Einfache Gleichstromkreise

Hochschule für Technik und Architektur Bern
Abteilung Elektrotechnik und Elektronik
BFH Bereich Elektro- und Informationstechnik
Elektrotechnik Grundlagen
Kapitel 2
Einfache Gleichstromkreise
2002
Kurt Steudler
(/ET_02.doc)
STR – ING
Elektrotechnik
2-2
_____________________________________________________________________
Inhaltsverzeichnis
2
Einfache Gleichstromkreise................................................................ 5
2.1
Quelle und Last...................................................................................... 5
2.2
Das elektrische Feld .............................................................................. 6
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
2.2.8
2.2.9
2.3
Der elektrische Stromkreis................................................................... 15
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.4
Bauformen ....................................................................................................... 22
Normreihen. Farbencode ................................................................................ 25
Toleranzen. Belastbarkeit................................................................................ 26
Temperaturabhängigkeit ................................................................................. 27
Die belastete reale Quelle ................................................................... 28
2.7.1
2.7.2
2.7.3
2.7.4
2.8
Der leerlaufende Spannungsteiler................................................................... 20
Der kurzgeschlossene Stromteiler .................................................................. 20
Der belastete Spannungsteiler ........................................................................ 21
Das Bauelement Widerstand ............................................................... 22
2.6.1
2.6.2
2.6.3
2.6.4
2.7
Die Serieschaltung von Widerständen ............................................................ 17
Die Parallelschaltung von Widerständen ........................................................ 18
Kombinationen ................................................................................................ 19
Der Spannungsteiler und der Stromteiler............................................. 20
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.6
Der Stromkreis ................................................................................................ 15
Definitionen...................................................................................................... 15
Die KIRCHHOFF’schen Sätze ........................................................................ 16
Die Serie- und Parallelschaltung von Widerständen............................ 17
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.5
Die elektrische Ladung und ihre Wirkung ......................................................... 6
Die elektrischen Feldgrössen ............................................................................ 7
Äquipotentialflächen .......................................................................................... 9
Feldstärke E und felderzeugende Ladung Q .................................................. 10
Elektrische Influenz. Ladungstrennung ........................................................... 10
Relative Dielektrizitätskonstante ..................................................................... 12
Die Kapazität C ............................................................................................... 12
Energie und Kraft im elektrostatischen Feld ................................................... 13
Energiedichte .................................................................................................. 14
Die reale Quelle............................................................................................... 28
Innenwiderstand und Innenleitwert der idealen Quelle ................................... 31
Der einfache Stromkreis mit realer Quelle ...................................................... 31
Leistung im Lastwiderstand............................................................................. 32
Schaltungen. Das Dezibel - Mass........................................................ 36
2.8.1
2.8.2
2.8.3
Die abgeglichene WHEATSTONE – Brücke................................................... 36
Fehlerortmessung ........................................................................................... 37
Dezibel und Neper........................................................................................... 38
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2-2
str
STR – ING
Elektrotechnik
2-3
_____________________________________________________________________
Literaturverzeichnis
L 2-1
L 2-2
L 2-3
L 2-4
L 2-5
Dabrowski G., Bauelemente der Elektronik, AT Verlag, Aarau/Schweiz, 1972.
Frohne Heinrich, Löcherer Karl-Heinz und Müller Hans, Grundlagen der Elektrotechnik, Verlag B.G. Teubner, Stuttgart – Leipzig, 1996, ISBN 3-519-46400-4.
Gren Joachim und Krause Joachim, Metzler Physik, Verlag Schroedel, Hannover,
1998, ISBN 3-507-10700-7.
®
MATHCAD 2000. Mathematiksoftware, die sich für numerische Rechnungen und
Laborauswertungen eignet.
Tabellenbuch Informations- und Telekommunikationstechnik, Verlag Dr. Max Gehlen,
Bad Homburg vor der Höhe, 1998, ISBN 3-441-92102-x
Tabellenverzeichnis
Tabelle 2-1
Tabelle 2-2
Tabelle 2-3
Tabelle 2-4
Tabelle 2-5
Tabelle 2-6
Tabelle 2-7
Tabelle 2-8
Tabelle 2-9
Permitivitätszahlen ....................................................................................................... 12
Normreihe E - 12 .......................................................................................................... 25
Farbencode .................................................................................................................. 26
Toleranzen ................................................................................................................... 26
Temperaturkoeffizienten verschiedener Materialien .................................................... 27
Temperaturkoeffizienten in der Norm .......................................................................... 28
Grosse Zahlen.............................................................................................................. 28
dB relativ ...................................................................................................................... 39
dB absolut .................................................................................................................... 39
Figurenverzeichnis
Fig. 2-1
Fig. 2-2
Fig. 2-3
Fig. 2-4
Fig. 2-5
Fig. 2-6
Fig. 2-7
Fig. 2-8
Fig. 2-9
Fig. 2-10
Fig. 2-11
Fig. 2-12
Fig. 2-13
Fig. 2-14
Fig. 2-15
Fig. 2-16
Fig. 2-17
Fig. 2-18
Fig. 2-19
Fig. 2-20
Fig. 2-21
Fig. 2-22
Fig. 2-23
Fig. 2-24
Fig. 2-25
Quelle - Verbraucher ...................................................................................................... 5
Einfacher Stromkreis...................................................................................................... 5
Elektroskop (Aus [L 2-3] S.179) ..................................................................................... 6
Elektrisches Feld zwischen zwei metallischen Platten .................................................. 7
Elektrische Felder. (Aus [L 2-3] S.183) .......................................................................... 8
Feld zweier Punktladungen. (Aus [L 2-3] S.185) ........................................................... 9
Äquipotentialflächen..................................................................................................... 10
Influenz. Ladungstrennung........................................................................................... 11
Plattenkondensator ...................................................................................................... 13
Energie im Kondensator............................................................................................... 14
elektrischer Stromkreis................................................................................................. 15
Ideale Spannungsquelle............................................................................................... 15
Ideale Stromquelle ....................................................................................................... 15
Idealer Leerlauf ............................................................................................................ 16
Idealer Kurzschluss ...................................................................................................... 16
Knotensatz ................................................................................................................... 16
Maschensatz ................................................................................................................ 17
Serieschaltung.............................................................................................................. 17
Parallelschaltung .......................................................................................................... 18
Parallelschaltung von zwei Widerständen ................................................................... 19
Serie- und Parallelschaltung ........................................................................................ 19
Graph zu Serie- und Parallelschaltung. (Mit [L 2-4]).................................................... 19
Leerlaufender Spannungsteiler .................................................................................... 20
Leerlaufender Spannungsteiler .................................................................................... 20
Belasteter Spannungsteiler .......................................................................................... 21
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2-3
str
STR – ING
Elektrotechnik
2-4
_____________________________________________________________________
Fig. 2-26
Fig. 2-27
Fig. 2-28
Fig. 2-29
Fig. 2-30
Fig. 2-31
Fig. 2-32
Fig. 2-33
Fig. 2-34
Fig. 2-35
Fig. 2-36
Fig. 2-38
Fig. 2-39
Fig. 2-40
Fig. 2-41
Fig. 2-42
Fig. 2-43
Fig. 2-44
Fig. 2-45
Fig. 2-46
Fig. 2-47
Fig. 2-48
Fig. 2-49
Fig. 2-50
Fig. 2-51
Fig. 2-52
Fig. 2-53
Fig. 2-54
Belasteter Spannungsteiler. (Mit [L 2-4]) ..................................................................... 21
Fehler der Abweichung zum leerlaufenden Spannungsteiler. (Mit [L 2-4]).................. 22
Drahtwiderstand (unifilar und bifilar). (Aus [L 2-1], S.56) ............................................. 22
Widerstand mit Abgriff (Potentiometer). (Aus [L 2-1], S.57) ........................................ 22
Schichtwiderstand. (Aus [L 2-1], S.59)......................................................................... 23
Schichtwiderstand gewendelt, gerillt. (Aus [L 2-1], S.60) ............................................ 23
Schichtwiderstand mit Abgriff (Trimmer). (Aus [L 2-1], S.65) ...................................... 24
Potentiometer und Trimmer. (Aus [L 2-4]) ................................................................... 24
SMD oder Chip Widerstand (Bild Philips) .................................................................... 25
Farbkennzeichnung...................................................................................................... 26
Leistungshyperbel ........................................................................................................ 27
Reale Quelle................................................................................................................. 29
Messung an realer Quelle ............................................................................................ 29
Quellenkennlinien......................................................................................................... 30
Quellenersatzschaltbilder............................................................................................. 30
Stromkreis mit realer Quelle 1...................................................................................... 31
Stromkreis mit realer Quelle 2...................................................................................... 31
Quellenkennlinien und Arbeitspunkt ............................................................................ 32
Messung an realer Quelle ............................................................................................ 32
Leistung im Lastwiderstand. (Mit [L 2-4]) ..................................................................... 33
Fehlanpassung. Erklärungsmodell............................................................................... 34
Verhalten von UL, IL, PL und r. Graph linear in RL / Ri. (Mit [L 2-4]) ............................. 35
Verhalten von UL, IL, PL und r. Graph logarithmisch in RL / Ri. (Mit [L 2-4]) ................. 36
WHEATSTONE - Brücke ............................................................................................. 36
Brückenschaltungen..................................................................................................... 37
Widerstandsmessung................................................................................................... 37
Fehlerort nach Murray.................................................................................................. 37
Fehlerort nach Varley................................................................................................... 38
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2-4
str
STR – ING
Elektrotechnik
2-5
_____________________________________________________________________
2
Einfache Gleichstromkreise
2.1
Quelle und Last
Der idealisierte Gleichstromkreis besteht aus
•
Quellen,
das heisst aus Elementen, in denen nichtelektrische Energie in
elektrische Energie umgeformt wird,
•
Verbrauchern,
das heisst Elementen, in denen elektrische in nichtelektrische Energie umgewandelt wird und
•
Verbindungsleitungen,
die Quellen und Verbraucher untereinander ver1
binden und als verlustfrei betrachtet werden.
Elektrische Energie
Mechanische
Energie
Chemische
Energie
Licht
Kernenergie
Wärme
Fig. 2-1
Verbraucher
Quelle
Elektrischer Stromkreis
Mechanische
Energie
chemische
Energie
Licht
Kernenergie
Wärme
Quelle - Verbraucher
Zwischen der Spannung U am Verbraucher und dem Strom I durch den Verbraucher (Widerstand) besteht ein funktionaler Zusammenhang:
U = f(I) = U(I)
I = f(U) =I(U)
(2-1)
Die Funktion U(I) beziehungsweise I(U), das heisst die Charakteristik des Verbrauchers (Widerstandes) hängt von dessen Atomstruktur ab.
Quelle
Fig. 2-2
1
Verbraucher
Einfacher Stromkreis
Diese ideale Annahme gilt, soweit nichts anderes gesagt wird.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2-5
str
STR – ING
Elektrotechnik
2-6
_____________________________________________________________________
2.2
Das elektrische Feld
Die Untersuchung der Elektrizität und der mit ihr zusammenhängenden Erscheinungen wird dadurch erschwert, dass wir kein Sinnesorgan besitzen das elektrische Vorgänge unmittelbar wahrnehmen kann.
2
Wir müssen aufgrund von Erscheinungen (Phänomenen) auf die zugrunde liegenden Tatsachen schliessen. Damit wir trotzdem zu Vorstellungen kommen,
schaffen wir uns Modelle, das heisst Abbildungen der Wirklichkeit.
Ergänzend zu den im Kapitel 1 gemachten Ausführungen folgen weitere Feststellungen.
2.2.1 Die elektrische Ladung und ihre Wirkung
Das elektrische Feld beschreibt Erscheinungen, die durch geladene Materie bewirkt
werden. Materie setzt sich aus kleinsten Einheiten, aus Atomen zusammen. Atome
bestehen aus Protonen, Neutronen und Elektronen (einfaches Atommodell) und wir3
ken in der Regel ladungsneutral. Protonen tragen die positive, Elektronen die negative Elementarladung e = 1,602⋅10-19 As = 1,602⋅10-19 C.
Sobald sich in einem Material die Zahl der Protonen von der Zahl der Elektronen unterscheidet, erscheint eine nach aussen wirkende Ladung. Die Ladungsmenge ergibt
sich aus der Differenz der Anzahl Protonen und Elektronen und kann positiv (Elektronenmangel) oder negativ (Elektronenüberschuss) sein.
Fig. 2-3
Elektroskop (Aus [L 2-3] S.179)
Werden die beiden unterschiedlich geladenen Kugeln leitend verbunden, geht der Ausschlag der
beiden Elektroskope
2
3
4
4
zurück.
Phänomenologie. Phänomenologisches Vorgehen.
BOHR sches Atommodell. BOHR Niels, 7.10.1885-18.11.1962, dänischer Physiker, Atommodell
1913, Nobelpreis 1922.
Elektroskop oder statisches Voltmeter. Gründet zur Anzeige auf den Kräften zwischen Ladungen.
Festes und bewegliches Metallplättchen sind elektrische verbunden.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2-6
str
STR – ING
Elektrotechnik
2-7
_____________________________________________________________________
Elektrische Ladungen üben gegenseitig Kräfte aufeinander aus. Ursache dieser
Kräfte ist ein besonderer, durch die Ladung geschaffener Raumzustand, den wir
elektrisches Feld nennen. Wird das elektrische Feld von ruhender Ladung erzeugt, sprechen wir von einem elektrostatischen Feld.
Elektrische Felder sind gerichtete Felder, also Vektorfelder.
Ein elektrisches Feld kann erzeugt werden mit einer Einrichtung, die Ladungen zu
trennen vermag, mit einer Quelle.
+
Quelle
+ +++ ++
+Q
_ __ __
Fig. 2-4
E
E
d
-Q
Elektrisches Feld zwischen zwei metallischen Platten
Die Quelle U bewirkt eine Ladungstrennung. Die obere Metallplatte weist einen
Elektronenmangel, die untere einen Elektronenüberschuss, auf.
Der Zustand bleibt erhalten, wenn die Quelle entfernt wird. Die beiden Metallplatten
zeigen sich dann als unterschiedlich geladene Körper. Die Anordnung speichert Ladung (Ladungsspeicher).
Elektrische Ladungen treten paarweise auf. Einer positiven Ladung steht eine negative Ladung gegenüber. Erscheint eine Einzelladung, dann ist ihre Gegenladung sehr
weit entfernt.
5
Eine Anordnung nach Fig. 2-4 nennen wir Kondensator. Der Isolator zwischen den
6
beiden metallischen Platten (hier Luft oder Vakuum) heisst Dielektrikum.
2.2.2 Die elektrischen Feldgrössen
Auf eine kleine Menge Ladung, eine Probeladung ∆Q, in einem elektrischen Feld
wirkt eine Kraft F, die sich proportional zur Ladungsmenge verhält.
Mit F ~ ∆Q lässt sich mit der Proportionalitätskonstante E auch schreiben F = E⋅∆Q.
Die Proportionalitätskonstante E macht eine Aussage über die Stärke des elektrischen Feldes und wird daher elektrische Feldstärke genannt.
5
6
lat.: condensus; sehr dicht, dicht gedrängt, «Verdichter». Der Kondensator ist ein Ladungsspeicher.
Bezeichnung für eine Substanz, die Elektrizität nicht oder nur sehr wenig leitet, aber durch Reibung
oder Ladung selber elektr. erregt werden kann (z.B. Bernstein, Quarz, Glimmer). Ein absoluter Nichtleiter ist das Vakuum.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2-7
str
STR – ING
Elektrotechnik
2-8
_____________________________________________________________________
Allgemein ist die Kraft F eine gerichtete Grösse, ein Vektor. Die Ladung Q stellt sich
als skalare Grösse dar. Damit muss die elektrische Feldstärke E eine gerichtete Grö7
sse, ein Vektor, sein.
r
r
F = ∆Q ⋅ E
oder
r
r
F
E=
∆Q
(2-2)
Feldstärke E und Kraft F haben bei positiver Probeladung +∆Q die gleiche und bei
negativer Probeladung -∆Q entgegengesetzte Richtung.
Das elektrische Feld wird oft in Feldlinien dargestellt. Feldlinien geben an, in welcher
Richtung die Kraft auf eine positive Probeladung wirkt.
Fig. 2-5
Elektrische Felder. (Aus [L 2-3] S.183)
In der Anordnung nach Fig. 2-4 verlaufen alle Feldlinien parallel. Das elektrische
8
Feld im Plattenkondensator ist homogen.
Bewegen wir in Fig. 2-4 eine positive Probeladung ∆Q von der unteren Platte zur
oberen Platte, wirkt auf sie die Kraft F = E⋅∆Q ; dabei sei d der Abstand der beiden
metallischen Platten.
Es ist die Energie W = F⋅d = E⋅∆Q⋅d aufzuwenden, um die Probeladung von der einen zur anderen Platte zu bringen.
7
8
-1
-1
Die Dimension der elektrischen Feldstärke E ergibt sich aus NC zu Vm .
Die Randzone wird dabei nicht betrachtet.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2-8
str
STR – ING
Elektrotechnik
2-9
_____________________________________________________________________
Es gilt auch W = U⋅I⋅t = U⋅∆Q und durch gleichsetzen wird E⋅d = U. Für das homogene Feld gilt:
U
E=
(2-3)
d
Entlang eines sehr kurzen Wegstückes gilt ∆U = E⋅∆l. Für ein inhomogenes E - Vektorfeld lässt sich verallgemeinert sagen:
n r →
U1,2 = ∑ E ⋅ ∆l
(2-4)
i =1
Fig. 2-6
Feld zweier Punktladungen. (Aus [L 2-3] S.185)
Das Feld zweier Punktladungen kann als Überlagerung der beiden Radialfelder verstanden werden.
Das Radialfeld einer Punktladung ist proportional zur Ladung Q und umgekehrt
proportional zu Radius r im Quadrat:
Q
E ~
(2-5)
r2
2.2.3 Äquipotentialflächen
Im elektrischen Feld finden sich Flächen mit gleichbleibendem Potential ϕk, sogenannte Äquipotentialflächen. Die Spannungsdifferenz U1,2 lässt sich auch ausdrücken als Differenz zwischen den Potentialen zweier Äquipotentialflächen ϕ1 und ϕ2.
U1,2 = ϕ1 - ϕ2
(2-6)
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2-9
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 10
_____________________________________________________________________
+ +++ ++
+Q
E
+
ϕ1
_ __ __
Fig. 2-7
U1,2
ϕ2
Quelle
E
-Q
Äquipotentialflächen
2.2.4 Feldstärke E und felderzeugende Ladung Q
Die Feldstärke E ist der felderzeugenden Ladung Q proportional. Werden zwei Platten in einer Anordnung nach Fig. 2-4 in unterschiedlichen Abstand d gebracht und
die zu E = U/d gehörende felderzeugende Ladung Q gemessen, lässt sich E ~ Q ermitteln.
Wird der Versuch mit Platten unterschiedlicher Fläche A wiederholt, lässt sich feststellen, dass sich der Quotient Q/E proportional zur Fläche A verhält. Aus Q/E ~ A
ergibt sich, dass E ~ Q/A.
Für das homogene Feld zwischen zwei Platten ergibt sich
Q
= ε0 ⋅ E = D
A
(2-7)
9
Der Quotient Q/A = D heisst Flächenladungsdichte und ε0 ist die elektrische Feld10
konstante mit ε0 = 8,8542 10-12 C/Vm.
2.2.5 Elektrische Influenz. Ladungstrennung
Wird ein Leiter in ein elektrostatisches Feld gelegt, dann werden sich die in ihm befindenden freien Elektronen aufgrund der Kräfte, die auf die Ladungen wirken, innerhalb des Leiters verschoben. Die Elektronen wandern auf jene Seite des Leiters, die
dem positiven Potential zugewandt ist.
11
Wir nennen diesen Vorgang «Influenz».
9
10
11
Die Flächenladungsdichte wird auch Verschiebungsdichte oder Verschiebungsflussdichte genannt.
D ist wie E eine vektorielle Grösse.
Die elektrische Feldkonstante wird auch Dielektrizitätskonstante des Vakuums genannt.
lat.: influere, einfliessen; influo, hineinfliessen, unvermerkt eindringen, sich einschleichen. Influenza:
Grippe. Influenzmaschine: Elektrisiermaschine (Ladungstrennung).
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 10
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 11
_____________________________________________________________________
Quelle
E
+Q
-Q
+∆Q
+
Metallische
Probeplättchen
+
-∆Q
-
Fig. 2-8
Influenz. Ladungstrennung
Es werden zwei aneinander liegende metallische Plättchen in das elektrische Feld E
12
gebracht und dort getrennt. Zwischen den Plättchen entsteht ein feldfreier Raum.
In die beiden metallischen Plättchen mit der Fläche ∆A dringen, solange diese sich im Feld befinden,
gleichviele Feldlinien ein und wieder aus.
Durch die Influenz wanderten die Elektronen in der Probefläche ∆A auf die der +Q - Platte zugewandte
Seite.
Nehmen wir die Plättchen getrennt aus dem Feld, bleibt die Ladung je erhalten. Es
wurde die Ladung ∆Q influenziert und zwischen den beiden Probeflächen besteht ein
umgekehrt gerichtetes Feld E, das gleich gross ist wie das äussere Feld E=U/d.
Es gilt
∆Q
= ε0 ⋅ E = D
(2-8)
∆A
Der so gefundene Zusammenhang gilt auch im inhomogenen Feld, wenn die Probeplatten genügend klein sind. In einer sehr kleinen Umgebung kann das Feld als angenähert homogen angesehen werden.
12
Eine Anordnung, in der innerhalb eines Feldes ein feldfreier Raum vorhanden ist, wird «Faradayscher Käfig» genannt.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 11
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 12
_____________________________________________________________________
2.2.6 Relative Dielektrizitätskonstante
Die Menge der influenzierten Ladung ist abhängig vom Dielektrikum, das heisst
vom Material im Feldraum. In den meisten Dielektrika (nichtleitende Stoffe) ist D ~
13
E, das heisst es gilt
r
r
r
D = ε ⋅ E = ε 0 ⋅ εr ⋅ E
(2-9)
14
Die Proportionalitätskonstante ε heisst Dielektrizitätskonstante.
ε setzt sich zusammen aus einer Konstanten ε0, der Dielektrizitätskonstanten des
Vakuums (elektrische Feldkonstante) und einer materialabhängigen Grösse εr, der
15
relativen Dielektrizitätskonstanten.
ε0
-12
-1
= 8,8542⋅10 C(Vm)
-12
= 8,8542⋅10 As/Vm
-1
16
= 8,8542 pFm
Dielektrizitätskonstante,
des Vakuums
elektrische Feldkonstante,
Permittivität
relative Dielektrizitätskonstante, Dielektrizitätszahl,
relative Permittivität, Permittivitätszahl
εr
Permittivität εr einiger Stoffe:
Stoff
Bariumtitanat
Glas
Glimmer
Luft
Vakuum
Tabelle 2-1
εr
>1000
4 .. 12
5 .. 8
1,0006
1
Stoff
Plexiglas
Porzellan
PTFE, Teflon®
Transformatorenöl
Wasser (destilliert)
Pertinax
εr
3
6
2,1
2,3
81
4,8
Permitivitätszahlen
2.2.7 Die Kapazität C
Zwei gegenüberliegende Metallplatten stellen einen Ladungsspeicher dar. Solche
Ladungsspeicher nennen wir Kondensator (hier Plattenkondensator). Zwischen den
5
Platten befindet sich das Dielektrikum.
13
14
15
16
Bei den Dielektrika werden polare und unpolare Stoffe unterschieden.
Die Dielektrizitätskonstante ist bei einigen Stoffen, zum Beispiel Bariumtitanat, nicht konstant, sondern vom angelegten E - Feld abhängig.
Bekannt ist auch die elektrische Suszeptibilität χ. Es gilt χ = εr - 1 oder εr = 1 +χ
F steht für Farad zu Ehren von M. FARADAY
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 12
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 13
_____________________________________________________________________
+
Quelle
+ +++ ++
1
+Q
_ __ __
Fig. 2-9
E
E
-Q
d
2
Plattenkondensator
Die Ladung Q auf den beiden Platten ist proportional abhängig von der angelegten
Spannung U: Q ~ U.
Es gilt:
Q~U
oder
Q = C ⋅U
(2-10)
Die Proportionalitätskonstante C nennen wir Kapazität. Die Kapazität ist ein Mass für
die Speicherfähigkeit des felderzeugenden Plattenpaares. Die Grösse von C ist abhängig von den geometrischen Abmessungen einerseits und vom eingebrachten
Dielektrikum andererseits.
Im homogenen Feld gilt D⋅A = Q . Darin stellt A die Fläche einer metallischen Kondensatorplatte dar. Zudem sind D = ε⋅E und U = E⋅d.
Zusammengestellt wird
ε⋅A
17,18
(2-11)
C=
d
Die Beziehung Q = I⋅t = C⋅U muss in jedem Augenblick erfüllt sein. Dies gilt auch,
wenn U = u(t), wenn sich die Spannung in der Zeit ändert.
2.2.8 Energie und Kraft im elektrostatischen Feld
Im Feld eines geladenen Kondensators ist Energie gespeichert. Die Menge dieser
Arbeit lässt sich bestimmen.
Zwischen den beiden Elektroden 1 und 2 eines Plattenkondensators werde eine kleine Probeladung ∆Q eingebracht.
Auf diese Probeladung ∆Q wirkt die ∆F = ∆Q⋅E . Bringen wir die Probeladung ∆Q von
der oberen Platte 1 auf die untere Platte 2, wird
• die Spannung zwischen den Platten um ∆U verkleinert und
• die Energie im Feld nimmt um ∆W ab.
17
18
-1
Aus der Formel ergibt sich die Dimension der Kapazität C zu [C] = AsV = F Farad.
Zu Ehren von Michael FARADAY, 22.9.1791-25.81867, brit. Physiker und Chemiker, entdeckt das
Benzol, die Gesetze der elektromagn.Induktion, den F'schen Käfig und so weiter.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 13
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 14
_____________________________________________________________________
Es gilt für ∆W im homogenen Feld
→
→
r →
Q
∆W = ∑ ∆Fk ⋅ ∆l k = ∑ ∆Q ⋅ E ⋅ ∆l k = U ⋅ ∆Q = ⋅ ∆Q
C
k
k
Bringen wir die gesamte Ladung Q von der oberen auf die untere Platte, berechnet
sich die gesamte Energie zu
2
Q
Q2 Q ⋅ U C ⋅ U
⋅ ∆Qi =
=
=
2⋅C
2
2
i C
W = ∑ ∆Wi = ∑
i
U
(2-12)
∆W i
Q
C
Q
∆Qi
Fig. 2-10
Energie im Kondensator
Kraftwirkung
Die beiden Platten ziehen sich mit der Kraft F an. F ergibt sich zu
F=
ε ⋅ A ⋅ U2
2 ⋅ d2
(2-13)
2.2.9 Energiedichte
Beim betrachteten Kondensator ist die Energie im Feld gespeichert. In vielen Fällen
interessiert die Energiedichte w in elektrischen Feldern.
Betrachten wir ein kleines Volumenelement ∆V und die darin enthaltene Energie ∆W,
ergibt sich die Energiedichte w aus dem Verhältnis von ∆W zu ∆V.
Im betrachteten Kondensator wird die Energiedichte w zu
w=
∆W W ε ⋅ E 2 D 2 E ⋅ D
=
=
=
=
∆V
V
2
2⋅ε
2
(2-14)
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 14
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 15
_____________________________________________________________________
2.3
Der elektrische Stromkreis
2.3.1 Der Stromkreis
Der elektrische Stromkreis besteht aus idealen Quellen und Widerständen (Verbrauchern). Diese Elemente sind durch ideale Leitungen miteinander verbunden. (Vgl.
2.3.2)
R1
U
R2
I2
Fig. 2-11
I
R3
R4
U2
elektrischer Stromkreis
Der Spannungspfeil an der Quelle zeigt vom positiven zum negativen Pol oder Anschluss. Der Spannungspfeil an der Quelle ist der technischen Stromrichtung in der
19
Quelle entgegengesetzt.
Am Verbraucher (R1, R2, R3, R4) zeigen der Spannungspfeil und der Strompfeil in der
20
gleichen Richtung.
2.3.2 Definitionen
2.3.2.1
Die ideale Spannungsquelle
U
Ul
Ul
I
Fig. 2-12
2.3.2.2
Ideale Spannungsquelle
Die ideale Stromquelle
U
Ik
Ik
Fig. 2-13
19
20
Eine Spannungsquelle ist ideal, wenn an
ihren Klemmen eine konstante Spannung besteht.
Dies unabhängig vom Strom, der dieser
Quelle entnommen wird.
I
Eine Stromquelle ist ideal, wenn an ihren
Klemmen ein konstanter Strom fliesst.
Dies gilt unabhängig von der Spannung,
die über den Klemmen herrscht.
Ideale Stromquelle
Die technische Stromrichtung ist der Flussrichtung der Elektronen entgegengesetzt.
VZS. Verbraucherzählpfeilsystem.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 15
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 16
_____________________________________________________________________
2.3.2.3
Der ideale Leerlauf
I
A
Fig. 2-14
2.3.2.4
B
Zwischen zwei Anschlussklemmen besteht ein idealer Leerlauf, wenn zwischen
diesen Klemmen kein Strom fliesst.
Dies unabhängig von der Spannung, die
zwischen diesen Klemmen besteht.
I
Idealer Leerlauf
Der ideale Kurzschluss
I
Fig. 2-15
A
U=0
Zwischen zwei Anschlussklemmen besteht ein idealer Kurzschluss, wenn zwischen diesen Klemmen keine Spannung
besteht.
Dies gilt unabhängig vom Strom, der
durch diese Klemmen fliesst.
B I
Idealer Kurzschluss
2.3.3 Die KIRCHHOFF’schen Sätze
21
2.3.3.1
Der Knotensatz
Unter einem Knoten verstehen wir einen Verbindungspunkt der Anschlüsse von
22
Quellen und Verbrauchern.
I
R1
Knoten
I1
Fig. 2-16
I2
R2
K
Knotensatz
In einem Knoten gilt:
n
∑ Ik = 0
(2-15)
k =1
Die Gesamtsumme der einem Knoten zufliessenden und von ihm wegfliessenden
Ströme ist gleich Null.
Dabei werden die zufliessenden Ströme mit einem positiven und die wegfliessenden
23
Ströme mit einem negativen Vorzeichen versehen.
21
22
23
Robert KIRCHHOFF, 12.3.1824 – 17.10.1887, Physiker, Professor in Breslau, Heidelberg und Berlin.
Strahlungsgesetz und Kirchhoffsche Sätze. Vorlesungen über mathematische Physik und Mechanik,
4 Bände gesammelte Abhandlungen.
Eine Verbindung mehrerer Anschlüsse durch löten, schrauben, wire-wrap, klemmen und so weiter.
In einem Stromkreis, einem geschlossenen System, kann keine Ladung Q verloren gehen.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 16
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 17
_____________________________________________________________________
Umgeformt und für die praktische Anwendung geeigneter ergibt sich
n
m
i =1
k =1
∑ Ii zufliessend = ∑ Ik wegfliessend
(2-16)
In einem Knoten ist die Summe der zufliessenden Ströme gleich der Summe der
wegfliessenden Ströme.
2.3.3.2
Der Maschensatz
24
Eine Masche entsteht, wenn wir mehrere Elemente (Verbraucher, Quellen) in der
Weise durchlaufen, dass keines der Elemente mehr als einmal durchlaufen wird und
Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen.
R2
R4
U2
I
Fig. 2-17
U4
R1
R3
U1
U3
U
Maschensatz
Die Summe aller Spannungen entlang einer Masche ist gleich Null.
Dabei werden die Spannungen in Laufrichtung mit positivem, die Spannungen entgegen der Laufrichtung mit negativem Vorzeichen versehen.
Entlang einer Masche gilt
n
∑ Uk = 0
(2-17)
k =1
2.4
Die Serie- und Parallelschaltung von Widerständen
2.4.1 Die Serieschaltung von Widerständen
In der Serieschaltung werden die Widerstände hintereinander geschaltet.
R1
R2
A
Fig. 2-18
24
I
B
Rk
Rn-1
Rn
Uk
Serieschaltung
Bis jetzt kennen wird folgende Elemente: Widerstand, ideale Spannungsquelle, ideale Stromquelle.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 17
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 18
_____________________________________________________________________
In den Knoten A, B, C und so weiter gilt die Kirchhoffsche Knotenregel, das heisst die
Ströme Ik sind in allen Rk gleich gross. Ik = I.
Mit der Maschenregel wird der Gesamtwiderstand R
R=
n R ⋅I
n
U
= ∑ k k = ∑ Rk = R
I k =1 I
k =1
(2-18)
Der Gesamtwiderstand einer Serieschaltung ist gleich der Summe der Werte der
Einzelwiderstände.
Der Gesamtwiderstand R ist stets grösser als der höchste Wert der beteiligten Widerstände.
2.4.2 Die Parallelschaltung von Widerständen
In der Parallelschaltung werden die Anschlussklemmen der Widerstände parallel zusammengeschaltet.
A
U
R1
R2
Rk
Ik
B
Fig. 2-19
Rn-1
Rn
Parallelschaltung
Über jedem Widerstand liegt die gleiche Spannung U an und es gilt für den Leitwert
der einzelnen Widerstände Gk = Ik / U. Mit der Knotenregel ist der Gesamtstrom
gleich der Summe der Einzelströme. Damit wird
G=
n I
n
n 1
I
1
= = ∑ k = ∑ Gk = ∑
U R k =1 U k =1
k =1 R k
(2-19)
Der Gesamtleitwert G ist gleich der Summe der Einzelleitwerte und
Der Gesamtwiderstandes ist gleich dem Reziprokwert der Summe der Reziprokwerte
der Einzelwiderstände.
Der Gesamtwiderstand ist stets kleiner als der tiefste Wert der beteiligten Widerstände.
Sind nur zwei Widerstände an der Schaltung beteiligt, ergeben sich folgende Formeln
R=
R1 ⋅ R 2
R1 + R 2
und R1 =
R2 ⋅ R
R2 − R
(2-20)
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 18
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 19
_____________________________________________________________________
A
R
R1
R2
B
Fig. 2-20
Parallelschaltung von zwei Widerständen
2.4.3 Kombinationen
Wenn drei oder mehr Widerstände so zusammengesetzt werden, dass gleichzeitig
Serie- und Parallelschaltungen entstehen, muss mit den Formeln 2.4.1 nach 2.4.2
und kombiniert gerechnet werden.
Wie gross wird der Widerstand RAB zwischen den Klemmen A und B
der Schaltung nach Fig. 2-21 mit einem einstellbaren Widerstand
(Potentiometer).
R AB = R1 || [(1 − x ) ⋅ R + R 2 || x ⋅ R]
mit R1 = p⋅R , R2 = q⋅R und 0 ≤ x ≤ 1 wird
Beispiel:
A
R1
R2
R
(1-x)R
xR
B
Fig. 2-21
)
(
R AB
p ⋅ q + x − x2
=
R
(1 + p) ⋅ q + (1 + p) ⋅ x − x 2
Serie- und Parallelschaltung
0.5
0.5
f(x) = R AB / R
0.4
0.3
f( x)
0.2
0.1
0
0
0
0
Fig. 2-22
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
1
Graph zu Serie- und Parallelschaltung. (Mit [L 2-4])
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 19
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 20
_____________________________________________________________________
2.5
Der Spannungsteiler und der Stromteiler
2.5.1 Der leerlaufende Spannungsteiler
Sind zwei oder mehr Widerstände in Serie
geschaltet, verhalten sich die Spannungen über den Widerständen proportional
zu den Widerständen.
R1
IA
UE
R2
A
U1 R1
=
U2 R 2
UA
B
Fig. 2-23
Leerlaufender Spannungsteiler
Mit IA = 0 ist der Spannungsteiler nicht belastet. Für den unbelasteten Spannungsteiler gilt die Spannungsteilerformel
U A = UE ⋅
R2
G1
= UE ⋅
R1 + R 2
G1 + G2
(2-21)
2.5.2 Der kurzgeschlossene Stromteiler
R2
IE
A
IA
UA = 0
R1
Sind zwei oder mehr Widerstände parallel geschaltet, verhalten sich die Ströme
durch die Widerständen umgekehrt proportional zu den Widerständen.
B
Fig. 2-24
I1 R 2
=
I2 R1
Leerlaufender Spannungsteiler
Mit UA = 0 ist der Stromteiler kurzgeschlossen und es gilt die Stromteilerformel
IA = IE ⋅
R1
G2
= IE ⋅
R1 + R 2
G1 + G2
(2-22)
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 20
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 21
_____________________________________________________________________
2.5.3 Der belastete Spannungsteiler
Aus der Spannungsteilerformel wird für
den mit RX belasteten Spannungsteiler
U A = R 2 // R x
und umgeformt
UE R1 + R 2 // R x
UA =
R2 ⋅ Rx
UE R1 ⋅ R 2 + R x ⋅ (R1 + R 2)
IA ≠ 0
R1
UE
Fig. 2-25
R2
RX
UA
Belasteter Spannungsteiler
K⋅X
//
, worin K = R1 R 2 und X = R x
Daraus ergibt sich U A =
UE 1 + X
R1
R1 // R 2
mit 0 ≤ X < ∞ ; 0 ≤ K ≤ 1
12
12
10
u(x) = UA/UE
8
u ( x)
6
K
4
2
0
Fig. 2-26
0
5
5
0
5
10
x
x = Rx/(R1//R2)
15
20
25
30
30
K=10
Belasteter Spannungsteiler. (Mit [L 2-4])
Frage: Bis zu welchem Wert A muss Rx ≥ (R1//R2)⋅A erfüllt sein, damit eine Berechnung von UA mit dem leerlaufenden Spannungsteiler um höchstens b% vom wirklichen Wert abweicht.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 21
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 22
_____________________________________________________________________
100
100
90
Faktor zu Rx > A(R1//R2)
80
70
60
A( b )
50
40
30
20
10
0
0
0
0
Fig. 2-27
2.6
2
4
6
8
10
12
b
Fehler in b Prozent
14
16
18
20
20
Fehler der Abweichung zum leerlaufenden Spannungsteiler. (Mit [L 2-4])
Das Bauelement Widerstand
2.6.1 Bauformen
Der Widerstand R ist die Eigenschaft eines Bauelementes dem OHM‘ schen Gesetz zu gehorchen. Das Bauelement selber wird auch als Widerstand bezeichnet.
Die einfachste Bauform ergibt sich aus dem Widerstand eines Leiters:
Fig. 2-28
Drahtwiderstand (unifilar und bifilar). (Aus [L 2-1], S.56)
Diese Bauform wird benutzt für die Herstellung von Widerständen hoher Leistung
und von Widerständen mit einem Abgriff (Trimmpotentiometer).
Fig. 2-29
Widerstand mit Abgriff (Potentiometer). (Aus [L 2-1], S.57)
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 22
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 23
_____________________________________________________________________
Häufig im Einsatz sind gewendelte Kohle- oder Metallschichtschichtwiderstände.
Fig. 2-30
Schichtwiderstand. (Aus [L 2-1], S.59)
Fig. 2-31
Schichtwiderstand gewendelt, gerillt. (Aus [L 2-1], S.60)
Widerstände mit einem Abgriff (Potentiometer, Trimmer) können ebenfalls beschichtet sein.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 23
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 24
_____________________________________________________________________
Fig. 2-32
Schichtwiderstand mit Abgriff (Trimmer). (Aus [L 2-1], S.65)
Fig. 2-33
Potentiometer und Trimmer. (Aus [L 2-5])
Heute werden Widerstände vornehmlich in SMD Bauformen eingesetzt („Chip“ Wi25
derstände.
25
SMD: Surface Mounted Devices: „oberflächenmontiertes Bauelement“. Grössen im mm Bereich.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 24
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 25
_____________________________________________________________________
Fig. 2-34
SMD oder Chip Widerstand (Bild Philips)
2.6.2 Normreihen. Farbencode
2.6.2.1
Die Normreihen
Der Widerstandsbereich käuflicher Widerstände liegt etwa zwischen 1Ω bis 10MΩ,
26
das heisst im Bereich von etwa 7 Dekaden.
Obgleich Widerstände für jeden Wert herstellbar sind, werden nur bestimmte Werte angeboten. Die Werte sind in E - X Reihen normiert. X steht für die Anzahl Werte pro Dekade.
Bekannt für Bauelemente der Elektronik sind die Reihen E – 6, E – 12, E – 24,
E – 48, E – 96, und E – 192.
Für praktische Arbeiten ist es geeignet, die Reihe E – 12 auswendig zu kennen.
Wert
10
12
15
18
22
27
Tabelle 2-2
Farbe 1
braun
braun
braun
braun
rot
rot
Farbe 2
schwarz
rot
grün
grau
rot
violett
Wert
33
39
47
56
68
82
Farbe 1
orange
orange
gelb
grün
blau
grau
Farbe 2
orange
weiss
violett
blau
grau
rot
Normreihe E - 12
Die Reihen entstehen als geometrische Reihen aus
n
Wert = 10 ⋅ 10k
2.6.2.2
worin n = Re ihenwert und k = 0,1, 2...(n − 1)
(2-23)
Der Farbencode
Die Bauelemente der Elektronik sind mit Zahlen bedruckt oder häufiger mit einem
Farbencode versehen. Die Farben stehen für Zahlen und erleichtern das Auffinden
des gesuchten Wertes. Für praktische Arbeiten ist es geeignet, den Farbencode
auswendig zu kennen.
26
Dekade bezeichnet ein Verhältnis von 1:10 oder 10:1: 10 bis 100, 1kΩ bis 10kΩ und so weiter.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 25
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 26
_____________________________________________________________________
Zahl
0
1
2
3
4
Tabelle 2-3
2.6.2.3
.s
.bn
.r
.og
.gb
Farbe
schwarz
braun
rot
orange
gelb
Zahl
5
6
7
8
9
.gn
.bl
.v
.gu
.w
Farbe
grün
blau
violett
grau
weiss
Farbencode
Anwendung des Farbencode
1. Wertziffer
2. Wertziffer
Multiplikator
Fig. 2-35
Toleranz
Mit den beiden Wertziffern wird
der Reihenwert angegeben. Beispiel: Ring 1 orange, Ring 2 weiss
meint 39.
Der Multiplikator multipliziert den
Reihenwert mit 10 hoch Farbe.
Beispiel: Gelb = 104.
Rot – violett – grün entspricht R =
2,7 MΩ.
Farbkennzeichnung
Bei Metallschichtwiderständen wird der Reihenwert mit drei Ziffern angegeben.
Der Multiplikator erscheint als vierter Ring.
2.6.3 Toleranzen. Belastbarkeit
2.6.3.1
Toleranzen
Die Bauelemente der Elektronik weisen Toleranzen auf. Die möglichen Toleranzen
sind den Normreihen zugeordnet mit
Reihe
E–6
E – 12
E – 24
E - 48
Tabelle 2-4
Toleranz
20 %
10 %
5%
2%
Farbe
Farblos
Silber oder weiss
Gold oder grau
rot
Reihe
E – 96
E – 192
Toleranz
1%
0,5 %
0,25 %
0,1 %
Farbe
Braun
Grün
Blau
Violett
Toleranzen
Ein Widerstand von 18 kΩ aus der Reihe E – 12 mit 10 % Toleranz kann demnach
Werte zwischen 16,2 kΩ und 19,8 kΩ annehmen.
Die Toleranzen sind so zugeordnet, dass die Fehlerbänder die ganze Dekade abdecken. Bei Metallschichtwiderständen ist die Toleranz als fünfter Ring aufgetragen.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 26
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 27
_____________________________________________________________________
2.6.3.2
Belastung
Die einem Widerstand zugeführte elektrische Energie wird in Wärme umgesetzt,
die abgeführt werden muss, wenn der Widerstand nicht zerstört werden soll. Zudem darf eine Höchstspannung am Element nicht überschritten werden, um
Durchschläge zu vermeiden.
U
Leistungshyperbel
UMax
U = PMax / I
Arbeitsbereich
Fig. 2-36
I
Leistungshyperbel
Die Angaben der Hersteller sind zu beachten.
2.6.4 Temperaturabhängigkeit
Die Widerstandswerte sind bei 20 °C spezifiziert und temperaturabhängig nach der
Formel R(ϑ) = R20⋅(1 + α⋅∆ϑ). Der Temperaturkoeffizient α in 1/Kelvin (K-1) ist vom
verwendeten Widerstandsmaterial abhängig.
Material
Drahtwiderstände
Temperaturkoeffizient α
CrNi:
< 250⋅10-6 K-1
Konstantan:
< 100⋅10-6 K-1
unkritisch
Zulässige
Temperatur
Tabelle 2-5
Kohleschichtw Metallschicht- Edelmetalliderstände
widerstände
schichtwiderCrNi
stände
Au/Pt
-6 -1
- 200⋅10 K
200⋅10-6 K-1
0 bis
bis
bis
-6 -1
± 50⋅10-6 K-1 350⋅10-6 K-1
- 1200⋅10 K
- 55 °C bis
+ 155 °C
- 65 °C bis
+ 175 °C
- 65 °C bis
+ 155 °C
Temperaturkoeffizienten verschiedener Materialien
Der Temperaturkoeffizient wird bei Metallschichtwiderständen als sechster Ring
angegeben. Dies mit der Zuordnung
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 27
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 28
_____________________________________________________________________
α
250⋅10-6 K-1
100⋅10-6 K-1
50⋅10-6 K-1
15⋅10-6 K-1
25⋅10-6 K-1
Tabelle 2-6
.s
.bn
.r
.og
.gb
Farbe
schwarz
braun
rot
orange
gelb
α
20⋅10-6 K-1
10⋅10-6 K-1
5⋅10-6 K-1
1⋅10-6 K-1
.gn
.bl
.v
.gu
Farbe
grün
blau
violett
grau
Temperaturkoeffizienten in der Norm
Toleranzen und Temperaturkoeffizienten werden oft auch in „ppm“ oder „ppb“ angegeben.
• ppm
Parts per Million
Anzahl Teile auf 1 Million Teile
• ppb
Parts per Billion
Anzahl Teile auf 1 Milliarde Teile
So entsprechen 50⋅10-6 K-1 dem Wert 50 ppm K-1 oder 4⋅10-7 entsprechen 400 ppb.
Es ist zu beachten, dass „billion“ nicht Billion, sondern Milliarde meint:
American (U.S.A.,
Russland)
British
1.E+06
Million
one million
one million
1.E+09
Milliarde
one billion
one thousand million(s)
1.E+12
Billion
one trillion
one billion
1.E+15
Billiarde
one quatrillion
one thousand billion(s)
1.E+18
Trillion
one quintillion
one trillion
1.E+21
Trilliarde
one sextillion
one thousand trillion(s)
1.E+24
Quatrillion
one septillion
one quatrillion
Tabelle 2-7
Grosse Zahlen
Wenn also die Schweiz über ein Bruttoinlandprodukt BIP von 260 billion $ verfügt,
sind das nicht 390 Billionen CHF, sondern „nur“ 245 Milliarden Euro.
2.7
Die belastete reale Quelle
2.7.1 Die reale Quelle
Reale Quellen sind Energiewandler oder Einrichtungen, die Ladung zu trennen
vermögen. Zwischen den Klemmen einer realen Quelle besteht eine Spannung U.
Wird ein Widerstand (Verbraucher) an die Klemmen angeschlossen, das heisst
wird die Quelle belastet, dann fliesst ein Strom IL durch diesen Widerstand und es
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 28
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 29
_____________________________________________________________________
herrscht eine Spannung UL an diesem Widerstand, an der Last RL.
Reale Quelle
IL
+
RL
Fig. 2-37
UL
Unabhängig von der praktischen Ausführung können wir bei einer realen Quelle
weder von einer Stromquelle, noch von
einer Spannungsquelle nach 2.3.2 sprechen.
Reale Quelle
Näheren Aufschluss erhalten wir durch eine Messung mit der nachfolgenden
Messanordnung, die einen veränderbaren Lastwiderstand RL enthält.
IL
+
UL
Ul
RL
Fig. 2-38
UL = UL(RL)
Ik
IL = IL(RL)
RL
Messung an realer Quelle
Die grösste Spannung Ul wird bei RL → ∞ gemessen, das heisst wenn die Quelle
leer läuft.
Die Spannung an einer Quelle im unbelasteten Zustand wird Leerlaufspannung
Ul genannt.
Mit RL = 0 wird der grösste Strom Ik gemessen, das heisst wenn die Quelle kurzgeschlossen wird.
Der Strom aus einer Quelle im kurzgeschlossenen Zustand wird Kurzschluss27
strom Ik genannt.
Aus dem Graph UL(RL) und dem Graph IL(RL) mit je der unabhängigen Variablen
RL kann die Funktion UL = UL(IL) beziehungsweise IL = IL(UL) gebildet werden.
Die Funktion UL = UL(IL) beziehungsweise IL = IL(UL) ist bei vielen Quelle über ei28
nen grossen Bereich ab Ul linear.
27
28
Reale Quellen dürfen nicht kurzgeschlossen werden. In den meisten Fällen führt der Kurzschluss zur
Zerstörung der Quelle.
Linear von 0 bis Ik / 5 ... Ik / 3
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 29
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 30
_____________________________________________________________________
U
I
RL
Ul
UL
GL
Ik
IL
UL = UL(IL)
IL = IL(UL)
I
Ik
IL
Fig. 2-39
U
Ul
UL
Quellenkennlinien
Aus dieser Erkenntnis bilden wir das Modell
29
einer realen Quelle mit
U
UL = UL (IL ) = Ul − l ⋅ IL = Ul − Ri ⋅ IL
Ik
und
I
IL = IL (UL ) = Ik − k ⋅ UL = Ik − Gi ⋅ UL
Ul
(2-24)
(2-25)
Das Modell der realen Quelle dient der praktischen Anwendung, das heisst der
Berechnung von Schaltkreisen.
Als Ersatzschaltbilder einer realen Quelle, das heisst einer Zusammensetzung
aus idealen Bauelementen bieten sich an eine:
• ideale Spannungsquelle mit einem in Serie geschalteten Widerstand oder
• ideale Stromquelle mit einem parallel geschalteten Widerstand
+
Ri
Ul
=
a)
Fig. 2-40
Ik
=
Ri
b)
c)
Quellenersatzschaltbilder
Die beiden Ersatzschaltbilder zur realen Quelle sind identisch. Der Innenwiderstand Ri beziehungsweise der Innenleitwert Gi ist in beiden Ersatzschaltungen
gleich gross.
Der Innenwiderstand ist untrennbar mit der idealen Quelle verbunden. Sie bilden
zusammen eine Ganzheit.
Die Spannung über Ri in b) beziehungsweise der Strom durch Ri in c) können weder gemessen noch getrennt von der Leerlaufspannung oder dem Kurzschlussstrom beschrieben werden.
29
Modell: Vorstellung, Abbildung der Wirklichkeit.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 30
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 31
_____________________________________________________________________
2.7.2 Innenwiderstand und Innenleitwert der idealen Quelle
Der Quelleninnenwiderstand oder Quellenwiderstand ergibt sich aus dem Verhältnis der Leerlaufspannung Ul zum Kurzschlussstrom Ik.
Der Quellenwiderstand der idealen Spannungsquelle ist gleich Null und der Innenleitwert geht gegen unendlich.
Der Quellenwiderstand der idealen Stromquelle geht gegen unendlich und der
Innnenleitwert ist gleich Null
2.7.3 Der einfache Stromkreis mit realer Quelle
2.7.3.1
Spannung am und Strom durch den Lastwiderstand RL
Ideale
Quelle
Ul
Fig. 2-41
Reale
Quelle
UL
UL = Ul ⋅
RL
RL
Ri + RL
IL = Ul ⋅
1
Ri + RL
UL = Ik ⋅
Ri ⋅ RL
Ri + RL
Stromkreis mit realer Quelle 1
Ideale
Quelle
Ik
Fig. 2-42
IL
Ri
IL
Ri
Reale
Quelle
UL
RL
IL = Ik ⋅
Ri
Ri + RL
Stromkreis mit realer Quelle 2
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 31
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 32
_____________________________________________________________________
2.7.3.2
Grafische Darstellung der Quellenkennlinie
U
RL1
Ul
UL1
Ik
I
GL1
IL1
RL2
UL2
GL2
IL2
I
IL1
Fig. 2-43
Ik
IL2
U
UL1
UL2
Ul
Quellenkennlinien und Arbeitspunkt
Die Darstellung nach Fig. 2-39 beziehungsweise Fig. 2-43 nennen wir die Quellenkennlinie. Darin sind die Grössen Ul, Ik, Ri, Gi die Kenngrössen der Quelle.
Die Quellenkennlinie aus der Messung von UL und IL mit einer Messanordnung
nach Fig. 2-38.
Wird die reale Quelle nacheinander mit einem, zwei oder mehr verschiedenen
Lastwiderständen belastet, ergeben sich ein, zwei oder mehr Arbeitspunkte, die
auf der Quellenkennlinie liegen.
Die Quellenkennlinie lässt sich aus Messungen ermitteln:
• Ul und den Daten eines Lastwiderstandes (UL und RL oder UL und IL oder IL
und RL)
• den Daten aus zwei Lastfällen (mit je den vorherigen Kombinationen)
Sobald die Quellenkennlinie mit den Quellenkennwerten bekannt ist, lässt sich jeder Lastfall (beliebiges RL) berechnen.
2.7.4 Leistung im Lastwiderstand
2.7.4.1
Leistungsberechnung und Anpassung
Wir betrachten die von einer realen Quelle an einen Lastwiderstand RL abgegebene Leistung. Der Lastwiderstand sei variabel: 0 < RL < ∞.
IL
Ri
Ul
Fig. 2-44
UL
RL
PL = UL ⋅ IL
Messung an realer Quelle
PL = IL ⋅ UL = Ul ⋅
RL
RL
1
⋅ Ul ⋅
= U2l ⋅
Ri + RL
Ri + RL
(Ri + RL )2
(2-26)
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 32
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 33
_____________________________________________________________________
Mit der normierten Leistung P0 = Ul ⋅ Ik kann geschrieben werden
RL
Ri
PL
=
P0  R  2
L
1 + R 
i 

(2-27)
Mit PL / P0 = y und RL / Ri = x wird
y( x ) =
x
(2-28)
[1 + x ]2
0.3
0.2
y ( x)
0.1
0
Fig. 2-45
0
0.01
0.01
0.1
1
x( z)
10
100
100
Leistung im Lastwiderstand. (Mit [L 2-4])
Der Graph zeigt, dass das Maximum der Leistung bei x = 1 erreicht wird, das
heisst für RL = Ri Das Maximum lässt sich auch analytisch herleiten.
Im Fall RL = Ri sprechen wir von Leistungsanpassung oder kurz von Anpassung.
Es werden UL = Ul / 2 und IL = Ik / 2.
Es lassen sich drei Fälle unterscheiden:
a)
RL >> Ri :
Spannungsspeisung. UL ist von RL nur wenig unabhängig. Beispiel: Energieverteilung.
b)
RL = Ri :
Leistungsanpassung. Der Quelle wird die höchstmögliche
Leistung PMax entnommen. Beispiel: Anwendungen in der
Nachrichtentechnik.
c)
RL << Ri :
Stromspeisung. IL ist von RL nur wenig unabhängig. Beispiel:
Laden einer Batterie.
Ik2
Ul ⋅ Ik
U2l
PMax =
=
= ⋅ Ri
4
4 ⋅ Ri 4
UL =
Ul
2
I
IL = k
2
(2-29)
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 33
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 34
_____________________________________________________________________
2.7.4.2
Leistungsverlust bei Fehlanpassung. Reflexionsfaktor r
Von einer Fehlanpassung wird gesprochen, wenn der Lastwiderstand vom Quellenwiderstand abweicht (wenn RL ≠ Ri).
Der Strom in der Last ist bei Fehlanpassung grösser oder kleiner als der Strom im
Anpassungsfall mit Ik / 2.
Gegeben sei folgendes Erklärungsmodell:
Ik
ILA
Ri
a)
RL
RL = Ri
IL
RL
Reale Quelle mit Last b) Strom bei Anpassung
ILA = Ik / 2.
Fig. 2-46
RL ≠ Ri
Ir
RL
ILA
c) Ir = reflektierter Strom
bei Nichtanpassung
Fehlanpassung. Erklärungsmodell
Wir denken uns den Strom IL durch die Last RL zusammengesetzt aus dem Strom
ILA bei Anpassung und einem Strom Ir , den wir reflektierten Strom (zurückgewiesenen Strom) nennen.
Der reflektierte Strom in unserem Denkmodell wird
RL
−1
Ik
Ri
Ik RL − Ri
Ri
Ir = ILA − IL = − Ik ⋅
= ⋅
= ILA ⋅
RL
2
RL + Ri 2 R L + Ri
+1
Ri
(2-30)
Daraus definieren wir den Reflexionsfaktor zu
RL
−1
Ir
RL − Ri
Ri
r =
=
=
RL
ILA
RL + Ri
+1
Ri
(2-31)
Für die reflektierte oder zurückgewiesene Leistung gilt
PMax − PL
∆P
=
PMax
PMax
= r2
(2-32)
Aufgabe: Beweisen Sie diesen Sachverhalt.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 34
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 35
_____________________________________________________________________
Für den Reflexionsfaktor r lassen sich drei Fälle unterscheiden:
• r<0
Fall der Unteranpassung mit RL < Ri
• r=0
Fall der Anpassung (Leistungsanpassung) mit RL = Ri
• r>0
Fall der Überanpassung mit RL > Ri
2.7.4.3
Zusammenstellung
Mit x = RL / Ri lassen sich das Spannungsverhalten an der Last, das Stromverhalten durch die Last, das Leistungsverhalten in der Last und der Reflexionsfaktor
normiert darstellen.
1
1
r( x)
i( x)
0.5
u ( x)
p ( x)
0
Fig. 2-47
0
0
0
0.5
1
1.5
x( z)
2
2.5
3
3
Verhalten von UL, IL, PL und r. Graph linear in RL / Ri. (Mit [L 2-4])
Es sind mit RL / Ri = x
U
x
I
1
P
4⋅x
x −1
u(x ) = L =
, i( x ) = L =
, p( x ) = L =
, r(x) =
Ul 1 + x
Ik 1 + x
PMax (1 + x )2
x +1
(2-33)
Aufgabe: Leiten Sie diese Funktionen her.
In der Fig. 2-47 erfolgt die Darstellung linear in RL / Ri = x, wobei der Reflexionsfaktor r in seinem Betrag |r| eingetragen ist.
Die Fig. 2-48 zeigt eine logarithmische Darstellung in RL / Ri = x.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 35
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 36
_____________________________________________________________________
1
1
0.5
r( x)
i( x)
0
u ( x)
p ( x)
0.5
1
Fig. 2-48
2.8
1
0.01
0.01
0.1
1
x( z)
10
100
100
Verhalten von UL, IL, PL und r. Graph logarithmisch in RL / Ri. (Mit [L 2-4])
Schaltungen. Das Dezibel - Mass
2.8.1 Die abgeglichene WHEATSTONE – Brücke
Die WHEATSTONE
Ri
Ul
– Brücke dient der Messung von Widerständen.
R1
R3
I5
U
R5
U2
Fig. 2-49
30
R2 R4
U4
Die Brücke gilt als abgeglichen,
wenn im Widerstand R5 kein Strom
fliesst.
In diesem Fall gelten
R2
U2 = U ⋅
und
R1 + R 2
R4
U4 = U ⋅
R3 + R 4
WHEATSTONE - Brücke
Wenn in R5 kein Strom fliesst und damit die Brücke abgeglichen ist, müssen U2
und U4 gleich gross sein. U2 = U4 und damit
R1 ⋅ R 4 = R 2 ⋅ R 3
beziehungsweise
R1 R 3
=
R2 R4
(2-34)
Die Brücke ist abgeglichen, wenn die Produkte diagonal gegenüberliegender Widerstände gleich gross sind.
30
Sir Charles WHEATSTONE (1802 – 1875). Forschung über Optik und Elektrizität. Engl. Physiker.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 36
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 37
_____________________________________________________________________
Die Brückenschaltung wird verwendet, um Widerstände zu messen. Dazu wird R5
mit einem Messinstrument ersetzt, das es ermöglicht, den Strom auf Null abzugleichen.
Wesentlich ist die Empfindlichkeit des Instrumentes und nicht dessen Genauigkeit.
Es kommt nur darauf an, den stromlosen Zustand festzustellen.
Weitere Brückendarstellungen sind
R5
R5
Fig. 2-50
R5
Brückenschaltungen
2.8.2 Fehlerortmessung
Fig. 2-51
2.8.2.1
Widerstandsmessung
Fehlerort nach Murray
Fig. 2-52
Fehlerort nach Murray
Mit der Fehlerortmessung soll der Ort ermittelt werden, wo ein Kabel zwischen
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 37
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 38
_____________________________________________________________________
zum Beispiel zwei Zentralen einen Erdschluss aufweist.
Voraussetzung ist, dass die Daten der intakten Kabel genau bekannt sind.
2.8.2.2
Fehlerort nach Varley
Fig. 2-53
Fehlerort nach Varley
Aufgabe: Was ist in 2.8.2.1 und 2.8.2.2 unter Rs zu verstehen ? Beweisen Sie die
in 2.8.2.1 und 2.8.2.2 gegebenen Formeln.
2.8.3 Dezibel und Neper
2.8.3.1
Relatives Mass
Neben den absoluten Werten wie kV oder mA und so weiter interessieren in der
Elektrotechnik oft auch Verhältnisse von Grössen. Das Verhältnis von zwei Spannungen, zwei Strömen oder von zwei Leistungen.
Für die Darstellung von Verhältnissen eignet sich der lineare Massstab schlecht,
wenn sich die Verhältnisgrösse über mehrere Dekaden erstreckt. Es wird zu einem
logarithmischen Massstab, zum Dezibel (Decibel, dB) übergegangen.
Es gelten folgende Definitionen (Rechenvorschriften):
•
Spannungsverhältnis in Dezibel
31
U 
dB U1 = 20 ⋅ log10  1 
 U2 
U
(2-35)
I 
dB I1 = 20 ⋅ log10  1 
 I2 
I
(2-36)
2
•
Stromverhältnis in Dezibel
2
31
Früher wurde auch das Neper verwendet. Dabei gilt U1/U2 in Np = ln(U1/U2). Zwischen dem auf
dem Brigg‘ schen Logarithums (Basis 10) gründenden Dezibel und dem auf dem natürlichen Logarithmus basierenden Neper kann umgerechnet werden: 1 Np ≙ 8,686 dB und 1 dB ≙ 0,115 Np.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 38
str
STR – ING
Elektrotechnik
2 - 39
_____________________________________________________________________
•
Leistungsverhältnis in Dezibel
P 
dB P1 = 10 ⋅ log10  1 
 P2 
P
(2-37)
2
Beispiele
Verhältnis
1
√2
2
3
10
20
1/√2
0.5
0,01
Tabelle 2-8
2.8.3.2
Spannungs- oder
Stromverh. in dB
0
3
6
9,54 ≈ 10
20
26
-3
-6
- 40
Leistungsverhältnis
in dB
0
1,5
3
4,77 ≈ 5
10
13
- 1,5
-3
- 20
dB relativ
Absolutes Mass
Werden Grössen auf einen bestimmten Wert bezogen, ergeben sich die absoluten
dB – Masse.
Solche Bezugswerte sind beispielsweise 1 µV, 2⋅10-4 µbar, 1 mW (an 600Ω, 75Ω,
60Ω, 50Ω )
Damit entsprechen 169,54 dBµV einer Spannung von U = 300 V und 30 dBm einer
Leistung von 1 W.
Sind dBm in dBµV oder dBµV in dBm umzurechnen, muss der zugehörige Widerstand bekannt sein:
Pegel
0 dBm
30 dBm
0 dBµV
120 dBµV
Tabelle 2-9
Systemwiderstand in Ω
600
75
50
600
75
50
600
75
50
600
75
50
entsprechen
entsprechen
774,6 mV
273,86 mV
223,61 mV
24,495 V
8,66 V
7,071 V
1,667 fW
13,333 fW
20
fW
1,667 mW
13,333 mW
20 mW
117,78 dBµV
108,75 dBµV
107 dBµV
147,78 dBµV
138,75 dBµV
137 dBµV
- 117,78 dBm
- 108,75 dBm
- 107
dBm
2,22 dBm
11,25 dBm
13
dBm
dB absolut
A dBm am Bezugswiderstand R entsprechen wieviel B dBµV ?


R
B in dBµV = 90 + 10 ⋅ log10   + A dBµV
Ω


(2-38)
Beweisen Sie diese Umrechnungsformel.
______________________________________________________________________
Kurt Steudler
2 - 39
str