Wahrscheinlichkeit œ Klasse 8

Wahrscheinlichkeit – Klasse 8
Wahrscheinlichkeit – Klasse 8
Ereignisse
Seite 18
Seite 19
1
a) Ω = {Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 10; Herz Unter; Herz Ober; Herz König;
Herz Ass; Eichel 7; Eichel 8; Eichel 9; Eichel 10; Eichel Unter; Eichel Ober;
Eichel König; Eichel Ass; Schell 7; Schell 8; Schell 9; Schell 10; Schell Unter;
Schell Ober; Schell König; Schell Ass; Gras 7; Gras 8; Gras 9; Gras 10; Gras
Unter; Gras Ober; Gras König; Gras Ass}
b) A = {Herz König; Eichel König; Schell König; Gras König}
B = {Herz Ass; Eichel Ass; Schell Ass; Gras Ass}
C = {Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 10; Herz Unter; Herz Ober; Herz König;
Herz Ass}
D = {Herz 7; Herz 9; Eichel 7; Eichel 9; Schell 7; Schell 9; Gras 7; Gras 9}
E = {Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 10; Herz Unter; Herz Ober; Herz König;
Herz Ass}
c) A ⊂ Ω; B ⊂ Ω; C ⊂ Ω; D ⊂ Ω; E ⊂ Ω; C = E
d) (1) Z.B. Alle Trümpfe beim Herz Solo:
{ Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 10; Herz Unter; Herz Ober; Herz König; Herz
Ass; Eichel Unter; Schell Unter; Gras Unter; Eichel Ober; Schell Ober; Gras
Ober}
(2) Z.B. Schell-Wenz:
{ Schell 7; Schell 8; Schell 9; Schell 10; Schell Ober; Schell König; Schell Ass;
Herz Unter; Eichel Unter; Schell Unter; Gras Unter}
2
a) Ω = {A; B; 0; AB}
b) Ω = {Januar; Februar; März; April; Mai; Juni; Juli; August; September;
Oktober; November; Dezember}
c) Ω = {hat Fahrschein; hat keinen Fahrschein}
3
a) Ea = {(1|1); (1|3); (2|2);(2|4); (3|1); (3|3); (4|2); (4|4)}
b) Eb = {(2|4); (3|3); (3|4); (4|2); (4|3); (4|4)}
c) Ec = {(1|1); (1|2); (1|3); (1|4); (2|1); (2|2);(2|3); (3|1); (3|2); (4|1)}
d) Ed = {(1|4); (2|2); (2|4); (3|4); (4|1); (4|2); (4|3); (4|4)}
4
a) Ω = {(Papier|Papier); (Papier|Schere); (Papier|Stein); (Schere|Papier); (Schere|Schere); (Schere|Stein); (Stein|Papier); (Stein|Schere); (Stein|Stein)}
b) Papier gewinnt jetzt auch gegen Brunnen, denn den Brunnen kann man mit
Papier abdecken. Schere und Stein verlieren gegen Brunnen, denn sie können hineinfallen.
Ω = {(Papier|Papier); (Papier|Schere); (Papier|Stein); (Papier|Brunnen);
(Schere|Papier); (Schere|Schere); (Schere|Stein); (Schere|Brunnen);
(Stein|Papier); (Stein|Schere); (Stein|Stein); (Stein|Brunnen); (Brunnen|Papier); (Brunnen |Schere); (Brunnen |Stein); (Brunnen |Brunnen)}
5
(1) Zufallsexperiment; Ω = {liegt auf der Seite; liegt auf dem Kopf; steckt auf der
Spitze}
(2) Zufallsexperiment; Ω = {Hauptgewinn; Gewinn; Niete}
(3) Zufallsexperiment; Ω = {Kopf; Zahl}
(4) kein Zufallsexperiment (hoffentlich!)
7
Wahrscheinlichkeit – Klasse 8
8
(5) Zufallsexperiment; Ω = {(1|1); (1|2); (1|3); (1|4); (1|5); (1|6); (2|2); (2|3); (2|4);
(2|5); (2|6); (3|3); (3|4); (3|5); (3|6); (4|4); (4|5); (4|6); (5|5); (5|6); (6|6)}
Hinweis: Bei gleichzeitigem Ziehen braucht man die Reihenfolge der Zahlen
nicht beachten, (1|2) und (2|1) sind nicht unterscheidbar. Daher darf auch nur
eines dieser Ergebnisse in der Menge auftauchen.
(6) Zufallsexperiment; Ω = { } (normalerweise sind Kiner in der 8. Klasse noch
nicht 19 Jahre alt.)
6
Siehe auch Hinweis zu Aufgabe 5(5). Im grünen Kasten rechts müssen die Ergebnisse (2|1) und (3|1) daher gestrichen werden.
E1 = {(1|1); (1|2); (1|3)}
E2 = {(1|5); (2|4); (3|3)}
E3 = {(1|2); (1|5); (2|4); (3|3)}
E4 = {(1|2); (1|3); (1|4); (1|5); (1|6); (2|2); (2|3); (2|4); (2|5); (2|6); (3|3); (3|4);
(3|5); (3|6); (4|4); (4|5); (4|6); (5|6)}
E5 = { }
E6 = { }
7
Beispiel für ein sicheres Ereignis: Die Summe der Zahlen beträgt mindestens 3.
Beispiel für ein unmögliches Ereignis: Die Summe der Zahlen beträgt 2.
8
a) Das Produkt ist gerade. E1 = {(1|2); (1|4); (1|6); (1|8); (2|3); (2|4); (2|5); (2|6);
(2|7); (2|8); (2|9); (3|4); (3|6); (3|8); (4|5); (4|6); (4|7); (4|8); (4|9); (5|6); (5|8);
(6|7); (6|8); (6|9); (7|8); (8|9)}
Das Produkt ist kleiner als 5. E2 = {(1|2); (1|3); (1|4)}
Das Prdukt beträgt mindestens 20. E3 = {(3|7); (3|8); (3|9); (4|5); (4|6); (4|7);
(4|8); (4|9); (5|6); (5|7); (5|8); (5|9); (6|7); (6|8); (6|9); (7|8); (7|9); (8|9)}
Das Produkt beträgt 100. E4 = { }
b) Das Produkt ist durch 10 teilbar. E = {(2|5); (4|5); (5|6); (5|8)}
E = Ω \ E = {(1|2); (1|3); (1|4); (1|5); (1|6); (1|7); (1|8); (1|9); (2|2); (2|3); (2|4);
(2|6); (2|7); (2|8); (2|9); (3|3); (3|4); (3|5); (3|6); (3|7); (3|8); (3|9); (4|6); (4|7);
(4|8); (4|9); (5|7); (5|9); (6|7); (6|8); (6|9); (7|8); (7|9); (8|9)}
c) Unmögliches Ereignis: Das Produkt ist 1.
Sicheres Ereignis: Das Produkt ist mindestens 2.
Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Seite 20
1
a) Variante (1):
Etwa ein Sechstel der Leute wird eine 3 würfeln, das sind 50 Leute, und von
diesen Besuchern wird etwa die Hälfte „Zahl“ werfen. Dies ergibt dann 25 Besucher.
Andere Überlegung: Die Hälfte von einem Sechstel ist ein Zwölftel. Daher wird
etwa ein Zwölftel der Besucher, das sind 25 Besucher gleich in Richtung des
roten Pfeils weitergehen dürfen.
Variante (2):
Die Wahrscheinlichkeit für eine 3 beträgt jetzt 31 , damit ergibt sich eine Gesamtwahrscheinlichkeit von
1
6
der Besucher, das sind 50 Leute.
Wahrscheinlichkeit – Klasse 8
9
Variante (3):
Hier kann keine Schätzung abgegeben werden, weil man nicht berechnen
kann, wie wahrscheinlich bei diesem Zufallsgerät das Werfen einer 3 ist (kein
Laplace-Experiment).
b) Es gibt also insgesamt
12 mögliche Ergebnisse.
Nur eines gehört zum
richtigen Ereignis.
3
1
2
4
5
6
K
2
Seite 21
K
Z
K
Z
K
Z
K
Z
K
Z
a) P(blau;W) =
b)
3
1
6
P(grün;Z) = 26 = 31
P(grün;W) = 26 = 31
P(blau;Z) = 61
P(blau;W) = 61
Z
Von 120 Versuchen erwartet man 40 mal (grün;Z).
Von 120 Versuchen erwartet man 40 mal (grün;W).
Von 120 Versuchen erwartet man 20 mal (blau;Z).
Von 120 Versuchen erwartet man 20 mal (blau;W).
a)
P
St
St
P
(1)
S
S
St
P
S
X
X
(2)
X
(3)
P
St
S
X
X
X
X
X
X
3
9
= 31 = 33,3 %
3
9
= 31 = 33,3 %
3
9
= 31 = 33,3 %
b)
P
P
S
X
(1)
X
B
P
St
X
X
(2)
(3)
St
St
S
S
B
X
X
St
S
B
P
X
X
X
P
B
X
X
X
St
S
X
X
B
X
X
(zugehörige Prozentsätze: (1) und (2) 37,5%; (3) 25%)
c) Die Spielvariante mit Brunnen sollte man bevorzugen, denn hier ist die Gewinnwahrscheinlichkeit höher ( 38 > 31 ).
6
16
=
3
8
6
16
=
3
8
4
16
=
1
4
Wahrscheinlichkeit – Klasse 8
10
4
Beim Ziehen mit Zurücklegen ist die Anzahl der Kugeln beim Zug immer gleich.
Der Nenner im Term für die Wahrscheinlichkeit gibt die Anzahl der Äste im Baum
an. Bei zweimaligem Ziehen mit gleicher Anzahl Kugeln ist dies das Quadrat der
Kugelzahl. Im Zähler findet man die Anzahl der Äste, die dem Ereignis entspricht.
a) 81 = 9²
Es sind insgesamt 9 Kugeln
16 = 4²
Im ersten Zug 4 passende, im zweiten Zug 4 passende Kugeln.
Es sind 4 rote und 5 blaue Kugeln.
b) 49 = 7²
Es sind insgesamt 7 Kugeln.
6=1·6
Es sind entweder 1 rote und 6 blaue Kugeln oder umgekehrt.
Die Zerlegung 6 = 2 · 3 scheidet aus, da 2 + 3 ≠ 7 ist.
c) 196 = 14²
Es sind insgesamt 14 Kugeln.
64 = 8²
Im ersten Zug 8 passende, im zweiten Zug 8 passende
Kugeln.
Es sind 8 rote und 6 blaue Kugeln.
d) 49 = 7²
Es sind insgesamt 7 Kugeln.
9 = 3²
Im ersten Zug 3 passende, im zweiten Zug 3 passende Kugeln.
Es sind 3 blaue und 4 rote Kugeln.
5
a) Es gibt 8 Möglichkeiten, mit Z zu beginnen und 8 mit W als Start, also
insgesamt 16 Möglichkeiten.
ZZZZ
5
ZZWW
3
WWWW
1
WWZZ 3
ZZZW
4
ZWZW
3
WWWZ
2
WZWZ 3
ZZWZ
4
ZWWZ
3
WWZW
2
WZZW 3
ZWZZ 4 ZWWW 2 WZWW
2
WZZZ 4
Es wird viele Dreier geben, etwas weniger Zweier und Vierer, aber ganz wenig
Einser und Fünfer und keinen Sechser.
1
1
b) P(1) = 16
; P(2) = 41 ; P(3) = 38 ; P(4) = 41 ; P(5) = 16
; P(6) = 0
6
a) P(gleicher Monat) =
b) P(August;August) =
12
144
1
144
1
= 12
c) P(mindestens einer im März) =
P(März;beliebig) +P(beliebig ohne März;März) =
12
144
11 = 23
+ 144
144
d) P(nicht November; nicht November) =
1 – [P(Nov; nicht Nov) + P(nicht Nov; Nov) + P(Nov, Nov)] =
11
11
1
121
1 − 144
+ 144
+ 144
= 144
(Verwende das Gegenereignis.)
[
]
36
144
7 =1
49 7
e) P(1. Halbjahr; 1. Halbjahr) =
f) P(gleicher Wochentag) =
= 41
Wahrscheinlichkeit – Klasse 8
11
Wahrscheinlichkeiten vorhersagen – Strategien entwickeln
Zu Seite 22
1
a)-b) Die Differenz 1 scheint sehr günstig zu sein, günstiger als z.B. die Differenz 5.
2
|Ω| = 6² = 36 (Mächtigkeit = Anzahl der Elemente der Menge)
Die Reihenfolge muss mit berücksichtigt werden, da z.B. die Differenz 1 aus (1|2)
doppelt so oft vorkommen kann wie die Differenz 0 aus (1|1).
E1 = {(1|2); (2|1); (2|3); (3|2); (3|4); (4|3); (4|5); (5|4); (5|6); (6|5)} P(E1) = 10
= 5
36 18
E2 = {(1|3); (3|1); (2|4); (4|2); (3|5); (5|3); (4|6); (6|4)}
8
P(E2) = 36
= 92
E3 = {(1|4); (4|1); (2|5); (5|2); (3|6); (6|3)}
6
P(E3) = 36
= 61
E4 = {(1|5); (5|1); (2|6); (6|2)}
4 =1
P(E4) = 36
9
E5 = {(1|6); (6|1)}
2 = 1
P(E5) = 36
18
Vermischte Übungen
Seite 23
1
a) Sechs von zehn Fahrrädern haben keine Mängel.
b) Bis auf maximal zwei Autofahrer haben alle einen Führerschein.
c) Eine Schulaufgabe ist kein Zufallsexperiment.
2
a) Es gibt 8 · 8 = 64 Felder. Also ist die Gewinnchance
.
b) Anzahl der Randfelder: 2 · 8 + 2 · 6 = 28
Gewinnchance
c) Anzahl Diagonalfelder: 8 + 7 = 15
Gewinnchance
28
64
15
64
7
= 16
Gewinnchance 1− 15
= 49
64 64
Gegenereignis „Treffer nicht auf Diagonale“
3
1
64
a) Der Hauptgewinn könnte sein, dass eine vorher bestimmte Zahl (z.B. die „5“)
zum ersten Mal gezogen wird. Gewinne könnten z.B. alle Zahlen aus dem
10er-Einmaleins sein, Trostpreise vielleicht die Zahlen aus dem 2erEinmaleins (ohne die 10, 20, 30, 40 und 50), der Rest sind Nieten.
1 , Gewinn 5 = 1 , Trostpreis 20 , Nieten 1− 1 − 5 − 20 = 24
b) Hauptgewinn: 50
50
50 50 50 50
50 10
c) Wenn jeder einmal ziehen darf, braucht man
20
50
1
10
⋅ 600 = 60 Gewinne und
⋅ 600 = 240 Trostpreise. Wenn öfter gezogen werden darf, dann entspre-
chend mehr.
d) Solange der Hauptgewinn nicht gezogen wurde, erhöht sich die Chance ihn
beim nächsten Mal zu ziehen nach jedem Zug.
1 , dann 1 , 1 usw.
Vor dem ersten Zug ist sie 50
49
48
4
a) Laplace-Experiment: Die Chance auf eine ganz bestimmte Karte ist
1
32
.
b) Kein Laplace-Experiment. Man kann nicht abschätzen, wie oft der Nagel auf
den Kopf fällt.
c) Kein Laplace-Experiment. Die Flächen des Steins sind unterschiedlich groß.
d) Kein Laplace-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7 ist
höher als z.B. die von der Augensumme 12.
Wahrscheinlichkeit – Klasse 8
12
e) Kein Laplace-Experiment. Man kann icht abschätzen, wie oft der Kronkorken
auf den Kopf fällt.
f) Kein Laplace-Experiment. Die verschiedenen Ereignisse sind nicht gleich
wahrscheinlich.
5
a)
1
1
2
2
3
4
1
3
2
3
4
1
2
4
4
3
1
2
3
4
b) Ω = {(1|1); (1|2); (1|3); (1|4); (2|1); (2|2); (2|3); (2|4); (3|1); (3|2); (3|3); (3|4);
(4|1); (4|2); (4|3); (4|4)}
3
c) Z.B. „Summe der Zahlen ist 4“, die Wahlscheinlichkeit ist 16
.
Seite 24
6
P(2) =
P(9) =
1
36
4
36
2 ,
36
3
= 36
3
36
, P(3) =
P(4) =
, P(10)
, P(11) =
, P(5) =
2
36
4
36
, P(6) =
, P(12) =
5
36
, P(7) =
6
36
, P(8) =
5
36
,
1
36
Es sollte egal sein, wo man steht, da z.B. für 7 der Weg sechsmal so lang wie
für 2 oder 12 ist, aber die Summe 7 auch sechsmal so häufig vorkommen sollte.
7
a) Man sollte den gelben Würfel wählen. Der erste Spieler gewinnt in zwei von
sechs Fällen, die restlichen vier von sechs Spiele gewinnt der zweite Spieler.
b) Jeder Würfel hat sechs Zahlen. Wenn man ein Baumdiagramm macht, erhält
man 36 verschiedene Ergebnisse. In 20 von 36 Fällen gewinnt man bei blau
und in 16 von 36 Fällen bei grün. Daher ist der blaue Würfel der günstigere.
Andere Überlegung: Man wählt den blauen Würfel, denn vier von sechs Felder
haben die höhere Zahl.
c) Wenn man den grünen Würfel wählt, sollte man 32 aller Spiele gewinnen.
Man sollte also nie als Erster den Würfel wählen, denn es gibt zu jedem Würfel einen besseren.
d) Da der gelbe Würfel immer eine 3 würfelt, genügt es, sich einmal die Gewinnsituation dafür anzusehen:
Der blaue Würfel kann zweimal eine 5 und viermal eine 2 würfeln. Der grüne
Würfel würfelt zweimal eine 1 und viermal eine 4. Daraus ergibt sich das reduzierte Baumdiagramm:
gelber Würfel
3
zweimal
viermal
5
zweimal
blauer Würfel
2
viermal
1
Blau gewinnt
2 · 2 + 2 · 4 = 4 + 8 = 12
4
zweimal
1
Gelb gewinnt
2·4=8
viermal
4
Grün gewinnt
4 · 4 = 16
grüner Würfel
Wahrscheinlichkeit – Klasse 8
13
Mit dem blauen Würfel gewinnt man 12 von 36 Spielen, mit dem gelben 8 von
36 und mit dem grünen 16 von 36 Spielen. Der grüne Würfel gewinnt also am
häufigsten.
= 1 , die drei Efrone) Der normale Würfel hat immer eine Gewinnchance von 18
36 2
Würfel jweils
12
36
= 31 .
f) -8
Ereignis Wette
auf …
Ergebnisse
(Beispiele)
Plein
eine Zahl
{4}
Cheval
Wahrscheinlichkeit
(Chance)
1
37
= 2,7 %
zwei benachbar- {(1 oder 4);
te Zahlen
(4 oder 5);…}
2
37
= 5,4 %
Carré
vier benachbarte
{(4, 5, 7 oder 8);…}
Zahlen
4
37
= 10,8 %
Transversale
Plein
Dreierreihe
3
37
= 8,1 %
Transversale
simple
zwei Dreierreihen {(1, 2, 3, 4, 5 oder 6);…}
6
37
= 16,2 %
Kolonne
Zwölferspalte
12
37
= 32,4 %
Dutzend
oberes, mittleres
{ (1 bis 12);(13 bis 24);
oder unteres Drit(25 bis 36)}
tel der Zahlen
12
37
= 32,4 %
Rouge
alle roten Zahlen {1, 3, 5, 9, 12, 14, …}
18
37
= 46,8 %
Noir
alle schwarzen
Zahlen
{2, 4, 6, 8, 10, 11, …}
18
37
= 46,8 %
Pair
alle geraden
Zahlen
{2, 4, 6, 8, 10, …}
18
37
= 46,8 %
Impair
alle ungeraden
Zahlen
{1, 3, 5, 7, 9, 11,…}
18
37
= 46,8 %
Manque
obere Hälfte der
{1 bis 18}
Zahlen
18
37
= 46,8 %
Passe
untere Hälfte der
{19 bis 36}
Zahlen
18
37
= 46,8 %
{(1, 2 oder 3);…}
{(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,
22, 25, 28, 31 oder 34);…}
Das Lotto der kleinen Leute
Seite 25
1
a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt
1
10
, denn es gibt 10 verschiedene Zahlenkom-
binationen. Denn es kommt nicht darauf an, welche Zahl zuerst gezogen wird,
sondern nur, welche überhaupt gezogen wird. (1|2) und (2|1) unterscheiden
sich also nicht.
b) Nein, die Wahrscheinlichkeit bleibt gleich, da alle Zahlen gleich häufig gezogen werden.
Wahrscheinlichkeit – Klasse 8
c) Nachdem die erste Zahl gezogen ist, gibt es noch 4 Möglichkeiten, die zweite
Zahl zu ziehen, das ergibt 5 · 4 Möglichkeiten. Da es egal ist, welche Zahl
man zuerst zieht, muss man dieses Ergebnis noch halbieren.
d) 62⋅5 = 15 Möglichkeiten
e) Wahrscheinlichkeit =
1
Anzahl Möglichkeiten
14