¨Ubungsblatt 2 zur Vorlesung Atom

Übungsblatt 2 zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik
Kapitel 2.3 bis inklusive 3.6
1. Zu Abschnitt 2.3
Bitte arbeiten Sie für diese Woche die Seiten 11 bis 18 von §157 bis einschließlich
§156 im Buch von E. Schpolski Atomphysik II“ durch. Hier sind keine Übungen zu
”
rechnen, aber wiederholen Sie bitte auch die ersten Seiten und versuchen Sie noch,
Übungen 3) und 4) auf der Seite 4 zu rechnen.
Seite 4 (Aufgabe 3)
Es ist zu zeigen, dass
2
d
+1 u=
dx
2
d
+1 =
dx
a.)
so dass
2
∂
∂
b.)
+
u (x1 , x2 ) =
∂x1 ∂x2
2
∂
∂
=
+
so dass
∂x1 ∂x2
d2 u
du
+u
+
2
dx2
dx
d2
du
+2 +1
2
dx
dx
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
+
2
+
∂x21
∂x1 ∂x2 ∂x22
∂2
∂ ∂
∂2
+
2
+
∂x21
∂x1 ∂x2 ∂x22
Lösung
a.) 1. Binomische Formel
2
d
d
d
d
d
+ 1 ·u =
+1 ·
+ 1 ·u =
+1 ·
u+u
dx
dx
dx
dx
dx
d2
d
d
d2
d
= 2u + u + u + u = 2u + 2· u + u
dx
dx
dx
dx
dx
2 d
d
d
d2
d
d
d2
d
+1 =
+1 ·
+1 = 2 +
+
+ 1 = 2 + 2·
+1
dx
dx
dx
dx
dx dx
dx
dx
Übungen/Experimentalphysik IV
– Page 2 of 28 –
Name:
b.)
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
·
+
· u(x1 ,x2 )
· u(x1 ,x2 ) =
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂x2
∂
∂
∂
∂
=
+
·
u(x ,x ) +
u(x ,x )
∂x1 ∂x2
∂x1 1 2
∂x2 1 2
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
u(x1 ,x2 ) +
u(x1 ,x2 ) +
u(x1 ,x2 ) +
u(x ,x )
=
∂x1 ∂x1
∂x1 ∂x2
∂x2 ∂x1
∂x2 ∂x2 1 2
∂2
∂ ∂
∂2
=
u
+
2
u
+
u(x ,x )
(x ,x )
(x ,x )
∂x21 1 2
∂x1 ∂x2 1 2
∂x22 1 2
2 ∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
=
+
·
+
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂x2
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂2
∂ ∂
∂2
=
+
+
+
=
+
2
+
∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x2
∂x21
∂x1 ∂x2 ∂x22
Seite 4 (Aufgabe 4)
2
d2
d
d
2
+ x · u = dx
Es ist zu zeigen, dass dx
2 u + 2u + 2x · dx u + x u, wobei zu beachten
2
2
d
d
d
2
ist, dass dx
+ x · u 6= dx
2 + 2 dx x + x gilt.
Lösung
2
d
d
d
d
d
+ x ·u =
+x ·
+ x ·u =
+x ·
u + x·u
dx
dx
dx
dx
dx
d d
d
d
d2
d
d
=
u + x · u + x u + x2 u = 2 u + u + x u + x u + x2 u
dx dx
dx
dx
dx
dx
dx
2
d
d
= 2 u + 2 · x u + x2 u + u
dx dx
d
d2
d
d2
2
+
2
·
x
+
x
u + 2 · x · u + x2 u
·
u
=
2
2
dx
dx
dx
dx
2
d
d
= 2 u + 2u + 2x · u + x2 u
dx
dx
2. Zu Kapitel 2.4
In einer Linearen Paulfalle sollen 44 Ca+ -Ionen gespeichert werden. Die Frequenz f
des Wechselfeldes sei auf 1 MHz festgelegt, der minimale Abstand ρ0 der Elektroden
in der Falle beträgt 6 mm.
a.) Geben Sie sinnvolle Werte für die Wechselspannung Ũ und die Gleichspannung
U an, um die Ca-Ionen in der Falle zu halten. Berücksichtigen sie die stabilen
Bereiche der Mathieu’schen Differentialgleichung in der Abbildung.
Übungen/Experimentalphysik IV
– Page 3 of 28 –
Name:
b.) Es existieren Calcium-Isotope von 40 Ca bis 48 Ca. Wie gehen Sie vor, um 44 Ca
isotopenrein in der Falle zu halten? Welche Spannungen sind dafür etwa nötig?
Lösung
Benötigt werden die Gleichungen
au =
q 2Ũ
q 4U
· 2 2 und qu =
·
.
m ρ0 ω
m ρ20 ω 2
a.) Die Atome lassen sich mit kleinen Spannungen (10 V) in der linearen Falle halten,
wenn nicht gar im AC-only-Modus. Man kann daher von
au =
q 4U
1.602 · 10−19 C
4 · 10V
· 2 2 =
·
= 0.062
−27
m ρ0 ω
44 · 1.661 · 10 kg (0.006m)2 (2π · 106 s−1 )2
ausgehen, wodurch für den Wert qu der Bereich von 0.4 bis 0.85 übrig bleibt (0 bis
0.9 für au = 0, was einer Spannung Ũ von
qu =
q 2Ũ
·
⇒
m ρ20 ω 2
2
qu · ρ20 ω 2 m
0.4 · (0.006m)2 (2π · 106 s−1 ) · 44 · 1.661 · 10−27 kg
Ũ =
=
= 129.6V
2q
2 · 1.602 · 10−19 C
bis Ũ = 275.4V entspricht(0V bis 291V für au = 0).
b.) Der Parameter au lässt sich über die Gleichspannung U dahingehend regulieren,
dass für qu nur ein kleiner stabiler Bereich übrig bleibt und kleinere und größere als
die gewünschten Massen die Falle verlassen. Dazu ist es zweckmäßig, qu = 0.706 ⇒
Ũ = 229V einzustellen und dann au = 0.23 ⇒ U = 37.3V zu wählen. Eine kleine
Variation von Ũ kann den Auswurf der unerwünschten Isotope begünstigen.
Übungen/Experimentalphysik IV
– Page 4 of 28 –
Name:
3. Zu Kapitel 3.1
Bei einem speziellen photoelektrischen Experiment werden die aus dem Metall ausgelösten Elektronen durch eine Gegenspannung von 2, 10 V gestoppt, wenn sie durch
ultraviolettes Licht der Wellenlänge 290 nm ausgelöst wurden. Wie groß wäre die
Stoppspannung (Grenzspannung) wenn anstatt des ultravioletten Lichts blaues Licht
der Wellenlänge 440 nm unter sonst gleichen Vorgaben benutzt würde?
Lösung
Für die Bindungsenergie EB der herausgeschlagenen Elektronen gilt:
EB = hν − Ekin(e)
Da der Wert der Bindungsenergie nur von dem Metall selbst und nicht von der
einfallenden Energie abhängt, ändert er sich nicht. Damit gilt für die Gegenspannung
UG bei einer Bestrahlung des Metalls mit Röntgenstrahlung der Wellenlänge 440 nm:
hν(290 nm − q · UG(290 nm) = hν(440 nm) − q · UG(440 nm)
h
ν(440 nm) − ν(220 nm) + UG(290 nm)
UG(440 nm) =
q
hc
1
1
UG(440 nm) =
−
+ UG(290 nm)
q λ440nm λ290nm
UG(440 nm)
6, 626 · 10−34 Js · 3 · 108 m/s
=
1, 6 · 10−19 C
1
1
−
−9
440 · 10 m 290 · 10−9 m
+ 2, 1V
UG(440 nm) = 0, 64V
q = e: Elementarladung e = 1, 6 · 10−19 C
c: Lichtgeschwindigkeit c = λν ⇒ ν =
c
λ
4. Zu Kapitel 3.2
a.) Zur Bestimmung der Elementarladung nach Millikan muss zunächst der Radius der Öltröpfchen ermittelt werden. Dazu wird zunächst die Fallzeit der Tröpfchen
über eine Strecke von s = 1 mm bei ausgeschaltetem elektrischen Feld bestimmt. Sie
beträgt t = 93, 4 s. Wie groß ist damit der Tröpfchenradius? (Der Koeffizient der
inneren Luftreibung beträgt η = 0, 000183 Poise , die Dichte des Öls % = 0, 9 g/cm3 )
b.) Danach wird die an den im Abstand d = 1, 5 cm befindlichen Kondensatorplatten angelegte Spannung solange erhöht, bis die Tröpfchen in der Schwebe gehalten
werden. Bei welcher Spannung sollte dies der Fall sein, wenn angenommen wird, dass
das Tröpfchen mit einer Elementarladung aufgeladen worden ist?
c.) Bei einem zweiten Ionisierungsprozess durch Röntgenstrahlung wird in dem obigen Experiment eine Geschwindigkeitsänderung eines Öltröpfchens von ∆v = 2, 65 · 10−4 m/s
bei einer Kondensatorspannung von 300 V beobachtet. Wieviele Elementarladungen
wurden auf dem Öltröpfchen zusätzlich erzeugt?
Übungen/Experimentalphysik IV
– Page 5 of 28 –
Name:
Lösung
a.) Auf das Tröpfchen wirken insgesammt drei Kräfte: die Gravitaionskraft, die Auftriebskraft und die Reibungskraft. Die erste der drei Kräfte wirkt der beiden anderen
entgegen. Da es sich um eine nicht beschleunigte Bewegung handelt, herscht ein
Kräftegleichgewicht. So gilt:
FG = FA + FR
%Öl V g = %L V g + 6πrvη
4
6πrvη = (%Öl − %L ) πr3 g
3
9vη = (%Öl − %L )2r2 g
s
9 η=
t
s
9sη
r=
2 (%Öl − %Luft ) t · g
(%Öl − %L )2r2 g
r = 3, 16 · 10−7 m
m: Masse der Öltröpfchen; m = (%Öl − %Luft ) 4π
r3
3
%Öl : Dichte des Öls; %Öl = 0, 9 g/cm3 = 900 kg/m3
%Luft : Dichte von Luft; %Luft = 1, 3 kg/m3 ; nach Stöcker
η: Reibungskoeffizient 0, 000183 P= 0, 0000183 Pa · s
r: Radius der Öltröpfchen
g: Erdbeschleunigung; g = 9, 81 m/s
s: Fallstrecke; s = 1 mm
t: Fallzeit; t = 93, 4 s
b.) Bei einem schwebenden Öltröpfchen gilt das Kräftegleichgewicht:
FU = FG − FA
q · E = %Öl V · g − %Luft V · g
4π
U
(% − %Luft ) r3 g
e =
d
3 Öl
4π (%Öl − %Luft ) r3 dg
U=
3e
U = 109, 5 V
FR : Reibungskraft hier Null, weil v = 0 ist
q: Ladung des Öltröpfchens; hier q = e
E: elektrische Feldsträke; für einen Kondensator gilt: E =
U : Spannung zwischen den Kondensatorplatten
d: Abstand der Kondensatorplatten; d = 1, 5 cm = 0, 015 m
U
d
Übungen/Experimentalphysik IV
– Page 6 of 28 –
Name:
Für die obige Spannung U gilt:
[U ] =
:N
:J
m3 · N
m
·J
m
· kg
·
s2 · m3 · C
C ·V
7
J
C
·V
=
C
[U ] = V
c.) Man betrachtet die Kräfte vor und nach der Bestrahlung mit Röntgenbestrahlung:
FUv = FGv − FAv − FRv : vor der Bestrahlung und
FUn = FGn − FAn − FRn : nach der Bestrahlung
da die Gewichtskraft und die Auftriebskraft sich nicht ändern, ergibt sich für die
Differenz der beiden Gleichungen:
FUv − FUn = FRn − FRv bzw.∆FU = ∆FR
Für die Ladungsänderung ∆Q = ∆n · e unter Röntgenbestrahlung gilt:
E∆Q = 6πηr∆v
6dπηr
∆n =
∆v
eU
6 · 0, 015m · π · 0, 0000183Pa · s · 3, 16 · 10−7 m · 2, 65 · 10−4 m/s
300V · 1, 6 · 10−19 As
∆n = 9
∆n =
∆v: Geschwindigkeitsänderung des Tröpfchens nach Beschuß; ∆v = 2, 65 · 10−4 m/s
U : Spannung zwischen den Kondensatorplatten; U = 300 V
e: Elementarladung; e = 1, 6 · 10−19 C
5. Zu Kapitel 3.3
Ein Strahl positiv geladener Ionen mit der Geschwindigkeit v = 106 m/s passiert
ohne Ablenkung ein Wienfilter in dem eine elektrische Feldstärke vom Betrag E =
2 · 104 V/m anliegt.
a.) Welchen Wert besitzt die magnetische Induktion B im Wien-Filter?
b.) Welche Richtung muss die magnetische Induktion besitzen, wenn das E-Feld in
Richtung +y“und der Ionenstrahl in Richtung +x“eines rechtshändigen kartesi”
”
schen Koordinatensystems geht? Skizzieren Sie dazu ein entsprechendes Wien-Filter,
inklusive der Angabe der Richtungen von v, E und B, sowie der Angabe der Magnetpole und des Ladungsvorzeichens der Kondensatorplatten für das elektrische Feld.
Was würde sich ändern, wenn es sich anstatt der positiven Ionen um negative Ionen
handeln würde?
c.) Die Beschleunigung der Ionen erfolgt durch eine Spannung von 10364 V. Welche
Ionensorten (Angabe des Ladungszustands in Elementarladungen e = 1, 602 · 10−19 As
Übungen/Experimentalphysik IV
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Name:
und Masse in atomaren Masseeinheiten u = 1, 6605 · 10−27 kg) können das Wienfilter
unter den angegebenen Bedingungen ohne Ablenkung durchlaufen?
Lösung
a.) Die Bewegung von Teilchen in elektromagnetsichen Ferldern wird durch die Lorentzkraft F~L beschrieben. Erfolgt keine Ablenkung, d.h. keine Krafteinwirkung, dann
gilt:
~
~
~
FG = q · E + ~v × B = ~0
FG = e · (E + vB sin ϕ) = 0
evB
= −eE
E
|B| =
v
|B| = 0, 02 T
q: Ladung der Teilchen; positive Ionen: q = e
~
~
E: elektrisches Feld; E
= E = 2 · 104 V/m
~v : Geschwindigtkeit der Teilchen; |~v | = v = 106 m/s
~
~
B: magnetische Induktion; B
= B; Einheit: Tesla: [B] = T = Vs/m2 = N/Am =
kg/s2 A
~ ϕ = 90◦ ⇒ sin ϕ = 1
ϕ: Winkel zwischen ~v und B;
b.)
Für Ionen und Elektronen ist die Konfiguration des Wienfilters identisch!
c.) Für die Geschwindigkeit eines mittels eines elektrischen Feldes beschleunigten
Teilchens gilt:
Ekin = EE
1 2
uv = eU
2
r
2eU
v=
m
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Name:
Ekin : kinetische Energie des Teilchens
EE : Energie des elektrischen Feldes
u: Masse des beschleunigten Teilchens
v: Geschwindigkeit des beschleunigten Teilchens
e: Elementarladung; e = 1, 602 · 10−19 As
U : Beschleunigungsspannung; U = 10364 V
Damit gilt für die Bewegung im Wienfilter:
FG = eE + evB = 0
r
2eU
·B
E=−
u
2eU
E2 =
· B2
u
e
E2
=
u
2U B 2
2
(2 · 104 V/m)
e
=
u
2 · 10364V · (0, 02T)2
e
= 4, 82439 · 107 As/kg
u
Dieses Verhältnis entspricht 1 Elementarladung und 2 Masseneinheiten:
e
1, 602 · 10−19 As
=
= 4, 82385 · 107 As/kg
−27
2·u
2 · 1, 6605 · 10 kg
Das gesuchte Ion ist das positiv geladene Deuterium.
6. Zu Abschnitt 3.4
Zeigen Sie die Bedingung zur Ortsfokussierung 1. Ordnung in einem einstufigen Flugzeitmassenspektrometer und damit die Aussage aus dem Vorlesungsskript:
dtf
Ortsfokussierung:
tF = C +
· (k − k0 ) + O (2) + . . .
dk k=k0
dtf
!
Fokussierung in 1. Ordnung:
|k=k0 = 0 ⇔ xsf = 2xA
dk
Lösung
Das Problem bei einem Massenspektrometer ist, dass nur Teilchen die am selben Ort
entstehen (z.B. weil sie dort ionisiert werden) auch zur selben Zeit am Detektor ankommen. Daher ist es erforderlich, Streckenunterschiede durch geschickte Wahl der
Länge der Beschleunigungs- und Driftstrecke zu kompensieren. In diesem Beispiel
funktioniert dies nur in 0. Ordnung; d.h. in direkter Umgebung des Startpunkts. Für
die erste Ordnung ist eine weitere Beschleunigungsstrecke nötig (Wiley-McLarenMassenspektrometer ).
Übungen/Experimentalphysik IV
– Page 9 of 28 –
Name:
Hierfür muss zunächst die Flugzeit der Teilchen berechnet werden. Die Bewegung
kann in zwei Zeiträume aufgeteilt werden: die gleichförmige Beschleunigung im elektrischen Feld und die gleichmäßige Bewegung in der Driftstrecke. Für die gleichförmig
beschleunigte Bewegung gilt
r
1
q
·
E
2mxacc
1
t21 ⇒ t1 =
xacc = · a · t21 =
.
2
2
m
q·E
Die Geschwindigkeit beim verlassen des Bereichs ist dementsprechend
r
r
q·E
2mxacc
q·E
q·E
· t1 =
·
=
· 2xacc .
v1 = a · t1 =
m
m
q·E
m
Für die Driftstreke berechnet sich dann die Flugzeit zu
r
xdrft
m
t2 =
= xdrft ·
.
v1
2qExacc
Die gesamte Flugzeit ist die Summe aus beiden Zeiten:
tges = t1 + t2
r
r
√
2mxacc
m
a
+ xdrft ·
, mit a = √
=
q·E
2qExacc
a
r
2xacc
xdrft
m
· √
+√
=
2qE
xacc
xacc
Damit die Flugzeit unabhängig vom Startort wird, muss gelten:
r
r
m
·
2qE
m
·
2qE
dtges !
=0
dxacc
!
√
1
1 xdrft
− √
xacc 2 xacc 3
2xacc
xdrft
√
3 − √
2 xacc
2 xacc 3
!
=0
!
!
=0
!
⇒ 2xacc − xdrft = 0
⇒ 2xacc = xdrft