Dekohärenz in der Hochenergiephysik

Dekohärenz in der Hochenergiephysik
M. Ringbauer
P. Mitrea
April 6, 2011
Contents
1 Furry’s Hypothese und Dekohärenz am Beispiel eines
1.1 Neutrale Kaonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Das K 0 K 0 -system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Einführung des Dekohärenzparameters ζ . . . . . . . . .
1.4 Beziehung zum Experiment . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 CP-Verletzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Analyse der experimentellen Daten . . . . . . . . . . . .
K 0 K 0 -systems
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2
2
3
3
3
4
5
2 Dekohärenz und Entanglement-measures
2.1 Dekohärenzmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Verknüpfung zu phänomenologischem Modell 1.3 .
2.3 Analyse der experimentellen Daten . . . . . . . . .
2.4 Verschränkungsverlust - Dekohärenz . . . . . . . .
2.4.1 Von Neumann Entropie . . . . . . . . . . .
2.4.2 Separabilität . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Entanglement of formation and concurrence
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6
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7
7
1
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1
1.1
Furry’s Hypothese und Dekohärenz am Beispiel eines K 0K 0systems
Neutrale Kaonen
Neutrale Kaonen sind Elementarteilchen die aus zwei Quarks bestehen. Man schreibt |K 0 i = |dsi
bzw. |K 0 i = |dsi für das Antiteilchen.
Es gelten die folgenden Eigenschaften:
S|K 0 i = +|K 0 i
S|K 0 i = −|K 0 i
(1)
CP |K 0 i = −|K 0 i
CP |K 0 i = −|K 0 i
(2)
Durch Superposition erhält man die CP -Eigenzustände:
1 |K10 i = √ |K 0 i − |K 0 i
2
1
|K20 i = √ |K 0 i + |K 0 i
2
(3)
(4)
Diese beiden Zustände unterscheiden sich durch ihre Zerfälle (K10 → π + π − / π 0 π 0 bzw K20 →
π 0 π 0 π 0 / π + π − π 0 ).
Die physikalischen Zustände folgen nicht exakt diesen Zerfällen und ergeben sich zu:
1
(5)
|K10 i + |K20 i = p|K 0 i − q|K 0 i
|KS i =
N
1
|K10 i + |K20 i = p|K 0 i + q|K 0 i
|KL i =
(6)
N
1−
−3 ıπ/8
e
∈ C die CP-Verletzung beschreibt und N =
Mit p = 1+
N und q = N , wobei ≈ 10
q
2
2
|1 + | + |1 − | die Zustände normiert. Die Indizes S und L stehen für “‘short-lived” (τS ≈
9 · 10−9 s) bzw. “long-lived” (τL ≈ 5 · 10−8 s).
Betrachtet man nun eine allgemeine Basis im K 0 K 0 -Raum, so sind die Basiszustände gegeben
durch:
Mit einer invertierbaren Matrix S.
|kj i = S1j |K 0 i + S2j |K 0 i
(7)
Die physikalischen Zustände werden beschrieben durch einen nicht-hermiteschen Hamiltonoperator
H:
ı
H|KS,L (t)i = λS,L |KS,L i
mit λS,L = mS,L − ΓS,L ,
(8)
2
wobei mS,L und ΓS,L die jeweiligen Massen und Zerfallsbreiten sind.
Nach der Wigner-Weisskopf-Approximation ist die Zeitentwicklung der Zustände gegeben durch:
|KS,L (t)i = gS,L (t)|KS,L i
mit
gS,L (t) = e−ı(mS,L − 2 ΓS,L )t
ı
(9)
Die Zeitentwicklung der allgemeinen Basiszustände ist daher gegeben durch:
|kj (t)i = T1j |K 0 i + T2j |K 0 i
mit
T (t) =
wobei g± (t) =
1
2
g+ (t)
q
p g− (t)
(gL ± gS ).
2
p
q g− (t)
g+ (t)
(10)
(11)
1.2
Das K 0 K 0 -system
Im folgenden wird die Wellenfunktion eines K 0 K 0 -systems untersucht.
Betrachtet werden K 0 K 0 -Paare im J P C = 1−− Zustand |Ψi. Dieser besteht aus einem neutralen
Kaon und seinem Antiteilchen, die sich in entgegengesetzte Richtung ausbreiten. Auf Grund der
Quarkzusammensetzung ist leicht ersichtlich, dass bei diesem Paar eine EPR-Korrelation bezüglich
der Strangeness vorliegt.
Die Erzeugung eines solchen Systems erfolgt etwa durch pp-Annihilation. Aktuelle Experimente
der CPLEAR Collaboration widerlegten anhand des K 0 K 0 systems mit hoher Genauigkeit Furry’s
Hypothese der spontanen Faktorisierung der Wellenfunktion nach der Produktion [1, 2]. Die Unterscheidung der erzeugten Kaonen wird dabei durch starke Wechselwirkung in den Detektoren
erzielt.
Für den Hamiltonoperator zur Beschreibung des zwei-Teilchen Systems macht man folgenden
Ansatz: H = Hl ⊗ 1r + 1l ⊗ Hr (l bezeichnet das linke, r das rechte Teilchen). Zum Zeitpunkt tr = tl = 0 (tr,l ist die Eigenzeit des rechten bzw. linken Kaons) handelt es sich um einen
Ψ− -Zustand, beschrieben durch
1 |Ψ(0, 0)i = √ |K 0 ir ⊗ |K 0 il − |K 0 ir ⊗ |K 0 il
2
(12)
In einer allgemeinen Basis (vgl. (7)) ist der Zustand (12) zum Zeitpunkt (0, 0) gegeben durch:
1
|Ψ(0, 0)i = √
(|k1 ir ⊗ |k2 il − |k2 ir ⊗ |k1 il )
2 det S
(13)
Mit der Notation |k̂1 i = |K 0 i und |k̂2 i = |K 0 i ergibt sich der Zustand zum Zeitpunkt (tr , tl ) zu
1
(Ti1 Tj2 − Ti2 Tj1 ) |k̂i i ⊗ |k̂j i
|Ψ(tr , tl )i = √
2 det S
1.3
(14)
Einführung des Dekohärenzparameters ζ
Betrachtet man die Wahrscheinlichkeit, das System im Endzustand |f1 i ⊗ |f2 i zu finden, so ergibt
sich:
2
1
2
−
hf
⊗
f
|k
(t
)
⊗
k
(t
)i
|hf1 ⊗ f2 |Ψ(tr , tl )i| =
hf
⊗
f
|k
(t
)
⊗
k
(t
)i
1
2
2
r
1
l
1
2 1 r
2 l
{z
} |
{z
}
2 |det S|2 |
=:α
=:β
1
2
2
∗
=
2 |α| + |β| − 2 Re(α β)
2 |det S|
Einführung von ζ
1
2
2
∗
=
|α|
+
|β|
−
(1
−
ζ)2
Re(α
β)
2 |det S|2
Der Parameter ζ beschreibt hier das Ausmaß an Dekohärenz im K 0 K 0 -system. ζ = 1 entspricht
vollständiger Dekohärenz oder spontaner Faktorisierung der Wellenfunktion, ζ = 0 entspricht der
quantenmechanischen Vorhersage. [3]
1.4
Beziehung zum Experiment
Eine Größe, die direkt von ζ (und auch von der Wahl der Basis S) abhängt ist die Asymmetrie (15)
zwischen “Like-strangeness” (d.h. |K 0 ir |K 0 il oder |K 0 ir |K 0 il ) und “unlike-strangeness” events
3
(d.h. |K 0 ir |K 0 il oder |K 0 ir |K 0 il ).
Diese Größe ist auch experimentell zugänglich und wurde in einem aktuellen Experiment der
CPLEAR Collaboration gemessen [2].
A(tr , tl ) =
Punlike (tr , tl ) − Plike (tr , tl )
Punlike (tr , tl ) + Plike (tr , tl )
Für ζ = 0, was der quantenmechanischen Vorhersage entspricht, ergibt sich mit γ =
die Asymmetrie zu:
AQM (tr , tl ) =
(15)
1
2
p 2 q 2
q + p
(1 − γ) cosh( 12 ∆Γ∆t) + (1 + γ) cos(∆m∆t)
(1 + γ) cosh( 12 ∆Γ∆t) + (1 − γ) cos(∆m∆t)
(16)
Im Fall ζ 6= 0 gilt:
AQM (tr , tl ) =
PζS (K 0 , tr ; K 0 , tl ) + PζS (K 0 , tr ; K 0 , tl ) − PζS (K 0 , tr ; K 0 , tl ) − PζS (K 0 , tr ; K 0 , tl )
PζS (K 0 , tr ; K 0 , tl ) + PζS (K 0 , tr ; K 0 , tl ) + PζS (K 0 , tr ; K 0 , tl ) + PζS (K 0 , tr ; K 0 , tl )
(17)
Wobei ∆Γ = ΓL − ΓS , ∆m = mL − mS und ∆t = tr − tl .
1.5
CP-Verletzung
Die CP-Verletzung im K 0 K 0 -system ist proportional zu Re() ≈ 10−3 . Außerdem geht der Parameter nur in γ ein, und kommt daher in den Gleichungen ausschließlich quadratisch vor,
weshalb man ihn in guter Näherung vernachlässigen kann (d.h. γ = 1), was der Annahme von
CP-Erhaltung entspricht. Mit der zusätzlichen Annahme, dass p = q und die Matrix S unitär ist:
a
b
2
2
S=
mit |a| + |b| = 1
(18)
−b∗ a∗
Mit diesen Annahmen ergibt sich die quantenmechanische Vorhersage für die Asymmetrie (basisunabhängig) zu:
AQM (tr , tl ) =
cos(∆m∆t)
cosh( 12 ∆Γ∆t)
(19)
Für die Basen {K 0 , K 0 } und {KL , KR } ergibt sich:
L ,KS
(tr , tl ) = (1 − ζ)AQM (tr , tl )
AK
ζ
AζK
0
,K 0
(tr , tl ) =
(20)
1
2ζ
cos(∆m∆t) −
(cos(∆m∆t) − cos(∆m(tr + tl )))
cosh( 21 ∆Γ∆t) − 12 ζ cosh( 21 ∆Γ∆t) − cosh( 12 ∆Γ(tr + tl ))
(21)
Anhand von (20) und (21) sieht man deutlich, dass im Falle spontaner Faktorisierung (d.h. ζ = 1)
die Asymmetrie nur in der {KL , KS } Basis verschwindet, nicht aber in der {K 0 , K 0 } Basis.
Man kann zeigen, dass Furry’s Hypothese genau dann verschwindende Asymmetrie impliziert,
wenn spontane Faktorisierung in der {KL , KS } Basis auftritt [3]. Dieser Fall wurde im CPLEAR
Experiment mit einem “Confidence Level” von 99.99% ausgeschlossen [2].
4
1.6
Analyse der experimentellen Daten
Das CPLEAR Experiment wurde in zwei Einstellungen durchgeführt die sich in der Wegstrecke
(und damit Detektionszeit) der Kaonen unterscheidet. Die Konfiguration C(0) entspricht einer
Messung zu “gleichen” Eigenzeiten (d.h. tr = tl ), die Konfiguration C(5) entspricht einer Wegdifferenz von 5cm, was einer Eigenzeitdifferenz von |tr − tl | ≈ 1.2τS entpricht, wobei τS die Lebensdauer des KS ist.
Die experimentellen Ergebnisse für die Asymmetrie sind: Aexp (0) = 0.81 ± 0.17 und Aexp (5) =
0.48 ± 0.12, was in Übereinstimmung mit den (an die experimentellen Gegebenheiten, wie HinterQM
grund etc. angepassten) quantenmechanischen Vorhersagen von AQM
corr (0) = 0.93 und Acorr (5) =
0.56.
Ein Fit des Parameters ζ in Gleichung (20) bzw. (21) liefert:
ζ
KL ,KS
= 0.13+0.16
−0.15
mit
CL = 97%
= 0.4 ± 0.7 mit
CL = 67%
0
ζ
K ,K 0
Furry’s Hypothese (ζ = 1) liefert folgende Werte für die Asymmetrie:
L ,KS
AK
(0) = 0
1
AK
1
0
,K 0
L ,KS
AK
(5) = 0
1
AK
1
(0) = 0.90
0
,K 0
(5) = 0.50
Spontane Faktorisierung führt also in der {KL , KS } zu verschwindender Asymmetrie, was experimentell mit hoher Genauigkeit ausgeschlossen wurde. In der {K 0 , K 0 } Basis hingegen liefert
Furry’s Hypothese eine Vorhersage, die mit den experimentellen Daten kompatibel ist.
2
2.1
Dekohärenz und Entanglement-measures
Dekohärenzmodell
Ausgehend von der Liouville-von Neumann Gleichung mit Hamiltonoperator H aus (8) wird die
Zeitentwicklung der Dichtematrix ρ mit einem Dekohärenz-Term, dem Dissipator D[ρ[, angesetzt.
dρ
= −ıHρ + ıρH † − D[ρ]
dt
Für den Dissipator D[ρ] der Master Gleichung wählt man folgenden Ansatz:
D[ρ] = λ (PS ρPL + PL ρPS ) =
λ X
[Pj , [Pj , ρ]] ,
2
(22)
(23)
j=S,L
wobei Pj = |Kj ihKj | (j = S, L) den Projektor der Eigenstände des Hamiltionoperators und λ den
Dekohärenz-Parameter mit λ ≥ 0 beschreibt.
Mit der Wahl des dissipativen Terms (23), der im Falle des 2-Teilchen-Systems über die entsprechenden Projektoren Pj = |ej ihej | (j = 1, 2) gebildet wird, entkoppelt die Zeitentwicklung (22) für die
Komponeten der Dichtematrix ρ
X
ρij (t) |ei ihej | .
(24)
ρ(t) =
i,j=1,2
Damit erhält man für die zeitabhängige Dichtematrix
5
ρ (t) =
1 −2Γt |e1 i he1 | + |e2 i he2 | − e−λt (|e1 i he2 | + |e2 i he1 |)
e
2
(25)
bei dem die Dekohärenz mit den Faktor e−λt entsteht und ausschließlich die nicht-diagonal Elemente betrifft. Folglich entspricht für t > 0 und λ 6= 0 die Dichtematrix ρ(t) keinem reinen
Zustand mehr [4]
2.2
Verknüpfung zu phänomenologischem Modell 1.3
Berechnet man erneut die Asymmetrie der Strangeness Ereignisse für das obige Dekohärenz Modell, findet man durch Einsetzen der einzelnen like- und unlike-Strangeness Wahrscheinlichkeiten:
Aλ (tl , tr ) =
cos (∆m∆t)
· e−λ min{tl ,tr } = AQM (∆t) · e−λ min{tl ,tr } ,
cosh 21 ∆Γ∆t
(26)
wodurch wiederum der Effekt der Dekohärenz durch den Faktor e−λ min{tl ,tr } verursacht wird 1 .
Es zeigt sich, dass das betrachtete Modell der Dekohärenz mit dem phänomenologischen Zugang
korrespondiert und eine Relation zwischen λ und ζ besteht. Aus dem Vergleich der Ergebnisse für
die Asymmetrie der Wahrscheinlichkeiten erhält man
ζ (t) = 1 − e−λt ,
(27)
welche nach der Messung der links- und rechts-driftenden Teilchen in die Form
ζ (tl , tr ) = 1 − e−λ min{tl ,tr }
(28)
übergeht. Hier wird der Dekohärenz Parameter λ als fundamentale Konstante angenommen,
während der Wert des effektiven Dekohärenz Parameters ζ vom Zeitpunkt der Messung abhängt.
2.3
Analyse der experimentellen Daten
Fittet man analog wie im Abschnitt 1.6 den Dekohärenz Parameter λ durch Verleich mit der
Asymmetrie (26) und den experimentellen Daten des CPLEAR-Experiments, so erhält man durch
Mittelung über beide Konfigurationen folgende Schranken für λ:
−12
λ = 1.84+2.50
MeV
−2.17 · 10
(29)
Das Ergebnis ist durchaus mit der Quantenmechanik (λ = 0) verträglich, und liefert für mögliche
Dekohärenz im verschränkten Kaon-Antikaon-System eine obere Schranke von λup = 4.34 · 10−12 MeV
[5].
2.4
Verschränkungsverlust - Dekohärenz
Der Dissipator D[ρ] in der Master-Gleichung beschreibt im Allgemeinen zwei Phänomene, die in
einem offenen Quantensystem auftreten können: die Dekohärenz und die Dissipation. Wenn ein
System S mit seiner Umgebnung E wechselwirkt, entwickelt sich der anfängliche Produktzustand
mit der Zeit zu einem verschränkten Zustand von S + E. Dies führt zu gemischten Zuständen in
S (Dekohärenz) und Energieaustausch zwischen S und E (Dissipation).
Dekohärenz verhindert das Auftreten von lang-reichweitigen Quantenkorrelationen führt zu einem
Informationstransfer vom System S in die Umgebung E. Die Zunahme der Dekohärenz mit der
Zeit in einem anfangs vollständig verschränkten K 0 K 0 -System bedeutet zugleich einen Rückgang
der Verschränkung des Systems. Für dessen experimentelle Bestimmung spielt die Entropie eine
entscheidende Rolle. Im Folgenden werden die Konzepte, welche die Dekohärenz mit dem Verschränkungsverlust verbinden kurz vorgestellt [4]
1 Hierbei
hängt der Term von der Zeit des zuerst gemessenen Kaons ab, in diesem Fall gilt min{tl , tr } = tr .
6
2.4.1
Von Neumann Entropie
Für einen nach den Zerfallseigenschaften des nicht-hermitischen Hamiltonoperators H normalisierten Zustand ρN (t) = trρ(t)
ρ(t) gibt die von-Neumann Entropiefunktion:
S (ρN (t)) = − tr{ρN (t) log2 ρN (t)} = −
1 − e−λt
1 + e−λt
1 + e−λt
1 − e−λt
log2
−
log2
2
2
2
2
(30)
S (ρN (t)) = 0 für t = 0: die Entropie beträgt Null, es besteht keine Unbestimmtheit im
System, sowie der Quantenzustand rein und maximal verschränkt ist.
S (ρN (t)) = 1 für t → ∞: die Entropie steigt mit zunehmender Zeit an und nähert sich im
Unendlichen dem Wert 1 an, wodurch der Zustand immer gemischter wird. Gemischte Zustände
beinhalten lediglich unvollständige Informationen über das System, und die Entropie gibt das
Ausmaß des Verlustes von der maximalen Information an.
2.4.2
Separabilität
Die anfänglich verschränkten Bell-Singletzustände verbleiben, trotz Dekohärenz und damit verbundenem Verschränkungsverlust, im Verlauf der Zeit verschränkt. Um dies zu zeigen bemüht
man die “Quasi-Spin” Beschreibung des Kaonen-Systems. Das Resultat dieser Herleitung ist der
Bertlmann–Durstberger–Hiesmayr [5] Satz:
The state represented by the density matrix ρN (t) becomes mixed for 0 < t < ∞ but remains
entangled. Separability is achieved asymptotically t → ∞ with the weight e−λt . Explicitly, ρN (t)
is the following mixture of the Bell states ρ− and ρ+ :
ρN (t) =
where ρ∓ = |ψ ∓ ihψ ∓ |.
2.4.3
1
1
1 + e−λt ρ− +
1 − e−λt ρ+ ,
2
2
(31)
Entanglement of formation and concurrence
Generell stellt die von-Neumann Entropie kein gutes Maß für die Verschränkung von gemischten
Zuständen dar, weshalb auf die Betrachtung des Entanglement of formation zurückgegriffen wird.
Diese wird für gemischte Zustände eines 2-Teilchen Systems als die mittlere Verschränkung der
Ensemble von reinen Zuständen definiert, welche über deren Anzahl minimiert wird
X
(32)
pi S ρli
E (ρ) = min
i
Das Entanglement of formation kann nach Bennett et al. abgeschätzt werden durch
wobei E (f ) = H
1
2
p
+ f (1 − f )
E (ρ) ≥ E (f (ρ)) ,
für
f≥
1
2
und
(33)
E (f ) = 0
für
f<
1
2
gilt. In dieser
Notation steht H(x) für die von-Neumann Entropie sowie f (ρ) die fully entangled fraction von ρ,
sprich das Maximum über alle vollständig verschränkten Zustände repräsentiert.
Andererseits kann diese Eigenschaft nach Wootters und Hill für gemischte Zustände über eine
weitere Größe, der Concurrence (“Zufall”) C, ausgedrückt werden:
1 1p
+
E (ρ) = E (C (ρ)) = H
mit
0 ≤ C ≤ 1.
(34)
1 − C2
2 2
In Bezug zu dem Dekohärenzmodell des Kaonensystems erhält man für die Concurrence von ρN (t)
C (ρN (t)) = max{0, e−λt } = e−λt , sowie für die fully entangled fraction f (ρN (t)) = 12 1 + e−λt .
7
Damit stehen die Funktionen in folgender Relation zueinander:
C (ρN (t)) = 2f (ρN (t)) − 1
(35)
und beschreiben die Verknüpfung mit der Dekohärenz. Schließlich definiert man den Verlust der
Verschränkung für kleine Werte von λ oder ζ über:
1 − C (ρN (t)) = ζ (t)
. 1
. λ
1 − E (ρN (t)) =
ζ (t) =
t
ln 2
ln 2
bzw.
(36)
wodurch sie experimentell für das K 0 K 0 -System bestimmt werden kann [5, 4, 6].
References
[1] Furry, W. H. Note on the quantum-mechanical theory of measurement. Phys. Rev. 49, 393–399
(1936).
[2] Apostolakis, A. et al. An EPR experiment testing the non-separability of the wave function.
Physics Letters B 422, 339–348 (1998).
[3] Bertlmann, R. A., Grimus, W. & Hiesmayr, B. C. Quantum mechanics, furry’s hypothesis,
and a measure of decoherence in the K 0 K 0 system. Phys. Rev. D 60, 114032 (1999).
[4] Bertlmann, R. A. Decoherence and the physics of open quantum systems. Script (2009).
[5] Bertlmann, R. A., Durstberger, K. & Hiesmayr, B. C.
Decoherence of entangled
kaons and its connection to entanglement measures. quant-ph/0209017 (2002). URL
http://arxiv.org/abs/quant-ph/0209017. Phys.Rev. A68 (2003) 012111.
[6] Bertlmann, R. A. Entanglement, bell inequalities and decoherence in particle physics. quantph/0410028 (2004). URL http://arxiv.org/abs/quant-ph/0410028. Lect.Notes Phys. 689
(2006) 1-45.
8