4. Tag: Quantenmechanisches Atommodell

4. Tag: Quantenmechanisches Atommodell
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4. Tag: Quantenmechanisches Atommodell
1. Quantenmechanik
Ein Quant ist die kleinste Einheit einer physikalischen Größe, die ein System aufnehmen oder
abgeben kann. So ist z.B. ein Energiequant der kleinste Energiebetrag, den ein System aufnehmen
kann. In der klassischen Physik kann dieser Betrag beliebig klein sein. Die Quantenmechanik sagt
uns dagegen, dass die Größe eines Quants (durch das betrachtete System und seinen Zustand)
festgelegt ist. Die Bezeichnung Quant kommt von dem lateinischen Wort „quantum“ für „Menge“.
Diese Quantelung der Energie macht den sogenannten Welle-Teilchen-Dualismus sehr deutlich.
Mit der Quantenmechanik etablierte sich die Sichtweise, dass Materie und Strahlung einen dualen
Charakter besitzen. Mit diesem Dualismus meint man, dass Wellen (Strahlung) auch Verhalten
zeigen, das bisher als charakteristisch für Teilchen galt und umgekehrt.
2. Die Schwächen des Bohrschen Atommodells
Die Einsicht, dass Energie nur in diskreten Paketen übertragen werden kann, geht auf Max Planck
zurück. 1913 wendete Niels Bohr das Konzept der Quanten auf die Berechnung der Energieniveaus
im atomaren Wasserstoff an. Es handelte sich hierbei um ein geniales Flickwerk von Konzepten der
klassischen Physik und der Quantenphysik.
Die Quantentheorie widerspricht diesem Modell jedoch in einigen grundsätzlichen Punkten:
•
Werner Heisenberg zeigte 1927, dass es unmöglich ist, Ort und Impuls eines Teilchens
gleichzeitig genau zu bestimmen (Heisenbergsche Unschärferelation). Dies ist jedoch die
Grundlage des Bohrschen Atommodells: Es schreibt den Elektronen exakte Kreisbahnen um den
Kern vor, mit einem exakt definiertem Impuls (bzw. Energie).
•
Das Elektron kann auch am Kern selbst angetroffen werden. Dies ist nach dem Bohr-Modell
verboten.
•
Im Grundzustand des Wasserstoffatoms ist der Bahndrehimpuls des Elektrons gleich null, daher
kann es nicht die Zentrifugalkraft sein, die die Anziehung durch den positiv geladenen Kern
ausgleicht.
3. Quantenmechanisches Atommodell
Somit mußte das Bohrsches Atommodell falsch sein. Die Quantenmechanik ersetzte die exakte Bahn
des Elektrons durch einen mathematischen Ausdruck, das Orbital. Ein Orbital ist die Wellenfunktion
eines Elektrons. Es bringt damit zum Ausdruck, dass Materie (das Elektron) wie eine
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elektromagnetische Welle beschrieben werden kann. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der man
ein Elektron an jedem Punkt in der Nähe eines Kerns finden kann.
Der mathematische Ausdruck läßt sich durch Lösen der Schrödinger-Gleichung ermitteln. Dieser
Ausdruck ist jedoch wenig anschaulich, und deshalb wird ein Orbital oft durch eine Grenzfläche
dargestellt, innerhalb derer das Elektron eine bestimmte Aufenthaltswahrscheinlichkeit (typisch sind
90 Prozent) besitzt und entlang derer die Orbitalamplitude einen konstanten Wert hat. Die Lappen
nicht kugelförmiger Orbitale sind durch Ebenen getrennt, in denen die Amplitude gleich Null ist.
Diese Ebenen heißen Knotenebenen.
Abbildung 1: Grenzflächendarstellung für das 1s-Orbital
In Abbildung 1 ist die Grenzflächendarstellung für das Elektron eines Wasserstoffatoms im
Grundzustand (energieärmster Zustand) dargestellt. Der Atomkern befindet sich im Ursprung des
Achsenkreuzes, die Grenzfläche schließt 90% der Ladung des Elektrons ein.
Die Schrödinger-Gleichung sagt aus, dass die Elektronen nicht beliebige Energien haben dürfen. Sie
sagt damit indirekt aus, dass Orbitale nicht beliebige Form haben können. Um den Zustand des
Elektrons in einem Wasserstoffatom genau zu spezifizieren (z.B. Aufenthaltsbereiche, Knotenflächen,
Orientierung), benötigen wir laut der Schrödinger-Gleichung die vier Zahlen n, l, m und s. Diese vier
Zahlen dürfen nur genau festgelegte Werte einnehmen. Da man dies als Quantelung bezeichnet,
werden die Zahlen auch als Quantenzahlen bezeichnet.
Tabelle 1: Die Quantenzahlen zur Beschreibung des Elektronenzustands am Wasserstoffatom
Quantenzahl
„Erlaubte“ Zahlen
Was legt die Quantenzahl fest?
Hauptquantenzahl n
n = 1, 2, 3, 4 ....
Gibt die Energie des Zustands an.
Nebenquantenzahl l
l = 0, 1, 2, .... , (n-1)
Legt die Form des Orbitals fest.
Magnetquantenzahl m
m = ±0, ±1, ±2, ... ±l
Bestimmt
die
Orientierung
des
oben
genannten Orbitales.
Spinmagnetquantenzahl s
s=±½
Bestimmt
die
Elektronenspins.
Orientierung
des
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In der Tabelle 1 sind die vier Quantenzahlen zusammen mit den nach der Schrödinger-Gleichung
erlaubten Zahlen aufgeführt.
Die Hauptquantenzahl n legt die Energie des Elektrons fest. Sie bestimmt damit auch die
Elektronenschale und den mittleren Abstand vom Atomkern.
Die Nebenquantenzahl l
(auch: Drehimpulsquantenzahl) gibt Auskunft über die Gestalt des
Orbitals. Man unterscheidet je nach Nebenquantenzahl:
•
s-Orbitale
(Nebenquantenzahl l = 0)
•
p-Orbitale
(Nebenquantenzahl l = 1)
•
d-Orbitale
(Nebenquantenzahl l = 2)
•
f-Orbitale
(Nebenquantenzahl l = 3)
Abbildung 2: Grenzflächendarstellung für 2p-Orbitale
Abbildung 3: Grenzflächendarstellung für 3d-Orbitale
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Magnetquantenzahl m:
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Außerdem ist es verboten, die Orientierung der Orbitale beliebig zu
wählen. Auch das ist eine Besonderheit der Quantenmechanik. Die Magnetquantenzahl m beschreibt
die Orientierung des Orbitals im Raum.
Spinquantenzahl s:
Ein einzelnes Elektron ist ein kleiner Magnet; man kann dies durch die
Annahme einer ständigen Drehung („Spin“) des Elektrons um seine eigene Achse deuten. Eine
kreisende Ladung ist ein elektrischer Strom und erzeugt ein Magnetfeld. Die Spinquantenzahl kann
nur einen von zwei Werten annehmen (+ 1/2 oder –1/2)
4. Pauli-Prinzip
Nach dem Ausschließungsprinzip von Wolfgang Pauli dürfen keine 2 Elektronen in einem Atom in
allen vier Quantenzahlen übereinstimmen. Wenn z.B. bei zwei Elektronen n, l und m übereinstimmen,
müssen sie sich im Wert von s unterscheiden. Die beiden Elektronen haben entgegengesetzten Spin
und besetzen das gleiche Orbital. (Man bezeichnet sie dann auch als gepaarte Elektronen.) Aus dem
Pauli-Prinzip folgt direkt, dass jedes Orbital maximal mit 2 Elektronen gefüllt sein kann.
5. Orbitalbesetzung und die Hundsche Regel
Die Verteilung der Elektronen eines Atoms auf die verschiedenen Orbitale nennt man die
Elektronenkonfiguration des Atoms. Die Elektronenkonfiguration für den Grundzustand, d.h.
energieärmsten Zustand wird nach folgenden Regeln ermittelt:
•
Die Elektronen besetzen stets die energieärmsten Orbitale.
•
Jedes Orbital wird mit maximal zwei Elektronen gefüllt. (Pauli-Prinzip)
•
Existieren mehrere entartete (d.h. energiegleiche) Orbitale, so verteilen sich die Elektronen auf
diese Orbitale so, dass eine maximale Zahl von ungepaarten Elektronen mit parallelem Spin
resultiert. Paralleler Spin bedeutet gleiche Richtung des Spins aller ungepaarten Elektronen (oder
auch: gleiche Werte für die Spinquantenzahlen). Dies ist die Hundsche Regel der maximalen
Multiplizität. Sie ist eine Folge der negativen Ladung der Elektronen, die sich abstoßen.
Beispiel:
N
7
; 7 Elektronen ; Elektronenkonfiguration: 1s22s22p3
6. Literatur
[1]
P.W. Atkins: Quanten. VCH Verlagsgesellschaft, Weinheim (1993)
[2]
C.E. Mortimer: Chemie – Das Basiswissen der Chemie. Thieme Verlag, Stuttgart, 5. Auflage
(1987)