Script zum Vortrag Symmetrien in der Physik: Gruppen

Script zum Vortrag
Symmetrien in der Physik:
Gruppen, Beispiele und Konjugationsklassen
gehalten an der Universität Hamburg am 25.10.2012
im Rahmen des Proseminars: Gruppentheorie in der Quantenmechanik
von Prof. Dr. Jan Louis und Dr. Robert Richter
von Leonard Wienke
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
Motivation: Symmetrien in der Physik
3
Gruppen
3
1.1 Wasser-Molekül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Alltagsbeispiel: (un)geschlienes Glas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Beispiel: Z mod 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Gegenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punktgruppen
3.1 Die Drehgruppe Cn . . . . .
3.2 Die Diedergruppe Dn . . . .
3.3 Die Permutationsgruppe Sn
3.3.1 Isomorphien . . . . .
3.3.2 Satz von Cayley . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
3
4
4
4
5
5
6
6
Konjugation und Konjugationsklassen
6
Quellenverzeichnis
7
4.1 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Alltagsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Äquivalenzklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
7
1
Motivation: Symmetrien in der Physik
1.1 Wasser-Molekül
Die Hamilton-Funktion bzw. der Hamilton-Operator des Wasser-Moleküls ist invariant unter
i) Vertauschung der H -Ionen
ii) Translation des Systems
iii) Rotation des Systems
Erläuterungen dazu:
i) Oensichtlich, da die H -Ionen ununterscheidbar sind.
ii) Die potentielle und die kinetische Energie hängt nur von den Dierenzenvektoren
ab, nicht aber von deren absoluten Positionen.
- ,
r1 r2
-
r1 r3
iii) Die Gesamtenergie des Systems ist zudem von der Orientierung der Dierenzenvektoren unabhängig.
1.2 Alltagsbeispiel: (un)geschlienes Glas
Ein seitlich angeschlienes Glas weist eine diskrete Symmetrie auf, sie ist nur invariant unter bestimmten Drehwinkeln. Im Gegensatz dazu besitzt ein ungeschlienes Glas eine kontinuierliche Symmetrie,
die invariant unter sämtlichen Drehwinkeln um eine gedachte Mittelachse ist.
2
Gruppen
2.1 Denition
Eine Gruppe ist eine nicht-leere Menge G mit einer Verknüpfung G G G, die jedem geordneten
Paar ˆa, b > G G eindeutig ein Element c > G zuordnet. Es ist dann c a b (Abgeschlossenheit).
Eine Gruppe erfüllt folgende Eigenschaften.
‡ ‡
i) a, b, c > G gilt ˆa b c a
¦
‡
‡
‡
ˆb ‡ c
(Assoziativgesetz)
ii) e > G a e e a a (neutrales Element)
§
iii)
‡
‡
1 > G a ‡ a1
¦a > G§!a
a1 ‡ a e (inverses Element)
Gilt zudem a b b a heiÿt die Gruppe kommutativ oder abelsch.
‡
‡
Allgemein beschreibt man eine Gruppe durch ˆG, .
‡
2.2 Beispiel: Z mod 4
Die Menge der ganzen Zahlen modulo 4 besteht aus ˜0, 1, 2, 3, also aus also aus vier Elementen.
Behauptung: ˆZ4 ,  ist eine Gruppe.
Beweis. Seien a,b,c, > Z mod 4.
i) (a+b)+c = a+(b+c), aufgrund der Assoziativität der Addition
ii) a+0 = 0+a = a
3
iii) a+ (4-a) = (4-a) + a = 0 = e
Die Gruppe ist zudem abelsch, da a+b = b+a aufgrund der Kommutativität der Addition.
2.3 Gegenbeispiele
ˆ ˆZ, ‡, es gibt kein inverses Element, da
1
>~
n
Z
ˆ ˆR, ‡, die 0 hat kein Inverses.
3
Punktgruppen
Punktgruppen sind spezielle Symmetriegruppen. Sie besitzen die Eigenschaft, dass es einen Punkt gibt,
der durch Anwendung der Operatoren (Elemente) der Gruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird.
Im Folgenden werden die Drehgruppe Cn , die Diedergruppe Dn , die Permutationsgruppe Sn sowie die
alternierende Gruppe An in Zusammenhang mit dem Satz von Cayley betrachtet.
3.1 Die Drehgruppe Cn
Die Drehgruppe Cn dreht regelmäÿige Polygone mit n gerichteten (ausgezeichneten Seiten) bei r-facher
Drehung um den Winkel 2πr
um einen festen (Mittel-)Punkt. Die Elemente der Cn sind die Cnr , die das
n
2πr
Polygon um n gegen den Uhrzeigersinn, also den mathematisch positiven Drehsinn, rotieren lassen.
Betrachte n=3. C3 ist die Gruppe mit den Elementen C31 , C32 , C33 , die ein Polygon um die Winkel
120X , 240X , 360X drehen. Bemerkung: Das Element C30 ist hier nicht aufgeführt, da es identisch mit C33 ,
dem neutralen Element (s.u.), ist.
Behauptung: ˆC3 , 0 ist eine Gruppe.
Beweis.
i) C1 0ˆC2 0C3 
ˆC1 0C2 0C3 ,
da Kompositionen assoziativ sind
ii) Aus obiger Bemerkung geht hervor, dass C33 das neutrale Element ist. Allgemein: C33
iii) Ein inverses Element zu C3m ist gegeben durch C33m
Aus diesen Überlegungen folgt, dass man die Gruppe auch durch Potenzen von C11 darstellen kann.
Allgemein schreibt man Cn = gp˜Cn1 , wobei gp für generating product steht.
Die Gruppe ist zudem abelsch, da cr cs csr crs cs cr
Z
Nimmt man die Umbenennung C3
‡
C3
e
a
b
e
a
a
b
0
C33
e
a
a
b
e
1
C31
a
b
b
e
a
2
C32 vor, so zeigen die Verknüpfungstabellen
b
‡
die Isomorphie der Gruppen C3 und Z3 .
4
e
a
b
e
a
a
b
a
a
b
e
b
b
Z
e 3
a
3.2 Die Diedergruppe Dn
Die Diedergruppe Dn rotiert regelmäÿige Polygone mit n ungerichteten Seiten. Es ist oensichtlich,
dass alle Elemente von Cn auch Elemente von Dn sind. Die Drehgruppe erfüllt die Bedingung, dass die
Orientierung der Seiten der Polygone beibehalten wird. Dies ist bei ungerichteten Seiten jedoch nicht
mehr nötig und die Diedergruppe ermöglicht Rotationen um Achsen. Betrachte n=3. Bezeichne mit
b1 , b2 , b3 die Elemente der Menge, die als Operatoren auf ein regelmäÿiges Dreieck ABC agieren und
zwar in der Form, dass das Dreieck um die AO-Achse, die BO-Achse oder die CO-Achse jeweils um
den Winkel π gedreht wird. Es ist oensichtlich, dass b2i das neutrale Element der Gruppe ist. Setze
C31 = c. Lässt man den Operator c auf das Dreieck wirken, so sieht man, dass die Achse AO auf die
Achse BO transformiert wird. Dies motiviert die Annahme, dass man die bi durch eine Konjugation
mit c darstellen kann. In der Tat ist bspw. b2 cb1 c1 Beweis: Die sukzessive Anwendung von cb1 c1
ist äquivalent zu der von b2 .
Analog zeigt man b3 b1 c1 b1 c2 . Eine weitere Darstellung von b2 ist durch b2 b1 c gegeben. Wie
schon in 3.1 kann man die Gruppe nun kompakt schreiben als: D3 gp˜c, b1  mit c3 b2 c. Mit
zwei kanonischen Operatoren bm cn , deren Potenzen die Elemente der Gruppe darstellen, ist nun die
Gruppe auf Kommutativität zu untersuchen.
b2
Weiterhin gilt: ˆb1 c2
ˆb1 cˆb1 c
b1 ˆcb1 c
cb1 c1
b1 c
cb1
b1 c2
b1 ˆb1 c2 c
b21 c3
e
Somit lässt sich die Gruppe abschlieÿend mit b1 =b darstellen als
D3 gp˜c, b ˜e, c, c2 , b, bc, bc2  mit c3 b2 ˆbc2 e.
3.3 Die Permutationsgruppe Sn
Eine Permutation P ordnet Objekten/Elementen mit den Indizes i neue Indizes pi zu.
a1
b1
P=Œ
a2
b2
a3
‘ Wie bei jeder Matrix lassen sich hier die Spalten vertauschen, was die
b3
i) Assoziativität der Gruppe zeigt.
ii) Ein neutrales Element der Gruppe ist gegeben durch E
iii) P 1
p1
1
Œ
p2
2
...
...
pi
‘
n
5
1
1
Œ
2
2
...
...
n
‘
n
Die Gruppe ist nicht kommutativ, wie ein Gegenbeispiel beweist:
Œ
1
1
2
3
3 1
‘Œ
2 3
2
1
3
‘
2
1
2
Œ
2
1
3
1
‘xŒ
3
3
2
2
3
‘
1
1
3
Œ
2
1
3 1
‘Œ
2 1
2
3
1
2
In sogenannter zyklischer Notation lässt sich die Permutation Œ
3
‘
2
2 3
4 3
4
‘ als (1 2 4) (3) schreiben.
1
Man durchläuft hier die Permutationen für 1 bis man wieder bei 1 angekommen ist. Für alle Indizes,
die bei dem ersten Durchlauf nicht "getroen"wurden, führt man dieses Verfahren (in natürlicher
Reihenfolge der Indizes) erneut durch. (1 2 4) (3) steht für die Permutation 1 Ð 2, 2 Ð 4, 4 Ð 1
sowie 3 Ð 3. Letztere Zuordnung wird in der Notation oft weggelassen.
3.3.1
Isomorphien
ˆ Die Gruppen S2 und C2 sind isomorph. Die Gruppe C2 vertauscht bei einer Gerade AB die
beiden Eckpunkte, was einer Permutation der Form (1 2), wie sie S2 durchführt, entspricht.
ˆ Zwischen den Gruppen S3 und D3 besteht folgende vollkommene Isomorphie
˜ˆ, ˆ23, ˆ31, ˆ12, ˆ123, ˆ132
˜e, b, bc, bc2 , c, c2 
ˆ Für die Gruppe S4 mit 24 Elementen ist keine Isomorphie
oensichtlich.
Diese Beobachtungen motivieren den Satz von Cayley.
3.3.2
Satz von Cayley
Der Satz von Cayley besagt, dass sich jede Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe
darstellen lässt. Eine (endliche) Gruppe ist dann isomorph zu einer Untergruppe von Sn. Verknüpft
man die Elemente ai > G mit einem festen g > G, so werden lediglich die Indizes der Elemente der
Gruppe gemäÿ einer Permutation von Sn permutiert.
Bemerkungen.
i) Hierbei kommt jeder permutierte Index πn nur einmal vor. Das heiÿt, auch nach der Permutation
sind die Elemente noch voneinander verschieden. Beweis durch Widerspruch: gaj gak Ð aj
ak , was ein Widerspruch zur Annahme aj x ak ist.
ii) Die Permutation ist eindeutig. Beweis: gai g œ ai Ð g g œ
4
Konjugation und Konjugationsklassen
4.1 Äquivalenzrelationen
Es sei X eine Menge. Eine Relation auf X, ist eine Teilmenge R b X X . Eine Relation auf X heiÿt
Äquivalenzrelation, wenn für alle x,y,z > X gilt
i) x x (Reexivität)
ii) x y Ð y x (Symmetrie)
iii) x y und y z Ð x z (Transitivität)
Behauptung: Die Konjugationen aus 3.2 sind Äquivalenzrelationen
Beweis.
i) a a, da a = e a e1
6
ii) a b, setze a = gbg 1 , dann folgt mit Multiplikation von g 1 von links und g von rechts b=g 1 ag
iii) a b und b c Ð a c, setze b = h c h1 , dann folgt a = gbg 1
ˆghcˆh1 g 1
ˆghcˆgh1
Hierbei heiÿen g 1 und (gh) Konjugationselemente.
4.1.1
Alltagsbeispiele
Sei M:={x|x ist ein Student} die Menge aller Studenten.
Betrachte folgende Relation R auf M M;. x y :
x und y sitzen in einem Raum
i) reexiv, da x mit sich selbst in einem Raum sitzt.
ii) symmetrisch, weil x mit y und y mit x in einem Raum sitzt.
iii) transitiv, weil, wenn x mit y in einem Raum und y mit z in einem Raum sitzt, dann auch x mit
z in einem Raum sitzt.
Dies ist ein Beispiel für eine Äquivalenzrelation.
Sei N:={x|x ist ein Bürger} die Menge aller Bürger.
Betrachte folgende Relation R auf N N;. x y :
x kennt y
i) reexiv, da x sich selbst kennt.
ii) nicht symmetrisch, weil x den Bürgermeister kennt, aber er nicht x.
iii) nicht transitiv, weil, wenn x mit y in einem Raum und y seinen Onkel z, so kennt x nicht
zwangsläug z.
Es handelt sich hierbei also nicht um eine Äquivalenzrelation.
4.2 Äquivalenzklassen
Alle Elemente einer Gruppe, die zu einem Element a äquivalent sind, werden zu der Äquivalenzklasse
von a zusammengefasst. Man schreibt (a)={b|ba}
Beispiele:
ˆ Cn : Jedes Element bildet für sich selbst eine Konjugationsklasse.
ˆ D3 : (e), (c,c2 ), (b, bc, bc2 )
ˆ Sn : QPQ1
5
Quellenverzeichnis
ˆ H.F. Jones, Groups representations and physics, IOP 1990
ˆ B. Huppert und W. Willems, Lineare Algebra, Vieweg+Teubner 2010
7