Ellipsen mit dem Voyage 200

Ellipsen mit dem Voyage 200
Einspeichern der Ellipsengleichung:
am Voyage einspeichern: b^2*x^2 + a^2*y^2 = a^2*b^2 ellipse(a,b,x,y)
und mit VAR-LINK F1,6 vor überschreiben schützen
Bsp.: Ellipse mit a=12 und b=6
ges: Gleichung ellipse(12,6,x,y)
L: x2 + 4y2 = 144
Bsp.: P(5/yP>0) liegt auf einer Ellipse mit a=10 und b=4
ges.: yP solve(ellipse(10,4,5,y),y)|y>0
L: P(5/2 3 )
Bsp.: Liegt Q(8/1) auf einer Ellipse mit a=10 und b=6 ?
ellipse(10,6,8,1)
L: false Q∉Ellipse
Bsp.: R(-9/3) liegt auf einer Ellipse mit b=6
ges.: Gleichung solve(ellipse(a,6,-9,3),a)|a>0
ellipse(a,6,x,y)|a=...
2
2
L: x + 3y = 108
Bsp.: geg.: Ellipse: 3x2 + 7y2 = 84
ges.: a , b
1.Art: Berechnen der Scheitel :
3x^2+7y^2=84ell1
solve(ell1,x)|y=0
solve(ell1,y)|x=0
L: a = 2 7 , b = 2 3
2.Art: Umformen der Ellipsengleichung:
3x^2+7y^2=84
/84
expand(…)
2
2
L: a = 28 , b = 12
Bsp.: geg.: Ellipse: 25x2 + 81y2 = 441
ges.: a , b
(2.Art)
2
441
a = 25 a = 21
5
b2 =
49
9
b=
Voyage 200: Ellipsengleichung
7
3
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Bsp.: Ellipse in 1.HL enthält die Punkte P(6/2) und Q(3/-4)
ges.: Gleichung, Koordinaten der Brennpunkte
Lösungsweg: P und Q in Ellipsengleichung einsetzen 2 Gleichungen mit a und b
e mittels a2 = b2 + e2
L: ell: 4x2 + 9y2 = 180 , F1(-5/0) , F2(5/0)
oder etwas kürzer mit dem
AND-Befehl:
Bsp.: Ellipse in 1.HL mit Brennpunkt F1(-7/0) enthält den Punkt P(-2/12)
ges.: Gleichung
Lösungsweg: Brennpunkt F1 e = 7 1.Gleichung für a und b: a2 = b2 + e2
P in Ellipsengleichung einsetzen 2.Gleichung
L: ell: 3x2 + 4y2 = 588
Übe selbständig:
1) P(8/yP< 0) und Q(6/-4) liegen auf einer Ellipse mit a = 10 ges.: yP
2) Liegt P(-4/6) auf der Ellipse mit Hauptscheitel A(-8/0) und Brennpunkt F2(4/0) ?
3) Bestimme die Brennpunkte: a) 4x2 + 9y2 = 144
b) 17x2 + 25y2 = 850
4) P(8/2) und Q(5/-4) liegen auf einer Ellipse, ges.: Gleichung
[4x2+13y2=308]
5) P(3/1) und Q(1/ 3 ) liegen auf einer Ellipse, ges.: Gleichung
[x2+4y2=13]
6) P(4/1) und Q(7/ 3 ) liegen auf einer Ellipse, ges.: Gleichung
unlösbar (Überlege, warum!)
7) Ellipse: Brennpunkt F1(-15/0), P(20/-12) ∈ ell, ges.: Gleichung
[16x2+25y2=10000]
Voyage 200: Ellipsengleichung
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Lage von Ellipse und Gerade:
3 Möglichkeiten:
2 Schnittpunkte:
1 Schnittpunkt = Berührpunkt keine gemeinsamen Punkte:
Bsp.: Ermittle die Lage und - falls vorhanden - die Schnittpunkte der Ellipse ell mit der
Geraden g:
a) ell: x2 + 2y2 = 54 , g: 2x + y = 9
b) 16x2 + 25y2 =400 , g: 2x + y = 14
L: a) Sekante, S1(6/-3), S2(2/5) b) Passante
Berührbedingung:
Die Gerade t: y = kx + d berührt die Ellipse b2x2 + a2y2 = a2b2
genau dann, wenn gilt: a2k2 + b2 = d2
Herleitung:
Ellipse mit Gerade schneiden
nur 1 Schnittpunkt = Berührpunkt
nur 1 Lösung Diskriminante = 0 setzen
am Voyage einspeichern: a^2*k^2+b^2=d^2 bbell(a,b,k,d)
und mit VAR-LINK F1,6 vor überschreiben schützen
Bsp.: An die Ellipse x2 + 4y2 = 36 sollen Tangenten gelegt werden, die parallel zur Geraden
g: x + 2y = 12 sind. Berechne ihre Gleichungen!
Lösungsweg:
a und b der Ellipse bestimmen
parallele Geraden haben gleichen Anstieg k von g bestimmen
in BB einsetzen d t: y = kx + d
L: t1 : y = − 21 x + 3 2 , t2 : y = − 21 x − 3 2
Übe selbständig:
8) Lege an die Ellipse 16x2+25y2=400 jene Tangenten, die parallel zu BC [B(a/0),C(0/b)] sind!
Wie lauten die Koordinaten der Berührpunkte?
t1:y=- 54 x+4 2 , T1( 52 2 /2 2 ) , t2:y=- 54 x-4 2 , T2(- 52 2 /-2 2 )
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Bsp.: Ermittle die Tangenten t1 und t2, die man aus dem Punkt P(-2/7) an die Ellipse
ell: x2 + 4y2 = 100 legen kann! Berechne auch die Berührpunkte!
Lösungsweg:
Tangente t: y = kx + d (2 Unbekannte)
(I) P ∈ t
(II) t berührt die Ellipse BB
t mit ell schneiden
L:
Bsp.: Die Ellipse b2x2 + a2y2 = a2b2 wird in T(5/y) von der Geraden t: x – y = 6 berührt.
ges.: Gleichung der Ellipse
Lösungsweg: T in t einsetzen T ∈ ell
t berührt die Ellipse BB
L: x2 + 5y2 = 30
Übe selbständig:
9) Lege aus P(6/1) die Tangenten an die Ellipse 3x2 + 4y2 = 48 und berechne ihre
15
Berührpunkte!
[ T1(2/3) , T2( 22
7 /- 7 ) ]
10) Der Ellipse 9x2 + 16y2 = 576 wird ein gleichschenkeligrechtwinkeliges Dreieck umschrieben.
Berechne die Koordinaten der Eckpunkte und die
Berührpunkte der Dreiecksseiten!
Anleitung: t1[PQ]: y = -b mit U = Nebenscheitel
t2 [PR] hat Steigung k = tan45° = ... , R(0/d)
P = t1 ∩ t2 , S = t2 ∩ ell
Symmetrie ausnutzen!
[ P(-16/-6), Q(16/6), R(0/10), S(-6,4/3,6), T(6,4/3,6), U(0/-6) ]
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Spaltform der Tangentengleichung:
Die Ellipse b2x2 + a2y2 = a2b2 hat im Ellipsenpunkt T(xT/yT) die Tangente
t: b2· xT · x + a2 · yT · y = a2b2 (ohne Beweis)
Bsp.: Tangente im Ellipsenpunkt P(4/-1) an die Ellipse 3x2 + 4y2 = 52
t: 3·4·x + 4·(-1)·y = 52 12x – 4y = 52 3x – y = 13
Kontrolle mit Voyage :
P ∈ ell ?
P∈ t ?
ell ∩ t = P ?
Schnittwinkel zwischen Ellipse und Gerade: ∠ ell,g in P = ∠ tP,g
Bsp.: Bestimme die Schnittpunkte und Schnittwinkel der Ellipse 2x2 + 5y2 = 98 mit dem
Kreis k: x2 + y2 = 25
ell mit k schneiden 4 symmetrisch liegende Schnittpunkte Si( ± 3/ ± 4)
alle Winkel gleich wähle S1(3/4)
6

20
 
Ellipsentangente in S1: 2·3·x + 5·4·y = 98 Normalvektor n = 
3
4
Kreistangente in S1: Normalvektor = MS1 =  
Winkel zwischen 2 Vektoren: wivv([6 ;20],[3 ;4])
ϕ = ∠k, ell ≈ 20,17°
Übe selbständig:
11) Eine Ellipse in 1.HL wird in P(2/2) und Q(3/-1) von einer Geraden g geschnitten.
Berechne die Schnittwinkel der Geraden mit der Ellipse!
[g: 3x+y=8 , ell:3x2+5y2=32, ϕ P ≈ 40,6° , ϕ Q ≈ 47,5°]
12) Die Ellipse x2 + 4y2 = 81 wird in ihrem Scheitel B(x>0/0) von einem Kreis mit Mittelpunkt
M(3/0) berührt. Bestimme die weiteren Schnittpunkte und Schnittwinkel zwischen Kreis
und Ellipse!
[k: x2-6x+y2=27 , S1,2(-1/ ± 2 5 ), 38,61°]
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Extremwertaufgaben mit Ellipsen:
Bsp.:Der Ellipse x2 + 2y2 = 16 ist das flächengrößte achsenparallele Rechteck einzuschreiben.
Wie lang, wie breit und wie groß ist dieses Rechteck?
Skizze:
a und b bestimmen: a =
b=
HB: P(u/v) ∈ ell: A= 2u·2v → max
2u·2v hb(u,v)
NB: P ∈ ell P in Ellipsengleichung einsetzen
u=
Zielfunktion: f(v) =
Definitionsmenge: Dv =
Ableitungen bilden:
f’(v) =
f’’(v) =
Extremwerte ausrechnen: f’(v) = 0
v1 =
v2 = -2 ∉ Dv
Kontrolle mit f’’: f’’(
)=
f(v) =
Randextrema: nicht sinnvoll
Antwort: Länge =
Breite =
Amax =
Übe selbständig:
13) Der Ellipse x2 + 2y2 = 36 wird ein möglichst großes gleichschenkeliges Dreieck eingeschrieben, dessen Spitze
a) im Hauptscheitel A(x<0/0) ( Skizze, HB: A = 21 ·(a+u)·2v )
b) im Nebenscheitel C(0/y<0) liegt.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks!
14) Dem im 1. und 2.Quadranten liegendem Teil der Ellipse 2x2 + 3y2 = 6
ist das flächengrößte rechtwinkelige Dreieck so einzuschreiben,
dass ein Eckpunkt mit dem Brennpunkt F1(e<0/0) zusammenfällt.
Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks!
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Bsp.:Der Ellipse x2 + 4y2 = 100 ist das flächenkleinste gleichschenkelige Dreieck, dessen Basis
die Ellipsentangente im Nebenscheitel D(0/-b) ist, zu umschreiben.
Wie groß ist dieses Dreieck?
Skizze:
a und b bestimmen: a = 10
Koordinaten von P und Q: P(
HB: Flächeninhalt A =
mit: c = 2·
− ( d + 5)
k
1
2
b=5
− ( d + 5)
k
/ -5 ) , Q ( 0 / d )
c hc min
und hc = 5 + d hb(k,d)
NB: t ist Tangente Berührbedingung
bbell(10,5,k,d) nb
d = ...
(d muss positiv sein!)
oder: solve(nb,k)|k<0 und dann f(d) = ...
(Überlege, warum k< 0 und Dd = ]b, ∞ [ ist!)
Zielfunktion: f(k) =
Definitionsmenge: Dk = ] - ∞ ; 0 [ = R
-
(t ist fallend !)
Ableitungen bilden:
f’(k) =
f’’(k) =
Extremwerte ausrechnen: f’(k) = 0
k1 =
3 ∉ D
k
2
k2 = - 3
2
Kontrolle mit f’’: f’’(
) = 150 3 > 0
f(k) = 150 3 = 259,8076...
Randextrema: nicht sinnvoll
Antwort: Amin ≈ 259,8
Übe selbständig:
15) An die Ellipse 4x2 + 25y2 = 800 wird jene im 1.Quadranten berührende Tangente gelegt,
die mit den positiven Koordinatenachsen das flächenkleinste Dreieck bildet. Berechne
dessen Flächeninhalt und die Koordinaten des Berührpunktes!
[t:y=-0,4x+8 ; Amin=80 ; T(10/4)]
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weitere Übungsbeispiele :
 6 2
16) Von einer Ellipse kennt man einen Brennpunkt F1(-5/0) und eine Tangente t: X =   + t  
8  1 
Berechne die Gleichung der Ellipse sowie die Koordinaten des Berührungspunktes T von t !
17) Berechne jene Punkte P der Ellipse 4x2 + 9y2 = 180 , in denen die Brennstrecken PF1 und
PF2 aufeinander normal stehen! (Hinweis: schneide einen Thaleskreis mit der Ellipse)
18) geg.: ell: 16x2 + 25y2 = 2500 ; P(10/y>0) ∈ ell
ges.: Winkel, den die Brennstrecken im Punkt P einschließen
19) geg.: ell: 9x2 + 34y2 = 306
ges.: Gleichungen jener Tangenten, die parallel zu F2C sind [F2(x>0/0)]
20) Der Ellipse x2 + 3y2 = 52 ist ein Dreieck ABC [ A(4/8), B(xB>0/y), C] umschrieben. Die
Berührpunkte Ta(-2/-4), Tb und Tc der Dreiecksseiten bilden ebenfalls ein (der Ellipse
eingeschriebenes) Dreieck. Zeige, dass der Flächeninhalt des ∆ ABC viermal so groß ist
wie der Flächeninhalt des Dreiecks ∆ TaTbTc !
21) Die Punkte P(6/-3) und Q(2/5) liegen auf einer Ellipse in 1.HL. Berechne den Winkel, den
die Tangenten tP und tQ einschließen!
22) Berechne die Schnittpunkte und den Schnittwinkel der Ellipse 4x2 + 9y2 = 180 mit dem
Kreis k: M = Brennpunkt F2(x>0/0), r = 5
23) Von einer Ellipse kennt man eine Tangente t: x – y = 4 mit Berührpunkt T(3/y).
Wie weit ist der Brennpunkt F2(x>0/0) von der Tangente t entfernt?
24) Durch den auf der positiven x-Achse liegenden Brennpunkt der Ellipse 4x2 + 9y2 = 180
wird eine Sehne parallel zur Geraden g: 2x + y = 0 gelegt. Wie lang ist diese Sehne? Unter
welchem Winkel schneidet sie die Ellipse im 1.Quadranten?
25) Die Eckpunkte eines Dreiecks ABC [ A(-6/4), B und C liegen auf g: X = (5/0) + t(1/1) ]
liegen auf einer Ellipse in 1.HL mit e = 5 3 . Berechne H, U und S des Dreiecks ABC und
überprüfe, dass sie auf einer Geraden liegen!
LÖSUNGEN:
16) 3x2 + 8y2 = 120; T(-4/3) 17) Si(±3/±4) 18) 48,46° 19) t1: y=-0,6x+4,61 ; t2 : y=-0,6x-4,61
20) B(10/-6), C(-14/-2), Tb(-5/3), Tc(7/1), AABC=156 21) x2+2y2=54 ; 56,31° 22) Si(6/±2);
26,57° 23) ≈0,8 24) 45 , 45° 25) e : 43x – 7y = 24
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