303 – Statistik - Friedrich-Schiller

Friedrich-Schiller-Universität Jena
Physikalisches Grundpraktikum
303 – Statistik
1. Aufgaben
1.1
Dokumentieren Sie mit Hilfe eines Würfel-Simulationsprogrammes, wie aus einer gleichverteilten Zufallsgröße durch Mittelwertbildung eine Normalverteilung entsteht. Bestätigen Sie
die Richtigkeit des Zusammenhangs „ s x = s /√𝑛 “ !
1.2
Messen Sie die Zählrate (Impulse pro Zeiteinheit) der natürlichen, ständig vorhandenen Radioaktivität! Untersuchen Sie die dabei entstehende Verteilung!
2. Grundlagen
Stichworte:
Basiswissen: arithmetisches Mittel, Standardabweichung, Varianz, Grundgesamtheit, Stichprobe,
Normalverteilung, Zentraler Grenzwertsatz der Statistik, Vertrauensbereich, Histogramm
Weiterführend: Poisson-Verteilung, t-Parameter
2.1
Statistik in Wissenschaft und Natur
Bei wissenschaftlichen Messaufgaben ist es zur Erhöhung der Auswertegenauigkeit oft sinnvoll, mehrfach zu messen. Es existiert hier zwar ein durch den physikalischen Zusammenhang vorgegebener wahrer Wert, aber aufgrund unvermeidlicher zufälliger Fehler misst
man bei mehrmaliger Wiederholung derselben Messung meist unterschiedliche Werte.
Welcher davon der richtige ist, weiß man nicht, aber man versucht, durch Mittelwertbildung
über viele unterschiedliche Einzelmesswerte, dem wahren Wert möglichst nahe zu kommen.
Treten bei der Messung keine systematischen Fehler auf, so kann das arithmetische Mittel der
Messwerte als beste Schätzung für den tatsächlichen Wert angenommen werden.
Auch in der Natur existieren zufällige (statistische) Größen. Ein Beispiel dafür ist die ständig
vorhandene natürliche Radioaktivität, experimentell bestimmbar als die Zählrate (Impulse
pro Zeiteinheit) der von einem geeigneten Detektor registrierten γ-Quanten. Hier gibt es
keinen „wahren Wert“, von Interesse ist aber z.B. der häufigste Wert (Maximum der
Verteilungskurve) oder auch der durchschnittliche Wert (arithmetisches Mittel).
Weitere Beispiele finden wir bei diversen Glücksspielen. Beim Würfeln kommen im Falle
eines ideal gebauten Würfels und einer großen Zahl von Würfen alle Zahlen von 1 bis 6
gleich oft vor. Es entsteht eine Gleich- (bzw. Rechteck-) Verteilung (vgl. Bild 1a).
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Voraussetzung für eine sinnvolle statistische Auswertung ist immer das Vorhandensein einer
hinreichend großen Anzahl von Einzelmesswerten, d.h. einer genügend großen Stichprobe.
Prinzipiell gilt, dass die Aussagekraft einer Statistik mit steigendem Stichprobenumfang
wächst. Wie groß eine Messreihe gewählt werden muss, hängt von der gewünschten Ergebnisgenauigkeit der speziellen Aufgabe ab.
2.2 Vorbereitung der Auswertung statistischer Messreihen
Das Ziel aller statistischen Untersuchungen besteht darin, von einer endlichen Stichprobe auf
die Verhältnisse in der Grundgesamtheit zu schließen. Der erste Schritt hierzu ist, das Datenmaterial zu sichten, tabellarisch oder grafisch darzustellen und mit wenigen geeigneten Zahlen zusammenzufassen. Wenn die Messreihe nur diskrete Werte annehmen kann und nur
wenige verschiedene Werte vorkommen (z.B. die natürlichen Zahlen von 1 bis 6 beim Würfeln), benutzt man zur Darstellung das Stabdiagramm. Dabei werden über den einzelnen
Werten "Stäbe" aufgetragen, deren Längen den absoluten bzw. relativen Häufigkeiten der
beobachteten Werte entsprechen (vgl. Bild 1a).
Wenn die Messgröße stetige Werte annehmen kann oder sehr viele verschiedene Werte vorkommen (z.B. Zählrate der Radioaktivität), wählt man für die Darstellung ein Histogramm
(Bild 1b). Dafür unterteilt man den Wertebereich der Messgröße in äquidistante Intervalle
(Klasseneinteilung) und bestimmt für jedes Intervall die Anzahl der darin liegenden Messwerte. Das Histogramm besteht also aus Rechtecken, deren Grundseiten gleich sind und deren
Höhen den absoluten bzw. relativen Häufigkeiten entsprechen. Die Beschriftung erfolgt an
den Klassenmittelpunkten. Als Richtwert für die Anzahl k der Intervalle gilt k = √𝑛 (n ...
Anzahl der Messwerte).
Bild 1a) diskrete Verteilung
im Stabdiagramm.
1b) Verteilung in einem Histogramm: Beispielmessvorgang: Zerfallsrate Radioaktivität.
(Darstellung von Klassenmittelpunkten!)
Was fängt man nun mit den gesammelten und aufbereiteten Daten an?
Das hängt davon ab, welches Ziel man verfolgt. Interessiert die Art der Verteilung (Gleich,
Dreieck, Gauß, ...)? Oder die Lage des Maximums/der Maxima (falls vorhanden)? Oder der
Mittelwert, die Breite der Verteilungskurve (Streuung bzw. Standardabweichung), die
Genauigkeit der Mittelwertbestimmung usw.?
Wir beginnen mit dem Mittelwert und der Standardabweichung.
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2.3
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Mittelwert, Standardabweichung, Varianz
Der arithmetische Mittelwert x einer Messreihe x1, x2, ..., xn wird nach
x =
1 n
  xk
n k 1
(1)
berechnet.
Der Mittelwert macht eine Aussage über die Lage der Verteilungkurve.
Als ein geeignetes Maß für die Breite der Verteilung (Streuung der einzelnen Messwerte
bezüglich ihres Mittelwertes) benutzt man die sogenannte Varianz s2 (mittlere quadratische
Abweichung) bzw. deren Wurzel, welche Standardabweichung s genannt wird und sich
mittels
𝑛
1
𝑠= √
∑(𝑥𝑘 − 𝑥̅ )2
(𝑛 − 1)
(2)
𝑘=1
berechnen lässt.
Im Nenner ist durch den Term (n –1) berücksichtigt, dass zur Schätzung der Standardabweichung schon ein
anderer Schätzwert benutzt wird, nämlich der Mittelwert. Kennt man den wahren Wert, so wird durch n geteilt.
In Statistiklehrbüchern findet man diesen Unterschied unter den Begriffen Standardabweichung der Stichprobe
(n –1) bzw. Standardabweichung der Grundgesamtheit (n). Bei gängigen Softwareprodukten und modernen
Taschenrechnern können meist beide Werte berechnet werden.
Bei wissenschaftlichen Messreihen wird die Standardabweichung durch die Qualität der Messung bestimmt (aus dem Zusammenwirken aller Messfehler ergibt sich eine Streuung der
Einzelwerte um den Mittelwert).
Bei der Radioaktivitätsmessung erhält man eine sogenannte Poisson-Verteilung (s.unten).
Hier ist die Standardabweichung s direkt abhängig von der Größe des Mittelwertes x (sie ist
für eine hinreichend große Zahl n von Messwerten gleich der Wurzel des Mittelwertes s =
2
√𝑥̅ ). Für die Varianz gilt daher s = x .
Beim Würfeln gilt immer: s ≈ 1,71 .
Begründung: Für die Berechnung der Varianz kommen als Differenz (xk – 𝑥̅ ) nur die drei Beträge
0,5 = │3 – 3,5│ = │4 – 3,5│ ,
1.5 = │2 – 3,5│ = │5 – 3,5│ und
2.5 = │1 – 3,5│ = │6 – 3,5│
vor, und zwar alle gleich oft. Daraus ergibt sich (für n → ∞) ein fester Wert, nämlich:
1
s2 = ∙ ( 2 ∙ 0,52 + 2 ∙ 1,52 + 2 ∙ 2,52 ) ≈ 2,92.
6
Für die Standardabweichung erhält man daraus: s = √2.92 ≈ 1,71.
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2.4
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Streubreite des Mittelwertes
Bei physikalischen Messreihen (also auch im Praktikum) interessiert neben der Größe des
Mittelwertes vor allem dessen Genauigkeit (Stichwort: Fehlerrechnung).
Dazu eine Aussage zu treffen, ist nicht trivial, da man in der Regel die Messreihe nur ein Mal
aufnimmt und der Mittelwert am Ende als Zahl auf dem Taschenrechner steht. Wenn man sich
aber die Zeit nimmt und die Messreihe (bestehend aus jeweils n Messwerten) mehrfach
wiederholt und jedes Mal den Mittelwert bildet, so sieht man, dass die entstehenden
Mittelwerte nicht gleich sind, sondern ebenfalls streuen. Sie streuen aber weniger (bei
genauer Betrachtung um den Faktor √𝑛 weniger) als die Einzelwerte. Das liegt daran, dass
sich durch die Mittelwertbildung die großen „Ausreißer“ gegenseitig aufheben.
Die Streubreite des Mittelwertes ist also:
x 
s
n
(3).
Im Versuch wird dieser Zusammenhang mit Hilfe des Würfel-Simulationsprogramms
nachgewiesen.
Durch die Aufnahme vieler Messwerte (großes n) verbessert man also nicht die Güte der
Messung an sich (s ist unabhängig von n), dafür aber die Zuverlässigkeit der Schätzung von
x ( x wird kleiner). Bei rein statistischen Messungen wird somit die Genauigkeit allein
durch die Anzahl der Messwerte bestimmt. Bei Messungen von physikalischen Größen kann
dagegen auch s beeinflusst werden (durch genaueres Messen).
Die Größe x = s/√𝑛 kann man als den Fehler (die Messgenauigkeit) des statistisch
gefundenen „besten Schätzwertes“ x betrachten. Genau genommen gilt dieser sogenannte
„Standardfehler“ aber nur in ca. zwei Drittel aller Fälle, denn er ist eigentlich nur der
„Vertrauensbereich“ für die statistische Sicherheit von 68%.
Zum Verständnis dessen müssen wir jetzt noch die Normalverteilung und den Zentralen
Grenzwertsatz mit ins Spiel bringen.
2.5
Gaußsche Normalverteilung
Die Normal- oder Gaußverteilung ist die bekannteste und wichtigste statistische Verteilung
(vgl. Bild 2).
Das liegt zum einen daran, dass sie als mathematische Funktion analytisch einfacher zu
handhaben ist als diskrete Zusammenhänge wie Zählraten und Ziffern und daher schon aus
praktischen Gründen oft das Ziel verfolgt wird, eine gegebene Verteilung nach Möglichkeit
durch eine Normalverteilung anzunähern.
Ihre herausragende Bedeutung erhält die Gauß-Verteilung aber durch die Gültigkeit des
Zentralen Grenzwertsatzes (vgl. Abschnitt 2.6). Denn dadurch kann sie tatsächlich bei vielen
Messungen in Naturwissenschaft und Technik als die Fehlerverteilung schlechthin betrachtet
werden. Sie entsteht immer dann, wenn sich viele unabhängige Zufallsgrößen aufsummieren,
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was in der Praxis häufig der Fall ist, aber (Vorsicht!) im konkreten Fall ggf. auch erstmal
nachgewiesen werden muss (nicht alles ist gaußverteilt).
Bild 2: Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung w(x) der „Gaußschen Glockenkurve“.
Bei der Gauß-Verteilung liegen
ca. 68% aller Werte im Intervall μ σ ( 1σ-Bereich) um den Mittelwert μ,
ca. 95% im Intervall μ σ ( 2σ-Bereich),
ca. 99.7% im Intervall μ σ ( 3σ-Bereich) usw.
Die Gleichung der Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung w(x) lautet:
1 x  µ 
 
1
w(x) =
e 2
σ 2

2


(4).
Hinweis: Bei theoretischen Verteilungen verwendet man für Mittelwert und Standardabweichung meist die
Variablen μ und σ, bei praktischen Messaufgaben dagegen x und s.
Experiment
(Stichprobe)
2.6
Theorie
(Grundgesamtheit)
x
μ
s
σ
Zentraler Grenzwertsatz der Statistik
Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass Summen von jeweils n Zufallszahlen, die derselben Grundgesamtheit entnommen werden, für große n eine Normalverteilung bilden, unabhängig davon, wie die einzelnen Zufallszahlen selber verteilt sind.
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Das liegt vereinfacht gesagt daran, dass sich beim Aufsummieren die „Ausreißer“ (nach oben
und unten) gegenseitig kompensieren und somit eine Häufung hin zu „mittleren“ Werten bevorzugt wird. Je größer die Anzahl n der Summanden, desto deutlicher ist dieser Effekt.
Teilt man eine Summe durch die Anzahl ihrer Summanden n, so erhält man das arithmetische
Mittel. Damit kann der Satz in gleicher Weise auch für die Mittelwerte formuliert werden: Die
Mittelwerte x von Stichproben, bestehend aus jeweils n Zufallszahlen xk einer beliebiger
Ausgangsverteilung, sind immer normalverteilt.
Dabei ist der Mittelwert dieser Verteilung derselbe wie der von xk, nämlich 𝑥̅ , während die
Varianz 𝑠𝑥̅2 um den Faktor n kleiner ist als die Varianz s2 der Ausgangsverteilung.
Für die Standardabweichung 𝑠𝑥̅ der Mittelwert-Verteilung gilt daher:
sx 
s
n
(5).
Das ist derselbe Ausdruck wie Gl.3 in Abschnitt 2.4. Die Standardabweichung 𝑠𝑥̅ der
Verteilung aller Mittelwerte nach dem Zentralen Grenzwertsatz entspricht also unserer
Streuung Δ x der Mittelwerte, welche damit als die Breite eines „1σ-Intervalls“ einer
Normalverteilung gedeutet werden kann.
Da nur rund 68% aller Werte im 1σ-Intervall liegen, kann die Fehlerangabe ± (s/√𝑛) auch nur
für 68% aller Fälle garantiert werden (in ca. 1/3 der Fälle könnte der Fehler größer sein).
Wenn die Fehlerangabe auf das Doppelte, also ± 2(s/√𝑛) erhöht wird, erhält man eine 95%ige „statistische Sicherheit“ , mit ± 3(s/√𝑛) werden es 99.7% usw.
2.7
Der t-Parameter
Da in der Statistik keine 100%-igen Aussagen möglich sind, geht es immer darum, unter Berücksichtigung der gewünschten bzw. geforderten statistischen Sicherheit den zugehörigen
Vertrauensbereich ( x = t  s /√𝑛) des Ergebnisses x anzugeben.
Die Zahl t (der sogenannte „t-Parameter“) kommt von der „Student- oder t-Verteilung“ und
kann ganzzahlig (1, 2, 3, …) oder beliebig „krumm“ sein. Er hängt außer von der Statistischen Sicherheit bzw. der Irrtumswahrscheinlichkeit α = (1 – p) auch vom Stichprobenumfang ab und kann Tabellen entnommen werden.
Tab. 1: Parameter t in Anhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit p
und der Stichprobengrösse n
p
n=5
n = 10
68%
1.08
1.05
1.02
1.01
1.00
95%
2.78
2.26
2.09
2.00
1.98
99%
4.60
3.25
2.85
2.68
2.64
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n = 20 n = 50 n = 100
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3. Versuchsdurchführung
3.1 Würfelsimulation
3.1.1 Programmbeschreibung
Das Programm simuliert einen idealen Würfel, bei dem die möglichen Ziffern 1 bis 6 im
statistischen Mittel alle mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten. Im Einzel-Modus
(„Einzelner Durchlauf“) sind Messreihen beginnend beim Einzelwurf bis zu einer maximalen
Zahl (Anzahl der Würfe n) von etwa 125 000 möglich. Es wird die Häufigkeitsverteilung der
Ziffern 1 bis 6 als Balken- bzw. Stabdiagramm dargestellt, sowie der Mittelwert und die
Varianz bzw. Standardabweichung der Verteilung berechnet. Dasselbe kann anstatt mit nur
einem Würfel auch für die Augensumme bei gleichzeitigem Werfen mit 2, 3, 5 oder 10
Würfeln durchgeführt werden.
Im „Automatischen Modus“ wird das Nacheinander-Ausführen mehrerer gleichartiger Messreihen simuliert (m Durchläufe zu je n Würfen, m ≤ 1000). Das Programm berechnet für jeden
Durchlauf den Mittelwert. Die Verteilung aller Mittelwerte wird als Histogramm dargestellt.
Der Mittelwert und die Varianz bzw. Standardabweichung dieser Verteilung werden
berechnet. Zur Erstellung des Histogramms müssen die Mittelwerte in Klassen eingeordnet
werden. Deren Anzahl sowie der Klassenmittelpunkt der untersten und der obersten Klasse
müssen vorgegeben werden. Der Rest erfolgt automatisch.
3.1.2 Aufgaben
Testen Sie das Programm, d.h. „würfeln“ Sie einzeln mit einem Würfel!
Erhöhen Sie die Zahl der Würfe langsam bis zum Maximum und beobachten Sie die Veränderungen in der Form der Verteilung sowie bei den ausgegebenen Werten (speziell Mittelwert
und Standardabweichnung)!
Notieren Sie 𝑥̅ und s für die nahezu ideale (n ≈ 125 000) Gleichverteilung!
Stellen Sie im Einzelmodus die Zahl n der Würfe auf 100 , führen Sie mehrere Messreihen
hintereinander durch und beobachten Sie die dabei entstehenden Mittelwerte. In welchem
Bereich streuen sie, wo häufen sie sich?
Stellen Sie danach im Automatischen Modus die Zahl n der Würfe ebenfalls auf 100 und die
Anzahl m der Durchläufe auf 1000. Betrachten Sie die nun entstehende (Gauß- ?) Verteilung
(vorher Klasseneinteilung optimieren). Notieren Sie die Werte für 𝑥̅ und s und überprüfen
Sie die Richtigkeit des Zusammenhangs „ 𝑠𝑥̅ = s /√𝑛 “ !
Wiederholen Sie das Ganze für n = 10 und n = 1000 .
Drucken Sie je ein Beispiel für Gleichverteilung und Mittelwertverteilung aus 10, 100 und
1000 Werten aus!
Fertigen Sie eine (qualitative) Skizze an, welche die vier Verteilungen im selben Maßstab (xAchse) zeigt. Diskutieren Sie das Ergebnis!
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3.2
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Messung der natürlichen Radioaktivität
3.2.1 Messmethode
Die Bestimmung der Zählrate erfolgt mit einem kommerziellen Strahlungsmessgerät. Dabei
werden durch die statistisch einfallenden γ-Quanten der natürlichen Radioaktivität in einem
Szintillationskristall Lichtblitze erzeugt. Diese fallen auf die Fotokatode eines Sekundärelektronenvervielfachers (SEV) und lösen dort Elektronen aus, welche durch das Dynodensystem des SEV verstärkt werden. Die Registrierung der Ausgangsimpulse des SEV
erfolgt nach weiterer Verstärkung durch einen Digitalzähler. Jeder gezählte Spannungsimpuls
entspricht einem γ-Quant. Die einzelnen Ereignisse sind statistisch unabhängig voneinander.
Das zugrundeliegende Verteilungsgesetz ist eine Poisson-Verteilung. Hinweise zu den Einstellungen am Strahlungsmessgerät liegen am Versuchsplatz aus.
3.2.2 Aufgaben
Machen Sie sich in einem Vorversuch mit Messzeit 1s ein Bild über die zu erwartenden
Zählraten und passen Sie ggf. die Einstellungen am Gerät an! Die mittlere Zählrate (Impulse
pro Sekunde) sollte im Bereich 30 bis 60 Imp/s liegen. Beachten Sie dabei auch, wie stark die
Werte von Messung zu Messung streuen.
Stellen Sie dann die Zählzeit von 1s auf 10s und nehmen Sie mindestens 20 Werte auf! Wer
einen Taschenrechner mit Statistikfunktion besitzt und diesen beherrscht, kann auch bis zu 50
Werte aufnehmen (je mehr, desto „besser“ ist die Statistik).
3.2.3 Auswertung
1.) Stellen Sie die Verteilung der Zählraten in einem Histogramm der Klassenbreite 10 dar!
Welche Art von Verteilung ist zu vermuten?
Berechnen Sie x und s
a)
direkt aus allen gemessenen Werten über die Statistikfunktion des Taschenrechners
oder per Hand aus Gl.(1) und Gl.(2) und
b)
über die Klassenmittelpunkte des Histogramms: anstatt der Originalwerte wird der
jeweilige Klassenmittelpunkt mal die Anzahl der in diese Klasse fallenden Werte
verwendet (Bild 1b)!
Beispiel: in den Bereich 420 bis 430 fallen drei Messwerte, nämlich 421, 422 und 427; für die
Berechnung von x und s wird aber dreimal der Klassenmittelpunkt 425 verwendet.
Beantworten Sie folgende Fragen im Protokoll:
Ergeben sich Unterschiede zwischen (a) und (b) und wenn ja warum?
Wann würde man sinnvollerweise Methode (b) verwenden?
Gilt s  √𝑥̅ (Poisson-Verteilung)? Hinweis dazu am Ende der Versuchsanleitung.
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2.)
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Fertigen Sie eine grafische Darstellung entsprechend Bild 3 an (Mittelwert mit angrenzendem 1s- und 2s - Intervall)! Es sollten etwa 68% der Werte im 1s - Intervall und
95% im 2s - Intervall liegen.
Prüfen Sie es nach und diskutieren Sie, welche Schlussfolgerungen sich daraus für die
Fehlerangabe x ± x eines statistisch gewonnenen wissenschaftlichen Messresultats
ergeben.
Bild 3: Darstellung von Mittelwerten einzelner Messreihen im Vergleich zu x ± 1s, ± 2s
Poisson-Verteilung:
Diese Art von Verteilung ist in der Natur sehr häufig anzutreffen. Sie entsteht immer dann, wenn eine sehr geringe
Ereigniswahrscheinlichkeit einer sehr großen Zahl von Ereignismöglichkeiten gegenübersteht (radioaktives Isotop mit
einer Halbwertszeit von Millionen Jahren zerfällt ausgerechnet jetzt, während wir es beobachten, aber es gibt extrem
viele dieser Isotope).
Die Poisson-Verteilung (Bild 4) hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Gaußschen Glockenkurve und kann für große
Mittelwerte x auch durch diese angenähert werden. Für kleine Mittelwerte ist sie unsymmetrisch. Dass eine
Normalverteilung ursprünglich aus einer Poisson-Verteilung hervorgegangen ist, sieht man am Zusammenhang s2 = x
bzw.
s  x , d.h. wenn man eine Normalverteilung findet, deren Breite s etwa gleich der Wurzel ihres Mittelwertes
ist, so kann man vermuten, dass ihr eigentlich ein poisson-verteilter Zusammenhang zugrunde liegt.
Bild 4: Poisson-Verteilung mit x = 3.
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Würden wir im Versuch (Aufgabe 3.2.2) anstatt der relativ „großen“ Zählzeiten von 1s bzw. 10s bereits nach
z.B. 0.1s messen, so kämen (bei einer Zählrate von 30 Imp/s) Zahlen zwischen 0 und ~10 heraus, mit dem
Maximum bei 3 (vergleichbar mit Bild 4: Poisson-Verteilung, deutlich unsymmetrisch). Lässt man aber das
Gerät 10s messen und nimmt dann erst den Wert auf, so werden die 100 Werte (Zufallsgrößen) bereits intern
aufaddiert und nur die Summe ausgegeben. Statistisch betrachtet sind damit unsere Messwerte „Summen von
unabhängigen Zufallsgrößen derselben Grundgesamtheit“ (genau wie vom Zentralen Grenzwertsatz verlangt),
d.h. die hier gemessenen Zählraten sollten näherungsweise normalverteilt sein. Die ursprüngliche
Poissonverteilung ist aber noch daran zu erkennen, dass die Standardabweichung etwa der Wurzel des
Mittelwertes entspricht.
Literatur:
Siehe Link: http://www.uni-jena.de/Problematik__Messabweichungen.html
1. Fehlerrechnung – leicht gemacht
2. Vorlesungen zur Fehlerechnung I,II und III
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