Chemisches Potential und Nernstgleichung - Christian

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Chemisches Potential und Nernstgleichung
Carsten Stick
Definition der mechanischen Arbeit: „Kraft mal Weg“
W = F ! ds
W = Arbeit oder Energie; F = Kraft; s = Weg
Diese Definition lässt sich auch auf die Kompression eines Gases anwenden, wie
folgende Abbildung anschaulich macht:
Auf den Stempel wird die Kraft F ausgeübt, die eine Verschiebung des Stempels ds
bewirkt.
In dem Zylinder, der zunächst das Volumen V1 enthält, herrsche der Druck p, so dass
auf die Querschnittsfläche A des Kolbens die Kraft F = p  A einwirkt.
Durch die Verschiebung ds des Kolbens in den Zylinder wird das Volumen V um den
Betrag dV verringert. Die am Stempel verrichtete Arbeit entspricht der dem Gas bei
der Kompression zugefügten Arbeit:
V2
W=
" p(!dV )
V1
Nach dem Boyle-Mariottschen Gesetz oder dem allgemeinen Gasgesetz
p !V = nRT
ist der Druck p eine Funktion des Volumens:
nRT
p=
V
Substituieren von p durch diese Funktion führt zu:
V2
nRT
W="
(!dV )
V
V1
Vorziehen der Konstanten vor das Integral:
V2
dV
W = !nRT "
V
V1
Die Integration in den Grenzen V1 bis V2 führt zu:
W = !nRT" [ lnV ]V1
V2
Verdünnte Lösungen verhalten sich analog zu idealen Gasen. Die Analogie liegt
darin, dass die gelösten Teilchen untereinander keine Kräfte aufeinander ausüben und
in der Lösung idealer Weise kein Volumen einnehmen. Die Kompression, also die
Verringerung des Volumens entspricht einer Erhöhung der Konzenteration.
Die Konzentration c ist definiert als:
n bedeutet die Stoffmenge in mol.
Logarithmieren des Ausdrucks:
für n= 1 mol gilt
n
c=
V
n
ln c = ln
V
ln c = 0 ! lnV
oder:
lnV = ! ln c
Einsetzen dieses Ausdrucks in die obige Gleichung für die Arbeit bei der
Kompression eines Gases ergibt die Konzentrationsarbeit:
WKonz. = !RT" [ -lnc ]c1
c2
oder nach Berücksichtigung der beiden Minuszeichen:
WKonz. = RT[ ln c ]c1
c2
Das bestimmte Intergral in den Grenzen c1 bis c2 ist:
WKonz. = RT! (ln c2 " ln c1 )
oder:
c2
WKonz. = RT ! ln
c1
Dies ist der Betrag der Arbeit, die bei der Konzentration eines Stoffes von der
Konzentration c1 auf die Konzentration c2 aufgebracht werden muss. Umgekehrt ist
es die Arbeit oder das chemische Potential, das diesem Konzentrationsunterschied
entspricht. Konzentrationsunterschiede bedeuten potentielle Energie oder
Potentialdifferenzen.
Nernstgleichung
Die Nernst-Gleichung (Walther Nernst 1864 – 1941, Nobelpreis 1920) beschreibt den
Gleichgewichtszustand zwischen chemischer Potentialdifferenz, die wie gesehen auf
Konzentrationsdifferenzen beruht, und elektrischer Potentialdifferenz, die durch
Ladungstrennung bedingt ist. Das Gleichgewichtspotential bezeichnet also das
Potential, an welchem das Gleichgewicht zwischen chemischem und elektrischem
Potential gegeben ist.
Die elektrische Arbeit ist definiert als Produkt aus „Spannung mal Ladung“. Es ist
diejenige Arbeit, die aufgebracht werden muss, um eine Ladung Q gegen die im
elektrischen Feld auf diese Ladung wirkende Kraft zu transportieren, wobei die
Potentialdifferenz U überwunden wird:
Welektr. = Q !U
Für n = 1 mol ist die Ladung Q gleich der Faraday-Konstante F, für mehrwertige
Ionen ist die Ladung z F:
Welektr. = zF !U
Im Gleichgewicht zwischen elektrischer Arbeit und Konzentrationsarbeit wird die
gleiche Energie benötigt, um eine Stoffmenge (ein Mol) gegen den Konzentrationsgradienten zu transportieren, wie gegen den elektrischen Gradienten. Der Nettoteilchentransport oder der Nettostrom ist in diesem Gleichgewicht Null, d.h. auch die
Nettoarbeit oder die Summe der elektrischen Arbeit und der Konzentrationsarbeit ist
Null:
Welektr. + Wkonz. = 0
c2
zF !U = "RT! ln
c1
RT
c2
U=!
" ln
zF
c1
statt U für die Gleichgewichtsspannung wird als Symbol häufig der Buchstabe E
geschrieben und vom Gleichgewichtspotential gesprochen. Für das Vorzeichen bzw.
die Frage, welche Konzentration c1 oder c2 in den Zähler oder den Nenner
geschrieben wird ist die Konvention entscheidend: Membranspannungen oder
Membranpotentiale werden üblicherweise auf das Umgebungsmedium bezogen, d.h.
es wird das intrazelluläre Potential gegenüber der Umgebung der Zelle (innen
gegenüber außen) angegeben.
Für Kalium, also cinnen > caußen, beispielsweise resultiert ein negatives
Membranpotential innen gegenüber außen:
RT
cinnen
U=!
" ln
zF
caußen
Konzentrationen [m mol/l] einiger Ionen und deren
Gleichgewichtspotentiale an der Zellmembran (Skelettmuskel, Warmblüter)
Ion
intrazellulär
extrazellulär Nernst-Potential
+
Na
12
145
+ 67 mV
+
K
155
4
- 98 mV
2+
-4
-5
Ca
ca. 10 - 10
2
ca. - 140 mV
Cl
4
120
- 91 mV
Anwendungen des Ohmschen Gesetzes an der Zellmembran:
Befindet sich das Membranpotential am Gleichgewichtspotential, ist der Netto-Strom
für dieses Ion Null. Weicht dagegen das Membranpotential vom Gleichgewichtspotential ab, so fließt ein Ionenstrom entsprechend der Leitfähigkeit für das jeweilige
Ion:
I = L ! (E " E
Ion
Ion
Ion
Membran
)
Ist das Membranpotential negativ gegenüber dem Gleichgewichtspotential, kommt es
zu einem Einstrom von positiven Ionen in die Zelle, ist das Membranpotential
positiver als das Gleichgewichtspotential, kommt es zum Ausstrom. Das Gleichgewichtspotential wird deswegen auch als Umkehrpotential bezeichnet. Durch die
Bestimmung des Umkehrpotentials kann beispielsweise an einer Synapse bestimmt
werden, welches Ion oder welche Ionen für eine Potentialänderung an der Membran,
die durch einen Transmittter bewirkt wurde, verantwortlich ist.
© 2005, 2006 letzte Änderung: 11. Juni 2007
Prof. Dr. Carsten Stick
Institut für Medizinische Klimatologie
Christian-Albrechts-Universität Kiel
Olshausenstr. 40
D-24098 Kiel
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