wise men puzzles - Universität Paderborn

Universität Paderborn
Institut Informatik
Proseminar: Logik für Informatiker
Dozent: Ekkart Kindler
Sommersemester 2005
Die Formalisierung des
„wise men puzzles“ mittels der
modalen Logik KT45n
erstellt von Nicola Twiste
Matrikelnummer:
E-Mail: [email protected]
1
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis .............................................................................................. 2
1. Einleitung .......................................................................................................... 3
2. Das „wise-men puzzle“................................................................................ 4
2.1 Das Rätsel ................................................................................................................................................ 4
2.2 Die Lösung ............................................................................................................................................... 4
2.3 Erläuterungen ........................................................................................................................................ 5
3. Die modale Logik KT45n ............................................................................... 6
3.1 Die modalen Junktoren der Logik KT45n................................................................................ 6
3.1.1 Ki ............................................................................................................................................................ 6
3.1.2 EG ........................................................................................................................................................... 6
3.1.3 CG ........................................................................................................................................................... 6
3.1.4 DG ........................................................................................................................................................... 7
3.2 Die Syntax einer KT45n Formel.................................................................................................... 7
3.3 Das Modell der Logik KT45n ........................................................................................................... 7
3.3.1 Die Definition..................................................................................................................................... 7
3.3.2 Die Gültigkeit einer Formel in einem KT45n Modell ............................................................ 7
3.3.2 Beispiel................................................................................................................................................. 9
4. Natural Deduction ........................................................................................ 10
4.2 Die Regeln für die modale Logik KT45n ................................................................................ 10
4.2.1 Die Introduktions- und Eliminationregeln ............................................................................ 10
4.2.2 Natürliche und zusammengesetzte Regeln.......................................................................... 11
4.2.3 Erläuterungen.................................................................................................................................. 11
5. Die Formalisierung des „wise-men puzzle“ ....................................... 12
5.1 Formalisierung der gegebenen Informationen ................................................................ 12
5.2 Formalisierung der Schlüsse....................................................................................................... 13
6. Beweise der Schlussfolgerungen ........................................................... 14
7. Fazit................................................................................................................... 16
2
1. Einleitung
Als Fortsetzung zu Kolja Books Seminararbeit, möchte ich im Folgenden
auf ein Anwendungsbeispiel für die modale Logik eingehen: Das „wisemen puzzle“
In diesem Rätsel geht es intensiv um das Wissen von Agenten, wie sie zu
diesem gelangen und welche Rückschlüsse man aus ihren Aussagen
ziehen kann.
Ich werde zeigen, dass die modale Logik mächtig genug ist, die Logik
eines solchen Rätsels und das Wissen in so einem System von vielen
Agenten auszudrücken.
Dazu werde ich zunächst intuitiv auf das „wise-men puzzle“ eingehen.
Danach werde ich die modale Logik KT45n, die zur Formalisierung des
Rätsels benötigt wird, vorstellen. Abschließend werde ich dann mit Hilfe
der Natural Deduction und der Formalisierung des Rätsels, die intuitive
Lösung beweisen.
3
2. Das „wise-men puzzle“
Das „wise-men puzzle“ ist ein, in der Literatur, gängiges Beispiel, um die
Aufgabe der Modallogik zu erläutern. Bei der Lösung des puzzles (Rätsels),
wird die intuitive Anwendung der Modallogik deutlich. Aber kommen wir
zunächst zur Aufgabenstellung.
2.1 Das Rätsel
Es waren einmal drei weise Männer, die zu ihrem König geladen wurden.
Jeder von Ihnen sollte zur Ehrung einen Hut aufgesetzt bekommen. Es
war allgemein bekannt, dass es drei rote und zwei weiße Hüte gibt. Nun
setzte der König jedem der weisen Männer einen Hut so auf, dass er die
Farbe seines eigenen Hutes nicht erkennen konnte. Die Hüte der anderen
weisen Männer kann jedoch jeder sehen. Nun fragt der König der Reihe
nach alle weisen Männer, ob sie die Farbe ihres Hutes kennen.
Nehmen wir nun an, der erste weise Mann sagt, dass er die Farbe seines
Hutes nicht kennt. Der zweite weise Mann antwortet auf die gleiche Frage
des Königs ebenfalls, dass er die Farbe seines Hutes nicht kennt. Nun weiß
der König: Wenn der dritte Mann wirklich weise ist, kennt er nun die Farbe
seines Hutes. Wie kann das sein?
2.2 Die Lösung
Wenn der dritte weise Mann wirklich weise ist, dann hat er den anderen
beiden Männern genau zugehört. Er kann, auf Grund ihrer Aussagen,
verschiedene Schlüsse bezüglich der Verteilung der Hüte und daraus
wiederum Rückschlüsse auf die Farbe seines Hutes ziehen.
Um dieses einzusehen, betrachten wir einmal die sieben möglichen
Verteilungen für die Hüte. R steht dabei für einen roten Hut und W für
einen weißen Hut.
RRR
RRW
RWR
RWW
WRR
WRW
WWR
Nun können wir nacheinander verschiedene Möglichkeiten ausschließen:
Da der erste weise Mann gesagt hat, dass er die Farbe seines Hutes nicht
kennt, können wir die Situation RWW ausschließen. Denn läge diese
Situation vor, dann hätte der erste weise Mann gesehen, dass sich die
4
einzigen beiden weißen Hüte auf den Köpfen der anderen beiden Männer
befinden und hätte geantwortet, dass sein Hut rot ist.
Da der zweite weise Mann ebenfalls gesagt hat, er kenne die Farbe seines
Hutes nicht, kann aus dem gleichen Grund auch die Situation WRW
ausgeschlossen werden.
Auf Grund der Aussage des zweiten Mannes können wir außerdem die
Situation RRW ausschließen: Wenn der zweite Mann gesehen hätte, dass
der erste einen roten und der dritte einen weißen Hut trägt (RRW oder
RWW), dann hätte er für sich festgestellt, dass sein Hut rot ist, denn die
Situation RWW konnte bereits durch die Aussage des ersten weisen
Mannes ausgeschlossen werden. Da er aber diese Feststellung nicht
gemacht hat, liegt die Situation erster Hut rot, dritter Hut weiß, nicht vor.
So kann auch die Situation RRW ausgeschlossen werden.
Schauen wir uns nun die übrig gebliebenen Möglichkeiten an: RRR, RWR,
WRR und WWR.
In allen noch möglichen Situationen trägt der dritte weise Mann einen
roten Hut. Hat er nun auf die gleiche „weise“ Art, wie oben beschrieben,
die Aussagen seiner beiden Vorgänger ausgewertet, kann er sagen, dass
er die Farbe seines Hutes kennt. Sie ist rot.
2.3 Erläuterungen
Die oben beschriebene Vorgehensweise setzt zu jeder Zeit die Intelligenz,
die Beobachtungsgabe und die Ehrlichkeit der weisen Männer voraus.
Zudem muss jeder diese Tugenden der weisen Männer kennen. Denn nur
in diesem Fall, kann der dritte weise Mann, richtige Schlüsse aus den
Aussagen der ersten beiden Männer ziehen.
Das o.a. Rätsel ist nur eine Ausprägung des „wise-men“ Puzzles. Es sind
natürlich bezüglich der Verteilung der Hüte und der entsprechenden
Antworten der weisen Männer auch alle anderen Möglichen zu betrachten.
Die Vorgehensweise für einen weisen Mann ist dabei jedoch immer die
gleiche:
Er beobachtet aufmerksam seine Mitstreiter und zieht, wenn möglich,
geschickte Schlüsse aus ihren Aussagen.
Wir haben also aus dem o.a. Beispiel erkannt, wie ein weiser Mann durch
geschickt Folgerungen und Schlüsse zu Wissen kommt. Aber wie lässt sich
dieses „menschliche“ Verhalten formalisieren, um es mit einem Computer
nachahmen zu können? Um der Antwort dieser Frage näher zu kommen,
betrachten wir als nächstes die modale Logik KT 45n.
5
3. Die modale Logik KT45n
Die modale Logik KT 45n ist eine Erweiterung der, aus Kolja Boocks
Seminararbeit, bereits bekannten Logik KT 45. Wir können mit ihr nicht
nur für einen Agenten Aussagen wie □Φ treffen sondern für eine ganze
Gruppe A = {1,2, …, n} von Agenten.
3.1 Die modalen Junktoren der Logik KT45n
In der modalen Logik KT45n gibt es zusätzlich, zu den bereits bekannten
Junktoren, vier weitere: Ki, EG, CG und DG. Dabei ist i ∈ A, ein Agent aus
der Menge A aller Agenten und G ⊆ A, eine Teilmenge aller Agenten aus A.
3.1.1 Ki
In der modalen Logik KT 45n steht die Formel Kip für: Agent i, weiß dass p
gilt. (K=Knowledge)
Beispiel:
K1p ^ K1¬K2K1p
bedeutet, dass K1 weiß, dass p gilt und K2 nicht weiß, dass er es weiß.
3.1.2 EG
G ist eine Teilmenge der Menge aller Agenten A. Die Formel EGp, mit G ⊆
A, ist equivalent zu der Aussage, für alle i aus G gilt, Kip.
EGp ⇔ ∀i∈G: Kip
Sprich, EGp bedeutet, alle Agenten i, die in G enthalten sind, wissen, dass
p gilt. ( E= Everyone’s knowledge)
3.1.3 CG
Weiterhin gibt es die Formel CGp (C=Common knowledge). So bedeutet
CGp, p ist allgemein bekannt unter den Agenten aus G.
Dies stellt einen Unterschied zur Aussage EGp dar, die nur bedeutet, dass
jeder Agent aus G, weiß, das p gilt. Die einzelnen Agenten wissen aber
nicht, ob auch andere Agenten wissen, dass p gilt. Im Gegensatz dazu
steht die Aussage CGp, die bedeutet, dass jeder Agent aus G weiß, dass p
gilt, aber auch, dass jeder Agent weiß, dass alle anderen Agenten aus G
auch wissen, dass p gilt:
CGp = EGp ∧ EGEGp ∧ EGEGEGp …
6
3.1.4 DG
Als letztes bleibt nun noch der Junktor DG. Verknüpft mit einer Aussage p
bedeutet er, dass das Wissen von p innerhalb der Gruppe G verteilt ist
(D= Distributed knowledge). So kann es also durchaus sein, dass keiner
der Agenten in G weiß, dass p gilt. Tragen jedoch alle Agenten ihr Wissen
zusammen, so können sie aus den einzelnen Kenntnissen die komplette
Aussage p erschließen.
3.2 Die Syntax einer KT45n Formel
Eine Formel Φ in der modalen Logik KT45n ist definiert durch folgende
Grammatik:
Φ ::= ⊥ | T | p| ¬Φ | (Φ ∧ Φ) | (Φ ∨ Φ ) | (Φ → Φ) | (Φ ↔ Φ) | Ki Φ | EGΦ |
CG Φ | DG Φ
wobei gilt, p ist ein Atom, i ∈ A und G ⊆ A
Für G = A, schreiben wir vereinfacht für EA , CA und DA : E, C und D.
3.3 Das Modell der Logik KT45n
Das allgemeine Modell einer modalen Logik ist Ihnen bereits aus Kolja
Boocks Ausarbeitung (siehe: Semantik von modaler Logik) bekannt.
Betrachten wir nun das Modell der modalen Logik KT45n:
3.3.1 Die Definition
Ein Modell M = (W, (Ri)i∈A , L) in KT45n, mit der Menge A bestehend aus n
Agenten, wird folgendermaßen definiert:
1. Die Menge W, in der alle möglichen Welten enthalten sind.
2. Die Erreichbarkeitsrelation Ri, wobei für jedes i in
Äquivalenzrelation Ri auf W mit Ri ⊆ W × W existiert.
3. die Beschriftungsfunktion L: W → Ρ(Atome)
A,
die
Im Unterschied zur bereits bekannten Definition des Kripke Modells, haben
wir hier nicht nur eine Erreichbarkeitsrelation R, sondern mehrere Ri, für
jeden Agenten i aus A eine. Die Bedeutung der Erreichbarkeitsrelationen,
soll nun in den nächsten beiden Absätzen näher betrachtet werden.
7
3.3.2 Die Gültigkeit einer Formel in einem KT45n Modell
In einem Modell M = (W, (Ri)i∈A, L) der Logik KT45n wird die Gültigkeit
einer Formel Φ für eine Welt x folgendermaßen definiert:
x ╟ p ⇔ p ∈ L(x)
x ╟ ¬Φ ⇔ x╟ Φ
x╟Φ∧ψ⇔x╟Φ∧x╟ψ
x╟Φ∨ψ⇔x╟Φ∨x╟ψ
x ╟ Φ → ψ ⇔ x ╟ ψ immer wenn x ╟ Φ
Bemerkung: Die oben betrachteten Gültigkeitsbereiche für eine boolsche
Formel Φ in einer Welt x sind die gleichen, wie in einem Kripke Modell für
einfache modale Logik. Betrachten wir nun aber die Gültigkeit der KT45n
Formeln:
x ╟ Kiψ ⇔ für jedes y ∈W gilt: Ri(x, y) → y ╟ ψ
Jedes Ki verhält sich für die Relation Ri genau so, wie der Junktor □ der
einfachen modalen Logik. □ψ bedeutet in allen erreichbaren Welten gilt ψ
und Kiψ bedeutet in allen über Ri erreichbaren Welten gilt ψ. Die Gültigkeit
der anderen modalen Junktoren lassen sich, wie bereits gesehen, durch
Rückführung auf Ki bzw. EG beschreiben.
x ╟ EGψ ⇔ für jedes i ∈G gilt: x ╟ Kiψ
x ╟ CGψ ⇔ für jedes k = 1..∞ gilt: x ╟ EGk ψ, EGk = EGEGEG… (k mal)
x ╟ DGψ ⇔ für jedes y ∈W and für alle i ∈G gilt: Ri(x,y) → y ╟ ψ
8
3.3.2 Beispiel
x2
p,q
R1
R1, R2
x1
q
x3
R1, R3
p
Abbildung 1: Ein KT45n Modell
Im obenstehenden Beispiel gilt W ={x1, x2, x3}. Die Verbindungen
zwischen den einzelnen Welten sind mit den entsprechenden Relationen Ri
gekennzeichnet. Es sind keine Richtungspfeile mehr vorhanden, da es sich
bei jeder Verbindung um eine bi-direktionale handelt, da die Relationen
symmetrisch sind. Da die Relationen nicht nur symmetrisch sondern auch
reflexiv sind, existiert zu jeder Welt und für alle Relationen Ri, eigentlich
eine Schleife zu sich selbst (Ri(x,x)). Diese werden aber zur Vereinfachung
der Darstellung weggelassen.
Betrachten wir nun einmal die Gültigkeit der KT45n Formel K2p.
Welt x1: K2p gilt nicht, da im einzigen über die Relation R2 erreichbaren
Nachfolger (x1) p nicht gilt ( p ∉ L(x1))
Welt x2: K2p gilt, da in allen über die Relation R2 erreichbaren Nachfolgern
(x2, x3) p gilt
Welt x3: K2p gilt, da in allen über die Relation R2 erreichbaren Nachfolgern
(x2, x3) p gilt
9
4. Natural Deduction
Die Natural Deduction der Aussagenlogik ist uns bereits aus der
Seminararbeit von Jürgen Hölker bekannt. Zusätzlich zu den
aussagenlogischen Regeln für das natürliche Schließen (Natural
Deduction), gibt es auch weitere Regeln für die modale Logik. Diese
ermöglichen es uns Beweise über Schlussfolgerungen zu führen. So sind
wir dann auch in der Lage die Schlüsse, die zur Lösung des wise-men
puzzles gezogen wurden, formal zu beweisen.
4.2 Die Regeln für die modale Logik KT45n
Zusätzlich, zu den uns bereits von Jürgen Hölker vorgestellten Regeln der
Natural Deduction, werden für die modalen Junktoren Ki, EG und CG
ebenfalls Introduktions- und Eliminationsregeln eingeführt. Des weiteren
gibt es noch diverse natürliche und zusammengesetzte Regeln zu den
modalen Junktoren.
4.2.1 Die Introduktions- und Eliminationregeln
Für die modalen Junktoren Ki, EG und CG werden die bereits bekannten
Introduktionsund
Eliminationsregeln
leicht
angepasst.
Der
entsprechende Junktor wird in der linken oberen Ecke einer gestrichelten
Box vermerkt. Die Regeln heißen dann Kii, EGi und CGi bzw. Kie, EGe und
CGe.
Ki
EG
..
.
Φ
KiΦ
KiΦ
Ki
..
.
Φ
..
.
CG
..
.
Φ
Kii
EGΦ
EGΦ
Kie
EG
..
.
Φ
..
.
..
.
Φ
EGi
CGΦ
CGΦ
EGe
CG
CGi
CGe
..
.
Φ
..
.
Abbildung 2: Introduktions- und Eliminationsregeln für KT45n
10
4.2.2 Natürliche und zusammengesetzte Regeln
Ki Φ für jedes i ∈G
KE
EGΦ
EGΦ
i∈G
KiΦ
EKi
CGΦ
Ki1 ... Kik
CK
CGΦ
CGCGΦ
C4
KiΦ
Φ
KT
KiΦ
KiKiΦ
K4
CGΦ
EG … EG Φ
¬CGΦ
CG¬CGΦ
¬ KiΦ
Ki¬ KiΦ
CE
C5
K5
Abbildung 3: Natural Deduction Regeln für KT45n
4.2.3 Erläuterungen
Die ersten drei der o.a. Regeln (KE, EKi und CE) handelt es sich im
Wesentlichen um eine Umsetzung der Definitionen der einzelnen
Junktoren. Die Regel KT drückt aus, dass wenn ein Agent weiß, dass
etwas gilt, dann gilt die Aussage auch. Dass heißt, Agenten wissen nur
wahre Aussagen. Die Regeln K4 und K5 spiegeln die positive und die
negative Selbstbetrachtung wider. Wenn Agent i etwas weiß, dann weiß er
auch, dass er es weiß. Und wenn ein Agent i etwas nicht weiß, dann weiß
er auch, dass er es nicht weiß.
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5. Die Formalisierung des „wise-men puzzle“
Mit den uns nun bekannten Regeln der Natural Deduction aus der
Aussagenlogik und der Logik KT45n können wir nun das „wise-men puzzle“
formalisieren und die Schlüsse beweisen:
5.1 Formalisierung der gegebenen Informationen
Zunächst werden wir die Angaben, die im Rätsel gemacht werden
formalisieren:
pi = Mann i trägt einen roten Hut
¬pi = Mann i trägt einen weißen Hut
Da es drei rote und zwei weiße Hüte gibt und drei Männer einen Hut
aufgesetzt bekommen, trägt mindestens ein Mann einen roten Hut, da es
nur zwei weiße Hüte gibt. Diese Informationen, kann man mit folgender
modallogischen Formel ausdrücken:
C(p1 ∨ p2 ∨ p3) = Es ist allgemein bekannt, dass Mann eins oder Mann
zwei oder Mann drei einen roten Hut trägt.
Dass die einzelnen weisen Männer die anderen sehen können, wird durch
folgende Formeln ausgedrückt:
C(p1 → K2p1), C(p1 → K3p1),
C(p2 → K1p2), C(p2 → K3p2),
C(p3 → K1p3), C(p3 → K2p3),
C(¬p1 → K2¬p1), C(¬p1 → K3¬p1),
C(¬p2 → K1¬p2), C(¬p2 → K3¬p2),
C(¬p3 → K1¬p3), C(¬p3 → K2¬p3)
Nun haben wir noch die Aussagen der ersten beiden weisen Männer, die
sagen, dass sie die Farbe ihrer Hüte nicht kennen:
C(¬K1p1 ∧ ¬K1p1), C(¬K2p2 ∧ ¬K2p2)
Damit wären die Angaben aus dem Rätsel, welche wir im Folgenden mit Γ
bezeichnen, komplett formalisiert.
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5.2 Formalisierung der Schlüsse
Nun gilt es noch die Schlussfolgerungen, die der dritte weise Mann zur
Lösung des Problems gemacht hat, zu formalisieren. Dazu betrachten wir
zunächst den Schluss über die Aussage des ersten Mannes. Wie in Kapitel
2.2 gesehen, können wir auf Grund dieser Aussage die Situation RWW
ausschließen. Das heißt, der zweite oder der dritte Mann trägt einen roten
Hut. Als KT45n Formel sieht das folgendermaßen aus:
Γ , C(¬K1p1 ∧ ¬K1¬p1) ├ C(p2 ∨ p3)
Zusammen mit der Aussage des zweiten Mannes, schlussfolgert der dritte
weise Mann nun, dass sein Hut rot ist:
Γ, C(p2 ∨ p3), C(¬K2p2 ∧ ¬K2¬p2) ├ K3p3
Diese beiden Schlüsse können wir nun mittels der Natural Deduction
Regeln beweisen.
13
6. Beweise der Schlussfolgerungen
Die Beweise für die einzelnen Schlüsse werden nun in den nächsten
beiden Beweisboxen der Natural Deduction geführt:
1
C(p1 ∨ p2 ∨ p3)
2
C(pi → Kjpi)
3
C(¬pi → Kj¬pi)
4
C¬K1p1
5
C¬K1¬p1
6 C
7
¬p2 ∧ ¬ p3
8
¬p2 → K1¬p2
9
¬p3 → K1¬p3
10
K1¬p2 ∧ K1¬p3
11
K1¬p2
12
K1¬p3
13
K1
14
¬p2
15
¬p3
16
¬p2 ∧ ¬ p3
17
p1 ∨ p 2 ∨ p 3
18
p1
19
K1p1
20
¬ K1p1
21
⊥
22
¬(¬p2 ∧ ¬ p3)
23
p2 ∨ p 3
24
C(p2 ∨ p3)
premise
premise, (i ≠ j)
premise, (i ≠ j)
premise
premise
assumption
Ce 3 (i, j) = (2, 1)
Ce 3 (i, j) = (3, 1)
prop 7,8,9
∧e110
∧e210
K1e 11
K1e 12
∧i 14, 15
Ce 4
prop 16,17
K1i 13-18
Ce 4
¬e 19,20
¬i 7-21
prop 22
Ci 6-23
Abbildung 2: Beweis für Schluss 1
14
1
C(p1 ∨ p2 ∨ p3)
2
C(pi → Kjpi)
3
C(¬pi → Kj¬pi)
4
C¬K2p2
5
C¬K2¬p2
6
C(p2 ∨ p3)
7 K3
8
¬ p3
9
¬p3 → K2¬p3
10
K2¬p3
11
K1
12
¬p3
13
p2 ∨ p 3
14
p2
15
K2p2
16
Ki¬K2p2
17
¬K2p2
18
⊥
19
p3
20
K3p3
premise
premise, (i ≠ j)
premise, (i ≠ j)
premise
premise
premise
assumption
CK 3 (i, j) = (3, 2)
→e 9,8
K2e 10
Ce 6
prop 12,13
K2i 11-14
CK 4, for each i
KT 16
¬e 15,17
RAA 8-18
K3i 7-19
Abbildung 3: Beweis für Schluss 2
Bei beiden Beweisen sehen wir, wie wir durch die Anwendung der Regeln
der Natural Deduction von den bekannten Angaben zu den
Schlussfolgerungen kommen. Somit ist die Richtigkeit der gemachten
Schlüsse durch die Natural Deduction bewiesen.
15
7. Fazit
Mit den in Kapitel 5.3 geführten Beweisen der Natural Deduction, haben
wir nun die intuitiven Schlussfolgerungen zur Lösung des „wise-men
puzzles“ bewiesen. Somit ist also die Annahme des Königs im Rätsel, dass
der dritte weise Mann, wenn er denn weise ist, nun die Farbe seines Hutes
kennen muss, wahr.
Wir haben gesehen, wie wir die Aussagen, die im Rätsel gemacht werden,
mit Hilfe der modalen Logik KT45n formalisieren können. Diese ist also
mächtig genug, um das Wissen von Agenten auszudrücken und solch ein
komplexes Rätsel wider zu spiegeln.
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