Pickhardt

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III.1. Rückkopplung
Schulversuchspraktikum WS 2000/2001
10
III.2. Erzwungene harmonische Schwingungen und Resonanz 11
SCHWINGUNGEN
IV. LERNZIELE (ENTSPRECHEND LEHRPLAN) UND
SCHLUSSBEMERKUNG
13
V. LITERATUR
14
VI. ANHANG (UNTER DATEI SCHWINGUNGANHANG
VORZUFINDEN)
14
(6.Klasse Oberstufe – NTL-Versuchsanleitungen)
Pickhardt Gunther
Inhaltsverzeichnis
I. EINLEITUNG
2
II. HARMONISCHE SCHWINGUNGEN
2
II.1. Wichtige Begriffe und Bezeichnungen der Schwingungslehre
am Beispiel von Feder- und Fadenpendel
3
II.2. Das Federpendel
4
II.3. Das Fadenpendel
7
II.4. Die Energie des harmonisch schwingenden Körpers
8
III. DIE GEDÄMPFTE HARMONISCHE SCHWINGUNG
9
2
I. Einleitung
II. Harmonische Schwingungen
Die Welt ist voll Dingen, die sich bewegen. Die Bewegung von Dingen kann man
Wir wissen zwar, was eine Schwingung ist, wir wissen aber noch nicht, was eine
grob in zwei Arten einteilen, je nachdem ob das betreffende Ding sich immer in der
harmonische Schwingung ist. Dazu ein Versuch:
Nähe eines festen Ortes aufhält oder sich weiter fortbewegt. Im folgenden wollen
wir uns mit erstgenannter Bewegung befassen, also der Bewegung, wo sich das
bewegende Ding immer in der Nähe eines festen Ortes aufhält. Beispiele für
Bewegungen dieser Art sind: Schwanken eines Baumes im Wind; rotierende
Maschinenteile; eine Kinderschaukel; in einer Schale hin und herschwappendes
Wasser; Licht, das zwischen Spiegeln hin und her reflektiert wird usw.. Allgemein
bezeichnet man sich wiederholende (periodische) Vorgänge, wo das bewegende
Objekt sich in der Nähe eines festen Ortes aufhält, als Schwingung. So schwingen
neben den soeben genannten Beispielen auch die Saiten der Musikinstrumente, die
beiden Zinken der Stimmgabel, es schwingen Gebäude, Brücken, die Elektronen im
Atom, kurzum, alles was uns umgibt, befindet sich im Zustand einer Schwingung.
Diese Tatsache ist Grund genug, sich mit Schwingungen näher zu befassen, d.h. wir
wollen uns im nächsten Abschnitt damit befassen, von welchen Parametern die
Dauer einer Schwingung abhängt, wieviel Zeit z.B. ein Pendel zum Hin- und
Herschwingen braucht. Außerdem soll gezeigt werden, wie man eine Schwingung
graphisch festhalten kann. Um die folgenden Abschnitte verstehen zu können, ist es
wichtig, die Winkelfunktionen und das Hooke’sche Gesetz zu kennen und zu
Zusammenfassung des Versuchs: Schwingungen, deren Weg-Zeit-Diagramm eine
Sinus- oder Cosinuskurve ist, werden harmonische Schwingungen genannt.
verstehen.
Ein weiterer Versuch zur Weg-Zeit-Aufzeichnung einer harmonischen Schwingung
findet sich im Anhang unter Versuchsanleitung SW 1.2.( nur 1.Versuch). Bei
diesem Versuch hat es sich als günstig erwiesen, einen Bleistift als Schreibstift zu
verwenden. Das Ergebnis solch eines Blattfederversuchs ist im folgenden
abgebildet.
3
II.1. Wichtige Begriffe und Bezeichnungen der
Schwingungslehre am Beispiel von Feder- und
Fadenpendel
Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, wie der Weg-Zeit-Verlauf einer harmonischen
Schwingung aussieht. Um jetzt aber solch eine Schwingung gut beschreiben zu
können, bedarf es einiger wichtiger Begriffe und Bezeichnungen, die am Beispiel
des Federpendels und des Fadenpendels besprochen werden sollen.
•
Elongation
y(t)
Momentaner
Abstand
von
der
Ruhelage
ϕ(t)
•
Amplitude
Momentane (Winkel-)Auslenkung
Maximalwert der Elongation
4
•
Schwingungsdauer
T = 1/f
oder Periode
•
Frequenz
f = 1/T
Zeit, die der Körper für eine Hin-
Die nun gelernten Begriffe und Bezeichnungen könnten nun von den Schülern am
und Herbewegung, also für eine
Beispiel der Stimmgabel und der Blattfeder (siehe Versuche von vorher) wiederholt
volle Schwingung braucht
werden.
Anzahl
der
Schwingungen
je
Zeiteinheit, also z.B. Schwingungen
pro Sekunde.
II.2. Das Federpendel
Im folgenden wird die Bewegung des Federpendels genauer untersucht. Für eine
Erläuterung zur Frequenz und der Schwingungsdauer: Wie schon in der Tabelle
beschrieben, bezeichnet man die Zahl der Schwingungen pro Sekunde als Frequenz.
Zwischen der Schwingungsdauer T und der Frequenz f besteht ein wichtiger
Schraubenfeder gilt ja (für nicht zu große Auslenkungen) das Hookesche Gesetz,
d.h. auf den schwingenden Körper wirkt eine Kraft, die proportional zur Auslenkung
(Elongation) ist:
F = -k*y
Zusammenhang. Dauert nämlich eine Schwingung 1/10 Sekunde, so finden in einer
Sekunde gerade 10 Schwingungen statt. Dauert eine Schwingung 1/100 Sekunde, so
Das Minuszeichen drückt aus, dass die Federkraft der Elongation y entgegen
finden in einer Sekunde 100 Schwingungen statt. Die Frequenz ist also der Kehrwert
gerichtet ist. Kraft ist Masse mal Beschleunigung oder Beschleunigung ist gleich
der Schwingungsdauer. Ihre Maßeinheit – eine Schwingung pro Sekunde – nennt
Kraft dividiert durch Masse:
m*ay = -k*y
man Hertz und kürzt diese Einheit mit Hz ab.
ay = -k/m * y
Die Frequenz f ist die Zahl der Schwingungen pro Sekunde. Sie ist der Kehrwert der
Wie man leicht erkennen kann, hängt die Beschleunigung von der momentanen
Schwingungsdauer T und wird in Hertz (Hz) gemessen: f = 1/T
Auslenkung ab, ändert also im Laufe der Zeit Betrag und Richtung. Es liegt hier also
eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. Es ist natürlich interessant zu
sehen, dass die Beschleunigung von der Auslenkung (Elongation) abhängt, aber
eigentlich wollen wir wissen, wie sich die Beschleunigung, die Geschwindigkeit und
die Elongation im Laufe der Zeit verändern. Bevor dieses Problem mit einem
„Trick“ gelöst wird, soll zunächst einmal auf experimentellem Wege Erkenntnis
über die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von Auslenkung, schwingender
Masse und Federkonstante gewonnen werden.
Versuchsdurchführung nach Anleitung SW 1.1.2 (siehe Anhang)
•
Erster Versuch: Bestimmung der Federkonstanten.
5
•
Zweiter Versuch: Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Masse.
•
Dritter
Versuch:
Abhängigkeit
der
Schwingungsdauer
von
Gleichgewichtslage des Federpendels geht. Wir bringen ferner an der Scheibe in
der
passender Entfernung r von der Drehachse ein Korkstück P an und lassen die
Scheibe gleichförmig rotieren. Die Umdrehungszeit wählen wir so, dass sie mit der
Federkonstante.
Ergebnisse: Der Versuch zeigt sehr schön, wie die Schwingungsdauer von der
Schwingungsdauer des Federpendels übereinstimmt. Man kann die Anordnung stets
Masse und der Federkonstante abhängt. Wird also die Masse größer (Federkonstante
so einrichten, dass die Projektion des umlaufenden Korkstückes auf das Federpendel
1
bleibt gleich), nimmt die Schwingungsdauer zu , die Frequenz nimmt also ab. Wird
dauernd mit dem schwingenden Pendelkörper zusammenfällt. Zwischen der
hingegen
die
Pendelschwingung und einer passend gewählten Kreisbewegung besteht also ein
Schwingungsdauer ab2 und die Frequenz wird größer. Was die Abhängigkeit der
merkwürdiger Zusammenhang. Mit seiner Hilfe lassen sich die Gesetze der
Schwingungsdauer von der ursprünglichen Auslenkung angeht, so wird darauf in
Pendelschwingung leicht gewinnen.
die
Federkonstante
größer
(Masse
bleibt
gleich),
nimmt
den Versuchen nach SW 1.1.2 nicht näher eingegangen, deswegen ist an dieser
Stelle vermerkt, dass der 2.Versuch und der 3.Versuch mit verschiedenen
Anfangsauslenkungen (nicht zu groß) durchgeführt werden sollte, um so die
Unabhängigkeit der Schwingungsdauer von der Anfangs-Auslenkung zu zeigen. Es
ist durchaus sinnvoll, die Messergebnisse in die auf dem Versuchszettel angegebene
Formel einzusetzen und sich auf diese Art und Weise von deren Richtigkeit zu
überzeugen.
Wir wollen nun, wie schon vorhin bemerkt, die Änderung der Elongation
(Auslenkung), der Beschleunigung und der Geschwindigkeit im Laufe der Zeit mit
einem „Trick“ ermitteln. Das dabei erhaltene Ergebnis können wir anhand der
Messergebnisse aus den Experimenten überprüfen. Nun zu besagtem Trick:
Wir stellen neben das Federpendel eine Scheibe (dies kann praktisch aber auch nur
gedanklich-theoretisch erfolgen), die sich um eine waagrechte Achse drehen kann,
und justieren sie so, dass die Achse in ihrer Verlängerung durch die
1
2
4-faches m à 2-faches T
4-faches k à halbes T
6
Der Winkel ϕ zwischem dem Radiusvektor r und der y-Achse wächst im Laufe der
Die Resultate, die wir erhalten haben genügen also der Bewegungsgleichung. Die
Zeit immer mehr an. Wir wollen diesen Winkel im Bogenmaß messen. Weil die
letzte Formel gestattet die Berechnung der Kreisfrequenz ω bzw. der Umlaufsdauer
Scheibe gleichförmig rotiert, gilt:
T der Scheibe. Weil nun das Federpendel im gleichen Takt schwingt, ergibt sich für
ϕ : 2π = t : T
oder
ϕ = 2πt/T
die Schwingungsdauer des Pendels folgende Formel:
Der Faktor 2π/T wird Kreisfrequenz genannt und mit ω abgekürzt.
Damit lässt sich der Betrag der Bahngeschwindigkeit und der Betrag der
Bahnbeschleunigung von P ausdrücken. Man erhält:
T = 2π (m/k)^0.5
Mit diesem Ergebnis können auch die Ergebnisse der durchgeführten Versuche
Betrag der Bahngeschwindigkeit von P: v = 2πr/T = ω * r
Betrag der Bahnbeschleunigung von P: a = v /r = ω * r
2
2
bestätigt werden und wir halten nochmals fest:
Die Schwingungsdauer eines Federpendels ist um so größer, je größer die Masse des
Körpers und je kleiner die Federkonstante der Feder ist. Die Schwingungsdauer ist
Weil die Federschwingung mit der Projektion der Kreisbewegung auf die y-Achse
von der Amplitude unabhängig.
übereinstimmt, lassen sich die Elongation y, die Geschwindigkeit vy und die
Beschleunigung ay des schwingenden Körpers berechnen.
Die folgende Abbildung zeigt das Weg-Zeit-Diagramm für das Federpendel. Die
Aus den Zeichnungen liest man ab:
Elongation y kann durch eine Cosinus - Funktion beschrieben werden (siehe auch
schon etwas weiter oben). Es handelt sich also bei der Federpendelschwingung
wieder um eine harmonische Schwingung.
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Praxisbezug: Federpendel werden zum Beispiel in der physikalischen Chemie zum
Bestimmen von Massen (in weiterer Folge von Dichten) verwendet. Man gibt dazu
den Stoff, dessen Masse bestimmt werden soll in ein Behältnis (mit bekannter
Masse) und lässt dieses Behältnis an einer Feder mit bekannter Federkonstante
schwingen.
Aus
der
gemessenen
Schwingungszeit
und
der
bekannten
Federkonstante lässt sich dann die Masse des gefüllten Behältnisses bestimmen.
Zieht man nun von dieser Masse die Masse des Behältnisses ab, so ergibt sich die
Masse des unbekannten Stoffes.
Im Anhang findet sich weiters ein Versuch zur dynamischen Messung der
Federkonstanten (Versuchsanleitung SW 1.6).
II.3. Das Fadenpendel
Beim Federpendel haben wir gesehen, dass eine harmonische Schwingung immer
dann zustande kommt, wenn die rücktreibende Kraft proportional zur Elongation ist,
sich also durch das Hookesche Gesetz beschreiben lässt. Nachdem das Hookesche
Gesetz nicht nur für Schraubenfedern, sondern für alle rücktreibenden Kräfte gilt,
Die parallele Komponente F ruft die Fadenspannung hervor, die senkrechte
sofern die Auslenkung (Elongation) nicht zu groß ist, müsste eigentlich die
Komponente F⊥ wirkt als rücktreibende Kraft und zieht das Pendel in seine
Schwingung eines Fadenpendels auch harmonisch sein, vorausgesetzt die
Gleichgewichtslage zurück. Aus der Abbildung lässt sich nun folgendes entnehmen:
rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung. Das beim Fadenpendel
F⊥= m*g*sinϕ = m*g*x/l = k*x
tatsächlich das Hookesche Gesetz gilt, soll nun gezeigt werden.
Ein Fadenpendel besteht aus einem Körper der Masse m, welcher an einem Faden
Man kann nun für kleine Auslenkungen x gleich s setzen, wobei s das Bogenstück
der Länge l angehängt ist. Am Pendelkörper greift das Gewicht F = m*g an. Wir
ist. Wir haben also somit gezeigt, dass die rücktreibende Kraft tatsächlich dem
zerlegen diese Kraft in zwei Komponenten parallel und senkrecht zur
Hookeschen Gesetz gehorcht. Die Schwingung ist also harmonisch.
Fadenrichtung.
Wir können also die Ergebnisse vom Federpendel übernehmen, wobei wir für k
einfach die Federkonstante des Pendels einsetzen: k= m*g/l
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Beim Zurückschwingen des Pendelkörpers wird diese potentielle Energie in
Es ergibt sich dann für die Schwingungsdauer des Fadenpendels:
kinetische Energie umgewandelt. Die potentielle Energie ist vollständig in
T = 2π (l/g)^0.5
Versuch:
kinetische Energie übergegangen, wenn der Körper durch seine Gleichgewichtslage
Natürlich soll dieses Ergebnis durch ein Experiment bestätigt werden. Es eignet sich
geht. Mit anderen Worten: Wenn der Pendelkörper durch die Gleichgewichtslage
dazu die Versuchsdurchführung nach der Versuchsanleitung SW 1.1.1
geht, so hat er die größte Geschwindigkeit.
Ekin = m*v2/2 (m= Masse des Pendelkörpers, v= Geschwindigkeit des
Pendelkörpers)
Praxisbezug: Mit dem Fadenpendel kann man verhältnismäßig leicht die lokalen
die
Nach dem Durchgang durch die Gleichgewichtslage wird die kinetische Energie in
Schwingungsdauer des Pendels, so kann man die lokale Fallbeschleunigung
Dehnungsenergie, also potentielle Energie, umgewandelt, usw.. Die Energie des
errechnen.
die
Pendelkörpers wechselt also ständig zwischen reiner potentieller (maximale
Schwingungsdauer, desto rascher schwingt also das Pendel. Im Anhang findet sich
Auslenkung) und reiner kinetischer Energie (Durchgang durch Gleichgewichtslage).
eine Versuchsanleitung zur Bestimmung der Fallbeschleunigung mittels des
Die Gesamtenergie bleibt allerdings konstant und kann durch folgende Formel
Fadenpendels. Versuchsanleitung SW 1.3.
beschrieben werden.:
Fallbeschleunigungen
Je
größer
ermitteln.
die
Kennt
man
Fallbeschleunigung
die
ist,
Pendellänge
desto
kleiner
und
ist
Weiters lässt sich mit einem Fadenpendel die Zeit messen. Siehe dazu
Egesamt = k * s2/2 + m*v2/2 =konst
(s....momentane Auslenkung)
Versuchsanleitung M 1.3
Die Schüler sollten nun den Energiefluss beim Fadenpendel als Übung beschreiben.
II.4. Die Energie des harmonisch schwingenden Körpers
Wann also hat das Fadenpendel maximale potentielle Energie, wann hat es
In diesem Abschnitt geht es um die Energie, die zum Beispiel in einem
maximale kinetische Energie etc.
schwingenden Federpendel steckt. Wird ein Federpendel um die Strecke r aus seiner
Ruhelage ausgelenkt, so wird Dehnungsarbeit verrichtet, die dann als potentielle
Energie im ausgelenkten Pendelkörper gespeichert ist. Wird nun der ausgelenkte
Pendelkörper ausgelassen, ohne dass er dabei angestoßen wird, so ist die
Gesamtenergie des Körpers durch die potentielle Energie bei der Auslenkung
gegeben.
Egesamt = Epot,r = k * r2/2
(Epot,r = Potentielle Energie bei der Auslenkung r)
9
III. Die gedämpfte harmonische Schwingung
Wir beobachten zum einen ein Federpendel, dass in Luft schwingt, und zum anderen
ein Federpendel, das in Wasser schwingt.
Wir sind bei der Betrachtung des Feder- und des Fadenpendels noch nicht darauf
Ergebnis: Das Federpendel gibt die Schwingungsenergie an die Wassermoleküle
eingegangen, dass ja ein schwingendes Pendel nach einiger Zeit steht und somit
rascher ab als an die Luftteilchen, daher kommt das Federpendel im Wasser
seine Energie abgegeben hat. Das folgende Weg – Zeit Diagramm zeigt solch einen
schneller zum Stillstand.
Realfall, wo die maximale Auslenkung im Laufe der Zeit abnimmt.
Der Grund, warum die Amplitude abnimmt, ist der, dass nämlich auf angestoßene
schwingungsfähige Systeme nicht nur rücktreibende Kräfte, die bei kleiner
Auslenkung dem Hookeschen Gesetz gehorchen, sondern auch Reibungskräfte, die
eine Abbremsung der Bewegung hervorrufen, wirken. So kommt beispielsweise das
Fadenpendel allmählich zur Ruhe, weil seine Bewegung durch die Lagerreibung und
durch die Luftreibung abgebremst wird. Die Energie des Pendels wandelt sich dabei
in andere Energieformen um und ist nach erfolgter Abbremsung hauptsächlich als
innere Energie im Lager und in der umgebenden Luft wiederzufinden, kurzum, das
Lager und die Umgebungsluft sind eine Spur wärmer geworden.
Versuch zur unterschiedlichen Dämpfung:
Erläuterung zur Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung:
Durch die Dämpfung verändert sich die Schwingungsdauer der gedämpften
Schwingung im Laufe der Zeit nicht. Sie bleibt die ganze Zeit über konstant – nur
die maximale Auslenkung nimmt im Laufe der Zeit ab. Die Schwingungsdauer der
gedämpften Schwingung ist aber etwas größer als die Schwingungsdauer der
ungedämpften Schwingung. Das lässt sich auf zweierlei Art und Weise erklären:
•
Durch die Reibung verzögert sich der Zeitpunkt des Durchganges durch die
Gleichgewichtslage
•
Die momentane Geschwindigkeit des Pendels ist stets kleiner als die
momentane Geschwindigkeit eines gleich weit ausgelenkten reibungsfrei
schwingenden Pendels.
10
III.1. Rückkopplung
•
Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, dass die Amplitude bei einer „freien“
Die Wattsche Kolbendampfmaschine hat um 1800 eine der größten
gesellschaftlichen, wirtschaftlichen und technischen Wandlungen, die
sogenannte erste industrielle Revolution, eingeleitet. Diese Maschine steuerte
nicht nur die Hähne, durch welche der Dampf in die Maschine einströmte und
aus der Maschine abfloss – eine Tätigkeit, die früher von Kindern ausgeführt
werden
musste-,
sie
besaß
auch
einen
automatischen
Rückkopplungsmechanismus, den „Schwungkugel-Regulator“, der selbsttätig
die Dampfzufuhr steigerte, wenn sich der Lauf der Maschine zu verlangsamen
drohte, und die Dampfzufuhr drosselte, wenn die Maschine ihr Tempo erhöhte.
harmonischen Schwingung ständig abnimmt. Will man nun zum Beispiel die
Amplitude eines schwingenden Pendels konstant halten, so muss man die Energie,
die dem Pendel durch Reibungskräfte laufend entzogen wird, ständig ersetzen. Das
kann geschehen, indem man das Pendel mit einer Energiequelle verbindet und durch
eine geeignete Vorrichtung dafür sorgt, dass die nötige Energie stets im richtigen
Moment zufließt. Unter Einwirkung dieser Selbststeuerung oder Rückkopplung
führt dann das Pendel „ungedämpfte Schwingungen“ aus, welche man in guter
Näherung als harmonisch ansehen darf. Im folgenden sind zwei Beispiele für
Rückkopplungsmechanismen angeführt.
•
Rückkopplungsmechanismus einer Pendeluhr
Die Abbildung zeigt den Rückkopplungsmechanismus einer Pendeluhr, welcher der
Idee nach um 1657 von Christian Huygens erfunden wurde. Das schwingende
Pendel trägt einen Anker A, der mit seinen beiden Zähnen abwechselnd in die
Lücken S des Steigrades eingreift. Das Steigrad wird durch ein Gewicht oder durch
eine gespannte Feder in Umdrehung versetzt und erteilt mit seinen Zähnen dem
rechten Ankerteil bei jeder Pendelschwingung einen kurzzeitigen Stoß. Auf diese
Weise wird der Energieverlust des Pendels ausgeglichen. Das Pendel schwingt
ungedämpft und sorgt mit seiner konstanten Frequenz für einen gleichmäßigen Gang
der Uhr.
Die Selbststeuerung der Wattschen Dampfmaschine
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III.2. Erzwungene harmonische Schwingungen und
Resonanz
Wir haben gesehen, dass im Alltag Schwingungen gedämpft verlaufen. Um eine
Schwingung aufrecht zu erhalten, kann man nun eine periodisch wirkende Kraft auf
den Schwinger ausüben und die Schwingung wird „ungedämpft“. Uns interessiert
natürlich im besonderen, welche verschiedenen Auswirkungen es hat, wenn wir den
Schwinger, also zum Beispiel ein Federpendel, mit Frequenzen anregen, die zum
einen der Eigenfrequenz des Schwingers [im Falle des Federpendels ist die
Eigenfrequenz = 1/(2π)*(k/m)^0.5 ] entspricht, zum anderen viel höher oder viel
kleiner als die Eigenfrequenz ist. Bevor wir uns einen Versuch dazu ansehen, sei
noch erwähnt, dass der Schwinger immer mit der Frequenz der anregenden Kraft
schwingt. Wenn also die Eigenfrequenz des Schwingers 8 Hz beträgt und man regt
mit einer periodisch wirkenden Kraft der Frequenz 5 Hz an, so schwingt der
Aus dem Versuch erkennt man, dass die Amplitude des Federpendels (Schwingers
Schwinger mit 5Hz und nicht mit 8Hz. Dass es sich tatsächlich so verhält, ja davon
allgemein) von der Frequenz des Anregers abhängt. Trägt man in einem Diagramm
kann man sich in dem folgenden Versuch selbst überzeugen. Noch eine kurze
die Amplitude der Schwingung als Funktion der Frequenz des Anregers auf, erhält
Bemerkung zur Beobachtung in den Versuchen. Wenn also der Schwinger immer
man eine sogenannte Resonanzkurve. Aus der Resonanzkurve kann abgelesen
mit der Frequenz der anregenden Kraft schwingt, dann wird die Auswirkung der
werden, wie groß die Amplitude des Federpendels bei verschiedenen Frequenzen
periodisch wirkenden Kraft wohl darin bestehen, dass sie die Amplitude des
des Anregers ist.
Schwingers mal größer und mal kleiner werden lässt.
Versuch: Ein Federpendel hängt an einer Schnur, die von einem Exzenter eines
Elektromotors auf und ab bewegt werden kann. Wir steigern allmählich die
Umdrehungszahl des Elektromotors. Das Federpendel wird dann mit der gleichen
Frequenz auf und ab bewegt, d.h. die Frequenz mit der der Schwinger (Federpendel)
schwingt, ist, wie schon erwähnt, gleich der Frequenz der anregenden Kraft
(erzwungene Schwingung).
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Die Form der Resonanzkurve hängt von der Dämpfung des Federpendels ab. Bei
Weitere Versuche zu erzwungenen harmonischen Schwingungen und Resonanz
großer Dämpfung sind die Schwingungsamplituden gering – die Resonanzkurve
siehe Versuchsanleitungen SW 1.4.1 und SW 1.4.2 im Anhang.
zeigt einen breiten Verlauf. Die Resonanzkurve ist umso schmäler und zeigt umso
größere Amplituden, je geringer die Dämpfung des Schwingers ist. Bei geringer
Praxisbezug Resonanz:
Dämpfung
1. Schwingungsverhalten von Stoßdämpfern: Die Stoßdämpfer bei Motorrädern und
kann
das
Federpendel
im
Resonanzfall
zerstört
werden
(„Resonanzkatastrophe“).
Autos ermöglichen eine gute Bodenhaftung der Reifen auf dem Straßenbelag nur
Beobachtet man die Bewegung des Schwingers und die Bewegung der anregenden
dann, wenn sie die Schwingungen der Räder möglichst stark dämpfen. Um das
Kraft, so erkennt man, dass bei einer Anregungsfrequenz, die klein gegen die
Dämpfungsvermögen der Stoßdämpfer zu überprüfen, wird das Fahrzeug
Eigenfrequenz des Schwingers ist, die Bewegung von Schwinger und anregender
erzwungenen Schwingungen mit ansteigender Frequenz ausgesetzt. Die dabei
Kraft nahezu im Gleichtakt erfolgt. Im Falle, dass die Anregungsfrequenz der
auftretenden Fahrzeugschwingungen werden an jeder Radaufhängung gemessen.
Eigenfrequenz entspricht, eilt der Schwinger um eine viertel Periode hinter der
Das Ergebnis sind Resonanzkurven, aus denen die Dämpfung der Stoßdämpfer
Bewegung des Erregers (der anregenden Kraft) nach. Ist allerdings die
abgelesen werden kann. Abbildung a) zeigt einen intakten Stoßdämpfer, Abbildung
Anregungsfrequenz viel größer als die Eigenfrequenz des Schwingers, so läuft der
b) hingegen einen Stoßdämpfer, der lieber aus dem Verkehr gezogen werden sollte.
Schwinger um eine halbe Periode hinter der Bewegung des Erregers hinterher.
2. Resonanz bei Musikinstrumenten: Viele Musikinstrumente weisen einen
Resonanzkörper auf, so auch zum Beispiel Saiteninstrumente. Im Fall der
Saiteninstrumente verstärkt der Resonanzkörper die an sich leisen Schwingungen
der Saite so, dass man sie dann auch gut hört. Für einen ausgeglichenen Klang des
Instruments in tiefen Lagen (niedrige Frequenz) und hohen Lagen (hohe Frequenz)
ist es wichtig, dass die mitschwingenden Flächen des Resonanzkörpers bei allen
13
Tonhöhen etwa gleich stark schwingen. Dies wird durch eine starke Dämpfung des
von Tacoma Narrows (Washington State) im Jahre 1940. Die Brücke geriet durch
Resonanzkörpers (eigentlich ein „Antiresonanzkörper“) erreicht.
den Wind in so starke Schwingungen, dass sie schließlich einstürzte.
3. Rotierende Maschinenteile: Liegt der Massenmittelpunkt eines rotierenden
IV.
Maschinenteils nicht exakt in der Drehachse, so beginnt der rotierende Teil durch
Schlussbemerkung
die
Drehbewegung
des
Massenmittelpunktes
bei
Drehzahlen,
die
Lernziele
(entsprechend
Lehrplan)
und
den
Eigenfrequenzen des Maschinenteils entsprechen, kräftig zu schwingen. Durch
Wuchten (Anbringen von zusätzlichen Massen) wird erreicht, dass der
•
unter einer harmonischen Schwingung
Massenmittelpunkt möglichst nahe in die Drehachse verlagert wird.
4. Gebäudeschwingungen:
Was versteht man im allgemeinen unter einer Schwingung, im speziellen
•
Weg-Zeit-Diagramm einer harmonischen Schwingung
•
Amplitude, Elongation, Periode, Schwingungsdauer, Frequenz,
Kreisfrequenz
Gebäude werden von Erdbebenstößen und von Windstößen zu (erzwungenen)
Schwingungen angeregt. Hohe Schornsteine oder lange Brücken sind im
•
Schwingungsdauer vom Faden- und Federpendel
allgemeinen so stark gedämpft, dass die Windstöße auch im Resonanzfall keine
•
Gedämpfte Schwingungen
nennenswerten Schwingungsamplituden der Gebäude verursachen. Die folgende
•
Energieflüsse (potentiell-kinetisch-potentiell) im schwingenden System
Abbildung zeigt den durch Windturbulenzen verursachten Einsturz der Hängebrücke
•
Rückkoppelung – Beispiele für Rückkopplung
14
•
Erzwungene Schwingungen
•
Resonanz – Resonanz im Alltag
V. Literatur
Die Themen „Eigenschwingungen“ und „Überlagerung von Schwingungen“ werden
•
im Protokoll von Prof. Bernd Langensteiner behandelt. Das Verständnis dieser
Klasse, Salzer-Ueberreiter Verlag Wien, 1983.
Themen stellt ein weiteres wichtiges Lernziel zum Kapitel Schwingungen dar.
•
Was die Durchführung der Versuche angeht (Versuchsanleitungen im Anhang), so
•
oder als Lehrer-Demonstrationsversuche durchführt. Manche Lehrer tendieren eher
•
Versuch an einem einzigen Versuchsaufbau ansehen, wobei die Schüler aufgefordert
d.h.
in
unserem
Falle
z.B.
aufgefordert
sind,
L.Bergmann und C.Schaefer,, Lehrbuch der Experimentalphysik (mehrere
Bände) Band 1, Verlag Walter de Gryter.
zu der Form des Experiments, wo sich die Schüler gemeinsam mit dem Lehrer den
mitzuwirken,
Tipler, A.Paul, Physik, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg-BerlinOxford, 19913.
ist es wohl vom einzelnen Lehrer abhängig, ob er die Versuche als Schülerversuche
sind,
Sexl, Raab, Streeruwitz, Physik-Lehrbuch für die sechste und siebte
Basiswissen: Physik-Lehrbuch für die 6.Klasse
die
Schwingungsdauer des am Lehrertisch aufgebauten Pendels mit der eigenen Uhr zu
VI.
messen.
vorzufinden)
Die
Arbeitsblätter
(Versuchsanleitungen
mit
den
zugehörigen
Anhang
(unter
Datei
SchwingungAnhang
Arbeitsaufgaben), wie sie im Anhang auch vorzufinden sind, können dabei von den
Auf den folgenden Seiten finden sich die Versuchsanleitungen, auf die schon im
Schülern ausgefüllt werden. Ich vertrete in diesem Zusammenhang, also ob Schüler-
Text verwiesen wurde.
oder Lehrerversuch, die Meinung: Ein Versuch soll so angelegt sein, dass der
•
SW 1.2
Weg-Zeit-Aufzeichnung einer harmonischen Schwingung
Schüler den Eindruck hat, er habe etwas selbstständig entdeckt. Versuche, für die
•
SW 1.1.2
Schwingungsdauer beim Federpendel
solches zutrifft, werden den Schülern noch lange in Erinnerung bleiben.
•
SW 1.6
Dynamische Messung der Federkonstanten
•
SW 1.1.1
Schwingungsdauer beim Fadenpendel
•
SW 1.3
Messung der Erdbeschleunigung
•
M 1.3
Zeitmessung
•
SW 1.4.2
Resonanz beim Federpendel
•
SW 1.4.1
Resonanz beim Fadenpendel