Skript 3

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Das Material wird durch das magnetische Feld magnetisiert. Zur Beschreibung der
Materialeigenschaften führt man die Magnetisierung M ein, die als Volumendichte n
(Einheit: m-3) der induzierten, magnetischen Momente (Am2) definiert ist:
M = nµ (A/m).
Im Gegensatz zum quellenfreien B-Feld hat das H-Feld Quellen, nämlich an der
Oberfläche des magnetisierten Körpers.
Beispiel: Homogen magnetisierte Kugel
Die folgende Figur zeigt in rot das B-Feld und in grün das H-Feld einer homogen
magnetisierten Kugel mit der Magnetisierung M (vgl. Jackson, Electrodynamics, Seite
196).
Im Innern der Kugel sind die Felder gegeben durch:
B in = µ 0 H in + µ 0 M .
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Die erwähnten Quellen an der Oberfläche der Kugel führen zu einem demagnetisierenden
H-Feld das gegeben ist durch
H in = − 13 M .
Hier bezeichnet N = − 13 den Demagnetisierungsfaktor der Kugel. Damit erhält man für
das B-Feld im Innern der Kugel:
B in = 23 µ 0 M .
Ausserhalb der Kugel entspricht das B-Feld dem Feld eines magnetischen Dipols dessen
Potential und H-Feld gegeben sind durch (siehe Jackson, Eq. (5.106)):
Φm =
4π 3 cosθ
a M 2
3
r
⇒
H = −∇Φ m .
(in cgs)
Hier bezeichnet a den Radius der Kugel. Wegen ∇ ⋅ B = 0 ist das B-Feld an der
Oberfläche stetig.
Bringt man eine magnetisierte Kugel in ein äusseres Feld B a , das parallel zu M ist, dann
erhält man für die Felder in der Kugel
B in = B a + 23 µ 0 M
sowie H in = H a − 13 M .
Weit weg von der Kugeloberfläche misst man die ungestörten Felder B a = µ 0 H a .
Beispiel: Allgemeine Körperformen
Das Demagnetisierungsfeld ist gegeben durch
H d = − NM .
Hier bezeichnet N einen zweistufigen Tensor. H d wirkt dem äusseren Feld H a
entgegen. Berücksichtigt man noch die mögliche Domänenbildung im magnetischen
Material, dann kann man sich vorstellen, dass H d ein sehr komplizierter Ausdruck sein
kann, der sowohl von H a , von der Temperatur und insbesondere von der Körperform
abhängt. Für die Berechnung von Demagnetisierungsfeldern in Quadern siehe: A.
Aharoni, J. Appl. Phys. 83, 3432 (1998); 87, 6564 (2000).
Einige wichtige Beispiele (siehe Blundell p. 214): Hier bezeichnen H a und B a die
Felder, die wirken, wenn kein Material vorhanden ist.
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B i = B a + 23 µ 0 M
a) Kugel: N x = N y = N z = 13 :
H i = H a − 13 M
b) Nadel: N x = N y = 12 , N z = 0 :
H ix = H iy = H a − 12 M , H iz = H az
Bix = Biy = Ba + 12 µ 0 M , Biz = Baz + µ 0 M
Hier sind die “magnetischen Pole” für die z-Richtung so weit weg, dass sie irrelevant
sind. Nadeln sind für Experimente ideal, weil das innere Feld gleich dem äusseren Feld
ist.
c) Platte: N x = N y = 0, N z = 1 :
H ix = H iy = H a , H iz = H az − M
Bix = Biy = Ba + µ 0 M , Biz = Baz .
Die magnetischen Pole sind nahe beisammen und führen zu einer hohen Dichte von HFeldlinien, i.e. grosser Demagnetisierung.
Für Demagnetisierungsfaktoren für Rotationsellipsoide siehe A. M. Morrish, John Wiley
& Sons Inc., New York, 1965, p. 645. Beachte: N x + N y + N z = 1 .
Was misst man in einem Experiment?
Man legt an eine Probe ein äusseres Feld mit Hilfe einer Spule an und misst die
Magnetisierung. Daraus kann man eine Suszeptibilität berechnen:
χ exp =
M
.
Ha
Das Feld in der Probe ist um das Demagnetisierungsfeld reduziert: H i = H a − NM . Das
tatsächliche Feld in der Probe ist damit kleiner und man erhält folgenden Zusammenhang
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zwischen der intrinsischen (“richtigen”) und der experimentell gemessenen
Suszeptibilität
χ exp =
M / Hi
χi
M
M
=
=
=
.
H a H i + NM 1 + NM / H i 1 + Nχ i
Der Vollständigkeit halber gebe ich im Folgenden auch die Beziehungen bezüglich der
elektrischen Polarisation an:
P:
M:
elektrische Polarisation (As/m2) und
Magnetisierung (A/m) ein.
P und M sind gemäss den Gleichungen
B = µ 0 (H + M )
und
B = µ 0 µH
D = ε 0 εE
und
D = ε 0 E + P oder
miteinander verknüpft. Die Materialkonstanten µ (magnetische Permeabilität) und ε
(Dielektrizitätskonstante) sind im allgemeinen Tensoren. Sie sind nur definiert, wenn
man über einen Bereich von sehr viele Atome mitteln kann (vgl. das Auftreten von ε bei
der Diskussion von Akzeptor- und Donatorniveaus in realen Halbleitern).
In dia- und paramagnetischen Materialien ist µ ≅ 1 und man beobachtet, dass M im
wesentlichen proportional ist zum H-Feld:
M = χH .
Es ist unmittelbar klar, dass µ = 1 + χ ist. Im Gegensatz dazu kann in ferromagnetischen
Materialien µ ≅ 50000 (Permalloy) sehr gross sein. Die magnetische Suszeptibilität χ
ist im allgemeinen ein Tensor 2. Stufe:
χ ij =
∂M i
.
∂H j
Wir werden sehen, dass χ die zentrale Grösse während der ganzen Vorlesung sein wird:
Sie beschreibt das magnetische Verhalten des Mediums.
1.3.2. Magnetische Momente = magnetische Dipole
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Das fundamentale Objekt in magnetischen Materialien ist das magnetische Moment
(Einheit: Am2). Wir werden ihm immer wieder begegnen, wenn wir mikroskopische
Eigenschaften von Materialien diskutieren. Für eine elementare Stromschleife gilt:
dµ = IdS .
dµ
Auslöschung
der Ströme
dS
I
Für eine makroskopische Stromschleife (zum Beispiel in einem Motor) erhält man durch
Integration
µ = I ∫ dS .
In einem Atom kann eine Stromschleife entstehen, wenn sich ein Elektron (warum
interessiert nur das Elektron und nicht der Kern?) mit der Masse me und der Ladung
q = −e um den Kern bewegt:
I =−
Kreisstrom:
e
=−
τ
2
S=r π.
Fläche:
ev
2πr
(merke: Strom = Ladung pro Zeiteinheit)
Das Moment eines Elektrons beträgt:
µ = IS =
evrme
− ev 2
evr
e
=−
=−
L.
r π =−
2πr
2
2me
2me
Der Drehimpuls ist quantisiert:
L = me vr = l= .
Dies ist ein Ergebnis der Quantenmechanik. Ohne Quantiesierung würde das Elektron
dauernd Energie abstrahlen und damit in den Kern stürzen!
Damit erhält man einen direkten Zusammenhang zwischen magnetischem Moment und
Bahndrehimpuls
µ =−
e
l= = γL
2me
⇒
µ = γL .
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Die Zahl γ = −e /(2me ) nennt man das gyromagnetische Verhältnis des Elektrons. µ
und L sind für das Elektron (wegen der negativen Ladung!) antiparallel zueinander.
Elektron:
L
µL
Experiment dazu: Einstein-de Haas Effekt (1915), siehe Figur in Vorlesung von L. Alff:
Wenn mit Hilfe eines magnetischen Felds die Magnetisierung aufgebaut wird, dreht sich
der Ferromagnet aufgrund der Drehimpulserhaltung. Oder umgekehrt: Dreht man den
Zylinder, dann bewegt man die Elektronen, deren Strom ein Magnetfeld erzeugt.
Absorbiert man die Naturkonstante = , dann kann man das magnetische Moment in
Einheiten von Bohr’schen Magnetons ausdrücken:
µ =−
e
e=
l= = −
l = −µ B l .
2me
2me
Definition:
Bohr’sches Magneton µ B =
Definition:
Nukleares Magneton
Beachte: 1 Am2 = 1 JT-1.
µN =
e=
= 9.274 ⋅ 10 − 24 Am2 = 0.579⋅10-14 eVT-1.
2me
e=
= 5.051 ⋅ 10 − 27 Am2.
2m n
µ N ist 2000 mal kleiner als das Bohr’sche Magneton. und ordnet, wenn überhaupt, nur
bei tiefsten Temperaturen: Die Energieskala eines nuklearen Moments E N = − µ N B ist
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auch bei tiefsten Temperaturen sehr klein und lässt sich kaum mit einem Magnetfeld
ausrichten. Vergleiche aber die Kernspin-Tomographie in Spitälern: Der Patient wird
nicht abgekühlt!
Beachte: Die Energie eines Dipols ist gegeben durch E = −µ ⋅ B und nicht durch
E = −µ ⋅ H . Würde im Konflikt stehen mit den Einheiten: 1 T = 1 Vsm-2.
Elektronen weisen neben dem orbitalen Moment noch ein intrinsisches Moment auf, das
nichts mit einem Kreisstrom zu tun hat und nur im Rahmen der Quantenmechanik
verstanden werden kann. Der Spin S kann die Werte s = ± 12 annehmen. Er führt zu
einem magnetischen Moment, das gegeben ist durch
µ s = − gµ B s ,
wobei der g-Faktor gegeben ist durch g = 2.0023... . Zu seiner Herleitung konsultiere die
Relativitätstheorie (Thomaspräzession: g = 2 ) und zur Abweichung g − 2 ≅ α /(2π ) die
Quantenelektrodynamik. Die Feinstrukturkonstante ist gegeben durch
α = e 2 /(=c) ≈ 137 −1 .
1.3.3. Präzession eines magnetische Moments
Auf einen Dipol µ wirkt in einem Magnetfeld B ein mechanisches Drehmoment G
G = µ×B.
dL
= G erhalten wir für die Bewegungsgleichung eines
dt
magnetischen Moments in einem Feld die Differentialgleichung
Ausgehend von der Gleichung
γ
dL
= γG
dt
dµ
= γµ × B .
dt
⇔
z
B
θ µ
y
x
Als Beispiel betrachten wir ein Moment in einem Magnetfeld, das in z-Richtung angelegt
ist. Die Bewegungsgleichung lautet für die Komponenten
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µ x = −γµ y B z
µ y = γµ x B z
µ z = 0 .
Die letzte Gleichung zeigt, dass die z-Komponente des Moments konstant bleibt:
µ z = µ cosθ = const . Einsetzen von µ y in der 1. Gleichung liefert
µx + γ 2 µ x2 B z2 = 0 .
Das magnetische Moment präzediert um das Magnetfeld mit der Larmor-Frequenz
ω L = γB .
µ x (t ) = µ sin θ ⋅ cos(γB z t )
µ y (t ) = µ sin θ ⋅ sin(γB z t )
µ z = µ cosθ = const
Dies bedeutet auch, dass sich die potentielle Energie eines magnetischen Dipols
E = −µ ⋅ B
nicht ändert, wenn ein Magnetfeld eingeschaltet wird.
Wichtige Beobachtung:
•
Ein Magnetfeld führt nicht zu einer Ausrichtung eines (freien) magnetischen
Moments entlang einem Magnetfeld sondern zu einer Präzession.
•
Die Präzessionsfrequenz hängt nicht vom Winkel zwischen µ und B ab.
•
Die potentielle Energie eines Moments E = −µ ⋅ B ändert sich nicht in Funktion
der Zeit. (siehe Übungsaufgabe)
Überlege: Wieso kann man überhaupt ein magnetisches Moment entlang einem
Magnetfeld ausrichten?
Für die potentielle Energie zweier wechselwirkender Dipole (Übungsaufgabe) erhält man
E∝−
1  3(µ 1 ⋅ r)(µ 2 ⋅ r ) µ1 ⋅ µ 2 
−

.
4π 
r5
r3 
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Diese Gleichung zeigt, dass auch atomare magnetische Momente miteinander
wechselwirken können.
Bemerkung: Die ungepaarten Elektronen in einem Festkörper führen zu einem
magnetischen Moment, das über die Dipolwechselwirkung mit spin-behafteten Teilchen
(Photonen, Müonen, Neutronen, Elektronen, etc.) wechselwirken kann. In der
Neutronenstreuung folgt aus der Vektorabhängigkeit der Dipol-Dipol Wechselwirkung,
dass nur magnetische Fluktuationen senkrecht zum Streuvektor zum Wirkungsquerschnitt
beitragen.
1.3.4. Hilfreiche Ausdrücke im Magnetismus
Bewegungsgleichung einer Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit v in einem
elektromagnetischen Feld bewegt:
F = qE + q( v × B) .
Die Kraft wird Lorentzkraft genannt. Sie führt zu einer Änderung in der Geschwindigkeit
der Ladung F = mv .
Kraft eines inhomogenen Magnetfelds auf einen magnetischen Dipol:
F = ∇(µ ⋅ B) .
Anwendung: Faraday-Magnetwaage
Ein paramagnetisches Material ( µ parallel zu B) wird ins Feld hineingezogen, ein
diamagnetisches Material ( µ antiparallel B) wird abgestossen.
N
Kanonischer Impuls: p → p − eA .
S
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Zustandssumme für ein Teilchen:
Energie eines Teilchens:
Freie Energie:
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∂Z
−E / k T
= −∑ Ei e i B
∂ (k BT )
i
i
1 ∂Z
∂ ln Z
=−
E =−
Z ∂ (k B T )
∂ (k B T )
Z = ∑e
− Ei / k B T
⇒
dF = − SdT − pdV − MdB .
Freie Energie für N unabhängige und unterscheidbare Teilchen
F = U − TS = − Nk B T ln Z
⇔ Z = e − F /( k BT ) .
Entropie:
 ∂F 
S = −

 ∂T V , B
Magnetisierung:
 1 ∂Z 
 ∂F 
M = −

 = Nk B T 
 Z ∂B  T ,V
 ∂B  T ,V
1.3.5. Warum existieren in der klassischen Mechanik keine magnetischen Momente?
Wie wir gesehen habe, führt das Anlegen eines Magnetfelds an magnetische Momente zu
Kräften, die senkrecht zur Bewegungsrichtung stehen. Das heisst, die Energie des
Systems ändert sich nicht. Also ist die freie Energie des Systems unabhängig vom
Magnetfeld. Damit ist aber die Ableitung M = ∂F / ∂B = 0 . Man kann diese Idee
natürlich noch strenger beweisen (Bohr-van Leeuwen Theorem): In der klassischen,
statististischen Mechanik ist die Zustandssumme für N geladene Teilchen gegeben durch
ein Integral über den gesamten Phasenraum
Z = ∫∫ ...∫ exp(− βE ({ri , p i )dr1 dr2 ...drN dp1 dp 2 ...dp N .
Der Effekt eines Magnetfeldes ist eine Verschiebung des Impulses p → p − eA . Bei der
Integration ändert sich Z nicht, also ist Z unabhängig von B. In der Quantenmechanik
erfolgt die Integration nicht über den gesamten Phasenraum. Sobald man quantisierte
Elektronenbahnen voraussetzt (zum Beispiel Bohr’sches Atommodell), erhält man
Diamagnetismus. Das Pauli-Prinzip führt zu Austauschintegralen, was zu
langreichweitiger Ordnung führen kann.
Anschaulich würde man annehmen, dass die Elektronen in einem Magnetfeld
Kreisbahnen ausführen. Obwohl sie sich im Innern kompensieren, würde man annehmen,
dass am Rand der Probe ein Strom (in rot eingezeichnet) vorhanden ist, der zum
Diamagnetismus führt. Dem ist aber nicht so. Die Elektronen am Rand beschreiben
ebenfalls Kreisbahnen, werden aber an der Oberfläche gestreut und führen zu einer
Kompensation des Oberflächenstroms.