ANALYSIS 1 1. Beweisprinzipien 1.1. Aussagenlogik. Negation

ANALYSIS 1
1. Beweisprinzipien
1.1. Aussagenlogik.
Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation, Äquivalenz, Wahrheitstafeln
1.2. Axiome.
1.3. direkter Beweis.
Beispiel: Das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade.
1.4. indirekter Beweis durch Kontraposition.
Beispiel: Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl ungerade, so ist die
Zahl ungerade.
1.5. indirekter
Beweis durch Widerspruch.
√
Beispiel: 2 6∈ Q
1.6. Prinzip der vollständigen Induktion.
Pn
1.7. Notation:
k=1 ak
Pn
(n+1)n
1.8. Satz:
k=1 k =
2
1.9. Notation: Fakultät, Binomialkoeffizient
n−1
1.10. Lemma: nk = n−1
+
k−1
k
1.11. Satz: binomische Formel
n X
n k n−k
(x + y) =
x y
k
k=0
n
2. Sprache der Mathematik
2.1. ”Naive” Definition (Cantor): Menge
Bezeichnungen: x ∈ M , x 6∈ M , N ⊂ M , N = M
2.2. Operationen mit Mengen.
M ∪ N , M ∩ N , M \N
Kommutativität, Assoziativität und Distributivität von ∩ and ∪
1
2
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2.3. Beispiele und Notationen für Mengen.
∅, N, N0 , Z, Q, R, C
(0 ist für uns nicht in N!)
2.4. Quantoren.
∀x ∈ M : A(x); ∃x ∈ M : A(x)
∀x ∃y : A(x, y) 6⇔ ∃y ∀x : A(x, y)
2.5. Verneinung von Quantoren.
Beispiel: Verneinung von f ist bei x stetig
2.6. Notation: Vereinigung und Durchschnitt von beliebig vielen Mengen
T
S
i∈I Mi
i∈I Mi ,
2.7. Satz: Regeln von de Morgan
[ \
Mi = (M0 \Mi )
M0 \
i∈I
M0 \
\
i∈I
i∈I
Mi
[
= (M0 \Mi )
i∈I
2.8. Definition. von Abbildungen oder Funktionen
Definitionsbereich, Bildraum (Wertebereich)
injektiv, surjektiv, bijektiv
2.9. Definition: Komposition von Funktionen
f ◦g
2.10. Notation: Identitätsabbildung
idX : X → X
f ◦ idX = f = idX ◦ f für f : X → X
beachte: im allgemeinen ist f ◦ g 6= g ◦ f
2.11. Definition: Umkehrabbildung
Für bijektives f : X → Y existiert f −1 : Y → X
f ◦ f −1 = idY , f −1 ◦ f = idX
2.12. Definition: gleichmächtig, abzählbar, überabzählbar
Beispiel: abzählbar sind endliche Mengen, N, Z, Q
2.13. Satz (Cantor): R ist überabzählbar
Beweis durch Diagonalverfahren
3. R als angeordneter Körper
3.1. Definition: Körper
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3.2. Beispiele: für Körper
kein Körper: Z
Körper: Q, R, C und Fp für p Primzahl
3.3. Einfache Folgerungen aus Körperaxiomen.
3.4. Definition: angeordneter Körper
3.5. Notationen.
a > b, a < b, a ≥ b, a ≤ b, max(a, b), min(a, b)
3.6. Beispiele von angeordneten Körpern.
Q, R sind angeordnete Körper
C und Fp können nicht angeordnet werden (Beweis für F2 )
3.7. Einfache Folgerungen aus Anordnungsaxiomen.
3.8. Bemerkung: Einbettung von N in angeordneten Körper
3.9. Satz: Bernoullische Ungleichung
(1 + x)n ≥ 1 + nx für x > −1
3.10. Definition: Absolutbetrag
3.11. Eigenschaften von Absolutbetrag.
Dreiecksungleichung
3.12. Definition: archimedischer Körper
3.13. Bemerkung: Folgerungen aus archimedisch
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : n1 < ε
3.14. Axiom: R ist archimedisch angeordneter Körper
3.15. Bemerkung: Was ist Unterschied zwischen Q und R?
R ist vollständig, Q nicht;
zur Formalisierung davon werden wir Folgen benutzen
4. Folgen
4.1. Definition: Folge reeller Zahlen
4.2. Beispiele von Folgen.
an = 2, an = n, an = n1 , an = (−1)n
4.3. Definition: konvergente Folge
4.4. Bemerkung: inverse Dreiecksungleichung
3
4
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4.5. Beispiele: konvergenter Folgen
an = 2 konvergiert gegen 2, an = n konvergiert nicht,
an = n1 konvergiert gegen 0, an = (−1)n konvergiert nicht
4.6. Bemerkung: Grenzwert konvergenter Folgen ist eindeutig
4.7. Sprechweise: divergente Folgen
4.8. Bemerkung: Abänderung endlich vieler Folgenglieder
Der Grenzwert konvergenter Folgen ändert sich dadurch nicht
4.9. Satz: Grenzwert der geometrischen Reihe
Für x ∈ R mit |x| < 1 konvergiert sn = 1 + x + x2 + . . . + xn gegen
1
.
1−x
4.10. Beispiele. der Verwendung geometrischer Reihen
Der periodische Dezimalbruch 0, 37 ist als 37
schreibbar.
99
4.11. Definition: beschränkte Folgen
4.12. Satz: Jede konvergente Folge ist beschränkt
4.13. Bemerkung: |x − a| < ε ⇐⇒ a − ε < x < a + ε
4.14. Satz: additive und multiplikative Verknüpfung von Limiten
Sind (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen, so gilt
limn→∞ (an + bn ) = limn→∞ an + limn→∞ bn sowie
limn→∞ (an · bn ) = limn→∞ an · limn→∞ bn
4.15. Korollar: skalare Multiplikation von Folgen und Subtraktion
Sind (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen und λ ∈ R, so ist
limn→∞ (λan ) = λlimn→∞ an und limn→∞ (an −bn ) = limn→∞ an −limn→∞ bn
4.16. Beispiele.
an = n+1
konvergiert gegen 1, bn =
n
n+1 2
n
konvergiert gegen 1
4.17. Satz: Quotienten konvergenter Folgen
Sind (an)n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen mit limn→∞ bn 6= 0, so ist
n→∞ an
limn→∞ abnn = lim
limn→∞ bn
4.18. Beispiel.
5n2 +2n+1
→ 35
3n2 +10n
4.19. Satz: Einschachtelung von Folgen
Für konvergente Folgen an ≤ bn ist limn→∞ an ≤ limn→∞ bn .
Für konvergente Folgen (bn )n∈N und (b0n )n∈N mit limn→∞ bn = limn→∞ b0n
und b0n ≤ an ≤ bn folgt limn→∞ an = limn→∞ bn .
4.20. Bemerkung: Aus an < bn folgt nicht limn→∞ an < limn→∞ bn
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5
4.21. Beispiel: Berechnung des Limes von an = nxn
4.22. Definition: bestimmt divergente Folge
Bezeichnung: limn→∞ an = ∞ oder an → ∞
4.23. Beispiele.
an = n: an → ∞
an = −n2 : an → ∞
((−1)n )n∈N und ((−1)n n)n∈N divergent
4.24. Satz: lim an = ∞ ⇔ lim 1/an = 0 falls an > 0 für alle n ∈ N
4.25.
P∞ unendliche Reihe
P∞ Definition:
k=n0 ak
k=1 ak oder
4.26. Beispiele. für P
Reihen
1
n
geometrische Reihe: ∞
n=0 x = 1−x für |x| ≤ 1
P∞
1
=1
k=1
P∞ k(k+1)
1
π2
Beweis)
k=1 k2 = 6 (ohneP
1
harmonische Reihe ∞
k=1 k = ∞ P
k1
alternierende harmonische Reihe: ∞
k=1 (−1) k = ln 2 (ohne Beweis)
5. Vollständigkeitsaxiom
5.1. Motivation: R ist vollständig, Q nicht
In Q gibt es Folgen, die eigentlich konvergieren sollten, aber keinen
Grenzwert in Q haben.
Formalisierung von “sollten eigentlich konvergieren” durch Konzept der
Cauchy-Folge
5.2. Definition: Cauchy-Folge
5.3. Satz: Jede konvergente Folge ist Cauchy-Folge
5.4. Vollständigkeitsaxiom für R.
Jede Cauchy-Folge reeller Zahlen konvergiert gegen einen Grenzwert in
R.
5.5. Bemerkungen.
Unabhängigkeit des Vollständigkeitsaxioms von anderen Axiomen;
Cauchy-Eigenschaft erlaubt Überprüfen der Konvergenz ohne Grenzwert zu kennen;
|an − an+1 | < ε reicht nicht für Cauchy-Eigenschaft
5.6. Notation: Intervalle in R
[a, b], (a, b], [a, b), (a, b), |I| := b − a
6
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5.7. Intervallschachtelungs-Prinzip.
5.8. Satz: Äquivalenz von Vollständigkeitsaxiom und Intervallschachtelungs-Prinzip
5.9. Bemerkungen.
man braucht abgeschlossene Intervalle in Intervallschachtelungs-Prinzip;
Cauchyfolgen sind besser geeignet als Intervallschachtelungen, um Vollständigkeit in allgemeineren Situationen zu definieren
5.10. Definition: Teilfolge
(ank )k∈N
5.11. Bemerkung: Teilfolge einer konvergenten Folge hat denselben
Grenzwert
5.12. Satz von Bolzano-Weierstraß.
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge
5.13. Bemerkungen.
unbeschränkte Folgen brauchen keine konvergenten Teilfolgen zu besitzen;
B-W sagt im wesentlichen, dass Intervall [a, b] ”kompakt” ist, d.h. dass
dort nicht unendlich viele Zahlen Platz haben, ohne sich irgendwo zu
häufen
5.14. Definition: monotone Folgen
monoton wachsend, streng monoton wachsend, monoton fallend, streng
monoton fallend
5.15. Satz: Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent
5.16. Satz: Konvergenz
√ von Quadratwurzelalgorithmus
1
a
xn+1 := 2 (xn + xn ) → a
5.17. Bemerkungen.
Konvergenz quadratisch;
analoger Algorithmus für k-te Wurzel
√
a
xn+1 := k1 ((k − 1)xn + xk−1
)→ ka
n
√
n
n = 1.
√
5.19. Korollar: lim n a = 1 für a > 0
5.18. Satz: lim
5.20. Bemerkung: Jede reelle Zahl ist durch b-adische Brüche darstellbar.
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7
6. Konvergenzkriterien für Reihen
6.1. Satz: Cauchy-Kriterium
P
6.2. Satz: Konvergenz von
an impliziert an → 0
6.3. Bemerkung: Umkehrung gilt nicht; Beispiel:
P
1
n
=∞
6.4. Satz: Reihe mit positiven Gliedern konvergiert genau dann, wenn
Folge der Partialsummen beschränkt
P 1
P1
konvergiert nicht;
konvergiert
6.5. Beispiele:
n
n2
6.6. Satz: Majorantenkriterium
6.7. Bemerkung: inverse Dreiecksungleichung zeigt: an → a impliziert
|an | → |a|
6.8. Definition: absolut konvergent
6.9. Bemerkung: absolut konvergent
konvergent;
P ⇒k+1
Umkehrung gilt nicht; Beispiel:
(−1) k1 konvergiert, aber nicht
absolut
6.10. Satz: Quotientenkriterium
|
6.11. Bemerkung: Existiert α := lim |a|an+1
, dann:
n|
α < 1 impliziert absolute Konvergenz,
α > 1 Divergenz;
keine Aussage möglich für α = 1
6.12. Satz: Wurzelkriterium
6.13. Bemerkung: Existiert β := lim
β < 1 impliziert absolute Konvergenz,
β > 1 Divergenz;
keine Aussage möglich für β = 1
p
n
|an |, dann:
6.14. Satz: alternierende Reihen
6.15. Beispiel: alternierende harmonische Reihe
(aber nicht absolut)
P
(−1)n+1 n1 konvergiert
6.16. Definition: bedingt konvergent
7. Umordnung von Reihen
7.1. Motivation: Klammern setzen kann divergente Reihen in konvergente umwandeln, aber nicht umgekehrt, und Umordnung von Reihen
ist noch problematischer
8
ANALYSIS 1
7.2. Beispiel: Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe kann
ihren Wert halbieren
7.3. Bemerkung: bei bedingt konvergenten Folgen kann durch Umordnung jeder beliebige Wert erreicht werden (Riemannsche Umordnungssatz);
bei absolut konvergenten Reihen kann so was nicht passieren - dies wird
durch den Begriff “summierbar” präzisiert
7.4. Bezeichnung: Familie reeller Zahlen
(ai )i∈I
7.5. Satz und Definition: äquivalente Characterisierungen von “absolut summierbar”
7.6. Bemerkung: Summe und Vielfache von absolut summierbaren
Familien sind absolut summierbar
7.7. Definition: Summierbarkeit von Familie (ai )i∈I
7.8. Bemerkung: Wert der Summe von summierbaren Familien eindeutig bestimmt;
P
Bezeichnung: i∈I ai
7.9. Satz: Jede absolut summierbare Familie ist summierbar
7.10. Satz: Jede summierbare Familie ist absolut summierbar
7.11. Bemerkung: summierbar = absolut summierbar = absolut konvergent in einer (und in allen) Anordnungen
7.12. Satz: Großer Umordnungssatz
7.13. Korollar: Doppelreihensatz (Satz von Fubini)
7.14. Korollar: Satz vom Cauchy Produkt
P∞ xn
7.15. Bemerkung: Reihe
n=0 n! ist absolut konvergent für jedes
x∈R
7.16. Definition: Exponentialfunktion exp : R → R
7.17. Satz: exp(x + y) = exp(x) · exp(y) für alle x, y ∈ R
7.18. Notation: e := exp(1)
7.19. Bemerkungen: exp(n) = en für n ∈ N, exp(x) 6= 0 für alle
x ∈ R und exp(x) > 0 für alle x ∈ R
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9
7.20. Satz: Für |x| ≤ (N + 2)/2 gilt
| exp(x) −
N
X
xn
n=0
n!
|≤2
|x|N +1
(N + 1)!
8. Teilmengen von R
8.1. Definition: beschränkt nach oben, beschränkt nach unten, beschränkt
(für Teilmengen von R)
8.2. Definition: Supremum (oder kleinste obere Schranke), Infimum
(oder größte untere Schranke)
8.3. Satz: Supremumseigenschaft von R
8.4. Bemerkung: Vollständigkeitsaxiom, Intervallschachtelungs-Prinzip
und Supremumseigenschaft sind äquivalent
8.5. Bezeichnungen: sup D, inf D, Maximum, Minimum, sup D =
∞, inf D = −∞
8.6. Bemerkungen: sup muss kein max sein, Existenz approximierender Folgen
8.7. Beispiele: für inf und sup
8.8. Definition: lim supn→∞ an , lim inf n → ∞an ; ±∞ als Werte zugelassen
8.9. Bemerkungen: Existenz der Grenzwerte der Folgen in obigen
Definitionen; lim inf an ≤ lim sup an
8.10. Beispiele: für lim inf und lim sup
8.11. Definition: Häufungspunkt einer Folge
8.12. Satz: Für beschränkte Folge ist lim inf der kleinste und lim sup
der größte Häufungspunkt
8.13. Satz: Eine beschränkte Folge konvergiert genau dann, wenn lim sup
und lim inf übereinstimmen
8.14. Bemerkung: lim sup an = a ist äquivalent zu: für alle ε > 0
gilt: an < a + ε für alle bis auf endliche viele n und am > a − ε für
unendlich viele m
9. Funktionen, Stetigkeit
9.1. Definition: Funktion, Definitionsbereich, Graph
10
ANALYSIS 1
9.2. Bemerkung: analoge Definitionen möglich für Funktionen, die
nicht auf Teilmengen von R definiert sind
9.3. Beispiele: konstante und lineare Funktion, Betragsfunktion, Wurzelfunktion, Polynomfunktion, rationale Funktion, Indikatorfunktion der
rationalen Zahlen
9.4. Definition: f + g, λf , f g, f /g
9.5. Definition: Komposition g ◦ f
√
9.6. Beispiel: | · | = · ◦ q, wobei q(x) = x2
9.7. Definition: limx→a f (x) = c (mit -δ-Kriterium)
9.8. Satz. Charakterisierung durch Folgen
9.9. Schreibweisen:
lim f (x) = c,
x→∞
lim = c,
x→−∞
lim f (x) = c,
x&a
lim f (x) = c
x%a
9.10. Beispiele dazu.
9.11. Definition: stetig in a, stetig auf D (für Funktion f : D → R)
9.12. Beispiele: Exponentialfunktion, konstante und lineare Funktion
sind überall stetig; f (x) = [x] ist unstetig in ganzen Zahlen
9.13. Satz: Mit f, g sind auch f + g, f g und λf stetig; falls g(x) 6= 0
überall, dann ist auch f /g stetig
9.14. Korollar: Jede Polynomfunktion ist stetig.
9.15. Satz: Stetigkeit der Komposition von stetigen Funktionen
10. Sätze über stetige Funktionen
10.1. Zwischenwertsatz.
10.2. Korollar: Existenz einer n-ten Wurzel für positive reelle Zahlen
10.3. Korollar: Existenz mindestens einer Nullstelle für eine ungerade
Polynomfunktion
10.4. Definition: beschränkt (für Funktion)
10.5. Satz: Jede stetige Funktion auf beschränktem, abgeschlossenem
Interval ist beschränkt und nimmt Maximum und Minimum an.
10.6. Bemerkung: Satz gilt nicht für offenes Intervall
10.7. Definition: gleichmäßig stetig
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11
10.8. Beispiel: x 7→ 1/x ist auf (0, 1) stetig, aber nicht gleichmäßig
stetig.
10.9. Satz: Jede stetige Funktion auf beschränktem, abgeschlossenem
Intervall ist dort gleichmäßig stetig.
11. Logarithmus und allgemeine Potenz
11.1. Definition: monoton wachsend (für Funktion)
11.2. Satz: Existenz und Stetigkeit der Umkehrfunktion einer stetigen
streng monoton wachsenden Funktion
√
11.3. Korollar: Existenz und Stetigkeit von k x auf [0, ∞)
11.4. Korollar: Existenz und Stetigkeit vom Logarithmus
ln : (0, ∞) → R;
Funktionalgleichung
ln(xy) = ln x + ln y
∀ x, y ∈ (0, ∞)
11.5. Bemerkung: ln(e) = 1 und
lim ln x = ∞,
x→∞
lim ln x = −∞
x&0
11.6. Definition: Für a > 0 und x ∈ R:
ax := exp(x · ln a)
11.7. Bemerkungen: Stetigkeit und einfache Relationen für ax
11.8. Satz: Es gilt für k ∈ N und α > 0:
lim xk e−x = 0,
x→∞
lim xα = 0,
x&0
lim x−α ln x = 0
x→∞
12. Komplexe Zahlen
12.1. Motivation: R ist nicht algebraisch abgeschlossen, da x2 = −1
keine Lösung in R besitzt; erweitere R mit der neuen Zahl i mit i2 = −1
12.2. Definition: komplexe Zahlen C sind definiert durch
C = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R}
mit Addition und Multiplikation; setze i := (0, 1) ∈ C und identifiziere
x ∈ R mit (x, 0) ∈ C; dann ist (x, y) = x + iy
12.3. Bemerkung: Veranschaulichung von C durch komplexe Zahlenebene;
C ist Körper; C kann nicht angeordnet werden; C ist vollständig, C ist
algebraisch abgeschlossen (Fundamentalsatz der Algebra)
12
ANALYSIS 1
12.4. Notationen: Realteil <(z), Imaginärteil =(z), Konjugierte z̄,
Betrag |z| von komplexer Zahl z
12.5. Bemerkungen: einfache Relationen zwischen obigen Größen;
Veranschaulichung der Größen in der Zahlenebene
12.6. Satz: Norm-Eigenschaften von Betrag, insbesondere Dreiecksungleichung
12.7. Definition: Konvergenz einer Folge komplexer Zahlen
12.8. Satz: Konvergenz komplexer Zahlen ⇔ Konvergenz von Realteil
und von Imaginärteil
12.9. Satz: Verträglichkeit der Konvergenz komplexer Zahlen mit algebraischen Operationen und mit Konjugation
12.10. Definition: Cauchy-Folge komplexer Zahlen
12.11. Satz. Cauchy-Eigenschaft einer Folge komplexer Zahlen ⇔ CauchyEigenschaft von Realtteil und von Imaginärteil der Folge
12.12. Korollar: C ist vollständig
12.13. Definition: absolute Konvergenz einer Reihe komplexer Zahlen
12.14. Satz: Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent
12.15. Korollar: absolute Konvergenz der Exponentialreihe im Komplexen und Definition von exp : C → C
12.16. Bemerkung: Betrachtungen über Summierbarkeit gelten auch
für komplexe Folgen; insbesondere können absolut konvergierende komplexe Reihen umgeordnet werden
12.17. Satz: Funktionalgleichung der Exponentialfunktion gilt auch
im Komplexen
12.18. Bemerkungen: exp(z) 6= 0 für alle z ∈ C; aber exp(z) muß
nicht größer 0 sein; Schreibweise:
exp(z) = ez
12.19. Definition: Stetigkeit einer komplexen Funktion
12.20. Beispiele: z 7→ z̄ ist stetig; Summe, Produkt und Komposition
stetiger Funktionen (und Quotient, falls definiert) sind stetig; Realteil
und Imaginärteil von stetigen Funktionen sind stetig
12.21. Satz: exp : C → C ist stetig
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13
13. Trigonometrische Funktionen
13.1. Motivation: Verhalten von eix (x ∈ R) auf dem Einheitskreis
13.2. Definition: Für x ∈ R definiere Cosinus und Sinus durch:
cos x = <(eix ),
sin x = =(eix )
somit: eix = cos x + i sin x und cos2 x + sin2 x = 1
13.3. Satz: cos und sin sind stetig.
13.4. Satz: Verhalten von sin und cos unter Vorzeichenwechsel und
Additionstheoreme
13.5. Satz: Reihenentwicklungen von sin und cos
13.6. Satz: Abschätzung des Restgliedes in diesen Entwicklungen
13.7. Motivation: wollen π/2 als ”erste” Nullstelle von cos definieren
13.8. Lemma: cos(2) ≤ −1/3, sin x > 0 auf (0,2), cos ist in [0, 2]
streng monoton fallend
13.9. Satz: cos hat im Intervall [0, 2] genau eine Nullstelle, diese wird
als π/2 bezeichnet.
13.10. Bemerkungen: einige einfache Folgerungen über Verhalten von
sin und cos unter Verschiebung um π/2, π und 2π; Beschreibung der
Nullstellen von sin und von cos und Charakterisierung der Lösungen
von eix = 1 für x ∈ R; arccos, arcsin
13.11. Satz: Polarzerlegung z = reiθ einer komplexen Zahl z
13.12. Bemerkung: Multiplikation von komplexen Zahlen ist gegeben
durch Betragsmultiplikation und Winkeladdition
13.13. Korollar: Existenz der n-ten Einheitswurzeln
13.14. Beispiel. 5-ten Einheitswurzeln
14. Differentiation
14.1. Motivation und Geschichte: Ableitung f 0 (x) entspricht Steigung der Tangente an f im Punkt (x, f (x)); diese Tangente ist beste
lineare Approximation von f in der Nähe vom Punkt x; um 1680
Begründung der Infinitesimalrechnung durch Leibniz (Tangentenproblem) und Newton (klassische Mechanik, Momentangeschwindigkeit); im
19. Jahrhundert rigorose Begründung durch Theorie der Grenzwerte,
insbesondere durch Cauchy und Weierstraß
14
ANALYSIS 1
14.2. Definition: differenzierbar im Punkt x; differenzierbar in D;
Differentialquotient oder Ableitung f 0 (x); andere Schreibweise
df f 0 (x0 ) =
dx x=x0
14.3. Beispiele: c0 = 0, x0 = 1, (x2 )0 = 2x
14.4. Satz: Äquivalente Charakterisierungen von Differenzierbarkeit
in x, insbesondere durch
f (y) − f (x) = η(y)(y − x),
wobei η in x stetig
14.5. Satz: Mit f und g sind auch f + g, λf (λ ∈ R) und f g differenzierbar; Regeln für Ableitungen, insbesondere Produktregel
14.6. Korollar: Ableitungen von xn und Polynomfunktionen
14.7. Bemerkung. Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit
14.8. Satz: Kettenregel
14.9. Korollar: Quotientenregel
14.10. Beispiele: exp, sin, cos sind auf R differenzierbar und es gilt:
exp0 (x) = exp(x),
sin0 (x) = cos(x),
cos0 (x) = − sin(x)
Bemerkung: Formal sieht man exp0 = exp auch durch gliedweises Differenzieren der unendlichen Reihe für exp; allerdings können wir im
Augenblick die Vertauschung der unendlichen Summation mit der Differentiation noch nicht rechtfertigen
14.11. Satz: Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion und Regel zur
Berechnung dieser Ableitung
Bemerkung: Regel folgt aus Kettenregel, allerdings muss erst die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion gezeigt werden
14.12. Beispiel: Logarithmus is auf (0, ∞) differenzierbar und es gilt
ln0 (x) =
1
x
14.13. Notation: höhere Ableitungen f (k)
Beispiel: exp(n) (x) = exp(x)
14.14. Beispiel: Betragsfunktion ist in 0 stetig, aber nicht differenzierbar
ANALYSIS 1
15
15. Lokale Extrema und Mittelwertsatz
15.1. Definition: lokales Maximum, lokales Minimum (nur für innere
Punkte des Definitionsbereiches)
15.2. Satz: Verschwinden der Ableitung bei lokalem Extremum, falls
Funktion dort differenzierbar
Bemerkungen: Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend für
lokales Extremum; Beispiel: f (x) = x3 ;
Satz gilt nicht für lokales Extremum am Rand des Definitionsbereiches
15.3. Satz von Rolle.
15.4. Mittelwertsatz.
15.5. Bemerkung: Kandidaten für Extremstellen von stetiger Funktion auf abgeschlossenem Interval
15.6. Satz: Monotoniekriterien (mit Hilfe des Vorzeichens der Ableitung)
15.7. Bemerkung: monoton wachsend impliziert Ableitung ≥ 0; aber
streng monoton wachsend impliziert nicht Ableitung > 0; Gegenbeispiel:
f (x) = x3
15.8. Beispiel: Monotonieverhalten von f (x) = x1/x
15.9. Satz: Beschreibung von lokalen Extrema durch zweite Ableitung
15.10. Satz: f 0 konstant gleich Null impliziert f ist konstant
15.11. Satz. Lösung der Differentialgleichung f 0 (x) = af (x) ist f (x) =
C exp(ax)
15.12. Satz: Regeln von l’Hospital
15.13. Beispiele:
sin x
1
lim
=
−
,
x→0 1 − e2x
2
ln x
= 0 (α > 0)
x→∞ xα
lim
16. Integration
16.1. Motivation: Berechnung von Flächeninhalten: Approximiere
komplizierte Flächen durch einfache (Rechtecke) und nimm Grenzwert;
Spezialfälle seit Antike (z.B. Archimedes ∼ 250 v.Chr.), systematische
Theorie aber erst mit Leibniz/Newton ∼ 1680)
Betrachte Fläche unter Graph einer Funktion; Approximation der Fläche
durch Rechtecke entspricht Approximation der Funktion durch ”Treppenfunktionen”
16
ANALYSIS 1
16.2. Definition: Treppenfunktion
16.3. Satz: Unabhängigkeit der Summe der Rechtecke unter Treppenfunktion von gewählter Unterteilung
16.4. Definition. Integral für Treppenfunktion ϕ : [a, b] → R
Bezeichnung:
Z
Z b
ϕ(x)dx
oder auch
ϕ
a
16.5. Satz: einfache Eigenschaften des Integrals bzgl. Linearität, Betrag und Ordnung; insbesondere: Treppenfunktionen bilden reellen
Vektorraum und Integral gibt lineare Abbildung darauf
16.6. Definition: Supremumsnorm kf k für Funktionen f : X → R
16.7. Bemerkungen: Supremumsnorm ist Norm, insbesondere gilt
Dreiecksungleichung; {f : X → R | f beschränkt} mit Supremumsnorm wird normierter Vektorraum; kf − gk gibt sinnvollen Abstand
zwischen f und g; explizite Beschreibung von kf − gk ≤ ε
16.8. Satz: Für Treppenfunktionen gilt
Z b
|
ϕ(x)dx| ≤ kϕk(b − a)
a
16.9. Satz: Approximation von stetigen Funktionen durch Treppenfunktionen in der Sup-Norm
16.10. Definition: Regelfunktion (auf abgeschlossenem Intervall [a, b])
16.11. Bemerkungen: Stetige Funktionen sind Regelfunktionen; mit
f und g sind auch αf , f +g und f g Regelfunktionen; stückweise stetige
Funktionen sind Regelfunktionen; monotone Funktionen sind Regelfunktionen; Regelfunktion ist beschränkt
16.12. Satz: Konvergenz der Integrale von Treppenfunktionen, die gegen
Regelfunktion konvergieren; Grenzwert hängt nicht von approximierender Folge ab
Rb
16.13. Definition: Integral a f (x)dx für Regelfunktion f
16.14. Satz: einfache Eigenschaften des Integrals bezüglich Linearität,
Ordnung und Betrag, sowie Linearität in Integrationsgrenzen
16.15. Bemerkung: Regelfunktionen bilden normierten Vektorraum,
Integration ist lineare Abbildung darauf;
Integration
ist auch ”stetig”
R
R
in dem Sinne dass kfn − f k → 0 ⇒ fn → f ; Regelfunktionen sind
unter dieser Art von Konvergenz abgeschlossen
ANALYSIS 1
17
16.16. Satz: Ableitung des Integrals nach oberer Grenze liefert die
ursprüngliche Funktion, falls diese stetig
16.17. Definition: Stammfunktion
16.18. Satz: Zwei Stammfunktionen einer Funktion unterscheiden sich
nur durch Konstante
16.19. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
16.20.R Bezeichnung: F (x)|ba = F (b) − F (a);
F = f (x)dx ”unbestimmtes Integral”
16.21. Beispiele: einfache Beispiele von bestimmten und unbestimmten
Integralen, insbesondere
Z 1
Z
1
1
√
√
dx = arcsin x,
dx = π
2
1−x
1 − x2
−1
16.22. Satz: Substitutionsregel für Integrale
16.23. Beispiele: einfache Beispiele, insbesondere
Z b
cos t · esin t dt = esin b − esin a
a
16.24. Satz: partielle Integration
16.25. Beispiel:
Z
ln xdx = x · ln x − x
16.26. Satz: Riemannsche Summen
16.27. Beispiel: Stammfunktionen von rationalen Funktionen
16.28. Definition: uneigentliches Integral
16.29. Beispiele: Uneigentliches Integral
Z ∞
1
dx
xs
1
konvergiert für s > 1, aber nicht für 0 < s ≤ 1
16.30. Satz: Integralkriterium für Konvergenz von Reihen
P
1
16.31. Beispiel:
n∈N ns konvergiert genau dann wenn s > 1
17. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
17.1. Definition: punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
18
ANALYSIS 1
17.2. Bemerkungen: Wiederholung einfacher Eigenschaften der Supremumsnorm; inverse Dreiecksungleichung impliziert
kf − fn k → 0 =⇒ kfn k → kf k;
punktweise Konvergenz erhält im Allgemeinen nicht die Stetigkeit; Beispiel:
fn (x) = xn auf [0, 1]
17.3. Satz: Gleichmäßiger Grenzwert von stetigen Funktionen ist stetig
P
17.4. Satz: Konvergenzkriterium von Weierstraß:
n∈N kfn k < ∞
impliziert gleichmäßige und punktweise absolute Konvergenz
17.5. Definition: normale Konvergenz
17.6. Beispiele: Fourierreihe und Zeta-Funktion
17.7. Definition: Potenzreihe
P n P zn P zn
,
17.8. Beispiele:
z ,
n
n!
17.9. Satz: Konvergenz der Potenzreihe in einem Punkt auf Kreis impliziert normale Konvergenz auf jeder darin liegenden abgeschlossenen
Kreisscheibe
17.10. Definition: Konvergenzradius
17.11. Bemerkungen: absolute Konvergenz der Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius, Divergenz ausserhalb und keine allgemeine
Aussage möglich auf Konvergenzradius
17.12. Beispiele: exp, cos, sin, geometrische Reihe, 1/z als Potenzreihe um a = 1
17.13. Satz: Gleichmäßige Konvergenz von Regelfunktionen impliziert
Konvergenz der Integrale
17.14. Satz: Punktweise Konvergenz von (fn ) gegen f und gleichmäßige
Konvergenz von (fn0 ) gegen g impliziert g = f 0
17.15. Korollar. Potenzreihen können gliedweise differenziert und integriert werden
17.16. Beispiel: exp0 = exp
17.17. Bemerkung: Iteration der gliedweisen Differentiation von Potenzreihen gibt
f (n) (a)
cn =
n!
17.18. Definition: Taylorreihe
ANALYSIS 1
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17.19. Bemerkungen: falls f Darstellung als Potenzreihe hat, so muss
dies Taylorreihe sein; Taylorreihe kann aber konvergieren, ohne f darzustellen,
Beispiel:
(
2
e−1/x , x 6= 0
f (x) =
0,
x=0
17.20. Satz. : Taylorsche Formel
17.21. Bemerkungen: f durch seine Taylorreihe darstellbar genau
dann wenn Restglied gegen Null geht; Lagrange-Form des Restgliedes
17.22. Beispiele: ex , ln(1 + x) und
1 1 1
ln 2 = 1 − + − ± · · ·
2 3 4
ENDE
(Fortsetzung folgt)