion und Potential
Die Wellenfunktion der SUSY-Kette 1 in Abbildung 6.5(d) lässt sich mit Hilfe des PT Operators und der Wellenfunktion der SUSY-Kette 0 in Abbildung 6.5(a) konstruieren:
Sei V1 das Potential der nullten und Ṽ1 das der ersten SUSY-Kette. Da das Potential
der SUSY-Kette 1 mit der Wellenfunktion ψ1(0) = PT ψ0(0) konstruiert wurde, gilt:
PT V1 = Ṽ1 .
(6.17)
Dies kann leicht gezeigt werden, indem die Konstruktionsvorschrift für das Potential
verwendet wird:


!2
(0) 00
(0) 0
2
(PT ψ0 ) 
(3.14) ~
0 )
2 −(PT ψ(0)
−
PT V1 =
(3.9) 2m
PT ψ0
PT ψ0(0)


!2
(0) 00
(0) 0
2
ψ
(3.17) ~
2 ψ1(0)
=
− 1(0) 
2m
ψ1
ψ1
= Ṽ1 .
Damit gilt ebenfalls
ˆ .
PT Ĥ1 = H̃
1
(6.18)
Nun kann auf die Schrödingergleichung des Hamiltonoperators H1 der PT -Operator
angewandt werden. Dabei resultiert die Schrödingergleichung
ˆ PT ψ (1) = (1) ∗ PT ψ (1) H̃
1
1
1
1
(6.19)
der SUSY-Kette 1. Damit kann der Zustand ψ1(1) der SUSY-Kette 0 in den Zustand
ψ̃0(1) = PT ψ1(1) der SUSY-Kette 1 mit Hilfe des PT -Operators überführt werden.
Demnach muss
h
i
(1) (1)
Re ψ1 (x) = Re ψ̃1 (−x),
(6.20)
h
i
Im ψ1(1) (x) = − Im ψ̃1(1) (−x)
(6.21)
44
6.2. Erster angeregter Zustand in SUSY-Level 1
V1 (x)
j(x), Q(x)
ψ1(1) (x)
SUSY-Kette 0
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
8
6
4
2
0
-2
-4
SUSY-Kette 1
(a)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
(b)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
(c)
-6
-4
-2
Re [ψ]
Im [ψ]
0
x
2
|ψ|2
j
4
6
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
8
6
4
2
0
-2
-4
Q
∇~j
(d)
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
2
4
6
4
6
(e)
-6
-4
-2
0
x
(f)
-6
-4
-2
Q − ∇~j
ρ̇
0
x
2
Re [V ]
Im [V ]
Abbildung 6.5.: Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsstromdichten des 1. angeregten Zustands im ersten SUSY-Level für beide SUSY-Ketten bei γ =
0.05: In den Abbildungen (a) und (d) sind die jeweiligen Wellenfunktionen, in Abbildungen (b) und (e) die Stromdichten, Quellterme, sowie
Terme aus der Kontinuitätsgleichung und in den Abbildungen (c) und
(f) die Potentiale der beiden SUSY-Ketten zu sehen.
45
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
gelten. Dies ist in den Abbildungen 6.5(a) und (d) zu erkennen, wenn die beliebig wählbare globale Phase einer Wellenfunktion berücksichtigt wird, denn nach einer Multiplikation von (-1) der Wellenfunktion in (d) sind die Symmetrien (6.20) und (6.21) erfüllt.
Weiterhin kann die Eigenschaft
in den Abbildungen 6.5(c)h und
h (6.17)
i
i (f) gesehen werden,
denn es gilt Re [V1 ] (x) = Re Ṽ1 (−x) und Im [V1 ] (x) = − Im Ṽ1 (−x).
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte ~j und Quellterme Q (x)
Der erste angeregte Zustand des ersten SUSY-Levels ist ein stationärer Zustand mit
reellem Eigenwert. Daher gilt ρ̇ = 0 und ∇~j = Q, was in den Abbildungen 6.5(b) und
(e) zu erkennen ist. Weiterhin ist die Kontinuitätsgleichung erfüllt, denn es gilt ρ̇ = Q −
∇~j = 0. Um die Quellen- und Senkenverteilung sowie die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
genauer zu untersuchen, sind diese in Abbildung 6.6 vergrößert dargestellt.
In Abbildung 6.6(c) ist die Quellen- und Senkenverteilung der SUSY-Kette 0 zu sehen.
In diesem System gibt es zwei Quellen und eine Senke. Quelle 1 ist schwächer als Senke
2 . Weiterhin ist die Quelle 3 viel schwächer als die beiden Terme 1 und 2 . Nach
Relation (6.15) sind Gewinn und Verlust im System ausgeglichen, da ρ̇ = 0. Daher muss
Quelle 3 genau den Beitrag an Aufenthaltswahrscheinlichkeit liefern, der Quelle 1 fehlt,
um die aus dem System durch Senke 2 ausgeführte Wahrscheinlichkeit auszugleichen.
Dementsprechend resultiert die Wahrscheinlichkeitsstromdichte in Abbildung 6.6(a), die
einen großen Fluss von Wahrscheinlichkeit von Quelle 1 nach Senke 2 , und einen
kleinen Fluss von Quelle 3 nach Senke 2 beschreibt.
Weiterhin ist eine leichte Asymmetrie der Stromdichte bezüglich der Quellen- und
Senkenverteilung zu erkennen: Die Stromdichte, die einen Fluss von Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Quelle 1 nach Senke 2 charakterisiert, fällt im Bereich der Senke 2
stärker ab als sie im Bereich der Quelle 1 ansteigt. Da ∇~j = Q im stationären Fall gilt,
ist diese Tatsache nicht verwunderlich, denn das stärkere Abfallen der Stromdichte ist
auf die stärkere Senke 2 zurückzuführen. Physikalisch kann dies so interpretiert werden:
Da Senke 2 zunehmend in diesem Gebiet Wahrscheinlichkeit aus dem System abführt,
ist letztendlich weniger Wahrscheinlichkeit übrig, welche fließen kann und dementsprechend einen Wahrscheinlichkeitsstrom hervorruft. Ebenso fällt die Stromdichte, die einen
Fluss von Quelle 3 nach Senke 2 beschreibt, im Bereich der Senke stärker ab als sie im
Bereich der Quelle ansteigt, da auch in diesem Bereich zunehmend Wahrscheinlichkeit
aus dem System gekoppelt wird.
Diese Abfuhr von Wahrscheinlichkeit wird durch die beiden Ströme, welche von den
beiden Quellen zur Senke fließen, ausgeglichen, da, wie bereits erwähnt, beide Quellen
genau den Beitrag an Aufenthaltswahrscheinlichkeit liefern, der durch die Senke abgeführt wird. Folglich führen genau diejenigen Ströme zu einem stationären Zustand, die
von Quelle 1 und 3 zu Senke 2 fließen und aus entgegengesetzten Richtungen genau
die Wahrscheinlichkeit liefern, die aus dem offenen Quantensystem durch Senke 2 abgeführt wird.
46
6.2. Erster angeregter Zustand in SUSY-Level 1
γ = 0.05
SUSY-Kette 1
SUSY-Kette 0
(a)
0.7
0.01
0.6
0.5
~j(x)
2
3
0.1
0.1
0
0
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
(c)
0.8
0.4
0
0.2
-0.01
0
2
3
-0.4
-2
-1
0
x
0
x
1
2
3
4
1
2
3
4
(d)
0.01
1
0
3
-0.6
2
-3
-1
0
-0.6
-4
-2
0.4 -0.01
-4 -3 -2
0.2
4
-0.2
-1
-3 -2
-3
0.6
-0.4
-0.8
-4
0.8
3
-0.2
-0.1
1
0.01
1
0.6
-0.01
0.3
0.2
-4
0
0.4
0.2
-0.1
Q(x)
0.5
-0.01
0.3
0.01
0.6
0
0.4
(b)
0.7
1
2
3
~j(x)
4
-0.8
2
-4
-3
-2
-1
0
x
Q(x)
Abbildung 6.6.: Wahrscheinlichkeitsstromdichte und Quellterm des ersten angeregten
Zustands ψ1(1) im SUSY-Level 1 für beide SUSY-Ketten bei γ = 0.05: In
den Abbildungen (a) und (b) sind die Wahrscheinlichkeitsstromdichten
und in den Abbildungen (c) und (d) die Quellterme für beide SUSYKetten zu sehen. Die schwächeren Quellterme und die jeweiligen betroffenen Bereiche der Wahrscheinlichkeitsstromdichte sind separat vergrößert dargestellt.
47
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
In Abbildung 6.6(d) ist die Quellen- und Senkenverteilung der SUSY-Kette 1 zu sehen. Es ist zu erkennen, dass in diesem System die Quelle 1 stärker ist als die Senke 2 .
Dies lässt sich jedoch auf das Potential der ersten SUSY-Kette zurückführen, welches
sich durch (6.17) aus der nullten SUSY-Kette ergibt. Weiterhin ist eine Senke 3 vorhanden, die allerdings viel schwächer als die beiden anderen Terme ist. Auch in diesem
System gilt ρ̇ = 0, wodurch nach Relation (6.15) der gesamte Gewinn und Verlust im
System ausgeglichen sind. Daher müssen Senke 2 und 3 die ins System von Quelle 1
eingeführte Aufenthaltswahrscheinlichkeit wieder aus dem System abführen. Des Weiteren ist in Abbildung 6.6(b) die Wahrscheinlichkeitsstromdichte der SUSY-Kette 1 zu
sehen. Hierbei ist ein stärkerer Strom von Quelle 1 nach Senke 2 und ein schwächerer
Strom von Quelle 1 nach Senke 3 zu erkennen.
Ferner ist eine Asymmetrie der Stromdichte bezüglich der Quellen- und Senkenverteilung wie in SUSY-Kette 0 vorhanden: Wegen ρ̇ = 0 gilt hier ebenfalls ∇~j = Q.
Aufgrund die unterschiedlichen Stärke der Quellterme steigt die Stromdichte im Bereich
der Quelle 1 stärker an, als sie im Bereich der Senken 2 und 3 abfällt. Physikalisch
bedeutet dies, dass Wahrscheinlichkeit zunehmend in das System eingeführt wird und
darum die Stromdichte im Bereich der Quelle 1 stärker ist. Dementsprechend resultieren Ströme, welche die von Quelle 1 in das System eingeführte Wahrscheinlichkeit
zu den beiden Senken transportieren, sodass ein Ausgleich des gesamten Gewinns und
Verlusts stattfindet und ein stationärer Zustand zustande kommt.
48
6.2. Erster angeregter Zustand in SUSY-Level 1
Die Ableitung der Stromdichte ∇~j
Damit ρ̇ = 0 gilt, muss für jeden x Wert die Divergenz der Stromdichte exakt gleich dem
Quellterm sein. Um hierfür eine tiefere
(1) Einsicht
iϕ(x) zu erlangen, soll die Wellenfunktion
(1)
(1)
ψ1 in der Darstellung ψ1 (x) = ψ1 (x) e
betrachtet werden. Hierzu wird dieser
Ausdruck in die analytische Form (6.4) eingesetzt:
"
#
(1) +iϕ ∂ 2 (1) −iϕ (1) −iϕ ∂ 2 (1) +iϕ i~
ψ1 · e
ψ1 · e
ψ1 · e
− ψ1 · e
.
∇~j =
2m
∂x2
∂x2
0.2
0.15
0.1
∇~j
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.64
-0.48
-0.32
-0.16
0.00
ϕ [π]
0.16
0.32
0.48
0.64
(a) ∇~j in Abhängigkeit der Phase der komplexen Wellenfunktion ψ1(1) bei γ = 0.03
0.8
0.6
0.4
∇~j
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-0.8
-0.6
-0.5
-0.3
-0.2
0.0
0.2
0.3
ϕ [π]
(b) ∇~j in Abhängigkeit der Phase der komplexen Wellenfunktion ψ1(1) bei γ = 0.05
Abbildung 6.7.: ∇~j in Abhängigkeit der
Phase ϕ ∈ (−π, π]
dichte. Diese Abhängigkeit ist in Abbildung
(6.22)
Es treten bei ∇~j Terme
von Ableitun
(1) gen des Betrags ψ1 und der Phase ϕ
auf. Die wichtigsten Beiträge hierfür liefern die Ableitungen der Phase ϕ, darum
wird ∇~j in Abhängigkeit der Phase ϕ betrachtet. In den Abbildungen 6.7(a) und
6.7(b) ist ∇~j in Abhängigkeit der Phase ϕ
für γ = 0.03 und γ = 0.05 in der nullten
SUSY-Kette aufgetragen.
In Abbildung 6.7(a) ist zu erkennen,
dass die Ableitung der Stromdichte eine antisymmetrische Funktion bezüglich
der Phase ist. Die Phase sorgt in diesem
Fall für den charakteristischen Verlauf der
Stromdichte, denn ϕ ist für den Vorzeichenwechsel der Stromdichte verantwortlich. Des Weiteren kann die vorliegende
Symmetrie auf das Potential V1 zurückgeführt werden, denn durch dieses sind PT symmetrische Wellenfunktionen möglich,
die symmetrische Phasenfunktionen ϕ (x)
haben.
In Abbildung 6.7(b) ist der Symmetriebruch der Phase zu erkennen: Wenn das
Potential V1 bei γ = 0.05 nicht mehr PT symmetrisch ist, dann sind die Wellenfunktionen nicht mehr symmetrisch. Folglich ist auch keine Symmetrie in der Phase dieser Wellenfunktionen zu erkennen.
Dementsprechend führt die Phase zu einem asymmetrischen Verlauf der Strom6.7(b) zu erkennen, denn ∇~j ist nun keine
49
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
antisymmetrische Funktion bezüglich der Phase ϕ mehr. Der Funktionswert von ∇~j ist
am Tiefpunkt betragsmäßig größer als der am Hochpunkt, was in Abbildung 6.5(b) zu
sehen ist. Diese Tatsache kann einerseits durch den asymmetrischen Verlauf der Stromdichte, hervorgerufen durch die asymmetrische
Phase, und andererseits durch den Ein
fluss des asymmetrischen Betrags ψ1(1) der Wellenfunktion erklärt werden. Des Weiteren
ist ∇~j in Abbildung 6.7(b) in einem kleinen Bereich, der zwischen 0.2π und 0.3π liegt,
keine injektive Funktion bezüglich ϕ mehr. Die Divergenz der Stomdichte ∇~j nimmt
zwei verschiedene Werte für dieselbe Phase an. Eine Konsequenz hiervon ist die Existenz der Quelle 3 in Abbildung 6.6, welche ebenfalls in ∇~j auftritt; denn wegen Q = ∇~j
nimmt ∇~j in diesem Bereich der Phase genau die Werte an, welche bei 3 auftreten.
Dementsprechend bewirkt die Phase der Wellenfunktion in ∇~j einen Ausgleich für den
Quellterm 3 , welcher bei Q(x) hingegen durch den Imaginärteil des Potentials V1 und
nicht durch die Wellenfunktion verursacht wird.
6.2.3. Diskussion numerischer Schwierigkeiten bei
Potentialkonstruktionen mittels SUSY-Formalismus
In den vorherigen beiden Kapiteln traten numerische Schwierigkeiten in der Berechnung
des Potentials des zweiten SUSY-Levels auf. Diese führen dazu, dass das Potential nicht
mehr PT -symmetrisch ist und Divergenzen aufweist. Dass dieses Potential letztendlich
PT -symmetrisch sein muss, wird im nächsten Kapitel gezeigt. Es sollen hier nun lediglich numerische Argumente für das Divergieren und die Asymmetrien des Potentials
diskutiert werden.
In Abbildung 6.8 sind der Imaginärteil des Potentials des zweiten SUSY-Levels, sowie Real- und Imaginärteil der Wellenfunktion zu sehen, aus der das Partnerpotential
konstruiert wird. Hierbei wurde eine Runge-Kutta-Schrittweite von ∆x = 10−4 und Integrationsgrenze von xmax = 5.8 verwendet.
Es ist deutlich zu erkennen, dass der Imaginärteil von V2 in der Nähe von ±xmax
divergiert und Asymmetrien aufweist. Dieses Verhalten kann auf das schnelle Abfallen
der Wellenfunktion ψ0(1) zurückgeführt werden, denn das Potential wird wie folgt aus
dieser konstruiert:


!2
(1) 0
(1) 00
2
ψ0
~ 
ψ
2
− 0(1)  .
(6.23)
V2 (x) =
(1)
2m
ψ0
ψ0
Für eine Lösung der fünf-dimensionalen Nullstellensuche wird gefordert, dass limx→±∞ ψ =
0. Jedoch werden für ψ 0 und ψ 00 keine Forderungen in der Nullstellensuche
2
gestellt. Daher
0
00
können je nach Qualität der Nullstellen die Terme ψ /ψ und ψ /ψ in Gleichung
(6.23) divergieren, wenn die Wellenfunktion ψ genügend abgefallen ist. Hierzu sei angemerkt, dass wenn sowohl ψ 0 ≈ 0 als auch ψ ≈ 0 sind, je nach Größenordnung der
beiden Terme ψ 0 /ψ divergieren kann. Dies kann beispielsweise genau dann der Fall
sein, wenn ψ 0 einige Größenordnungen größer als ψ ist, aber immer noch im numerischen
50
6.2. Erster angeregter Zustand in SUSY-Level 1
xmax = 5.8, ∆x = 10−4
0.4
1
0.3
0.5
0.1
0
0
ψ0(1)
Im [V2 ]
0.2
-0.1
-0.2
-0.5
-0.3
-0.4
-6
-5
-4
-3
Im [V2 ]
-2
-1
0
x
h
i
Re ψ1(0)
1
2
3
4
5
6
-1
h
i
Im ψ1(0)
Abbildung 6.8.: Imaginärteil des Potentials V2 und Wellenfunktion ψ0(1) des ersten SUSY-Levels bei γ = 0.3: Bei einer großen Schrittweite des Runge-KuttaVerfahrens treten unkontrollierbare Asymmetrien sowie Divergenzen
auf. Real- und Imaginärteil der Wellenfunktion sind im Bereich der Divergenzen nahe auf null abgefallen.
51
6. Wahrscheinlichkeitsstromdichten
Toleranzbereich der Null liegt.
Des Weiteren können Asymmetrien auftreten, welche beispielsweise durch einen Vorzeichenwechsel im Imaginärteil resultieren, wie es in Abbildung 6.8 für negative xWerte dargestellt ist. Dieser Vorzeichenwechsel kann auftreten, wenn vor xmax (ψ 0 /ψ)2 >
(ψ 00 /ψ) und nahe an xmax beispielsweise (ψ 0 /ψ)2 < (ψ 00 /ψ) aufgrund der stark abgefallenen Wellenfunktion gilt.
Eine weitere Ursache für Asymmetrien im Potential ist die Asymmetrie der Wellenfunktion des ersten SUSY-Levels. So ist die Wellenfunktion aufgrund ihrer Asymmetrie
auf der positiven x-Achse noch nicht so lange auf null abgefallen, wie sie es auf der
negativen x-Achse ist. Daher können die Divergenzen auf der negativen x-Achse früher auftreten als auf der positiven, was letztendlich zu einer Asymmetrie des Potentials
führt.
Ein weiteres Argument dafür, dass die Asymmetrie des Potentials durch numerische Ungenauigkeiten verursacht wird, ist, dass mit der Verringerung der Runge-KuttaSchrittweite ∆x Asymmetrien vor dem Divergieren des Potentials verschwinden und
bis zu einer größeren Integrationsgrenze xmax integriert werden kann, bis das Potential divergiert. Dies wird in Abbildung 6.9 ersichtlich, wobei hier eine Schrittweite von
∆x = 5 · 10−5 und eine Integrationsgrenze von xmax = 6.0 verwendet wurde.
Abschließend sei hier nun nochmals erwähnt, dass das Potential des zweiten SUSYLevels PT -symmetrisch sein muss. Daher ist dies wohl das wichtigste Argument dafür,
dass die Asymmetrie des Potentials durch numerische Ungenauigkeiten zustande kommt.
Dementsprechend sollte der tatsächliche Verlauf des Potentials in den Abbildungen 6.9
und 6.8 so sein, dass der Imaginärteil des Potentials im Unendlichen auf Null abfällt.
Weiterhin sei darauf verwiesen, dass der Realteil des Potentials ebenfalls durch die
numerischen Ungenauigkeiten beeinflusst wird. Allerdings ist dies ohne Vergleich mit
einer alternativen Konstruktionsmethode für V2 nicht erkennbar, da das Potential für x
gegen Unendlich ohnehin divergiert und PT -symmetrisch ist. Jedoch kann eine alternative analytische Form des Potentials des zweiten SUSY-Levels hergeleitet werden, mit
der es möglich ist, eine numerisch stabilere Form des Potentials zu erhalten. Dies soll
nun im nächsten Kapitel gezeigt werden.
52
6.2. Erster angeregter Zustand in SUSY-Level 1
xmax = 6.0, ∆x = 5 · 10−5
0.4
1
0.3
0.5
0.1
0
0
ψ0(1)
Im [V2 ]
0.2
-0.1
-0.2
-0.5
-0.3
-0.4
-6
-5
-4
-3
Im [V2 ]
-2
-1
0
x
h
i
Re ψ1(0)
1
2
3
4
5
6
-1
h
i
Im ψ1(0)
Abbildung 6.9.: Imaginärteil des Potentials V2 und Wellenfunktion ψ0(1) des ersten SUSY-Levels bei γ = 0.3: Bei einer kleineren Schrittweite des RungeKutta-Verfahrens kann eine größere Integrationsgrenze gewählt werden,
sodass Asymmetrien vor dem Divergieren des Potentials verschwinden.
Real- und Imaginärteil der Wellenfunktion sind im Bereich der Divergenzen fast auf null abgefallen.
53
7. PT -Symmetrie des zweiten
SUSY-Levels mit
PT -symmetrischem Grundsystem
In der Bachelorarbeit von Cedric Sommer [8] wurde das PT -symmetrische Potential
des zweiten SUSY-Levels numerisch berechnet. Des Weiteren wurde in dieser Arbeit
herausgefunden, dass dieses Potential für beide SUSY-Ketten 0 und 1 exakt gleich ist
und sogar eine ähnliche Form wie das Potential des Grundsystems hat. Im Folgenden
soll nun analytisch gezeigt werden, dass das Potential des zweiten SUSY-Levels PT symmetrisch und für beide SUSY-Ketten exakt gleich sein muss. Weiterhin werden
die daraus resultierenden Konsequenzen für SUSY-Ketten, deren Grundsystem PT symmetrisch ist, diskutiert.
7.1. PT -Symmetrie des Potentials in der nullten
SUSY-Kette
Die Schrödingergleichungen der drei SUSY-Level der SUSY-Kette 0 lauten:
00
2m
ψ0(0)
= 2 V0 − (0)
,
0
(0)
~
ψ0
00
ψ0(1)
2m
= 2 V1 − (1)
,
0
(1)
~
ψ0
00
ψ0(2)
2m
= 2 V2 − (2)
.
0
(2)
~
ψ0
(7.1)
(7.2)
(7.3)
55
7. PT -Symmetrie des zweiten SUSY-Levels mit PT -symmetrischem Grundsystem
Die Potentiale der zwei Partnersysteme werden durch den SUSY-Formalismus wie folgt
konstruiert:

!2
!
(0) 0
(0) 00
2
ψ0
~ 
ψ0
,
2
V1 (x) =
(7.4)
−
(0)
2m
ψ0
ψ0(0)

!2
!
(1) 0
(1) 00
2
ψ0
~ 
ψ0
.
2
V2 (x) =
(7.5)
−
(1)
2m
ψ0
ψ0(1)
Da der SUSY-Formalismus zur Entfernung eines Zustands nur bei exakter Supersymmetrie angewandt werden kann, muss das Spektrum des Systems vor der Konstruktion
des Partnerpotentials um die Grundzustandsenergie verringert werden. Die Wellenfunktion wird durch eine Verschiebung des Spektrums nicht beeinflusst. Dementsprechend
ist das resultierende Spektrum des Partnersystems genau um die Grundzustandsenergie
des Grundsystems verschoben. Daher gilt für die neuen Eigenwerte der beiden Partnersysteme in (7.2) und (7.3):
(0)
(0)
(1)
0 = 1 − 0 ,
(0)
(0)
(2)
0 = 2 − 1 .
(7.6)
(7.7)
Nun wird (7.1) in (7.4) eingesetzt und wir erhalten für das Potential V1 folgende Form:
!
0 2
~2 ψ0(0)
− V0 (x) + (0)
(7.8)
V1 (x) =
0 .
(0)
m ψ0
00
Weiterhin kann (7.2) in Gleichung (7.5) eingesetzt werden, um ψ0(1) /ψ0(1) aus (7.5) zu
ersetzen. Hierbei wird für V1 in (7.2) der Ausdruck in (7.8) verwendet. Damit erhalten
wir folgenden Ausdruck für das Potential des zweiten SUSY-Levels:
!
0 2
2
ψ0(1)
(7.5) ~
V2 (x) =
+ (1)
0 − V1 (x)
(7.2) m
ψ0(1)

!2
!2 
(1) 0
(0) 0
2
ψ0
(7.8) ~
(0)
 ψ0(1)
 + V0 (x) + (0)
=
−
1 − 20 .
(7.6) m
ψ0
ψ0(0)
Nun muss, wie bereits bisher in dieser Arbeit, die Energieverschiebung, die durch die
exakte Supersymmetrie entsteht, rückgängig gemacht werden. Mit Hilfe von (7.7) kann
der Eigenwert (2)
0 in (7.3) durch Eigenwerte des SUSY-Level 0 ausgedrückt werden. Nun
soll der Grundzustand ψ0(2) des SUSY-Levels 2 den Eigenwert (0)
2 besitzen, daher muss
dem Potential V2 (x) der Eigenwert (0)
addiert
werden:
1
(7.3)
Ṽ2 (x) = V2 (x) + (0)
1 .
(7.7)
56
(7.9)
7.1. PT -Symmetrie des Potentials in der nullten SUSY-Kette
Hierbei ist Ṽ2 (x) nun das Potential des zweiten SUSY-Levels, das dasselbe Spektrum
besitzt, jedoch ohne das erste Eigenwertpaar des Grundsystems.
Jetzt sollen die Grundzustandswellenfunktion des ersten SUSY-Levels ψ0(1) und deren
0
Ableitung ψ0(1) aus dem Potential (7.9) durch die Wellenfunktionen ψ0(0) und ψ1(0) aus dem
SUSY-Level 0 sowie deren ersten und zweiten Ableitungen ausgedrückt werden. Dies
kann mittels Anwendung des B̂ − -Operators erreicht werden:
1
(7.10)
ψ0(1) = p (1) B̂ − ψ1(0) ,
0
1
∂
0
p (1) B̂ − ψ1(0) ,
(7.11)
ψ0(1) =
∂x 0
0
(0)
∂
ψ0
1
~
~
−
.
wobei B̂ = √2 W (x) + √m
mit W (x) = − √m
(0)
ψ0
∂x
0
Nun kann mit (7.10) und (7.11) der Ausdruck ψ0(1) /ψ0(1) in (7.9) ersetzt werden und wir
erhalten
0 2
(0)
(0) 00
(0) 00
(0) 0 (0) 0
ψ0
ψ
ψ
ψ
ψ
+ 1(0) − 0(0) − 0(0) 1(0)
(0)
(1) 0
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ1
ψ0
0
1
0
0
.
(7.12)
=
0
0
(0)
(0)
ψ0
ψ1
ψ0(1)
−
(0)
(0)
ψ1
ψ0
Die Gleichung (7.12) wird in (7.9) eingesetzt und nach Ausmultiplizieren und Vereinfachen gilt
!
!
 ψ (0) 0 ψ (0) 0 2 ψ (0) 0 ψ (0) 0
ψ0
~ 1
ψ1
0
− (0)
− 1(0)
+ 0(0) 1(0) −
Ṽ2 (x) =
2
 ψ0(0)
m κ2
ψ1(0)
ψ0
ψ1
ψ0 ψ1
! #
00 2
00
ψ0(0)
ψ1(0)
(0)
− (0)
+ V0 (x) + 2 (0)
.
+
1 − 0
(0)
ψ1
ψ0
"
2
(0) 00
(0) 00
(0) 0
ψ1
ψ1(0)
!2 


(7.13)
0
0
Hierbei ist κ = ψ0(0) /ψ0(0) − ψ1(0) /ψ1(0) . Nun können die Schrödingergleichungen der beiden
Wellenfunktion aus dem SUSY-Level 0 verwendet werden, um
!
00
00
ψ1(0)
ψ0(0)
2m (0)
(0)
−
=
−
(7.14)
1
~2 0
ψ1(0)
ψ0(0)
zu erhalten. Gleichung (7.14) wird nun in (7.13) eingesetzt und nach Vereinfachung des
Terms erhalten wir einen alternativen Ausdruck für Ṽ2 (x), der nur von Termen der
Wellenfunktionen aus dem Grundsystem abhängt:

!

0 2
2 0 − 1
ψ0(0)
Ṽ2 (x) = 0
−
2
(0)
(0) 0
 ψ0(0)
ψ0
ψ1
(0) −
(0)
(0)
ψ0
(0)
ψ1
(0) 0
ψ1
ψ1(0)
!2


2m
(0)
+ 2 (0)
−
+ V0 (x) . (7.15)
0
1

~
57
7. PT -Symmetrie des zweiten SUSY-Levels mit PT -symmetrischem Grundsystem
Das Potential Ṽ2 (x) in (7.15) wird nun auf PT -Symmetrie untersucht. Vor dem
exzeptionellen Punkt des ersten Eigenwertpaares ist das Potential offensichtlich PT (0)
symmetrisch, denn die Eigenwerte (0)
0 und 1 sind rein reell und die Wellenfunktionen
(0)
(0)
ψ0 und ψ1 , sowie das Potential V0 (x) sind PT -symmetrisch. Nach dem exzeptionellen
Punkt hingegen ist die PT -Symmetrie nicht mehr offensichtlich. Um diese zu zeigen,
muss folgende Eigenschaft der Wellenfunktionen komplex konjugierter Eigenwerte aus
dem PT -symmetrischen Grundsystem verwendet werden:
PT ψ0(0) = ψ1(0) .
(7.16)
(0)
Des Weiteren sind die Eigenwerte (0)
0 und 1 nach dem exzeptionellen Punkt komplex
konjugiert zueinander, daher ist die Differenz beider rein imaginär:
4m
(0) 2m (0)
(0)
−
=
Im
0 i.
0
1
~2
~2
(7.17)
Nun soll der PT -Operator auf Ṽ2 angewandt werden:
−4 Im (0)
i
0
(7.17)
PT Ṽ2 (x) = (3.9)
(0) 0
−(PT ψ0 )
(0)
PT ψ0
−
(0) 0
−(PT ψ1 )
(0)
PT ψ1
2
(
)
(0) 4m
− 2 Im 0 i + PT V0 (x)
~
!
(0) 
0 2
−4
Im
0 i  ψ1(0)
(7.16)
−
= 0
2
(0)
(0) 0
 ψ1(0)
ψ1
ψ0
(0) −
(0)
ψ1
ψ0

!
(0) 0 2
4 Im 0 i  ψ0(0)
= 0
−
2
(0)
(0) 0
 ψ0(0)
ψ0
ψ1
(0) −
(0)
ψ0
= Ṽ2 (x) .
ψ1
0
−(PT ψ0(0) )
PT ψ0(0)
(0) 0
ψ0
ψ0(0)
(0) 0
ψ1
ψ1(0)
!2
!2
!2
−
0
−(PT ψ1(0) )
PT ψ1(0)
!2


4m
(0)
− 2 Im 0 i + V0 (x)

~


4m
i + V0 (x)
+ 2 Im (0)
0

~
(7.18)
Damit ist gezeigt, dass Ṽ2 vor und nach dem exzeptionellen Punkt des entfernten Eigenwertpaares PT -symmetrisch ist. Dies ist letztendlich auf Eigenschaft (7.16) des PT symmetrischen Grundsystems zurückzuführen, aber auch auf die besondere Form des
Potentials in (7.15). Das Potential Ṽ2 (x) kann auch als Funktion F ψ0(0) , ψ1(0) der beiden Wellenfunktionen aus dem Grundsystem aufgefasst werden,
welche invariant
unter
Vertauschung ihrer Argumente1 ist, d.h. es gilt F ψ1(0) , ψ0(0) = F ψ0(0) , ψ1(0) . In diesem
Fall bewirkt der PT -Operator genau eine solche Vertauschung der Argumente vom F.
1
Hierzu muss Gleichung (7.14) verwendet werden, damit die Eigenwerte ebenfalls vertauscht werden.
58
7.2. PT -Symmetrie des Potentials der ersten SUSY-Kette
7.2. PT -Symmetrie des Potentials der ersten
SUSY-Kette
Die Schrödingergleichungen der Systeme für die erste SUSY-Kette, in welcher der erste
angeregte Zustand des Grundsystems entfernt wird, lauten:
00
ψ1(0)
2m
(0)
V
−
,
=
0
1
~2
ψ1(0)
00
2m
ψ0(1)
= 2 V1 − (1)
,
0
(1)
~
ψ0
00
2m
ψ0(2)
.
= 2 V2 − (2)
0
(2)
~
ψ0
(7.19)
(7.20)
(7.21)
Hierbei gilt entsprechend (7.6) und (7.7) für die Eigenwerte der SUSY-Level 1 und 2:
(0)
(0)
(1)
0 = 0 − 1 ,
(0)
(0)
(2)
0 = 2 − 0 .
(7.22)
(7.23)
Die Potentiale der ersten SUSY-Kette werden wie folgt konstruiert:

!2
!
(0) 00
(0) 0
2
~ 
ψ1
ψ1
,
V1 (x) =
−
2
(0)
2m
ψ1
ψ1(0)

!2
!
(1) 00
(1) 0
2
~ 
ψ0
ψ0
.
V2 (x) =
−
2
(1)
2m
ψ0
ψ0(1)
(7.24)
(7.25)
Nun können, wie zuvor in der SUSY-Kette 0, die Schrödingergleichungen (7.19) bis
(7.21) verwendet werden, um Terme der Form ψ 00 /ψ in (7.24) und (7.25) zu ersetzen.
(2)
Weiterhin sollen nun die Eigenwerte (1)
0 und 0 in den entsprechenden Schrödingergleichungen ersetzt werden. Dementsprechend kann V2 wie bei der SUSY-Kette 0 durch die
beiden Wellenfunktionen ψ0(1) und ψ1(0) ausgedrückt und um den Eigenwert (0)
0 verschoben werden, um dasselbe Spektrum des Grundsystems ohne das erste Eigenwertpaar zu
erhalten. Damit ergibt sich für das Potential Ṽ2 (x) = V2 (x) + (0)
0 der SUSY-Kette 1:

!2
!2 
(1) 0
(0) 0
2
ψ1
~  ψ0
(0)
(0)

Ṽ2 (x) =
−
+
V
(x)
+
2
−
.
(7.26)
0
0
1
m
ψ0(1)
ψ1(0)
Als Nächstes wird mit
~
B̂ − = √
2m
0
ψ1(0)
∂
− (0) +
∂x
ψ1
!
(7.27)
59
7. PT -Symmetrie des zweiten SUSY-Levels mit PT -symmetrischem Grundsystem
p die Wellenfunktion ψ0(1) mittels 1/ (0)
B̂ − ψ1(0) = ψ0(1) in Terme der Wellenfunktionen
1
aus dem Grundsystem ausgedrückt. Hiermit ergibt sich:
0 2
(0) 00
(0) 00
(0) 0
(0) 0
(0)
ψ0
ψ1
ψ1
ψ0
ψ1
+
−
−
·
0
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
ψ1
ψ0
ψ1
ψ1
ψ0
ψ0(1)
.
(7.28)
=
(0) 0
(0) 0
ψ1
ψ0
ψ0(1)
(0) −
(0)
ψ0
ψ1
Nun kann (7.28) in (7.26) eingesetzt werden und nach Vereinfachung erhalten wir:
"
!
!2
!2 


(0) 0
(0) 00
(0) 00
(0) 0
(0) 0
(0) 0
(0) 0
2
ψ0
ψ1
ψ0
ψ1
ψ0
~ 1
ψ0 ψ1
−
2
−
−
−
Ṽ2 (x) =
+
m κ2
ψ1(0)
ψ0(0)  ψ0(0)
ψ1(0)
ψ0(0) ψ1(0)
ψ0(0) 
!2 #
(0) 00
(0) 00
ψ
ψ1
(0)
− 0(0)
+ V0 (x) + 2 (0)
,
(7.29)
+
0 − 1
(0)
ψ1
ψ0
0
0
wobei κ = ψ0(0) /ψ0(0) − ψ1(0) /ψ1(0) ist. Es gilt auch in SUSY-Kette 1 (7.14). Dementsprechend kann (7.14) in (7.29) eingesetzt werden. Nach Vereinfachung hat das Potential Ṽ2
folgende Form:

!2
!2

(0)
(0)

(0) 0
(0) 0

2 − 1
ψ0
ψ1
2m (0)
(0)
Ṽ2 (x) = 00
−
+
+ V0 (x) . (7.30)
−
2
1
(0)
(0) 0
 ψ0(0)

~2 0
ψ1(0)
ψ0
ψ1
(0) −
(0)
ψ0
ψ1
Dies ist exakt das Potential (7.15), welches in SUSY-Kette 0 erhalten werden konnte.
Folglich spielt die Reihenfolge der Entfernung von komplex konjugierten Eigenwerten bei
PT -symmetrischen Grundsystemen für das Potential, bei welchem das Eigenwertpaar
entfernt wurde, keine Rolle. Dies wurde in [8] numerisch für das Doppelmuldenpotential
bereits gezeigt.
In den vorherigen Beweisen ist die Anforderung an das Potential lediglich die PT Symmetrie. Daher gilt allgemein, dass nach dem Entfernen eines Eigenwertpaares in
einem PT -symmetrischen Potential mit Hilfe des Supersymmetrieformalismus das entsprechend konstruierte Potential ebenfalls PT -symmetrisch und unabhängig von der
Reihenfolge der Entfernung beider Eigenwerte ist. Demnach können SUSY-Ketten mit
PT -symmetrischen Grundsystemen gebildet werden, deren SUSY-Level, bei welchen
komplex konjugierte Eigenwertpaare entfernt wurden, jeweils PT -symmetrisch sind.
7.3. Unabhängigkeit von der globalen Phase der
Wellenfunktion
Die Konstruktion eines Potentials mittels Supersymmetrie-Formalismus ist unabhängig
0
von der globalen Phase einer Wellenfunktion ψ, denn bei Termen der Form ψψ kürzt sich
60
7.3. Unabhängigkeit von der globalen Phase der Wellenfunktion
diese weg. Dies ist auch in der alternativen Form des Potentials im zweiten SUSY-Level
in Gleichung (7.15) der Fall.
Die Anfangsbedingung ψ(0) der Wellenfunktion legt ihre globale Phase fest. Ferner wird mit dieser Festlegung der Eigenwert der Wellenfunktion bezüglich des PT Operators bestimmt. Wie bereits gezeigt, liegt exakte PT -Symmetrie vor, wenn ψ(0) rein
reell gewählt wird, d.h. der Realteil der Wellenfunktion ist eine gerade, der Imaginärteil
eine ungerade Funktion. Wird nun eine rein imaginäre Anfangsbedingung gewählt, so
ist der Realteil eine ungerade und der Imaginärteil dagegen eine gerade Funktion. Um
dies zu zeigen, nehmen wir wieder die Form (6.7) für die Wellenfunktion an. Demnach
gilt für eine Eigenfunktion ψ des PT -Operators mit rein imaginärer Anfangsbedingung:
PT ψ|x=0 = −ψi (0)i = eiϕ ψi (0)i
⇒ϕ=π
⇒ PT ψ = ψr (−x) − ψi (−x)i = −ψr (x) + ψi (x)i
⇒ ψr (x) = −ψr (−x) ∧ ψi (x) = ψi (−x) .
(7.31)
Für eine allgemeine Phase sind keine Symmetrien des Real- und Imaginärteils der
Wellenfunktion zu sehen. Allerdings ist |ψ|2 für eine Eigenfunktion des PT -Operators
immer eine gerade Funktion, denn es gilt:
2
|PT ψ|2 = eiϕ ψ = |ψ|2
⇒ ψr2 (x) + ψi2 (x) = ψr2 (−x) + ψi2 (−x).
(7.32)
7.3.1. Konstruktion des Potentials durch Wellenfunktion des ersten
SUSY-Levels
In Abbildung 7.1(a) und (c) sind die Wellenfunktionen der ersten beiden SUSY-Level
mit einer rein imaginären Anfangsbedingung zu sehen. Es ist ersichtlich, dass der Realteil eine ungerade und der Imaginärteil eine gerade Funktion ist, wie in (7.31) gezeigt.
Weiterhin sind in Abbildung 7.1 (b) und (d) die Wellenfunktionen der ersten beiden
SUSY-Level für eine beliebige komplexe Anfangsbedingung zu sehen. Hierbei sind keine Symmetrien im Real- und Imaginärteil der Wellenfunktion zu sehen, jedoch ist das
Betragsquadrat der Wellenfunktionen, wie in (7.32) gezeigt, eine gerade Funktion.
Mit den Wellenfunktionen des ersten SUSY-Levels in Abbildung 7.1(c) und (d) kann
das Potential V2 generiert werden. Dieses, ist wie bereits erwähnt, für beliebige Phasen
exakt dasselbe, was in den Abbildungen 7.2(a) und (b) zu erkennen ist. Hierbei ist zum
Vergleich auch das Potential V̂2 zu sehen, welches aus der exakt PT -symmetrischen Wellenfunktion konstruiert wurde. Es ist lediglich eine kleine Abweichung des Potentials V2
von V̂2 für Werte von x, die in der Nähe der Integrationsgrenzen liegen, zu erkennen. Diese
Abweichungen sind jedoch auf die bereits diskutierten numerischen Ungenauigkeiten, die
durch das starke Abfallen der Wellenfunktion ψ0(1) verursacht werden, zurückzuführen.
61
7. PT -Symmetrie des zweiten SUSY-Levels mit PT -symmetrischem Grundsystem
γ = 0.03
ψ(0) ∈ C
ψ(0) ∈ iR
(a)
0.5
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Grundzustand ψ0(0)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
(b)
-6
-4
-2
1. angeregter Zustand ψ0(1)
(c)
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
2
4
6
(d)
0.8
-0.8
0
x
2
Re [ψ]
4
6
-0.8
Im [ψ]
-6
-4
-2
0
x
|ψ|2
Abbildung 7.1.: Wellenfunktionen der ersten beiden SUSY-Level mit rein imaginären
Anfangsbedingungen (a), (c) und allgemeinen komplexen Anfangsbedingungen (b), (d) bei γ = 0.03: Bei rein reellen oder imaginären Anfangsbedingungen sind Symmetrien im Real- und Imaginärteil ersichtlich, wohingegen dies bei allgemein komplexen Anfangsbedingungen nicht der
Fall ist. Allerdings ist |ψ|2 in allen Fällen eine gerade Funktion, wenn ψ
PT -Symmetrie aufweist.
62
7.3. Unabhängigkeit von der globalen Phase der Wellenfunktion
ψ(0) ∈ C
ψ(0) ∈ iR
(a)
0.1
11
10
0.05
7
0
6
5
-0.05
4
Re[V (x)]
8
0.05
9
Im[V (x)]
Re[V (x)]
0.1
10
9
3
(b)
8
7
0
6
5
Im[V (x)]
11
-0.05
4
-0.1
3
Im [V2 ]
Re[Vˆ2 ]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
Re [V2 ]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-0.1
Im[Vˆ2 ]
Abbildung 7.2.: Potentiale V2 des zweiten SUSY-Levels mit rein imaginären Anfangsbedingungen (a) und allgemein komplexen Anfangsbedingungen (b)
der Wellenfunktionen. Hierbei ist V̂2 das Potential des zweiten SUSYLevels, welches mit den exakt PT -symmetrischen Wellenfunktionen generiert wurde.
63
7. PT -Symmetrie des zweiten SUSY-Levels mit PT -symmetrischem Grundsystem
(a) Im [] < 0
(b) Im [] > 0
0.6
0.6
0.4
ψ1(0) (x)
ψ0(0) (x)
0.4
0.2
0
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.2
-6
-4
-2
0
x
2
Re [ψ]
4
6
Im [ψ]
-0.6
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
|ψ|2
Abbildung 7.3.: Zustand mit negativem (a) und positivem (b) Imaginärteil des Eigenwerts im SUSY-Levels 0 bei γ = 0.05 mit jeweils verschiedenen globalen
Phasen.
7.3.2. Konstruktion des Potentials durch Wellenfunktion des
nullten SUSY-Levels
Eine alternative Form (7.12) zur Konstruktion des Potentials des zweiten SUSY-Levels
kann mit den Zuständen des ersten komplex konjugierten Eigenwertpaares des Grundsystems erhalten werden. Diese Form zur Konstruktion ist ebenfalls unabhängig von
der globalen Phase der beiden Wellenfunktionen, dementsprechend können sogar zwei
unterschiedliche Phasen zur Berechnung des Potentials verwendet werden. Die beiden
Wellenfunktionen, die zur Konstruktion des Potentials V 2 in Abbildung 7.4 verwendet
wurden, sind in den Abbildungen 7.3(a) und 7.3(b) zu sehen. Es ist zu erkennen, dass
die beiden Wellenfunktionen zwei verschiedene globale Phasen besitzen, da sie unterschiedliche Anfangsbedingungen erfüllen. Trotz der beiden unterschiedlichen Phasen der
Wellenfunktionen stimmt das Potential V 2 , welches gemäß (7.15) berechnet wurde, mit
Potential V2 , welches mit der Wellenfunktion aus SUSY-Level 1 konstruiert wurde, bis
auf die numerischen Abweichungen für große x in der Nähe der Integrationsgrenze überein.
Die Abweichung ist, wie bereits im Kapitel der numerischen Diskussion behandelt, auf
das schnelle Abfallen der Wellenfunktion ψ0(1) des ersten SUSY-Levels zurückzuführen.
Dementsprechend divergiert das Potential V2 schon für x = ±4 im Gegensatz zu V 2 .
Da die Wellenfunktionen in Abbildungen 7.3(a) und 7.3(b) bei x = ±4 erst anfangen
gegen null zu konvergieren, divergiert das Potential V 2 in diesem Bereich noch nicht.
64
7.3. Unabhängigkeit von der globalen Phase der Wellenfunktion
0.2
10
0.15
9
0.1
8
0.05
7
0
6
-0.05
5
-0.1
4
-0.15
3
-6
-4
-2
Re[V 2 ]
0
x
Im[V 2 ]
2
Re [V2 ]
4
6
Im [V ]
Re [V ]
γ = 0.05
11
-0.2
Im [V2 ]
Abbildung 7.4.: Vergleich der beiden Potentiale, die durch unterschiedliche Wellenfunktionen konstruiert wurden: Das Potential V 2 wurde mit Wellenfunktionen des Grundsystems gemäß (7.15) berechnet, wohingegen V2 mit der
Grundzustandswellenfunktion des ersten SUSY-Levels konstruiert wurde. Die Abweichungen ab x = ±4 sind aufgrund der Wellenfunktion des
ersten SUSY-Levels vorhanden, da diese ab diesem Bereich stark auf
null abgefallen ist.
65
7. PT -Symmetrie des zweiten SUSY-Levels mit PT -symmetrischem Grundsystem
Folglich stellt in diesem Fall (7.15) die numerisch stabilere Methode dar. Weiterhin ist
hier nun der Einfluss der numerischen Ungenauigkeit auf den Realteil des Potentials V2
zu erkennen, denn dieser steigt aufgrund der divergierenden Terme stärker an als der
des Potentials V 2 , welches durch die numerisch stabilere Methode konstruiert wurde.
66
8. Asymmetrische Potentiale mit
reellen Eigenwerten
In den vorherigen Kapiteln wurden PT -symmetrische Potentiale und deren SUSYPartner behandelt. Es konnte durch Entfernen eines Zustands mit komplexem Eigenwert
der Doppelmulde ein asymmetrisches Potential mittels Supersymmetrieformalismus konstruiert werden. Dieses System und dessen Grund- und erster angeregter Zustand wurden
in Kapitel 6 untersucht. Es enthält ein asymmetrisches Potential mit einem komplexen
Eigenwert und ansonsten reellen Eigenwerten.
In [12] wurde eine Methode eingeführt, um Potentiale mit beliebigem Imaginärteil,
die reelle oder komplex konjugierte Eigenwertpaare besitzen, zu konstruieren. Hierbei
können aufgrund der Beliebigkeit des Imaginärteils asymmetrische Potentiale generiert
werden. Nun stellt sich die Frage, ob sich das asymmetrische Potential, welches in dieser
Arbeit behandelt wurde, in die vorgestellten Klassen von Potentialen aus [12] einordnen
lässt.
Zunächst werden hierfür die in [12] vorgestellte Konstruktionsmethode und die daraus
herleitbaren Klassen von Potentialen behandelt. Um Aussagen über das asymmetrische
Potential, das in dieser Arbeit untersucht wurde, bezüglich der Einordnung in die jeweiligen Klassen zu treffen, werden die Klassen von Potentialen in Verbindung mit dem
Supersymmetrieformalismus gebracht. Schließlich kann untersucht werden, ob sich das
asymmetrische Potential in eine der Klassen einordnen lässt.
8.1. Konstruktionsmethode
Die grundlegende Annahme zur Konstruktion von Potentialen mit reellen oder komplex
konjugierten Eigenwerten in [12] liegt darin, dass zu einem Hamiltonoperator Ĥ ein
Operator η̂ existiert, welcher folgende Bedingung erfüllt:
η̂ Ĥ = Ĥ ∗ η̂.
(8.1)
Wenn nun solch ein Operator η̂ existiert und angenommen wird, dass ψ ein beliebiger
Eigenzustand mit Eigenwert ist, d.h.
Ĥψ = ψ ⇔ Ĥ ∗ ψ ∗ = ∗ ψ ∗ ,
(8.2)
dann besitzt Ĥ einen Eigenzustand zu ∗ , denn es gilt
(8.1)
(8.2)
Ĥ (η̂ ∗ ψ ∗ ) = η̂ ∗ Ĥ ∗ ψ ∗ = η̂ ∗ ∗ ψ ∗ = ∗ (η̂ψ)∗ .
(8.3)
67
8. Asymmetrische Potentiale mit reellen Eigenwerten
Hierbei muss der Kern von η̂ die leere Menge sein, damit der Zustand η̂ ∗ ψ ∗ existiert,
d.h. η̂ψ = 0 ⇒ ψ = 0.
Im Ortsraum ist der adjungierte Hamiltonoperator gleich seinem komplex Konjugierten. In (8.1) wurde der Hamiltonoperator im Ortsraum dargestellt. Wird diese Gleichung
jedoch in einer abstrakten Darstellung angegeben, so wird diese zu:
η̂ Ĥ = Ĥ † η̂.
(8.4)
Dies ähnelt der Bedingung an Operatoren, welche pseudo-hermitesch [16] sind. Im Gegensatz zu dieser Klasse von Operatoren muss η̂ in (8.4) allerdings weder invertierbar
noch hermitesch sein. Im Folgenden wird die konkrete Ortsdarstellung verwendet und
der adjungierte Hamiltonoperator wird als sein komplex Konjugiertes dargestellt.
Des Weiteren sei angemerkt, dass Hamiltonoperatoren, welche (8.1) erfüllen, PT symmetrisch sein können. Denn für η̂ = P gilt nach (8.1): V (x) = V ∗ (−x).
In [12] wurden Ableitungsoperatoren verwendet und zwei Klassen von Potentialen
hergeleitet. Diese sollen hier nun vorgestellt werden.
8.1.1. Erste Klasse
Wird als Ansatz für den Operator η̂ ein Differentialoperator erster Ordnung
η̂ = ∂x + a(x)
(8.5)
gewählt, so kann mit einem allgemeinen Ansatz V (x) = n(x) − iG(x) für das Potential
die Bedingung (8.1) geprüft werden. Dadurch ist es möglich, das Potential V nur mit
Hilfe einer beliebig wählbaren Funktion g(x) auszudrücken, sodass der zugehörige Hamiltonoperator (8.1) erfüllt. Hierbei wurde in [12] gezeigt, dass dieses Potential folgende
Form hat:
2
V (x) = − g(x) + c0 + ig 0 (x),
c0 ∈ R.
(8.6)
Der zugehörige η̂-Operator lautet:
η̂ = ∂x + ig(x) + c0 .
(8.7)
Diese Klasse von Potentialen in (8.6) mit zugehörigem Operator η̂ in (8.7) besitzt aufgrund (8.1) ein Spektrum mit reellen oder komplex konjugierten Eigenwerten.
8.1.2. Zweite Klasse
Grundsätzlich können Differentialoperatoren höherer Ordnung verwendet werden, um
Potentiale zu konstruieren, die (8.1) erfüllen. In [12] konnte gezeigt werden, dass die
Wahl
η̂ = ∂x2 + a(x)∂x + b(x)
(8.8)
68
8.2. Herleitung der Potentiale über den Supersymmetrieformalismus
für den η̂-Operator ebenfalls zu einer Klasse von Potentialen mit beliebigen Imaginärteil
führt:
2 g 0 (x)2 − 2g 00 (x) g(x) + c0 + c2
1
+ ig 0 (x), c0 , c2 ∈ R. (8.9)
V (x) = − g(x) + c0 −
2
4
4 g(x) + c0
Der zugehörige Operator η̂ lautet:
η̂ = ∂x2 +i g(x) + c0
g(x) + c0
∂x −
4
2
ig 0 (x) g 0 (x)2 − 2g 00 (x) g(x) + c0 + c2
+
+
. (8.10)
2
2
4 g(x) + c0
8.2. Herleitung der Potentiale über den
Supersymmetrieformalismus
Der Supersymmetrieformalismus kann die Suche nach Differentialoperatoren, welche
(8.1) erfüllen, erleichtern. Hierfür kann eine Faktorisierung zweier SUSY-Partner gemäß
(4.33) und (4.34) betrachtet werden. Fordern wir, dass die SUSY-Partner zueinander
komplex konjugiert sind, so gilt
B̂ − Ĥ0 = B̂ − B̂ + B̂ − = Ĥ1 B̂ − = Ĥ0∗ B̂ −
(8.11)
und in diesem Fall ist η̂ = B̂ − .
Generell können SUSY-Ketten gebildet werden, um so Differentialoperatoren höherer Ordnung zu erhalten. Beispielsweise soll eine SUSY-Kette mit drei SUSY-Leveln
betrachtet werden. Ist das Potential zu SUSY-Level 2 das komplex konjugierte zu SUSY-Level 0, so kann auch in diesem Fall ein η̂-Operator gefunden werden:
B̂1− B̂0− Ĥ0 = B̂1− Ĥ1 = Ĥ2 B̂1− B̂0− = Ĥ0∗ B̂1− B̂0− .
(8.12)
Hierbei faktorisieren die SUSY-Partner wie folgt:
Ĥ0 = B̂0+ B̂0− ,
Ĥ1 = B̂0− B̂0+ = B̂1+ B̂1− ,
Ĥ2 = B̂1− B̂1+ .
(8.13)
In diesem Fall ist η̂ = B̂1− B̂0− .
Prinzipiell können so beliebig lange SUSY-Ketten gebildet werden, wenn dabei zwei
SUSY-Partner zueinander komplex konjugiert sind. Der Operator η̂ hat dann die Form
η̂ =
N
Y
−
B̂i− = B̂N
...B̂0− .
(8.14)
i=0
69
8. Asymmetrische Potentiale mit reellen Eigenwerten
8.2.1. Erste Klasse: SUSY-Partner erster Hierarchie
Im Folgenden soll ein Hamiltonoperator, der (8.11) erfüllt, betrachtet werden. Die notwendige Bedingung hierfür ist, dass die SUSY-Partner zueinander komplex konjugiert
sind.
Wir betrachten nun die Hamiltonoperatoren Ĥ0,1 der beiden SUSY-Partner, die gemäß (4.33) und (4.34) faktorisieren. Daher können sie durch das Superpotential
W (x) := α(x) + iβ(x)
(8.15)
V0 (x) = W 2 (x) − W 0 (x),
V1 (x) = W 2 (x) + W 0 (x).
(8.16)
(8.17)
wie folgt ausgedrückt werden:
Die notwendige Bedingung lautet nun
∗
!
W ∗ 2 (x) − W 0 (x) = W 2 (x) + W 0 (x).
(8.18)
Mit (8.15) ergibt sich:
!
α0 + 2αβ = 0,
⇒ (α = 0) ∨ (β = 0 ∧ α = c ∈ R) .
Wenn β = 0 erfüllt ist, dann kann kein komplexes Potential mehr erhalten werden,
darum muss α = 0 gelten und für beliebige Superpotentiale mit der Form
W (x) = iβ(x)
(8.19)
können zueinander komplex konjugierte SUSY-Partner erhalten werden. Die Potentiale
lauten dann:
V0,1 = −β(x)2 ± iβ 0 (x).
(8.20)
Hierbei ist β(x) eine beliebige Funktion.
Wählen wir β(x) = g(x) + c0 , so ist das Potential (8.20) gleich dem Potential in (8.6),
welches in [12] und [17] alternativ hergeleitet wurde. Der Operator
B̂ − = ∂x + iβ(x) = ∂x + i g(x) + c0
(8.21)
ist dann ebenfalls gleich dem η̂-Operator in (8.7).
Demnach sind Potentiale der Form (8.20) zueinander komplex konjugierte SUSYPartner und haben ein Spektrum mit reellen oder komplex konjugierten Eigenwerten,
sofern der Kern von B̂ − die leere Menge ist.
70
8.2. Herleitung der Potentiale über den Supersymmetrieformalismus
8.2.2. Zweite Klasse: SUSY-Partner zweiter Hierarchie
Für SUSY-Partner zweiter Hierarchie, die (8.12) erfüllen, muss ebenfalls gefordert werden, dass die beiden SUSY-Partner zueinander komplex konjugiert sind. Im Gegensatz
zu SUSY-Partner erster Hierarchie muss in diesem Fall aufgrund möglicher exakter Supersymmetrie, wie in Abschnitt 4.3.3 beschrieben, eine Energieverschiebung der SUSYLevel beachtet werden. Hierzu wird folgender Ansatz für die SUSY-Partner verwendet:
Ṽ0 = W02 − W00 + c0 ,
(8.22)
Ṽ1 = W02 + W00 + c0 ,
(8.23)
V 1 = W12 − W10 + c1 ,
Ṽ2 = W12 + W10 + c1 ,
c0 ∈ C : c0 = cr0 + ici0 ,
c1 ∈ C : c1 = cr1 + ici1 .
(8.24)
(8.25)
Wir fordern nun, dass SUSY-Level 0 und 2 zueinander komplex konjugiert sind. Außerdem müssen zwei unterschiedliche Superpotentiale W0,1 existieren, die zum selben
Potential des ersten SUSY-Levels führen. Demnach lauten die beiden Forderungen:
Ṽ0 = Ṽ2∗ ,
(8.26)
Ṽ1 = V 1 .
(8.27)
W0 (x) = α(x) + iβ(x),
W1 (x) = a(x) + ib(x)
(8.28)
(8.29)
Werden die Ansätze
für die beiden Superpotentiale gewählt, so folgt aus (8.26) und (8.27) ein gekoppeltes
Differentialgleichungssystem für die Superpotentiale:
α2 − β 2 − α0 + cr0 = a2 − b2 + a0 + cr1 ,
0
2αβ − β +
α − β 2 + α0 +
2
2αβ + β 0 +
ci0
cr0
ci0
=
=
=
0
−(2ab + b ) − ci1 ,
a2 − b2 − a0 + cr1 ,
2ab − b0 + ci1 .
(8.30)
(8.31)
(8.32)
(8.33)
Aus (8.30) − (8.32) und (8.31) − (8.33) erhalten wir
α = −a0 + c3 ,
ci
β0
+ 1.
a=
2b 2b
c3 ∈ R,
(8.34)
(8.35)
71
8. Asymmetrische Potentiale mit reellen Eigenwerten
Mit (8.30) + (8.32) und (8.31) + (8.33) folgt
α2 − β 2 + cr0 = a2 − b2 + cr1 ,
b0
ci
α=−
+ 0.
2β 2β
(8.36)
(8.37)
Setzen wir (8.35) in (8.34) ein und vergleichen dies mit (8.37), so ergibt sich
−
β0
ci
b0
ci
!
+ 1 + c3 = −
+ 0.
2b 2b
2β 2β
(8.38)
Eine spezielle Lösung dieses Gleichungssystems kann erhalten werden, wenn c3 = 0,
ci1 = −ci0 und β = b gewählt werden. Dann ist (8.36) erfüllt, wenn cr0 = cr1 gilt.
Damit sind die Forderungen (8.26) und (8.27) für Superpotentiale der Form
β 0 (x) + c
+ iβ(x),
2β(x)
β 0 (x) + c
W1 (x) =
+ iβ(x)
2β(x)
W0 (x) = −
(8.39)
(8.40)
erfüllt, wobei c := ci0 . Dementsprechend können die Potentiale aller drei SUSY-Level
mit Hilfe einer beliebig wählbaren Funktion β(x) ausgedrückt werden:
β 0 2 − 2β 00 β − c2
− 2β 0 i − ic,
4β 2
4cβ 0 + 3β 0 2 − 2β 0 β + c2
Ṽ1 = −β 2 +
− ic,
4β 2
4cβ 0 + 3β 0 2 − 2β 0 β + c2
2
+ ic,
V 1 = −β +
4β 2
β 0 2 − 2β 00 β − c2
Ṽ2 = −β 2 −
+ 2β 0 i + ic.
4β 2
Ṽ0 = −β 2 −
(8.41)
(8.42)
(8.43)
(8.44)
Die Potentiale (8.41) und (8.44) sind für β(x) = ∓ 21 g(x) + c0 und nach der Elimination
der konstanten ic die gleichen wie in (8.9), welche in [12] hergeleitet wurden. Hierbei ist
c2 = −c2 und immer kleiner null. Jedoch ist c2 reell und kann negativ sein. Allerdings
kann der Parameter c → ic gewählt werden, ohne dass (8.26) und (8.27) verletzt werden.
72
8.2. Herleitung der Potentiale über den Supersymmetrieformalismus
Damit ergeben sich die Potentiale:
β 0 2 − 2β 00 β + c2
− 2β 0 i + c,
2
4β
0
4cβ + 3β 0 2 − 2β 0 β − c2
2
Ṽ1 = −β +
+ c,
4β 2
4cβ 0 + 3β 0 2 − 2β 0 β − c2
V 1 = −β 2 +
− c,
4β 2
β 0 2 − 2β 00 β + c2
Ṽ2 = −β 2 −
+ 2β 0 i − c.
2
4β
Ṽ0 = −β 2 −
(8.45)
(8.46)
(8.47)
(8.48)
Mit diesen Potentialen ist es möglich, c2 = c2 zu wählen und demnach ist c2 größer null.
Der zugehörige η̂-Operator ist η̂ = B̂1− B̂0− . Um dies zu zeigen, wird die Energieverschiebung c aller drei SUSY-Level eliminiert. Hierzu definieren wir die Potentiale
V0 := Ṽ0 − c,
V1 := Ṽ1 − c = V 1 + c,
V2 := Ṽ2 + c = V0∗ .
(8.49)
(8.50)
(8.51)
Hiermit gilt
ˆ
ˆ
−
H̃0 − c = B̂1 H̃1 − c B̂0−
(8.50) −
ˆ
ˆ
−
= B̂1 H 1 + c B̂0 = H̃2 + c B̂1− B̂0−
(8.49)
B̂1− B̂0− Ĥ0 = B̂1− B̂0−
(8.51)
= Ĥ0∗ B̂1− B̂0− .
Der η̂-Operator lautet demnach
β 0 2 − 2β 00 β ± c2
η̂ =
= − i2β∂x +
− β 2 − iβ 0 .
(8.52)
2
4β
Dieser ist ebenso mit der Wahl β(x) = ∓ 21 g(x) + c0 gleich dem Operator (8.10),
welcher in [12] gefunden wurde.
Schließlich konnte gezeigt werden, dass Potentiale der zweiten Klasse, welche in [12]
hergeleitet wurden, zueinander komplex konjugierte SUSY-Partner zweiter Hierarchie
sind. Das zugehörige Spektrum hat reelle oder komplex konjugierte Eigenwerte, sofern
der Kern des Operators η̂ = B̂1− B̂0− die leere Menge ist.
Zudem sei angemerkt, dass für c2 < 0 ⇔ c2 = −c2 ⇔ c ∈ R das Potential von
SUSY-Level 1 reell ist. Der Hamiltonoperator ist demnach hermitesch und besitzt nur
reelle Eigenwerte. Darum ist es nicht verwunderlich, dass SUSY-Level 0 und 2 reelle
B̂1− B̂0−
∂x2
73
8. Asymmetrische Potentiale mit reellen Eigenwerten
Eigenwerte besitzen können. Die Idee, einen nichthermiteschen Hamiltonoperator mit
hermiteschen SUSY-Partner zu konstruieren, wurde schon in [18] verwendet. Weiterhin
wurde in der Dissertation [19] das Potential (8.9) für c2 = 0 hergeleitet. Für c2 < 0 hat
der hermitesche SUSY-Partner zusätzlich eine imaginäre Konstante. Mit diesem Ansatz
kann analog zu [19] das Potential (8.9) für c2 < 0 berechnet werden.
8.3. Einordnung des ersten SUSY-Levels
Wie bereits erwähnt, können Fälle konstruiert werden, in denen das erste SUSY-Level
genau einen komplexen Eigenwert und ansonsten reelle hat. Dies ist insbesondere dann
der Fall, wenn bei einem PT -symmetrischen Potential mit nur einem komplex konjugierten Eigenwertpaar einer dieser beiden entfernt wird. Die beiden Klassen von Potentialen
besitzen reelle oder zueinander komplex konjugierte Eigenwerte, sofern der Kern von η̂
die leere Menge ist. Demnach kann das erste SUSY-Level nur durch eine der beiden
Klassen konstruiert werden, falls eine Wellenfunktion mit komplexem Eigenwert existiert, für die gilt:
η̂ ∗ ψ ∗ = 0 ⇔ η̂ψ = 0.
(8.53)
Demnach stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen die η̂-Operatoren die Forderung (8.53) erfüllen. Hierzu betrachten wir die η̂-Operatoren B̂ − und B̂1− B̂0− der beiden
Klassen. Nach (8.53) muss demnach
B̂ − ψ = 0,
B̂1− B̂0− ψ = 0 ⇒ B̂1− ψ̃ = 0 ∨ B̂0− ψ = 0
(8.54)
(8.55)
gelten. Die Implikation in (8.55) folgt hierbei mit Hilfe des Supersymmetrieformalismus:
Wenn B̂0− ψ 6= 0, so stellt B̂0− ψ bis auf einen Normierungsfaktor eine Wellenfunktion des
SUSY-Partners dar und daher existiert eine Wellenfunktion ψ̃, für die B̂1− ψ̃ = 0 gelten
muss.
Aus den Forderungen (8.54) und (8.55) folgt allgemein, dass sich das Superpotential
durch eine Wellenfunktion ausdrücken lässt:
W (x) = −
ψ0
.
ψ
(8.56)
Dabei folgt aber auch, dass die Supersymmetrie exakt ist, da die Hamiltonoperatoren
gemäß (8.13) faktorisieren. In diesem Zusammenhang legen numerische Ergebnisse nahe, dass auch bei nichthermiteschen Systeme ein Eigenwert entfernt wird, wenn exakte
Supersymmetrie vorhanden ist.
Hiermit kann schon eine erste Aussage über die Einordnung des Potentials getroffen
werden: Wenn gebrochene Supersymmetrie vorhanden ist, dann ist der Kern der Operatoren beider Klassen in (8.11) und (8.12) aufgrund der im Abschnitt 4.2.3 gezeigten
74
8.3. Einordnung des ersten SUSY-Levels
Relationen (4.38) und (4.39) die leere Menge. Demnach haben die Potentiale der beiden Klassen nur reelle und zueinander komplex konjugierte Eigenwerte. Folglich kann
kein einzelner komplexer Eigenwert vorhanden sein, wodurch das erste SUSY-Level sich
nicht in einer der beiden Klassen einordnen lässt.
Im Folgenden sollen nun weitere Informationen über die beiden Klassen von Potentialen erhalten werden, indem exakte Supersymmetrie vorausgesetzt wird.
Erste Klasse: SUSY-Partner erster Hierarchie
Das Superpotential (8.19) lässt sich nicht durch eine normierbare Wellenfunktion1 ausdrücken. Daher ist es nicht möglich, einen Operator (8.21) zu finden, dessen Kern nicht
die leere Menge ist. Infolgedessen kann nur gebrochene Supersymmetrie vorliegen und
die beiden SUSY-Partner haben zueinander komplex konjugierte oder reelle Eigenwerte.
Folglich kann eine Einordnung des Potentials des ersten SUSY-Levels in die erste Klasse
nach Abschnitt 8.1.1 ausgeschlossen werden.
Zweite Klasse: SUSY-Partner zweiter Hierarchie
Es kann gezeigt werden, dass die Superpotentiale (8.39) und (8.40) durch Wellenfunktionen gemäß (8.56) ausgedrückt2 werden können. Hierbei folgt ebenfalls, dass die Wellenfunktionen entweder zu den SUSY-Leveln 0 und 2 oder zu SUSY-Level 1 gehören. Da
die Wellenfunktionen Eigenfunktionen zu den Potentialen Ṽ0 , Ṽ1 und Ṽ2 mit einer additiven Konstante sind, können Aussagen über die Eigenwerte der Systeme V0,1,2 getroffen
werden. Hierzu sei ψ0 die Wellenfunktion, welche (8.56) bezüglich W0 , und ψ1 diejenige
Wellenfunktion, welche (8.56) bezüglich W1 erfüllt.
Wenn ψ0 Eigenfunktion zu Ṽ0 und ψ1 zu Ṽ2 , so gilt mit c ∈ R:
Ĥ0 ψ0 = icψ0 ,
(8.57)
Ĥ0∗ ψ1 = −icψ1 .
(8.58)
Damit sind ±ic Eigenwerte der beiden zueinander komplex konjugierten SUSY-Partner.
Hierbei gilt B̂0− ψ0 = 0. Demnach ist es möglich, dass Ĥ0 nur einen komplexen Eigenwert
besitzt. Allerdings wäre das Potential des SUSY-Partners, welches durch die Wellenfunktion ψ0 des komplexen Eigenwertes konstruiert wurde, ein hermitesches System mit
einer komplexen additiven Konstante ic. Wie in dieser Bachelorarbeit aber numerisch
berechnet wurde, ist der SUSY-Partner des ersten SUSY-Levels PT -symmetrisch und
hat einen nicht konstanten Imaginärteil. Dieser SUSY-Partner ist in Abbildung 7.4 zu
sehen. Daher ist dieser Fall auszuschließen.
Grundsätzlich sollten auch die Fälle betrachtet werden, in denen reelle Eigenwerte
entfernt werden, denn durch eine Energieverschiebung ist es möglich, ein Potential zu
1
2
Ein Beweis hierfür befindet sich im Anhang A.1.
Ein Beweis hierfür befindet sich in Anhang A.2.
75
8. Asymmetrische Potentiale mit reellen Eigenwerten
konstruieren, bei welchem ein komplexer Eigenwert entfernt wird. Es soll der Fall c → ic
betrachtet werden. Dann können folgende Eigenwerte erhalten werden:
Ĥ0 ψ0 = −cψ0 ,
Ĥ0∗ ψ1
(8.59)
= cψ1 .
(8.60)
Folglich besitzt Ĥ0 sowohl c als auch −c als Eigenwert. Allerdings kann hier ein Widerspruch gefunden werden, wenn angenommen wird, dass die Eigenwerte ±c bei Anwendung des SUSY-Formalismus entfernt werden. Denn dann muss dem System Ĥ1
offensichtlich ±c fehlen. Jedoch hat Ĥ0 aufgrund (8.60) den Eigenwert c, welcher allerdings per Konstruktion durch den SUSY-Formalismus nicht entfernt wird. Dies ist ein
Widerspruch, denn der Eigenwert c soll bei Anwendung des SUSY-Formalismus an Ĥ0∗
entfernt werden. Daher ist dieser Fall nicht möglich.
Nun soll der Fall betrachtet werden, bei welchem ψ0,1 Eigenfunktionen zu Ĥ1 sind.
Hiermit gilt mit c ∈ R:
Ĥ1 ψ0 = icψ0 ,
(8.61)
Ĥ1 ψ1 = −icψ1 .
(8.62)
Es ist zu sehen, dass ein komplexer Eigenwert in dem hermiteschen System (8.50) existiert. Dies ist allerdings nicht möglich und demnach kann keine Wellenfunktion gefunden
werden, die das Superpotential gemäß (8.56) beschreibt.
Schließlich kann der Fall c → ic betrachtet werden:
Ĥ1 ψ0 = −cψ0 ,
(8.63)
Ĥ1 ψ1 = cψ1 .
(8.64)
Demnach existiert der Eigenwert c nicht mehr in Ĥ0∗ . Allerdings besitzt Ĥ0 diesen Eigenwert. Dies ist jedoch ein Widerspruch, denn dann gilt
Ĥ0 B̂0+ ψ1
=
cB̂0+ ψ1
⇒
Ĥ0∗
B̂0− ψ1
∗
=c
B̂0− ψ1
∗
.
(8.65)
Folglich ist es in diesem Fall nicht möglich, das Superpotential gemäß (8.56) durch eine
Wellenfunktion auszudrücken.
Zusammenfassend ist damit gezeigt, dass der einzig konsistente Fall, in welchem keine
Widersprüche gefunden werden können, jener ist, bei welchem die Wellenfunktionen
ψ0,1 den beiden komplex konjugierten SUSY-Partnern zuzuordnen sind und c ∈ R gilt.
Dieser konnte allerdings durch Vergleich mit dem numerischen Ergebnis ausgeschlossen
werden. Folglich kann das Potential des ersten SUSY-Levels keinem der beiden Klassen
(8.20) und (8.9) zugeordnet werden.
76
8.3. Einordnung des ersten SUSY-Levels
Folgerung
Mit den Ergebnissen diesen Kapitels kann eine verallgemeinerte Aussage über zueinander
komplex konjugierte SUSY-Partner getroffen werden: Wenn ein Hamiltonoperator und
sein Adjungierter3 in mindestens erster und zweiter Hierarchie zueinander Superpartner
sind sowie gebrochene Supersymmetrie vorliegt, dann ist sein Spektrum rein reell oder
besitzt nur reelle oder komplex konjugierte Paare von Eigenwerten.
3
In der Ortsdarstellung ist dieser der komplex konjugierte.
77
9. Zusammenfassung und Ausblick
Die Fragestellungen der vorliegenden Bachelorarbeit knüpfen direkt an die Ergebnisse
der Bachelorarbeit von Cedric Sommer [8] an. Dort wurde herausgefunden, dass mit dem
Supersymmetrieformalismus vollkommen asymmetrische komplexe Potentiale generiert
werden können, die trotzdem unendlich viele stationäre Zustände aufweisen. So konnte
die Beschaffenheit der Wahrscheinlichkeitsstromdichte des ersten angeregten Zustands
des Superpartners eines PT -symmetrischen Potentials, bei dem ein PT gebrochener Zustand entfernt wurde, auf die Quellen und Senken des Systems zurückgeführt werden.
Es wurde gezeigt, dass der gesamte Gewinn und Verlust eines stationären Zustandes
ausgeglichen ist. Im betrachteten System sind eine Quelle und eine Senke vorhanden,
welche ungleiche Stärken besitzen. Ein zusätzlicher Quellterm in diesem System sorgt
hierbei für den Ausgleich des Gewinns und Verlusts, indem dieser Wahrscheinlichkeit
in oder aus dem System ein- oder ausführt. Ohne diesen Quellterm im System würde
Wahrscheinlichkeitsdichte fehlen oder als Überschuss vorhanden sein. Hierdurch resultieren zwei Ströme: Ein betragsmäßig sehr großer Strom, welcher zwischen den starken
Quelltermen fließt und ein schwächerer Strom, der zwischen einem der starken und dem
schwachen Quellterm vorhanden ist. Hierbei fließen diese Ströme in entgegengesetzte
Richtungen, wodurch ein Ausgleich der Wahrscheinlichkeitsverteilung stattfindet und
damit ein stationärer Zustand zustande kommt.
Die Asymmetrien in der Stromdichte sind in diesem System demnach notwendig, da
durch die Asymmetrie des Systems asymmetrische Quellterme existieren. Weitere Untersuchungen ergaben, dass der dritte Quellterm, der letztendlich für einen Ausgleich
von Gewinn und Verlust im System sorgt, durch den Imaginärteil des Potentials verursacht wird. Dabei muss ∇~j allerdings die Form der Quellterme annehmen, damit ein
stationärer Zustand existieren kann. Es konnte gezeigt werden, dass der charakteristische
Verlauf dieser Größe durch die Phase der Wellenfunktion verursacht wird.
Des Weiteren wurde in der Bachelorarbeit von Cedric Sommer [8] herausgefunden,
dass die Reihenfolge der Entfernung eines komplexen Eigenwertpaares in einem PT symmetrischen System keine Rolle für die Form des erhaltenen Potentials nach zweimaliger Anwendung des Supersymmetrieformalismus spielt. Hierbei stellte sich Cedric Sommer die Frage, weshalb dies so ist und in wie weit sich diese Erkenntnis verallgemeinern
”
lässt“ [8, S. 58]. In dieser Arbeit konnte auf diese Frage eine eindeutige und bemerkenswerte Antwort gefunden werden. Unabhängig von der Reihenfolge der Entfernung eines
Eigenwertpaares nach dem zugehörigen exzeptionellen Punkt eines PT -symmetrischen
Potentials wird wieder ein PT -symmetrisches Partnerpotential erhalten. Der Grund dieser Eigenschaft liegt einerseits in der Tatsache, dass sich die zugehörigen Wellenfunktion
79
9. Zusammenfassung und Ausblick
aufgrund der PT -Symmetrie mit Hilfe des PT -Operators ineinander abbilden lassen
und andererseits in der besonderen Form des Partnerpotentials. Dieses setzt sich aus
einem Term des Grundsystems und einem PT -symmetrischen Term, der aus den beiden
Wellenfunktionen des Grundsystems besteht, zusammen. Der letzte Term ist invariant
unter Vertauschung dieser beiden Wellenfunktionen. Eine Konsequenz dieser Eigenschaft
ist, dass bei der Bildung von SUSY-Ketten mit einem PT -symmetrischen Grundsystem
diejenigen Systeme PT -symmetrisch sind, bei welchen Paare komplex konjugierter Eigenwerte entfernt wurden. In diesem Zusammenhang wäre es interessant zu untersuchen,
ob eine solche Eigenschaft bei nichtlinearen PT -symmetrischen Systemen ebenfalls vorhanden ist, sobald der Supersymmetrieformalismus auf nichtlineare Systeme erfolgreich
übertragen werden konnte.
Schließlich konnte in dieser Arbeit die in [12] gefundene Methode zur Konstruktion
von Potentialen mit beliebigem Imaginärteil bezüglich des Supersymmetrieformalismus
in Verbindung gebracht werden. Wenn ein Hamiltonoperator und sein Adjungierter in
mindestens erster und zweiter Hierarchie SUSY-Partner zueinander sind, dann besitzt
dieser nur reelle Eigenwerte oder reelle Eigenwerte mit komplex konjugierten Eigenwertpaaren, sofern die Supersymmetrie gebrochen ist. Damit konnte gezeigt werden, dass
der Supersymmetrieformalismus in Teilen bei der Konstruktion von Systemen nach [12]
anwendbar ist. Hierzu muss gefordert werden, dass zwei SUSY-Partner in einer SUSY-Kette existieren, die zueinander adjungiert sind. Wenn dies in höherer Hierarchie
durchgeführt wird, so können Differentialoperatoren höherer Ordnung gefunden werden,
welche die Bedingung für reelle oder komplex konjugierte Eigenwertpaare erfüllen. Mit
dieser Bedingung bezüglich der SUSY-Partner erster und zweiter Hierarchie konnten
die Potentiale aus [12] alternativ hergeleitet werden. Demnach ist es in dieser Arbeit
gelungen, die bisher gefunden Potentiale mit Hilfe des Supersymmetrieformalismus zu
beschreiben.
Hierbei wäre es interessant zu untersuchen, ob ebenfalls Potentiale mit beliebigem
Imaginärteil gefunden werden können, wenn gefordert wird, dass SUSY-Partner höherer Hierarchie zueinander adjungiert sind. Mit Hilfe der Beschreibung der ersten beiden
Klassen durch den Supersymmetrieformalismus ist es möglich, Aussagen bezüglich der
Einordnung des in [8] erhaltenen asymmetrischen Potentials in die Klassen von Potentialen in [12] zu treffen. Hierbei wurde herausgefunden, dass sich das asymmetrische Potential in keiner der beiden Klassen einordnen lässt. Weiterführend stellt sich in diesem
Zusammenhang die Frage, ob diesem System eine allgemeinere Symmetrie zugeordnet
werden kann.
80
A. Anhang
A.1. Erste Klasse
Das Superpotential, welches die Potentiale der ersten Klasse generiert lautet:
W (x) = iβ(x).
(A.1)
Wählen wir nun folgende Darstellung für die Wellenfunktion ψ
ψ(x) = r(x)eiφ(x) ,
so muss nach (8.56)
iβ =
(A.2)
r0
+ iφ0
r
(A.3)
gelten. Hieraus folgt
r0 = 0 ⇒ |ψ| = const,
(A.4)
was jedoch zu nicht normierbaren Wellenfunktionen führt. Daher ist es nicht möglich,
das Superpotential der ersten Klasse von Potentialen durch eine Wellenfunktion auszudrücken.
A.2. Zweite Klasse
Die Superpotentiale (8.39) und (8.40) können durch Wellenfunktionen ψ und ψ̃ ausgedrückt werden. Um eine Übersicht über die mögliche Existenz von Wellenfunktionen in
den jeweiligen SUSY-Leveln zu erhalten, werden Wellenfunktionen betrachtet, die
!
B̂0± ψ = (∓∂x + W0 ) ψ = 0,
(A.5)
!
B̂1± ψ̃ = (∓∂x + W1 ) ψ̃ = 0
erfüllen. Demnach folgt
±
B̂0,1
ψ = 0 ⇒ W0,1 = ±
ψ0
.
ψ
(A.6)
Wählen wir als Ansatz für die Wellenfunktion
ψ = r(x)eiφ(x) ,
(A.7)
81
A. Anhang
dann können folgende zwei formale Lösungen der Wellenfunktionen mit Hilfe von (A.6)
und den beiden Superpotentialen (8.39) und (8.40) gefunden werden:
Z x 0
β (t) + c
∓ iβ(t) dt ,
(A.8)
ψ0 (x) = CN exp ±
2β(t)
0
Z x 0
β (t) + c
ψ1 (x) = C̃N exp ∓
± iβ(t) dt .
(A.9)
2β(t)
0
Hierbei sind CN und C̃N Normierungskonstanten und ψ0 und ψ1 die Wellenfunktionen,
welche zum ersten und zweiten SUSY-Partnerpaar gehören. Die Vorzeichen in den Exponenten bestimmen die Zugehörigkeit der Wellenfunktion zu einem SUSY-Partner. Die
erste Variante (immer mit obere Vorzeichen) in (A.8) bedeutet, dass das SUSY-Level
1 die Wellenfunktion ψ0 besitzt, die zweite Variante (immer mit untere Vorzeichen) in
(A.8) bedeutet hingegen, dass das ψ0 in SUSY-Level 0 vorhanden ist. Die Wellenfunktion ψ1 gehört mit der ersten Variante in (A.9) zu SUSY-Level 2 und mit der zweiten
zu SUSY-Level 1.
Für physikalisch sinnvolle Lösungen muss das Betragsquadrat der Wellenfunktion für
x → ±∞ abfallen. Demnach müssen die Integrale die Bedingung
Z ±∞ 0
β (t) + c
= −∞
(A.10)
±
β(t)
0
erfüllen. Folglich kann entweder das Integral in (A.10) mit dem positiven oder mit negativem Vorzeichen die Grenzwertbedingung erfüllen. Dies impliziert, dass die Wellenfunktionen
Z x 0
β (t) + c
± iβ(t) dt
(A.11)
ψ0,1 (x) = CN exp −
2β(t)
0
zu den SUSY-Leveln 0 und 2 existieren, sofern das Integral in (A.10) mit negativem
Vorzeichen die Grenzwertbedingung erfüllt. Demnach besitzen die beiden SUSY-Level
0 und 2 je nach Energieverschiebung den Eigenwert = 0. Die beiden Eigenwerte sind
also nicht mehr in SUSY-Level 1 vorhanden.
Weiterhin müssen die Wellenfunktionen
Z x 0
β (t) + c
ψ0,1 (x) = CN exp
± iβ(t) dt
(A.12)
2β(t)
0
zu SUSY-Level 1 gehören, sofern das Integral in (A.10) mit positivem Vorzeichen die
Grenzwertbedingung erfüllt. Die entsprechenden Eigenwerte dieser Wellenfunktionen
sind folglich nicht in den SUSY-Leveln 0 und 2 vorhanden.
Schließlich sei angemerkt, dass die obigen Überlegungen ebenso für c → ic zutreffen,
da in diesem Fall nur ein zusätzlicher Term in der Phase der Wellenfunktion vorkommt.
82
A.2. Zweite Klasse
Hierbei kann das Integral im Betragsquadrat der Wellenfunktion analytisch berechnet
werden:
0
Z
β
2
2
(A.13)
|ψ| = CN exp ± dx = CN2 β ±1 (x).
β
83
Literaturverzeichnis
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Mathematical Physics 43, 205–214 (2002).
[19] Mohammad Ali Miri. Parity-time and supersymmetry in optics. Dissertation, University of Central Florida (2014).
86
Danksagung
Im Folgenden möchte ich mich an dieser Stelle bei all jenen bedanken, welche mir nicht
nur bei der Anfertigung meiner Bachelorarbeit, sondern auch während meines Studiums
hilfreich zur Seite standen.
So bedanke ich mich bei meinem Betreuer und Prüfer Holger Cartarius, der mir während der gesamten Anfertigung der Bachelorarbeit ein hilfreicher und verständnisvoller
Ansprechpartner war.
Des Weiteren bedanke ich mich bei den Mitarbeitern und Kollegen des ITP1 für die
angenehme Arbeitsatmosphäre.
Außerdem möchte ich mich bei all jenen Kommilitonen bedanken, die mir während
meines Studiums zur Seite standen.
Zuletzt bedanke ich mich vor allem bei meiner Familie, die mich sowohl während
meines Studiums als auch bei der Anfertigung meiner Bachelorarbeit immer unterstützt
hat.
87
Erklärung
Ich versichere,
• dass ich diese Bachelorarbeit selbständig verfasst habe,
• dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle wörtlich oder
sinngemäß aus anderen Werken übernommenen Aussagen als solche gekennzeichnet
habe,
• dass die eingereichte Arbeit weder vollständig noch in wesentlichen Teilen Gegenstand eines anderen Prüfungsverfahrens gewesen ist,
• dass ich die Arbeit weder vollständig noch in Teilen bereits veröffentlicht habe, es
sei denn, der Prüfungsausschuss hat die Veröffentlichung vorher genehmigt
• und dass der Inhalt des elektronischen Exemplars mit dem des Druckexemplars
übereinstimmt.
Stuttgart, den 21. Juli 2016
Timur Koyuk