2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Die Klasse 9 c möchte ihr Klassen­
zimmer mit Postern ausschmücken. Dafür nimmt sie 30,– € aus der Klassen­
kasse. In Klasse 7 wurden lineare Gleichungen mit einer Variablen betrachtet. Bei vielen Frage­
stellungen sind jedoch zwei Größen unbekannt. Solche Probleme führen auf Gleichungen
mit zwei Variablen.
Eine Gruppe mit 36 Jugendlichen besucht eine Waldgaststätte, in der es nur Tische für
vier und für sechs Personen gibt. Wie viele 4er-Tische und 6er-Tische können sie komplett
belegen?
Ist x die Anzahl der 4er-Tische und y die Anzahl der 6er-Tische so gilt: 4 x + 6 y = 36. Eine Lösung dieser Gleichung besteht aus zwei Angaben, einer Zahl für x und einer Zahl
für y. Zwei ganzzahlige Lösungen der Gleichung sind (6 | 2) und (3 | 4). Das heißt, die Grup­
pe könnte beispielsweise sechs 4er-Tische und zwei 6er-Tische oder auch drei 4er-Tische
und vier 6er-Tische belegen.
Lösungen von Gleichungen wie 4 x + 6 y = 36 kann man leicht berechnen:
Man bringt sie auf die Form y = – ​ _23 ​ x + 6,
setzt für x Zahlen ein und berechnet die
jeweiligen Zahlen für y.
Damit berechnet man zugleich für die
Zuord­nung mit der Gleichung y = – ​ _23 ​ x + 6
zu jedem x‑Wert den passenden y‑Wert.
Deshalb entsprechen die Punkte des Gra­
phen der Zuordnung den Lösungen der
Gleichung 4 x + 6 y = 36.
Gleichungen wie 4 x + 6 y = 36 heißen ­lineare Gleichungen mit zwei Variablen.
Für lineare Gleichungen wie 4 x + 6 y = 36 mit den Variablen x und y gilt: 1. Jede Lösung besteht aus einem Zahlenpaar. 2. Es gibt unendlich viele Lösungen. 3. Die grafische Darstellung aller Lösungen ist eine Gerade.
Fig. 1
Über Sonderfälle wie
2 x + 0 y = 4
und
0 x + 0 y = 0
und
0 x + 0 y = 4
erfährst du einiges
in der Info-Box auf
Seite 19.
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Beispiel
a) Gib zwei Lösungen der Gleichung 5 x – 3 y = – 9 an.
b) Veranschauliche die Lösungen von a) mit einem CAS. Zeichne ins Heft.
c) Bestimme weitere Lösungen für die Gleichung.
Lösung:
a) 5 x – 3 y = – 9
| – 5 x
– 3 y = – 5 x – 9 | : (– 3)
5
y = ​ _3 ​​ x + 3
Für x = 0 erhält man y = 3.
Für x = 3 erhält man y = 8.
Für x = 0 erhält man y = 3.
9
Für y = 0 erhält man x = – ​ _5 ​.
b) Siehe auch Fig. 2. c)
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
Aufgaben
1
Ist das Zahlenpaar eine Lösung der Gleichung 7 x – 4 y = 3?
3
a)​2 1 | 1 3​
b)​2 3 | 4 3​
c)​2 – 2 | – 4 3​
d)​2 0 | – 0,75 3​ e)​ – ​ _7 ​​ | 0  ​
2 
3
f)​2 0,5 | 0,125 3​
2
Zeichne die zur Gleichung gehörende Gerade und lies vier Lösungen der Gleichung ab.
a) y – x = 0
b) y + x = 3
c) x – 2 y = – 2
d) 6 x + 3 y = – 1
e) x + 3 y = 3
f) – 2 y + x + 2 = 0
3
Zu welchen Gleichungen gehört der
Graph aus Fig. 5? Gib zu jeder Gleichung
zwei Lösungen an.
a) 2 x + 4 y = 7
b) 4 y – 2 x = 8
c) y = 2 + 0,5 x
d) 3 x + 3 y = 12
e) 2 y – 4 = x
f) y = 2 + x
y
4
2
x
–8
–6
–4
–2 O
2
4
6
8
Fig. 5
4
Zeichne eine Gerade durch die Punkte. Versuche, zu dieser Gerade eine Gleichung zu
finden. Mache die Probe.
a) (1 | 2) und (2 | 1) b) (– 2 | 1,2) und (1 | – 0,8)
Bist du sicher?
1
Bestimme die fehlende Zahl so, dass sich eine Lösung von 3 x – 0,5 y = 1 ­ergibt.
a) (0 | º )
b)( º | 2)
c) (3 | º )
d)( º | – 2) e) (– 0,5 | º ) f) ( º | – 0,8)
2
Gib fünf Lösungen an.
a) 2 x + 5 y = 1
18 b) 2 x – 5 y = 1
c) – 2 x + 5 y = 1
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Info
Sonderfälle
1. In der Gleichung 2 x + 0 y = 4 ist der Faktor bei y null. Also gilt: x = 2. Alle Zahlen­
paare mit x = 2 sind Lösungen der Gleichung 2 x + 0 y = 4 bzw. 2 x = 4. Genauso
sind z. B. bei der Gleichung 0 x + 6 y = 9 alle Zahlenpaare mit y = 1,5 Lösung (Fig. 1).
2. Für die Gleichung 0 x + 0 y = 0 ist jedes Zahlenpaar eine Lösung.
3. Die Gleichung 0 x + 0 y = 4 besitzt keine Lösung, denn die linke Seite der Gleichung
ist stets gleich null und die rechte Seite ist ungleich null.
2 x + 0 y = 4
x=2
Lösungen sind z. B.:
(2 | 0); (2 | 1); (2 | 2)
0 x + 6 y = 9
y = 1,5
Lösungen sind z. B.:
(0|1,5); (1|1,5)
5
Bestimme zu den dargestellten Lösungen in Fig. 2 die linearen Gleichungen. Welche
Einschränkungen wurden für die Variablen vorgenommen? Gib jeweils zwei Lösungen zu
jeder Gleichung an.
6
Können die Zahlenpaare (1 | 1); (2 | 4) und (3 | 3) Lösungen einer einzigen linearen Glei­
chung mit zwei Variablen sein? Begründe deine Antwort.
7
Viktor und Max sollen im Zeltlager am Morgen für 20 € Brötchen besorgen.
a) Beim Bäcker gibt es normale Brötchen für 40 Cent und Vollkornbrötchen für 50 Cent.
Wie könnte ihr Einkauf aussehen? Gib mindestens drei Möglichkeiten an und veranschau­
liche alle Möglichkeiten durch eine Gerade.
b) Viktor und Max handeln mit dem Bäcker einen Sonderpreis aus. Für 20 € erhalten sie
je 25 normale Brötchen und 25 Vollkornbrötchen. Welchen Preis kann der Bäcker für ein
normales Brötchen und ein Vollkornbrötchen verlangt haben? Gib drei Möglichkeiten an.
c) Am nächsten Tag kaufen die beiden 20 normale Brötchen und 30 Vollkornbrötchen zu
den gleichen Preisen wie am Tag zuvor und bezahlen wieder genau 20 €. Wie viel kostet
ein normales Brötchen und wie viel ein Vollkornbrötchen?
8
Johanna hat Wasser mit Minze-Sirup gemischt. Ein Liter Wasser wiegt 1 kg. Der Sirup
ist 12,5 % schwerer als Wasser. Johannas Wasser-Sirup-Gemisch wiegt genau 300 g.
Wie viel c​m3​ ​ Wasser und wie viel c​m3​ ​ Sirup kann sie genommen haben? Stelle alle Lösun­
gen mit dem CAS dar. Achte dabei auch auf den Definitionsbereich der Variablen.
Fig. 1
Fig. 2
Durch die Informationen
in b) und c) ist der Preis
für ein Vollkornbrötchen
und ein Brötchen genau
festgelegt.
9
Tobias hat 2-Cent-Stücke und 5-CentStücke in einem Glas gesammelt. Er will
beim Geldzählen Zeit sparen. Er wiegt des­
halb das leere Glas, das volle Glas (Fig. 3),
ein 2-Cent-Stück und ein 5‑Cent-Stück. Ein
2-Cent-Stück wiegt ca. 3 g und ein 5-Cent-Stück 4 g. Kann er sicher sein, dass
er mit den Münzen im Glas eine 5,85 Euro
teure CD kaufen kann? Kann er, falls das
Geld reicht, die CD mit diesen Münzen so
bezahlen, dass er kein Wechselgeld zurück
bekommt? Begründe deine Antworten.
Fig. 3
10 p Aufgabenstellung gesucht
Erfinde mit deinem Nachbarn eine Aufga­be,
sodass der Graph oder Punkte des ­Gra­phen
den Lösungen entsprechen (Fig. 4).
Fig. 4
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3 Lineare Gleichungssysteme – grafisches Lösen
Jena. 39 Punkte nach 38 Spieltagen waren
nicht genug. Mit 7 Saisonniederlagen muss
der 1. FC Carl Zeiss Jena den bitteren Gang in die
Regionalliga antreten.
Wie oft haben die Jenaer in der
­Saison 2011/2012 gewonnen? Viele Fragestellungen kann man mithilfe zweier linearer Gleichungen lösen. Auch das Rät­
sel auf dem Rand führt auf zwei Gleichungen. Man sagt dazu lineares Gleichungssystem.
Unser Wochenend­
rätsel
In einer Obstschale
befinden sich drei Bir­
nen mehr als Äpfel.
Zieht man die Anzahl
der Äpfel von der Zahl
5 ab, so erhält man die
Anzahl der Birnen.
Sag’, wie viele Äpfel
und Birnen sind es.
Bezeichnet man die Anzahl der Äpfel mit x
und die Anzahl der Birnen mit y, so gilt y = x + 3 und y = 5 – x bzw. y = – x + 5.
Jede der beiden Gleichungen hat unendlich
viele Lösungen. Ihre Lösungen entsprechen
den Punkten auf den beiden Geraden. In Fig. 1 erkennt man, dass das Zahlenpaar
(1 | 4) die gemeinsame Lösung der beiden
Gleichungen ist. Also sind in der Schale ein
Apfel und vier Birnen.
Einsendeschluss:
Nächster Freitag
Fig. 1
Bei einem linearen Gleichungssystem mit zwei Variablen kann man zu jeder Gleichung
eine Gerade zeichnen. Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden entsprechen
dann der Lösung des linearen Gleichungssystems. Beachte:
Bei einem linearen
Gleichungssystem
bezeichnen wir die
Gleichungen mit den
römischen Zahlen I
und II.
b ¥ 8:Geometry ¥ 1:Punkte und Geraden ¥ 3:Schnittpunkt(e)
Beispiel
Bestimme für das folgende Gleichungssystem die Lösung und mache die ­Probe.
I: 2 x + y = 4
II: – x + y = 1
Lösung:
Die Gleichungen werden nach y umgestellt:
y = – 2 x + 4
y=x+1
und als Funktion im Koordinatensystem
dargstellt (Fig. 3).
Der Schnittpunkt der beiden Graphen ist
die Lösung des Gleichungssystems:
(1 | 2) entspricht x = 1; y = 2.
Probe:
Fig. 2
Fig. 4
Fig. 3
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Aufgaben
1
Bestimme die Lösung des Gleichungssystems und mache die Probe.
5
a) I: y = 4 x – 2
b)I: 5 y – x
=5
c) I: 5 y – x = 1
d) I: y
= 2 + ​ _2 ​ x
II: y = 5 x – 4 II: 4 y – x – 2 = 0 II: 6 y – x = 2 II:2 y + x = – 8
2
Benjamin hat die linearen Gleichungssysteme und ihre Lösungen von der Tafel abge­
schrieben. Allerdings war er nicht sehr aufmerksam, sodass sich in seinem Heft ein ziem­
liches Durcheinander wieder findet. Hilf Benjamin, die Gleichungen so zu ordnen, dass vier
Gleichungssysteme mit passenden Lösungen im Heft stehen. Kontrolliere deine Lösungen
mit dem CAS.
x + y = 10
6 x + y = 8
6 x + y = 0
(1 | 2)
x + 2y = 5
(2 | 3)
(0,5 | – 3)
x–y=9
– 2 x + y = – 1
(9,5 | 0,5)
4 x – 3 y = 11
4 x + 3 y = 17
Info
Haben bei einem Gleichungssystem mit zwei Variablen die entsprechenden Geraden: – unendlich viele gemeinsame Punkte, – keine gemeinsamen Punkte,
dann besitzt es unendlich viele Lösungen. dann hat es keine Lösung.
– Die Gleichungen y = x + 2 und – Die Gleichungen y = x + 4 und 2 y – 2 x = 4 haben unendlich viele y = x – 1 haben keine gemeinsamen gemeinsame Lösungen. Lösungen.
3
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem? Falls es eine einzige Lösung hat,
­ estimme diese Lösung.
b
a) I: 2 x + 3 y = 9
b) I: x + y = 1
c) I: 12 x + 15 y = 3 d) I: 2 x – 6 y – 21 = 0
II: x – y = 2 II: 3 y + 3 x = 6 II: 4 x + 5 y = 1 II 2 x = 0,75 y
4
Gib ein lineares Gleichungssystem mit
zwei Gleichungen und zwei Variablen an,
a) das keine Lösung hat. b) das unendlich viele Lösungen hat.
c) das (4 | 2) und (2 | – 4) als Lösungen hat.
d) das (2 | 5) und (– 4 | 5) als Lösungen hat.
5
Bestimme den Schnittpunkt der Gera­
den in Fig. 1 mit dem CAS.
Fig. 3
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