3. Das Prüfen von Hypothesen Hypothese ? ! Stichprobe 3.1
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3. Das Prüfen von Hypothesen Hypothese ? ! Stichprobe 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft Prüfung, ob eine (theoretische) Hypothese über die Verteilung eines Merkmals X und ihre Parameter mit einer (empirischen) Stichprobe verträglich ist Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 1 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (II) Theorie Vermutung Wunsch Befürchtung ...... ...... Hypothese aufstellen Zufallsstichprobe Hypothese prüfen Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 2 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (III) Ablehnung, wenn Stichprobe „signifikant“, d.h. mehr als zufällig, von der Hypothese abweicht Nichtablehnung, bei kleineren Abweichungen, d.h. „Zufall” wird unterstellt „Nichtablehnung“ heißt nicht „Annahme“ der Hypothese Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 3 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (IV) Beispiel: Bierabfüllanlage a) Füllmenge X Verdacht: nicht korrekt Wahrer Mittelwert µ unbekannt, aber Nennfüllmenge µ0= 500 ml Hypothesenpaar Nullhypothese Alternativhyp. H0: µ = µ0 (hier Forderung) H1: µ ≠ µ0 (hier Verdacht) Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 4 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (V) noch Beispiel: Überprüfung mit Zufallsstichprobe: Durchschnitt x aus Zufallsstichprobe Ablehnung von H0 z.B., wenn x − µ 0 „zu groß“ Was heißt "zu"? (= “signifikant”) Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 5 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft (VI) Vorgabe des Signifikanzniveaus α. Bei Ablehnung der Nullhypothese Irrtum höchstens mit der Wahrscheinlichkeit α zulässig, d.h. Alternativhypothese mit Sicherheit von mindestens 1- α wahr Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 6 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte 3.2.1 Einstichproben-Gauß-Test Hypothese über den Mittelwert eines Merkmals X anhand einer Zufallsstichprobe (X1,...,Xn) bei bekannter Streuung σ. Nullhypothese H 0 : µ = µ0 Alternativhypothese H1: µ ≠ µ0 Vorläufige Forderung: X ~ N(µ,σ2) Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 7 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (II) Aus Schätztheorie bekannt: Konfidenzintervall: z1−α ⋅ σ z1−α ⋅ σ ⎛ ⎜ 2 2 ≤µ<X + P⎜ X − n n ⎝ ⎞ ⎟ = 1 − ........ ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ gleichbedeutend: P⎜ X − µ ........ ≤ z α ⎟ = 1 − α ⎜ σ 1− ⎟ ⎝ 2⎠ Z Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 8 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (III) Wenn H0 stimmt, dann ist µ = µ0, und Testvariable Z= X − µ0 σ Prof. Dr. H. G. Strohe n standardnormalverteilt Statistik II III. 9 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (IV) und dann müsste sein: ⎞ ⎛ ⎜ P⎜ | Z |≤ z α ⎟⎟ = 1 − α 1− ⎝ 2 ⎠ 1-" "/2 -z1-"/2 0 "/2 z1-"/2 Z Andernfalls stimmt vielleicht H0 nicht. Also: H0 ablehnen, wenn ⏐z⏐>z...... (Ablehnungsbereich) Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 10 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (V) Beispiel a) (Fortsetzung): Abfüllmenge normalverteilt mit σ = 1,5 ml, H 0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 (Verdacht falscher Abfüllung) α = 0,01 (vorher festlegen) Tafel: z1-1/2 = 2,58 Zufallsstichprobe: n = 25 ergibt x = 499,28ml Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 11 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (VI) noch Beispiel noch a) z= x − µ0 σ n = −2,4 |z| = 2,4 < 2,58 ⇒ .......... Ablehnung von H..... Interpretation! Gründe? Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 12 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (VII) Vielleicht Frage H0: µ ≤ µ0 interessanter Aber unhandlich, warum? Also weiter: H0: µ = µ0 Jedoch jetzt H1 : µ > µ0 Testvariable wieder Z= rechtsseitiger Test X − µ0 Prof. Dr. H. G. Strohe σ n Statistik II III. 13 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (VIII) Wenn H0 stimmt, müsste gelten: 1-" P(Z ≤ z1−α ) = 1 − α " z 1-" Z Also H0 ablehnen, wenn Z > z1-α d. h. bei großem Ein kleines x. x stört Ho nicht. Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 14 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (IX) Beispiel b) Produzent will nachweisen, dass nicht zu wenig in den Flaschen ist: H0 : µ = µ0 (Eigentlich µ # µ0) H1: µ > µ0 (Behauptung) α=1% Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 15 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (X) noch Beispiel b) Stichprobe wie a) (darf man eigentlich nicht nehmen): x = 499,28 ml z = -2,4 Tafel: z1-α = 2,326 ⇒ ..........Ablehnung von H0 : µ ≤ µ0 Interpretation? Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 16 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XI) Dritte Möglichkeit: H0: µ ≥ µ0 Praktisch gleichbedeutend: H0 : µ = µ0 H1 : µ < µ0 linksseitiger Test ⎞ ⎛ X − µ0 n ≤ zα ⎟ = α Wenn H0 stimmt, dann gilt: P⎜ ⎝ σ ⎠ warum? Hilfe: zα = -z1-α Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 17 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XII) 99% Umgekehrt P(Z > − z1−α ) = 1 − α 1% H0 ablehnen, wenn Testvariable Z= X − µ0 σ 1-" " -z1-" z1-" Z n ≤ − z1−α also bei kleinem x Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 18 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XIII) Beispiel c) Verbraucherverband will nachweisen, dass zu wenig in den Flaschen ist. H0: µ = µ0 (eigentlich µ ≥ µ0 ) H1: µ < µ0 (Behauptung) Stichprobe wie im Beispiel a): x = 499,28 ml ; z = -2,4 ; 1- α = 0,99 ; z1-α = 2,326 ; zα = -2,326 − 2.4 < −2.326 H0 .?. abzulehnen Was sagt Verbraucherverband?? Übung: bei α = 5%? Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 19 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XIV) Gaußtest kurz: Große Stichprobe oder Normalverteilung, Varianz bekannt. Nullhypothese H0: µ=µ0 1. Alternativhypothese H1: ... a) Zweiseitig: µ ≠ µ0 b) einseitig µ > µ0 c) µ < µ0 “ Prof. Dr. H. G. Strohe H0?? Statistik II III. 20 3. 2. Hypothesen über Durchschnitte (XV) 2. α ⇒ z1-α/2 bzw. z1- α 3. Stichprobe ⇒ x ⇒ Testvariablenwert z 4. Ablehnung von H0 , wenn a) | z | > z1-α /2 b) z > z1-α c) z < -z1-α Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 21 Analyse der Nichtablehnung Beispiel a) Mögliche Ursachen ?? 1. Nullhypothese stimmt 2. Nullhypothese stimmt nicht, aber ?? 3. … (Achtung: Wenn α = 0,05 ⇒ z1-α /2 = 1,96 ⇒ |z| > 1,96 ⇒ Ablehnung) Beispiel b) Nichtablehnung trivial Lösung ohne Tafelwert möglich Prof. Dr. H. G. Strohe Statistik II III. 22
