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M09
Bestimmung der Fallbeschleunigung
Physikalisches Praktikum
Die Zusammenhänge zwischen Geschwindigkeit, Beschleunigung, Masse und Kraft werden am Beispiel des freien Falles mit der Atwoodschen Fallmaschine experimentell untersucht. Im Rahmen der
Auswertung wird eine Abschätzung und Korrektur systematischer Abweichungen vorgenommen.
1. Theoretische Grundlagen
1.1 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Momentangeschwindigkeit eines Massenpunktes ist

  dx
,
(1)
v=x=
dt

wobei man mit x (t ) den Ortsvektor zur Zeit t bezeichnet. Die Beschleunigung a ist die zeitliche Änderung der Momentangeschwindigkeit

   d 2 x
(2)
a=v =x= 2 .
dt


Eine Bewegung mit v = konst. heißt gleichförmig; eine Bewegung mit a = konst. heißt gleichförmig
beschleunigt.
Durch Integration ergibt sich für die Zeitabhängigkeit von Geschwindigkeit und Ort



v (t ) = a ⋅ t + v0




x (t ) = 12 a ⋅ t 2 + v0t + x0 .
und
(3)
(4)


Die Integrationskonstanten x0 und v 0 sind der Ort bzw. die Geschwindigkeit zur Zeit t = 0.


Das Experiment zeigt, dass die Beschleunigung a proportional zur beschleunigenden Kraft F und
umgekehrt proportional zur Masse m des beschleunigten Körpers ist und bestätigt die „Grundgleichung der Mechanik“, das 2. Newtonsche Axiom:


(5)
F = m⋅a
1.2 Freier Fall
Wird ein Körper der Masse m aus der Ruhelage in einem konstantem Schwerefeld (Gravitationskraft


FG = m ⋅ g ) beschleunigt, so führt er eine Bewegung entsprechend Gleichung (4) aus.
Legt man das Koordinatensystem so, dass die x-Achse in Richtung der Bewegung zeigt
( a = g, x(t ) = h(t )) und berücksichtigt man die Anfangsbedingungen h0 = 0, v0 = 0 , so ergibt sich
Gleichung (3) zu
v(t ) = g ⋅ t
(6)
und Gleichung (4) zu
h = 12 g ⋅ t 2
©2015
(7)
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Physikalisches Praktikum
Luftwiderstand, Auftrieb
Messtechnisch ist es schwierig, Ort- und Zeitmessung im luftleeren Raum durchzuführen. Wenn man
im lufterfüllten Raum arbeitet, müssen Luftwiderstand und Auftrieb berücksichtigt werden. Der
Luftwiderstand FW ist proportional zur Querschnittsfläche A des fallenden Körpers, der Dichte ρL der
Luft und dem Quadrat der Geschwindigkeit v. In den Proportionalitätsfaktor geht der Widerstandsbeiwert cW ein, der durch die Form des fallenden Körpers bestimmt ist. Für eine Kugel ist der cw -Wert
0,25 - 0,45.
FW = 12 cW ⋅ ρ L ⋅ v 2 ⋅ A
(8)
Der Auftrieb FA ergibt sich nach Archimedes aus dem Gewicht der verdrängten Luft, also
FA = ρ L ⋅ g ⋅ V .
(9)
Um feststellen zu können, unter welchen Voraussetzungen man diese beiden Einflüsse vernachlässigen kann, werden beide Kräfte abgeschätzt:
Auftrieb: mit ρL = 1,29kg·m-3 ergibt sich nach Gleichung (9) für eine Stahlkugel vom Radius r:
FA = 53 ⋅ r 3 Nm -3
Luftwiderstand: mit cW ∼ 0,35 ergibt sich für diese Stahlkugel nach Gleichungen (6), (8) und (9):
FW = 13,9 ⋅ h ⋅ r 2 Nm -3
Gewichtskraft: mit ρK = 7,81⋅103 kg·m-3 für die Stahlkugel ergibt sich:
FG = 321 ⋅ 10 3 ⋅ r 3 Nm -3
Im Vergleich der Kräfte erhält man:
FA
53 ⋅ r 3 Nm -3
=
= 0,165 ⋅ 10 −3
FG 321 ⋅ 10 3 ⋅ r 3 Nm -3
(10)
d.h., der Einfluss des Auftriebes liegt unter 0,02% und ist daher vernachlässigbar.
FW
h
13,9 ⋅ h ⋅ r 2 Nm -3
=
= 43 ⋅ 10 −6 ⋅
3
3
-3
FG 321 ⋅ 10 ⋅ r Nm
r
(11)
Die Abschätzung (11) enthält das wichtige Ergebnis, dass der relative Luftwiderstand FW FG umso
kleiner ist, je kleiner die Fallstrecke h und je größer der Kugelradius r ist. Dieses zunächst überraschende Ergebnis, dass der relative Luftwiderstand mit dem Kugelradius abnimmt, erklärt sich aus
dem Verhältnis FW FG . Der absolute Luftwiderstand FW wächst mit der Querschnittsfläche A, also
mit r2; das Gewicht dagegen mit r3. Daher ist der Quotient proportional zu 1 r . Wenn auch der Luftwiderstand vernachlässigbar klein sein soll, muss FW<<FG sein, z.B.
FW ≤ 0,01 ⋅ FG
FW
h
= 43 ⋅ 10 −6 ⋅ ≤ 10 − 2 ;
FG
r
h
≤ 230 ;
r
h ≤ 230 ⋅ r .
Bei einem Kugelradius von 1,5cm sollte die Fallstrecke nicht mehr als 345cm betragen, um den Einfluss unter 1% zu halten.
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Physikalisches Praktikum
1.3 Atwoodsche Fallmaschine
Über ein leichtes, spitzengelagertes Rad wird eine Sehne geführt, an der
sich zwei gleiche Massen mG befinden. Auf der einen Seite kann eine Zusatzmasse mZ befestigt werden, welche die Gesamtmassen
mges = 2mG + mZ durch die Gravitationskraft mZ ⋅ g beschleunigt (Bild 1).
Damit ergibt sich aus der Grundgleichung der Mechanik (5):
mZ ⋅ g = (2mG + mZ ) ⋅ a , a =
mZ ⋅ g
2mG + mZ
(12)
Durch Messung von durchfallener Höhe h und der dazu benötigten Zeit t
kann ebenfalls die Beschleunigung a bestimmt werden:
a=
2h
t2
(13)
Gleichsetzung von Gleichungen (12) und (13) ergibt die Fallbeschleunigung g:
Bild 1: Prinzipskizze zur
Atwoodschen Fallmaschine
g=
2h  2mG
1 +
t 2 
mZ



(14)
Vernachlässigt wurden bisher folgende Einflussgrößen:
• Reibungsverluste an der Achse der Rillenscheibe und der Schnur in der Rille.
• Das Trägheitsmoment JS der Rillenscheibe, das wie eine Zusatzmasse zu den bewegten Massen
wirkt:
J
(r: Abrollradius der Schnur auf der Rillenscheibe)
(15)
meff = 2mG + mZ + 2S
r
Mit der Atwoodschen Fallmaschine kann auch das Trägheitsgesetz von Newton nachgewiesen werden (Erstes Newtonsches Axiom: Ohne äußere Krafteinwirkung verharrt ein Körper im Zustand der
Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung).
Zum Nachweis wird in die Fallstrecke eine Vorrichtung gebracht, die nach einer Beschleunigungsphase die Zusatzmasse mZ abhebt. Die nun weiter verlaufende gleichförmige Bewegung kann durch Messung von Fallhöhen und Fallzeiten nachgewiesen werden.
2. Versuch
2.1 Vorbetrachtung
Aufgabe 1: Berechnen Sie den Wert für die Fallbeschleunigung in Senftenberg.
Für die Fallbeschleunigung g in Meeresniveau (g0 = 9,78033 m·s-2) bei der geografischen Breite Φ
existiert eine Anpassung an die Messwerte der Form
g (Φ) = g 0 ⋅ (1 + 0,0053 ⋅ sin 2 Φ) .
In Abhängigkeit von der Höhe h über dem Meeresspiegel erhält man
 2h 
 .
g (Φ + h ) = g (Φ ) ⋅ 1 −
R
0 

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Daten für Senftenberg:
Physikalisches Praktikum
Φ = 51°31´20´´
h = 103m über Meeresspiegel.
R0 = Erdradius in Äquatornähe
Aufgabe 2: Betrachten Sie den Einfluss der Luftreibung beim freien Fall einer Kugel (d = 12mm,
ρKugel = 3,0g/cm3, ρLuft = 1,29Kg/m3, cW = 0,4) für folgende Fallzeiten: t1 = 0,1s, t2 = 0,6s, t3 = 2,0s.
Berechnen Sie die Bremskraft für die jeweils mittlere Fallgeschwindigkeit ( v = 1 2 g ⋅ t ). Bestimmen
Sie die zugehörige Bremsbeschleunigung und ermitteln Sie unter der Annahme einer konstanten
Bremsbeschleunigung die absolute und relative Verringerung der Fallhöhe.
Welche Schlussfolgerungen bezüglich der Messgenauigkeit beim Fallversuch ziehen Sie daraus?
2.2 Versuchsdurchführung
2.2.1 Verwendete Geräte
Gerätesatz zur Untersuchung freier und verzögerter Fall, elektronischer Kurzzeitmesser, Feinwaage,
Messschieber
2.2.2 Versuchshinweise
Aufgabe 1: Bestimmung der Fallbeschleunigung mit der Versuchsanordnung freier Fall durch Variation der Fallhöhe h
• Stellen Sie die Fallhöhe mittels der Markierung an Auslösevorrichtung
und Aufprallplatte ein.
• Diese Fallhöhe ist von 1,60m bis 0,50m in Schritten von 10cm durch
das Verstellen der Aufprallplatte zu verändern und die jeweilige Fallzeit zu messen.
• Die Auslösung des Falles und der Uhrenstart erfolgt durch Druck auf
den Fernauslöser, der Uhrenstopp durch Aufschlagen der Kugel auf
die Aufprallplatte.
• Vor der nächsten Messung sind Aufprallplatte und Auslösehebel in
Ausgangsstellung zu bringen und die elektronische Stoppuhr auf Null
zurückzusetzen.
Aufgabe 2: Bestimmung der Fallzeit mit unterschiedlichen Zusatzmassen mZ
bei konstanter Fallhöhe h (Siehe Bild 1).
Bild 2: Prinzipskizze
• Die Aufprallplatte wird bei 1,60m anbracht. Legen Sie über die Seilrolle die Verbindungssehne
mit den Massen mG und stellen Sie eine davon auf die Auslösevorrichtung.
• Auf die Masse mG wird eine Zusatzmasse mZ aufgelegt. (Masse mZ vorher bestimmen). Auslösung und Zeitmessung erfolgt wie in der Aufgabe 1. Die Messung ist für 5 unterschiedliche Zusatzmassen mZ durchzuführen.
Aufgabe 3: Bestimmung des Trägheitsmoments der Rillenscheibe mit der dynamischen Messmethode zur Korrektur der Ergebnisse von Aufgabe 2
• Zur Bestimmung des Trägheitsmomentes JS der Rillenscheibe macht man diese zu einem Pendel, indem man mit Hilfe eines um die Rille gelegten Gummibandes an dem Umfang der Scheibe
eine kleine Masse m´ befestigt (Bild 3).
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• Dazu nehmen Sie die Rillenscheibe mit der Befestigung vom Träger ab. Die Scheibe hat jetzt ein
stabiles Gleichgewicht und kann als Pendel um ihre Schwerpunktachse schwingen.
• Zur Bestimmung des Trägheitsmomentes JS,
sind vor der Montage zunächst d, d’ und m’
zu messen.
• Danach Pendel wenig auslenken und die
Zeitdauer für mindestens 10 Schwingungen
messen. Für die Zeitmessung ist das Zählgerät im Handbetrieb zu verwenden.
• Nehmen Sie eine Messreihe mit 5 Zeitmessungen auf.
Aus der Schwingungsgleichung ergibt sich
T = 2π
J
m′ ⋅ l ⋅ g
(16)
Bild 3: Pendelaufbau
J ist das Trägheitsmoment des Systems Rillenscheibe und dem von der Masse m´ zusätzlich verursachten Trägheitsmoments:
J = J S + m′ ⋅ l 2 ,
(17)
es ergibt sich:
 g ⋅T 2 
J S = m'⋅l 
− l 
2
 4π

(18)
Aufgabe 4: Atwoodsche Fallmaschine mit Auffangvorrichtung für die Zusatzmassen (siehe Bild 1).
• Positionieren Sie die Auffangvorrichtung für die Zusatzmassen bei 0,50m (Dazu müssen die Rillenscheibe mit der Befestigung und die Auslösevorrichtung vom Träger entfernt, zur Messung
dann jedoch wieder montiert werden).
• Stecken Sie die Anschlussschnüre von der Auslösevorrichtung zur Auffangvorrichtung um (Anschluss der Masseleitung beachten!).
• Setzen Sie die Zusatzmassen mit der Ringplatte auf.
• Führen Sie je eine Messreihe für die Zusatzmassen 20g und 30g durch (Masseangabe jeweils
mit Ringplatte).
• Variieren Sie für die Messreihen mit der Aufprallplatte die Fallhöhe von 0,1 bis 1,1m in 10cmSchritten.
• Der Messvorgang erfolgt wie in Aufgabe 1.
2.3 Versuchsauswertung
Aufgabe 1: Bestimmung der Fallbeschleunigung mit der Versuchsanordnung freier Fall durch Variation der Fallhöhe h
• Bestimmen Sie die Fallbeschleunigung g über den Anstieg der graphischen Darstellung h = f (t2)
unter Verwendung der linearen Regressiongeraden.
• Ermitteln Sie graphisch die Messunsicherheit durch selbst festzulegende Fehlerbalken.
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• Schätzen Sie den maximalen Einfluss des Luftwiderstandes auf die gemessenen Zeiten entsprechend dem Abschnitt 2.1 für die im Versuch verwendete Kugel ab.
Aufgabe 2: Bestimmung der Fallzeit mit unterschiedlichen Zusatzmassen mZ bei konstanter Fallhöhe
h (Siehe Bild 1).
• Berechnen Sie an Hand der Messwerte nach Gleichung (14) die Fallbeschleunigung und
bestimmen Sie für eine ausgewählte Fallhöhe die Messunsicherheit durch eine Fehlerrechnung.
Zur Auswertung gegebene Größe: 2 mG ± u(2 mG) = (303,5 ± 0,1)g.
• Erfassen Sie die hier auftretenden Abweichungen vom vorher errechneten Wert für Senftenberg in ihrer Abhängigkeit von der Größe der Zusatzmasse mZ (absolut und relativ).
Aufgabe 3: Bestimmung des Trägheitsmoments der Rillenscheibe mit der dynamischen Messmethode zur Korrektur der Ergebnisse von Aufgabe 2
• Korrigieren Sie die Fallbeschleunigungswerte der Aufgabe 2 mit dem ermittelten Trägheitsmoment nach Gleichung (18) durch Verwendung der effektiven Masse nach Gleichung (15) (Abrollradius der Schnur r = 30mm)
• Bestimmen Sie die Schwingungsdauer für eine Schwingung aus dem Mittelwert.
Aufgabe 4: Atwoodsche Fallmaschine mit Auffangvorrichtung für die Zusatzmassen
• Führen Sie einen Nachweis der gleichförmigen Bewegung durch eine graphische Darstellung
von h = f (t).
• Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.
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