7.1.F.Vektoren - Poenitz-net

7.1. Prüfungsaufgaben zu Vektoren
Aufgabe 1a: Vektoren in der Ebene (4)
Zeichne neben die gegebenen Vektoren a und b die Vektoren c = a − b , d = −0,5 a und e = −2 a + 3 b :
a
b
Lösung
d = −0,5 a
a
c = a − b
e = 3b − 2a
b
Aufgabe 1b: Vektoren in der Ebene (4)
Zeichne neben die gegebenen Vektoren a und b die Vektoren c = b − a , d = −2 a und e = 0,5 a − 3 b :
a
b
1
Lösung
d = −2 a
a
c = b − a
e = 0,5 a − 3 b
b
Aufgabe 2: Vektoren im Anschauungsraum (14)
0
 
Ein Kreis mit dem Radius r = 2 und Zentrum O(0|0|0) steht senkrecht auf der Drehachse  =  1  .
1
 
a) Ein Quadrat mit dem Eckpunkt A1(2|0|0) liegt auf dem Kreis. Bestimme die drei anderen Eckpunkte des Quadrates.
(3)
1
 
b) Bestimme die Koordinaten des Punktes B1, der in Richtung  1  vom Ursprung aus auf dem Kreis liegt. (2)
 1 
 
c) Bestimme die vier Vektoren, die in positiver Drehrichtung auf den Seiten des Quadrates liegen. (4)
d) Bestimme die Länge der vier Seitenvektoren aus b). (2)
e) Zeichne den Kreis und das Quadrat in ein dreidimensionales Koordinatensystem mit 1 LE = 2 cm = 4 Häuschen. (3)
Lösung
a) A2(0| 2 |− 2 ),
A3(−2|0|0) und
A4(0|− 2 | 2 )
x3
(1)
(1)
(1)
b) Aus OB1 = 2 folgt
1
2  
1 bzw.
3  
 1 
2 2
2
B1(
|
|−
) (1)
3 3
3
 2 


c) A1A 2 =  2  ,
(1)


 2
 2 


(1)
A 2 A3 =   2 


 2 
OB1 =
A3 A 4 = − A1A 2
(1)
A 4 A1 = − A 2 A3 .
(1)
A4
(1)
A3
x2
A1
A2
B1
d) A1A 2 = A 2 A3 = A3 A 4
= A 4 A1 = 2 2
e) Skizze
(2)
(3)
x1
2
Aufgabe 3a: Spiegelung (4)
a)
Gegeben sind die Punkte A(1∣0∣−1), B(1∣1∣−2) und C(0∣2∣−2). Bestimme die Koordinaten des Punktes D, so dass
das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. (2)
b) Bestimme die Koordinaten der Punkte A’, B’, C’ und D’, die durch Spiegelung von ABCD an der x1-x3-Ebene
entstehen. (2)
Lösung
a)
D(0∣3∣−3) oder D(2∣−1∣−1) oder D(0∣1∣−1)
(2)
b) A’(1∣0∣−1), B’(1∣−1∣−2), C’(0∣−2∣−2) und D’(0∣−3∣−3) oder D’(2∣1∣−1) oder D’(0∣−1∣−1)
(2)
Aufgabe 3b: Spiegelung (4)
a)
Gegeben sind die Punkte A(2∣0∣−2), B(2∣2∣−4) und C(0∣4∣−4). Bestimme die Koordinaten des Punktes D, so dass
das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. (2)
b) Bestimme die Koordinaten der Punkte A’, B’, C’ und D’, die durch Spiegelung von ABCD an der x 1-x2-Ebene
entstehen. (2)
Lösung
a)
D(0∣6∣−6) oder D(4∣−2∣−2) oder D(0∣2∣−2)
(2)
b) A’(2∣0∣2), B’(2∣2∣4), C’(0∣4∣4) und D’(0∣6∣6) oder D’(4∣−2∣2) oder D’(0∣2∣2)
(2)
Aufgabe 4a: Betrag (6)
Untersuche, ob das Dreieck ABC mit A(2|2|−3), B(−2|−6|1) und C(1|−1|2) gleichschenklig oder gleichseitig ist.
Bestimme seinen Umfang und seinen Flächeninhalt.
Lösung:
AB = 4 6 LE und BC = AC = 35 LE ⇒ ABC ist gleichschenklig aber nicht gleichseitig.
Der Umfang ist u = 4 6 + 2 35 LE ≈ 21,63 FE.
Der Mittelpunkt der Basis AB ist M(0|−2|−1) und die Höhe ist MC = 11 LE.
1
Der Flächeninhalt ergibt sich damit zu A = ∙ AB ∙ MC = 2 66 FE ≈ 16,25 FE
2
(2)
(1)
(2)
(1)
Aufgabe 6a: Skalarprodukt (8)
 3


Gegeben ist der Vektor a =  12  .


 5


5 , der im Winkel 30° zu a geneigt ist und in der x-y-Ebene liegt. (4)
b) Bestimme den Vektor c mit der Länge 2 5 , der sowohl senkrecht zu a als auch senkrecht zu b steht. (2)
c) Berechne das Volumen der von den drei Vektoren a , b und c aufgespannten Pyramide. (2)
a)
Bestimme den Vektor b mit der Länge
Lösungen:
a)
 bx 
ab
 
Für b =  b y  muss gelten: bz = 0; bx2 + by2 = 5 und
= cos(30°) ⇔
ab
b 
 z
⇔
3  b x  12  b y
2 5 5
3 bx + 12 by = 5 3 ⇔ bx + 2by = 5.
1
 
2
2
2
Einsetzen ergibt (5 – 2by) + by = 5 ⇔ 5by – 20by + 20 = 0 ⇒ by = 2 und bx = 1 ⇒ b =  2 
0
 
 3  1

  
 12    2 
 2 5    2 


 5   0 
  
1 
ab


  5  =  1  oder mit Skalarprodukt
b) c = 2 5 ·
= 2 5
=
| ab |
2 5 5
5 

 0   0 


=
1
3
2
(2)
(1)
(1)
(2)
3
c)
V=
1
5
1
1
1
·G·h = · | a |  | b |  sin(30) | c | = ·2 5 · 5 · ·2 5 =
5 VE
2
3
3
3
3
(2)
Aufgabe 6b: Skalarprodukt (8)
 1 


Gegeben ist der Vektor a =  10  .
 3 


a)
Bestimme die zwei Vektoren b1 und b 2 mit der Länge 5 , die im Winkel 60° zu a geneigt sind und in der y-zEbene liegen. (4)
b) Welchen Körper erhält man, wenn man alle Vektoren betrachtet, die im Winkel von 60° zu a geneigt sind? (1)
c)
Welche Lage muss a zur y-z-Ebene haben, damit es in Teil a) nur eine Lösung gibt? (1)
d) Berechne den Flächeninhalt der von a und b1 bzw. a und b 2 aufgespannten Dreiecke. (2)
Lösungen:
 bx 
b  3b z
ab
1
 
Für b =  b y  muss gelten: by = 0; bx2 + bz2 = 5 und
= cos(60°) ⇔ x
=
⇔ bx – 3bz = 5
2
5 2 5
ab
b 
 z
a)
Einsetzen ergibt (5 + 3bz)2 + bz2 = 5 ⇔ 10bz2 + 30bz + 20 = 0 ⇔ (bz + 1)(bz + 2) = 0
 1 
2
 
 
⇒ b1 =  0  und b 2 =  0 
 1 
 2 
 
 
b) Sie bilden einen Kegel.
c) Wenn a selbst schon den Winkel 60° zur x-z-Ebene bildet, berührt der Kegel die Ebene.
1
1
1
d) A1 =
g1·h1 = · | a |  | b1 |  sin(60) = ·2 5 · 5 = 5 FE = A2
2
2
2
Aufgabe 7a: Lineare Unabhängigkeit (4)
1
Untersuchen Sie die Vektoren a =
Lösung:
1
2
2
1
1
1
1 1 ⇔ 0
1 2
0
2
5
1
2 , b =
1
1
1
1 ⇔ 0
0
3
Lösung:
1
2
2
1
2 , b =
1
1
1
2 1
1
1 1 ⇔ 0
5 1 ⇔ 0
8 1
0 10 2
0
2
1 und c =
8
(1)
(1)
(1)
(1)
(2)
1
1 auf lineare Unabhängigkeit.
2
2 1
5 1 ⇒ a , b und c sind linear unabhängig.
0 14
Aufgabe 7b: Lineare Unabhängigkeit (4)
1
Untersuchen Sie die Vektoren a =
2
1 und c =
1
(2)
(4)
1
1 auf lineare Unabhängigkeit.
1
2 1
5 1 ⇒ a , b und c sind linear abhängig.
0 0
(4)
4