1. Ellipsen in der Koordinatenebene

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Korrespondenzzirkel Klasse 8/9
Brief Oktober 2009
Diesmal wollen wir uns zum Thema Ellipsen“ auf einen Ausflug in die Geometrie begeben:
”
Ellipsen lassen sich auf verschiedene Arten definieren. In diesem Brief wollen wir einen kurzen
Überblick über die gängigsten Definitionen geben und deren Äquivalenz zeigen. Im Kapitel 1 werden wir dazu Ellipsen als spezielle Kurven in der Ebene betrachten und ihre Eigenschaften mit
verschiedenen Methoden der analytischen Geometrie und der klassischen euklidischen Geometrie
untersuchen. Im Kapitel 2 dann liegen unsere Ellipsen im Raum. Das macht die Sache zunächst
schwieriger, so braucht man nun statt eines zweidimensionalen Koordinatensystems ein dreidimensionales, erlaubt dafür aber einige sehr elegante neue Ansätze.
Inge Hachtel, Dr. Daniel Herden
1. Ellipsen in der Koordinatenebene
In diesem Kapitel werden wir Ellipsen zunächst als spezielle Kurven im Koordinatensystem einführen
und daraus einige Folgerungen ableiten.
Definition 1: Ellipsen als gestauchte/gestreckte Kreise
P
P
a
x
y
b
a
k
b
P'
a
k
Man zeichne im Achsenkreuz einen Kreis k um den Nullpunkt mit Radius a. Für alle Punkte P (x, y)
auf dem Kreis gilt dann nach Satz des Pythagoras die Kreisgleichung x2 + y 2 = a2 .
Es sei nun b ≤ a eine weitere positive reelle Zahl. Für jeden Kreispunkt P (x, y) wird die yKoordinate um dem Faktor b/a ≤ 1 gestaucht (für b > a spricht man von gestreckt“). Aus
”
P (x, y) entsteht auf diese Weise der Bildpunkt P 0 (x, b/a · y). Die Kurve, die von allen so gewonnenen Punkten P 0 gebildet wird, bezeichnet man als eine Ellipse, genauer: Es ist die Ellipse, die
aus dem Kreis k durch Stauchung (für b > a spricht man von Streckung“) parallel zur y-Achse
”
um dem Faktor b/a entsteht. Ellipsen kann man also als Bilder von Kreisen unter geometrischen
Abbildungen auffassen, die als Parallelstreckungen/-stauchungen bekannt sind.
Erste Beobachtungen zur Ellipse: Kreise sind selbst Ellipsen (a = b).
Offensichtlich sind die x- und die y-Achse Symmetrieachsen unserer konstruierten Ellipse und sie
ist punktsymmetrisch mit dem Symmetriezentrum M (0, 0), dem Mittelpunkt der Ellipse. Für
jeden Punkt P 0 der Ellipse liegt also sein Spiegelbild Q0 bei Punktspiegelung an M wieder auf der
Ellipse und die Strecke P 0 Q0 bildet einen Durchmesser“, wobei die Ellipse aus der x-Achse den
”
längsten Durchmesser“ (Länge 2a) und aus der y-Achse den kürzesten Durchmesser“ (Länge 2b)
”
”
ausschneidet. Man nennt daher a auch die große Halbachse und b die kleine Halbachse der
Ellipse.
1
Begründung: Die Länge des Durchmessers“ ist durch |P 0 Q0 | = 2|M P 0 | gegeben, wobei für |M P 0 |2
”
die Abschätzung
µ ¶2
µ ¶2
µ ¶2
b
b
b
2
2
2
2
2
a =
(x + y ) ≤ x +
y 2 = |M P 0 |2 ≤ x2 + y 2 = a2
b =
a
a
a
und somit b ≤ |M P 0 | ≤ a gilt.
2
Im nachfolgenden Abschnitt Gärtnerkonstruktion“ findest Du einen weiteren sehr eleganten Beweis
”
für diesen Zusammenhang.
Definition 1: Die Bilder von Kreisen unter Parallelstreckungen/-stauchungen sind Ellipsen.
Definition 2: Ellipsen und die Gärtnerkonstruktion
Möchte ein Gärtner ein Blumenbeet anlegen, welches die Form
P
einer Ellipse hat, kann er folgendermaßen vorgehen:
Er schlägt zunächst zwei Pflöcke im Abstand von z.B. 2 Metern
in den Boden und bindet an die Pflöcke die beiden Enden einer
e
F1
e
F2
z.B. 7 Meter langen Schnur. Mit einem dritten Pflock, den wir
P nennen, spannt er anschließend diese Schnur, wie es die Abbildung zeigt, und markiert mit P einen Punkt im Boden. Alle
Punkt, die sich so mit Hilfe der gespannten Schnur markieren
lassen, liegen auf einer Kurve, die, wie wir sehen werden, eine Ellipse ist. Wir bezeichnen dazu die
beiden Pflöcke allgemein mit F1 und F2 , ihren Abstand mit 2e und die Länge der Schnur mit 2s.
Definition 2: Gegeben seien positive reelle Zahlen e < s und zwei Punkte F1 , F2 der Ebene mit
| F1 F2 | = 2e. Der Ort aller Punkte P der Ebene mit | P F1 | + | P F2 | = 2s ist dann eine Ellipse.
In Worten: Die Menge der Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten
konstant ist, bildet eine Ellipse.
Man muss sich nun davon überzeugen, dass die Definitionen 1 und 2 der Ellipse übereinstimmen.
Den Beweis hierfür sollst Du Dir in Einsendeaufgabe 3 selbständig erarbeiten.
Die in Definition 2 beschriebene Ellipsenkonstruktion ist auch als Gärtnerkonstruktion bekannt
und liefert eine elegante und schnelle Methode, Ellipsen mit Hilfe zweier Reisszwecken und eines
Fadens zu konstruieren. Die beiden Punkte F1 und F2 (F für lat. focus“) bezeichnet man dabei
”
als die Brennpunkte und e als die lineare Exzentrizität der Ellipse.
Die Ellipse mit den Brennpunkten F1 und F2 ist nach KonP
struktion punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M der Strecke
F1 F2 , dem Mittelpunkt der Ellipse. Außerdem liegen F1 und
F2 auf dem längsten Durchmesser“ der Ellipse, wie die folgen”
de einfache Überlegung zeigt:
M
F1
F
2
Sei P ein beliebiger Punkt auf der Ellipse. Sein Spiegelpunkt
Q an M liegt dann ebenfalls auf der Ellipse. Wendet man nun
Q
im Parallelogramm P F1 QF2 die Dreiecksungleichung an, so
ergibt sich die Abschätzung |P Q| ≤ |P F2 | + |F2 Q| = |P F2 | + |P F1 | = 2s. Den längsten Durchmes”
ser“ erhält man bei Gleichheit in dieser Abschätzung, was genau dann der Fall ist, wenn P auf der
Geraden F1 F2 liegt.
Aus der Praxis: Die Planeten bewegen sich um die Sonne auf elliptischen Bahnen, in deren
einem Brennpunkt die Sonne liegt. Dieser Zusammenhang wurde erstmals von Johannes Kepler
(1571-1630) entdeckt und von Isaak Newton (1643-1727) über die wirkenden Gravitationskräfte
begründet.
2
2. Ellipsen im Raum
In diesem Kapitel werden wir Ellipsen als ebene Schnittflächen von Zylindern und Kegeln kennenlernen. Dies erlaubt nebenbei einen zweiten Beweis der Äquivalenz von Definition 1 und 2.
Die Überlegungen in diesem Kapitel erfordern ein solides räumliches Vorstellungsvermögen und
wir hoffen natürlich, dass Du diese Herausforderung meistern wirst. Sollten dennoch Verständnisschwierigkeiten auftreten, kannst Du notfalls den Anfang dieses Kapitels auslassen und direkt zum
Abschnitt Ellipsen und die Dandelinschen Kugeln“ wechseln, das Einsendeaufgabe 5 vorbereitet.
”
Definition 3: Ellipsen als Zylinderschnitte
Schneidet man einen Zylinder mit einer Ebene E, die nicht parallel zur Achse des Zylinders ist, so
ist die Schnittfläche eine Ellipse im Sinne der Definition 1. Wir wollen in diesem Abschnitt zwei
verschiedene Beweise für diesen Zusammenhang vorstellen.
Wir starten mit einigen vorbereitenden Überlegungen und Bezeichnungen:
Zunächst führen wir wie in der linken Abbildung weiter unten dargestellt ein dreidimensionales
Achsenkreuz ein, so dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse nach hinten und die z-Achse nach
oben zeigt. Die z-Achse soll darüberhinaus mit der Achse des Zylinders zusammenfallen und wird
von der Ebene E im Punkt O geschnitten. Der Zylinderquerschnitt, der den Punkt O enthält, habe
mit der Ebene E die gemeinsame Schnittgerade u. Diese Gerade u steht nun auf der z-Achse unseres
dreidimensionalen Achsenkreuzes senkrecht und wir können ohne Einschränkung die x-Achse des
Koordinatensystems so ausrichten, dass sie zu u parallel ist.
Wir benutzen zusätzlich ein zweites Achsenkreuz: Es ist zweidimensional, liegt in der Ebene E
und hat die Gerade u als Koordinatenachse mit Koordinatenursprung O. Die v-Achse steht in
O auf u senkrecht und schneidet den Mantel des Zylinders im Punkt U . Die u- und v-Achsen
des neuen Koordinatensystems gehen dann bei senkrechter Projektion in die x- und y-Achsen
unseres räumlichen Koordinatensystems über, und ist a der Grundkreisradius unseres Zylinders, so
schneidet der Zylinder aus der u-Achse einen Durchmesser der Länge 2a und aus der v-Achse eine
Strecke der Länge 2b (a ≤ b) aus.
z
z
v
v
Schnittebene
U
U
P
b
P
h
R
a
T
O
Q
α
O,Q
S
u
S
T
u
α
y
x
Es sei nun P ein beliebiger Punkt der Schnittkurve des Zylinders mit der Ebene E. Die Punkte S
und T sind die Bilder von P und U bei senkrechter Projektion auf den Zylinderquerschnitt durch O.
Weiter ist Q der Schnittpunkt von u mit der Ebene E 0 , die parallel zur yz-Ebene durch den Punkt
P verläuft. Die soeben konstruierten Punkte sind in der mittleren Abbildung dargestellt, während
3
das rechte Bild einen schematischen Blick von der Seite auf den Zylinder und die Schnittebene zeigt.
Dabei hat der Betrachter sich die Schnittebene als senkrecht auf der Bildebene stehend vorzustellen,
so dass man tatsächlich nur eine Gerade“ sieht. Auch die x- und die u-Achse ragen senkrecht aus
”
der Bildebene hervor. Beachte bei dieser Darstellung außerdem, dass das Dreieck OT U zur yz-Ebene
Ebene, das Dreieck QSP jedoch zur Ebene E 0 gehört, wobei diese beiden Ebenen verschieden tief
”
im Raum“ liegen.
1. Beweis (Ähnliche Dreiecke):
Das Dreieck OT U ist nun rechtwinklig mit der Hypotenusenlänge |OT | = a und der Kathetenlänge
|OU | = b. Desweiteren ist nach Konstruktion ∠U T O = ∠P SQ = 90◦ und ∠T OU = ∠SQP = α
der gemeinsame Schnittwinkel der Ebene E mit der xy-Ebene, womit die Dreiecke OT U und QSP
ähnlich sind. Es gilt insbesondere
|QP |
|OU |
b
=
= .
|QS|
|OT |
a
(2.1)
Bezeichnet weiter R in der Ebene E denjenigen Schnittpunkt der Geraden P Q mit dem Kreis k
um O mit Radius a, der im selben Quadranten des Koordinatensystems liegt wie P , folgt
b
b
· |QS| = · |QR| .
(2.2)
a
a
Dies beweist, dass die Schnittkurve aus dem Kreis k durch eine Streckung parallel zur v-Achse um
den Faktor b/a entsteht und somit eine Ellipse im Sinne der Definition 1 ist. 2
|QP | =
2. Beweis (Pythagoras):
Wir betrachten zunächst ein zweidimensionales Achsenkreuz mit einer
x- und einer y-Achse und die Gerade g mit der Steigung m > 0 und der
Geradengleichung y = m · x. Jedem Punkt S(s, 0) auf der x-Achse lässt
sich dann der Punkt S 0 (s, ms) auf der Geraden g zuordnen. Ist d der
Abstand des Punktes S 0 vom Ursprung, so gilt
√
(2.3)
d2 = s2 + (ms)2 = (1 + m2 ) · s2 und d = 1 + m2 · |s| .
S0,
Ist α der Winkel, den g mit der x-Achse bildet, so erhält man
indem
man
S
zuerst
vom
Ursprung
aus
entlang
der
x-Achse
mit
dem
Faktor
√
1 + m2 streckt und anschließend am Ursprung um den Winkel α dreht.
y
g
y = mx
d
α
s
S'
ms
x
S
Wir kehren zu unserem Zylinder und dem dreidimensionalen Koordinatensystem zurück und nehmen im folgenden ohne Einschränkung an, dass die x-Achse unseres räumlichen Koordinatensystems
mit der Geraden u zusammenfällt. Es ist dann O(0, 0, 0) der Koordinatenursprung und die Punkte
S und T liegen in der xy-Ebene. Wir können jetzt für die yz-Ebene dieselben Betrachtungen anstellen wie oben für die xy-Ebene des zweidimensionalen Achsenkreuzes: Die Punkte O, U und T
liegen in der yz-Ebene. Ist nun der Punkt U durch die Koordinaten U (0, a, h) mit h = |T U | > 0
gegeben, so wird die Schnittgerade der yz-Ebene mit der Ebene E durch
h
· y und x = 0
(2.4)
a
beschrieben. Bezeichnen wir mit α den Schnittwinkel der Ebene E mit der xy-Ebene und setzen
m := h/a,
√ so entsteht U aus T , indem man T in der yz-Ebene erst entlang der y-Achse mit dem
Faktor 1 + m2 streckt und anschließend am Punkt O um den Winkel α dreht.
Entsprechendes gilt nicht nur für Punkte auf der Geraden OU , sondern für alle Punkte der Ebene
E. Insbesondere entsteht der Punkt P√aus dem Punkt S, indem man S zunächst in der xy-Ebene
parallel zur y-Achse mit dem Faktor 1 + m2 streckt und anschließend um die x-Achse um den
Winkel α dreht. Und die gesamte Schnittkurve des Zylinders mit der Ebene E entsteht aus dem
kreisförmigen Zylinderquerschnitt mit der xy-Ebene durch eine Parallelstreckung mit dem Faktor
z=
4
√
1 + m2 parallel zur y-Achse und eine anschließende Drehung um die x-Achse, ist also eine Ellipse
im Sinne der Definition 1. 2
Da sich umgekehrt auch tatsächlich jede Ellipse im Sinne der Definition 1 leicht als Schnitt einer
Ebene mit einem geeignet gewählten Zylinder erzeugen lässt, formulieren wir
Definition 3: Zylinderschnitte sind Ellipsen.
Aus der Praxis: Schneidet man von einer zylinderförmigen Wurst ebene Wurstscheiben ab, so
sind die entstehenden Schnittflächen Ellipsen.
Unter der Sonne wirft ein hüpfender Ball auf ebenen Bodenflächen elliptische Schatten. Die Ursache
hierfür liegt darin begründet, dass Sonnenstrahlen (annähernd) parallel sind und dadurch eine
Parallelstreckung simulieren. Der Schatten des Balls ergibt sich nun durch Parallelstreckung aus
einem kreisförmigen Querschnitt des Balls, ist also eine Ellipse.
Ellipsen und die Dandelinschen Kugeln
In diesem Abschnitt werden wir einen dritten Beweis dafür geben,
dass Zylinderschnitte Ellipsen sind, indem wir diesmal die Äquivalenz der Definitionen 2 und 3 nachweisen.
Vorbereitend stellen wir uns zunächst vor, dass sowohl von oben
als auch von unten in den Zylinder passgenau je eine Kugel derart eingefügt wird, dass beide Kugeln die Schnittebene berühren.
Diese Berührungspunkte werden mit F1 und F2 bezeichnet. Das
folgende Bild zeigt hierzu wieder einen schematischen Blick von
der Seite auf den Zylinder und die Schnittebene, wobei M1 und
M2 die Mittelpunkte der eingepassten Kugeln k1 und k2 bezeichnen und P ein beliebiger Punkt auf dem Rand der gemeinsamen
Schnittfläche von Ebene und Zylinder ist. Desweiteren ist R1 R2 die
Mantellinie des Zylinders durch den Punkt P , wobei R1
zusätzlich auf k1 und R2 zusätzlich auf k2 liegen soll.
k1
Beachte, dass auch hier die Punkte F1 , F2 , M1 , M2 , P, R1
und R2 nicht in einer Ebene liegen, wie es das Bild vielR1 M1
leicht suggeriert, sondern vielmehr verschieden tief im
Schnittebene
”
Raum“.
Es lässt sich nun zeigen, dass die Summe | P F1 | + | P F2 |
F1
konstant ist, dass die Punkte P auf dem Rand der
Schnittfläche also eine Ellipse mit den Brennpunkten F1
P
und F2 bilden. Diesen Beweis sollst Du in der Einsendek2
F2
aufgabe 5 selbständig führen.
(Umgekehrt kann man sich auch leicht davon überzeugen,
dass jede Ellipse im Sinne von Definition 2 als Schnitt eiR2 M 2
ner Ebene mit einem Zylinder erzeugt werden kann!)
Die eingepassten Kugeln k1 und k2 heißen Dandelinsche Kugeln, benannt nach ihrem Erfinder G. Pierre
Dandelin (1794-1847).
5
Definition 4: Ellipsen als Kegelschnitte
Wir schneiden diesmal einen Kegel. Die Schnittebene soll
dabei so gewählt sein, dass die sich ergebende Schnittfläche räumlich begrenzt ist. Auch hier lässt sich wieder Dandelins Kugeltrick“ anwenden, woraus folgt, dass
”
die sich ergebende Schnittfläche der Gärtnerkonstruktion
genügt und somit eine Ellipse sein muss. (Mach dir Dandelins Gedankengang am nebenstehenden Bild nochmal
klar!)
Definition 4: Räumlich begrenzte Kegelschnitte sind Ellipsen.
Beachte, dass es auch Schnitte durch einen Kegel gibt, bei
denen die Schnittfläche nicht räumlich begrenzt ist (z.B.
bei einem Schnitt parallel zu einer Mantellinie). Die dabei
entstehenden Schnittflächen haben ebenfalls eine wichtige Bedeutung in Mathematik und Physik und sind als
Parabeln und Hyperbeln bekannt.
Aus der Praxis: Schneidet man die Spitze eines Eishörnchens ab, so ist die entstehende Schnittfläche eine Ellipse.
3. Die Einsendeaufgaben
Wir haben 4 verschiedene Definitionen der Ellipse kennen gelernt.
Definition 1: Gestauchte und gestreckte Kreise sind Ellipsen.
(3.1)
Definition 2: Die Menge der Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei festen
Punkten konstant ist, bildet eine Ellipse.
(3.2)
Definition 3: Zylinderschnitte sind Ellipsen.
(3.3)
Definition 4: Räumlich begrenzte Kegelschnitte sind Ellipsen.
(3.4)
In einer vollständigen Abhandlung über Ellipsen müsste die Äquivalenz dieser vier Definitionen
bewiesen werden. Diese Äquivalenz ist das Hauptthema der gestellten Aufgaben.
Aufgabe 1 hat nur die erste Definition zum Inhalt. Es soll bewiesen werden, dass aus ihr die
allgemeine Ellipsengleichung (3.5) folgt. Du darfst hier deshalb nur Definition 1 benutzen!
In Aufgabe 3 wird gezeigt, dass aus der Ellipsengleichung (3.5) die Eigenschaft (3.2) folgt.
Zusammen mit Aufgabe 1 bedeutet das: Aus (3.1) folgt (3.2). Der Versuch dies zu beweisen wird
Dich vermutlich zu umfangreichen komplizierten Rechnungen mit Wurzeln führen. Wenn das zu
schwierig wird, lass diesen Aufgabenteil weg!
Aufgabe 2 zeigt ebenfalls Zusammenhänge zwischen den Definitionen auf. Wie kann ich aus den
in Definition 2 benutzten Größen e und s die in Definition 1 benutzten Größen a und b berechnen
und wie bestimmen umgekehrt a und b die Größen e und s? Wie finde ich die beiden Brennpunkte,
wenn ich a und b kenne?
Überlege Dir folgendes: Wenn Du diese Zusammenhänge gefunden hast, kannst Du dann auch
beweisen, dass (3.1) aus (3.2) folgt?
In Aufgabe 4 werden weitere Eigenschaften der Ellipse gezeigt und Möglichkeiten gefunden, wie
man Ellipsen konstruieren kann. Aufgabe 5 hat Ellipsen im Raum zum Thema. Es soll gezeigt
werden, dass aus Definition (3.3) die Eigenschaft (3.2) folgt.
6
Einsendeaufgabe 1
a) Zur Definition 1: Zeichne den Kreis mit der Kreisgleichung x2 + y 2 = 25.
Führe die Stauchung parallel zur y-Achse durch, bei der eine Ellipse mit den Halbachsen a = 5 und
b = 3 entsteht. Konstruiere einige Ellipsenpunkte.
b) Beweise, dass für die Punkte P (x, y) auf der in a) konstruierten Ellipse die Gleichung
³ x ´2 ³ y ´2
+
= 1 gilt.
5
3
c) Zeige allgemein, dass die Gleichung
³ x ´2
+
³ y ´2
=1
a
b
eine Ellipse mit den Halbachsen a und b beschreibt.
(3.5)
Einsendeaufgabe 2
a) Zur Definition 2: Führe die Gärtnerkonstruktion für eine Ellipse mit e = 4 und s = 9 aus.
b) Eine Ellipse sei durch die Gleichung | P F1 | + | P F2 | = 2s gegeben. Zeige, dass dann für alle
Punkt Q innerhalb der Ellipse | QF1 | + | QF2 | < 2s und für alle Punkte R außerhalb der Ellipse
| RF1 | + | RF2 | > 2s gilt.
c) Bestimme e und s für die in Aufgabe 1a) gegebene Ellipse, sowie a und b für die in 2a) gegebene
Ellipse. Beweise, dass zwischen den Größen a, b, e und s die allgemeinen Zusammenhänge s = a
und s2 = e2 + b2 gelten.
Einsendeaufgabe 3
Wir betrachten für positive
Zahlen a > p
b die durch Gleichung (3.5) gegebene Ellipse, sowie die
p
2
2
beiden Punkte F1 (− a − b , 0) und F2 ( a2 − b2 , 0) .
Berechne mit dem Satz des Pythagoras für jeden Punkt P der Ellipse die Streckenlängen |P F1 |
und |P F2 |, und beweise
| P F1 | + | P F2 | = 2a.
(3.6)
Hinweis: Dieser Beweis ist sehr anspruchsvoll. Falls Du nicht über ausreichend Übung im Umgang
mit Wurzelgleichungen verfügst, solltest Du ihn auslassen. Bestimme stattdessen e und s für die
durch Gleichung (3.6) gegebene Ellipse und vergleiche Deine Resultate mit Aufgabe 2c).
Einsendeaufgabe 4 (Tangenten und die Leitkreiskonstruktion)
a) Den Kreis um F1 mit dem Radius 2s bezeichnet man als einen Leitkreis der Ellipse. Zeichne
den Leitkreis für die Ellipse aus Aufgabe 2a). Wähle einen Punkt Q auf dem Leitkreis. Verbinde Q
mit F2 und konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke F2 Q. Der gemeinsame Schnittpunkt von
F1 Q mit dieser Mittelsenkrechten sei P . Beweise, dass der so konstruierte Punkt P auf der Ellipse
liegt.
b) Beweise außerdem, dass die Mittelsenkrechte von F2 Q mit der Ellipse nur den Punkt P gemeinsam hat, also eine Tangente der Ellipse ist. Zeige auch, dass die Senkrechte auf dieser Tangenten
im Punkt P den Winkel ∠F1 P F2 halbiert.
c) Es sei ABC ein spitzwinkliges, nicht gleichseitiges Dreieck mit Höhenschnittpunkt H und Umkreismittelpunkt U . Beweise, dass eine Ellipse mit den Brennpunkten H und U existiert, die alle
Seiten des Dreiecks berührt (d.h. als Tangenten hat).
7
Einsendeaufgabe 5
Beweise, dass für die auf Seite 5 definierten Punkte P , F1 und F2 gilt:
Die Summe der Abstände | P F1 | + | P F2 | ist unabhängig von der Wahl des Punktes P auf dem
Rand der gemeinsamen Schnittfläche von Ebene und Zylinder.
Einsendeschluss (für Aufgabe 1 bis 5): 6. November 2009 (Datum des Poststempels).
8
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