Vorlesung Quantenmechanik I

Vorlesung Quantenmechanik I
Sommersemester 2005; 2008
Prof. Dr. Frank Spahn
17. November 2014
2
Inhaltsverzeichnis
1 Gegenstand der Vorlesung
3
1.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2 Wahrscheinlichkeits (WK) - Rechnung . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1 Grundbegriffe – Definitionen . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.2 Diskrete Zufallsvariable:
Erwartungswerte, Schwankungen & Co. . . . . . . . . 10
1.2.3 Stetige Zufallsvariable:
Erwartungswerte, Schwankungen & Co. . . . . . . . . 11
1.2.4 Beispiel: Binomialverteilung ⇒ Gauß . . . . . . . . . . 15
1.3 Das Teilchenbild – Hamilton-Jacobi Theorie . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Das Hamilton Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Die Kanonische Transformation . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Hamilton-Jacobi-Theorie/Wirkungswellen . . . . . . . 23
1.4 Das Wellenbild – Der d’Alambert Operator . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Das Eikonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Wege zur Wellenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.1 Die Krise“ der Physik: Licht — Welle vs Teilchen? . 32
”
1.6 Die Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6.1 Eine plausible Herleitung“ . . . . . . . . . . . . . . . 40
”
1.6.2 Pfadintegrale und Propagator . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6.3 Skizze der Greenschen Lösung . . . . . . . . . . . . . . 51
1.6.4 Schrödinger Gleichung vs Hamilton-Jacobi Gleichung . 52
1.7 Wellenfunktion, Hilberträume & Operatoren . . . . . . . . . . 53
1.7.1 Wellenpakete & Unschärfe . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.7.2 Hilbert Raum, Operatoren & Erwartungswerte . . . . 61
1.7.3 Zeitunabhängige SGL/Eigenwertprobleme/Kommutatoren 64
1.7.4 Basisfreie Darstellung i.d. Quantenmechanik . . . . . . 71
1.7.5 Dynamischer Operator/Propagator . . . . . . . . . . . 77
1.7.6 Erwartungswerte & Schwankungen . . . . . . . . . . . 78
3
4
INHALTSVERZEICHNIS
1.7.7
1.7.8
1.7.9
Bemerkungen zum Meßprozeß . . . . . . . . . . . . . .
Zeitabhängigkeit von Mittelwerten & Operatoren; Ehrenfest Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeit & Kontinuitätsgleichung . . . . . .
80
83
83
2 Stationäre Zustände
85
2.1 Eindimensionale Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.1.1 Potenzialkasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.1.2 Delta-Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.1.3 Streuung an Potenzialbarriere/-topf — Der Tunneleffekt 94
2.1.4 Periodische Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.1.5 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.1.6 Näherungsverfahren – Störungsrechnung # 1 . . . . . 119
2.1.7 Störungsrechnung – nichtentartete Niveaus . . . . . . 121
3 Bahndrehimpuls und Zentralpotenzial
3.1 Sphärische Symmetrie – SGL . . . . . . . . .
3.1.1 Zerlegung des Hamiltonians . . . . . .
3.2 Der Drehimpulsoperator . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Erzeugender der Drehungen . . . . . .
3.2.2 Eigenwerte des Drehimpulses . . . . .
3.2.3 Separation der Schrödinger-Gleichung
3.3 Coulomb-Potenzial – Das H Atom . . . . . .
3.4 H - Atom/Ungebundende Zustände . . . . . .
3.5 Störungsrechnung – entartete Niveaus . . . .
4 Teilchen im elektromagnetischen Feldern
4.1 Maxwell Gleichungen & Potenziale . . . .
4.2 Die Schrödinger-Gleichung & e.-m. Felder
4.3 Der Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Magnetisches Moment . . . . . . .
4.3.2 Der Stern-Gerlach Versuch . . . .
4.3.3 Eigenschaften des Spin . . . . . . .
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127
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. 163
. 164
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. 165
. 166
. 166
5 Mehrteilchensysteme
175
5.1 Schwerpunkt- & Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2 Permutationen – Fermionen – Bosonen . . . . . . . . . . . . . 177
5.2.1 N-ununterscheidbare Teilchen/Permutationen . . . . . 180
Literaturverzeichnis
[1] R. P. Feynman, Quantum mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill,
New York, 1965.
[2] R. P. Feynman, R. B. Leighton und M. Sands Feynman Vorlesungen,
Quantenmechanik, Oldenburg Verlag, München, 2006.
[3] A. S. Davidov, Quantenmechanik. Verlag d. Wissenschaften, Berlin 1974.
[4] L. D. Landau und E. M. Lifschitz, Lehrbuch der theoretischen Physik,
Bd. III. Akademie Verlag Berlin 1966.
[5] L. Zülicke, Quantenchemie. Verlag d. Wissenschaften, Berlin 1973.
[6] A. Messiah, Quantenmechanik 1. deGruyter, Berlin 1991.
[7] P. Rennert, Einführung in die Quantenmechanik. Teubner, Leipzig 1978.
[8] F. Schwabl, Quantenmechanik – QM I. Springer, Heidelberg 1998.
[9] M. Schubert und G. Weber, Quantentheorie – Grundlagen, Methoden
Anwendungen. Verlag d. Wissenschaften Berlin 1980.
[10] G. Soff, Quantentheorie I
www.physik.tu-dresden.de/studdocs/skripte.htm
[11] F. Spahn, Quantentheorie I, www.agnld.uni-potsdam.de/˜ frank/ 2005
– 2008.
1
2
LITERATURVERZEICHNIS
Kapitel 1
Gegenstand der Vorlesung
1.1
Vorbemerkungen
In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhundert schien das theorische Gebäude“
”
der Physik vollendet: man glaubte, die Natur mittels Materie in Korpuskulargestalt und Strahlungsfeldern in Gänze beschreiben zu können. Die diesen
beiden Säulen“ zugrunde liegenden Theorien waren die klassische New”
ton’sche Mechanik – die schon seit Isaac Newtons Principa im 17. Jahrhundert Siegeszüge feierte – und James Clerk Maxwells Elektrodynamik aus
dem Jahr 1855. Letztere prophezeite elektromagnetische Wellen, die wenig
später von Heinrich Hertz eindrucksvoll experimentell bestätigt wurden. Immer bessere optische Präzisionsinstumente gestatteten Beugungseigenschaften des Lichts nachzuweisen, womit klar wurde, dass Licht eine elektromagnetische (Hertz’sche) Welle sein muss und keine Korpuskelstahlung.
Dann wurde zu Beginn des 19. Jahrhunderts der heftig umstrittene korpuskulare (atomare) Aufbau der Materie von den Erfolgen der kinetischen
Gastheorie des Ludwig Boltzmann und der klassischen statistischen Thermodynamik (J. C. Maxwell, Josiah W. Gibbs) untermauert. Neue Phänomene
ließen sich mit Weiterentwicklungen des Formelapparats der o.g. theoretischen Grundpfeiler gut beschreiben. Das änderte sich aber graduell mit der
ständig wachsenden Präzision der experimentellen Techniken.
Zu Beginn des 20. Jahrhunderts stand die Gemeinde der Physiker schließlich
vor der Bewältigung einer handfesten Krise, die sich an mehreren Fronten des
Wissens über physikalische Prozesse aufgebaut hatte. Da war einerseits der
Widerspruch“ im Transformationsverhalten, der damals als unumstößlich
”
geltenden Theorien: der klassischen Mechanik – die invariant in Bezug auf
3
4
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
die Galilei Transformation (x′ = x + vt) ist – und der Maxwell Theorie elektro-magnetischer Felder, die sich bzgl. der Lorentz-Transformation
¡
¢−1/2
[x′ = γ(x + vt), t′ = (t + vx/c2 ) und mit γ = 1 − v 2 /c2
] nicht ändert.
Die hier betrachteten Transformationen betreffen den Übergang von einem
Inertialsystem in ein anderes, welches sich relativ mit der Geschwindigkeit v
zu dem ursprünglichen bewegt. Von allgemeingültigen Theorien muss man in
jedem Fall identisches Transformationsverhalten fordern. Die Lösung dieser
Seite der Krise“ wurde durch Albert Einstein mit der Relativitätstheorie
”
gefunden.
Die andere Front, an der die Physiker der damaligen Zeit kämpften“, be”
traf die Erklärung der Natur des Lichts sowie der Beschreibung der Dynamik
von Mikroteilchen. So wurden dem Licht, bewiesen durch Interferenzeigenschaften, zunächst eindeutig Welleneigenschaften zugeschrieben, wohingegen
man für Korpuskularstrahlung – also die Bewegung mikroskopisch kleiner
Teilchen – derlei Eigenschaften keinesfalls vermutete. Die Klemme, in der
sich die Physik dieser Zeit an dieser Front“ befand, erwies sich als zwei”
fach. Z.B. offenbarten Experimente Teilcheneigenschaften des Lichts (Photoeffekt, Planck’sches Strahlungsgesetz, der Compton Effekt), als auch Welleneigenschaften von Teilchenstrahlen (de Broglie Materiewellen, ElektronenBeugung, Laue Diagramme) auf. Der Begriff vom Welle-Teilchen Dualis”
mus“ war geboren. Nun dieser Terminus mutet recht verwirrend an – bezeichnen Welle und Teilchen recht unterschiedliche physikalische Objekte
– einesteils eine feldtheoretische Kategorie und bei naiver Betrachtung ein
räumlich (zeitlich) ausgedehntes Phänomen – andereseits sind Teilchen stark
lokalisiert.
Diese Verwirrung wurde von Max Born 1926 aufgelöst, der die probabalistischen Züge der Quantentheorie erkannte (die Wellenfunktion ist eine
Wahrscheinlichkeitsamplitude, WK-Amplitude bezeichnet mit Ψ). Diese Erkenntnis räumte mit dem Begriff vom Dualismus von Welle & Teilchen“
”
auf – es wurde klar, dass man z.B. die Elektronenbeugung am Doppelspalt
als ein Ensemblephänomen auffassen muss – die Dialektik der Phänomene
Welle-Teilchen“ bezieht sich nun keineswegs auf ein individuelles Quante”
nobjekt (Elektron). Will meinen, jedes der Elektronen passiert in der Tat
eine der beiden Spalten (nicht etwa teils-teils) so dass nach wenigen Elektronen die Statistik nicht ausreichend ist, um Interferenzen zu offenbaren.
Jedoch mit steigender Elektronenzahl zeichnet sich das Interferenzmuster
immer deutlicher ab.
Richard P. Feynman baut seine quantentheoretisches Bild (Pfadintegrale,
1.1. VORBEMERKUNGEN
5
Propagatoren) grundlegend auf diesem Doppelspaltexperiment mit Mikroteilchen (Elektronen, siehe Abb. 1.6) und erläutert an diesem Beispiel eindrucksvoll die Born’sche WK-Interpretation – und vor allem die Schwierigkeiten im Umgang mit den Aufenthalts- o. Trefferwahrscheinlichkeiten.
Diese möchte ich hier kurz umreißen: die Wk-Dichte ̺ ergibt sich aus den
WK-Amplituden Ψ über
̺(~r, t) = Ψ∗ (~r, t)Ψ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2
.
Die Gesamt-WK-Amplitude für das Auftreffen eines Elektrons an einem
bestimmten Punkt ~r auf dem Schirm ist mit Summe der Wege durch beide
Spalte
Ψ(~r, t) = Ψ1 (~r, t) + Ψ2 (~r, t)
(1.1)
gegeben, womit sofort klar ist, dass für die gesamte WK-Dichte gelten muss
̺(~r, t) = |Ψ1 (~r, t) + Ψ2 (~r, t)|2 6= ̺1 (~r, t) + ̺2 (~r, t) .
Und das ist, wie Feynman zu Recht bemerkt, sehr merkwürdig: Wie kann
es sein, dass sich die Gesamt-WK nicht als die Summe ̺1 + ̺2 ergibt.Die
Ursache liegt in der Heisenberg’schen Unschärfe – wollen wir es genau wissen, durch welchen Spalt ein Elektron ging, müssen wir uns eine Vorrichtung ausdenken, die dessen Ort misst, damit aber seinen Impuls nachhaltig
verändert. Letztere Modifikation führt zur Verschmierung des Interferenzmusters und wir erhalten als Resultat ̺ = ̺1 + ̺2 – ein Resultat was
man von disjunkten Ereignissen erwarten würde. Feynman formuliert das
paradox anmutende Resultat wie folgt [1]: ... when we watch the electrons
”
to see through which hole they pass, we obtain the result p = p1 + p2 ...
when we don’t, we get ... “ Gleichung (1.2) (Bemerkung: in seinem Pfadin”
tegralbuch“ bezeichnet Feynman die Dichten mit p statt mit ̺ – ich kann
nur jedem empfehlen, einen längeren Blick in dieses groärtige Buch [1] zu
werfen). So erweisen sich die Probleme“ mit der WK in der Quantenmecha”
nik als Manifestationen der Unsschärfe, der die Mikroteilchen unterworfen
sind.
Gleiches Doppelspaltexperiment, durchgeführt mit Licht, liefert natürlich
auch das erwartetes Interferenzmuster – was uns, resultierend
¯ ¯2aus der Wel~ = E
~1 + E
~ 2 mit den Intensitäten I ∝ ¯¯E
~ ¯¯ , im Wellenlenüberlagerung E
bild nicht wundert. ABER: Richtet man es so ein, dass die Quelle schwach
genug und der Detektor am Schirm präzise genug ist, individuelle Photonen aufzulösen, wird einem – wie bei den Elektronen – ein statistisches Bild
6
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
geboten, welches an Schärfe“ zunimmt, je besser die Statistik (Zahl der
”
Photonen) wird. Die Photonen treffen einzeln auf dem Schirm und zeichnen
erst bei ausreichender Statistik das erwartete Interferenzmuster.
Diese Effekte und (aus klassischer Sicht) die teilweise recht unerwarteten
Phänomene zu erklären, ist Gegenstand dieser Vorlesung, die wie folgt aufgebaut ist:
Ausgehend von einer Wiederholung sowohl des Teilchenbildes, anhand der
Krone“ der mechanischen Gleichungen, der Hamilton-Jacobi Gleichung
”
(HJG) sowie der aus den Maxwell-Gleichungen (mit der Coulomb-Eichung)
ableitbaren Wellengleichung, skizzieren wir die Vereinigung beider Ansätze –
der Mechanik und der Wellenoptik. Dabei betrachten wir hier das Transformationsproblem durch die Relativitätstheorie als gelöst, werden aber nur von
langsamen (nichtrelativistischen) Bewegungen ausgehen, bei der die GalileiTransformation und damit die klassische theoretische Newton’sche Mechanik
völlig ausreichend ist. Demgegenüber präsentieren wir das Wellenbild, das
aus den Maxwellschen Gleichungen resultiert.
Nach dieser Wiederholung (inklusive eines kurzen Abrisses der Wahrscheinlichkeitsrechnung) skizzieren wir einige Ergebnisse experimenteller Untersuchungen (aber auch kühner theoretischer Ansätze) die letztlich Anlass zur
Entwicklung der Quantenmechanik (Wellenmechanik) gaben. Dazu zählen
vor allem der Compton Effekt, die Vereinigung der bis damals bekannten
Strahlungsgesetze (Rayleigh-Jeans, Wien) durch Planck’s genialem Ansatz
von der gequantelten Natur des Lichts (Photonen), dem Photeffekt dessen
Resultate Einstein ebenfalls zur Photonenhypothese führte; aber nicht zu
vergessen jene Experimente (Davisson, Germer, Thomson, Rupp), die Welleneigenschaften von Teilchen nachwiesen, die von theoretischen Überlegungen de Broglies schon vorweg genommen wurden.
Mit verschiedenen Ansätzen
• dem korrespondenzmäßigen, plausiblen Herangehen;
• dem Aufzeigen der Analogie zwischen Wellenoptik (Wellengleichung)
und geometrischer Optik (Eikonalgleichung) sowie der Wellenmechanik
und der Hamilton-Jacobi Theorie (HJG) ⇔ Erwin Schrödinger
• der Methode der Pfadintegrale als Greensche Lösung der Schrödingergleichung (im folgendem SGL) ⇔ Richard P. Feynman
werden wir die SGL begründen. Des Weiteren werden wir zeigen, dass die
SGL bei Vernachlässigung der Terme die das Planck’sche Wirkumsquantum
1.1. VORBEMERKUNGEN
7
~ enthalten in die Hamilton-Jacobi Gleichung übergeht (genauer ~/m → 0
für genügend große Massen). Ganz analog zum Zusammenhang zwischen
Wellenoptik (Wellengleichung) und geometrischer Optik (Eikonalgleichung),
der mit der Vernachlässigbarkeit der Lichtwellenlänge λ → 0 gegeben ist.
Es war jene Analogie, von der letztlich Schrödinger zur Entwicklung seiner
Wellenmechanik inspiriert wurde. Der Schwerpunkt dieser Vorlesung liegt
auf diesem Teil der Quantenmechanik, nämlich ein Verständnis für die Bedeutung der Wellenfunktion Ψ als WK-Amplitude zu wecken und dass die
SGL die Dynamik von Mikroteilchen beschreibt – ebenso wie die Newtonsche Gleichungen F~ = m~a = m~r¨ oder eben völlig analog die Hamilton-Jacobi
Gleichung (HJG) für Makroteilchen (in die die SGL für ~/m → 0 übergeht).
Diesem eher konzeptionellen Anliegen folgen dann praktische Abschnitte,
in denen geschlossen lösbare Probleme präsentiert werden: (A) stationäre
Zustände: Eindimensionale Probleme: Mikroteilchen im Potenzialtopf, harmonischer Oszillator, Potenzialstufen, Tunneleffekt; gefolgt von höherdimensionalen Problemen: der Drehimpuls, Zentralpotenzial ( Wasserstoffa”
tom“), Zweikörperproblem, Bewegung im elektro-magnetischen Feld, Spin –
und Näherungsmethoden für die Berechnung stationärer Zustände. In diesem Zusammenhang behandeln wir die stationäre Störungstheorie für nichtentartete und entartete Fälle, die dann Beschreibungen für die Linienaufspaltungen liefern.
Danach betrachten wir (B) zeitabhängige Zustände, die Unschärferelation in den kanonisch-konjugierten Variablen (nicht-Vertauschbarkeit der
Operatoren etc.). Es soll das Streuproblem wie auch die relativistische Formulierung der Theorie kurz angerissen werden.
Bevor wir jedoch mit der Motivation der Quantenmechanik beginnen, wollen
wir eine knappen Einstieg in Wahrscheinlichkeitstheorie wagen, da es sich ja
bei der Quantenmechanik um ein probabalistische Theorie handelt, so dass
es an der Zeit ist, zu klären, was eine WK-Dichte ist.
8
1.2
1.2.1
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Wahrscheinlichkeits (WK) - Rechnung
Grundbegriffe – Definitionen
In diesem Abschnitt geht um zufällige Ereignisse, die in ihrer Gesamtheit
den Ereignisraum (Stichprobenraum) aufspannen. Beispiele: Würfelaugen (1
-6), mögliche Leistungsnoten in einem Kurs (1 - 5), Orte und Geschwindigkeiten eines Brown’schen Teilchens, Energiespektrum eines Quantenobjekts
etc. Es handelt sich um eine positive Größe:
Wahrscheinlichkeit (WK):
0 ≤ p(E) ≤ 1
p(E) ∈ (0, 1) gibt die WK dafür an, dass das Ereignis E (was auch immer
das sei – wir wählen hier schon mal E, um die Rolle der Energie in der
Quantenmechanik zu betonen) eintritt. Sie werden plausibel begründet mit
dem Grenzwert der
³ ´
relativen Häufigkeiten:
p(E) = lim NNE
N →∞
Beispiel: Berechnung des Notendurchschnitts bei N Tests (Einzelnoten):
hN otei = (N1 × 1 + N2 × 2 + ... + N5 × 5)/N
Rechenregeln & Definitionen:
Unmögliches Ereignis (E) :
Sicheres Ereignis (E) :
p(E) = 0
p(E) = 1
WK des Eintretens sich ausschließender (disjunkter) Ereignisse Ei und Ej
– die Elementarereignisse;
p(Ei ∪ Ej ) = p(Ei ) + p(Ej ) =
N E i + N Ej
N →∞
N
lim
oder allgemein für n Elementarereignisse:
p(E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ Ei ∪ ...) =
X
i
p(Ei ) =
X
i
pi .
(1.2)
1.2. WAHRSCHEINLICHKEITS (WK) - RECHNUNG
9
Die Wahrscheinlichkeiten des Auftretens irgendeines Ereignisses entspricht
der Summe über alle Elementar-Ereignisse ⇒ Normierung
X
(1.3)
pi = 1
i
WK, dass ein Ereigniss Ek nicht eintritt
X
p(no Ek ) = 1 − p(Ek ) =
i
pi − pk .
(1.4)
Zusammengesetzte/kombinierte Ereignisse
Beispiel: Wurf zweier Würfel mit dem Ergebnis 6’er Pasch p(6∪6) = 1/36.
• Wichtige Annahme: A priori gleiche Wahrscheinlichkeiten für Elementarereignisse!! ⇒ wichtige Voraussetzung bei der statistischen Mechanik.
Würfel: Elementarereignisse p(1) = ... = p(6) = 1/6 (weil 6 identische Seitenflächen)
2. Wurf eröffnet wieder 6 Möglichkeiten p = 6−1 ×6−1 = 1/36, weil der Wurf
von 2 Würfeln 35 mögliche Ausgänge hat ⇔ vorausgesetzt es handelt sich
um unkorrelierte Ereignisse = Elemantarereignisse.
Unabhängige Ereignisse
p(E1 ∩ E2 ...) =
Y
p(Ei )
(1.5)
i
Bedingte WK’s
Hier wählen wir bewußt andere Argumente, A und B, um zu veranschaulichen, dass es sich um ganz beliebige Ereignisse handelt, nicht nur um das
Annehmen einer Energie Ei durch ein (Quanten)-System. Die bedingten
WK’s lauten:
p(A ∩ B) = p(A) · p(B|A) .
(1.6)
10
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Hierbei ist p(B|A) die WK des Eintretens von B unter der Voraussetzung
dass A bereits vorlag ⇒ Bedingte Wahrscheinlichkeiten. Mehr dazu bei
der Behandlung stochastischer Prozesse.
1.2.2
Diskrete Zufallsvariable:
Erwartungswerte, Schwankungen & Co.
Der folgende kurze Abriss bildet die knappe Grundlage für die spätere
Quantenstatistik bei der Annahme dicht liegender aber diskreter (Energie)Eigenwerte denen z.B. die WK’s pi = p(Ei ) zugeordnet werden können.
i’tes zentrales Moment:
h(E − hEi)i i =
X
(Ej − hEi)i pj
(1.7)
X
Ei pi
(1.8)
j
Erwartungswert:
hEi =
i
Varianz: = 2. zentrales Moment
h(E − hEi)2 i =
X
i
(Ei − hEi)2 pi = hE 2 i − hEi2
(1.9)
Standardabweichung:
σ =
sX
i
(Ei − hEi)2 pi =
p
hE 2 i − hEi2
(1.10)
1.2. WAHRSCHEINLICHKEITS (WK) - RECHNUNG
1.2.3
11
Stetige Zufallsvariable:
Erwartungswerte, Schwankungen & Co.
Gegeben sei ein Zustandsvektor ~x = (x1 , ..., xn ), der den Systemzustand
vollständig charakterisiert. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, das System in
dem Volumenelement dn ~x um den den Zustand ~x anzutreffen, mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(~x) wie folgt definiert
dµ = ρ(~x) dn ~x = ρ(x1 , ..., xn ) dx1 ...dxn
Z
dx1 ...dxn ρ(~x) = 1 ,
(1.11)
(1.12)
PR
wobei die Normierung (1.12) als Integration über den gesamten Phasenraum
zu verstehen ist.
Beispiel:
N-Teilchen-System mit dem Zustandsvektor ~x = ~Γ = (qν , pν ),
wobei die kanonischen verallgemeinerten Orte und Impulse mit (q1 , ..., q3N )
bzw. (p1 , ..., p3N ) gegeben sind. Der Raum Γ, der von diesen Variablen aufgespannt wird, wird Phasenraum genannt. Die entsprechende Phasenraumdichte ist mit ρ(~Γ) gegeben und definiert damit die WK das System in dem
Phasenvolumenelement d6N ~Γ um den Zustand ~Γ als
dµ = ρ(q1 , ..., q3N , p1 , ..., p3N ) dq1 ...dq3N dp1 ...dp3N ,
natürlich wieder mit der Normierung
Z
dµ = 1 ,
(1.13)
(1.14)
PR
denn das System muss letztlich ganz sicher einen Zustand annehmen.
i’tes Moment (1D):
i
hx i =
Z∞
−∞
dx xi ρ(x)
(1.15)
12
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
i’tes zentrales Moment (1D):
Z∞
i
h(x − hxi) i =
−∞
dx (x − hxi)i ρ(x)
Erwartungswert (mehrdimensional):
Z
h~xi =
dn ~x ~x ρ(~x)
(1.16)
(1.17)
PR
Allgemeine Momente:
hxα1 1
·
xα2 2
· · · xαnn i
=
Z Y
PR
j
dxi xα1 1 · xα2 2 · · · xαnn ρ(x1 , ..., xn ) . (1.18)
Varianz/Standardabweichung:
Z
D
E
(xα − hxα i)2
=
dn ~x (xα − hxα i)2 ρ(~x) =
PR
σα
= hx2α i − hxα i2
p
hx2α i − hxα i2
=
(1.19)
(1.20)
Übungsvorschlag: Berechnung des Erwartungswertes und Nachweis der
letzten Identität in Gl. (1.19) für mehrdimensionale Zufallsvariablen – z.B.
für den 6-D Fall ~x = (x, y, z, px , py , pz ) für ein mechanisches Teilchen mit
dem Impuls p~¡= m~v und der
¢ dazugehörigen WK-Dichte
ρ(~
p) = C exp −β~
p2 /(2m) .
Gleichungen (1.16)-(1.19) sind nur für den Fall gültig, dass das Maß für
die Wahrscheinlichkeit (1.13), dµ, tatsächlich proportional dem Volumenelement dn ~x des Phasenraums ist. Damit das erfüllt ist, müssen tatsächlich
a priori Gleichwahrscheinlichkeiten für Elementarereignisse vorausgesetzt
werden.
1.2. WAHRSCHEINLICHKEITS (WK) - RECHNUNG
13
Sind diese Voraussetzungen nicht erfüllt – z.B. das System hält sich in dem
für ihn zugänglichen Phasenraum in bestimmten Gebieten unterschiedlich
lange auf oder die Dimension dieses Raums ist schlicht fraktal (Bewegungen
von Teilchen auf einem Attraktor) – dann kann nicht so einfach eine Wahrscheinlichkeitsdichte eingeführt werden. Dann sind die o.g. Definitionen die
folgenden Stieltjes-Integrale bzgl. des WK-Maßes dn µ. Die Verteilungsfunktion ist dann mit (der Einfachheit halber wählen wir im Folgenden 1D)
Zx
F (x) =
dµ
(1.21)
x′ =−∞
gegeben. Die anderen Größen lauten
i-tes zentrales Moment:
i
h(x − hxi) i =
Z∞
dµ (x − hxi)i
(1.22)
Z∞
dµ x
(1.23)
Z∞
dµ (x − hxi)2
(1.24)
x′ =−∞
Erwartungswert:
hxi =
x′ =−∞
2
h(x − hxi) i =
x′ =−∞
Für unsere Zwecke – der Quantenmechanik/statistischen Physik – bei der es
sich meistens um die Bewegung von Molekülen, Atomen oder anderen konservativ wechselwirkenden Teilchen handelt, nehmen wir stets an, dass eine
WK-Dichte ρ formulierbar ist, so dass komplexe mathematische Methoden
nicht angewendet werden müssen.
14
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
N-dimensionale Zufallsvariablen:
Im Zusammenhang mit den n-dimensionalen Zufallsvariablen sind einige
wichtige Beziehungen unerwähnt geblieben:
Die Dimension kann durch Integration über m < n Variablen auf n − m
reduziert werden:
Z
ρ(x1 , ..., xn−m ) =
dxn−m+1 ...dxn ρ(x1 , ..., xn ) .
(1.25)
Damit ist die WK-Dichte, die nur von einer Variable xj = x1 (diese Wahl
ist ohne Einschränkung der Allgemeinheit) abhängt, mit
Z
ρ(x1 ) =
dx2 ...dxn ρ(x1 , ..., xn )
(1.26)
gegeben – die vor allem bei der Reduktion von N-Teilchen WK-Dichten auf
Einteilchen - Verteilungsfunktionen eine wesentliche Rolle spielt.
Sind die n Komponenten der mehrdimensionalen Zufallsvariable statistisch
voneinander unabhängig, dann folgt in Verallgemeinerung der Gl. (1.5)
Y
ρ(x1 , ..., xn ) =
ρ(xj )
(1.27)
j
Ist die WK-Dichte nicht durch Gl. (1.27) darstellbar, kommen bei den höheren zentralen Momenten Korrelationen zwischen den einzelnen Variablen xi
und xj ins Spiel, die von gemischten Termen herrühren. In diesem Fall sind
die Kovarianzen als
Cov(xi , xj ) = h(xi − hxi i)(xj − hxj i)i = Cij
(1.28)
und deren Normierung auf die entsprechenden Standardabweichungen als
Korrelationsmatrix (-tensor)
Cor(xi , xj ) =
definiert.
h(xi − hxi i)(xj − hxj i)i
r
 2® D 2E
∆xi ∆xj
(1.29)
1.2. WAHRSCHEINLICHKEITS (WK) - RECHNUNG
15
V1
V2
Abbildung 1.1: Gesamtsystem inklusive des Teilsystems unseres Interesses.
1.2.4
Beispiel: Binomialverteilung ⇒ Gauß
Als ein Beispiel für eine Verteilungsdichte sei hier das
Man stelle sich ein Volumen vor, in dem sich ein Gas – bestehend aus Atomen oder Molekülen – befinden möge. In diesem Volumen befinde sich ein
Untervolumen, welches das System unseres Interesses beherbergen soll. Die
Skizze 1.1 stellt die Situation dar. Die Frage stellt sich nun nach der WK
dafür, dass sich n Teilchen im betrachteten Volumen V1 befinden, dessen
Dichte, die Mittelwerte und Schwankungen werden berechnet. Wie wir zeigen, werden die Schwankungen der statistischen Aussagen mit der Zahl N
der insgesamt betrachteten Teilchen – und damit der mittleren Zahl der
Teilchen im betrachteten Volumen V1 – immer geringer.
Frage: Wie kann man a priori WK’s vernünftig definieren?
Die Antwort ist nicht sehr schwer, wenn man annimmt, dass die WK mit
dem Volumen steigen sollte und bezogen auf das Gesamtvolumen p(V =
V1 + V2 ) → 1 sein muss (wir nennen die WK’s hier p – statt ρ, wie z.B. die
Eigenwerte des Dichteoperators). Damit drängen sich folgende Definitionen
der a priori WK’s auf:
p1 (V1 ) = p =
V2
V − V1
V1
, p2 = q = =
=
= 1−p .
V
V
V
(1.30)
Z.B. entspricht p der WK, bei einem zufälligen Plazieren eines Teilchens
das Volumen V1 zu treffen. Komplementär dazu ist die WK q – d.h. wenn
Teilchen in V1 , dann kann es nicht in V2 sein – und die Gesamt-WK ist
demnach pg = p + q = 1.
16
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Nach den eingangs genannten Gesetzen der WK Rechnung ist das zufällige/unabhängige Plazieren von N-Teilchen, wobei davon n in V1 und N − n
in V2 zu liegen kommen sollen, mit der Wahrscheinlichkeit
ρn ∝ pn · q N −n
(1.31)
gegeben.
Als Normierung muss natürlich gelten
X
X
1 =
ρn =
Cn pn q N −n
n
(1.32)
n
was bei scharfen Hinsehen zu dem Binomialfaktor führt
µ
¶
N!
N
,
Cn =
=
n
n!(N − n)!
(1.33)
der die Zahl der Möglichkeitenangibt, n Teilchen aus einem Satz von N zu
ziehen, die dann dem Volumen V1 zugeordnet werden. Damit wird Normierung
X
Xµ N ¶
pn q N −n = (p + q)N = 1 ,
(1.34)
ρn =
n
n
n
wie es sein muss (Übung: Binominialsatz).
Damit ist mit den Annahmen für die a priori WK’s eine WK-Dichte physikalisch vernünftig konstruiert worden, womit wir nun die Momente hni und
h∆n2 i berechnen können. Dazu bedienen wir uns eines Tricks, der deren
Berechnung stark vereinfacht, es ist nämlich
Xµ N ¶
p∂p
pn q N −n =
n
n
Xµ N ¶
X
=
n pn q N −n =
nρn = hni .
(1.35)
n
n
n
Andererseits kann man die linke Seite in den Relationen (1.35) als
hni = p ∂p (p + q)N = N p (p + q)(N −1) = N p
(1.36)
schreiben. Nochmalige Anwendung des Operators p ∂p ergibt dann
hn2 i = N p (p + q)N −1 + N (N − 1) p2 (p + q)N −2 =
2
= hni + hni2 − N p2
2
2
h∆n i = hn i − hni = q hni
(1.37)
(1.38)
1.2. WAHRSCHEINLICHKEITS (WK) - RECHNUNG
17
Bildet man die relative quadratische Abweichung, erhält man
¢
hn2 i − hni2
1 ¡
1
1
=
hni − N p2 =
(1 − p) ≈
2
2
hni
hni
hni
hni
(1.39)
so man das Volumen p ∝ V1 als klein annimmt. Auch mit dieser Annahme
soll jedoch gelten N, N p ≫ 1, womit gezeigt ist, das die relativen Schwankungen mit der Teilchenzahl abnehmen und die Aussagen für große Teilchenzahlen sehr scharf sind.
Im Folgenden wollen wir die Binomial-Verteilung ρ(n) für sehr große N & n
nähern. Dazu bedienen wir uns der Stirlingschen Formel
ln N ! ≈ N (ln N − 1) ,
(1.40)
die man erhält, indem man die Summe
ln N ! = ln 1 + ln 2 + ... + ln N
als Integral nähert
X
∆x ln x →
ZN
0
dx ln x = N (ln N − 1) .
(1.41)
Damit wird für die Dichte unter Annahme n ≫ 1 (und damit auch N ≫ 1)
½
¾
N!
n N −n
ln [ρ(n)] = ln
p q
≈
n!(N − n)!
≈ −n ln n − (N − n) ln(N − n) + n ln p − n ln q ,
(1.42)
wobei hier schon konstante Terme (in N ) weggelassen wurden – die Gesamtteilchenzahl N wird als konstant angenommen. Diese spielen bei der TaylorEntwicklung der Funktion ln ρ um sein Maximum
¯
1 d2 ln ρ ¯¯
(n − nmax )2
(1.43)
ln ρ(n) = ln ρ(nmax ) + 0 +
2 dn2 ¯
nmax
keine Rolle. Dafür benötigen wir die Ableitungen
¯
¶
µ
¯
d
p
N − nmax
¯
+ ln = 0
= ln
ln ρ¯
dn
nmax
q
nmax
¯
¯
d2
¯
ln
ρ
¯
dn2
hni
⇒ nmax = p N = hni
=
−
1
1
1
−
= −
.
hni N − hni
h∆n2 i
(1.44)
(1.45)
(1.46)
18
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
R
Berücksichtigt man dann noch die Normierung dnρ(n) = 1, die den 1.
Term in der Entwicklung (1.43) festlegt (Übung)
1
,
ln ρ(nmax ) = p
2πh∆n2 i
erhält man für die Dichte eine Gauß-Verteilung
(
(n − hni)2
ρ(n) = p
exp −
2h∆n2 i
2πh∆n2 i
1
)
(1.47)
wobei wir hier n als kontinuierlich verteilte Variable angesehen haben (ähnlich wie bei der Herleitung der Stirling Formel). Das ist der Inhalt des zentralen Grenzwertsatzes bzgl. Zufallsvariablen. In der Grenze N → ∞ wird
daraus eine Delta-Funktion δ(n − hni).
Das vorangegange Beispiel ist von großer Bedeutung für die Methoden der statistischen Physik, lassen sich doch Analogien zu
dynamischen Teilchensystemen aufzeigen. Kann man z.B. a priori
gleiche WK’s postulieren – wie hier, wo gleichen Volumina die gleiche WK zukommt (siehe p, q) – die auf dem gesamten, dem System
zugänglichen Raum keine Variationen erfahren und ist die Zahl
der betrachteten Ensemble-Mitglieder sehr groß (zentraler Grenzwertsatz), kann man offensichtlich die WK-Dichte und damit alle
deren Momente formulieren. Das Ganze muß NUR noch auf den
Phasenraum (klassische Statistik) bzw. auf den Hilbert-Raum aller möglichen Vielteilchenzustände (Quanten-Statistik) übertragen werden!
1.3
1.3.1
Das Teilchenbild – Hamilton-Jacobi Theorie
Das Hamilton Prinzip
Achtung: Im Folgenden wird bis auf Widerruf die Einstein-Summenkonvention
P
– Summation über doppelt auftauchende Indizes – verwendet: Ai Bi ≡ Ai Bi .
i
1.3. DAS TEILCHENBILD – HAMILTON-JACOBI THEORIE
19
Wir betrachten ein System von klassischen N-Teilchen (Punkmassen). Zur
Charakterisierung des mechanischen Zustands definieren wir eine skalare
Größe, die Lagrange Funktion
L(qν , q̇ν , t) = T (q̇ν , t) − U (qν , t) ; ν ∈ 1, 3N
(1.48)
die von den Orten qν und Geschwindigkeiten q̇ν der Teilchen sowie der Zeit
t abhängt [ν ∈ (1, 3N ), Anmerkung: In den Argumenten werden wir der
Kürze halber die Indizes weglassen]. Diese Variablen (q, q̇) kennzeichnen den
Zustand des Systems (bei Annahme, die Teilchen haben die gleiche Masse).
Hierbei sind T und U die kinetische bzw. potentielle Energie des Systems.
L ist die zentrale Größe des Prinzips der kleinsten Wirkung, oder kurz, des
Hamilton Prinzips

t

Z 1
= 0
(1.49)
dt L(q, q̇, t)
δW = δ


t0
welches aus dem d’Alambert Prinzip (Bewegung erfolgt senkrecht zu Zwangskräften) folgt. M.a.W. beim Durchlaufen der Phasenraumtrajektorie zwischen den fixierten
R Anfangs- u. Endpunkten (t0 , t1 ) muss die Funktion, die
Wirkung W = dtL, minimal werden. Die Trajektorie, die W minimiert,
charakterisiert die Systementwicklung. Die Ausführung (Übung) der Variation von Gleichung (1.49) liefert die Lagrange-Gleichungen
d ∂L
∂L
−
= 0 ; ν ∈ (1, 3N ) ,
dt ∂ q̇ν
∂qν
(1.50)
die die 3N Bewegungsgleichungen 2. Ordnung in t liefert, die den Newtonschen Gln. äquivalent sind.
Mit Hinblick auf die Quantenphysik bzw. Statistik ist es vorteilhafter, mittels
einer Legendre-Transformation [g(x) = f (x) − x∂x f = f − px, p = ∂x f
neue Variable] zu einem anderen Satz von Variablen zu wechseln und so die
Hamilton-Funktion einzuführen
H(pν , qν , t) = pν q̇ν − L(qν , q̇ν , t) .
(1.51)
Die Bildung des totalen Differenzials von H unter Beachtung von Gl. (1.50)
und der neuen Variable der Legendre-Trafo pi = ∂q̇i L , liefert durch Koeffizientenvergleich (Übung) die Hamiltonschen Gleichungen
ṗν =
d ∂L
∂H
∂H
= −
; q̇ν =
dt ∂ q̇ν
∂qν
∂pν
(1.52)
20
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
die die Grundlage der klassischen Prinzipienmechanik darstellen. Gleichungen (1.52) implizieren, dass der kanonisch konjugierte Impuls pν = const.
eine Konstante der Bewegung ist, so die Hamiltonfunktion H nicht von der
entsprechenden Koordinate qν abhängt. Eine solche Variable nennt man zyklisch.
Des Weiteren folgt aus Gln. (1.52)
dH
∂H
∂H
∂L
=
+ {H, H}P K =
= − ,
dt
∂t
∂t
∂t
(1.53)
wobei die Poisson Klammern mit
{A, B}P K =
∂A ∂B
∂A ∂B
−
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
definiert sind. Aus Gleichung (1.53) folgt unmittelbar
dH
= 0 ; H = E
dt
(1.54)
dass die Hamilton-Funktion die Energie des Systems ist, wenn sie nicht explizit von der Zeit abhängt.
So lautet z.B. die Hamilton-Funktion eines Teilchen der Masse m im Potenzial U (~r)
H(~
p, ~r) =
p~2
+ U (~r) .
2m
(1.55)
Der Vollständigkeit halber sei noch die Hamilton-Funktion eines relativistischen freien Teilchens in Erinnerung gebracht
q
p2
(mc2 )2 + c2 p~2 ≈ mc2 +
H(~
p) =
+ ...
2m
(1.56)
wobei die Taylor-Entwicklung auf der rechten Seite in erster Näherung (bis
auf die Ruheenergie mc2 ) die kinetische Energie der Hamilton Funktion
(1.55) ist.
1.3. DAS TEILCHENBILD – HAMILTON-JACOBI THEORIE
1.3.2
21
Die Kanonische Transformation
Transformationen, die beim Übergang zu neuen kanonischen Variablen;
pν (Pj , Qj ), qν (Pj , Qj ) → Pj (pν , qν , t), Qj (pν , qν , t)
(1.57)
mit j; ν ∈ (1, 3N ), N - Teilchenzahl; die Form der Hamiltonschen Gleichungen unberührt lassen,
Q̇j =
∂H ′
∂H ′
; Ṗj = −
∂Pj
∂Qj
H(qk , pk , t) → H ′ (Qk , Pk , t)
(1.58)
(1.59)
nennt man kanonisch — wobei H ′ die neue Hamiltonsche Funktion ist. Letztere gewinnt man über die Äquivalenz des Hamilton-Prinzips (1.49), d.h.
δW = 0 gilt auch in den neuen (und alten) variierten Koordinaten (δqi ; δQi ).
Für die Lagrange-Funktion kann man schreiben
dF
(1.60)
dt
wobei F (qj , Qj , t) eine Funktion der alten und neuen Koordinaten ist. Dass
die Zeitintegration des letzten Terms, F |tt10 , für die anschließende Variation
der Koordinaten (sowohl δqj als auch δQj ) zu keinem Beitrag führt, liegt
am Verschwinden der Variationen δqj = δQj = 0 an den Intervallenden bei
t0 und t1 . Setzt man
L = pi q̇i − H(p, q, t) = Pi Q̇i − H ′ (P, Q, t) +
dF
∂F
∂F
∂F
Q̇i
=
+
q̇i +
dt
∂t
∂qi
∂Qi
(1.61)
in die Lagrange-Funktion (1.60) ein, wird man nach Umordnung auf die
Form
½
¾
∂F
pi −
q̇i =
∂qi
½
¾
½
¾
∂F
∂F
′
Pi +
Q̇i + H(p, q, t) − H (P, Q, t) +
(1.62)
∂Qi
∂t
geführt. Die Gleichung ist erfüllt, wenn die geschweiften Klammern verschwinden, also gilt
pi =
∂F
∂qi
(1.63)
Pi = −
∂F
,
∂Qi
(1.64)
22
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
womit für die neue Hamilton Funktion folgt
H′ = H +
∂F
.
∂t
(1.65)
F (q, Q, t) nennt man die erzeugende Funktion der kanonischen Transformation.
Es gibt 4 Erzeugende
F1 (qν , Qν ) ; F2 (qν , Pν ) ; F3 (pν , Qν ) ; F4 (pν , Pν )
(1.66)
die jeweils durch Berührungstransformationen (Legendre-Trafo, siehe H(pν , qν )
vs L(qν , q̇ν )) ineinander umrechenbar sind. Legendre Transformationen bewirken durch den Variablenwechsel, dass die Tangente (Ableitung) an eine
Kurve zur Parallenen der neuen Koordinatenachse wird – der Punkt hat
in den neuen Koordinaten ein Extremum. Neben dem Wechsel von der Legendre - zur Hamilton Funktion (L(qν , q̇ν ) ⇒ H(pν , qν )) bzw. zwischen den
Erzeugenden in der Mechanik, spielen die Berührungstransformationen in
der Gleichgewichtsthermodynamik bei den thermodynamischen Potenzialen.
Beispiel für den Wechsel zwischen Erzeugenden in der Mechanik:
F4 (pν , Pν ) = F1 (qν , Pν ) + Qi Pi − qj pj ,
(1.67)
wobei wieder Einsteinsummen geschrieben sind. In Gl. (1.60) wird dann die
Funktion F = F1 aus Gl. (1.67) ersetzt, das totale Differenzial gebildet,
zusammengefasst, vereinfacht und man dann gewinnt schließlich:
½
¾
∂F4 (pi , Pi , t)
′
H (Qν , Pν , t) − H(pν , qν , t) −
=
∂t
¾
¾
½
½
∂F4
∂F4
− Qν Ṗν .
ṗν +
(1.68)
qν +
∂pν
∂Pν
Wieder werden alle geschweiften Klammern zu Null berechnet, um die Gleichung (1.68) zu befriedigen, was folgende Beziehungen
∂F4
∂qν
qν
=
−
Qν
=
∂F4
∂Pν
H′ = H +
(1.69)
(1.70)
∂F4
∂t
(1.71)
1.3. DAS TEILCHENBILD – HAMILTON-JACOBI THEORIE
23
ergibt.
1.3.3
Hamilton-Jacobi-Theorie/Wirkungswellen
An dieser Stelle wollen wir noch einmal die Wirkung W(qi , t) eingehender
untersuchen, indem wir nur bei t0 die Variationen δqi = 0 unterdrücken,
jedoch δqi 6= 0 an der Obergrenze zulassen und die Wirkung als Funktion
der Koordinaten qi auffassen. Unter diesen Voraussetzungen und mit der
Definition der Hamilton-Funktion (1.51) folgt für die totale Zeitableitung
∂W
∂W
dW
=
+
q̇i = L = pi q̇i − H
dt
∂t
∂qi
(1.72)
woraus wieder der Koeffizientenvergleich liefert
∂W
∂t
= −H(= −E)
(1.73)
∂W
∂qi
= pi .
(1.74)
Die Klammer steht für konservative Systeme: H = E. Mit Gleichungen
(1.72)-(1.74) fassen wir W als eine spezielle Erzeugende auf, die die neue
Hamilton-Funktion zu Null macht
∂W
+ H = H′ = 0
∂t
denn offenbar gilt nach den obigen Überlegungen
µ
¶
∂W
∂W
+ H qk ,
,t = 0
∂t
∂qk
(1.75)
Hängt H nicht explizit von der Zeit ab, kann man die Orts- und Zeitabhängigkeiten der Wirkung separieren
W(qi , t) = S(qi ) − Et ,
(1.76)
womit die reduzierte Hamilton Jacobi Gleichung für die reduzierte Erzeugende S formuliert werden kann:
·
¸
∂S
H [pν , qν ] = H
(1.77)
, qν = E
∂qν
24
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
die stationäres Verhalten beschreibt.
Die Gleichungen (1.75) & (1.77) sind als Hamilton-Jacobische partiellen Differenzialgleichungen (HJG) bekannt, die auf die Erzeugenden W bzw. S jener
kanonischen Transformation führen, die einen vollständigen Satz zyklischer
Variablen ergeben! Das muss auch so sein, denn die neue Hamilton-Funktion
H ′ = H + ∂t W = 0 verschwindet identisch, zeigt also gar keine Abhängigkeiten, so dass alle Variablen zyklisch
Q̇i = 0 ;
Ṗi = 0
und somit konstant sind. Das Problem ist mit Kenntnis von W gelöst.
Statt der 2-f gewöhnlichen Differentialgleichungen (1.52) steht man jetzt vor
der Aufgabe die partielle HJG lösen zu müssen, aus der man durch Rücktransformationen (1.57) die eigentlichen Trajektorien des Problems erhält.
Wichtig für unseren Weg zur Wellenmechanik ist nur, dass man die Newtonschen Gleichungen, oder die Hamiltonschen Gleichungen oder auch die
Hamilton-Jacobische partielle Differenzialgleichungen als völlig äquivalente Methoden zur Beschreibung eines klassisch-mechanischen Problems versteht. Ist das erst einmal klar, ist der Schritt von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik wesentlich leichter zu vollziehen – z.B. über die
Analogie zwischen Wellenoptik ⇔ geometrischer Optik, oder auch einfacher
über Analogien zwischen Wellenbild und Teilchenbild, die sich z.B. über die
deBroglie Wellenlänge λ = 2π~/|~
p| oder das Energiequant E = ~ω ziehen
lassen. Wir werden hier alle diese Wege skizzieren – beginnend mit den plausiblen Analogien, bis hin zur Skizze der Pfadintegralmethode als Greensche
Lösung der Schrödingergleichung. Wir werden in all diesen Ansätzen zeigen,
dass in Fällen, wo die Quanteneffekte unwichtig werden – Terme mit ~ also
vernachlässigbar sind – die klassische Mechanik, sprich die Hamilton-Jacobi
Gleichung, übrig bleibt. M.a.W. die klassische Mechanik läßt sich als Spezialfall der Quantenmechanik verstehen.
Bevor wir mit der Maxwellschen Elektrodynamik beginnen und e.-m. Wellen
diskutieren, wollen wir noch eine andere Formulierung der HJG vorstellen,
die eine Brücke zur geometrischen Optik schlagen und uns gestatten wird,
die Wirkung als Wellenphase zu verstehen.
1.3. DAS TEILCHENBILD – HAMILTON-JACOBI THEORIE
25
Wirkungswellen
Im Folgenden wollen wir die Hamilton-Jacobi Gleichung (HJG) etwas umformen, um auf diese Weise einen einfacheren Vergleich mit der Grundgleichung
der geometrischen Optik – der Eikonal-Gleichung – zu erzielen. Ziel ist es,
eine Verwandschaft“ zwischen der HJG und der Eikonalgleichung (nächs”
ter Abschnitt 1.111) aufzuzeigen und dann evtl. Hinweise auf die der HJG
zugrunde liegenden Wellengleichung (die sich später als die Schrödingergleichung (SGL) erweisen wird) zu gewinnen. In diesem Abschnitt wird also nur
eine andere Form der HJG präsentiert.
Wir erinnern uns des Ansatzes für die Wirkungsfunktion
W = S(q) − Et
(1.78)
im Falle konservativer Systeme (∂t H = 0 ; H = E). Auch erinnern wir uns,
das beide Erzeugende der kanonischen Trafo sind, die für alle Koordinaten
pi = ∂qi S = const. liefern. In diesem Sinne sind S = const. fixe Flächen im
von den qi aufgespannten Konfigurationsraum. Hingegen schieben sich die
Flächen mit W = S − Et = const. auf Grund der Zeitabhängigkeit über
jene von S = const. mit einer gewissen Geschwindigkeit hinweg und bilden
Wellenfronten im Konfigurationsraum (Ortsraum).
Um das möglichst einfach zu veranschaulichen, wollen wir nur ein Teilchen
der Masse m und der Geschwindigkeit ~v im Ortsraum qi → x, y, z betrachten.
Für dieses System“wollen wir die Wellenausbreitung“ der Wirkung W =
”
”
const. mit der Geschwindigkeit ~u beschreiben und auch annehmen, dass
sich im allgemeinen Fall ~u in Richtung und Betrag als auch die Flächen
W = const. ändern.
Um die Bewegungsgeschwindigkeit der Wellenfront zu bestimmen, setzen
wir
dW := 0 =
∂W
dt + ∇W · d~r =
∂t
= −Edt + ∇S · d~r = − Edt + p~ · d~r ,
(1.79)
wobei wir Gebrauch von Gln. (1.73)-(1.74) haben. Definiert man ~u = d~r/dt,
so wird aus Gl. (1.79)
dt (∇S · ~u − E) = 0
∇S · ~u = p~ · ~u = E ,
(1.80)
26
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
womit die Wirkungswellenausbreitung ~u parallel (oder antiparallel) zu ∇S
und zum Impuls p~ sein muss. Für die Beträge gilt demnach
|u| =
|E|
|E|
|E|
=
=
|∇S|
|p|
m|v|
(1.81)
woraus man erkennt, dass sich neben der Parallelität (oder Anti-Paralletität)
ihre Beträge reziprok verhalten müssen, denn es ist
|u| |v| =
|E|
= constant .
m
(1.82)
Die Impulse p in Gl. (1.81) sind aus der Energieerhaltung
p~2
+ U (~r) = E
2m
ersetzbar
p =
p
|E|
2m(E − U ) =
|u|
(1.83)
womit man für HJG eines Teilchens schreiben kann
(∇W)
2
=
½
E
u
¾2
(1.84)
wobei man sich der Beziehung p~ = ∇W = ∇S für die Impulse erinnern
möge (einsetzen in (1.83) und quadrieren). Wir werden sehen, das wir aus der
Wellengleichung (1.90) bei Annahme sehr kleiner Wellenlängen (λ/l → 0)
im Vergleich mit den Längenskalen l, auf denen
p sich optische Eigenschaften [µ(~r), ε(~r) oder Brechungsindex n(~r) = µε/(µ0 ε0 ) > 1] im Medium
ändern, genauso eine Gleichung wie (1.84) für die Wellenphase L(~r) ableiten
können. Demnach hätte die Wirkung W etwas mit der Phase der quantenmechanischen Wellenfunktion Ψ zu tun, vorausgesetzt dass eine Analogie
zwischen Wellenmechanik und Prinzipien (klassisch) Mechanik bzw. zwischen Wellenoptick und geometrische Optik nicht nur formal existiert.
1.4. DAS WELLENBILD – DER D’ALAMBERT OPERATOR
1.4
27
Das Wellenbild – Der d’Alambert Operator
Die Grundlage elektromagnetischer Wellen sind die Maxwellschen Gleichungen
~ = ρQ
∇·D
;
~ =0
∇·B
~ = ~j + D
~˙
∇×H
;
~ = −
∇×E
(1.85)
~
∂B
∂t
(1.86)
mit den Materialrelationen:
~ = ε0 E
~ + p̃~ = ε ε0 E
~
D
~ = µ0 H
~ + m̃
~ .
~ = µ µ0 H
B
(1.87)
(1.88)
~
Die Dichte der Dipolmomente bzw. der Elementarmagnete sind mit p̃~ und m̃
bezeichnet, µ und ε sind die Koeffizienten der Dielektrizität bzw. Permeabi~ bzw. H,
~ deren
lität. Die elektrische und magnetische Feldstärke sind mit E
~ und B
~ bezeichnet.
Verschiebung bzw. magnetische Induktion sind mit D
Die rechten Seiten der Gleichungen (1.85) & (1.86) gestatten die Einführung
der Potenziale
~ = ∇×A
~ ;
B
~ = −∇Φ − A
~˙ .
E
(1.89)
Aus diesen Gleichungen lassen sich unter Ausnutzung weniger differenzialgeometrischer Relationen (z. B.: ∇ · (∇ × ...) → 0 ; ∇ × ∇... → 0) die
Ladungs- und Energieerhaltung herleiten — was hier aber nicht unser Bestreben ist; sonder wir interessieren uns für elektromagnetische Wellen.
~ und Φ möglichst
Um die Herleitung der Wellengleichung für die Potenziale A
einfach zu halten, betrachten wir elektromagnetische Felder im Vakuum:
~ = ε0 E
~ und B
~ = µ0 H.
~ Die linken Seiten von
ρQ = 0 und ~j = 0 sowie D
(1.85) & (1.86) liefern dann die Wellengleichungen für die Felder – Übung:
bilde z.B. Rotation der Gl. (1.86) und forme gemäß differenzialgeometrischer
Relationen [∇ × (∇ × ...) → ∇(∇ · ...) − ∆... und beachte c2 = (µ0 ε0 )−1 ] um
– und man erhält für die Potenziale
¤Φ = 0 ;
~ = 0
¤A
(1.90)
mit den Differenzialoperatoren
¤=
1 ∂2
−∆ ;
c2 ∂t2
∆ =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
(1.91)
28
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
die als d’Alambert (¤) bzw. der Laplace Operaor (∆) bezeichnet werden.
√
Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist c = 1/ ε0 µ0 .
Für Wellen in materieller Umgebung gelten dieselben Gleichungen, nur dass
auf den rechten Seiten die Quellen der Felder, ρQ und ~j, als Inhomgeneitäten
in Gln. (1.90) erscheinen. Allerdings muss man dann zur Entkopplung der
Gleichungen zwischen elektrischen und magnetischen Feldern die LorentzKonvention
1
~=0
Φ̇ + ∇ · A
c2
(1.92)
beachten. Wir bleiben aber hier der Einfachheit halber bei Vakuumwellen.
Lösungen der Gleichungen (1.90) sind ebene Wellen
Φ = Φ(~k · ~r − ωt)
;
~ = A(
~ ~k · ~r − ωt)
A
(1.93)
die unmittelbar auf die Dispersionsrelation (in Übung zu zeigen, i.e. Ansätze
einsetzen und Differenziationsregeln beachten)
ω 2 = k 2 c2
(1.94)
führen.Wir gehen einen Schritt weiter und konstruieren die allgemeine Lösung
als (Fourier) Summe/Integral über ebene Wellen gemäß
½
Φ(~r, t) =
1
2π
¾3/2 Z
h ³
´i
d3~k f (~k) exp −ı ω(~k)t − ~k · ~r
(1.95)
womit sofort folgt
∂
∂
→ − ıω ; ∇ =
→ ı ~k .
∂t
∂~r
(1.96)
In Gleichung (1.95) ist imaginäre Einheit mit ı bezeichnet und der Wellencharakter erschließt sich durch die Euler-Beziehung exp(ıx) = cos x + ı sin x
für komplexe Expeonentialfunktionen.
Diese Beziehungen haben nicht nur für die oben angegebenen Wellenoperatoren Bedeutung, sondern können auch auf die Ausbreitung beliebiger Felder
Ψ(~r, t) in räumlich und zeitlich homogenen Systemen erweitert werden (wie
wir in der Wellenmechanik noch sehen werden). Allgemeine Wellenausbreitung in solchen Systemen wird von Operatoren charakterisiert, die nur von
1.4. DAS WELLENBILD – DER D’ALAMBERT OPERATOR
29
Ableitungen, ∂t ; ∇, abhängen, da ja kein Raum- u. Zeitpunkt ausgezeichnet ist, können ~r und t nicht explizit erscheinen, also lautet die allgemeine
Wellengleichung
Ô(∂t , ∇)Ψ = 0
(1.97)
woraus mit der Fourier-Wellenlösung (1.95) wird
Ô(−ıω, ı~k)Ψ = 0
mit ω = ω(~k) .
(1.98)
Somit unterscheiden sich unterschiedliche Wellenausbreitungen durch den
Operator Ô und damit in ihrer Dispersionsrelation ω = ω(~k), die natürlich
die allgemeine Lösung bestimmt, wie in dem Argument der Wellenfunktion
(1.95) durch ω(~k) angedeutet ist (dort ist dann Φ durch Ψ zu ersetzen).
1.4.1
Das Eikonal
Wenn wir die Wellenausbreitungen in einem neutralen Medium beschreiben,
habe wir ausgehend von der Wellengleichung (1.90) nur in Rechnung zu
stellen, dass sich Licht dort langsamer als im Vakuum ausbreitet, nämlich
u =
c
,
n
(1.99)
um den Brechungsindex
n(~r) =
r
µε
µ0 ε0
(1.100)
als Faktor langsamer. Damit kann in diesem Fall für die Wellengleichung
geschrieben werden
½
¾
1 ∂2
∆− 2 2 Φ = 0 .
(1.101)
u ∂t
Für konstanten Brechungsindex lautet die Ein-Modenlösung
h
i
Φ = Φ0 exp −ı(ωt − ~k · ~r)
(1.102)
mit
k = ω
n
ω
2π
= k0 n =
=
c
u
λ
(1.103)
30
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
wobei die Kreisfrequenz ω = 2πν lautet und für die Wellengeschwindigkeit
u = λν gilt (ν – Frequenz). Für die Vakuumwelle gelte ω = k0 c mit der
Vakuumwellenlänge λ0 = 2π/k0 und n = 1.
Wir betrachten eine Welle, die sich in x - Richtung bewege, also ~k = n~k0 =
nk0~ex , und somit lautet die Lösung
Φ = Φ0 exp [−ık0 (ct − n x)] .
(1.104)
Nun lassen wir aber eine schwache räumliche Abhängigkeit n(~r) zu, die zur
Beugung der Welle führt. Die Schwäche“ der Abhängigkeit beziehe sich auf
”
Skalen O(λ) auf denen n noch als konstant angesehen werden kann. Das
berechtigt die Lösung wie folgt anzusetzen
Φ = exp [A(~r) − ık0 (ct − L(~r))]
(1.105)
wobei die Amplitude nun auch schwach ortsabhängig ist Φ0 = exp A(~r) und
die Ortsabhängigkeit der Phase im sogenannten Eikonal L(~r) zusammengefaßt ist. Die Ableitungen in Gl. (1.101) führen auf
∂2
∂
→ −ık0 c ;
→ −(k0 c)2
∂t
∂t2
−
und
n
(1.106)
³ ´2
1 ∂2Φ
2 c
Φ = k02 n2 Φ
=
k
0
u2 ∂t2
u
2
∆Φ = Φ (∇ [A(~r) + ık0 L(~r)]) + ∆ [A(~r) + ık0 L(~r)]
(1.107)
o
, (1.108)
die beide, Gln (1.107) & (1.108), eingesetzt in Gl. (1.101), ausmultipliziert
und nach Real- & Imaginärteil getrennt (Übung), die jeweils für sich verschwinden müssen, ergeben:
n
o
Realteil:
∆A + (∇A)2 + k02 n2 − (∇L)2 = 0 (1.109)
Imaginärteil:
∆L + 2 (∇A) · (∇L) = 0 .
(1.110)
Nun hatten wir eingangs angenommen, dass alle Ableitungen von L und
A sowie deren Krümmungen sehr klein sein sollen, sprich diese Funktionen
ändern sich auf viel größeren Skalen als die Lichtwellenlänge λ0 , und damit
erst recht bezogen auf λ = λ0 /n. Damit spielt nur der Term ∝ k02 = (2π/λ0 )2
in der geschweiften Klammer eine Rolle und man gelangt zur Eikonalgleichung:
n c o2
(∇L)2 = n2 =
(1.111)
,
u
1.5. WEGE ZUR WELLENMECHANIK
31
die formal die gleiche Aussage über die Phase/Eikonal L macht wie die
HJG bzgl. der Wirkung W. Es sollte auch erwähnt werden, dass der Gleichung (1.111), wie auch die Grundgleichungen der klassische Mechanik, einem Variations-Prinzip entspringt – dem Fermat’schen Prinzip
 s

1 Z 1

δt = δ
ds n(s)
(1.112)
c

s0
von der Minimierung der Lichtweglängen/-zeiten in der geometrischen Optik.
Hat es tatsächlich etwas mit der Analogie zwischen Wellenoptik → geometrischer Optik bzw. zwischen Quantenmechanik → klassische Mechanik (HJG) auf sich, dann sollte die Wirkung W (oder S) etwas mit der
Phase einer allgemeineren Wellenfunktion zu tun haben, nach deren dynamischen Gleichung – der Wellengleichung der Mechanik – wir noch suchen.
Den Übergang von Wellenmechanik zur klassischen vollzieht man dann auch
über Vernachlässigung bestimmter Terme – nämlich jener, die die Quanteneffekte beschreiben, die bei makroskopischen Teilchen unwichtig sind, aber
die jedoch die Dynamik von Mikroteilchen entscheidend beeinflussen.
Aber noch ist die Analogie rein formal und es gab lange Zeit keine Veranlassung, dieser Analogie eingehender nachzuspüren. Jedoch die folgenden
Beispiele werden zeigen, dass wesentlich mehr hinter dieser Analogie zu stecken scheint – sie bildet eine der Brücken“ zur Quantenmechanik/Wellen”
mechanik.
1.5
Wege zur Wellenmechanik
In den letzten Kapitel haben wir sowohl das Wellen- als auch das Teilchenbild
kurz skizziert und eine formale Analogie zwischen geometrischer Optik und
klassischer Prinzipienmechanik aufgezeigt. Ist mehr an dieser Verbindung,
dann sollte die Wirkung W eine Art Phase einer allgemeineren Wellenfunktion sein, die die Lösung einer allgemeineren Wellenmechanik ist.
Die folgenden Abschnitte werden in der Tat die Notwendigkeit einer allgemeineren Mechanik – der Quantenmechanik – an experimentellen Befunden
32
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
aufzeigen. So wird sich, wie schon eingangs angedeutet erweisen, dass Licht
Teilcheneigenschaften hat, was wir anhand des Comptoneffekts, des Photoeffekts und des Planck’schen Strahlungsgesetzes kurz aufzeigen werden.
Andererseits offenbart die Elektronenbeugung die Welleneigenschaften von
Mikroteilchen/Strahlen. Sowohl Partikeleigenschaften des Lichts aber vor allem auch die Welleneigenschaften der Teilchen widersprachen ausgangs des
19. Jahrhunderts allen geläufigen Vorstellungen. Eine grundlegende Wende
in der Theorienentwicklung zeichnete sich ab.
1.5.1
Die Krise“ der Physik: Licht — Welle vs Teilchen?
”
Die folgenden drei kurzen Skizzen von Experimenten werden aufzeigen, dass
Licht gequantelt ist und dass Energie Eph und Impuls p~ph der entsprechenden
Lichteilchen“ wie folgt lauten
”
Eph = ~ ω ;
p~ph = ~ ~k
,
(1.113)
wobei ω die Frequenz und ~k der Wellenvektor des Quants sind. Die Dispersionsrelation verknüpft die Größen zu ω = c|~k|, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist.
Andererseits stellen freie bewegte Teilchen Materiewellen dar, die folgende
Energie und Impuls haben
E =
q
p2
(mc2 )2 + c2 p~2 ≈ mc2 +
+ ...
2m
p~ = ~ ~k , λ =
h
mv
(1.114)
(1.115)
mit dem Planck’schen Wirkumsquantum h = 2π~ und der de Broglie Wellenlänge λ. Es soll nicht unerwähnt bleiben, dass de Broglie seine Wellentheorie aller Korpuskel vor der Entdeckung der Elektronenbeugung (Davisson &
Germer, 1927) formulierte. Ich empfehle im Zusammenhang mit all diesen
bahnbrechenden Arbeiten die Nobel-Vorlesungen anläßlich der Preisverleihungen auf der Seite nobelprize.org/physics/laureates in Augenschein zu
nehmen.
Plancksches Strahlungsgesetz
Planck’s bahnbrechende Arbeit; publiziert in den Verhandlungen d. dt. phys.
Gesellsch. 2 (1900), 237; basiert auf (a) dem Maximum Entropie in Form
1.5. WEGE ZUR WELLENMECHANIK
33
einer größtmöglichen Unordnung der Energieverteilung in einem Gleichgewichtssystem und (b) Energieaustausch in über Quanten. Planck modellierte die Hohlraumstrahlung mit sehr vielen Resonatoren/Oszillatoren im
thermischen Gleichgewicht der Absorption und Emission von Strahlung –
das Ganze eingeschlossen in einem Hohlraum. Genialer Grundgedanke bei
der Entropieberechnung war, dass die Energie nur in diskreten Paketen/
Quanten der Größe ǫ = ~ω auftreten darf.
Das fundamentale statistisch-thermodynamische Prinzip der Maximierung
der Unordnung (sprich Entropie), d.h. die Verteilung der Energie auf eine
maximal vieldeutige Weise, wird uns erst in der statistischen Thermodynamik (theoretische Physik IV) begegnen, d.h. erst in einem Semester. Aus
diesem Grund entwickeln wir die Beschreibung der Natur der Hohlraumstrahlung auf andere, plausible Weise basierend auf den Strahlungsgesetzen
von Rayleigh & Jeans bzw. Wien, die dem Planck’schen Strahlungsgesetz
vorausgingen.
Rayleigh und Jeans untersuchten die spektrale Energieverteilung einer in
einem Hohlraum eingeschlossenen elektro-magnetischen Strahlung, basierend auf stationären Lösungen der Gln. (1.90) bei festgehaltenen Feldern
an den Rändern des Hohlraums. Eben diese Randbedingungen zwingen den
Wellenlösungen bestimmte Eigenschaften bzgl. der Wellenlängen der eingeschlossenen Strahlung auf. Der Wellenvektor z.B. muss die Form haben
~k = π (nx~ex + ny ~ey + nz ~ez ) ,
L
(1.116)
wobei die ni ∈ G ganze Zahlen sind und L die Länge des kubischen Hohlraums. Aus der elektro-magnetischen Beschreibung, der dem d’Alambert
Operator entstammenden Disperionsrelation (1.94), kann man für die Zustandsdichte – d.h. die Zahl der Wellen dN im Frequenzintervall (ω, ω + dω)
– schreiben (Übung)
dN =
L3
ω 2 dω
2π 2 c3
.
(1.117)
Die spektrale Energiedichte, d.h. Zahl der Freiheitsgrade × Energie pro Freiheitsgrad/Volumen ⇒ dN kB T /L3 (kB T – mittlere Energie eines Oszillationsfreiheitsgrades, T – Temperatur, kB – Boltzmann konstante), lautet
damit (ebenfalls Übung)
u(ω) dω =
kB T 2
ω dω
π 2 c3
.
(1.118)
34
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
1.5
u
1.0
0.5
0.0
0
2
4
6
Omega
8
10
Abbildung 1.2: Die Kurven zeigen die verschiedenen Strahlungsgesetze: gestrichelt jenes von Rayleigh-Jeans (∝ ω 2 ), gültig für ω → 0 und das von
Wien, welches korrekte Werte für große ω liefert. Das Planck’sche Strahlungsgesetz, welches beide Extreme vereint, ist die solide Kurve.
Wäre dem tatsächlich so, würde man beim Öffnen einer Ofentür tot umfallen, denn je höher die Frequenz ω (bzw. Energie ~ω), desto
größer wird
R
die Zustandsdichte und somit divergiert die Energie U = dω u(ω) → ∞.
Das kann also nicht die ganze Wahrheit sein, sondern gilt nur für niedrige
Frequenzen, wie Experimente bestätigen.
Hingegen ergaben theoretische Untersuchungen von Wien eine abnehmende
Zustandsdichte für hohe Frequenzen
½
¾
~ω
3
u(ω) dω ∝ ω exp −
dω ,
(1.119)
kB T
(wobei wir hier die Konstante ~ eingesetzt haben, die Wien lediglich als
positiv festlegte).
Die Zusammenführung beider Grenzformeln (1.118) & (1.119) leistet Planck’s
Formel
u(ω) =
~
ω3
n
o
,
·
π 2 c3 exp ~ω − 1
kB T
(1.120)
die er aber nicht durch die Extrapolation, sondern durch die obigen statistischen Gleichgewichtsüberlegungen inkl. der Quantenannahme beim Ener-
1.5. WEGE ZUR WELLENMECHANIK
35
gieaustausch gewann.
Abbildung 1.2 zeigt alle drei Strahlungsgesetze, Rayleigh-Jeans, Wien und
das Planck’sche Strahlungsgesetz.
Die quantenstatisitische Herleitung über die Bose-Einstein Statistik ist ungleich einfacher – man beachtet nur dass Photonen masselos sind und sich
damit deren Energie und Impuls als
p
E =
m2 c4 + p2 c2 → |~
p|c = ~|~k|c = ~ω
(1.121)
p~ = ~~k
(1.122)
ergeben (man beachte dabei die aus der Maxwell-Theorie bekannte Dispersion ω 2 = c2 k 2 ) und dass sie ohne Energieaufwand absorbiert oder emittiert
werden können (chemisches Potenzial µ → 0). Dann wird die mittlere Energie eines harmonischen Oszillators/Bosons, die sich aus der Quantenstatistik
zu ǭ = ~ω[1/2 + (exp(~ω/kB T ) − 1)−1 ] ergibt, mit deren Zahl (1.117) im
Frequenzintervall multipliziert und so erhält man – abgesehen von der Nullpunktsenergie ~ω/2 – schließlich die Planck’sche Formel (1.120). Für niedrige Frequenzen oder ausreichend hohe Temperaturen folgt in guter Näherung
Gl. (1.118) (Übung).
Diese elegante deduktive Ableitung setzt jedoch Kenntnisse der Gleichgewichtsstatisitik und der Quantenmechnanik voraus, von denen wir letztere
erst hier erarbeitet werden.
Photoeffekt
Dieser und auch der Compton-Effekt (siehe Abschnitt 1.5.1) untermauern
in hervorragender Weise die Planck’sche Quantenhypothese ǫ = ~ω.
Bestrahlt man eine Metallplatte mit monochromatischen Licht, führt das je
nach Energie und Intensität der Bestrahlung zur Freisetzung von Elektronen. Beim Experiment zum äußeren lichtelektrischen Effekt läßt man die befreiten Elekronen gegen ein elektrisches Feld (Gegenspannung U ) anlaufen,
um auf diese Weise deren Energieverteilung zu messen. Welchen Photostrom
Iph (U ) in Abhängigkeit der Spannung U würde man von der Wellenbeschreibung der Bestrahlung erwarten? i) Zunächst würde man erwarten, dass bei
~ 2, B
~ 2 ) nach ausreichend langer
beliebig kleinen Strahlungsintensitäten (∝ E
Zeit auch genügend Energie übertragen worden ist, um die Freisetzungsenergie erreicht zu haben, die die Summe aus Bindungsenergie (EB – energetischer Abstand des Elektrons zur Fermi-Kante EF ) und Austrittsarbeit
Φ ist: Elib = Φ + EB (siehe Abb. 2.6). Des Weiteren sollte es keine untere
Grenzenergie Φ geben, unterhalb der keine Elektronen freigesetzt werden
36
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
E
−
Ekin
EF
EB
Abbildung 1.3: Zur Freisetzungsenergie Elib = Φ + EB eines Elektrons in
einem Metall. Die Fermi-Energie (-kante) ist EF = −Φ und mit EB ist der
energetische Abstand des Elektrons unter der Fermikante bezeichnet. Die
kinetische Energie des Photoelektrons nach Freisetzung ist Ekin , so dass ein
Photon der Energie ~ω = Elib + Ekin vonnöten ist, um das oben dargestellte
Photoelektron zu produzieren.
können.
~ 2 ) sollte die Kraft auf
ii) Mit wachsender Intensität (wachsende Feldstärke E
die Elektronen wachsen und deren kinetische Energie ansteigen.
iii) Die Zahl der Photoelektronen sollte mit eingestrahlter Intensität wachsen.
Was wurde letztlich beobachtet?
Zu i): Unterhalb einer bestimmten Frequenz ωΦ = Φ/~ des eingestrahlten
Lichts ist unabhängig von dessen Intensistät kein Photostrom meßbar – egal
wie lange man wartet. Für höhere Frequenzen ω > ωΦ wird ein Photostrom
gemessen, der jedoch bei einer fixen Gegenspannung Ugr verschwindet.
Zu ii): Die Intensität hat keinerlei Einflüß auf die kinetische Energie der
freigesetzten Elektronen Ekin = eUgr , jedoch sehr wohl die Frequenz des
Lichts, was folgende Bilanz nahe legt: ~ω = Elib + eUgr .
Zu iii): In der Tat wächst die Zahl der Photoelektronen und damit der Pho-
1.5. WEGE ZUR WELLENMECHANIK
37
5
4
U gr
3
2
1
0
0
2
4
6
Omega
8
10
Abbildung 1.4: Die Abhängigkeit der Grenzspannung Ugr (ω) von der Energie (Frequenz ω) des Lichts (beides in willkürlichen Einheiten). Aus dem
Anstieg der Messkurve kann man auf das Planck’sche Wirkungsquantum ~.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse Ugr = 0 = ~ ωlib markiert die Energie,
die das Photon haben muss, um ein Elektron aus dem Metall zu lösen.
tostrom I mit der Intensität, wie vom Wellenbild erwartet. Das steht aber
keineswegs im Widerspruch zu einer Quantenvorstellung – mit der Intensität
wächst auch die Zahl der Photonen.
Die Zusammenfassung dieser Meßergebnisse lautet von Einstein zusammengefaßt: das elektromagnische (Licht) Feld besteht aus Teilchen — den
Photonen — deren Energie ǫ = ~ω ist. Die Energiebilanz beim Photoeffekt
ist demnach
~ω = Ekin + Φ + EB ,
(1.123)
und für die Grenzenergie Ekin = eUgr , die die Elektronen an der FermiKante des Leitungsbandes (EB = 0) betreffen, gilt
~ ω = eUgr + Φ .
(1.124)
Die Austrittsarbeit Φ ist ein Materialparameter, so dass die Messung der
Grenzspannung Ugr als Funktion der Frequenz ω des eingestrahlten Lichts,
38
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
h~k
h~k
0
p~
0
Abbildung 1.5: Schematische Darstellung zum Compton-Effekt, dem Stoß
von Photonen ~~k an ruhenden Elektronen mit der Ruhenergie E0 = me c2 .
Das einfallende (~~k) und gestreute Photon (~~k ′ ) ist mit gestrichelten Linien
gekennzeichnet, wohingegen das gestoßene“ Elektron (~
p′ ) durch den soliden
”
Pfeil dargestellt ist.
die Chance bot, das Planck’sche Wirkungsquantum ~ über den Anstieg dieser Gerade zu messen (siehe Abb. 1.5).
Der Compton-Effekt
Als Compton (1921/22) Röntgenstrahlen beobachtete, welche an Graphit
gestreut worden sind, stellte er fest, dass neben der eingestrahlten Welle
auch noch eine um den Winkel θ gestreute auftrat, dessen Wellenlänge um
∆λ verschoben und dessen Energie geringer als die eingestrahlte ist (siehe
schematische Darstellung 1.5.1).
Die Streuung des Röngtenphotons kann nur mit dessen Stoß am Elektron
erklärt werden bei dem Energie und Impuls des Systems, Photon & Elektron,
erhalten bleiben. Vor dem Stoss gilt für das Photon
Eph = ~ ωph ; p~ph = ~ ~k
(1.125)
und das ruhende Elektron
Ee = me c2 ; p~ = 0 .
(1.126)
Nach dem Stoss, alle Größen werden mit einem Strich gekennzeichnet, bleiben Impuls und Energie konstant so dass wir für beide die Bilanzen schreiben
können
p
(1.127)
~ ωph + me c2 = ~ω ′ + c (mc)2 + p′2
′
′
~ ~k = ~ ~k + p~ .
(1.128)
1.5. WEGE ZUR WELLENMECHANIK
39
Der gesuchte Winkel θ ist von den beiden Wellenvektoren ~k und ~k ′ eingeschlossen (siehe Abb. 1.5.1). Dessen Größe sowie die korrespondierende
Wellenlängenänderung ∆λ kann mit Hilfe der Gleichungen (1.127) & (1.128)
2 = c2 k 2 ,
sowie der Dispersionsrelation (1.94) für die Röntgen-Photonen ωph
Gleiches gilt für das gestreute Photon, berechnet werden (Übung).
Als Ergebniss findet man die Relation zwischen ∆λ und dem Winkel θ
· ¸
θ
,
(1.129)
∆λ = 2λc sin2
2
wie in der Übungsaufgabe gezeigt wird. Mit λc = h/(mc) = 2, 42 · 10−12 m
bezeichnet man die Comptonwellenlänge.
Auch hier war wieder die Quantenhypothese mit Eph = ~ω und p~ph = ~~k
für die Röntgenphotonen der Schlüssel zur Beschreibung der Beobachtungen
des Compton-Experiments vonnöten
Elektronenbeugung
Hier sei nur erwähnt, dass de Broglie’s geniale Wellenhypothese von Materiestrahlen, charakterisiert durch folgende Energien und Impulse
p~ = ~ ~k
p
p2
E = c (mc)2 + p2 ≈ mc2 +
+ ...,
2m
(1.130)
(1.131)
durch Experimente von Davisson & Germer sowie Thomson & Rupp (1928)
mit Elektronen und auch von Stern mit Helium eindrucksvoll bestätigt wurde.
Hat z.B. das Elektron vorher eine Spannungsquelle U durchlaufen, so ist
seine Energie
E = mc2 + eU ≈ mc2 +
p2
.
2m
(1.132)
Löst man Gl. (1.132) unter Beachtung von λ = 2π/k (Gl. (1.130)) und
~ = h/2π nach λ auf, ergibt sich
r
mc2
h
λ =
,
(1.133)
mc 2eU
d.h. diese Wellenlänge ist von der Größenordnung der Compton-Wellenlänge
λc = h/(mc). So verwundert es nicht, dass ein Vergleich zwischen Ergebnissen von Elektronen- und Röntgenbeugung sich fast gleichen, wie Thomson
1928 feststellte.
40
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Zusammenfassung: Welle vs. Teilchen
Ende des Kapitels 1 habe wir eine formale Analogie zwischen klassischer
Prinzipienmechanik bzw. geometrische Optik aufgezeigt. Letztere ließ sich
aus der Wellenoptik unter Vernächlässigung von Dimensionen von der Größe
der Lichtwellenlänge λ herleiten – m.a.W.: die Eigenschaften des Mediums,
in dem sich das Licht ausbreitet, ändern sich auf weit größeren Skalen als
λ. Die Frage stand nun: (a) Steckt mehr hinter dieser formalen Analogie?
– Und (b) wenn ja, welche wellenmechanische Gleichung liegt der HJG
zugrunde.
Die positive Beantwortung der Teilfrage (a) haben wir in den letzten Abschnitten mit vielen (berühmten) experimentellen (und auch theoretischen)
Fakten untermauert und nun bleibt noch, die grundlegende Wellengleichung
der Mechanik zu erarbeiten. Dazu wollen wir noch einmal die Ergebnisse
der Beobachtung zur Quantennatur des Lichts bzw. Wellennatur bewegter
Teilchen in Formeln gießen.
Für Quanten der elektromagnetischen Strahlung fanden wir folgende Beziehungen für Energie und Impuls:
Eph = ~ ω (= c|~
pph |) ; p~ph = ~ ~k .
(1.134)
Analog gilt für Materiewellen (frei)
E = c
p
p2
; p~ = ~ ~k .
(mc)2 + p2 ≈ mc2 +
2m
(1.135)
Im nächsten Abschnitt werden die Gemeinsamkeiten dieser Ausdrücke die
Brücke zur Schrödingergleichung schlagen.
1.6
1.6.1
Die Schrödinger-Gleichung
Eine plausible Herleitung“
”
Um den im letzten Abschnitt angekündigten Brückenschlag zu vollziehen,
wollen wir hier der Einfachheit nur ein freies Teilchen [U (~r) → 0] und die
Ausbreitung von Licht in einem homegenen Medium (Vakuum) betrachten.
Teilcheneigenschaften offenbaren sich bei Stoßprozessen, wie gesehen beim
Compton-Effekt oder beim Photoeffekt die Lichtquanten betreffend. Teilchen
sind durch Impuls p~ und Energie bzw. seine Hamilton-Funktion E = H(~
p=
∂~r S) charakterisiert.
1.6. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
41
Andererseits treten Welleigenschaften bei Beugungs - u. Intereferenzerscheinungen zutage, wie sie z.B. Elektronen oder andere Teilchen in DebyeScherrer Aufnahmen (Beugungsbilder) bei Beugungen an Kristallen zeigen.
Wir fassen also aus dem Teilchen- und Wellenbild [Gln. (1.75) & (1.97)]
zusammen:
Teilchenbild:
Wellenbild:
H(~
p = ∇S) = E
Ô(∂t , ∇)Ψ = 0 .
(1.136)
Um beide Bilder zusammenzuführen werden wir die Einstein- und die de
Broglie Beziehungen
E = ~ω
;
p~ = ~ ~k
(1.137)
bemühen, die durch die Fakten des letzten Abschnittes nahegelegt werden.
Andererseits ist eine Welle durch die Funktion
´o
nı o
n ³
W
(1.138)
= Ψ0 exp
Ψ = Ψ0 exp ı ~k · ~r − ωt
~
gegeben, wobei wir beim Ausdruck auf der rechten Seite beachtet haben,
dass wir für die Wirkung im Kapitel 1 fanden: W = S − Et = ∇S · ~r −
Et = p~ · ~r − Et. Es erscheint unter Ausnutzung der Beziehungen (1.137)
die Wirkung W in der Tat als Phase einer Wellenfunktion, wie die Analogie
zwischen Prinzipienmechanik und geometrischer Optik in Abschnitt ?? schon
vermuten ließ. Laßt uns sehen, wohin diese Analogie führt.
Zunächst wenden wir uns nichtrelativistischen Elektronen zu, deren HJG
lautet
H(~
p) =
p2
= E
2m
⇒
~ω =
(~~k)2
2m
(1.139)
wobei wir die Relationen (1.137) verwendeten. Die Wellennatur (1.138) bedeutet aber gleichzeitig, dass man Frequenz und Wellenvektor durch folgende
Operatoren ersetzen kann:
ω → −
1 ∂
;
ı ∂t
~k → 1 ∇
ı
.
(1.140)
Diese Operatoren eingesetzt in Gl. (1.139) ergibt die Schrödinger Gleichung für ein freies Teilchen
ı~
∂Ψ
~2
= −
∆Ψ = Ĥ(p~ˆ) Ψ
∂t
2m
(1.141)
42
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
wobei der Hamilton-Operator im allgemeinen Fall, also bei Anwesenheit von
Potenzialen U (~r), gegeben ist mit:
³ ´
p~ˆ 2
+ U (~r)
Ĥ ~r, p~ˆ =
2m
(1.142)
wobei von den Impuls-Operatoren
~
∇
p~ˆ =
ı
(1.143)
Gebrauch gemacht wurde. Hier sei angemerkt, dass wir in Gln. (1.141)
& (1.142) stillschweigend von einem freien Teilchen zu einem gebundenen
[U (~r) 6= 0] übergegangen sind. Wir werden aber noch sehen, dass das die
richtige (wenn auch zunächst intuitiv erscheinende) Erweiterung ist.
Damit haben wir offenbar die gesuchte übergeordnete wellenmechanische
Gleichung gefunden. Wir werden im übernächsten Unterabschnitt zeigen,
dass daraus tatsächlich die HJG folgt, wenn die Teilchen makroskopisch
sind.
Nun verbleibt auch noch das Wellenbild in diesen Dualismus zu passen. Diese
Übergänge wollen wir hier nur andeuten:
Ô(∂t , ∇)Ψ = 0
∂t → −ıω
⇒
∇ → ı~k
(
Ô(−ıω, ı~k)
ω = ω(~k)
)
E = ~ω
⇒
p~ = ~~k
E = H (~
p) ,
will meinen: dass aus der Differenzialgleichung (Operator) beim Ansatz ebener Wellen die Dispersionsrelation folgt und die wiederum mit den Beziehungen (1.137) in eine Hamilton-Funktion überführbar ist. Das Konzept auf
den d’Alambert Operator angewendet ergibt:
¤Ψ = 0 ⇒ ω = c|~k| ⇒ E = H (~
p) = c|~
p| ,
(1.144)
wobei letzteres tatsächlich die p
relativistische Hamilton-Funktion für ein masseloses Teilchen ist: H (~
p) = c (mc)2 + p~2 = c|~
p|.
Damit scheint Versuch, beide Bilder in plausibler Form zu einen, zunächst
gelungen. Bleibt noch zu erwähnen, dass die Methode des Schlusses auf die
Wellengleichung nicht eindeutig ist, denn je nachdem ob man als Dispersionsrelation ω = c|~k| oder ω 2 = c2~k 2 wählt, wird man auf verschiedene
1.6. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
43
Wellenoperatoren geführt. Es müssen noch Kenntnisse über die Eigenschaften der Teilchen in das Modell eingebaut werden.
Wollte man
pz.B. für relativistische Teilchen mit m 6= 0 die Hamilton-Funktion
H (~
p) = c (mc)2 + p~2 zur Grundlage machen, würde man auf die KleinGordon Gleichung geführt, die nicht die adäquate Gleichung z.B. für relativistische Elektronen ist – da gibt es noch Probleme mit dem Spin. Die
Dirac-Gleichung wird sich als die richtige relativistische Erweiterung für
Spin-behaftete Teilchen erweisen. Es gibt jedoch Elementar-Teilchen mit
Spin 0, die mit der Klein-Gordon Gleichung beschrieben werden können wie z.B. skalare Mesonen. Hier soll nur erwähnt werden, dass oft noch weitere Informationen für die Erweiterung der Theorie im hier beschriebenen
Sinn nötig sind.
%1 / j21j
1
2
%2 / j22j
% / j1 + 2j2
Abbildung 1.6: Doppelspaltexperiment zum Nachweis der Elektronenbeugung.
Wellenfunktion Nr. I
Einige Bemerkungen zur Bedeutung der Wellenfunktion vorab. Dazu wollen wir ein Doppelspaltexperiment mit Elektronenstrahlen betrachten (siehe Abb. 1.6). Zunächst sei immer nur ein Spalt geöffnet und es wird sich
am Schirm die Verteilung ̺j (x) (j = 1, 2 – Index der Spaltöffnung) mit
einem einzigen Maximum abzeichnen. Sind beide geöffnet stellt sich keineswegs die Summe ein ̺(x) 6= ̺1 (x) + ̺2 (x), sondern analog Lichtwel~
leninterferenzen, bei denen die Intensitäten I ∝ |E(x,
t)|2 mit den Wellen
44
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
~ 2 ] 6= I1 + I2 ,
~ =E
~1 + E
~ 2 ∝ exp [ık(l1 + l2 )] ⇒ I = I1 + I2 + 2ℜ[E
~∗ · E
E
1
kann man Superposition der Wellenfunktionen
̺(x) = |Ψ1 + Ψ2 |2 = ̺1 (x) + ̺2 (x) + 2ℜ(Ψ1 , Ψ2 )
(1.145)
Ψ ∝ exp (ıW/~)
(1.146)
mit
erwarten und dem Skalarprodukt (a, b) (Definition siehe Abschnitt ??).
Also gilt offenbar, um die Analogie zwischen el.-mag. Wellen konsequent fortzusetzen, ̺(x) = |Ψ|2 . Aber was ist diese Amplitude |Ψ|2 , welche Bedeutung
hat sie?
Insofern sieht das Verhalten elektro-magnetischer Wellen und der Materiewellen gleich aus – ABER – hat man sich ein Elektron nun als ausgedehnte Wellenfront vorzustellen? Nein – jedes Elektron trifft lokalisiert auf den
Schirm, es handelt sich um Wellenpakete, die wir in Kürze behandeln wollen
(siehe Abb. 1.6). Aber summiert man die Ereignisse, bei beiden geöffneten
Spalten, dann stellt sich mit wachsender Zahl N der Elektronen das Interferenzbild immer klarer dar – und das unabhängig von den Zeitpunkten des
Auftreffens der einzelnen Elektronen. Es spielt z.B. keine Rolle, ob die Quelle
sehr schwach ist und somit nur ab und an ein Elektron freisetzt. Dieses freigesetzte Teilchen wird einen der beiden Spalte passieren und am Detektor
ein lokalisiertes Signal verursachen, was zunächst überhaupt nichts mit einer
Welle oder einem Interferenzmuster gemein hat – was wir aber in Abb. 1.6
beim Elektronendoppelstrahl in der Tat beobachten. Das Interferenzmuster
in Abb. 1.6 unterscheidet sich nicht vom dem einer e.m. Welle hervorgerufen
durch einen Doppelspalt.
Da das Elektron ein Punkt“-Signal verursacht, ist ̺ sicher nicht mit der
”
Materiedichte zu identifizieren, denn dann müßte auch ein Elektron ein ausgedehntes Interferenzbild liefern – also beide Spalte passieren. Das tut es
nicht – geht auch gar nicht, da man sonst auch Bruchteile von Elementarladungen erwarten dürfte (nun, das Elektron müßte sich irgendwie teilen
und damit auch seine Ladung – und das wurde nie beobachtet). Wenn wir
aber jetzt bei der schwachen Quelle lange genug warten, dann zeichnet sich
mehr und mehr das Interferenzbild ab. Die Elektronen werden also mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit Spalt 1 oder 2 passieren und die Größe
̺ ∝ |Ψ2 | ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu bestimmter Zeit und
an einem bestimmten Ort zu finden. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude o.
Wellfunktion Ψ = Ψ1 + Ψ2 setzt sich dann aus den Einzelwegen additiv
1.6. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
45
zusammen. Dann stellt allerdings der Ausdruck (1.145) aus der Sicht lokalisierter Teilchen (und auch unabhängiger/unkorrelierter Spalte) zunächst
eine Merkwürdigkeit dar. Denn für die Beobachtung am Schirm an der Stelle x bedeutet ̺(x) 6= ̺1 (x) + ̺2 (x), dass das Elektron nicht 100%ig vom
Spalt 1 oder 2 herkommt – oder auch, dass das Elektron nicht 100%ig bei x
zu finden ist.
Feynman erörtert das in unnachahmlicher Weise in seinem Buch Quantum
”
mechanics and Path integrals“, McGraw-Hill, New York 1965, und arbeitet
die Unschärfe bei Quantenteilchen als Ursache für diese scheinbar paradoxe
Situation heraus (Kopie des Buches ist bei F. Spahn zu haben). Er stellte zunächst die Frage, ist sicher, dass die Elektronen durch Spalt 1 oder 2
kommen und nicht von irgendwoanders her bzw. welcher Teil zur absolutione Sicherheit fehlt“. Dazu dachte er sich eine Meßvorrichtung aus, die mit
”
Licht registriert, an welchen Spalt das Elektron austritt. Nun, um es kurz zu
machen: die Elektronen kommen definitiv entweder durch 1 oder 2 (gleichbedeutend mit ̺(x) = ̺1 (x) + ̺2 (x)), sie werden aber von den Meß“-Quanten
”
gestreut ∆p 6= 0 und beeinflußt ∆x 6= 0. Selbst ohne diese Apparatur verursachen die Spalte eine Veränderung der Elektronenimpulse ∝ ~~k, was dann
zu dieser Unsicherheit ∆p∆x führt.
Wir werden dieses Bild vom Doppelspalt, erweitert auf viele (in der Grenze unendlich viele) Spaltgitter und jedes mit unendlich vielen Spalten, im
nächsten Abschnitt zur Veranschaulichung der Pfadintegralmethode nutzten.
1.6.2
Pfadintegrale und Propagator
Hier wollen wir noch eine weitere, anschauliche Methode angeben, die Wellenfunktion der Quantenmechanik zu gewinnen, die auf Richard P. Feynman [2] zurück geht. Sie entspringt im Wesentlichen Feynmans Bestreben,
das Hamilton-Prinzip auf die Quantenmechanik zu übertragen, d.h. eine
Unbestimmtheit in den kanonisch-konjugierten Variablen zuzulassen, und
diese Überlegung führte ihn auf die Pfadintegralmethode. Um diese zu motivieren und zu illustrieren, wollen wir von der klassischen Trajektorie eines
Teilchens/Systems, es kann sich um ein Quantensystem oder auch ein klassisches handeln, ausgehen. Wir haben im Abschnitt 1.3 herausgearbeitet,
dass die klassische Trajektorie durch δW = 0 bestimmt und damit auch
eindeutig definiert ist. Die Analogieüberlegungen zwischen Wellenoptik und
geometrischer Optik, sowie andererseits zwischen den Grundgleichungen der
klassischen Mechanik (HJG) und der geometrischen Optik haben uns dazu
46
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
S
(x1, t1)
(xi, ti)
Ψ3
Ψ1
D
(x0, t0)
Ψ2
ǫ = tN − t0/N
Ψ∝
P
alle
Ψi
(xN , tN )
Abbildung 1.7: Beitrag aller Pfade zur quantenmechanischen Wahrschein”
lichkeitsamplitude“. Die wahre Trajektorie soll die waagerechte rote fette Linie darstellen, für die die Wirkung ja ein Minimum haben muss δW = 0 und
somit konstant ist. Für alle anderen Trajektorien wird δW =
6 0 entsprechend
der Abweichungen δxi von der klassichen Trajektorie variieren. Enscheidend
ist, ob es sich um eine klassisches (W ≫ ~) oder eine quantenmechanisches
System (W >& ~) handelt. Die Summe der von der klassischen Trajektorie
abweichenden Einzelpfade Ψi ∝ exp {ıW/~} werden sich für eine klassisches
System auslöschen, da jede Variation der Bahn große Änderungen in der
Phase der Wellenfunktionsbeiträge δW/~ ≫ 1 nach sich ziehen (s. Text).
Bei Quantensystemen ist hingegen δW ≈ O(~) und benachbarte Pfade liefern Beiträge, eben wegen der Unbestimmtheit von Orten und Impulsen.
geführt, dass diese Wirkung W das Argument/Phase einer übergeordneten
Wellenfunktion Ψ ∝ exp {ıW/~} ist.
Die Deutung des Doppelspaltexperiments inklusive der Unschärfe von Mikroteilchen, erörtert im letzten Abschnitt, könnte einen bei Existenz von
Alternativen Ψi des Systems sich vom Zustand bei t0 hin zum Endpunkt tN
nun veranlassen, die wahre Wellenfunktion Ψ als Summe über die Alternativen/Pfade
Ψ = constant
X
Ψi
alleP f ade
aufzufassen. Wie ist diese Summe/Integral nun zu konstruieren.
(1.147)
1.6. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
47
Dazu dachte sich Feynman das betrachtete Zeitintervall tN − t0 (in der
Klassik hatten wir den Anfangs- u. Endzeitpunkt als t0 & t1 bezeichnet,
was nun mit der Diskretisierung in Konflikt gerät – deshalb tN als Endpunkt) in N kleine Intervalle ǫ = (tN − t0 )/N aufgeteilt (siehe Abb. 1.7).
Zu allen diesen Zeitpunkten sind nun die Pfade im Ortsraum ~ri (i – Teilchenindex, im Folgenden werden wir nur 1 Teilchen in einer Ortsdimension x betrachten ⇒ ~ri → ~r → x) festzumachen, und zwar an Stellen,
die durch eine Diskretisierung der xj -Achsen [j – Index zur Zeitdiskretisierung tj , j ∈ (0, N )] festgelegt sind. Man kann sich die Diskretisierung
der xj wie eine Vielzahl von Spalte vorstellen, deren Zahl gemäß n → ∞
divergiert. Nun kann man es sich einfach machen und zwischen den Punkten tj , xj eines Pfades Geraden (ebene Wellen) annehmen – die propagierde
Wellenfunktion/Wahrscheinlichkeitsamplitude Ψ(t = tN , x) (daher Propagator) wird dann nur über die Pfadlänge bestimmt, die bei, vom klassischen
Pfad abweichenden Wegen Änderungen in die Phase ı [W + δW] /~ eingehen. Wichtig ist, dass jeder Pfad gleichwahrscheinlich zur gesamten WKAmplitude beiträgt. Wie kann das sein kann, werden wir sofort verstehen,
wenn wir uns die Wirkung W/~ als Phase in Einheiten der Planck’schen
Wirkungsquantums ~ gemäß Gl. (1.146) in Erinnerung rufen.
Im Grenzübergang wird man dann auf Integrale geführt, die sich zum Pfadintegral (1.149) ergeben. Diese Prozedur ist prinzipiell
P nichts anderes als
die Grenzbetrachtung, die auch von der Summe A ∝ f (xn ) als Näherung
für die Fläche A unter einer Kurve f (x) zum Riemann-Integral
Zb
a
dx f (x) = lim h
h→0
X
f (xn )
(1.148)
führt. Man erkennt, dass der Proprotionalitätsfaktor vor der Summe von der
Diskretisierung (bei Riemann h, beim Pfadintegral ǫ) zum Zwecke der Regularisierung abhängt. Beim Pfadintegral ergibt eine rigorose mathematische
Betrachtung (wie hier nicht weiter ausgeführt werden soll, siehe [2]) einen
Faktor ∝ ǫ−N/2 (siehe unten), der Divergenz beim Übergang von der Summe
zum Integral verhindert. Die Wahrscheinlichkeitsampiltude/Wellenfunktion
48
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Ψ erhält man dann als Funktional
Z
nı
o
1 dx1 dxN −1
exp
...
W(b, a)
K(b; a) = lim
ǫ→0
~
|A A {z A }
Dx(t)
=
Zb
exp
a
nı
~
o
W(b, a) Dx(t)
(1.149)
des Propagators K(b; a) — Normierungskonstante
A=
r
2πı~ǫ
,
m
der sich als Green’sche Funktion/Umkehroperator zum Schrödinger DifferenzialOperator erweisen wird. In diesem Sinne wird die zeitliche Entwicklung des
Zustands Ψ(x, t) bei gegeben Anfangszustand Ψ(y, t0 ) über die ÜbergangsWahrscheinlichkeiten — dem Propagator — vermittelt
Z
K(x, t, y, t0 ) Ψ(y, t0 ) dy .
(1.150)
Ψ(x, t) =
R
Diese Darstellung ist die Green’schen Lösung zur SGL mit der Greenschen
Funktion K = G. Der Integralkern
hΨ(x, t)|Ψ(y, to)i = K(b, a)
(1.151)
ist mit dem Pfadintegral (1.149) gegeben. Die braket“ Definition hφ|ψi
”
folgt im nächsten Kapitel und hat mit inneren Produkten (Skalarprodukten)
in Hilbert-Räumen quadratisch integrierbarer Funktionen (φ, ψ) zu tun, in
denen die quantenmechanischen Größen operieren (daher vielleicht auch der
Begriff Operator“).
”
Die Determinierung eines nachfolgenden Zustands durch den vorangegangenen, wie sie der Formulierung des Pfadintegrals (1.150) & (1.149) zugrunde
liegt, ist einerseits damit begründet, dass die SGL eine Differentialgleichung
1. Ordnung bzgl. der Zeit ist und somit sind zukünftige Zustande eindeutig (linear) bestimmt sind. Andererseits ist die SGL linear, was zur Summe/Integration der verschiedenen Pfade bzw. deren Wahrscheinlichkeitsamplituden an jedem Zeitpunkt berechtigt. Ähnlich wie bei Markov-Prozessen
(Stochastik) bestimmt dann der Zustand bei ti den nachfolgenden zu ti+1 .
1.6. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
49
Wie kann man nun aus dem Integral (1.149) auf den klassischen Grenzfall schließen? Recht einfach! In klassischen Systemen gilt die Proportionalität der Wirkung zur Masse des Teilchens m (W ∝ m ≫ ~), die da
ja verhältnismäßig groß ist. D.h. die Argumente unserer Wellenfunktion
Ψ ∝ exp {ıW/~} ∝ cos (kx)+ı sin (kx) sind durch große Impulse (k) gekennzeichnet (hier haben wir wieder von der Beziehung W = ~(kx−ωt) Gebrauch
gemacht). Jede im klassischen Sinne kleine Änderung δx des Pfades, führt
zu sehr großen δW ≫ ~ und damit zu riesigen Änderungen in den Argumenten der Winkelfunktionen. Statistisch gesehen sind negative und positive
Änderungen gleicher Größenordnung bei Wahrscheinlichkeitsamplituden Ψi
nicht-klassischer“ Pfade gleich wahrscheinlich und mitteln sich letztlich her”
aus. Es bleibt nur die klassische Trajektorie mit exp (ıW/~) = const. übrig,
und man erhält
Z
W = const. oder äquivalent δW =
dt L(x, ẋ, t) = 0 , (1.152)
das Hamilton-Prinzip der klassischen Mechanik.
Alternativ kann man nun auch verstehen warum bei Quantensystemen,
W & ~, auch deutlich benachbarte Trajektorien zur Wahrscheinlichkeitsamplitude beitragen – Ursache ist die Unbestimmtheit die solche Systeme
charakterisiert.
Zerlegung von K(b, a) – Markov Prozess
Eine Eigenschaft des Propagators K(b, a) ist seine Aufspaltbarkeit bzgl. Teilintervalle im Zeitraum t ∈ (t0 , tN ), bzw. zwischen den Punkten a (Anfangspunkt) und dem Endpunkt b. Man wähle einen Zwischenzeitpunkt
a∼
= t 0 < tk ∼
= c < tN ∼
= b den wir fixieren wollen. Wir integrieren zunächst
von a nach c und danach von c nach b, wobei der Punkt xk von diesen
Integrationen zunächst ausgespart wird. Man kann also schreiben
¶
µ
Z
Z
Z
W(c, a)
1
dx1
dxk−1
K(b, a) =
dxk lim
...
exp ı
ǫ→0 A
A
A
~
x1
xk−1
µ
¶
Z
Z
1
W(b, c)
dxN −1
dxk+1
∗
...
exp ı
(1.153)
A
A
A
~
xN −1
xk+1
und mit der Definition (1.149) des Propagators wird
Z
K(b, a) =
dxk K(b, c) K(c, a) .
(1.154)
50
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Nimmt man einen zweiten Zwischenpunkt d ∼
= (tj , xj ) im Intervall hinzu,
wird man aus den gleichen Gründen auf die Form
Z
Z
K(b, a) =
dxk
dxj K(b, d) K(d, c) K(c, a)
(1.155)
geführt. Setzt man diese Zerlegung solange weiter fort, bis man bei der ursprünglichen Diskretisierung endet, erhält man eine alternative Darstellung
des Propagators
K(b, a) =
Z
Z
xN −1 xN −2
...
Z NY
−1
x1
1
Ki Dx(t) ,
mit dem Einzelpropagatoren
½
µ
¶¾
xj+1 − xj xj+1 + xj tj+1 + tj
1
ıǫ
exp
L
,
,
Kj =
.
A
~
ǫ
2
2
(1.156)
(1.157)
In einer Übung soll K(b, a) für ein freies Teilchen berechnet werden. Hinweis: der Einzelpropagator für das Problem lautet
r
n ım
o
m
1
Kj =
exp
(xj+1 − xj )2
,
2πı~ǫ
2~ǫ
der dann mittels Gl. (1.156) zum Popagator integriert werden muss. Danach
soll gezeigt werden, dass K 1 (b, a) die Green Funktion zum Schrödinger Operator (1.159) ist.
Pfadintegrale erlauben eine alternative Beschreibung der Quantenmechanik.
Im Vergleich zu den Formulierungen der Quantentheorie von Schrödinger
ermöglicht die Pfadintegral - Methode oft ein anschaulicheres Verständnis
quantenmechanischer Phänomene. Entscheidend ist, dass eine vollständige Äquivalenz zur Wellenmechanik Schrödingers besteht, wie wir
über die Green’sche Methode klar zu machen hofften. Trotz ihrer wesentlich
schwierigeren Handhabbarkeit bei der Lösung von konkreten quantenmechanischen Problemen trägt die Pfadintegral-Methode zu einem grundsätzlichen Verständnis der Quantenmechanik bei. Deshalb haben wir schon hier
in Quanten I - Vorlesung dieses Vorgehen skizziert.
1.6. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
51
Im Prinzip bezeichnen die Gln. (1.149) - (1.150) eine Kette von einzeitigen
bedingten Wahrscheinlichkeiten zwischen benachbarten zeitlichen Diskretisierungen i und i + 1, wobei über alle möglichen Wege, und damit Werte von
xi (gleicher
Amplituden, aber unterschiedlicher Phasendifferenz) summiert
R
wird ( Dx(t)... ) – ebenso wie bei stochastischen Prozessen beschrieben
durch eine Kette von Markov-Prozessen.
Folgender Eselsbrücken“ sollte man sich erinnern:
”
Propagator =
b Greensche Lösung der SGL ⇔
Prozessen.
1.6.3
Kette von Markov-
Skizze der Greenschen Lösung
Das Einsetzen von
Z
Z
Ψ(x, t) =
K(x, t; y, t0 ) Ψ(y, t) dy =
G(x, t; y, t0 ) Ψ(y, t) dy(1.158)
in die Schrödinger-Gleichung, ergibt bei Vertauschung von Integration und
Differentation letztlich
µ
¶
∂
Ĥ − ı~
G(x|y) = − ı ~ δ(x − y) δ(t − t0 ) ,
(1.159)
∂t
wobei die Inhomogenität auf der rechten Seite die Anfangsbedingungen betrifft.
Nun stellt aber Gl. (1.159) aber gerade eine Gleichung dar, die die Green’sche
Funktion des Schrödinger-Operators, Ausdruck in geschweifter Klammer
auf der linken Seite, erfüllen muss. Mit dem Propagator K(b, a) = G(b|a)
kann dann die Lösung der Schrödingergleichung für eine beliebige integrable/normierbare Anfangs-Wahrscheinlichkeitsamplitude Ψ(y, t0 ) konstruiert
werden.
Wegen der Bedeutung der Green’schen Methode für die theoretische Physik,
sei hier noch einmal eine kleine Zusammenstellung gebracht.
(B) Einschub: Greensche Methode:
Gegeben sei eine inhomogene partielle Differentialgleichung
ˆ , r̃, t) ψ = A(r̃)
Ô(~p
(1.160)
52
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
∃ Funktion Ô G(~r|~r′ ) = δ(~r − ~r′ )
dann kann eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung (1.160) wie
folgt dargestellt werden
Z
ψ(~r, t) =
d3~r G(~r|~r′ ) A(~r) .
(1.161)
Genau in diesem Sinne ist die Propagatordarstellung (1.159) und das Pfadintegral (1.149) zu verstehen. Hier sollte nur die Schrödingergleichung als
Evolutionsgleichung in Erinnerung bleiben.
Im o.g. Sinne ist der Propagator als Greensche Funktion zu verstehen, wobei
hier der Anfangszustand ψ(~r0 , t0 ) als Inhomogenität fungiert 1 ≡
R
G(~r|~r ) ψ(~r0 , t0 )d3~r0
⇒ ψ(~r, t) =
| {z 0}
K(~
r (t)|~
r0 (t0 ))
Übung: Potentialtheorie, man konstruiere die Lösung der Poisson-Gleichung
∆U = 4πGρ
(a) mit physikalischen Argumenten (Summe über Volumenelemente bei ~r′
gewichtet mit dem inversen Abstand |~r′ − ~r|)
(b) und man zeige, das der Integralkern des entstehenden Funktionals die
Green-Funktion zum Laplace-Operator ist.
1.6.4
Schrödinger Gleichung vs Hamilton-Jacobi Gleichung
Im Folgenden wollen wir hier eine Brücke vom Propagator (1.149), d.h. der
aufeinanderfolgenden Markov-Prozesse, bzw. der Wellenfunktion zur klassischen Mechanik bzw. Quantenmechanik schlagen. Setzen wir die Wellenfunktion Ψ, bzw. den Integranden des Integrals (1.150) ∝ exp(iW/~) in die
Schrödingergleichung
½
¾
∂Ψ
~2
i~
=
−
∆ + U (~r) Ψ
(1.162)
∂t
2m
ein erhalten wir durch Differenziation (Übung) die komplexe Diffusionsgleichung
−
∂W
1
1 ~
=
(∇W)2 + U (~r) +
∆W .
∂t
2m
2m i
(1.163)
1
Beispiel der zeitlichen Propagatorlösung einer linearisierten Diffusionsgleichung siehe:
Sremčević, Spahn & Duschl 2002, MNRAS 337, 1139-1152
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
53
Diese Gleichung ist bis auf den letzten Diffusionsterm in der Tat die HamiltonJacobi Gleichung der klassischen Mechanik. Aber gerade der Diffusionsterm
bringt die Unbstimmtheit quantenmechanischer Systeme zum Ausdruck. Ist
|W| ≈ ~ dann tragen auch Pfade in der Nachbarschaft der klassischen Trajektorie zum Integral und damit zur Zeitentwicklung der Wellenfunktion
Ψ(~r, t) bei, wie oben eingehend erläutert wurde.
1.7
Wellenfunktion, Hilberträume & Operatoren
In den letzten Abschnitten haben wir einige Darstellungen der Grundgleichung, Schrödingergleichung, und der Grundgröße, Wahrscheinlichkeitsamplitude/Wellenfunktion Ψ, kennengelernt, die einen quantenmechanischen
Zustand charakterisieren. Anhand des Doppelspaltexperiments versuchten
wir die Bedeutung von Ψ herauszustellen – und stellten fest, dass es weder
eine Materiedichte noch eine Ladungsdichte (z.B. wegen der Unteilbarkeit
der Elementar aldung e) sein kann, sondern mit ihr kann die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (WK), ein Teilchen zur Zeit t am Ort ~r zu finden (oder
auch ein System von Teilchen, siehe unten), berechnet werden. Man beachte, dass die Wellenfunktion Ψ komplex ist und physikalische Größen, wie
die WK ̺, reel sein müssen.
¯ ¯ Die einfachste reelle Größe die man mit Hilfe
von Ψ bilden kann, ist ¯Ψ2 ¯ = Ψ∗ Ψ, wobei mit Ψ∗ ihr konjugiert komplexes
Pendant bezeichnet ist. Diese Größe hatten wir auch in direkter Analogie
~ ∝B
~ 2 beim Doppelspalt-Experiment
zur Intensität el.-mag. Wellen, I 2 ∝ E
herausgefunden.
Definition: Es seien mit ~r1 , ~r2 , ..., ~rN die Koordinaten eines quantenmechanischen N -Teilchensystems zu einem Zeitpunkt gegeben, dann ist
¯ ¯
̺ dξ = ¯Ψ2 ¯ dτ1 ... dτN = Ψ∗ Ψ dξ
(1.164)
die Wahrscheinlichkeit dafür Teilchen 1 im Volumenelement dτ1 = d3 r1 um
den Ort ~r1 , Teilchen 2 im Volumenelement dτ2 um ~r2 , ... usw. bis Teilchen
N, zum Zeitpunkt t zu finden. Die Wellenfunktion Ψ(~r1 , ..., ~rN , t) ist dabei
eine Funktion der Orte aller Teilchen
Q ~ri und der Zeit t. In Gleichung (1.164)
haben wir die Abkürzung dξ =
dτi verwendet. Im Allgemeinen werden
i
wir in diesem Kurs aus Gründen der Einfachheit nur 1 Teilchen behandeln
⇒ Ψ(~r, t).
¯ ¯
Mit ̺ = ¯Ψ2 ¯ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet.
Falls das Integral über den Ausdruck (1.164) existiert, gilt die Normierung
Z
Z
Z
¯ ¯
dξ ̺(ξ, t) =
dξ ¯Ψ2 ¯ =
dξ Ψ∗ Ψ = 1
(1.165)
54
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
wobei das Integral über den ganzen Konfigurationsraum zu erstrecken ist.
Die Existenz dieses Integrals impliziert auch das Verschwinden von ̺ → 0
für ||ξ|| → ∞.
Nun kann man entsprechend der WK-Theorie annehmen, dass Mittelwerte/Erwartungswerte (EW) einer physikalischen Größe, die in der Quantenphysik durch Operatoren Â beschrieben werden, durch Ausdrücke wie
Z
hAi =
dξ ̺(ξ, t)Â
(1.166)
gegeben sind, wobei man noch beachten muss, dass der Operator auf einen
Teil von ̺ zu wirken hat, damit in der Tat ein EW einer Größe und nicht
seines Operators entsteht.
Wie das genau gemacht wird, werden wir in den folgenden Abschnitten
beschreiben. Jedoch zuvor werden wir noch eine wichtige Eigenschaft der
Wellenfunktion, die Superposition von Zuständen ist wieder ein Zustand
dank der Linearität der SGL, diskutieren, die direkt den Zusammenhang
zwischen Welleneigenschaften und Unschärfe erhellt.
1.7.1
Wellenpakete & Unschärfe
Die Linearität der SGL gestattet eines der wichtigsten Prinzipien der Quantenmechanik – dem Superpositionsprinzip – das wir auch schon beim Pfadintegral stillschweigend verwendent haben (sonst wären wir gar nicht berechtig
gewesen, den Propagator als Summe über alle Pfade darzustellen). Sind, um
mal einen einfachen Fall anzusprechen, Ψ1 und Ψ2 Zustände, in denen sich
ein quantenmechanisches System befinden kann, so ist auch folgende Linearkombination
Ψ = a1 Ψ1 + a2 Ψ2
(1.167)
mit den von Null verschiedenen komplexen Koeffizienten a1 und a2 wieder
ein Zustand des Systems. Wie in einem ganz gewöhnlichem Vektorraum in
3 räumlichen Dimensionen, kann man hier jeden Zustand als Vektor eines
Hilbert-Raumes (was das genau ist werden wir gleich behandeln) verstehen.
Dieses Superpositionsprinzip, zusammen mit dem Wellencharakter führt zu
einer Eigenschaft quantenmechanischer Systeme, die sonst in der Physik
ihresgleichen sucht. Es wird
n z. B.ofür den Zustand (1.167) bei Annahme von
ebenen Wellen Ψi ∝ exp ı(~ki · ~r) für i = 1, 2 nicht genau entscheidbar sein,
welcher Impuls denn nun tatsächlich dem System zukommt, denn Zustand
(1.167) ist nicht durch einen einzigen charakteristischen Wellenvektor ~k12
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
55
darstellbar. Je nach Betrag der Wichtungsfaktoren ai ist der eine oder andere
Impuls-EW mehr wahrscheinlich.
Um die Unschärfe genauer quantitativ zu fassen, aber auch um lokalisierte
Teilchen wie Elektronen mit dem Wellenbild zu versöhnen, verallgemeinern
wir das Superpositionsprinzip, indem wir ein kontinuierliches Spektrum der
Impulse p~ = ~~k zulassen. Aus der Summation wird wieder ein Integral (1.95)
über alle mögliche Wellen
¾ Z
½
o
nı
1 3
(~
p · ~r − Et)
(1.168)
d3 p~ φ(~
p) exp
Ψ(~r, t) =
2π~
~
und hier haben wir wieder mal zur Rückerinnerung Relationen E = ~ω und
p~ = ~~k verwendet. Die WK-Amplituden im Orts- bzw. Impulsraum (auch
spektrale Verteilung), Ψ(~r, t) bzw. φ(~
p), sind also vermittels der FourierTransformation ineinander überführbar. Um das noch deutlicher zu machen,
beide Funktionen sind verschiedene Darstellungen (siehe Abschnitt 1.7.4) ein
und desselben Vektors (Zustands) |Si im Hilbertraum und der Erwartungswert für eine physikalische Größe – Operator Â (Ortsdarstellung) – lautet
Z
Z
3
∗
hAi =
d p~ φ (~
p)Âp φ(~
p) =
d3~r Ψ∗ (~r, t)ÂΨ(~r, t)
= hS|Â|Si ,
(1.169)
wobei natürlich der Operator Âp (unsere physikalische Größe) im ersten Integral in der Impulsdarstellung formuliert werden muss (unitäre Transformationen). Z.B. lautet in der Ortsdarstellung die x-Komponente des Ortsoperators x̂ = x und des Impulsoperators p̂ = −ı~∂x . Gehe ich zur Impulsdarstellung über habe ich analog: Impulsoperator: p̂x = p aber für den Ortsoperator muss ich in der Impulsdarstellung schreiben: x̂p = −ı~∂p . Man kann sich
das plausibel machen, indem man – in einer bestimmten Darstellung – entsprechende Differenzialoperationen auf die WK-Amplitude ∝ exp(ı~
p · ~r/~)
anwendet. Somit lauten sie Orts- u. Impulsoperatoren in der Orstdarstellung: (~r, −ı~∇) hingegen in der Impulsdarstellung (−ı~∇p , p~). Für die
WK-Amplituden gelten natürlich identische Normierungen, wie es sich für
selbige gehört und wie wir unten beweisen:
Z
Z
2
3
d p~ |φ(~
p)| =
d3~r |Ψ(~r)|2 = 1 .
(1.170)
Nun zur Unbestimmtheit: mit Gl. (1.168) können wir anhand einfacher
Überlegungen den Charakter der Unbestimmtheit offenbaren (wir betrach-
56
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
ten im Folgenden 1 Teilchen in einer Dimension: ξ~ → x und p~ → p ∝ k).
Es ist entscheidend, welche Form die Impulsverteilung φ(~
p) hat. Haben
wir z.B. eine ganz scharf lokalisierten Impulsverteilung vorliegen, den wir
mit Hilfe der Dirac’schen Deltafunktion φ(~
p) = A δ(~
p − p~0 ) ausdrücken
können (siehe Einschub Dirac’sche Deltafunktion“, Achtung! wir benutz”
ten hier δ-Funktionen, und wollen aber die Argumentkette im Sinne von
Gauß-Funktionen verstanden wissen ⇔ Normierungsprobleme), dann erhält
man bei Ausnutzung der Eigenschaften der Deltafunktion (betrachten Zeitpunkt t = 0 der Einfachheit halber)
Z
nı o
px
dp A δ(p − p0 ) exp
~
o
nı
p0 x
= Ã exp
~
Ψ(x, 0) =
1
2π~
(1.171)
und somit für die WK-Dichte
̺(x, 0) =
Ã∗ Ã exp
nı
~
¯ ¯
o
¯ ¯
(px − px) = ¯Ã2 ¯ .
(1.172)
Wir haben kurz alle Normierungskonstanten in Ã zusammengefasst. Haben
wir also eine exakte Impulsbestimmung, ausgedrückt über φ(p) ∝ δ(p − p0 )
erhalten wir eine über den ganzen Vollraum −∞ < x < ∞ ausgedehnte
Wahrscheinlichkeit, d.h. kennen wir den Impuls genau, dann können wir
über haupt keine Aussage über den Ort des Teilchens machen.
Betrachten wir den entgegengesetzten Fall, wir kennen den Impuls des Teilchens gar √
nicht, gemäß eines gleichverteilten/konstanten Impulsspektrums
φ(k) = A/ 2π, dann erhalten wir mit Gl. (1.168) in 1D und bei t = 0
Ψ(x, 0) = A δ(x)
(1.173)
eine exakte Lokalisierung des Teilchens bei x = 0 auf Kosten der Unkenntnis
des Impulses (In Übung zeigen: Gleichung (1.173) herleiten bei Beachtung
des Tutoriums Dirac’sche Deltafunktion“ am Ende des Abschnitts).
”
In den beiden Grenzfällen kommt schon der Charakter der Unbestimmtheit
zum tragen. Alle Situationen zwischen diesen Extremen werden einer Unbestimmtheitsrelation genügen müssen. Um das zu demonstrieren, werden wir
vereinfachend annehmen, dass für die Spektralfunktion gelte
φ(k) =
½
φ0 für k ∈ (k0 − ∆k, k0 + ∆k)
0 sonst .
(1.174)
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
57
1.0
0.8
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-15
-10
-5
0
x
5
10
15
Abbildung 1.8: Die Amplitude des Wellenpakets (1.177) für die Werte
∆k = 1. Die Ausdehnung des Wellenpakets kann mit ∆x = 2π/∆k beziffert
werden, wie man deutlich in dem Graphen erkennen kann.
Wir betrachten wieder nur eine Dimension x und erinnern uns, dass gilt:
p = ~ k und E = ~ω, womit man vereinfachend schreiben kann
Ψ(x, t) =
k0Z+∆k
dk φ0 exp {ı(kx − ω(k)t)} .
(1.175)
k0 −∆k
Nun werden wir den Integranden, sprich das Argument der Exponentialfunktion um k0 nach χ = k − k0 entwickeln, wobei wir die Disperionsrelation ω(k) = ω0 + [dw/dk]0 χ + ... + O(∆k 2 ) verwenden. Des Weiteren möge das Wellenzahlintervall klein gegenüber der mittleren Wellenzahl
gemäß |∆k| ≪ k0 sein, so dass zunächst nur lineare Entwicklungsglieder
in ∆k = ξ zu berücksichtigen sind. Auch wollen wir annehmen, dass das
Maximum des Wellenpakets bei der Phase x − vg t = 0 liege, so dass man für
das Integral schreiben kann:
Ψ(x, t) = 2 φ0
Z∆k
0
d(∆k) cos {(x − vg t)∆k} exp {ı(k0 x − ω0 t)} (1.176)
wobei wir die Integrationsvariable transformiert k → ∆k, die Gruppengeschwindigkeit vg = ∂ω/∂k|0 definiert und Symmetrie (gerade Funktion in
58
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
k) des Integranden beachtet haben. Der Kosinus ist der Realteil der Fkt.
exp(ı...), der uns das Maximum des Wellenpakets bei x − vg t = 0 garantiert.
Nach Integration von (1.176) gewinnt man schließlich (siehe auch Davidov
S. 7)
¶
µ
sin {(x − vg t)∆k}
exp {ı(k0 x − ω0 t)} . (1.177)
Ψ(x, t) = 2 φ(k0 )
x − vg t
Der Faktor in den runden Klammern kann als Amplitude der schnell oszillierenden komplexen Exponentialfunktion aufgefaßt werden. Sie ist in Abb.
1.8 dargestellt und bedingt folgende Eigenschaften des Wellenpakets:
Maximum:
Peakbreite:
Ψ(0) = 2 φ(k0 )∆k
2π
∆x =
,
∆k
(1.178)
(1.179)
— das Maximum und die räumliche x Ausdehnung. Beide Ausdrücke repräsentieren den Anfangszeitpunkt t = 0, das Maximum finden wir dann
für x → 0 (für nachfolgende Zeitpunkte ist (x − vg t) → 0 zu nehmen – das
mit vg nach rechts“ enteilende Maximum). Die Breite bzw. x-Ausdehnung
”
(1.179) des Pakets ist durch die ersten Nullstellen der Amplitudenfunktion
– für t = 0 ist das sin(x∆k)/k – definiert.
Mit der von uns mehrfach bestätigten Relation p = ~k wird man letztlich
auf die berühmte Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation geführt
∆x ∆p ≥ 2π~ = h .
Die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets ist mit
¯
∂ω ¯¯
vgr =
∂k ¯0
(1.180)
(1.181)
gegeben, womit wir mit der Dispersionsrelation der SGL für ein freies Teilchen ~ω(k0 ) = (~2 k02 )/(2m) erhalten
vgr =
p0
~k0
=
.
m
m
(1.182)
Möchte man die zeitliche Entwicklung unseres einfachen Wellenpakets, defiert durch die simple Impuls-WK-Amplitude (1.174), untersuchen, muss
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
59
man höheren Ordnungen in der Entwicklung der Dispersionsrelation berücksichtigen
¸
·
· ¸
1 d2 ω
dω
χ2 ,
χ+
ω(k) = ω0 +
dk 0
2 dk 2 0
und findet so ein Auseinanderfließen des Wellenpakets (Diffusion), was sich
anbietet, in einer Übungsaufgabe für verschiedene Wellenoperatoren (z.B.
neben der SGL auch die klassische em. Wellengleichung – Dsp.Rel.: ω 2 =
k 2 c2 ) gezeigt zu werden.
Es sollte nicht unerwähnt bleiben, dass auch für makroskopische Teilchen die
Unbestimmtheitsrelation Gültigkeit hat, nur sinkt beispielsweise die Ortsauflösung selbst bei mesoskopischen Teilchen – Submillimeter- und selbst
Submikrometerteilchen – weit unter atomare Dimensionen. Erst bei Elementarteilchen erreicht man eine Bereich, der die Unbestimmtheit wirklich
bedeutungsvoll werden läßt.
Einschub:
Dirac’sche Deltafunktion:
Die Dirac’sche Deltafunktion ist keine Funktion im herkömmlichen mathematischen Sinn. Sie ist durch die nachfolgend gegeben Integraldarstellungen
definiert und nicht wirklich durch die Vorgabe einer eindeutigen Zuordnung
von Argumenten und Funktionswerten. Sie ist eine sogenannte Distribution oder auch Funktional genannt. Ihre Anwendung erfolgt vorwiegend in
Funktionalbeziehungen des Typs
Z∞
−∞
dx f (x) δ(x − x0 ) = f (x0 ) ,
(1.183)
Diese Distribution geht bei x = 0 so stark gegen unendlich, dass ein endliches
Integral entsteht
Z∞
−∞
dx δ(x) = 1 .
(1.184)
60
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Oft ist es vorteilhaft, die δ-Funktion als Grenzwerte stetiger Funktionen
ϕ(x, ε) darzustellen (Parameter: Grenzwertbildung ε → 0 ⇒ ϕ(x, ε) zeigt
Charakter der δ-Funktion), die analoge Relationen (1.183) & (1.184) befriedigen. Für die Gauß-Funktion
¾
½
(x − x′ )2
1
′
(1.185)
ϕ(x − x , ε) = √ exp −
ε2
ε π
können die Eigenschaften (1.183)
Konvergenz
R ∞ & (1.184) bei gleichmäßiger
′
des uneigentlichen Integrals −∞ dx f (x) ϕ(x − x , ε) durch Grenzwertbildung (unterm Integral) ε → 0 gezeigt werden (Übung).
Die folgenden Fourierdarstellungen für die δ-Funktion sind etwas mit Vorsicht zu geniesen, da sie alle nur in Verbindung mit einem Integral als Integrand existieren. Eine, auch schon oben verwendete (und für die Übung
hilfreiche) Darstellung ist das Fourierintegral
ZK
1
δ(x) =
lim
2π K→∞
dk exp (ıkx) .
(1.186)
−K
Man kann diese Darstellung schnell mit Hilfe der Eulerschen Beziehung motivieren
ZK
dk exp (ıkx) =
−K
ZK
dk [cos(kx) + ı sin(kx)] .
(1.187)
−K
Nun ist zu beachten, dass in dieser Darstellungen der Grenzwert erst nach
Einsetzen in die Definition (1.183) vollzogen werden darf – so das x Integral konvergiert. Im Fall von stetigen und beschränkten Funktionen f (x)
darf Grenzübergang und Integration auch vertauschen, so dass (1.186) als
Fourier-Darstellung der δ-Funktion angesehen werden darf (trotzdem Vorsicht !).
Nach einigen Umrechnungen (Übung, ebenso Begründung der unten (1.188)
&(1.189) aufgeführten Grenzwerte) erhält man
δ(x) =
lim
sin(Lx)
.
πx
(1.188)
α
1
.
π α2 + x2
(1.189)
L→∞
Eine andere Darstellungen ist
δ(x) = lim
x→0
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
Die Deltafunktion mit Vektorargument ~r ist gegeben mit
µ ¶3 Z
³
´
1
δ(~r) = δ(x) δ(y) δ(z) =
d3 k exp ı~k · ~r .
2π
61
(1.190)
Für die Ableitung der Deltafunktion, eine ungerade Funktion (da δ(−x) =
δ(x) gerade ist), kann man schreiben (Übung)
¸
·
L cos(Lx) sin(Lx)
1
′
(1.191)
lim
−
δ (x) =
π L→∞
x
x2
Integrale mit δ ′ (x) führen nach partieller Integration auf die nützliche Beziehung
Z
dx δ ′ (x) f (x) = − f ′ (0) .
(1.192)
Eine Reihe wichtiger Relationen sei hier ohne Herleitung aufgeführt
δ(−x) = δ(x)
Z
x δ(x) = 0
1
δ(ax) =
δ(x)
|a|
f (x) δ(x − y) = f (y) δ(x − y)
dx δ(a − x) δ(x − b) = δ(a − b)
δ(x − a)δ(x + a)
2 |a|
X δ(x − xi )
¯³ ´
¯
δ {ϕ(x)} =
¯ dϕ
¯
¯
¯
i
¯ dx x=xi ¯
δ(x2 − a2 ) =
(1.193)
(1.194)
(1.195)
(1.196)
(1.197)
(1.198)
(1.199)
wobei xi die Wurzeln der Gleichung ϕ(x) = 0 sind.
1.7.2
Hilbert Raum, Operatoren & Erwartungswerte
Wie schon bei der Bedeutung der Wellenfunktion Ψ(ξ, t) für die Berechnung
der Aufenthalts-WK des Quantensystems (& Normierung) angedeutet, sind
62
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Erwartungswerte physikalischer Größen Â in Form einer Relation (1.166)
zu formulieren. Wir nehmen die Vorschrift für deren Berechnung schonmal
vorweg
Z
hAi =
dξ Ψ∗ Â Ψ ,
(1.200)
werden diese aber in Kürze begründen. Wichtig ist, dass physikalische Größen
reell sein müssen, also gelten muss
hAi = hAi∗ .
(1.201)
Skalarprodukte
Zunächst werden wir einige grundsätzliche Bemerkungen über den HilbertRaum machen, in denen alle wichtigen Funktionen (Wellenfunktionen, Eigenfunktionen etc.) und Operatoren der Quantenphysik agieren.
Physikalische Größen werden in der Quantenmechanik durch Operatoren
ˆ ). Deshalb ist es zweckmäßig, die Eigenschaften von
dargestellt (siehe z.B. ~p
Funktionen & Operatoren im Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen (L2 ) knapp zusammenzustellen.
Ein Hilbertraum ist durch die Existenz eines Skalarproduktes
Z
(φ, ψ) =
dξφ∗ ψ = hφ|ψi
(1.202)
im Raum der quadratintegrablen Funktionen (L2 ) gekennzeichnet (konjugiert komplexe Ausdrücke). Ein Beispiel ist die Fouriertransformation – siehe Hin- u. Rücktransformation. Das so definierte Skalarprodukt (1.202) hat
folgende Eigenschaften
(ϕ, ψ) = (ψ, ϕ)∗
(1.203)
(ϕ, c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 (ϕ, ψ1 ) + c2 (ϕ, ψ2 )
(c1 ϕ1 + c2 ϕ2 , ψ) =
c∗1 (ϕ1 , ψ)
+
c∗2 (ϕ2 , ψ)
(1.204)
,
(1.205)
und
(ϕ, ϕ) ≥ 0 und deshalb
(ϕ, ϕ) = 0 ⇔ ϕ ≡ 0 .
(1.206)
Die Funktionen ϕ und ψ sind orthogonal, wenn gilt
(ϕ, ψ) = 0
.
(1.207)
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
63
Hermitesche Operatoren
Operatoren Â bilden Zustandsvektoren (Funktionen ϕ ∈ L2 ) im Hilbertraum auf neue Elemente desselben ab
Â ϕ = ψ
wobei gilt ψ ∈ L2 .
(1.208)
Operatoren bezeichnet man als linear, wenn gilt
Â (c1 ϕ1 + c2 ϕ2 ) = c1 Âϕ1 + c2 Âϕ2
.
(1.209)
Beispiele linearer Operatoren sind
ˆ = ~∇ ; ∆
~ˆr = r̃ ; p̃
ı
.
Die Bedingung (1.201) für reelle Erwartungswerte verlangt
hΨ|Â|Ψi = (Ψ, ÂΨ) = (Ψ, ÂΨ)∗
(1.210)
was ein Spezialfall der allgemeineren Gleichung
(ϕ, ÂΨ) = (Ψ, Â† ϕ)∗
(1.211)
mit dem adjungierten Operator Â† ist. Gleichung (1.211) impliziert die Identität
Â = Â†
(1.212)
womit selbstadjungierte bzw. hermitesche Operatoren definiert sind. In folgende Tabelle werden die wichtigsten hermiteschen Operatoren (für 1 Teilchen) aufgeführt:
Physikalische Größe
Ortsvector
Impuls
Drehimpuls
Energie (nichtrelativistisch)
Symbol
Operator
~r
p~
~
L = ~r × p~
p2
+ U (~r)
E = 2m
~ˆr = ~r
−ı ~ ∇
−ı ~ (~r × ∇)
~2
Ĥ = − 2m
∆ + U (~r)
Mit der Beziehung
Â−1 Â = Â Â−1 = 1
(1.213)
64
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
ist der zu Â inverse Operator Â−1 definiert. Inverse Operatoren, die gleich
dem adjungierten Operator sind
Â−1 = Â†
(1.214)
sind, bezeichnet man als unitär.
1.7.3
Zeitunabhängige SGL/Eigenwertprobleme/Kommutatoren
Oben wurde mit Bedingung (1.200) klar, dass Objekte in der Quantenmechanik lineare und hermitesche Operatoren sind.
Die wichtigsten Eigenschaften hermitescher Operatoren möchten wir jetzt
zusammentragen. Zu diesem Zweck untersuchen wir die zeitunabhängige
ˆ, ˆ
r̃) der nicht
SGL, die durch Separation für einen Hamilton-Operator Ĥ(~p
explizit von der Zeit abhängt. In diesem Fall erweist sich der Separationsansatz
Ψ(~r, t) = T (t) ϕ(~r)
(1.215)
der, eingesetzt in die SGL (1.141), dividiert durch T (t) ϕ(~r) und nach Variablen ~r und t ergibt
ı~
1 ∂T (t)
1
=
Ĥ ϕ = E ,
T (t) ∂t
ϕ(~r)
(1.216)
wobei die Energie E als Separationskonstante erscheint. Der Zeitfaktor T
kann sofort integriert werden, um auf den Ausdruck
½
¾
Et
T (t) = exp −ı
= e−ıωt
(1.217)
~
zu führen.
Übrig bleibt die zeitunabhängige SGL (quasi ein Pendant zur zeitunabhängigen HJG)
ˆ )ϕ = E ϕ
Ĥ(~r, ~p
(1.218)
ein Eigenwertproblem (EWP).
Bei gebunden, endlichen Systemen wird man ein diskretes Spektrum En ; n ∈
G erhalten, wie wir gleich für freie Teilchen im endlichen Volumen zeigen
werden.
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
65
Diskrete Spektren
Das EWP ist nicht nur auf den Energieoperator beschränkt, sondern kann
auch auf andere hermitesche Operatoren Â erweitert werden, so dass wir
folgende Eigenschaften allgemein anhand der fiktiven Größe A erörtern.
Das diskrete EWP lautet
Âϕn = An ϕn
(1.219)
mit dem Spektrum der Eigenwerte (EW) An und Eigenfunktionen (EF) ψn .
Ist Â hermitesch, dann sind, wie schon angedeutet wurde (und in Übung
allgemein mit Hilfe der konjugiert komplexen Gl. (1.219) + Ausnutzung der
Hermitizät zu zeigen ist):
(i) die An reell und die EF’s sind orthonormierbar
½
0 für i 6= j
= δij .
(ϕi , ϕj ) =
1 für i = j
(1.220)
Das Kronecker-Symbol ist mit δij bezeichnet.
Beziehung (1.220) gilt auch für Entartung, wo verschiedene EF’s zu einem
EW existieren, da man immer eine orthogonale Linearkombination finden,
so dass wir Orthonormalität auch bei Entartung voraussetzen können.
(ii) Die ϕm bilden ein vollständiges (abgeschlossenes) Funktionensystem/eine Basis
X
ϕ∗n (~r′ ) ϕn (~r) = δ(~r − ~r′ ) ,
(1.221)
n
so dass jede Funktion nach dieser Basis entwickelt werden kann
X
f (~r) =
cn ϕ n
(1.222)
n
cm = (ϕm , f ) .
(1.223)
Die Berechnung der Koeffizienten cm wird in einer Übung gezeigt werden.
Die wichtige Beziehung (1.221) kann bewiesen werden, indem man die δFunktion auf der rechten Seite wie jede beliebige andere Funktion nach den
Eigenfunktionen ϕn
X
an (~r′ ) ϕn (~r)
(1.224)
δ(~r − ~r′ ) =
n
66
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
entwickelt. Mit der Relation (1.223) folgt
Z
′
an (~r ) = (ϕn , δ) =
d3~r ϕ∗n (~r) δ(~r − ~r′ ) = ϕ∗n (~r′ )
(1.225)
was eingesetzt in die Entwicklung (1.224) die Vollständigkeitsrelation (1.221)
beweist.
Essentiell ist nun die Entwicklung der WK-Amplitude nach der Basis des
Operators Â
X
Ψ(~r, t) =
cn ϕ n
(1.226)
n
cm = (ϕm , Ψ) = hm|Ψi
.
(1.227)
Die Wahrscheinlichkeiten, die für die Größe Â den konkreten Wert An (diskretes Spektrum hier) bei einer Messung anzutreffen, ist
pm = |cm |2
(1.228)
mit der Normierung
1 =
X
i
c∗i ci =
X
pi
,
(1.229)
i
wie es auch für die WK-Amplituden (1.165) sein muss.
Bei Entartung, mehrere Eigenfunktionen ϕnl gehören zu einem Eigenwert
An ,
Â ϕnl = An ϕnl
(1.230)
ist Orthogonalität nicht ohne Weiteres vorauszusetzen, da die Differenz
der Eigenwerte An natürlich Null ist und so zum Nachweis der Orthogonalität nicht herangezogen werden kann. Durch Kombination linear unabhängiger Funktionen (z.B. orthonormal Basis eines anderen Operators
φn ) kann wieder ein orthonormiertes vollständiges Basissystem entwickelt
werden (Schmidt’sches Orthogonalisierungsverfahren ⇒ siehe z.B. L. Zülicke [9], S. 142), was wir hier für die ϕnl vorausgesetzen wollen. Es soll also
auch hier gelten
Z
d3~r ϕ∗nl (~r) ϕmk (~r) = (ϕnl , ϕmk ) = δnm δlk
(1.231)
X
ϕ∗nl (~r′ ) ϕnl (~r) = δ(~r′ − ~r) ,
(1.232)
nl
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
so dass auch hier z.B. die Wellenfunktion entwickelt werden kann
X
anl ϕnl (~r)
Ψ(~r) =
nl
anl = (ϕnl , Ψ) =
Z
d3~r ϕ∗nl Ψ(~r) .
67
(1.233)
(1.234)
Kontinuierliche Spektren
Kontinuierliche EW-Spektren treten bei unbegrenzt ausgedehnten Systemen
auf, wobei es Probleme bei der Normierbarkeit gibt – die betrachteten Eigenfunktionen (EF’s) sind nicht mehr quadrat integrabel: ϕA , Ψp ∈
/ L2 , was
im Folgenden kurz skizziert werden soll.
Das Eigenwertproblem lautet
p̂Ψp (x) = p Ψp (x)
(1.235)
wobei wir hier bewußt den (eindimensionalen, x-Koordinate) Impulsoperator
p̂ = (~/ı)∂x gewählt haben, dessen Spektrum selbstverständlich kontinuierlich ist (für die Impulse p sind alle Werte möglich). Die Eigenfunktionen sind
schnell integriert und lauten
n p o
Ψp (x) = A exp ı x
(1.236)
~
die, wie beim Wellenpaket, auch die Integranden der Superposition (1.168)
bzw. (1.175) der Wellenfunktion Ψ sind. Für freie Teilchen stimmen in der
Tat die Impuls- und die Energie Eigenfunktionen überein – es sind ebene
Welle.
Das Problem aber ist, dass diese Funktionen Ψp ∈
/ L2 nicht quadrat-integrabel
sind:
Z∞
−∞
¯ ¯
dx ¯Ψ2p ¯ → ∞ .
(1.237)
Wir wollen eine Normierbarkeit anhand der Wellenfunktion im Fall eines
kontinuierlichen Spektrums (1.175) – dem Wellenpaket bei t = 0 – illustrieren:
1
Ψ(x) =
2π~
Z∞
−∞
dp φ(p) Ψp
1
=
2π
Z∞
−∞
dp φ(p) exp
nı
~
o
px . (1.238)
68
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Welche Forderungen müssen wir an die spektrale Impulsdichte stellen damit
die Wellenfunktion der Normierungsbedingung
1 =
Z∞
−∞
=
=
=
¯ ¯
dx ¯Ψ2 ¯ =
1
(2π~)2
1
2π~
1
2π~
Z∞
−∞
∞
ZZ
−∞
Z∞
−∞
dx
Z∞
dx Ψ∗ Ψ
−∞
Z∞Z
dp dp′ φ∗ (p′ ) φ(p) exp
−∞
nı ¡
¢ o
p − p′ x
~
¡
¢
dp dp′ φ∗ (p′ ) φ(p) δ p − p′
¯
¯
dp ¯φ(p)2 ¯ = 1
(1.239)
¯
¯
genügt? Nun, die letzte Zeile beantwortet die Frage: W (p) = ¯φ(p)2 ¯ /(2π~)
ist offenbar die WK-Dichte für die Impulse und die letzte Zeile (1.239) ist
die Normierung.
In diesem Sinne vermittelt die Fouriertransformation bzw. die Entwicklung nach Impulseigenfunktionen (1.238) zwischen der Ortsdarstellung
Ψ(~r) und der Impulsdarstellung Ψ(~
p) = φ(~
p)/(2π~)3/2 des Zustands des
Systems (hier in 3D). Im Falle unseres Beispiels – Impulsoperator – erhält
man folgende Äquivalenz des Impulserwartungswertes
hpi =
µ
1
2π~
¶3 Z
3
∗
d p~ φ (~
p, t) p~ φ(~
p, t) =
Z
ˆΨ .
d3~r Ψ∗ ~p
(1.240)
In der 2. Zeile der Manipulationen (1.239) wurden die Funktionen Ψ und Ψ∗
durch das Integral (1.238) ersetzt und danach die Darstellung der δ-Funktion
(1.186) verwendet. Bildet man die Differenz aus der letzten und der ersten
Zeile der Norm (1.239) kann man mit der Fouriertransformation (1.238) als
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
69
Ersetzung für Ψ∗ schreiben:
Z∞
−∞
1
dx Ψ Ψ −
2π~
∗
=
1
2π~
Z∞
Z∞
¯
¯
dp ¯φ(p)2 ¯
−∞
dp φ∗ (p)
−∞
 ∞
Z

−∞


Ψ∗p Ψ dx − φ(p)
= 0 .

(1.241)
Die geschweifte Klammer muss verschwinden, womit man für die spektrale
Impulsdichte erhält
φ(p) =
Z∞
dx Ψ∗p Ψ
(1.242)
−∞
und mit Hinblick auf die ebene Wellenform von Ψ∗p bedeutet das nichts anderes als die Fourier- Rücktransformierte unserer Wellenfunktion. Bei diskreten Spektren sind die entsprechenden Koeffizientenrelationen (1.223) und
(1.234).
Setzen wir die Fouriertransformation (1.238) Ψ in das Spektrum (1.242) ein
φ(p) =
1
2π~
Z∞
′
′
dp φ(p )
−∞
Z∞
−∞
dx Ψ∗p Ψp′
1
=
2π~
Z∞
−∞
¡
¢
dp′ φ(p′ ) Ψp , Ψp′ ,
erhält man die Orthogonalitätsrelation für kontinuierliche Funktionenbasen
¡
¢
Ψp , Ψp′ = hp|p′ i = δ(p − p′ ) ,
(1.243)
deren diskrete Pendants die Relationen (1.220) und (1.231) sind.
In einer Übung (siehe Analogie zu diskreten Spektren) soll die Vollständigkeitsrelation
Z∞
−∞
dp Ψ∗p (x′ )Ψp (x) = δ(x − x′ )
(1.244)
bewiesen werden.
In Tabelle 1.7.3 sind analoge Relationen der orthonormierbaren EF’s für
diskrete und kontinuierliche Spektren zusammengestellt.
70
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Diskretes Spektrum
Entwicklung
Ψ(~r) =
P
n
kontinuierliches Spektrum
Ψ(~r) = (2π~)−3
cn ϕ n
R∞
d3 p~φ(~
p)Ψp~
−∞
Koeffizient
cm = hm|Ψi
φ(~
p) = h~
p|Ψi
Orthogonaltät
hm|ni = δmn
hp|p′ i = δ(p − p′ )
Vollständigkeit
P
n
ϕ∗n (~r′ ) ϕn (~r) = δ(~r − ~r′ )
R∞
−∞
dp Ψ∗p (x′ )Ψ(x) = δ(x − x′ )
Summa summarum: Betrachten wir also einen beliebigen Operator Ô(~r, ∇)
mit sowohl diskreten EW’s, o0 , o1 , o2 , ..., on , ..., einem kontinuierlichen Teil
des Spektrums im Bereich der EW’s o′ ≤ o ≤ o′′ sowie orthonormierten EF’s
ϕn bzw. ϕo
hn|ki = δnk
(1.245)
′
hϕo |ϕo′ i = δ(o − o )
hn|ϕo i = 0 .
(1.246)
(1.247)
Die Eigenfunktionen bilden ein vollständiges System {ϕn , ϕo } was zur Entwicklung jeder stetigen, differenzierbaren Funktion berechtigt
Ψ(~r) =
X
cn ϕ n +
n
Zo′′
do c(o) ϕo
(1.248)
o′
und den Entwicklungskoeffizienten
cn = (ϕn , Ψ) = hn|Ψi
c(o) = (ϕo , Ψ) = hϕo |Ψi
(1.249)
(1.250)
Neben dem Wellenpaket, besteht auch noch die Möglichkeit durch z.B. periodische Randbedingen (RB’s) aus einem kontinuierlichen Spektrum ein
diskretes zu machen (Übung: begründen, warum periodische RB’s für die
Impuls-EF’s Ψ(x) = Ψ(x + L), Periodenlänge L, ein abzählbar unendliches
diskretes Spektrum mit orthogonalen EF’s liefert. Diskutieren der Orthonormierbarkeit.)
Im Folgenden werden wir es allerdings in dieser Vorlesung mit gebundenen,
endlichen (Einteilchen) Systemen zu tun haben, die sich in der Regel durch
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
71
diskrete Spektren auszeichnen.
Wir haben oben schon stillschweigend die basisfreie Bra- und Ket - Schreibweise verwendet, die wir im Folgenden kurz beschreiben.
1.7.4
Basisfreie Darstellung i.d. Quantenmechanik
Im Folgenden wollen wir eine Darstellung des Zustandes Ψ(~r, t) wählen, die
frei von der vollständigen Basis ist. Dabei suchen wir immer die Analogie
zu Vektoren im Konfigurationsraum – es läuft alles fast genauso, nur mit
dem Unterschied, dass wir hier nicht im Phasenraum/Ortsraum sondern in
einem Hilbertraum mit unendlichen Dimensionen operieren.
Um gleich die Analogie zu strapazieren: stellen Sie sich einen Vektor ~u(~r, t) =
(ux , uy , uz )T = (ur , uϕ , uθ )T im Ortsraum vor – es könnte sich z.B. um das
Geschwindigkeitsfeld ~u der Hydrodynamik han. Je nach Koordinatensystem,
werden wir ein verschiedene Tripel der Zahlen/Komponenten erhalten – in
diesem Fall haben wir ein kartesisches sowie Kugelkoordinaten (beliebig) als
Illustration gewählt. Dem Vektor ~u selbst ist es eigentlich egal“ in welcher
”
Darstellung/Basis er betrachtet wird, er ist eine physikalische Größe, charakterisiert durch Betrag |~u| = u und Richtung ~eu = ~u/u. Um bei der Hydrodynamik zu bleiben, mit dem auch hier schon verwendeten Nabla-Operator
~eqν ∂qν hat man sich auch bei den Bilanzgleichungen [siehe
∇ = ~ei ∂xi = gq−1
ν
auch Gl. (1.315), die analog i.d. Hydrodynamik vorkommt] von der Basis
frei gemacht.
Die Darstellung von ~u in 2 Koordinatensystemen K und K ′ z.B. lautet
X
~u =
ui~ei mit uj = ~ej · ~u
(1.251)
i
~u =
X
i
u′i~e′i
mit u′j = ~e′j · ~u ,
(1.252)
d.h. die bei unseren Spektren gewinnen wir die Koeffizienten von ~u durch
Skalarprodukte (mit Punkt) mit der jeweiligen Basis. Während die Koeffizienten ui nur Sinn machen, wenn man auch die Basis angibt, bezüglich der
sie definiert sind, hat der Vektor ~u eine Bedeutung an sich“.
”
Was bedeutet das nun in der Quantenmechanik bzgl. des den Zustand charakterisierenden Vektors“ Ψ in Ortsdarstellung (noch schreiben wir Vek”
”
tor“, weil wir die Analogie noch nicht gezeigt haben). Die Notation Ψ drückt
schon aus, dass man der Ortsdarstellung den Vorzug gibt. Um uns von dieser
Voreingenommenheit zu befreien, schreiben wir unseren Zustand gewissermaßen basisfrei als sogenanntes Ket: |Ψi. Nun kennen wir schon mindestens
72
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
2 Darstellungen: (a) die Ortsdarstellung Ψ(x) und die Impulsdarstellung
φ(p).
Bemerkung: in diesem Abschnitt betrachten wir eindimensionale Probleme,
zu 3D kommt man einfach indem man in den erhaltenen Relationen x → ~r
ersetzt. Der Zustandsvektor |Ψi steht hier für der Ortsraumvektor ~u.
Um die Analogie zum Ortsraum besonders augenscheinlich zu machen, nehmen wir vorerst (ohne Einschränkung der Allgemeinheit) eine diskrete Orthonormalbasis ϕn , z.B. Eigenfunktionen von Ĥ [siehe Gl. (1.218)], an. Wir
entwickeln den Zustandsvektor nach der Basis, zunächst wie wir das nach
unserem Kenntnisstand über Spektren zu machen gewohnt sind:
X
Ψ(x, t) =
cn e−ıEn /~ ϕn mit cn = (ϕn , Ψ) .
(1.253)
n
Jetzt wenden wir konsequent die Bra – Ket schreibweise an. Ψ war die Ortsdarstellung des Zustands |Ψi, die Orthonormalbasis sind die Eigenfunktionen e−ıEn /~ ϕn , die wir in der neuen Schreibweise als |ni bezeichnen. So
lautet also die Energiedarstellung
X
|Ψi =
cn |ni mit cn = hn|Si
(1.254)
n
mit dem Skalarprodukt ha|bi (a & b – Funktionen/Vektoren im Hilbertraum), was impliziert, dass die Bra’s Funktionalcharakter
R mit∗ sich bringen.
Man beachte die Definition des Skalarprodukts (a, b) = dx a b, also müßte
ha| eigentlich konsequenter Weise geschrieben lauten ha|·i. Den Punkt-Teil
läßt man weg, da man ja es bei diskreten Spektren im Dualraum (Hilbertraum der konjugiert komplexe Funktionen Bra) auch mit Vektoren, z.B.
den Energie EF’s hn| → eıtEn /~ϕ∗n , zu tun hat. In der Tat kann man von
einem Vektor sprechen denn wie im Ortsraum, wo man bei festgelegter Basis
die Koeffizienten als Matrix schreibt ~u = (u1 , u2 , u3 )T , analog ist


c1


|Ψi = |Ψi =  c2 
(1.255)
..
.
der Zustand, mit den Koeffizienten cn aus Gl. (??) der Energiedarstellung.
Aber die Dirac’sche Notation beinhaltet noch mehr, nämlich die in der Entwicklung (1.248) auftretenden kontinuierlichen Spektren. Da ist zum einen
die Ortsdarstellung schlicht die Entwicklung nach den Eigenfunktionen des
Ortsoperators ϕξ ∝ δ(x − ξ), die dem Eigenwertproblem x ϕξ = ξ ϕξ , und
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
73
die Impulsdarstellung wird über die Fouriertransformation vermittelt, da die
Impulseigenfunktionen lauten ϕp ∝ exp ıpx/~ = exp ıkx. Ein und derselbe
quantenmechanische Zustand |Ψi kann zusammengefasst wie folgt geschrieben werden
Z
Z
1
dp φ(p, t) exp ıpx/~
Ψ(x, t) =
dξ Ψ(ξ, t) δ(ξ − x) =
2π~
·
¸
X
Et
=
cn exp −ı
ϕn .
(1.256)
~
Sie lauten in der Dirac-Schreibweise
Z
|Ψi =
dξ hξ|Ψi |ξi
Z
|Ψi =
dp hp|Ψi |pi
X
|Ψi =
hn|Ψi |ni
XZ
da ha|Ψi |ai
|Ψi =
(1.257)
(1.258)
(1.259)
(1.260)
wobei die letzte Zeile andeutet, dass es sich auch um eine Entwicklung nach
einer beliebigen physikalischen Größe Â mit diskretem und kontinuierlichen
Spektrumanteil handeln kann.
Der Raum, in dem die Zustände an sich“ leben, wird ein Hilbertraum ge”
nannt. Das ist zunächst ein linearer Vektorraum mit komplexen Koeffizienten. Einige Rechenregeln bzgl. der Elemente dieses linearen Vektorraumes.
1. Linearkombination (ci – komplexe Zahlen):
|ci = c1 |ai + c2 |bi ; 1 · |Ψi = |Ψi ; |Ψi + 0 = |Ψi
(1.261)
2. Kommutativität:
|ai + |bi = |bi + |ai
(1.262)
3. Assoziativität:
(|ai + |bi) + |ci = |ai + (|bi + |ci)
c1 (c2 |ai) = (c1 · c2 ) |ai
(1.263)
(1.264)
4. Distributivität
(c1 + c2 )|ci = c1 |ci + c2 |ci
c (|ai + |bi) = c |ai + c |bi
(1.265)
(1.266)
74
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Die Bra“ sind, mathematisch gesprochen, die linearen Abbildungen des
”
Hilbertraums H in die komplexen Zahlen. Etwa |ψi 7→ hχ|ψi. Der Raum
aller solcher linearer Abbildungen ist selbst ein komplexer Vektorraum, der
sog. Dualraum. Dieser Vektorraum ist i.A. größer“ als H.
”
Skizze eines Gegenbeispiels: H = L2 (R) und Auswertungsabbildung“:
”
|Ψi 7→ ψ(0).
Kann man schreiben als Skalarprodukt
Z
dx δ(x)Ψ(x) = hδ0 |Ψi,
aber die δ-Funktion δ(x) ist nicht im L2 (R).
Einwand des Physikers: ist nicht schlimm, einfach den Hilbertraum H vergrößern. Mathematiker (Satz von Riesz): für jede (genügend glatte etc.)
lineare Abbildung L : H → C gibt es ein |χi ∈ H so, dass L|Ψi = hχ|Ψi
für alle |Ψi ∈ H. Also schöpfen die Bra’s doch den Dualraum aus und wir
können die Notation hχ| benutzen.
Impulsdarstellung: Fouriertransformierte kann abstrakt geschrieben werden
als
φ(p) = hp|Ψi
mit Impulseigenzustand |pi. Man geht also in die Impulsdarstellung, indem
man von links den Bra hp| anwendet. Der Impuls-Eigenzustand ist in abstrakter Form Lösung von
p̂|pi = p|pi
wobei p̂ der Impulsoperator ist (siehe unten zu Operatoren).
In der Ortsdarstellung gilt die Formel
Ψ(x) = hx|Ψi
mit dem Ortseigenzustand |xi. Über das Skalarprodukt zwischen Wellenfunktionen kann man zeigen, dass der Ortseigenzustand |xi folgende Ortsdarstellung hat (Auswertungsabbildung!)
hx|x1 i = δ(x − x1 )
In der Tat erfüllt diese Funktion“ die Eigenwertgleichung für den Ortsope”
rator. Wirkung des Ortsoperators in der Ortsdarstellung:
hx|x̂|Ψi = xΨ(x).
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
Bemerkung zur Vollständigkeit einer Basis:
Z
dp
φp (x)φ∗p (x′ ) = δ(x − x′ )
2π~
75
(1.267)
Linke Seite: Einheitsoperator auf dem Raum der Funktionen, die sich als
Fourier-Transformierte darstellen lassen: mit Ψ(x′ ) multiplizieren und integrieren:
Z
Z
dp
φp (x) dx′ φ∗p (x′ )Ψ(x′ ) = Ψ(x)
2π~
Auf der anderen Seite, mit Bra und Ket kann man schreiben:
Z
Ψ(x) = hx|Ψi =
dx′ δ(x − x′ )Ψ(x′ )
Z
=
dx′ hx|x′ ihx′ |Ψi
Z
= hx| dx′ |x′ ihx′ | Ψi
{z
}
|
1̂
Wenn dies für alle hx| gelten soll, muss der Ausdruck in geschweiften Klammern der Einheitsoperator sein. Also: für alle Funktionen Ψ(x), die sich
Fourier-transformieren lassen, wirkt das p-Integral in (1.267) wie eine Eins.
Umgekehrt: das Integral über die Impuls-Eigenzustände wirkt wie eine Eins
auf dem Raum, der von ihnen aufgespannt wird. Die Vollständigkeits-Relation
erlaubt damit, zu finden, in welchem Hilbertraum man arbeitet.
Operatoren sind lineare Abbildungen H → H. Analogon in 3D: 3 × 3 Matrizen oder besser Tensoren. Für einen Operator Ô soll die Zuordnung gelten
Φ = Ôφ
oder |Φi = Ô|φi .
(1.268)
Die Operation auf Elemente des dualen Hilbertraums – den Bra’s – lauten
hΦ| = hφ| Ô ,
(1.269)
wobei der Oprator von rechts auf den Zustand hφ|. Wir entwickeln nun
beide Funktionen des Hilbert-Raumes nach irgendeiner Orthonormalbasis
ϕn → |ni
X
X
hn|Φi |ni =
hj|φi Ô|ji
n
X
n
j
bn |ni =
X
j
aj Ô|ji .
(1.270)
76
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Wir lösen nach bn auf und werden durch die Eigenschaften unserer vollständigen Basis auf
X
X
bn hm|ni =
aj hm|Ô|ji
n
j
bm =
X
Omj aj .
(1.271)
j
wobei wir die Matrixelemente des Operators mit
Z
Oij = hi|Ô|ji =
dx ϕ∗i Ô ϕj
(1.272)
bezeichnet haben. Analog zur kompakten Darstellung im 3D Ortsraum
(Kontinuumsmechanik z.B.) können wir einen Operator wie einen Tensor
kompakt schreiben
X
X
Ô = Îhi|Ô|jiÎ =
|ii hi|Ô|ji hj| =
|ii Oij hj|.
(1.273)
ij
ij
Als Analogbeispiel soll ein Tensor im Ortsraum dienen, für den man in
kartesischen Koordinaten schreiben kann
X
D̂ =
~ei Dij ~ej .
ij
In den obigen Darstellungen ist das Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren als
Z
hα|βi =
dx α∗ (x, t) β(x, t)
(1.274)
definiert.
Wie in den normalen“ Vektorraum können wir nun Operatoren bilden, die
”
Tensoren entsprechen. Sie haben die Gestalt |φihψ|, welcher aus einem KetVektor |yi wieder einen solchen produziert
(|φihψ|) |yi = hψ|yi |φi .
(1.275)
Der adjungierte Operator lautet (|φihψ|)† = |ψihφ| . Da wir hier unabhängig
von der Darstellung arbeiten und die Spur der Darstellungsmatrix eines
Operators invariant gegenüber Wechseö der Darstellung ist, können wir von
der Spur des Operators |ψi . . . hφ| nach der Vorschrift
Sp (|ψi . . . hφ|) = hψ| . . . |φi
(1.276)
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
77
bilden.
Das Analogon in 3D Vektorräumen sind Tensoren, wie z.B. der Schertensor
⇒
in der Hydrodynamik ε = (1/2)(∇◦~u+~u◦∇) = εij ~ei~ej mit den Komponenten
εij = 0, 5∂xj ui + ∂xi uj . Man sieht, dass Tensoren zweiter Stufe durch zwei
Einheitsvektoren (Richtungen) charakterisert ist. Ein Skalar entsteht, wenn
2 Vektoren skalar daran andocken“. Letzteres ist genau das Stichwort, denn
”
das andocken“ eines Bra’s von links, z.B. hx|, und eines Ket’s von rechts,
”
|yi ergibt den Skalar
⇒ hx|ψihφ|yi
(1.277)
Ein spezieller Operator dieses Typs ist der Projektionsoperator |ϕihϕ| mit
der Norm
P̂ϕ = |ϕihϕ| mit hϕ|ϕi = 1 .
(1.278)
Er projiziert einen Hilbertraumvektor |ui auf die Richtung |ϕi ( andocken“
”
von rechts)
P̂ϕ = |ϕi hϕ|ui
.
(1.279)
Als Darstellungsformen hatte wir u.a. die Orts- und Impulsdarstellung (1.257)
& (1.258) genannt. In einer Übung soll die Darstellung der Schrödingergleichung für beide Darstellung gegeben werden. Wir deuten beide Darstellungen an
hp|Ψi = Φ(p, t)
hx|Ψi = Ψ(x, t) ,
was relativ simpel mit der Ortseigenfunktion |xi ∝ δ(ξ − x) und Einsetzen
in die SGL nachvollzogen ist (Hamilton-Operator kompakt darstellen: Ĥ =
|xihx|Ĥ|x′ ihx′ | ⇒ Entwicklung nach EF’s |xi des Orts-Operators).
In gleicher Weise ist die SGL in einer Übung in der Impulsdarstellung zu
schreiben (⇒ Ψ(x, t) → Φ(p) ∝ hp|Ψi; ebenfalls Kompaktdarstellung von
Ĥ wählen).
1.7.5
Dynamischer Operator/Propagator
Wir wollen ein Beispiel für die Entwicklung eines Zustands |Ψi (hier Ortsdarstellung: Ψ(x, t) = hx|Ψi) in der Zeit von einem Anfangszeitpunkt t0 aus
über eine unitäre Operator via
Ψ(x, t) = Û (t, t0 ) Ψ(x0 , t0 )
(1.280)
78
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
beschreiben. Die Dynamik der WK-Amplitude Ψ wird mit der SGL beschrieben – Gl. (1.280) eingesetzt in die SGL ergibt dann die Operatorgleichung
ı~
d
Û (t, t0 ) = Ĥ Û (t, t0 ) .
dt
(1.281)
Formale Integration dieser Gleichung ergibt die äquivalente Integralgleichung
ı
Û (t, t0 ) = 1 −
~
Zt
dt′ Ĥ Û (t′ , t0 ) ,
(1.282)
t0
wobei die Eins von der Anfangsbedingung Û (t0 , t0 ) = 1 herrührt. Hängt
die Hamilton-Funktion – und demnach auch der Hamilton Operator – nicht
explizit von der Zeit t ab, kann man formal für den Evolutionsoperator
schreiben
o
n ı
.
(1.283)
Û (t, t0 ) = exp − Ĥ(t − t0 )
~
Eine weniger formale (exaktere) Darstellung von Û gelingt mit der von Neumann’schen Reihe (man entwickle die obige e-Funktion).
1.7.6
Erwartungswerte & Schwankungen
In den letzten beiden Abschnitten haben wir alle Voraussetzungen geschaffen, uns nun noch einmal der Erwartungswerte einer physikalischen Größe
zuzuwenden. Wir wollen jetzt hauptsächlich die Definition (1.200) begründen
und dazu werden wir die Wellenfunktion Ψ(x) (der Einfachheit halber 1D
und ein diskretes Spektrum) nach den EF’s ϕi der Größe Â
hAi = hΨ|Â|Ψi = a∗m an hϕm |Â|ϕn i = An a∗m an hϕm |ϕn i =
¯ ¯
= An a∗m an δmn = An ¯a2n ¯ = An pn
(1.284)
entwickeln (Verwendung d. Einstein’sche Summenschreibweise). Der letzte
Ausdruck entspricht dem statistischem
Mittel (siehe Tutorium WK-Rech¯ ¯
nung), wenn man mit pn = ¯a2n ¯ die WK identifiziert, das System in dem
diskreten Wert An der Größe Â infolge der Messung (!) anzutreffen. Wir
werden den Meßprozeß in einem der folgenden Abschnitten wegen seiner
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
79
wesentlichen Bedeutung für die Quantenphysik noch einmal etwas genauer
streifen.
Mit Gleichung (1.284) ist motiviert, warum die Formulierung (1.200) die
korrekte Definition des Erwartungswerts ist. Die WK-Dichte kann so als
¯ ¯
̺ ⇒ ¯a2n ¯ = pn
X¯ ¯
¯a2n ¯ = 1
(1.285)
(1.286)
n
diskrete Wahrscheinlichkeit verstanden werden.
Mit der Vorschrift (1.200) können nicht nur Erwartungs- bzw. Mittelwerte
physikalischer Größen berechnet werden sondern auch Schwankungen. Wir
führen als Schwankung (Eigenwerte)
∆A = A − hAi
(1.287)
mit dem dazugehörigen Operator
∆Â = Â − hAi
(1.288)
ein. Für das Schwankungsquadrat haben wir nach Definition (1.200)

(∆A)2
®
Z
d3~r Ψ∗ (∆Â)(∆Â) Ψ =
Z
¯
¯2
¯
2
3 ¯
hΨ|(∆Â) |Ψi =
d ~r ¯(∆Â) Ψ¯
,
=
(1.289)
wobei der letzte Schritt mit der Hermitizität des Operators ∆Â begründet
wird (Übung).
D
E
Damit kann man für scharfe Meßbarkeit einer Größe (∆A)2 = 0 unmittelbar folgendes konstatieren: Da im Integranden von (1.289) eine positiv
definite Größe steht, können Schwankungen nur unterdrückt werden, wenn
gilt
(∆Â) Ψ = (Â − A) Ψ = 0 ,
(1.290)
nämlich die Eigenwertgleichung muss erfült sein. M.a.W. die Wellenfunktion
ist gleichzeitig EF unserer betrachteten physikalischen Größe Â.
80
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Vertauschungrelationen – Kommutator
Wichtige Operationen betreffen die Vertauschbarkeit bzw. Vertauschungsregeln zweier Operatoren, die mit den Kommutatoren
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â = ı Ĉ .
(1.291)
Ist der entstehende Operator eine Konstante Ĉ = 0 dann ist die Reihenfolge
der Anwendung der Operatoren Â und B̂ gleichgültig, mit der Konsequenz,
dass beide den gleichen Satz von Eigenfunktionen ϕn besitzen und dass sie
gleichzeitig scharf messbar sind (in Übung – Beispiele für Sätze gleichzeiˆ und ~ˆr nicht
tig meßbarer Größen). In diesem Sinne sind die Operatoren ~p
vertauschbar und der Kommutator führt zur Unbestimmtheitsrelation, wie
wir unten zeigen.
Wie wir gerade gezeigt haben, haben scharf meßare physikalische Größen,
EF’s die bis auf Konstanten identisch mit der Wellenfunktion Ψ sind – sie
haben gleiche Sätze von EF’s. Daraus folgt, dass für zwei, gleichzeitig meßbare Gößen Â und B̂ der Kommutator
[Â, B̂] = 0
(1.292)
verschwinden muss (Übung).
Nun ist es zur Unschärferelation zweier physikalischer Größen Â und B̂, die
nicht miteinander kommutieren (1.291), nur ein kleiner Schritt, der in einer
Übung mit Hilfe der Operatoren ∆Â und ∆B̂ (und überall beschriebener
Tricks) gezeigt werden soll. Sie lautet
D
(∆Â)2
ED
(∆B̂)2
E
≥
1
hCi2
4
.
(1.293)
Damit erhält man für die Operatoren Â = p̂ = −ı~∂x und B̂ = x mit

®
®
~2
(∆p̂)2 (∆x)2 ≥
4
(1.294)
die berühmte Heisenberg’sche Unschärferelation.
1.7.7
Bemerkungen zum Meßprozeß
An dieser Stelle ist es nun höchste Zeit, auf Besonderheiten beim Meßprozeß
an Quantensystemen hinzuweisen. Gegeben sei eine Meßapparatur und ein
quantenmechanisches System – z.B. einem Elektron – die zusammen ein
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
81
Gesamtsystem bilden, welches sich vor der Messung in einem bestimmten
Zustand
Ψ̃(~r, ξ) = Ψ(~r) Φ(G) (ξ)
(1.295)
befinden möge. Die Wellenfunktionen des Elektrons und des klassischen“
”
Geräts vor der Messung sind Ψ(~r) bzw. Φ(G) (ξ) – und deren Argumente ~r
bzw. ξ. Der Produktausdruck (1.295) weist auf statistische Unabhängigkeit
beider Systemkomponenten — Elektron & Gerät — hin.
Wir möchten mit der Messung die Größe Â bzw. deren Ew’s A bestimmen.
Es liegt auf der Hand, dass während und nach der Messung diese Unabhängigkeit nicht mehr aufrecht zu erhalten ist. Wir können aber den
Zustand danach nach den Zustandseigenfunktionen des Gerätes (welche ei(G)
gentlich kontinuierlich sind) Φn (ξ ′ ) entwickeln
Ψ̃(~r′ , ξ ′ ) =
X
Bn (~r′ ) Φn(G) (ξ ′ ) ,
(1.296)
n
wobei die gestrichenen Argumente die Situation nach der Messung charakterisieren. Nun wird das Gesamt–System sicher ein unendlich“ dichtes Spek”
trum der Werte An → A für n → ∞ aufweisen, wir wollen (ähnlich wie
beim Hohlraumstrahler) trotzdem ein diskretes Spektrum voraussetzen –
was beliebig genaue Werte An → A zuläßt. Da letztlich nur ein Wert An zur
Anzeige gebracht wird, brauchen wir statt der Summe vereinfachend nur das
eine dazugehörige Glied
′
′
′
Ψ̃(~r , ξ ) = Bn (~r ) Φn(G) (ξ ′ ) ,
(1.297)
berücksichtigen. Hier ist wieder die Faktorisierung angenommen, d.h. nach
der Messung sind Gerät und Elektron statistisch unabhängig. Der Koeffizient
Bn sollte sowohl vom Zustand des Elektrons vor der Messung als auch vom
Meßvorgang selber abhängen.
Das der Quantenmechanik zugrunde liegende Superpositionsprinzip gestattet, diese Koeffizienten Bn als Summe/Integral über die Anfangs-WK-Amplitude Ψ(~r) des Elektrons gewichtet mit der Gerätefunktion“ Kn (~r′ ; ~r)
”
Z
Bn (~r′ ) =
d3~r Kn (~r′ ; ~r) Ψ(~r)
(1.298)
= an ϕn (~r′ )
zu schreiben.
(1.299)
82
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
Nun fordern wir, dass die Messung den enstandenen Zustand vollständig
beschreibt, m. a. W. die WK’s aller meßbaren Größen in diesem Zustand
hängen nicht vom Originalzustand ab. Das bedeutet Bn hängt nur vom IstZustand ab, also von den gestrichenen Argumenten, die Funktion ϕn ist EF
sowohl der Größe Â als auch des Hamilton-Operators Ĥ – wir wollen ja
die Größe Â als scharf meßbar voraussetzen. Die Gleichheit der Ausdrücke
(1.298) & (1.299) setzen eine Faktorisierung des Integralkerns
′
Kn (~r′ ; ~r) = ϕ(~r ) ϕ∗n (~r)
(1.300)
voraus, womit man sofort erhält
′
Bn (~r′ ) = ϕn (~r )
Z
d3~r ϕ∗n (~r) Ψ(~r)
= |ni hn|Ψi .
(1.301)
(1.302)
Koeffizientenvergleich liefert
an = hn|Ψi .
(1.303)
Diese Beziehungen eingesetzt in die Gesamt-WK-Amplitude nach der Messung ergibt
′
′
Ψ̃(~r , ξ ) = |ni hn|Ψi Φn(G) (ξ ′ ) ,
(1.304)
womit ich die WK den Meßwert An durch die Messung zu bestätigen, sofort
(Bra andocken“) als die Proportionalität
”
|an |2 ∝ hΨ|ni hn|Ψi
(1.305)
formulieren kann. Unter Beachtung der Normierung erhält man schließlich
für diese WK
pn =
hΨ|ni hn|Ψi
hΨ|Ψi
(1.306)
pn = 1 .
(1.307)
mit
X
n
1.7. WELLENFUNKTION, HILBERTRÄUME & OPERATOREN
1.7.8
83
Zeitabhängigkeit von Mittelwerten & Operatoren; Ehrenfest Theorem
Nun lassen wir über die Wellenfunktion Ψ(~r, t) Zeitabhängigkeit der physikalischen Größe
hA(t)i = (Ψ(t), ÂΨt)
(1.308)
zu (hier geben wir nur die Zeitabhängigkeit an, an der wir interessiert sind).
Wir bilden die Zeitableitung
d
˙
hA(t)i = (Ψ̇(t), ÂΨt) + (Ψ(t), ÂΨt) + (Ψ(t), ÂΨ̇t)
dt
(1.309)
und erinnern uns der zeitabhängigen SGL (1.141), ı~Ψ̇ = ĤΨ , womit
man erhält (Übung – Tipp: konjugiert komplexe SGL einbeziehen)
dÂ
∂ Â
ı
∂ Â
1
=
+ {ĤÂ − ÂĤ} =
+ [Â, Ĥ]
dt
∂t
~
∂t
ı~
(1.310)
– einen Ausdruck, der in völliger Analogie zur Zeitableitung einer Größe in
der klassischen Mechanik steht, identifiziert man die Kommutatoren [abgesehen vom Faktor 1/(ı~)] mit den Poisson Klammern der klassischen Mechanik
(in Übung zeigen).
Als Beispiele sollen die klassischen (Hamiltonschen) Bewegungsgleichungen
(Kommutatoren i.d. Übung ausrechnen) dienen:
˙
~ˆr =
ˆ˙ =
~p
1.7.9
ˆ
ı
p̃
[Ĥ, ~ˆr] =
~
m
ı
ˆ
[Ĥ, ~p] = − ∇U(r̃) =
~
(1.311)
(1.312)
Wahrscheinlichkeit & Kontinuitätsgleichung
Mit der SGL
ı~
∂Ψ
= ĤΨ
∂t
können wir eine Evolutionsgleichung der WK-Dichte ̺(~r, t) gewinnen:
∂
̺(~r, t) = Ψ̇∗ Ψ + Ψ∗ Ψ̇ .
∂t
(1.313)
Da die Potenzialterme U (~r) wegfallen, wird man auf
~
∂
̺(~r, t) =
[(∆Ψ∗ )Ψ − Ψ∗ (∆Ψ)]
∂t
2mı
(1.314)
84
KAPITEL 1. GEGENSTAND DER VORLESUNG
womit man nach Herausziehen der Divergenz auf eine Kontinuitätsgleichung
der WK-Dichte geführt wird:
∂
̺(~r, t) + ∇ · ~j(~r, t) = 0 .
∂t
(1.315)
Die Stromdichte ~j ist mit
~j(~r, t) =
~
[Ψ∗ (∇Ψ) − (∇Ψ∗ )Ψ]
2mı
(1.316)
definiert.
Diese Bilanz sichert die Normierbarkeit eines zeitabhängigen Quantenzustands Ψ(~r, t), wie man in integraler Formulierung direkt zeigen kann (Übung:
Integralsatz von Gauß anwenden).
Kapitel 2
Stationäre Zustände
Nachdem wir die Grundlagen der Quantenmechanik skizziert haben — deren
Grundgleichung, die Schrödingergleichung (SGL), Charakterisierung eines
Zustandes, Hilberträume etc. — wird es Zeit, konkrete Probleme zu lösen.
Die stationäre SGL hatten wir durch Separationsansatz (2.147) zur stationären SGL umgeformt, die ausgeschrieben lautet
−
~2
∆ϕ = [E − U (~r)] ϕ .
2m
(2.1)
In diesem Abschnitt gilt es, die normierbare, stetige und differenzierbare
Funktion ϕ(~r), die den Ortsanteil der WK-Amplitude Ψ beschreibt, zu bestimmen. Dabei wenden wir uns zu Beginn den einfachsten, den eindimensionalen (1D) Problemen zu. Oft haben 1D-Probleme nicht nur Modellcharakter, sondern wenn die/der Hamilton-Funktion/Operator als Summe der
einzelnen Koordinatenteile
ˆ, ˆ
r̃) = Ĥx (p̂x , x̂) + Ĥy (p̂y , ŷ) + Ĥz (p̂z , ẑ)
Ĥ(~p
(2.2)
darstellbar ist (hier 1 Teilchen). Beispiele für einen solchen Hamiltonian sind
alle Beschreibungen von freien Teilchen in Potenzial-Boxen; aber auch der
3D-harmonische Oszillator zeigt diese Eigenschaft.
Damit sind diese 1D Beispiel weit mehr als nur zur Anschauung geeignet.
Wir wählen ein rein x-abhängiges Potenzial und können die SGL (2.1) für
den Ortsanteil des Zustands |Ψi in Ortsdarstellung schreiben
Ĥ(p̂x , x) ϕ(x) = −
~2 ∂ 2 ϕ(x)
+ U (x)ϕ(x) = E ϕ(x) .
2m ∂x2
85
(2.3)
86
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Nur noch einmal zur Erinnerung, den gesamten Zustand (zeitabhängig) gewinnt man durch Faktorisierung mit der Zeitentwicklung
¾
½
E
(2.4)
Ψ(x, t) = exp −ı t ϕ(x) .
~
Auch noch einmal zur Festigung seien der Hamilton-Operator in Orts- u.
Impulsdarstellung gegenübergestellt
~2 ∂ 2
+ U (x) Ortsdarstellung
2m ∂x2
~2 k 2
+ U (ı∂k )
Impulsdarstellung,
2m
Ĥ(p̂x , x̂) = −
(2.5)
Ĥ(p̂x , x̂) =
(2.6)
wobei wir uns als Kochrezept“ wieder merken:
”
1. Auftellung der klassischen Hamiltonfunktion H(p, x)
2. Ersetzung der kanonisch-konjugierten Variablen durch Operatoren
(a) Ortsdarstellung: x → x ; p → (~/ı)∂x
(b) Impuls...: p → p = ~k ; x → ı∂k
Natürlich steckt hinter dieser korrespondenzmäßigen Vorschrift wieder die
Fourier- und ihre Rücktransformation (Übung).
2.1
Eindimensionale Probleme
Den eindimensionalen Probleme liegt folgende stationäre SGL zugrunde
ϕ′′ = −
2m
[E − U (x)] ϕ ,
~2
(2.7)
wobei die Striche Ableitungen nach x bezeichnen. Wir haben hier schon die
Form der Krümmung gewählt ϕ′′ und fordern zudem, dass ϕ quadratintegrabel sei. Das Eigenwert-Problem wird zudem sicher reelle Eigenwerte E
hervorbringen, was der Hermitizität von Ĥ geschuldet ist.
Bevor wir konkrete 1D Probleme lösen, werden wir einige Eigenschaften der
Lösung von (2.7) für allgemeine, beliebige Potenziale U (x), dargestellt in
Abb. 2.1, qualitativ diskutieren. Zu diesem Zweck haben wir die SGL in
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
87
E ; U (x )
'a
E1
Eb
E0
Ea
x1
x1
x
x2
x
'0
x2
x
x1
'1
'b
x1
x2
x2
x
x1
x2
x
Abbildung 2.1: Illustration der Selektion der Eigenlösungen, die im Falle
gebundener Zustände
nur für bestimmte diskrete Eigenwerte Ei normierbare
R
EF’s liefern:
dx |ϕi (x)|2 = 1 . Passen die Werte Ea/b nicht, führt die
Krümmung E −U zu divergierenden EF’s ϕa/b (Eigenfunktionen rechts oben
und links unten).
Form der Krümmung (2.7) der Wellenfunktion ϕ geschrieben. Je nachdem
ob ϕ(x) > 0, ϕ(x) < 0bzw. ob E > U (x) o. E < U (x) ist, wird die Kurve
ϕ(x) positiv oder negativ gekrümmt sein. Dazu wollen wir 3 verschiedene
Potenziale diskutieren:
(A) U (x) → ∞ für x → ±∞ (z.B. harmonischer Oszillator)
(B) U (x0 ) → ∞ und U (x) → ∞ f. x → ±∞ (Topf & Wand)
(C) U (x) → U−∞ für x → −∞
U (x) → U∞ für x → ∞, wobei U−∞ > U∞
Zu Fall (A) (Abb. 2.1): Für diesen Potenzialtopf gibt es nur gebundene
Zustände für E > Umin . Energien darunter gestatten keine Konstruktion
normierbarer Eigenlösungen von (2.7). Z. B. würde angenommen bei E =
88
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
0 ; x = 0 und bei ϕ(0) > 0 die Krümmung für |x| > 0 immer größer, d.h.
ϕ′′ > 0 und monoton wachsend für wachsende x. Diese Funktionen sind nie
normierbar.
Für E > Umin werden im Intervall x1 < x < x2 die Krümmungen negativ und für exakt passende, diskrete Werte existieren immer normierbare
EF’s – in unserer Skizze als ϕ0 und ϕ1 mit den Ew’s E0 ; E1 bezeichnet. Für
die Energie Ea ist die Krümmung nicht stark genug um die dazugehörige
Funktion ϕa als Element der quadratisch integrierbaren Funktionen zu qualifizieren: es gilt ϕa ∈
/ L2 . Für die Energie Eb bewirkt die stärkere Krümmung
einen Vorzeichenwechsel von ϕ und damit auch von ϕ′′ , der allerdings noch
nicht stark genug ist, um ein Gegensteuern gegen zu stark negativ fallende
Werte ϕ zu garantieren. Auch in dem Fall gilt ϕb = |bi ∈
/ L2 .
Man kann konstatieren: im Fall (A) existieren diskrete Energiewerte E0 , E1 ,
E2 , ..., Ej deren EF’s normierbar sind: |ji ∈ L2 . Der Index j ist gleichzeitig
die Zahl der Nullstellen der oszillierenden Eigenfunktionen |ji im Intervall
x1 < x < x2 (klassischer Aufenthaltsbereich E ≥ U ) — diese Tatsache wird
als Knotensatz bezeichnet. Außerhalb des klassischen Aufenthaltsbereiches
E < U fällt |ji mindestens exponentiell ab.
U (x)
U (x)
U 1
x0
x
U1
x
Abbildung 2.2: Potenzialverläufe für die Fälle (B) und (C).
Zu Fall (B) (Abb. 2.2, links): Qualitativ gilt das Gleiche wie im Fall (A),
mit dem Unterschied, dass das Teilchen nicht den Bereich x ≤ x0 eindringen
kann: |ji(x ≤ x0 ) ≡ 0 als Randbedingung.
Zu Fall (C) (Abb. 2.2, rechts): Hier gibt es 3 charakteristische Energiebereiche: für Umin < E < U∞ sind eine bestimmte Zahl diskreter Energieniveaus möglich, vorausgesetzt der Abstand (U∞ − Umin ) ist groß genug. Im Bereich wo E > U (x) gilt, oszillieren die EF’s, wie in den obi-
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
89
gen Fällen. Jenseits dieses Bereiches fallen die Funktionen exponentiell ab:
√
|ji ∝ exp(− |x| U±∞ − E), wobei man dort das Potenzial als konstant betrachtet (Übung).
Das Spektrum wird kontinuierlich für E > U∞ und die EF’s sind streng
genommen nicht normierbar. Die Einführung periodischer Randbedingungen oder von Potenzialwänden weit entfernt von der Potenzialmulde würde
das Spektrum ein Quasikontinuum werden: eine sehr dichte Folge diskreter
Energien mit dazugehörigen normierbaren EF’s.
2.1.1
Potenzialkasten
In diesem Fall betrachten wir das Potenzial
U (x) =
½
0 für 0 ≤ x ≤ a
∞ sonst
(2.8)
wie es in Abbildung 2.3 dargestellt ist. Trotz der Einfachheit, oder gerade
E ; U (x)
0
a
x
Abbildung 2.3: Der unendlich hohen Potenzialkasten.
wegen derselben, dient dieses Beispiel als schöner Testfall für den mehr oder
minder komplexen Apparat, der sich durch alle anderen Beispiele ziehen
wird.
90
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Dem Teilchen sind die Bereiche außerhalb des Kastens nicht zugänglich, es
gilt ϕ = 0. Im Intervall x ∈ (0, a) gilt
−
~ 2 d2 ϕ
= Eϕ
2m dx2
(2.9)
oder
d2 ϕ
= − k 2 ϕ mit k ≡
dx2
√
2mE
,
~
(2.10)
wobei Gleichung (2.10) nichts anderes als den klassischen harmonischen Oszillator beschreibt. Die allgemeine Lösung lautet
ϕk (x) = A sin kx + B cos kx ,
(2.11)
wobei diese aber den Randbedingungen
ϕk (0) = ϕk (a) = 0
(2.12)
genügen muss, d.h. es muss B = 0 sein. Da an den Rändern des Kastens die
verbleibende Sinus-Funktion verschwinden muss, gilt für die Wellenzahlen,
sowie für die Energieeigenwerte [siehe Gl. (2.10)]
kn =
En =
nπ
a
µ ¶2
1
π~
n2 .
2m
a
(2.13)
(2.14)
Schließlich liefert die Orthonormierungsbedingung
hn|ni =
Za
0
dx ϕ∗n (x) ϕn (x) = |A|2
und damit die stationäre Lösung
r
ϕn (x) =
³ nπ ´
2
sin
x .
a
a
a
= 1
2
(2.15)
(2.16)
Die Eigenschaften dieser stationären Lösung sind
1. die |ni-Funktionen sind wechselseitig gerade bzw. ungerade bezogen
auf das Zentrum des Kastens
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
91
2. die Energie wächst mit n – die Zahl der Nullstellen ist n ⇒ Knotensatz
3. die Funktionen stellen ein vollständiges ONS dar: hi|ji = δij .
Die Lösung der zeitabhängigen SGL lautet mit dem Faktor exp(−ıEn t/~)
letztlich
r
½
¾
³ nπ ´
2
n2 π 2 ~
Ψn (x, t) =
(2.17)
sin
x exp −ı
t
.
a
a
2ma2
Die Vollständigkeit des Funktionensystems gestattet jetzt die Darstellung
der allgemeinen Lösung als Reihe
r
½
¾
³ nπ ´
X
2
n2 π 2 ~
Ψ(x, t) =
cn
sin
x exp −ı
t
,
(2.18)
a
a
2ma2
n
und damit auch die Anpassung jeder Anfangs-WK-Amplitude Ψ(x, 0) wobei
die Koeffizienten lauten
r Za
³ mπ ´
2
cm =
x Ψ(x, 0) .
(2.19)
dx sin
a
a
0
2.1.2
Delta-Potenzial
Als nächstes Modellpotenzial — der Kasten ist auch ein nicht zu realisierender Modellfall, was aber großen exemplarischen Wert hat — wird ein δ-Topf
untersucht. Die zeitfreie SGL lautet
−
~2 d2 ϕ
− αδ(x)ϕ = E ϕ
2m dx2
(2.20)
und dieses Potenzial gestattet gebundene Zustände für E < 0 und Streuzustände für E > 0.
Wenden wir uns zunächst den gebundenen Zuständen E < 0 zu, womit
die SGL, zunächst für x < 0, lautet
2mE
d2 ϕ
= − 2 ϕ = κ2 ϕ ,
2
dx
~
(2.21)
denn U (x) = 0 überall außer bei x = 0√wo das Potenzial über alle Maßen
fällt U (0) → −∞. Die Konstante κ = −2mE/~ reell und positiv, da ja
E < 0 gilt. Die Lösung der Dgl. mit konstanten Koeffizienten ergibt,
ϕ(x) = A e−κx + B eκx
(2.22)
92
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
analog zum Kastenbeispiel, allerdings nun mit reellem charakteristischen
Exponenten. Für x < 0 ist der Lösungszweig B exp(κx) geeignet, für x > 0
alternativ A exp(−κx). Die Stetigkeitsforderung bei x = 0 erzwingt A = B,
so dass wir für die Lösung auf der gesamten x-Achse erhalten
½ −κx
e
für x ≥ 0
(2.23)
ϕ(x) = A ×
eκx für x ≤ 0
Eine weitere Stetigkeitsforderung ist an die Ableitung dϕ/dx = ϕ′ zu stellen,
abgesehen von der Stelle x = 0 wo ϕ′ eine Diskontinuität zeigt. Um diese
genau zu beziffern, integrieren wir die SGL im Bereich −ǫ < x < ǫ und
bilden den Grenzwert ǫ → 0, womit wir erhalten
¯
2m
= 2 lim
~ ǫ→0
ǫ
lim ϕ′ ¯−ǫ
ǫ→0
Zǫ
dx U (x) ϕ(x) = −
−ǫ
2mα
ϕ(0) ,
~2
(2.24)
der Term Eϕ liefert wegen seiner Stetigkeit bei x = 0 keinen Beitrag. Mit
der Lösung (2.23), ⇒ ϕ′ (0) = ±κ, sofort folgt
mα
~2
κ =
E = −
(2.25)
~2 κ2
mα2
= −
.
2m
2~2
(2.26)
Um die EF des gebundenen Zustands komplett zu machen, bestimmen wir
noch die Konstante A über die Normierungsbedingung, wobei die Symmetrie
der WK-Amplitude ϕ(x) = ϕ(−x) ausgenutzt wird
hϕ|ϕi = 2 |A|
A =
√
2
Z∞
κ =
0
dx exp (−2κx) =
√
|A|2
= 1
κ
mα
.
~
(2.27)
Man gewinnt schließlich, unabhängig von der Wichtung α der δ-Mulde, nur
einen einzigen gebundenen Zustand
ϕ(x) =
√
³ mα ´
mα
exp − 2 |x| ; mit
~
~
E = −
mα2
.
2~2
(2.28)
Die zeitabhängige Lösung ist wieder über die Faktorisierung zu gewinnen:
|Ψi = exp(−ıωt) |ϕi.
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
93
Streuzustände: die durch E > 0 charakterisiert sind lassen sich ähnlich
wie das Kastenpotenzial beschreiben: die SGL abgesehen von x = 0 lautet:
ϕ′′ = −
2mE
ϕ = − k2 ϕ .
~
(2.29)
Die charakteristisch Gleichung λ2 +k 2 = 0 liefert imaginäre Lösungen λ1/2 =
±ık, und so lautet die allgemeine Lösung für x < 0
ϕ(x) = A exp (ıkx) + B exp (−ıkx)
(2.30)
und alternativ für x > 0
ϕ(x) = C exp (−ıkx) + D exp (ıkx) .
(2.31)
Keine dieser Lösungen kann aus Normierungsgründen ausgeschlossen werden
– ohne Wichtung wie beim Wellenpaket oder andere physikalische Annahmen, gehören diese Funktionen nicht zum L2 . Die Stetigkeitsforderung bei
x → ±0 schränkt die Zahl der Konstanten durch die Bedingung
A+B = C +D
(2.32)
ein. Den Ansätzen (2.30) & (2.31) folgend, lauten die Ableitungen bei x =
0 ; ϕ′ (0)|+ = ık(A − B) bzw. ϕ′ (0)|− = ık(D − C) womit man füe die
Sprungbedingung (2.24) erhält:
ık (D − C − A + B) = −
2mα
(A + B)
~2
(2.33)
oder kompakter
D − C = A(1 + ıβ) − B(1 − ıβ)
(2.34)
mit
β =
2mα
.
k~2
Nun haben wir aber nur 2 Gleichungen (2.32) & (2.33), um 4 Konstanten
zu bestimmen. Nun, das ist nicht weiter schlimm, denn die Streuzustände
sind, z.B. wie das freie Teilchen über Wellenpakete normierbar. Trotzdem
können wir den Konstanten A bis D eine bestimmte Bedeutung zuordnen.
Zusammen mit dem Zeitfaktor exp(−ıωt) (hier ist wieder E = ~ω) weisen
uns die Argumente ı(kx − ωt) auf nach rechts (zu größeren x) laufende
Wellen – und alternativ ı(kx + Et) auf nach links laufende Wellen bzw.
94
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Teilchenströme, siehe Abbildung ??. In einem Experiment wird in der Regel
nur von einer Seite der Teilchenstrom einfallen, nehmen wir mal an, von
links“, d.h. aus x ⇒ −∞ und somit ist C = 0 weil von rechts“ (aus +∞)
”
”
keine Teilchen kommen sollen. Dann bedeuten: B Amplitude der am Topf
reflektierten Teilchen und D jene der transmittierten Teilchen, also die die
δ-Mulde durchlaufen.
Löst man aus den Gln. (2.32) & (2.33), für C = 0, nach den Reflexions(B) bzw. dem Transmissionskoeffizienten (D) als Funktion des einfallenden
Stroms (A) auf, erhält man
B =
2
ıβ
A ; D =
A .
2 − ıβ
2 − ıβ
(2.35)
Dem quantentheoretischem Konzept folgend, ist die Wahrscheinlichkeit mit
∝ |Ψ|2 gegeben (mal abgesehen vom augenscheinlichen Normierungsproblem, welches mittels Wellenpaket gelöst wird), so dass man für die Reflexionsund Transmissionskoeffizienten erhält
R2 =
T2 =
|B|2
β2
=
4 + β2
|A|2
|D|2
4
2 = 4 + β2 .
|A|
(2.36)
(2.37)
Wie es auch sein muss, ergibt die Summe aus Reflexion und Transmission
eins:
R2 + T 2 = 1
2.1.3
.
(2.38)
Streuung an Potenzialbarriere/-topf — Der Tunneleffekt
Als nächstes Beispiel — und sicher auch als bekanntestes — behandeln wir
die Streuung an eines Teilchens (Elektron) an einer rechteckigen Potenzialbarriere (siehe Abb. 2.4) - bzw. -topf, welches letzlich auf den berühmten
Tunneleffekt führt. In der Vorlesung werden wir uns den Streuzuständen
zuwenden – dem kontinuierlichen Teil des Energie (E)- Spektrums. In den
Übungen werden die gebundenen Zustände, also das diskrete En -Spektrum
|ni, eingehend untersucht (Oszillationen im Bereich II und exponentiell
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
95
E ; U (x)
E ; U (x)
E
U0
E
x
I
x
d
0
I
II
d
0
III
II
III
U0
Abbildung 2.4: Links: Das eindimensionale Rechteckpotenzial. Rechts: Der
rechteckige Potenzialtopf. Das Elektron möge sich aus Richtung x = −∞
mit der Energie E der Barriere/dem Topf nähern. Die Barriere/der Topf
teilt die x-Achse in drei Regionen: I und III in denen sich das Teilchen
frei U (x) = 0 bewegen kann und das Gebiet II in dem die Barriere
energetisch höher ist als die kinetische Energie des Elektrons. Im Fall des
Topfes ist in allen Gebieten das Elektron frei beweglich.
asymtptotische Relaxationen in I & III).
Wir führen folgende Abkürzungen für die Energien
~2 2
~2 2
k ; E − U0 =
K .
(2.39)
2m
2m
ein, die, weil wir es mit Streuproblemen und somit kontinuierlichen Spektren
zu tun haben, frei wählbar sind. Das ruft wieder die schon oft zitierten Normierungsprobleme auf den Plan, die aber, wie in Abschnitt 1.7.1 ausführlich
geschildert, über das Wellenpaket in den Griff zu bekommen ist.
Hier werden wir zunächst noch einmal alle Bedingungen (außer Normierbarkeit) bei x = 0 und x = d aufführen, die in den vergangenen Testbeispielen nicht alle von Bedeutung waren. Wir müssen sowohl für die WK’s
|Ψ|2 ∝ hϕ|ϕi als auch für die WK-Ströme ∝ Ψ∗ Ψ′ − Ψ(Ψ∗ )′ Stetigkeit
(Striche ⇒ Ableitung nach x) fordern, d.h. sowohl die WK-Amplituden
|Ψi = exp(−ıEt/~) |ϕi als auch deren Ableitungen müssen an den Stellen
x = 0; d identisch sein:
E =
ϕI (0) = ϕII (0)
ϕII (d) = ϕIII (d)
und
ϕ′I (0) = ϕ′II (0)
und
ϕ′II (d)
=
ϕ′III (d)
(2.40)
.
(2.41)
96
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Die stationäre SGL’en inkl. ihrer Lösungen lautet in den drei Bereichen
¸
· 2
d
2
+ k ϕI = 0 , ϕI = eıkx + Re−ıkx
(2.42)
I:
dx2
· 2
¸
d
2
+ K ϕII = 0 , ϕII = aeıKx + be−ıKx (2.43)
II:
dx2
¸
· 2
d
2
(2.44)
+ k ϕIII = 0 , ϕIII = Deıkx .
III:
dx2
Auch hier werden wieder annehmen, dass der einfallende Strom von Quantenobjekten von links (x → −∞) erfolgt und auch schon auf A = 1 normiert
ist. Demzufolge muss der Koeffizient der nach links laufenden Wellen (Argument: kx + ωt = konstant) verschwinden C = 0.
In Anlehnung an das letzte Streubeispiel haben wir die Koeffizienten so
gewählt, dass der Reflexions-(R) und Transmissionskoeffizienten (D) schon
direkt in der Lösung auftauchen, indem wir |A|2 → 1 setzen, also den einfallenden Strom auf eins normieren.
Die Auswertung der Stetigkeitsbedingungen (2.40) & (2.41) ergibt
1 + R = a + b ; k(1 − R) = K(a − b)
(2.45)
³
´
ıKd
−ıKd
ıkd
ıKd
−ıKd
ıkd
ae
+ be
= De ; K ae
− be
= kDe . (2.46)
Multiplizieren wir die linken Bedingungen (Stetigkeit der WK-Amplituden
ϕ) mit K ein und addieren als auch subtrahieren die entstehenden Gleichungen in der oberen (2.45) als auch i.d. unteren Zeile (2.46) voneinander, wird
man auf die Bedingungen
(K − k)R + k + K = 2Ka
(2.47)
K − k + (K + k)R = 2Kb
ıkd
(k + K)De
ıkd
(K − k)De
(2.48)
ıKd
(2.49)
−ıKd
(2.50)
= 2Kae
= 2Kbe
geführt. Nun können die rechten Seiten von (2.47)-(2.50) eliminiert werden
womit man erhält
[K + k + R(K − k)]eıKd = (K + k)Deıkd
−ıKd
[K − k + R(K + k)]e
ıkd
= (K − k)De
.
(2.51)
(2.52)
Multipliziert man Gl. (2.51) mit (K − k) und (2.52) eliminiert man die
rechten Seiten
[K 2 − k 2 + R(K − k)2 ]eıKd = [K 2 − k 2 + R(K + k)2 ]e−ıKd
(2.53)
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
97
und kann nach dem Reflexionskoeffizient R und dem Durchlaßkoeffizienten
D auflösen (Übung):
R =
2ı(K 2 − k 2 ) sin(Kd)
(K + k)2 e−ıKd − (K − k)2 eıKd
(2.54)
D =
4kKe−ıkd
(K + k)2 e−ıKd − (K − k)2 eıKd
(2.55)
die zusammen ebenfalls der Normierungsbedingung (2.38) genügen (nur hier
ist D → T weil |A| → 1) muss:
|R|2 + |D|2 = 1 .
(2.56)
(Diese Normierung sollte in einer Übung mit den Ausdrücken R und D
gezeigt werden.)
Man beachte, dass über die Definitionen (2.39) diese Wahrscheinlichkeiten
in der Tat von der Potenzialhöhe U0 sowie der Energie des Teilchen über k
und K abhängt.
Tunneleffekt:
Nun ist es Zeit zu unterstreichen, dass im Fall der Barriere K 2 = 2m(E −
U0 )/~2 = (ıκ)2 < 0 gilt (κ – reell) – d.h. man hat es innerhalb der Barriere
mit einer exponentiell abfallenden WK-Amplitude zu tun hat
ϕII (x) =
½
a exp (−κx) für K = ıκ
b exp (−κx) für K = −ıκ .
(2.57)
Dieser etwas komisch anmutende Ausdruck rührt von der Tatsache, dass ich
K 2 < 0 sowohl mit K → ıκ all auch mit K → −ıκ erzuegen kann. Diese
Alternativen eingesetzt in die Lösung (2.43), preferiert entweder den Zweig
∝ a oder den ∝ b. Exponentiell anwachsende Terme [exp(κx)] müssen aus
physikalischen Gründen ausgeschlossen werden, denn es würden sonst mehr
Teilchen die Barriere bei x = d verlassen, als bei x = 0 eintreten.
Für den Tunnelkoeffizienten ist dann in dem Fall (K → ıκ) zu schreiben:
|D|2 =
16k 2 κ2
|(k + ıκ)2 eκd − (k − ıκ)2 e−κd |
2
(2.58)
98
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Setzen wir niedrige Energien voraus, k 2 ≪ κ2 , d.h. wir können k in den
Koeffizienten des Nenners von (2.58) schlicht vernachlässigen, erhält man
16k 2
exp(−2κd) .
(2.59)
κ2
p
Erinnern wir uns an die Definition κ = 2m(U (x) − E)/~, bedeutet das,
die Tunnel-WK fällt exponentiell
√ mit der Breite der Barriere d sowie mit
der Wurzel der Höhe derselben U0 .
Man kann dieses Ergebnis auch für allgemeinere Potenzialschwellen U (x) als
einer rechteckigen formulieren, vorausgesetzt, dass die Änderung von U lokal
klein genug ist und die Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)-Methode angewendet werden kann. Der Kern dieser Näherung besteht in einem Ansatz
für die WK-Amplitude
|D|2 ≈
ϕ ≈ A(x) exp[ıP (x)]
(2.60)
|A′ |/|A|
|P ′ |
|A′′ |/|A|
mit einer schwach veränderlichen Amplitude
≪
bzw.
≪
2
′
|P | sowie einer sich schnell ändernden Phase P (x). Gehen wir mit diesem
Ansatz in die stationäre SGL (2.7) erhalten wir für den Realteil (in Übung
nachvollziehen)
¡ ¢2
2m
A′′ − A P ′
= 2 [U (x) − E] A = κ2 (x) A ,
(2.61)
~
womit man nach Vernachlässigung der Krümmung A′′ für die Phasenfunktion erhält
dP = ı κ(x) dx ,
(2.62)
oder für die Wellenfunktion
ϕ ∝ exp [−Q(x)] , Q(x) =
Zx
dx′ κ(x′ ) .
(2.63)
x0
Im Tunnelverhältnis über die Breite der Schwelle x− < x < x+ (wo U > E
gilt), welches durch das Verhältnis ϕ− /ϕ+ definiert ist, so dass der Tunnelkoeffizient die Gestalt annimmt
|D|2 ∝ exp [−2G]
G =
Zx+
x−
dx
r
2m
[U (x) − E] =
~2
mit dem Gamov-Faktor der Schwelle.
Zx+
x−
dx κ(x)
(2.64)
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
2.1.4
99
Periodische Potenziale
In Festkörpern – und vornehmlich bei Kristallen – haben wir es oft mit einer definierten regelmäßigen Anordnung von Atomen, Mölekülen zu tun, die
modellhaft mit dem sogenannten Bravais-Gitter modelliert werden. Die regelmäßige Anordnung der den Kristall aufbauenden Objekte (Atome & Moleküle werden auf Punkte zusammengeschrumpft), werden über den Vektor
~ = n1 ~a1 + n2 ~a2 + n3 ~a3
R
(2.65)
beschrieben, wobei die ~ai die Basisvektoren (|~ai | =
6 1) der Einheitszelle und
die ni ∈ G ganze Zahlen sind. Das sollte als Hintergrund nur erwähnt werden. Der Einfachheit halber wenden wir uns dem eindimensionalen Fall zu
~ → a), der aber die wesentlichen physikalischen Effekte schon in sich birgt.
(R
Das Potenzial soll periodisch sein
U (x + a) = U (x) ,
(2.66)
wobei hier die Periodenlänge/Wellenlänge mit a bezeichnet ist. Die wichtigs-
2.0
U(x)
1.5
1.0
0.5
0.0
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
Abbildung 2.5: Als Beispiel für ein periodisches Potenzial: U (x) = cos(2x).
te Beziehung, die wir in den folgenden Abschnitten über 2 Wege begründen,
100
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
ist das Bloch-Theorem
ϕ(x + na) = exp(ınKa) ϕ(x) ; ϕ(x) = vK (x) exp(ıKx)
(2.67)
wobei gelten muss:
vK (x + a) = vK (x) .
(2.68)
Plausible Begründung:
Wir werden zunächst auf plausiblem Weg (kein Beweisanspruch) die Beziehung ϕ(x + a) = λ ϕ(x) mit der komplexen Zahl λ ‘ und im nächsten
Schritt zeigen wir, dass |λ| = 1 und λ = eıKa gelten müssen.
Dazu setzen wir voraus, das für die SGL ein Fundamentalsystem von linear unabhängigen Lösungen ϕ1 (x) und ϕ2 (x) in der 1D-Elementarzelle
x ∈ (0, a) existiere.
Einschub: Fundamentalsystem und Wronski-Determinante:
Gegeben sei eine homogene, gewöhnliche Dgl.
ϕr (x) + cr−1 ϕr−1 (x) + ... + c1 ϕ′ (x) + c0 ϕ(x) = 0 .
(2.69)
Dann existieren r Lösungsfunktionen ϕν mit ν = 1, 2, ..., r. Diese r Funktionen bilden ein Fundamentalsystem linear unabhängiger Funktionen, d.h.
die allgemeine Lösung von Gl. (2.69) kann mit diesem Satz Funktionen konstruiert werden
ϕ(x) = A1 ϕ1 + A2 ϕ2 + ... + Ar ϕr ,
wenn die Wronski-Determinante
¯
¯ ϕ1
¯
¯ ϕ′1
¯
D(x) = ¯
..
¯
.
¯ (r−1)
¯ ϕ
1
nicht verschwindet:
¯
···
ϕr ¯¯
···
ϕ′r ¯¯
..
¯ 6= 0 .
¯
···
.
¯
(r−1) ¯
· · · ϕr
(2.70)
(2.71)
Im Falle der stationären SGL liegt ein Dgl. zweiter Ordnung vor, dessen
Fundamentalsystem mit den beiden Funktionen, ϕ1 und ϕ2 , gegeben sei,
wobei die Wronski-Determinante lautet:
D(x) = ϕ1 (x) ϕ′2 (x) − ϕ′1 (x)ϕ2 (x) = D(x + a) = const. 6= 0 .(2.72)
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
101
Die Konstanz der Wronski-Determinante ist in einer Übung mit Hilfe der
SGL. zu zeigen. Zurück zur plausiblen Begründung des Bloch-Theorems.
Mit diesem Fundamentalsystem kann man weitere Lösungen generieren, z.B.
setzen wir an, dass Fundamentalsystem auf Nachbarperioden durch Linearkombination
·
¶ ·
¸
µ
¸
ϕ1 (x + a)
ϕ1 (x)
c11 c12
·
(2.73)
=
ϕ2 (x + a)
c21 c22
ϕ2 (x)
{z
}
|
Matrix: Ĉ
erweiterbar sei.
Nun bilde ich durch Linearkombination des Fundamentalsystems eine neue
Funktion
v(x) = A ϕ1 (x) + B ϕ2 (x)
(2.74)
für die wir untersuchen, unter welchen Bedingungen die Forderung Gültigkeit hat
v(x + a) = λ v(x) ,
(2.75)
und welche Werte λ dabei haben muss. Setze ich die Gln. (2.73) & (2.74) in
(2.75) ein, erhalte ich
v(x + a) = A ϕ1 (x + a) + B ϕ2 (x + a) =
=
[Ac11 + Bc21 ] ϕ1 (x) + [Ac21 + Bc22 ] ϕ2 (x)
= λ(A ϕ1 (x) + B ϕ2 (x)) = λ v(x) .
(2.76)
Koeffizientenvergleich bzgl. der Funktionen ϕ1/2 (x) in der ersten Elementarzelle [x ∈ (0, a), 2. und 3. Zeile in Gl. (2.76)] führt auf folgendes EWP/Gleichungssystem
für A & B
´ µ A ¶
³
(2.77)
Ĉ − λ Î ·
B
´
³
welches nur nichttriviale Lösungen hat wenn Det Ĉ − λ Î = 0 erfüllt ist.
Das führt auf zwei charakteristische Eigenwerte λ1 und λ2 mit dazugehörigem Fundamentalsystem v1 (x) und v2 (x), die beide die Bedingung (2.75)
befriedigen sollen. Übung: Man zeige, dass unter Voraussetzung ϕ1 und ϕ2
102
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
sei Fundamentalsystem auch v1/2 eines sein muss!. Zusammen mit der Ortsunabhängigkeit der Wronski-Determinante, D(x + a) = D(x), (ebenfalls in
Übung zu zeigen) für Fundamentalsysteme der SGL, ergibt sich dann mit
Gl. (2.75)
D(v) (x + a) = v1 (x + a)v2′ (x + a) − v1′ (x + a)v2 (x + a) = λ1 λ2 D(v) (x) (2.78)
.
Nun folgt wegen der Konstanz der Wronski-Determinante im Fall der SGL
direkt, dass für die komplexen Konstanten gelten muss
|λ1 | |λ2 | ≡ 1 .
(2.79)
Nun bliebe noch die Möglichkeit, dass gelte |λi | =
6 1, was allerdings bedeutete, dass einer der beiden Faktoren λi > 1 sein muss, was mit der Erweiterung von Gl. (2.75) (d.h. Mehrfachanwendung der Translation), vi (x +
na) = λni vi (x), unmittelbar zur Divergenz der WK-Amplituden führen
würde – also zu unphysikalischen Lösungen. Deshalb muss gelten
|λ1 | = |λ2 | ≡ 1 ,
(2.80)
woraus wiederum sofort folgt
λ1/2 = exp(±ıKa) .
(2.81)
Damit wurde die Behauptung (2.68) plausibel begründet.
Beweis mit Hilfe des Translationsoperators
Es ist möglich, das Bloch-Theorem wesentlich weniger gestelzt“ zu bewei”
sen, wenn man die Scheu, mit Operatoren zu hantieren, beiseite schiebt.
Letztlich läuft es wieder auf das Gleiche wie im letzten Unterabschnitt hinaus – welche Eigenschaften können wir den Faktoren λ, die wir hier als Ew’s
des Translationsoperators als C(a) bezeichnen, zuschreiben. Wir haben in
der Übung schon den eindimensionalen Translationsoperator T̂a kennen gelernt, dessen allgemeine Wirkung in einem 3D-Gitter wie folgt formuliert
werden kann
~ ,
T̂R~ ϕ(~r) = ϕ(~r + R)
(2.82)
~ der Vektor (2.65) in einem Bravais-Gitter Modell gemeint ist.
wobei mit R
Er sollte alle Gittersymmetrien berücksichtigen.
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
103
Wie gesagt, hier beschränken wir uns auf den einfachen 1D-Fall, der allerdings für unsere Zwecke völlig ausreicht. Da reduziert sich Gl. (2.82) auf
T̂a ϕ(x) = ϕ(x + a) .
(2.83)
Zusammen mit der Periodizität des Hamiltonian Ĥ(p̂, x) = Ĥ(p̂, x + a),
denn das Potenzial U (x) ist ja voraussetzungsgemäß periodisch, kann man
finden
T̂a Ĥ(x) ϕ(x) = Ĥ(x + a) ϕ(x + a) = Ĥ(x) ϕ(x + a) = Ĥ(x) T̂a ϕ(x) (2.84)
,
woraus man haarscharf ableitet:
i
h
T̂a , Ĥ = 0 .
(2.85)
Nun kommt das schon Gelernte zur Anwendung: wir wissen, dass wegen
Relation (2.85) sowohl T̂a als auch Ĥ den gleichen Satz EF’s besitzen, d.h.
Ĥ ϕ = E ϕ
;
T̂a ϕ = C(a) ϕ ,
(2.86)
wobei die Eigenwerten natürlich verschieden sind – wie wir gleich sehen
werden. Mithin gilt für Mehrfachanwendung der Translation
T̂a T̂a ϕ(x) = C(a) C(a) ϕ(x) = ϕ(x + a + a) .
(2.87)
Andererseits leuchtet sofort ein, dass man die Mehrfachausführung als Folge
eines neuen Translationsoperators sehen kann, für den gilt
T̂a+a ϕ(x) = C(a + a) ϕ(x) = C(a) C(a) ϕ(x) ,
(2.88)
wobei die Operatorgleichungen (2.87) & (2.88) die gleiche Aktion bewirken.
Aus beiden letzten Gleichungen kann man sofort für die Ew’s des Translationsoperators schließen
C(a + a) = C(a) C(a) .
(2.89)
Verallgemeinert man diese Beziehung auf beliebig viele Anwendungen von
T̂a erhält man
ϕ(x + na) = [C(a)]n ϕ(x) .
(2.90)
Wieder sticht deshalb das Argument, dass
|C(a)| = 1
(2.91)
104
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
sein muss, um eine Divergenz der WK-Amplituden zu verhindern. Es folgt
wieder, dass die Eigenwerte C(a) = λ(a) die Form haben müssen
C(a) = exp(±ıKa)
.
(2.92)
In Kürze werden wir zeigen, welchen Bedingungen dieser Eigenwert unterliegt!
~ das reziproke Gitter, für deren
In 3D repräsentiert der Ausbreitungsvektor K
~
Grundvektoren bi ; i = 1, 2, 3 der Elementarzelle (Brillion-Zone) gelten muss:
~bi~aj = 2πδij . Die oben angegebene Bedingung steht für ein lineares Gitter.
Mit der Beziehung (2.92) ist wiederum die Gültigkeit des Blochschen Theorems (2.67) für n = 1 gezeigt.
Energiebänder
Zunächst werden wir unabhängig von der konkreten Form des periodischen
Potenzials U (x) mit Hilfe des Bloch-Theorems das Spektrum der Energieeigenwerte E diskutieren. Wir werden zeigen, dass sich weder ein diskretes
noch durchgehend kontinuierliches Spektrum der Energien ausbildet, sondern verbotene und erlaubte Energiebereiche existieren. Innerhalb der gestatteten Bänder kann jeder Energiewert E angenommen werden.
Gegeben sei ein Fundamentalsystem u1 (x) und u2 (x) (mit x ∈ (0, a]) der
Lösungen der SGL für ein beliebiges periodisches Potenzial U (x). Gesucht
sind die zulässigen Energiebänder sowie die dazugehörigen Eigenlösungen,
die wir aus dem Fundamentalsystem mit Hilfe des Bloch-Theorems, auch
für benachbarte Gitterzellen x ∈ (na, (n ± 1)a] (n ∈ G, n 6= 0), konstruieren
ϕ(x) = A u1 (x) + B u2 (x) ;
ϕ(x + a) = exp(ıKa) ϕ(x) . (2.93)
Wegen der Translationssymmetrie kann die rechte Gleichung auch geschrieben werden
ϕ(x) = exp(ıKa) ϕ(x − a)
= exp(ıKa) {A u1 (x − a) + B u2 (x − a)} ; x ∈ (a, 2a](2.94)
— und man muss auch auf die Argumente des Fundamentalsystems u1/2 in
der Elementarzelle x ∈ (0, a] zurückgreifen, denn nur dort sind die Basisfunktionen definiert.
Nun wenden wir wieder das bekannte Prozedere an: die Funktion und deren
Ableitung müssen an der Stelle x = a stetig, d.h. es muss gelten
A u1 (a) + B u2 (a) = exp(ıKa) (A u1 (0) + B u2 (0))
¢
¡
A u′1 (a) + B u′2 (a) = exp(ıKa) A u′1 (0) + B u′2 (0) ,
(2.95)
(2.96)
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
105
womit wir ein lineares Gleichungssystem
µ
c11 c21
c21 c22
¶ µ
¶
A
·
= 0
B
(2.97)
in den Konstanten A und B vorliegen haben. Um nichttriviale Lösungen für
die Konstanten zu erhalten, muss die Koeffizientendeterminante verschwinden
¯
¯
¯ u1 (a) − eıKa u1 (0)
h i
u2 (a) − eıKa u2 (0) ¯¯
¯
Det Ĉ = ¯
¯ = 0 . (2.98)
¯ u′ (a) − eıKa u′ (0)
u′ (a) − eıKa u′ (0) ¯
1
1
2
2
Auswertung der Determinante (in Übung ausrechnen) ergibt
cos[Ka] =
[u1 (0)u′2 (a) + u1 (a)u′2 (0)] − [u2 (0)u′1 (a) + u2 (a)u′1 (0)]
= F (E)
(2.99)
2D(x)
die energieabhängige Funktion F (E), die sehr wohl alle möglichen Werte annehmen kann. D(x) = u1 u′2 −u′1 u2 6= 0 ist wieder die Wronski-Determinante,
die nicht vom Ort abhängt.
2
F(E)
1
0
-1
-2
0
2
4
6
E
8
10
12
Abbildung 2.6: Illustration der erlaubten und unerlaubten Energiebänder.
106
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Die linke Seite von Gl. (2.99) begrenzt allerdings die Werte auf den Bereich
|F (E)| ≤ 1 .
(2.100)
Erlaubte Energiewerte E erfüllen die Bedingung (2.100) und formen die
schon erwähnten Energiebänder – Bereiche kontinuierlich verteilter Eigenwerte. In Abbildung 2.6 ist das illustriert, wie das mit den erlaubten und
verbotenen Bänder zu verstehen sind.
Natürlich ist das nur eine schematische Darstellung, denn im nächsten Abschnitt wird das deutlich, wo wir ein konkretes Beispiel untersuchen — das
periodische Kastenpotenzial.
Beispiel: Periodisches Kastenpotenzial
In Abbildung 2.7 ist das im Folgenden zu disktierende Potenzial
½
0 für nl ≤ x ≤ nl + a
U (x) =
U0 für nl − b ≤ x ≤ nl
(2.101)
mit der Periode l = a + b (! Achtung ! bisher war die Periode a – nicht verwechseln). Wie schon bei dem einzelnen Kasten führen wir wieder folgende
E U (x)
l=a+b
U0
E
−b
0
a
x
Abbildung 2.7: Schematische Darstellung des Beispiel-Potenzials U (x).
Abkürzungen ein
k2 =
2m
2m
E ; κ2 = 2 (U0 − E)
2
~
~
(2.102)
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
107
wobei beide Fälle: U0 > E als auch U0 ≤ E relevant sind. Im letzteren Fall
ersetzten wir wieder κ = ıσ, also eine imaginäre Einheit muss als Faktor
noch Berücksichtigung finden
Zunächst berechnen wir die Lösungen der SGL für die Elementarzelle, d.h.
für −b ≤ x < a, um dann diese mittels Bloch-Theorem auf den Rest“ des
”
Raumes zu erstrecken. Die Lösungen in der Elementarzelle lauten
½
A1 eκx + B1 e−κx f. − b ≤ x < 0
(2.103)
ϕ(x) =
A2 eıkx + B2 e−ıkx f. 0 ≤ x < a
Mit dem Bloch- Theorem sind wir in der Lage die Beiträge aus der Nachbarzelle zu benennen
½ ıKl
e (A1 eκ(x−l) + B1 e−κ(x−l) ) f. x ∈ (a, l)
ϕ(x) =
(2.104)
eıKl (A2 eık(x−l) + B2 e−ık(x−l) ) f. x ∈ (l, l + a) .
Genau wie in den anderen Fällen müssen wir Stetigkeit von ϕ und ϕ′ innerhalb der Elementarzelle
ϕ(0) :
ϕ′ (0)
:
A1 + B1 = A2 + B2
κ(A1 − B1 ) = ık(A2 − B2 )
(2.105)
sowie am Übergang von der Elementarzelle (n = 0) zur benachbarten n = 1
bei x = a
³
´
A2 eıka + B2 e−ıka = eıKl A1 e−κb + B1 eκb
³
´
³
´
ık A2 eıka − B2 e−ıka
= κ eıKl A1 e−κb − B1 eκb
(2.106)
fordern.
Wieder formen die Gleichungen (2.105) & (2.106) ein homogenes, lineares
Gleichungssystem für die 4 Konstanten A1/2 und B1/2 , deren Koeffizientendeterminante verschwinden muss:
¯
¯
¯
1
1
−1
−1 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
κ
−κ
−ık
ık
¯
¯
(2.107)
¯ = 0 .
¯ ıKl−κb
ıKl+κb
ıka
−ıka
¯
¯ e
e
−e
e
¯
¯
¯
¯ ıKl−κb
¯ κe
−κeıKl+κb −ıkeıka ıke−ıka ¯
um nicht-triviale Lösungen zu liefern.
108
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Die Auswertung der Determinante (2.107) ergibt für E < U0 die gesuchte
Bedingung für den Ausbreitungsvektor K
cos Kl = cos(ka) cosh(κb) +
κ2 − k 2
sin(ka) sinh(κb) = F (E)(2.108)
2κk
und für E ≥ U0
σ2 + k2
sin(ka) sin(σb) = F (E) . (2.109)
2σk
Abbildung 2.8 zeigt dieses Beispiel für den Fall E < U0 , wobei das Verhältnis
a/b = 30 gewählt wurde. Hier ist nun für einen konkreten Fall das Wirken
eines periodischen Potenzials sichtbar.
cos Kl = cos(ka) cos(σb) −
4
1.5
1.0
2
F(E)
F(E)
0.5
0
0.0
-0.5
-2
-1.0
-4
0.0
0.2
0.4
0.6
E
0.8
1.0
-1.5
0.0
0.5
1.0
1.5
E
2.0
2.5
3.0
Abbildung 2.8: Die Bänderstruktur des Kasten-Potenzials (2.101) für das
geometrische Verhältnis a/b = 30. Links: Die Bänder für Energien, die
kleiner als U0 = 1 sind; Rechts: Gleiches für Energien E ≥ U0 = 1. Für die
Breite der Barriere ist b = 1 gesetzt und die Energieeinheit ist als ~ω = 1 gesetzt, d.h. wir haben willkürliche Skalierungen für die Energien und auch für
die Längenskalen ξ = x für diesen Plot gewählt. Die Größe des Potenzials U0
ist durch die dünne vertikale Linie markiert. Die verbotenen Bereiche kann
man an den abgeschnittenen Bereichen der sonst glatten Funktion F (E)
erkennen. Durch dünne gestrichelte Linien sind die abgeschnittenen, d.h.
verbotenen Energiebereiche gekennzeichnet. Man erkennt auch, dass hin
zu höheren Energien die verbotenen Zonen immer schmaler und spärlicher
werden, bis jenseits von E > 3 nahezu Verhältnisse freier Teilchen vorliegen.
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
2.1.5
109
Der harmonische Oszillator
Das klassische Pendant ist mit dem Federschwinger, mit der Federkraft F =
−kx, gegeben. Die Bewegungsgleichung dafür lautet simpel
mẍ + k x = mẍ + m ω 2 x = 0
(2.110)
p
k/m des Masse-Feder Elements. Die pomit der Eigenfrequenz ω =
tenzielle Energie integrieren wir leicht mittels Leistungssatz, indem wir Gl.
(2.110) mit ẋ multiplizieren und formen die entstandene Gleichung geeignet
um
½
¾
1
d m
2 2
2
= 0 ,
(2.111)
ẋ + mω x
mẍẋ + mω xẋ =
dt 2
2
erkennen, dass der Ausdruck in der geschweiften Klammer die konstante
Energie ist. Das Potenzial lautet
U (x) =
1
mω 2 x2
2
(2.112)
und bildet das Zentrum, um das sich alles in diesem Kapitel rankt. Auch
dieses Potenzial hat nur Modellcharakter, jedoch sind Potenzialmulden mit
einem lokalen Minimum bei x0 (siehe Abb. 2.9) über eine Entwicklung um
dieses Minimum
¯
¯
1
U (x) = U (x0 ) + U ′ ¯x=x0 (x − x0 ) + U ′′ ¯x=x0 (x − x0 )2 + ...+(2.113)
2
modellierbar. Der erste Term auf der rechten Seite spielt als Konstante keine
Rolle für den Kraftterm F = −∂x U , der 2. Term verschwindet, da es sich
um ein Minimum handelt U ′ = 0. Der erste Term, der in dieser Entwicklung
(2.113) wirklich zu Buche schlägt, ist der quadratische – er ist somit die
erste Näherung für das Potenzial nahe der Mulde.
Mit diesem Potenzial lautet die stationäre SGL des harmonischen Oszillators
½
−
1
~ d2
+ m ω 2 x2
2m dx2
2
¾
ϕ = Eϕ .
(2.114)
Hier liegt das erste Mal der Fall (A) unserer qualitativen Betrachtungen
vom Anfang des Kapitels vor, eine unendlich ausgedehnte Potenzialmulde
(U → ∞ für |x| → ∞), in dessen Resultat ein diskretes Spektrum und ein
vollständiges Orthonormalsystem für die EF’s zu erwarten ist.
110
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
U (x)
U (x) = 12 m!2x2
x
Abbildung 2.9: Entwicklung eines Realpotenzials in der Nähe eines lokalen
Minimums bei x = x0 . Der quadratische Term der Entwicklung ist durch
die gestrichelte Kurve gekennzeichnet.
Bevor wir die landläufige analytische Methode der Lösung der Gleichung
(2.114) vorstellen, werden wir uns selbst das Vergnügen bereiten, einen
extrem cleveren algebraischen Lösungsweg vorzustellen, bei dem wir, ohne auch nur eine Differenzialgleichung (näherungsweise) lösen zu müssen,
die Lösung recht einfach und verständlich mit einem Operatorformalismus
( Leiteroperatoren“) konstruieren.
”
Die algebraische Lösungsmethode
In Operatorschreibweise lautet Gleichung (2.114)
Ĥ ϕ =
ª
1 © 2
p̂ + (mωx)2 ϕ = E ϕ
2m
(2.115)
und die Aufgabe besteht nun darin, den Hamiltonian zu faktorisieren. Stünden
in den geschweiften Klammern gewöhnliche Zahlen α2 + β 2 , wäre ein Faktorisierung kein Problem mit z = α + ıβ und man hätte α2 + β 2 = z ∗ z.
ABER: in Gl. (2.115) haben wir es mit Operatoren zu tun, d.h. Zahlen –
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
111
hier Realteil und Imaginärteil der komplexen Zahl z – sind kommutativ,
Operatoren sind es nicht notwendiger Weise. Und gerade die Operatoren in
der Klammer (2.115), x und p̂ = −ı~∂x , vertauschen nicht:
[p̂, x] = p̂x − xp̂ =
~
; [x, p̂] = ı~
ı
.
(2.116)
Trotz dieser Nicht-Vertauschung starten wir einen Faktorisierungsversuch
zur Darstellung von Ĥ über die Einführung der sogenannten Leiteropera”
toren“
â± = √
1
{mωx ∓ ıp̂} .
2~mω
(2.117)
Wir bilden das Operatorprodukt
â− â+ =
=
=
1
2m~ω
1
2m~ω
Ĥ
+
~ω
(mωx + ıp̂) (mωx − ıp̂)
©
p̂2 + (mωx)2 + ımω[p̂, x]
ı
1
Ĥ
[p̂, x] =
+ .
2~
~ω
2
ª
(2.118)
Vertauscht man die Reihenfolge der Leiteroperatoren, erhält man
â+ â− =
Ĥ
1
−
.
~ω
2
(2.119)
Damit kann man sofort die Kommutatoren für die Leiteroperatoren“ auf”
schreiben
[â− , â+ ] = 1 ; [â+ , â− ] = − 1
(2.120)
oder auch
â− â+ = â+ â− + 1
(2.121)
– letztere Beziehung werden gleich brauchen!
Mit den Ausdrücken (2.118) & (2.119) kann man für den Hamilton-Operator
schreiben
¾
½
¾
½
1
1
= ~ω â− â+ −
,
(2.122)
Ĥ = ~ω â+ â− +
2
2
so dass die SGL schließlich lautet
½
¾
1
~ω â± â∓ ±
= Eϕ .
2
(2.123)
112
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Nun kommt der entscheidende Schritt:
Behauptung: Es gelte Ĥϕ = E ϕ dann gelten auch folgende Relationen
Ĥ (â+ ϕ) = (E + ~ω) (â+ ϕ)
(2.124)
Ĥ (â− ϕ) = (E − ~ω) (â− ϕ) .
(2.125)
Beweis: Wir führen denselben für die Gl. (2.124), das Gleiche für (2.125)
sei einer Übung vorbehalten.
Ĥ (â+ ϕ) =
=
=
=
½
¾
1
~ω â+ â− +
(â+ ϕ) =
2
¾
½
½
¾
1
1
~ω â+ â− â+ + â+ ϕ = â+ ~ω â− â+ +
ϕ
2
2
¾
½
o
n
1
ϕ = â+ Ĥ + ~ω ϕ
â+ ~ω â+ â− + 1 +
2
â+ (E + ~ω) ϕ = (E + ~ω) (â+ ϕ) ; QED .
Mit den Gln. (2.124) & (2.125) haben wir ein vorzügliches Instrument an der
Hand, Lösungen zu generieren, â± ϕn = C ϕn±1 (C – beliebige Konstante),
denn
Ĥ (â± ϕ) = (E ± ~ω) (â± ϕ)
oder anders
Ĥ [(â+ )n ϕ0 ] = (E0 + n~ω) [(â+ )n ϕ0 ]
vorausgesetzt man hat einen Anfang.
Nun gibt es aber ein Problem mit der beliebigen Anwendung von â− , man
kann nicht in negative Energiebereiche vordringen: es gilt U (x) ≥ 0. Man
kommt dann in Regionen, wo man nicht normierbare Funktionen erhält –
entweder divergiert hn|ni oder es ist â− |ni = 0.
Letzteres ist der Fall, wie wir auch im nächsten Abschnitt mit der analytischen Methode untermauern werden! Ist dem so, dann muss diese unterste
Leiterstufen“-Funktion folgende Operatorgleichung erfüllen
”
¾
½
d
+ mωx ϕ0
0 = â− ϕ0 = (2mπ~ω)−1/2 ~
dx
r
~ ³ ′
mωx ´
⇒
(2.126)
ϕ0 = 0
ϕ0 (x) +
2mω
~
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
113
und die runde Klammer muss verschwinden, also erhält man die Lösung
einfach integriert
n mω o
x2
.
(2.127)
ϕ0 (x) = A exp −
2~
Wie immer liefert uns die Normierung die Konstante A und damit die
vollständige Grundlösung
1 = |A|
2
Z∞
−∞
ϕ0 =
r
n mω o
π~
2
2
dx exp −
x
= |A|
~
mω
(2.128)
³ mω ´1/4
(2.129)
π~
n mω o
exp −
x2
.
2~
Nun kann man in einer einfachen Übung mittels Gl. (2.124) die nächst
höhere Stufe erklommen werden.
Aber zunächst leiten wir Nullpunktsenergie E0 her
½
¾
1
1
Ĥ ϕ0 = ~ω â+ â− +
ϕ0 = ~ω ϕ0 = E0 ϕ0
(2.130)
2
2
wobei wir verwendet haben, dass â− ϕ0 = 0. Somit lautet der niedrigste
Energie-Ew
E0 =
1
~ω
2
und die Energie-Ew’s allgemein:
½
¾
1
En =
n+
~ω
2
(2.131)
.
(2.132)
Die dazu gehörigen EF’s kann man bis auf eine Konstante auch schon formulieren
ϕn = An [aˆ+ ]n ϕ0 ,
(2.133)
allerdings müssen die Konstanten An noch benannt werden.
Und die gewinnen wir, wie soll es anders sein, wieder über die Normierung
unserer Funktionen. Bis jetzt wissen wir
aˆ+ ϕn = cn ϕn+1
; aˆ− ϕn = dn ϕn−1
114
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
und die Frage ist, wie die cn und dn aussehen.
Behauptung: Es gilt für beliebige Funktionen f und g
Z∞
dx f ∗ (â± g) =
−∞
Z∞
dx (â∓ f )∗ g ,
−∞
d.h. der adjungierte Operator ist
â†± = â∓ ,
(2.134)
⇒ NICHT hermitesch (man achte auf die Vorzeichenindizes).
Beweis:
Z∞
−∞
1
dx f (â± g) = √
2m~ω
= √
∗
1
2m~ω
Z∞
−∞
Z∞
−∞
¶
µ
d
g =
dx f m~ω ∓ ~
dx
∗
·µ
¶ ¸∗
Z∞
d
dx
m~ω ± ~
f g =
dx (â± f )∗ g
dx
QED
−∞
(Tipp: partielle Intergration!)
Somit kann man dann speziell für die Normierung der Funktion ϕn±1 schreiben
Z∞
−∞
∗
dx (â± ϕn ) (â± ϕn ) =
Z∞
dx (â∓ â± ϕn )∗ ϕn
(2.135)
−∞
und in Erinnerung an die SGL (2.123):
¶
µ
¶
µ
1
1
ϕn =
n+
~ω ϕn
~ω â∓ â± ∓
2
2
womit man leicht nach Umstellen die Eigenwerte für die Kombi-Operatoren
â± â∓ findet:
â+ â− ϕn = n ϕn
â− â+ ϕn = (n + 1) ϕn
(2.136)
.
(2.137)
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
115
Damit kann man für die Integrale (2.135) schreiben, zum einen
hn + 1|n + 1i =
Z∞
∗
dx (â+ ϕn ) (â+ ϕn ) =
−∞
Z∞
dx (â− â+ ϕn )∗ ϕn
−∞
= (n + 1) hn|ni ,
(2.138)
sowie zum anderen
hn − 1|n − 1i =
Z∞
dx (â− ϕn )∗ (â− ϕn ) =
−∞
Z∞
dx (â+ â− ϕn )∗ ϕn
−∞
= n hn|ni .
(2.139)
Damit können wir für die gesuchten Konstanten unmittelbar schreiben
|cn |2 = n + 1 ;
|dn |2 = n
(2.140)
und findet die Formeln für die einmalige Anwendung der Leiter“-Operatoren
”
√
√
(2.141)
â+ ϕn = n + 1 ϕn+1 ; â− ϕn = n ϕn−1 .
In induktiver Weise können wir uns nun die Leiter“ hocharbeiten: ϕ1 =
”
â+ ϕ0 ; ϕ2 = (2)−1/2 (â+ )2 ϕ0 ; ϕ3 = (2 · 3)−1/2 (â+ )3 ϕ0 und damit lautet
die allgemeine Rekursionsformel (Übung: Beweis durch vollständige Induktion):
ϕ0 =
h mω i1/4
π~
n mω o
1
exp −
x2 ; ϕn = √ (â+ )n ϕ0
2~
n!
(2.142)
mit den dazugehörigen Ew’s
En
µ
¶
1
=
n+
~ω .
2
(2.143)
Ohne auch nur eine Differenzialgleichung gelöst zu haben (von der direkten
Integration von ϕ0 kann man getrost absehen) haben wir also das Problem
des harmonischen Oszillators in teuflisch cleverer Weise gelöst!!
Die ersten 3 Eigenfunktionen inklusive das Potenzials U (x) = 0.5mω 2 x2
sind in Abb. 2.10 dargestellt.
116
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Eigenfunktionen
4
3
2
1
0
-4
-2
0
x
2
4
Abbildung 2.10: Die ersten drei EF’s, ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , des harmonischen Oszillators (gestrichelte Linie) sowie das Potenzial für die artifiziellen Werte
m = ~ = ω = 1. Die drei Energieeigenwerte (En = (n + 1/2) für n = 0, 1, 2)
sind als dünne horizontale Linien dargestellt.
Die analytische Methode
Die SGL (2.114) für den 1D-harmonischen Oszillator kann mit Einführung
dimensionsloser Länge und Energie
r
mω
2E
ξ = x·
; ε =
(2.144)
~
~ω
geschrieben werden
½
¾
¡
¢
d2
2
ϕ = 0
+ ε−ξ
dξ 2
.
(2.145)
Natürlich muss die WK-Amplitude ϕ wie in allen anderen Fällen normierbar
sein hϕ|ϕi ≡ 1, was bedeutet, dass ϕ → 0 für |ξ| → ∞. Gleichung (2.145)
reduziert sich in diesem asymptotischen Fall, E ≪ U (ξ) und ε → 0, auf
d2
ϕ = ξ2 ϕ .
dξ 2
(2.146)
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
117
Eine Näherungslösung von (2.146) lautet ϕ(x) ≈ exp (±ξ 2 /2), wie durch einsetzen in die Dgl. (2.146) leicht geprüft werden kann: d2 [exp (±ξ 2 /2)]/dx2 =
(ξ 2 ± 1) exp (±ξ 2 /2). Die Eins auf der rechten Seite ist im Fall von |ξ| → ∞
vernachlässigbar, so dass die Dgl. (2.146) sehr gut erfüllt ist. Für eine normierbare Lösung ϕ kommt nur der asymptotische Faktor exp(−ξ 2 /2) in
Frage, da die Alternative divergiert.
Mit diesem Faktor bietet sich der Separationsansatz
½ 2¾
ξ
(2.147)
ϕ = u(ξ) · exp −
2
an, der, eingesetzt in Dgl. (2.146), auf die gewöhnliche Differenzialgleichung
u′′ (ξ) − 2 ξ u′ (x) + (ε − 1) u(ξ) = 0 .
(2.148)
Bemerkung: Setzt man (ε − 1) = 2 n erhält man die charakteristische
Differenzialgleichung für die hermitieschen Polynome.
Doch zurück, diese Polynomlösungen erhält man über den Potenzreihenansatz
u(ξ) =
∞
X
cν ξ ν ,
(2.149)
ν=0
der, eingesetzt in die Dgl. (2.148), nach Indexverschiebung folgende Summe
ergibt
∞
X
ν=0
ξ ν {(ν + 2)(ν + 1) cν+2 − [2 ν + 1 − ε] cν } = 0 .
(2.150)
Jeder der Summanden der Summe (2.150) muss dann einzeln verschwinden,
d.h. die geschweifte Klammer muss sich zu Null ergeben und wir erhalten
die wichtige Rekursionsformel
cν+2
2ν + 1 − ε
=
cν
(ν + 2)(ν + 1)
.
(2.151)
ABER: Die Lösung (2.149) zeigt jedoch das asymptotische Verhalten der
Funktion
∞
∞
X
X
ξ 2µ
aν ξ ν
=
exp(ξ ) =
µ!
2
µ=0
ν=0
(2.152)
118
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
wie man relativ leicht an der Gleichheit des asymptostischen Verhaltens
der Koeffizientenverhältnisse aν+2 /aν = cν+2 /cν → 2/ν. Anhand der Rekursionsformel (2.151) kann man dieses Verhältnis schnell überprüfen. Der
Nachweis im Falle der Koeffizienten aν etwas schwerer zu führen. Zwei aufeinanderfolgende Summanden der Reihe (2.152) mit den Koeffizienten a2µ
unda2µ+2 kann man schreiben
+... +
ξ 2µ+2
ξν
ξ ν+2
ξ 2µ
+
+ ... + = + ... +
+
+ ...+
µ!
(µ + 1)!
(ν/2)!
(ν/2 + 1)!
womit man durch Vergleich erhält: a2µ = aν = 1/(ν/2)! und a2µ+2 = aν+2 =
1/(ν/2 + 1)!. Man beachte, dass von folgender Substitution Gebrauch gemacht wurde: ν = 2µ. Mit der obigen Gegenüberstellung kann man sofort
schreiben
aν+2
(ν/2)!
1
2
=
=
→
aν
(ν/2 + 1)!
ν/2 + 1
ν
– das gleiche Verhältnis wie bei der asymptotischen Rekursionsformel (2.151).
Aber wozu die ganze Algebra-Gymnastik? Nun, daher weiss man, dass
die Reihe (2.149) keine normierbare Funktions ist und deshalb als WKAmplitude nicht taugt. Aber wieder können wir über die Werte der Energie
ε ∝ E frei verfügen, wie auch schon in den anderen vorangegangenen Beispiele gebundener Zustände.
Wenn man nämlich fordert, dass für ein bestimmtes ν = n gelten muss
cn+2
= 2n + 1 − ε = 0
cn
(2.153)
womit der Abbruch Reihe gesichert ist und man als Folge ein hermitesches
Polynom Hn (ξ) erhält. Die Eigenwerte gewinnt man direkt aus Relation
(2.153)
ε =
2En
= 2n + 1
~ω
womit man nach Umstellen sofort erhält
µ
¶
1
En = ~ω n +
2
(2.154)
,
(2.155)
genau wie im Fall der Erzeugungs- u. Vernichtungsoperatoren: â+ und â−
( Leiteroperatoren“). Mit der Rekursionsvorschrift (2.151) und zwei An”
fangskoeffizienten c0 und c1 kann man die einzelnen Polynome Hn (ξ) erzeugen.
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
Die Eigenfunktionen lauten natürlich genau wie Operatorfall
r
µ 2¶
1 ³ mω ´1/4
ξ
exp
−
Hn (ξ) .
ϕn (ξ) =
2n n! π~
2
119
(2.156)
Damit haben wir einen sehr wichtigen Modellfall der Quantenmechanik auf
zwei alternativen Wegen gelöst. Wir haben auch schon beim Planckschen
Strahlungsgesetz Anleihen davon aufgenommen.
2.1.6
Näherungsverfahren – Störungsrechnung # 1
In vielen (den meisten) Fällen sind die Lösungen En und |ni der stationären
SGL
Ĥ|ni = En |ni
nicht bekannt. In diesen Fällen ist man auf Näherungen angewiesen, von
denen wir hier die Variationsmethoden andeuten und – in diesem ersten
Abschnitt zur Behandlung von Störungen – die Störungstheorie nicht entarteter Niveaus etwas ausführliche beleuchten.
Im Folgenden wollen wir uns, der Einfachheit halber (aber ohne Einschränkung der Allgemeinheit), nur auf diskrete, nicht-entartete Spektren konzentrieren. Von den Diskussionen der Eigenschaften hermitischer Operatoren,
wissen wir dass deren Eigenfunktionen ein vollständiges, orthonormiertes
Funktionensystem bilden und dass deren Eigenwerte stets reell sind.
Eine weitere Eigenschaft wollen wir hier noch hinzufügen, die als Grundlage für die Näherung der Eigenwerte E und verwandter Variationsverfahren
dient.
Extremaleigenschaften/Variationsverfahren
Wir werden zeigen, dass im Vergleich verschiedener genäherter Zustände
χ = φn + δφ = |ni + δφ , als Repräsentation der unbekannten Eigenfunktionen |ni ≡ φn , der zu Ĥ gehörige Erwartungswert
Ē =
hχ|Ĥ|χi
hχ|χi
(2.157)
ein Extremum annimmt, wenn man der gesuchten Eigenfunktion beliebig
nahe kommt: χ → φn .
120
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Um das Extremum von (2.157) zu zeigen, bilden wir die Variation δE in
Abhängigkeit der liinearen Ordnung der Variation δφ unserer Testzustände:
δE = Ē − En =
hn|Ĥ|ni
hχ|Ĥ|χi
−
hχ|χi
hn|ni
=
hn|Ĥ|ni
hφn + δφ|Ĥ|φn + δφi
−
hφn + δφ|φn + δφi
hn|ni
=
hn|Ĥ|ni + hn|Ĥ|δi + hδ|Ĥ|ni
hn|Ĥ|ni
−
.
hn|ni + hδ|ni + hn|δi
hn|ni
(2.158)
Im Nenner des ersten Summanden von (2.158) steht die Normierung plus
ein kleine Variation, die man wie folgt nähern kann: [hn|ni + O(δ)]−1 ≈
hn|ni−1 [1 − O(δ)], womit man für den Ausdruck (2.158) unter Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung < O(δφ2 ) sowie der Berücksichtigung
der Normierung hn|ni = 1 und der EW’s En = hn|Ĥ|ni schreiben kann:
δE = En {1 − 1 − hδ|ni − hn|δi} + hn|Ĥ|δi + hδ|Ĥ|ni .
Der letzten beiden Terme
P entledigen wir uns durch Entwicklung der Variationsfunktionen |δi = hi|δi|ii , womit man z.B. erhält
i
hn|Ĥ|δi =
X
i
hδ|iihn|Ĥ|ii =
so dass man schreiben kann
X
i
hδ|iiEi hi|ni = En hδ|ni
| {z }
≡δin
δE = En [hδ|ni + hn|δi − hδ|ni − hn|δi] ≡ 0 !
(2.159)
Fazit: Der mit den genäherten Funktionen χ berechnete Erwartungswert
Ē stimmt bis auf Ordnungen O(δφn ) ; n ≥ 2 mit dem exakten Wert En
überein. M.a.W. weichen die χ nur wenig von den korrekten EF’s |ni ab,
hat man gute Chancen den EW abzuschätzen
Für die exakten Eigenfunktionen |ni ≡ φn nimmt der Erwartungswert ein
Minimum (leicht zu zeigen) an: Ē = En .
Diese Minimum-Eigenschaft der Energieeigenwerte ist die Grundlage von
Variationsverfahren (siehe Hamilton-Prinzip) um den Satz von EW’s und
EF’s bestmöglich zu nähern. Dazu bedient man sich Parametrisierungen
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
121
der Schätzungsfunktionen, hier am Beispiel des Grundzustandes χ0 (α, β) ,
womit man den EW schreiben kann
E0 (α, β) =
hχ0 |Ĥ|χ0 i
.
hχ0 |χ0 i
(2.160)
Die Parameter bestimmt man dann über die Extremalbedingungen:
∂E0
∂E0
=
= 0
∂α
∂β
⇒ α0 , β0
.
(2.161)
Mit diesen Parametern hat man dann eine Schätzungsfunktion χ0 (α0 , β0 )
gefunden, die linear um eine kleine Fluktuationen (O(δφ)) von der wahren
Wahrscheinlichkeitsamplitude φ0 des Grundzustandes abweicht. Bei angeregten Zuständen läuft das analog, wobei beachtet werden muss, dass die
Minimalbedingung streng nur für φ0 gilt. Wir wollen es an der Stelle bei der
Andeutung der Variationsverfahren belassen und uns der Störungstheorie
zuwenden.
2.1.7
Störungsrechnung – nichtentartete Niveaus
Wir suchen die Lösung des Problems
Ĥφ = Eφ
Ĥ(p̂, x) =
mit
p̂2
+ U0 (x) + U ′ (x) = Ĥ0 + Ĥ′
2m
(2.162)
wobei es sich bei Ĥ′ (x) = αh′ (x) um eine kleine (α – kleiner Parameter)
handelt. Des Weiteren soll die Lösung des ungestörten Problems
Ĥ0 (p̂, x) φ(0) = E (0) φ(0)
(2.163)
bekannt sein – also die EF’s φ(0) und die EW’s E (0) sind schon gefunden
(z.B. Fall des harmonischen Oszillators). Die Subindizes deuten auf das ungestörte Problem hin, tief gestellte Indizes bleiben den diskreten Zuständen
vorbehalten. Wir fordern nun, dass die EW’s und die EF’s gegen die ungestörte Lösung konvergieren, E → E (0) und φ → φ(0) , so die Störung
unwichtig wird: Ĥ′ → 0 oder exakter α → 0.
Mit diesen Voraussetzungen wagen wir die Ansätze
φ = φ(0) + χ(1) + χ(2) + ... +
E = E (0) + ε(1) + ε(2) + ... +
(2.164)
,
(2.165)
122
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
mit denen man in Gl.(2.162) geht,
³
´³
´
Ĥ0 + Ĥ′ φ(0) + χ(1) + χ(2) + ...+ =
³
E (0) + ε(1) + ε(2) + ...+
nach Ordnungen sortiert,
³
´
Ĥ0 − E (0) φ(0) +
+
+
´³
´
φ(0) + χ(1) + χ(2) + ...+ (2.166)
´
´
³
n³
o
Ĥ0 − E (0) χ(1) + Ĥ′ − ε(1) φ(0) +
n³
´
³
´
o
Ĥ0 − E (0) χ(2) + Ĥ′ − ε(1) χ(1) − ε(2) φ(0) +
+ ... + = 0
.
(2.167)
Die Null kann man nun realisieren, indem man jede der Ordnungen zum
Verschwinden bringt, womit man dann folgende Hierarchie an Gleichungen
in den Ordnungen erhält:
³
´
Ĥ0 − E (0) φ(0) = 0
³
³
´
³
´
Ĥ0 − E (0) χ(1) =
ε(1) − Ĥ′ φ(0)
(2.168)
´
³
´
Ĥ0 − E (0) χ(2) =
ε(1) − Ĥ′ χ(1) + ε(2) φ(0)
.
.
³
Ĥ0 − E
(0)
´
.
(p)
χ
=
³
´
ε(1) − Ĥ′ χ(p−1) + ε(2) χ(p−2) + ... + ε(p) φ(0)
Nun kennen wir schon die Eigenschaften der ungestörten Zustände, die ein
vollständiges ONS bilden, so dass folgende intermediäre Normierung gelten
muss:
hφ(0) |φ(0) i = 1 ,
und
hφ(0) |φi = 1 ,
(2.169)
woraus man sofort schließt, dass die Störungen orthogonal auf den ungestörten Lösungen stehen:
hχ(p) |φ(0) i = 0 .
(2.170)
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
123
Bemerkung: Bis auf quadratische Terme in den kleinen Störzuständen gilt
natürlich dann auch: hφ|φi = 1 , um natürlich z.B. EW’s korrekt zu bestimmen, sollte man aber immer mit dem Faktor hφ|φi−1 nachnormieren“.
”
Diese Eigenschaft (Annahme) (2.170) ist in der Tat sehr hilfreich, denn wenn
wir die linken Seiten der Hierarchie (2.168) skalar mit hφ(0) | bearbeiten,
die Hermitizität der Operatoren und Relation (2.170) berücksichtigen, dann
verschwinden alle Term auf der linken Seite der Gln. (2.168) und man erhält
z.B. sofort für die Korrektur erster Ordnung in den EW’s
ε(1) =
hφ(0) |Ĥ′ |φ(0) i
= hφ(0) |Ĥ′ |φ(0) i
hφ(0) |φ(0) i
(2.171)
und für die p-te Ordnung
ε(p) = hφ(0) |Ĥ′ |χ(p−1) i .
(2.172)
Es soll nicht unerwähnt bleiben, dass bei nichtlinearen Problemen – z.B.
Kinetik oder Hydrodynamik – auch eine solche Hierarchie über analoge Entwicklungen (2.164) nach einem kleinen Parameter α gewonnen werden kann.
Leider sind dort in den meisten Fällen die Differenzialoperatoren nicht hermitesch, so dass man auch noch das adjungierte lineare Problem lösen muss,
um die linken Seiten zum Verschwinden zu bringen. Letztere Methode bezeichnet man als Fredholmsche Alternative!
Zurück zur Quantik: Es scheint, dass die (p+1) te Ordnung der Energiekorrekturen mit Hilfe der p-ten Zustände χ(p−1) errechnet werden können.
In Wirklichkeit ist die Lage aber noch günstiger: man erhält sogar 2p + 1
te Ordung der Eigenwerte bei Kenntnis der p-ten Ordnung, wie wir gleich
zeigen werden. Dazu schreiben wir die Abweichung der Ordnung s als
φ(s) ≈ φ − χ(s+1)
und erhalten damit für den EW s-ter Ordnung
E (s) =
=
hφ(s) |Ĥ|φ(s)i
=
hφ(s) |φ(s) i
hφ|Ĥ|φi − hφ|Ĥ|χ(s + 1)i − hχ(s+1) |Ĥ|φi
hφ|φi − hφ|χ(s+1) i − hχ(s+1) |φi
(2.173)
wobei Terme der Ordnung (2s + 1) fehlen: hχ(s + 1)|Ĥ|χ(s + 1)i → 0. Stellt
man die Hermitizität in Rechnung, gewinnt man
£
¤
E 1 − hχ(s+1) |φi − hφ|χ(s+1) i
(s)
E
=
+ O(2s + 2) .
(2.174)
hφ|φi − hφ|χ(s+1) i − hχ(s+1) |φi
124
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Nun kennen wir die Korrekturen der EW’s – jetzt müssen wir uns um die
korrespondierenden EF’s kümmern. Dabei sind grundsätzlich zwei Fälle zu
unterscheiden:
(i) Nicht-entartete Zustände
(ii) Entartete Zustände
Zu (i):
Mit dem harmonischen Oszillator haben wir ein Beispiel, bei dem jedem EW
eineindeutig ein Zustand (EF) zukommt. Diesen einfachen Fall wollen wir
im folgenden Abschnitt kurz behandeln.
Zu (ii)
In den folgenden Abschnitten zu den 3D Beispielen – kugelsymmetrisches
Problem, Zentralpotenzial – werden kennenlernen, dass es Fälle gibt, bei dem
zu einem Eigenwert/Quantenzahl (Energie: En ), mehrere Zustände (|nmli)
existieren (beim H-Atom sind 2l + 1 an der Zahl).
Zunächst wollen wir nicht-entartete Zustände näher beleuchten. Dazu entwickeln wir den gestörten Zustand
χ(p)
=
n
X
j(6=n)
(p)
(0)
cjn φj
=
X
j(6=n)
(p)
cjn |ji
(2.175)
nach dem ONS des Grundzustandes |ni (den Subindex (0) lassen wir weg).
Die Koeffizienten
(p)
c(p)
mn = hm|χn i
(2.176)
(p)
eliminieren wegen hn|χn i = 0 den Term i = n in obiger Entwicklung. Unsere erste Energiekorrektur ε(p) = hφ(0) |Ĥ′ |φ(0) i nimmt mit der Entwicklung
folgende Gestalt an
′
ε(1)
= hn|Ĥ′ |ni = Hnn
.
n
(2.177)
(p)
Nachdem wir die EW’s haben, wollen wir die dazugehörigen Zustände χn
berechnen. Dazu wälzen wir hj| über die erste Ordnung Gln. (2.168), nachdem mit der Entwicklung (2.175) die gestörten EF’s ersetzt wurde und er-
2.1. EINDIMENSIONALE PROBLEME
125
halten
X
i(6=n)
(1)
X
(1)
hj|Ĥ0 − En(0) |ii cin =
(0)
− En(0) )
= cjn (Ej
= ε(1)
n
≡0
(0)
(Ei
i(6=n)
(1)
− En(0) )hj|ii cin
′
hj|ε(1)
=
n − Ĥ |ii
|{z}
rechte Seite
′
hj|ni
− hj|Ĥ′jn |ni = − Hjn
,
| {z }
;wegen ONS
(2.178)
womit man nach Einsetzen von (2.177) für die Koeffizienten der ersten Ordnung gewinnt:
(1)
cjn
′
Hjn
=
(0)
En
.
(0)
− Ej
(2.179)
Zur Illustration berechnen wir noch die 2. Ordnung, zunächst erst die EWKorrekturen: Nach Gl. (2.172) können wir nach Wälzen von hn| auf 2.
(2)
Ordnung von (2.168), wobei die linke Seite wegen hχn |ni = 0 verschwindet,
schreiben
X
(1)
′
(2)
hn|ε(1)
0 =
n − Ĥ |ii cin − εn hn|ni =
i(6=n)
=
X
′ H′
Hni
in
(0)
i(6=n) Ei
−
(0)
En
− ε(2)
,
n
(2.180)
womit der Ausdruck für Energiekorrektur 2. Ordnung mit dem Ausdruck
ε(2)
=
n
X H′ H′
ni in
(2.181)
(0)
i(6=n)
Ei
gefunden ist.
Mit diesem Ausdruck geht man wieder in die Gleichung der 2. Ordnung –
nachdem man an diese Gl. (2.168) hj| =
6 hn| von links andockt“ – und
”
gewinnt für die Zustandskorrekturen:
(2)
cjn
=
X
i(6=n)
′ H′
Hji
in
(0)
(En
(0)
(0)
− Ei )(En
(0)
− Ej )
−
′ H′
Hjn
nn
(0)
(En
(0)
− Ej )2
(2.182)
126
KAPITEL 2. STATIONÄRE ZUSTÄNDE
Kapitel 3
Bahndrehimpuls und
Zentralpotenzial
In diesem Kapitel werden wir die einfachen, eindimensionalen Modellpotenziale verlassen und uns den realistischeren Problemen der Quantenmechanik
zuwenden, an deren Ende die Diskussion des Wasserstoffatoms steht. Bevor
wir die Drehbewegung quantenmechanisch behandeln werden wir noch einmal ganz kurz das klassische Pendant für Drehbewegung und danach das
Zentralpotenzial U (r) behandeln.
Ausgehend von der 3D-Formulierung der SGL werden wir krummlinige Koordinaten kurz wiederholen, damit die Hamilton-Funktion der Klassik für
Drehbewegung und Zentralpotenzial U (r) formulieren und dann die Korrepondenz zur Quantenmechanik in diesem Fall aufzeigen — d.h. die Ersetzung der kanonischen Impulse pν = ∂q̇ν L durch Operatoren führt zur
Schrödinger-Gleichung.
3.1
Sphärische Symmetrie – SGL
Wie schon erwähnt, formulieren wir zunächst die SGL mit Hilfe des NablaKalküls ∇ für ein sphärisch symmetrisches Potenzial U (r)
½
¾
~2
−
∆ + U (r) ϕ(~r) = E ϕ(~r) ,
2m
(3.1)
wobei der bestimmende Operator dieser Gleichung, der Laplace-Operator,
lautet ∆ = ∇ · ∇. Es gilt nun, den Ortsvektor ~r und den Nabla-Operator
∇ in Kugelkoordinaten auszudrücken.
127
128
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
Im Teilchenbild 1.3 haben wir schon die verallgemeinerten kanonischen Koordinaten qν und Impulse pν = ∂q̇ν L für ein N -Teilchensystem, ν ∈ (1, 6N ),
eingeführt. Hier beschränken wir uns auf ein Teilchen, also N = 1 und
ν in (1, 6). Es seien die krummlinigen Koordinaten wie folgt mit den kartesischen verknüpft
xi = xi (q1 , q2 , q3 ) mit i = x, y, z
~r = xi (q1 , q2 , q3 ) ~ei
(3.2)
(3.3)
wobei hier wieder Einsteins Summenkonvention verwendet wurde. Die Einheitsvektoren ~eqν und die Skalenfaktoren gν für die neuen Koordinaten lauten dann
~eqν
=
gν2 =
1 ∂~r
gν ∂qν
¯
¯
¯ ∂~r ¯2
∂xj ∂xj
¯
= ¯¯
∂qν ∂qν
∂qν ¯
(3.4)
.
(3.5)
Das Nabla-Kalkül ist dann mit
∇ =
~eν ∂
gν ∂qν
(3.6)
gegeben, was in einer Übungsaufgabe nachvollzogen werden sollte [Gleiches gilt für die folgenden Ausdrücke – man beachte, dass nach Gln.
(3.2)-(3.5) die Einheitsvektoren mit abgeleitet werden müssen]. Die Diver~ lautet damit
genz eines Vektors A
½
¾
1
∂
∂
∂
~
div A =
(g2 g3 A1 ) +
(g1 g3 A2 ) +
(g1 g2 A3 )
(3.7)
g1 g2 g3 ∂q1
∂q2
∂q3
Den Laplace-Operator gewinnt durch Nacheinanderausführung zunächst des
Gradienten und danach der Divergenz:
½
µ
¶
µ
¶
µ
¶
¾
1
∂
∂
∂
g2 g3
∂
g1 g3
∂
g1 g2
∂
∆ =
(3.8)
+
+
g1 g2 g3 ∂q1
g1
∂q1
∂q2
g2
∂q2
∂q3
g3
∂q3
Das soll als allgemeine Zusammenstellung bzgl. Krummliniger Koordinaten
reichen. Mit den Definitionen (3.2) & (3.3) kann dann sukzessive alle nötigen
Differentialausdrücke über Anwendung des Nabla-Kalküls berechnen.
Der folgende Einschub stellt einige Formeln krummliniger Koordinaten –
kartesische, Zylinder- & Kugelkoordinaten – in einer Übersicht zusammen:
3.1. SPHÄRISCHE SYMMETRIE – SGL
129
Einschub – krummlinige Koordinaten.
Felder
Skalare Felder: Φ(x, y, z) ordnen jedem Raumpunkt (x, y, z) ein Skalar
Φ zu. Beispiel: Temperaturfelder T (x, y, z), Dichtefelder ρ(x, y, z) usw.
~ y, z) ordnen jedem Raumpunkt (x, y, z) ein
Vektorielle Felder: A(x,
~ zu. Beispiel: Fließgeschwindigkeitsfelder ~v (x, y, z), elektrische –
Vektor A
~
~
und magnetische Felder E(x,
y, z), bzw. B(x,
y, z) usw.
Tensoren: Â(x, y, z)
Nabla-Operator, Laplace-Operator, Gradient, Divergenz und Rotation
Nabla-Operator
∇=
∂
∂
∂
~er +
~ey +
~ez
∂x
∂y
∂z
Gradient eines Skalar-Feldes (ist ein Vektor-Feld)
grad Φ = ∇Φ =
∂
∂
∂
Φ ~ex +
Φ ~ey +
Φ ~ez
∂x
∂y
∂z
Divergenz eines Vektor-Feldes (ist ein Skalar-Feld)
~ =∇·A
~ = ∂ Ax + ∂ Ay + ∂ Az
div A
∂x
∂y
∂z
Rotation eines Vektor-Feldes ergibt wieder ein Vektor-Feld:
¯
¯
¯ ~ex ~ey ~ez ¯
¯
¯
∂
∂ ¯
~ =∇×A
~ = ¯ ∂
rot A
¯ ∂x ∂y ∂z ¯
¯ A A A ¯
x
y
z
¶
µ
¶
µ
¶
µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Az −
Ay ~ex +
Ax −
Az ~ey +
Ay −
Ax ~ez
=
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Der Gradient eines Skalar-Feldes gibt in jedem Punkt Betrag und Richtung
der größten Steigung an.
Die Divergenz eines Vektor-Feldes ist ein Maß für den Fluss der Vektorgröße
in jedem Raumpunkt, d.h. die Divergenz mißt die Quell- bzw. Senkkenstärke
~ > 0 → Quelle, divA
~ < 0 → Senke).
eines Vektorfeldes (divA
130
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
Die Rotation eines Vektor-Feldes ist ein Maß für die Wirbelstärke eines Vektorfeldes.
Einige nützliche Formelm:
∇ ∗ (A + B) = ∇ ∗ A + ∇ ∗ B
(3.9)
(3.10)
wobei ∗ für Divergenz, Gradient oder Rotation steht und A, B sowohl
für Skalarfunktionen (beim Gradienten), als auch für Vektorfunktionen (bei
Rotation unbd Divergenz) steht.
³
´
~ = (∇Φ) · A
~ + Φ ∇·A
~
∇ · (ΦA)
³
´
~ = (∇Φ) × A
~ + Φ ∇×A
~
∇ × (ΦA)
(3.11)
´
³
´
³
´
³
~×B
~
~ · ∇×A
~ −A
~· ∇×B
~
= B
∇· A
³
´
´
³
´
³
´
´
³
³
~ +A
~ ∇·B
~
~·∇ B
~ −B
~ ∇·A
~ − A
~ ·∇ A
~×B
~
B
=
∇× A
³
´
³
´
´
³
´
´
³
³
~ +B
~ × ∇×A
~ +A
~× ∇×B
~
~·∇ B
~ + A
~ ·∇ A
~·B
~
B
=
∇ A
Mehrfachanwendung des Nabla-Operators und Laplace-Operator
Laplace-Operator (Skalar)
∆ = ∇·∇=
∂2
∂2
∂2 ~
+
+
~a
∂x2
∂y 2
∂z 2
(3.12)
Weitere Mehrfachausführungen des Nabla-Operators sind:
∂2
∂2
∂2
Φ
+
Φ
+
∂x2
∂y 2
∂z 2 Φ
~ = ∇(∇ · A)
~
grad (div A)
~ = ∇ × (∇ × A)
~ = ∇(∇ · A)
~ − ∆A
~
rot (rot A)
div (grad Φ) = ∇ · (∇Φ) = ∆Φ =
⇒ (Skalar)
⇒ (Vektor)
⇒ (Vektor)
Als sehr nützlich erweisen sich die verschwindenden Kombinationen – siehe
z.B. Herleitung der Balance-Gleichungen für Energie und Ladung, sowie
3.1. SPHÄRISCHE SYMMETRIE – SGL
auch der Wellengleichung in der E-Dynamik:
¯
¯ ~e
¯ x
¯ ∂
rot (grad Φ) = ∇ × (∇Φ) = ¯ ∂x
¯ ∂
¯ ∂x Φ
~ = ∇ · (∇ × A)
~ ≡0
div (rot A)
131
~ey
∂
∂y
∂
∂y Φ
¯
~ez ¯¯
¯
∂
∂z ¯ ≡ 0
¯
∂
¯
∂z Φ
(3.13)
(3.14)
Zylinderkoordinaten
Definitionen der Koordinaten, Einheitsvektoren und des Nabla-Kalküls:
x = r cos φ
y = r sin φ
z=z
~er = cos φ ~ex + sin φ ~ey + ~ez ; ~eφ = − sin φ ~ex + cos φ ~ey ; ~ez = ~ez
~eφ ∂
∂
∂
∇ = ~er
+
+ ~ez
∂r
r ∂φ
∂z
Gradient, Divergenz und Rotation
1 ∂
∂
∂
Φ ~er +
Φ ~eφ +
Φ ~ez
∂r
r ∂φ
∂z
~ = ∇·A
~ = 1 ∂ (r Ar ) + 1 ∂ Aφ + ∂ Az
div A
r ∂r
r ∂φ
∂z
grad Φ = ∇Φ =
¯
¯ ~e
r ~eφ ~ez
1 ¯¯ ∂r
∂
∂
~
~
rot A = ∇ × A = ¯ ∂r
∂φ
∂z
r¯
Ar r Aφ Az
¶
·µ
1
∂
∂
=
Az −
(r Aφ ) ~er +
r
∂φ
∂z
¶
µ
∂
∂
+ r
Ar − r Az ~eφ +
∂z
∂r
µ
¶ ¸
∂
1 ∂
(r Aφ ) −
Ar ~ez
+
r ∂r
∂φ
~ = Ar ~er + Aφ ~eφ + Az ~ez .
mit A
Der Laplace-Operator:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
132
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
∆Φ =
1 ∂
r ∂r
µ
¶
∂Φ
1 ∂2Φ ∂2Φ
+
r
+ 2
∂r
r ∂φ2
∂z 2
~ · ∇B)
~ ⇒ wird in der Hydrodynamik (KonvektiKomponenten von (A
onsterme) gebraucht.
h
i
~ · ∇B)
~
(A
h
i
~ · ∇B)
~
(A
r
φ
h
i
~ · ∇B)
~
(A
z
Aφ ∂
Aφ Bφ
∂
∂
Br +
Br + Az Br −
∂r
r ∂φ
∂z
r
Aφ ∂
Aφ Br
∂
∂
= Ar Bφ +
Bφ + Az Bφ +
∂r
r ∂φ
∂z
r
Aφ ∂
∂
∂
= Ar Bz +
Bz + Az Bz
∂r
r ∂φ
∂z
= Ar
~~
Divergenz eines Tensors Π
⇒
Kontinuumsmechanik (SpannungsGleichgewicht) oder Hydrodynamik (Effekte der Zähigkeit/Reibung):
~
~ r =
(∇ · Π)
~
~ φ =
(∇ · Π)
~
~ z =
(∇ · Π)
1 ∂
1 ∂
∂
1
(rΠrr ) +
(Πφr ) +
(Πzr ) − (Πφφ )
r ∂r
r ∂φ
∂z
r
1 ∂
1 ∂
∂
1
(rΠrφ ) +
(Πφφ ) +
(Πzφ ) + (Πφr )
r ∂r
r ∂φ
∂z
r
1 ∂
∂
1 ∂
(rΠrz ) +
(Πφz ) +
(Πzz )
r ∂r
r ∂φ
∂z
Kugelkoordinaten
Gradient, Divergenz und Rotation
3.1. SPHÄRISCHE SYMMETRIE – SGL
133
x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cos θ
(3.15)
~er = sin θ (cos φ ~ex + sin φ ~ey ) + cos θ ~ez
(3.16)
~eφ = − sin φ ~ex + cos φ~ey
(3.17)
~eθ = cos θ (cos φ ~ex + sin φ ~ey ) − sin θ~ez
(3.18)
∇ = ~er
~eφ
∂
~eθ ∂
∂
+
+
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
grad Φ = ∇ Φ =
(3.19)
∂
∂
1 ∂
1
Φ ~er +
Φ ~eθ +
Φ ~eφ (3.20)
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
~ = ∇·A
~ =
div A
∂
∂
1
1
1 ∂
(sin θ Aθ ) +
Aφ
= 2 (r2 Ar ) +
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
¯
¯ ~er r ~eθ r sin θ ~eφ
¯
¯ ∂
1
∂
∂
~
~
¯
rotA = ∇ × A = 2
∂θ
∂φ
r sin θ ¯¯ ∂r
¯ Ar r Aθ r sin θ Aφ
·µ
¶
∂
1
∂
(r sin θAφ ) −
(r Aθ ) ~er +
= 2
r sin θ
∂θ
∂φ
µ
¶
∂
∂
+
Ar −
(r sin θAφ ) r ~eθ +
∂φ
∂r
¶
¸
µ
∂
∂
(r Aθ ) −
Ar r sin θ ~eφ
+
∂r
∂θ
(3.21)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
(3.22)
~ = Ar ~er + Aθ ~eθ + Aφ ~eφ .
mit A
Der für uns in der Quantenmechanik entscheidende Ausdruck ist mit LaplaceOperator in Kugelkoordinaten
µ
¶
µ
¶
∂2
1 ∂
∂
1
∂
1
2 ∂
∆Φ = 2
(3.23)
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
gegeben.
134
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
Der Vollständigkeit halber werden auch noch die Komponenten der Wirkung
des Laplace-Operators
auf
³
´ einen Vektor,
~
~
div grad A = ∇ · ∇A
angegeben:
h
i
~
∆A
h
h
i
~
∆A
i
~
∆A
2 ∂Aθ
2Aθ cos θ
2 ∂Aφ
2Ar
− 2
−
− 2
2
2
r
r ∂θ
r
r sin θ ∂φ
Aθ
2 ∂Aθ
2 cos θ ∂Aφ
− 2 2 − 2 2
= ∆Aθ + 2
r ∂θ
r sin θ r sin θ ∂φ
Aφ
2 ∂Aφ
= ∆Aφ − 2 2 + 2
r
sin
θ ∂φ
r sin φ
= ∆Ar −
r
θ
φ
– Ausdrücke, die ebenfalls in der Hydrodynamik bzw. Kontiuumsmechanik
benötigt werden.
~~
Divergenz eines Tensors Π
~
~ r =
(∇ · Π)
~
~ θ =
(∇ · Π)
~
~ φ =
(∇ · Π)
Πθθ − Πφφ
1 ∂ 2
∂
1 ∂
1
(r Πrr ) +
(Πθr sin θ) +
Πφr −
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
r
∂
1 ∂
1
Πθr
cot θ
1 ∂ 2
(r Πrθ ) +
(Πθθ sin θ) +
Πφθ +
+
Πφφ
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
r
r
Πφr
1 ∂ 2
∂
1 ∂
1
cot θ
(r Πrφ ) +
(Πθφ sin θ) +
Πφφ +
+
Πφθ
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
r
r
Integralsätze
Satz von Gauß
Z
~ dV =
div A
Z
~ · d~r =
A
V
Z
F
~ · ~n dF
A
Satz von Stokes
C
Z
F
~ dF
~n · rot A
3.1. SPHÄRISCHE SYMMETRIE – SGL
135
Mit diesem Einblick in die krummlinigen Koordinaten lautet unsere stationäre Schrödinger-Gleichung
½
¾
·
¸
·
¸
∂2
1 ∂
∂
1
∂
1
2 ∂
ϕ(~r) =
r
+ 2
sin θ
+ 2
r2 ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin2 θ ∂φ2
2m
(3.24)
= 2 [U (r) − E] ϕ(~r) .
~
Das ist in der Tat etwas unübersichtlich und deshalb wollen wir wieder
auf die Operatorschreibweise zurückgreifen und von dem großen Vorteil der
Nabla-Schreibweise Gebrauch machen, Koordinaten-invariant zu sein. Egal
welche Wahl wir bzgl. der Koordinaten treffen, der Impulsoperator lautet
ˆ = −ı~∇. Man kann das recht leicht einsehen, denn ein Gradiimmer ~p
ent einer physikalischen Größe ist wieder eine solche (z.B. der Wärmestrom:
~ = kB κ/cp ∇T ) und damit völlig unabhängig von der Wahl der KoordinaQ
ten. Es ist deshalb vorteilhaft solange es eben nur geht die Operatorschreibweise zu wählen und erst wenn man damit nicht weiter kommt die konkrete
Koordinatenwahl trifft.
Im Folgenden werden wir den Ausdruck auf der linken Seite der SGL (3.24)
näher beleuchten und verschiedene Teile als zum Impuls- und Drehimpulsoperator gehörig identifizieren. Damit uns diese Identifikation gelingt, schreiben wir zunächst die Hamilton-Funktion H(~
p, ~r) in Kugelkoordinaten auf,
um dann die verschiedenen Terme des Hamilton-Operators zu erkennen,
wobei wir zunächst nur am Anteil der kinetischen Energie Interesse haben.
In einer Übung soll basierend auf der Aufstellung der Lagrange-Funktion
L(q̇ν , qν ) = ~r˙ 2 /2 + U (r) folgender Ausdruck
)
(
p2φ
p2r
1
H(~
p, ~r) =
+ p2θ + U (r)
+
2m
2mr2 sin2 θ
~2
p2r
L
+
(3.25)
2m
2mr2
gezeigt werden. Es fällt sofort auf, dass φ eine zyklische Variable ist und
somit pφ = mr2 φ̇ = konstant gilt. Den Gesamtdrehimpuls haben wir mit
~ = konstant bezeichnet. Die Konstanz folgt zudem sofort aus der DefiniL
~ = ~r × p~ = m ~r × ~r˙ . Bilde ich die Zeitableitung von L,
~ erhalte
tion von L
ich:
~˙ = ~r˙ × ~r˙ + ~r × ~r¨ = 0 − ~r × ~r ∂r U (r) ≡ 0 .
L
r
Der erste Term verschwindet, da das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich
selbst verschwindet, der zweite praktisch aus gleichem Grund, denn ~r ×~er ∝
~r × ~r = 0.
=
136
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
In der Tat kann auch der Hamilton-Operator in Gleichung (3.24) in äquivalenter Form (3.25) geschrieben werden. Dazu zerlegen wir Ĥ in einen radialen
~ˆ des Impulsoperators.
p̂r sowie Winkelanteil L
3.1.1
Zerlegung des Hamiltonians
In voller Vektoroperatorform lautet der Hamiltonoperator natürlich
ˆ2
~p
+ U (r) ,
(3.26)
2m
ˆ mit dem radialen Einheitsvektor ~er = ~r/r
in dem wir den Impulsoperator ~p
entwickeln werden.
Zunächst schreiben wir unter Zuhilfenahme des Vektor-Entwicklungssatzes
´
³
´
³
ˆ
ˆ − ~p
ˆ = (~er ◦~er ) · ~p
ˆ − ~p
ˆ = ~er ~er · ~p
(3.27)
~er × ~er × ~p
Ĥ =
ˆ umgestellt lautet
was nach ~p
´
³
ˆ
ˆ − ~er × ~er × ~p
ˆ = ~er ◦ ~er · ~p
~p
.
(3.28)
ˆ geschrieben,
ˆ ) = ~er ◦~er · ~p
Wir haben hier die radiale Komponente als ~er (~er · ~p
um Parallelen zum Projektionsoperator und seiner Wirkung herauszustellen. So ist die Dyade ~er ◦ ~er praktisch analog zur Form |nihn|. Von rechts
kann nun ein unendlich-dimensionaler Vektor |li angedockt“ werden, um
”
die Projektion |nihn|ji dieses Zustands |ji auf die Richtung |ni zu er. Im
ˆ . Soviel
ˆ ) = ~er ◦ ~er · ~p
3D-Beispiel ist die entsprechende Projektion ~er (~er · ~p
noch einmal zur Dirac-Darstellung im Vergleich zu Vektoren im Ortsraum.
ˆ einmulNun werden wir die Entwicklung (3.28) skalar mit dem Operator ~p
tiplizieren, um die kinetische Energie zu erhalten
h
³
´i
ˆ 2 = (~p
ˆ · ~er )(~er · ~p
ˆ ) − ~p
ˆ · ~er × ~er × ~p
ˆ
~p
.
(3.29)
Hätten wir es nur mit einem Vektor p~ zu tun, wäre das Betragsquadrat
~ 2 /r2 gegeben. Aber in der Darstellung (3.29)
simpel durch p~2 = p~2r + L
ˆ
wirkt der Operator ~p auch auf den Vektor/Operator ~er = ~r/r und zwar in
ˆ · ~er . Wir nehmen es gleich vorweg – sie spielen
ˆ × ~er und ~p
den Ausdrücken ~p
keine Rolle, wie wir jetzt zeigen werden.
Zunächst ordnen wir das hintere Spatprodukt in (3.29) durch zyklische Vertauschung um, womit entsteht
´
´ ³
³
ˆ × ~er .
ˆ · ~p
ˆ ) − ~er × ~p
ˆ · ~er )(~er · ~p
ˆ 2 = (~p
~p
(3.30)
3.1. SPHÄRISCHE SYMMETRIE – SGL
137
ˆ ×~r − ~r ×∇(1/r).
ˆ ×~r/r = (1/r)~p
Aus Sicht der Operatoren stört der Term ~p
Die Kreuzprodukte werten wir mit Hilfe des Levi-Cevita Tensors aus:
εijk
womit man erhält

 +1 für gerade Permutationen
−1 ungerade Permutationen
=

0
wenn Indizes gleich
(3.31)
¾
½
xj xk
δij
~r
~
~r
~
∂ ³ xk ´
~
ˆ
~p × = ∇ × = εijk
−
= εijk
≡0 ,
r
ı
r
ı
∂xj r
ı
r
r3
m.a.W., der Impulsoperator erzeugt keine Wirkung auf den Einheitsvektor.
Eine andere Möglichkeit das nachzuweisen besteht in der Verwendung von
Nabla in krummlinigen Koordinaten: ∇ = gν−1 ~eν ∂qν (Übung). Damit wird
klar, dass man getrost schreiben kann
´
´ ³
³
~ˆ 2
L
ˆ × ~er .
ˆ · ~p
~
p
=
~
e
×
r
r2
(3.32)
ˆ · ~er in Gl. (3.30), der nicht ohne Weiteres
Ein weitere störender Term ist ~p
ˆ = ∂r
mit der Projektion des Impulsoperators auf die r - Richtung ~er · ~p
ˆ
verwechselt werden darf. Zur Ausrechnung: mit ~p = (~/ı)∇ und ~r = r~er
wird
µ ¶
µ ¶
1
∂
~r
1
∇·
=
+
∇ · ~r + ~r · ∇
=
r
r
r
∂r
3
~r · ~r 1
∂
2
∂
=
−
+
=
+
r
r r2
∂r
r
∂r
und damit
ˆ ) = − ~2
ˆ · ~er )(~er · ~p
(~p
µ
2
∂
+
r
∂r
¶
∂
~2 ∂ 2
= −
r .
∂r
r ∂r2
(3.33)
Die Gleichheit auf der rechten Seite ist in einer Übung durch einfaches Ausdifferenzieren zu zeigen. Das aber wiederum kann auch geschrieben werden
als:
µ
∂
2
+
r
∂r
¶
1 ∂2
∂
=
r =
∂r
r ∂r2
µ
1 ∂
r
r ∂r
¶2
(3.34)
138
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
was man ebenfalls durch Ausdifferenzieren mit Hilfe einer Dummy“-Funktion
”
f zeigt:
µ
¶
¶2
¶µ
¶
µ
∂
1 ∂
1 ∂
1 ∂
1 ∂
1+r
f =
r
r
r f =
f =
r ∂r
r ∂r
r ∂r
r ∂r
∂r
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1
∂
∂2
∂
2
∂
1 ∂2
2
+r 2 f =
+
f =
r f ; Q.E.D.
r
∂r
∂r
r
∂r ∂r
r ∂r2
µ
=
Nun haben wir eine quadratische Operatorform gefunden, die allerdings noch
mit dem Radialteil des Laplace-Operators in Verbindung gebracht werden
muss:
µ
¶2
~ ∂
~2 ∂
∂
ˆ
ˆ
= − 2 r2
r
= pˆr 2 .
(3.35)
(~p · ~er )(~er · ~p) = −
r ∂r
r ∂r ∂r
Auch hier hilft nur einfaches Ausrechnen – diesmal aber lassen wir f weg:
µ
µ
¶
¶
1 ∂ 2∂
2
∂
∂
1
∂
2 ∂
r
=
=
+
,
2r
+
r
r2 ∂r ∂r
r2
∂r ∂r
r
∂r ∂r
was zusammen mit Operatorelationen (3.34) die Gleichheit in Gleichung
(3.35) beweist.
Für den Laplace-Operator, bzw. für den Operator der kinetischen Energie
kann man demnach genau wie in der Klassik (3.25) schreiben
~2
1
−
∆ =
2m
2m
Ã
pˆr 2
!
~ˆ 2
L
+ 2
r
(3.36)
wobei beide Operatoren in (3.36) die Gestalt haben
p̂r
~1 ∂
r
=
ı r ∂r
~ˆ = ~
; L
ı
½
¾
~eθ ∂
∂
−
~eφ
.
∂θ
sin θ ∂φ
(3.37)
In einer Übung prüft man leicht nach, dass in der Tat die zweifache An~ˆ den Winkelanteil von ∆ ergibt
wendung des Drehimpulsoperators L,
2
~ˆ = L
~ˆ · L
~ˆ =
L
1 ∂
sin θ ∂θ
µ
sin θ
∂
∂θ
¶
+
1
∂2
2 ∂φ2
sin θ
= (y p̂z − z p̂y )2 + (z p̂x − x p̂z )2 + (x p̂y − y p̂x )2 . (3.38)
3.2. DER DREHIMPULSOPERATOR
3.2
139
Der Drehimpulsoperator
Bevor wir an die analytische Lösung des Problems, zunächst für den Dre~ˆ 2 , herangehen, werden wir noch einige Eigenschaften des
himpulsanteil L
Drehimpulsoperators zusammentragen.
~ˆ eine Erhaltungsgröße sein — ausgedrückt
In Analogie zur Klassik muss L
über
i
h
~ˆ Ĥ ≡ 0 .
L,
(3.39)
Deshalb ist unserer nächster Schritt der Beweis dieses Kommutators! Zunächst
~ˆ 2 /(2mr2 ) in einen Teil der
erinnern wir daran, dass Ĥ = p̂2r /(2m) + U (r) + L
~ˆ 2
nur r-Ausdrücke enthält, die ersten beiden Terme, und den Winkelanteil L
zerfällt. Fassen wir die radialen Abhängigkeiten in Ĥ unter f (r) zusammen
und lassen wir darauf den Drehimpuls operieren, finden wir:
~ˆ f (r) = ~ ~r × ∇f (r) = ~ ~er × ~er ∇f (r) ≡ 0
L
ı
ır
(3.40)
da ja das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst verschwindet. Bei der
~ˆ 2 ] = 0 und damit natürlich auch
~ˆ L
Vertauschbarkeit (3.39) zählt also nur [L,
~ˆ 2 ] = 0 (mit i = x, y, z), was es jetzt zu zeigen gilt. Das Betragsquadrat
[L̂i , L
2
~ˆ = L̂2 + L̂2 + L̂2 gegeben, so
in kartesischen Koordinaten oben (3.38) mit L
x
y
z
das auszuwerten verbleibt
¸
·
i
i
h
i
h
h
ˆ2
~
(3.41)
L̂x , L
= L̂x , L̂2x + L̂x , L̂2y + L̂x , L̂2z .
Zunächst verwenden wir eine Kommutatorformel für drei Operatoren
i
h
i
i
h
h
(3.42)
ÂB̂, Ĉ = Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Ĉ
die in einer Übung durch geschicktes Null addieren“ gezeigt werden soll.
”
Damit kann für den uns interessierenden Operator geschrieben werden
¸
·
h
i
h
i
h
i
h
i
ˆ2
~
L̂x , L = L̂x , L̂y L̂y + L̂y L̂x , L̂y + L̂x , L̂z L̂z + L̂z L̂x , L̂z (3.43)
.
Den Term [L̂2x , L̂x ] = 0 habe ich gleich weggelassen, denn ein skalarer Operator kommutiert natürlich beliebig oft mit sich selbst. Nun gilt es noch die
140
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
Vertauschungsregeln für [L̂i , L̂j ] für die einzelnen Komponenten durch einfaches Anwenden der Kommutatordefinition und Ausmultiplizieren (ebenfalls
Übung) zu berechnen. Das Ergebnis geben wir hier deshalb nur an
h
i
i
h
i
h
L̂x , L̂y = ı~L̂z ; L̂y , L̂z = ı~L̂x ; L̂z , L̂x = ı~L̂y ,
oder in Index-Schreibweise
i
h
L̂i , L̂j = ı~εijk L̂k .
(3.44)
(3.45)
Das sind die fundamentalen Vertauschungsrelationen des Drehimpulsoperators, die in der Quantenphysik des öfteren (z.B. Spin) auftauchen werden.
Damit erhalten wir für Gleichung (3.43)
¸
·
´
³
ˆ2
~
(3.46)
L̂x , L = ı~ L̂z L̂y + L̂y L̂z − L̂z L̂y − L̂y L̂z ≡ 0
2
~ˆ ] = 0 bewiesen ist, denn für die anderen Komponenten L̂y und
~ˆ L
womit [L,
L̂z gelten analogen Beziehungen. Damit ist natürlich auch die Drehimpulserhaltung (3.39) gezeigt, denn im Hamiltonian blieb nur noch die Vertauschung
der Winkelanteile zu zeigen.
Damit haben wir schon, ohne das Problem, sprich die partielle SGL, zu lösen,
wichtige Informationen für den sphärisch symmetrischen Fall U (r) gewonnen. Für dieses 3D Problem können wir also als Satz gleichzeitig meßbarer
Observablen die Energie Ĥ, den Betrag (genauer desse Quadrat) des Dreh2
~ˆ als auch eine Komponente desselben wählen – traditionsgemäß
impulses L
nehmen wir L̂z = (~/ı)∂φ (Übung: letzteres mit Hilfe der Kugelkoordinaten
zeigen). Alle drei Größen kommutieren miteinander gemäß
¸
·
· 2 ¸
i
h
ˆ2
ˆ
~
~
= L̂z , Ĥ ≡ 0
L , Ĥ = L̂z , L
(3.47)
die natürlich auch ein gemeinsamen Satz von EF’s besitzen. Letzteres drückt
sich in der vollständigen Separierbarkeit der SGL aus, die wir im nächsten
Abschnitt zeigen werden.
3.2.1
Erzeugender der Drehungen
Hier wollen wir noch weitere Eigenschaften des Drehimpulsoperator erarbeiten. Zunächst kann man durch einfaches Ausrechnen weitere Relationen des
3.2. DER DREHIMPULSOPERATOR
Drehimpulses erhalten
i
h
L̂i , xj = ı~εijk xk
;
141
i
h
L̂i , p̂j = ı~εijk p̂k
.
(3.48)
Des Weiteren können wir den Drehimpulsoprator, ähnlich wie den Impulsoperator p̂ bei Translationen im Falle des periodischen Potenzials (T̂a =
exp(ıa/~)), als Erzeugenden von Drehungen auffassen. Nämlich es existiere
ein unitärer Operator
µ
¶
~ˆ
ı ~ˆ
ı
Ûδϕ = exp
δ ϕ · L̃
≈ 1 + δ ϕ · L̃ .
(3.49)
~
~
Die Unitarität sieht man dem Operator sofort an, denn der adjungierte
Operator ist identisch mit dem inversen:
¶
µ
ı ~ˆ
†
−1
= Û−δϕ = Ûδϕ
,
Ûδϕ = exp − δ ϕ · L̃
~
wie leicht anhand der e-Funktionen überprüfen kann. Man gewinnt auch
sofort
0
Û†δϕ Ûδϕ = Û−1
δϕ Ûδϕ = e = 1 ,
also gilt Adjungierter = Inverser.
Was hat dieser Operator mit einer Drehung zu tun? Nun – das erkennt man,
indem man ihn auf eine Funktion φ(~r) loslässt
Ûδϕ φ(~r) = [1 + δ ϕ
~ · (~r × ∇)] φ(~r) =
= φ(~r) + (δ ϕ
~ × ~r) · ∇φ =
= φ(~r + δ ϕ
~ × ~r) = φ(~r′ ) .
(3.50)
Bei dieser Umformung ist wieder von der zyklischen Vertauschbar des Spatproduktes Gebrauch gemacht worden.
Nun kann man Drehungen auch auf beliebige Operatoren (physikalische
Größen)
Â ψ(~r) = φ(~r)
wirken lassen – und erhält
Ûδϕ Â ψ(~r) = Ûδϕ Â Û†δϕ (Ûδϕ ψ) =
| {z }
≡1
= Ûδϕ φ(~r) = φ(~r′ ) =
= Ûδϕ Â Û†δϕ ψ(~r′ ) = φ(~r′ )
.
(3.51)
142
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
Man kann daraus sofort die Operatoridentität
Â′ = Ûδϕ Â Û†δϕ
(3.52)
ablesen – eine Form, wie wir sie auch schon bei der Transformation der
Operatoren beim Übergang von einer zur anderen Darstellung hatten. Gleichung (3.52) kann man auch mit der Definition (3.49) (nach Entwicklung
der e-Funktion) schreiben und erhält:
ı
ı
ˆ
ˆ
δϕ
~ · L̃) Â (1 − δ ϕ
~ · L̃) =
~
~
ı
ı
ˆ
ˆ
= 1 − Â δ ϕ
~ · L̃ Â
~ · L̃ + δ ϕ
~
~
i
h
i
h
ı
ı
ˆ
= 1 + δϕ
~ · L̃, Â = 1 + δϕk L̂k , Â
~
~
Â′ = (1 +
(3.53)
(3.54)
Wir halten also fest, der Drehimpulsoperator L̂ fungiert als Erzeugender der
Drehungen δ ϕ
~ × ~r = δ~r mit ~r′ = ~r + δ~r; genauso wie der Impulsoperator
p̂ Erzeugender von Translationen ist.
3.2.2
Eigenwerte des Drehimpulses
Bevor die Separationslösung der 3D SGL ansteht, wollen wir, ähnlich wie
beim harmonischen Oszillator, die Eigenwerte mit rein operator-algebraischen“
”
Mitteln bestimmen. Die Eigenwertgleichungen, die beide demselben Funktionensystem genügen, lauten
~ˆ 2 Ylm = λ̃ Ylm = l(l + 1) ~ Ylm
L
(3.55)
L̂z Ylm = m ~ Ylm .
(3.56)
Um Informationen über diese Eigenwertgleichungen zu gewinnen, definieren
wir die folgenden Leiteroperatoren“
”
L̂± = L̂x ± ı L̂y ,
(3.57)
mit den Eigenschaften (Nachweis in Übung – Definitionen, Vertauschungs-
3.2. DER DREHIMPULSOPERATOR
143
regeln, partielle Integration & natürlich ausrechnen ⇔ Übung)
L̂†±
i
h
L̂z , L̂±
i
h
L̂+ , L̂−
i
h
~ˆ 2 , L̂±
L
= L̂∓
(3.58)
= ± ~ L̂±
(3.59)
= 2 ~ L̂z
(3.60)
= 0
(3.61)
~ˆ 2 = L̂+ L̂− − ~ L̂z + L̂2 .
L
z
(3.62)
Mit Relation (3.59) kann man das Eigenwertproblem (3.56) umschreiben
L̂z L̂± Ylm = L̂± L̂z Ylm ± ~ L̂± Ylm = (m ± ~) L̂± Ylm ,
(3.63)
woran man sofort erkennt, dass L̂± Ylm = Ylm±1 die Leiteroperatoren“ die
”
Eigenfunktionen des nächsthöheren (nächstniederen) Eigenwertes (m ± ~)
erzeugt – ganz ähnlich wie die â± für den harmonischen Oszillator.
~ˆ 2 und L̂z einen gemeinsamen Satz von EF’s haben
Wir wissen auch, dass L
[siehe Gl. (3.55) - (3.56)], und zusammen mit Eigenschaft (3.61) finden wir
~ˆ 2 L̂± Ylm = L̂± L
~ˆ 2 Ylm = ~2 l(l + 1)L̂± Ylm ,
L
(3.64)
d.h. L̂± hat keinen Einfluss auf den Eigenwert ~2 l(l + 1).
Mit dem Ziel mehr Informationen über die Eigenwerte bzw. um die Vorfaktoren der Wirkung der Erzeuger L̂± zu gewinnen, betrachtet man die
Norm von L̂± Ylm unter Beachtung der Adjunktheit (3.58) von L̂± sowie
der Relation (3.62) erhält man
||L̂± Ylm || = hL̂± lm|L̂± mli = hlm|L̂∓ L̂± |lmi =
~ˆ 2 ∓ ~L̂z − L̂2 |lmi =
= hlm|L
z
£
¤
= ~2 l(l + 1) ∓ m − m2 hlm|lmi
£
¤
= ~2 l(l + 1) ∓ m − m2 = ~2 [l(l + 1) − m(m ± 1)] . (3.65)
Daraus folgt unmittelbar für die Wirkung der Erzeuger-Vernichter
p
L̂± Ylm = ~ l(l + 1) − m(m ± 1) · Ylm±1
(3.66)
oder auch
||L̂± Ylm || = ~2 [l(l + 1) − m(m ± 1)] ≥ 0 ,
(3.67)
144
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
womit wir die Relation
l(l + 1) ≥ m(m ± 1) mit
½
+ für m > 0
− für m < 0
(3.68)
erhalten. Im Speziellen haben wir für m < 0
l(l + 1) ≥ m(m − 1) = − |m| (−|m| − 1) = |m| (|m| + 1) =
und damit unmittelbar
|m| ≤ l .
(3.69)
Nun bezeichnen wir mit M = m die maximale (positive) Quantenzahl, was
für die Anwendung unseres Leiteroperators“ (Erzeuger & Vernichter) be”
deuten muss
L̂+ YlM = 0 ,
(3.70)
da es per Definition keine höhere Quantenzahlen m geben darf, womit folgt
p
l(l + 1) − M (M + 1) ≡ 0 ,
⇒ M = l
.
(3.71)
Im Umkehrschluß sei µ die kleinste (negative) Magnetquantenzahl und es
gilt
p
L̂− Ylµ = ~ l(l + 1) − µ(µ − 1)
⇒ µ = −l
,
(3.72)
womit wir letztlich den Bereich der Magnetquantenzahlen gewinnen
−l ≤ m ≤ l .
(3.73)
~ˆ 2 werden
Die gleichen Aussagen und auch noch die Eigenfunktionen von L
im nächsten Kapitel berechnen, obgleich die EF’s zu den m prinzipiell auch
mit den Leiteroperatoren ausgehend von den Funktionen an den Anfangsund Endpunkten, L̂± Ylm ≡ 0, erzeugt werden können – jedoch nicht so
einfach wie beim Harmonischen.
3.2. DER DREHIMPULSOPERATOR
3.2.3
145
Separation der Schrödinger-Gleichung
Nun gilt es, einen Separationsansatz für die SGL
(
)
~ˆ 2 (φ, θ)
L
1 2
+ U (r) ϕ = E ϕ
p̂ (r) +
2m r
2mr2
(3.74)
zu wagen. Wir wählen
ϕ(r, φ, θ) = R(r) Y (θ, φ) .
(3.75)
Wir bringen die SGL nach einsetzen der Separation in folgende Form
©
ª
~ˆ 2 (φ, θ)R(r)Y (θ, φ) = −r2 p̂2 (r) + 2m [U (r) − E] R(r)Y (θ, φ)
L
r
und dividieren danach durch RY , womit wir erhalten
~ˆ 2 Y (θ, φ) =
Y −1 (θ, φ) L
©
ª
1
r2 2m [E − U (r)] − p̂2r (r) R(r) (3.76)
R(r) |
{z
}
K̂(r)
Hier haben wir auf der linken Seite eine Differenzialgleichung, die nur Winkelanteile enthält, auf der rechten hingegen stehen nur radial abhängige
Größen. Beide für sich genommen müssen also konstant sein, also es muss
gelten
~ˆ 2 Y = R−1 K̂ R = − λ̃ (= l(l + 1)) .
Y −1 L
(3.77)
~ˆ 2 , wie
Die Separationskonstante ist natürlich der Eigenwert des Operators L
man durch Multiplikation mit Y sofort sieht
~ˆ 2 Y = − λ̃ Y = l(l + 1) Y .
L
(3.78)
In beiden Gleichungen haben wir die konkrete Form λ̃ = l(l + 1) schon
vorweg genommen – später wird sich zeigen, dass l ∈ N sein muss. Vorerst
belassen wir es bei einer beliebigen (komplexen) Konstante.
~ˆ lassen aber noch eine
Die Vertauschungsregeln des Drehimpulsoprators L
weitere Separation vermuten, nämlich die zwischen den Winkelanteilen φ
und λ. Wir wählen als weiteren Ansatz
Y (θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ) ,
(3.79)
146
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
was eingesetzt in die Eigenwertgleichung (3.78) liefert








¶
 1 ∂ µ
2
∂ 
1
∂
+
sin θ
Θ Φ = − λ̃ Θ Φ .
 sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2 




{z
}

|
Λ̂
Multipliziert amn diese Gleichung mit sin2 θ und dividiert durch Θ(θ)Φ(φ)
wird man zu folgender Gleichung geführt
o
sin2 θ n
1 ∂ 2 Φ(φ)
Λ̂
+
λ̃
Θ(θ) = − m2 .
=
−
Φ(φ) ∂ϕ2
Θ(θ)
(3.80)
Jeder Ausdruck für sich genommen muss konstant ≡ −m2 sein, da sie nur
jeweils von einer Variable – die linke Seite nur von φ, rechts vom 1. Gleichheitszeichen nur von θ – abhängen. Deshalb können im Folgenden schreiben
½
d2 Φ(φ)
+ m2
dϕ2
¾
½
Φ(φ) = 0 ;
Λ̂ + λ̃ −
m2
sin2 θ
¾
Θ(θ) = 0 , (3.81)
wobei auf partielle Ableitungen verzichtet werden kann, denn es handelt
sich nun um gewöhnliche Differenzialgleichungen, die wir nun nacheinander
getrebnnt behandeln werden.
Der φ-Anteil/Der starre Rotator.
Zunächst lösen wir die Gleichung
½ 2
¾
d Φ(φ)
2
+
m
Φ(φ) = 0 mit Φ(φ) = Φ(φ + 2πn)
dϕ2
(3.82)
der man die Lösung schier ansieht (gewöhnliche Differenzialgleichung mit
konstanten Koeffizienten):
Φ(φ) = A exp (ımφ) ;
(3.83)
mit m ∈ G, um die periodische Randbedingung in (3.82) zu befriedigen. Die
Normierung liefert uns, wie schon so oft, die Konstante A
|A|
2
Z2π
0
dφ e−ım φ dφ eımφ = 2π |A|2 δm′ m = 1 ,
′
(3.84)
3.2. DER DREHIMPULSOPERATOR
147
womit wir schließlich die normierte Lösung für den φ-Anteil erhalten
1
exp (ımφ) .
Φ(φ) = √
2π
(3.85)
Nun ist es sicher interessant anzumerken, dass man das gleiche Ergebnis bei
Auswertung des Eigenwertproblems für die z-Komponente des Drehimpulses
L̂z Ψz (φ) =
~ d
Ψz (φ) = lz Ψz (φ)
ı dφ
(3.86)
erhält. Die Lösung lautet, wie man mit dem Ansatz eλφ und der charakteristischen Gleichung λ = (ı/~) lz = ı m (Ew: lz = m~) nachprüft:
Ψz (φ) ∝ exp (ımφ)
,
(3.87)
wobei die Regulatät von Ψz erfordert, dass m ∈ G.
Das gleiche Resultat erhält man im Fall des starren Rotators – klassisch: eine
Punktmasse m die im festen Abstand r = a um z.B. die z-Achse bei z = 0
bzw. sin θ = 1 rotiert. Das Potenzial sei U (r) = 0. Dessen kinetische Energie
lautet T̂ = p̂z /(2ma2 ) und quantenmechanisch kann man p̂r ∝ r−1 ∂r r → 0
und L̂θ → 0 annehmen, d.h. keine Freiheitsgrade in r und θ für den starren
Rotator. Die zeitfreie SGL lautet
−
~2 d2
ϕ(φ) = E ϕ(φ) .
2ma2 dφ2
(3.88)
mit der Regularitätsbedingung
ϕ(φ + 2π) = ϕ(φ) .
(3.89)
Die Eigenfunktionen und Eigenwerte lauten wie in den anderen Fällen
1
ϕm = √
exp (ımφ)
2π
mit den ganzen Zahlen m ∈ G.
;
Em =
~2 m2
2ma2
(3.90)
148
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
Der θ-Anteil
Es verbleibt noch zu lösen
½
Λ̂ + λ̃ −
m2
sin2 θ
¾
Θ(θ) = 0 .
(3.91)
Diese Gleichung transformieren wir zunächst y = cos θ womit man unter
Beachtung der Kettenregeln
p
∂
∂y ∂
∂
∂
∂
=
= − 1 − y2
; sin θ
= −(1 − y)2
∂θ
∂θ ∂y
∂y
∂θ
∂y
µ
¶
¡
¢
1 ∂
∂
∂
1 − y2
sin θ
=
sin θ ∂θ
∂θ
y
∂y
die gewöhnliche Differenzialgleichung
½
¾
¢ ∂
∂ ¡
m2
2
1−y
+ λ̃ −
Θ = 0 .
∂y
∂y
1 − y2
(3.92)
Störend wirken sich die Singularitäten bei y = ±1 aus, die mit dem Ansatz
¢m/2
¡
vm (y)
(3.93)
Θ = 1 − y2
sowie passenden Ew’s m und λ̃ = l(l + 1) bewältigt werden. Einsetzen in
Gleichung (3.92) und ausdifferenzieren ergibt schließlich
¡
¢ ′′
′
1 − y 2 vm
− 2(m + 1) y vm
+ [λ̃ − m(m + 1)] = 0 ,
(3.94)
wobei die Striche die Ableitungen markieren.
Nochmaliges Differenzieren liefert folgende Gleichung
¡ ′ ¢′
¢ ¡ ′ ¢′′
¡
′
+ [λ̃ − (m + 1)(m + 2)]vm
= 0 (3.95)
,
− 2 y (m + 2) vm
1 − y 2 vm
die bei näherem Hinsehen offenbart, dass die Differenziation die nächsthöhere Eigenfunktion erzeugt
′
vm+1 = vm
bzw.
vm (y) =
dm
v0 (y) .
dy m
(3.96)
Der Beginn der Rekursion für m = 0 ergibt die Differenzialgleichung für die
Legendre-Polynome v0 = Pl (y)
¡
¢
1 − y 2 v0′′ − 2 y v0′ + λ̃ v0 =
=
½
¢ ∂
∂ ¡
1 − y2
+ λ̃
∂y
∂y
¾
Pl = 0 .
(3.97)
3.2. DER DREHIMPULSOPERATOR
149
Die Polynome gewinnt man genau wie im Fall des harmonischen Oszillators
durch Reihenansatz
Pl = v0 =
∞
X
aν y ν
(3.98)
ν=0
und man erhält die Rekursionsformel nach Einsetzen in (3.97)
ν(ν + 1) − λ̃
aν+2
=
aν
(ν + 2)(ν + 1)
.
(3.99)
Auch in diesem Fall liefert der Reihenansatz (3.98) keine Konvergenz (Übung)
und somit keine normierbare WK-Amplitude. Wieder brechen wir die Reihe bei einem konkreten Wert ν = l ab – d.h. wir wählen den Betrag des
Drehimpulses (Quadrat dessen) λ̃ entsprechend – und sichern das durch die
Relation
al+2
= 0
al
⇒ λ̃ = l(l + 1)
(3.100)
~ˆ 2 begründen, den wir bei den Leiterab, womit wir den Eigenwert von L
”
operatoren“ schon ohne Begründung angaben.
Die zonalen Kugelfunktionen — die Legendre Polynome Pl (y) = Pl (cos θ),
deren erste Funktionen lauten
P0 = 1
P1 = y
3 2 1
y −
P2 =
2
2
ª
1© 3
5y − 3y
P3 =
2
und mit Hilfe der erzeugenden Funktion y 2 − 1 können die anderen zonalen
Kugelfuktionen mit
Pl (y) =
¢l
1 dl ¡ 2
y
−
1
2l l! dy l
(3.101)
berechnen. Die Betragsquadrate ersten 4 Funktionen, P02 ... P32 , sind in Polardarstellung in Abbildung 3.1 gezeigt. Nun haben wir den Beginn v0 =
Pl unserer Rekursion (3.96) gefunden, mit der wir alle weiteren Funktionen/Zustände berechnen können, die zu den zugeordenteten Legendre-Polynomen
150
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
P 12
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
z
z
P02
1.0
-0.5
-1.0
-1.0 -0.5
-0.5
0.0
x
0.5
-1.0
-1.0 -0.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
-0.5
-1.0
-1.0 -0.5
0.5
1.0
0.5
1.0
P 32
1.0
z
z
P22
0.0
x
-0.5
0.0
x
0.5
1.0
-1.0
-1.0 -0.5
0.0
x
Abbildung 3.1: Die ersten vier Grade der axialsymmetrischen zonalen Kugelfunktionen in polarer Darstellung.
Plm gehören. Diese Polynome kann man ebenfalls mit der Erzeugenden bestimmen
Plm (y)
=
¡
¢m/2 l+m
¡ 2
¢l
1 − y2
d
y −1
l
l+m
2 l!
dy
Plm (y) = (−1)m Plm (y)
für m < 0
(3.102)
.
(3.103)
Beispiele der zugeordneten Legendre-Polynome sind in Abbildung 3.2 dargestellt.
Damit können wir zusammenfassend für den Winkelanteil der WK-Amplitude
sphärisch-symmetrischer Potenziale oder auch für den 3D-starren Rotator
die Kugelflächenfunktionen
1
|m|
Ylm = Θ(θ) Φ(φ) = √ Clm Pl (cos θ) exp (ımφ)
2π
s
2l + 1 (l − |m|)!
·
.
Clm =
2
(l + |m|)!
(3.104)
(3.105)
3.3. COULOMB-POTENZIAL – DAS H ATOM
(Imag P11)2
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
y
y
(Real P11)2
-0.5
-0.5
-1.0
-1.0 -0.5
0.0
x
0.5
-1.0
-1.0 -0.5
1.0
(Real P22)2
0.0
x
0.5
1.0
(Imag P22)2
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
y
y
151
-0.5
-0.5
-1.0
-1.0 -0.5
0.0
x
0.5
1.0
-1.0
-1.0 -0.5
0.0
x
0.5
1.0
³
³
´
´
|1| 2
|1| 2
Abbildung 3.2: Oben links: P1
cos2 φ ; Oben rechts:
P1
sin2 φ
³
³
´
´
|2| 2
|2| 2
; Unten links: P2
cos2 2φ ; Unten rechts:
P2
sin2 2φ. Alle Funk-
tionen sind in der Äquatorialebene , d.h. bei θ = π/2 oder cos θ = 0,
”
”
dargestellt.
Alle Aussagen bis jetzt sind unabhängig von der Wahl des Potenzials U (r)
unter bloser Annahme der sphärischen Symmetrie.
l nennt man die Drehimpuls-Quantenzahl und m ist dessen z-Komponente
auch Magnetquantenzahl genannt.
3.3
Coulomb-Potenzial – Das H Atom
Alle bislang gewonnen Ergebnisse waren unabhängig von der Form des Potenzials U (r). Bevor wir letzteres konkretisieren machen wir jedoch noch
einige allgemeinere Aussagen. Da der Radius r nie kleiner Null sein kann
muss man fuer die radiale WK-Amplitude verlangen
R(r = 0) =
½
< ∞ bei r = 0
0 für r < 0 .
(3.106)
152
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
Im Folgenden werden wir ansetzen R = v/r, für u muss u(0) = 0 gelten,
damit R nicht divergiert.
Für u kann man Analogien zu den 1D Problemen ziehen. Da das Potenzial U (r) verglichen zu 1D Beispielen einem zum Ursprung symmetrischen
Potenzial entspricht, für das allerdings gilt U (x → 0) → ∞. Von Paritätsuntersuchungen der SGL her wissen wir aber, dass aus der Symmetrie des
Potenzials folgt, dass es nur gerade bzw. ungerade WK-Amplituden ϕ(x) geben konnte und dass zum Grundzustand eine gerade WK-Amplitude gehört.
Dann folgten wechselseitig mit wachsenden Energien ungerade und ungerade
Funktionen – d.h. der erste angeregte Zustand war eine ungerade Funktion.
Für unsere Funktion u(r) kann das nur bedeuten, dass das Spektrum nur
mit dem ersten angeregten Zustand beginnen kann.
Nach diesen prinzipiellen Aussagen formen wir unsere radiale Ew-Gleichung
©
ª
K̂ R(r) = r2 2 m [E − U (r)] − p̂2r R(r) = ~2 l(l + 1) R(r) (3.107)
mit dem o.g. Ansatz R(r) = v(r)/r geeignet um. Nach hinreichender Rechnung – ausdifferenzieren, kürzen & zusammenfassen – erhält man die Differenzialgleichung








 ~ 2 d2

~2 l(l + 1)
−
v(r) = E v(r)
(3.108)
+
+
U
(r)


2m dr2
2m r2 {z


|
}




≡ Uef f (r)
für die Funktion v(r), die ebenso die Randbedingung erfüllen und normierbar
sein muss:
v(0) = 0
(3.109)
Z∞
v ∗ (r)v(r)
hml|mli hR|Ri =
= (v(r), v(r)) ≡ 1 . (3.110)
dr r2
| {z }
r2
≡1
0
Nach diesen Vorbetrachtungen wenden wir uns nun konkret dem CoulombPotenzial zu
U (r) = −
Zǫ2
r
mit ǫ =
e2
,
4πε0
(3.111)
wobei die Elementarladung mit e = 1, 6 · 10−19 As und die Dielektrizitätskonstante mit ε0 = 8, 86 · 10−12 As/Vm gegeben sind.
3.3. COULOMB-POTENZIAL – DAS H ATOM
153
Als nächstes werden wir aus den Quanten- bzw. atomaren Größen ~ =
1, 05 · 10−34 W s2 , e, m = me = 9, 11 · 10−31 kg (Ruhemasse des Elektrons)
dimensionslose Größen konstruieren, d.h. wir drücken dann alle Längen wie
den Radius durch eine dimensionslose Länge r = a0 r′ aus. Aus den gegebenen Grundgrößen kann man diese Länge als
a0 =
1
~2
≈ · 10−10 m
2
mǫ
2
(3.112)
den sogenannten Bohr’schen Wasserstoffradius finden. Die entsprechende
Energieskale liegt auf der Hand und ist
E0 =
ǫ2
≈ 27, 212 e V
a0
(3.113)
wobei E0 /2 die Rydberg-Einheit genannt wird. Nun drücken wir alle Längen
und Energien in diesen atomaren Einheiten aus
r = a0 r′
und
E = E0 E ′
(3.114)
wobei die gestrichenen Größen nun dimensionslos und von O(1) sind – d.h.
die irrwitzig kleinen Größen haben wir direkt eliminiert – wir bewegen uns
quasi in der Mikrowelt. Im Folgenden lassen wir der Einfachheit halber
die Striche weg, also: r′ → r und E ′ → E und beschränken uns auf das
Wasserstoffatom, also: Z = 1. Das heißt, im allgemeineren Fall sind die
Terme mit r−1 in nachfolgenden Gleichungen um den Faktor Z zu ergänzen.
Wir setzen die dimensionslose Längen und Energien in Gl. (3.108) ein, bezeichnen zudem noch die dimensionslose Energie mit E = −κ 2 /2, so dass
man erhält
½ 2
¾
d
l(l + 1)
2
2
−
+ −κ
v(r) = 0 mit κ 2 = −2E . (3.115)
dr2
r2
r
Diese Gleichung beschreibt die WK-Amplitude des Elektrons im Effektivpotenzial
Uef f =
1
l(l + 1)
−
2
2r
r
(3.116)
dessen Graph in Abbildung 3.3 für einige Werte von l = 0, 1, 2 dargestellt ist.
Dieses effektive Potenzial, welches sich wie in der Klassik aus Zentrifugalund Coulomb-Anteil zusammensetzt, hat bei rm = l(l + 1) ein Minimum,
dessen Tiefe mit Uef f = −1/(2rm ) gegeben ist.
154
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
1.0
Ueff(r)
0.5
0.0
-0.5
-1.0
2
4
6
8
10
12
r
Abbildung 3.3: Das Effektivpotanzial Uef f in atomaren Einheiten für die
Drehimpulseigenwerte l = 0 (gestrichelte Kurve), l = 1 (durchgezogen) und
l = 2 & 3 (Rest).
Wie auch bei den verschiedenen 1D Potenzialtöpfen haben wir gebundene
Zustände für E < 0 bzw. κ 2 > 0 – und damit einen Anteil mit diskreten
Ew’s – als auch Streuzustände für E > 0 bzw. κ 2 < 0 mit einem kontinuierlichen Spektrum.
Zunächst werden wir die gebunden Zustände/Wasserstoffatom mit
κ 2 > 0, d.h. das diskrete Spektrum, studieren.
Dabei ist zuerst das asymptotische Verhalten für r → 0 und r → ∞ von
Interesse:
Fall r → 0:
wofür gilt
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯
¯ l(l + 1) ¯
¯
¯ ≫ ¯2¯
¯r¯
¯ r2 ¯
und sich die Differenzialgleichung auf
r2 v ′′ (r) − l(l + 1) v(r) = 0
(3.117)
3.3. COULOMB-POTENZIAL – DAS H ATOM
155
reduziert, die mit dem einfachen Ansatz v(r) = rλ gelöst werden kann.
Ähnlich wie bei den Dgln. mit konstanten Koeffizienten gewinnt man eine
charakteristische Gleichung
λ(λ − 1) − l(l + 1) = 0 .
(3.118)
Deren Lösungen lauten λ1 = l + 1 sowie λ2 = −l, wobei der letzte Lösungszweig verworfen werden muss, weil er für r → 0 der Ansatz r−l divergiert.
Wir halten also fest: für die Asymptotik r → 0 erscheint ein Faktor
v(r → 0) = rl+1
(3.119)
für l ≥ 0 und l ∈ N .
Fall r → ∞: in dem die Terme r−1 & r−2 verschwinden, womit man die
Differenzialgleichung
v ′′ (r) − κ 2 v(r) = 0
(3.120)
erhält, die ebenso einfach mit dem üblichen Ansatz v(r) = eλr zu bewältigen
ist: ⇒ λ1/2 = ∓κ. Wegen der Normierbarkeit bleibt nur der Faktor
v(r → ∞) = exp(−κr)
(3.121)
übrig, so dass wir einen neuen Ansatz für die Funktion
v(r) = rl+1 f (r) e−κr
(3.122)
wagen, der nach einigen (mehr oder minder länglichen (Übung)) Rechnungen auf die Differnzialgleichung für f (r)
½ 2
µ
¶
¾
d
l+1
d
2
+2
−κ
+ [1 − κ(l + 1)] f (r) = 0
(3.123)
dr2
r
dr
r
führt. Eine erneute Transformation der unabhängigen Variablen ξ = 2κr
erhält man die charakteristische Differnzialgleichung für die Laguerre Polynome (in Übung erörtern).
Hier wählen wir wieder den altbewährten Potenzreihenansatz (der uns natürlich
auch auf die Laguerre Polynome führen muss)
f (r) =
∞
X
n=0
cn r n
.
(3.124)
156
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
Wir leiten diesen Ausdruck bis zur 2. Ordnung ab, verschieben Indizes und
erhalten für die einzelnen Terme
f (r) = c0 +
∞
X
cn r n = c0 + r
f ′ (r) =
n cn rn−1 =
∞
X
(n + 1) cn+1 rn =
n=0
n=1
= c1 + r
∞
X
(n + 1)cn+1 r
n−1
= c1 + r
f ′′ (r) =
n=2
∞
X
(n + 2)cn+2 rn
n=0
n=1
∞
X
cn+1 rn
n=0
n=1
∞
X
∞
X
n(n − 1) cn rn−2 =
∞
X
(n + 1)(n + 2) cn+2 rn .
n=0
Diese Ausdrücke – eingesetzt in die Differenzialgleichung (3.123) und nach
den jeweiligen Potenzen von rn geordnet (Übung), deren Koeffizienten sich
jeweils zu Null ergeben müssen – liefern die wichtige Rekursionsformel für
die Koeffizienten
cn+1 = −
2[1 − κ(n + l + 1)]
cn
2(n + 1)(l + 1) + n(n + 1)
.
(3.125)
Genau wie in den Fällen der hermiteschen Polynome, 1D harmonischer Oszillator, oder auch bei den Winkelanteilen/den zugeordneten Legendre Polynomen, muss jetzt die Normierbarkeit der Ansätze (3.122) & (3.124) mit
Rekursion (3.125) geprüft werden. Wieder interessieren dabei die Ordnungen n ≫ 1 – und für die erhalten wir die asymptotische Rekusionsformel
(Indexverschiebung nach unten n + 1 → n spielt für n → ∞ keine Rolle)
cn+1 →
cn ≈
2κ
cn−1
n
≈
2κ
n
(2κ)2
(2κ)n
cn−2 →
c0
n(n − 1)
n!
.
(3.126)
Die Form der Koeffizienten gehört zur Reihenentwicklung der Exponentialfunktion exp(2κr), die natürlich nicht normierbar ist. Wieder muss die
Reihe zu einem Polynom abgebrochen werden, d.h. für ein bestimmtes nr
und die korrespondierende Energie κ bricht die Reihe (3.124) ab:
1 − κ(nr + l + 1) = 0
⇒
κn =
1
1
=
nr + l + 1
n
.
(3.127)
3.3. COULOMB-POTENZIAL – DAS H ATOM
157
Auch hier liegt der Fall vor, dass die Normierung diskrete Energiewerte
En = −κ 2 /2 erzwingt. Machen wir unsere Skalierung in atomare Einheiten
rückgängig gewinnen wir die Ausdrücke für Energie, die von der Hauptquantenzahl n = nr + l + 1 abhängt:
Enr l = −
1
ǫ2
·
2a0 (nr + l + 1)2
bzw.
En = −
ǫ2
1
· 2 .
2a0 n
(3.128)
Damit sind wir praktisch am ersehnten Ziel der Beschreibung des WasserstoffAtoms, seiner drei Quantenzahlen: der Hauptquantenzahl n , der Drehimpulsquantenzahl l und der Magnetquantenzahl m — sowie der
Dazugehörigen Eigenfunktionen ϕm
nl ≡ |nlmi:
vnr l (ξ)
Ylm (θ, φ) .
r
Wir geben die ersten Funktionen vnl (r) an:
|nr l mi =
v10 =
v20 =
v30 =
v21 =
v31 =
v32 =
2 r −r/a0
e
,
√
a0 a0
µ
¶
1 r
2
r
√
1−
e−r/2a0 ,
a
2
a
3a0 0
0
"
µ ¶2 #
r
2 r
2
2
r
√
1−
+
e−r/3a0 ,
3 a0 27 a0
3 3a0 a0
µ ¶2
1
r
√
e−r/2a0 ,
24a0 a0
¶
µ ¶2 µ
1
1 r
8
r
√
1−
e−r/3a0 ,
27 6a0 a0
6 a0
µ ¶3
1
4
r
√
e−r/3a0 .
81 30a0 a0
(3.129)
(3.130)
Anhand der Rekursionsformeln (3.125) kann man sich alle radialen Eigenfunktionen selbst erzeugen (Übung).
Anstatt das hier zu exerzieren, verlieren wir lieber noch einige Worte über
die radialen Anteile der WK-Amplituden. Sie entstammen der Laguerrschen
Differenzialgleichung (3.123) (mit der Transformation ξ = 2κr), so dass
man die radial WK-Amplituden auch mit den zugeordneten Laguerrschen
Polynome schreiben kann
Rnl = Anl
vnl
= Anl (2κr)l L2l+1
n+l (2κn r) exp(−κn r) .
r
(3.131)
158
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
Die Normierung ergibt wie in allen anderen Fällen die Konstante zu (ebenfalls ! Übung !)
Anl =
Z∞
∗
Rnl
dr r2 Rnl
.
(3.132)
0
Man kann ähnlich wie bei Legendre Polynomen die Laguerreschen Polynome
über Rodrigues Formeln aus einer erzeugenden Funktion ableiten. Für die
einfachen Polynome findet man
Ln+l (x) = ex
dn+l ³ n+l −x ´
x
e
dxn+l
(3.133)
und die zugeordneten erhält man mit der Differenziation
(2l+1)
Ln+l (x) =
d2l+1
Ln+l (x)
dx2l+1
(3.134)
und kann sich so die in Gl. (3.131) angebenen Eigenfunktionen erzeugen.
Abgesehen von Kernkorrekturen (endliche Masse des Kerns ⇒ Bewegung um
den Schwerpunkt ~rs = mp~rp + me~re ) und Aufhebung der Entartung durch
ˆ
den Spin ~S des Elektrons (siehe nächster Abschnitt) hat sich die oben präsentierte Theorie des H-Atoms (oder einfacher Atome) hervorragend bewährt.
In der Tabelle 3.3 listen wir die verschiedenen Orbitale (s ⇔ l = 0, p ⇔ l =
1, d ⇔ l = 2, f ⇔ l = 3) und deren 2l + 1 Entartungen der Magnetquantenzahl m auf.
3.4. H - ATOM/UNGEBUNDENDE ZUSTÄNDE
159
Hauptquantenzahl n
Drehimpuls (s, p, d, f, ...)
Magnetquantenzahl m
Entartung (2l + 1)
n=1
l = 0 (s - Orbital)
m=0
1×
n=2
l = 0 (s)
l = 1 (p)
m=0
m = −1, 0, 1
l = 0 (s)
l = 1 (p)
l = 2 (d)
m=0
m = −1, 0, 1
m = −2, −1, 0, 1, 2
n=3
n=4
l=0
l=1
l=2
l=3
(s)
(p)
(d)
(f )
m=0
m = −1, 0, 1
m = −2, −1, 0, 1, 2
m = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
3.4
H - Atom/Ungebundende Zustände
3.5
Störungsrechnung – entartete Niveaus
Im Fall des Wasserstoffatoms haben wir nun Entartungen kennengelernt,
wie sie in Tabelle 3.3 zusammengetragen sind. Wir erinnern an die Ergebnisse der nichtentarteten Störungstheorie, bei der die Störungs Ord-
P
⇒ 4×
P
⇒ 9×
P
⇒ 16×
160
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
(p)
nungen der Zustände cij eindeutig von den dazugehörigen Energieniveaus
(0)
(0)
[(Ei − Ej )−1 ] und den Matrixelementen Hij′ der Störung bestimmt waren. Mit der Eindeutigkeit ist es hier vorbei – wie wir im letzten Abschnitt
kennengelernt haben, gehören zu einem konkreten Energiewert En die Zahl
(0)
von gn Zuständen, die wir hier mit φnν , ν = 1, 2, ..., gn , bezeichnen wollen.
Alle diese Zustände gehören zu ein und derselben Energie En und deshalb
tauchen in den Ausdrücken für die ε(p) und χ(p) (Gln.(2.177)-(2.182)) verschwindende Energienenner“ – also Singularitäten – auf.
”
Im vergangenen Abschnitt haben wir beim H-Atom
gn =
n−1
X
2l + 1
l=0
verschiedene Zustände |nr lmi ∝ Rnr l Ylm berechnet, deren Zahl man mit
obiger Tabelle leicht testet.
Die o.g. Energienenner“-Singularitäten stellen natürlich ein Problem dar
”
und es kommt noch schlimmer: Bei immer kleiner werdender Störung H ′
konvergieren die wahren Zustände φn nicht notwendiger Weise gegen den
(0)
zugrunde liegenden Zustand φnν , sondern gegen eine Linearkombination
φ̃(0)
=
n
gn
X
ν=1
aν φ(0)
nν =
gn
X
ν=1
aν |nνi
(3.135)
(0)
aus den zur Energie En gehörendem Satz von Funktionen.
Nun stellt sich in der Tat die Frage: Wie berechnen wir aus dem Spektrum
die Zustände? Nun – dafür nehmen wir zunächst an, dass die ungestörten
(0)
(entarteten) Zustände φnν orthonormiert seien
(0)
′
hφ(0)
nν |φnν ′ i = hnν|nν i = δνν ′
.
(3.136)
Hier habe ich in der Dirac - Schreibweise wieder den Subindex (0) weggelassen, weil
wir als solches nur die ungestörten Größen bezeichnen.
Um denselben Formalismus wie bei den nichtentarteten Spektren verwenden
(0)
zu können, brauchen wir genaue Kenntnis der Anschlussfunktionen φ̃n , d.h.
˜ gehört eine Energieder Koeffizienten aν . Zu jeder Anschlussfunktion |nνi
(1)
korrektur εnν , so dass nun die Entartung aufgehoben ist. Zur Berechnung
(0)
˜ und ε(1)
der φ̃nν = |nνi
nν (das Auftreten von zwei Indizes wird unten klar) setzen wir den Ansatz(3.135) in die Störungsgleichung erster Ordnung (2.168)
3.5. STÖRUNGSRECHNUNG – ENTARTETE NIVEAUS
161
ein und gewinnen
³
Ĥ0 − E
(0)
´
(1)
|χ
i =
gn ³
X
ν=1
´
ε(1) − Ĥ′ aν |nνi .
(3.137)
Wir wälzen von links, wie schon im Abschnitt 2.1.7, den dualen Zustand
hnν ′ |, beachten die Hermitizität, die die linke Seite zum Verschwinden bringt,
und erhalten schließlich das lineare Gleichungssystem
gn n
o
X
′
(1)
Hnν
aν = 0
′ ,nν − εn δνν ′
,
(3.138)
ν=1
welches aν die Koeffizienten und damit unsere gesuchten Anschlussfunktionen liefert. Hierbei sind wieder die Matrixelemente mit
′
′
′
Hnν
′ ,nν = hnν |Ĥ |nνi
(3.139)
definiert, genau wie vorher, nur jetzt mit Doppelindizes.
Die Lösbarkeitsbedingung für das homogene Gleichungssystem (3.138) ist
mit dem Verschwinden der Koeffizientendeterminante
n
o
′
(1)
det Hnν
= 0
(3.140)
′ ,nν − εn δνν ′
(1)
gegeben und sie liefert uns gn Eigenwerte εnγ zurück, mit γ ∈ (1, gn ). Jeder
(1)
dieser aufgespalteten“ Energieeigenwerte εnγ gehört zu einem vollständi”
gem Satz von Koeffizienten a1γ , ..., agn γ , der schließlich den gesuchten Zustand – die Anschlussfunktion –
˜
φ̃(0)
nγ = |nγi =
gn
X
ν=1
aνγ |nνi
(3.141)
definiert.
(1)
Bis hierher haben wir die Energiekorrekturen erster Ordnung εnγ als Lösung
der Säkulär- (Eigenwert)gleichung sowie die korrespondierenden Anschluss(0)
˜ gewonnen. Nun brauchen wir noch die Störzustände
funktionen φ̃nγ = |nγi
(p)
˜
χnγ , die mit Hilfe der eindeutigen Paare (entartungsfreier) Zustand |nγi
(1)
und der ersten Energiekorrektur εnγ ganz genauso berechnet werden, wie
bei dem nicht-entarteten Fall demonstriert wurde.
Zu diesem Zweck gehen wir wieder mit den neuen Funktionen in die Gleichung (3.137) unserer Störungshierarchie und alles läuft wie im nicht-entarteten Fall, nur dass in den entsprechenden Gleichungen (2.177) - (2.182)
162
KAPITEL 3. BAHNDREHIMPULS UND ZENTRALPOTENZIAL
für die Energiekorrekturen bzw. Entwicklungskoeffizienten die Indizes mit
(p)
(p)
n → nγ in εnγ bzw. χnγ ersetzt werden müssen – und statt natürlich nur
einer Summe, die Summe über beide zu erstrecken ist (Übung).
Es sei zu erwähnen, dass oben geschildertes Verfahren nur funktioniert, wenn
die Wurzeln der Säkulargleichung nicht mehrfach sind. In solchen Fällen sind
weitere Ansätze nötig, um auch diese Entartung aufzuheben.
Kapitel 4
Teilchen im
elektromagnetischen Feldern
4.1
Maxwell Gleichungen & Potenziale
Die 4 Maxwell’schen Gleichungen lauten (SI-System):
~ = ̺Q
∇·D
~ = 0
∇·B
;
(4.1)
~ = −B
~˙ ; ∇ ×~~H = ~j + D
~˙
∇×E
.
(4.2)
Diese vier Feldgleichungen werden durch die Materialgleichungen komplettiert
~ = ε ε0 E
~ ; ε0 (1 + χel )E
~
D
~ = µ µ0 H
~ ; µ0 (1 + χmag )H
~
B
(4.3)
,
(4.4)
wobei ε und µ die Dielektrizitätskonstante bzw. die Permiabilität sind. Die
Vakuum-Lichtgeschwindigkeit ist dann mit
c = √
1
ε0 µ0
(4.5)
gegeben. Die Suszeptibilitäten sind mit χel und χmag definiert.
~ [Gl. (4.1)] impliziert unmittelbar, dass
Die Quellfreiheit des Magnetfeldes B
~ die Rotation eines Vektorpotenzials
B
~ = ∇×A
~
B
ist.
163
(4.6)
164KAPITEL 4. TEILCHEN IM ELEKTROMAGNETISCHEN FELDERN
Die Induktionsgleichung liefert wiederum, dass
o
n
~ +A
~˙
= − ∇ × (∇Φ) = 0
∇× E
(4.7)
gelten muss.
Damit haben wir die Potenziale der Elektrodynamik gefunden
~ = ∇×A
~
B
³
´
~ = − ∇Φ + A
~˙
; E
.
(4.8)
Diese sind allerdings nicht eindeutig festgelegt, sonder können wie folgt modifiziert werden
~′ → A
~ − ∇f
A
; Φ′ → Φ − f˙ .
(4.9)
Daraus resultieren die wichtigsten Eichungen der Potenziale – die Coulombeichung
~ = 0
∇·A
(4.10)
~ + Φ̇ = 0 .
∇·A
c2
(4.11)
sowie die Lorenz-Eichung
Die Potenziale in die Maxwell-Gleichungen eingesetzt ergeben 2 partielle
Differenzialgleichungen/Wellengleichungen, die – je nach Verwendung von
Coulomb - oder Lorenz Eichung – unterschiedliche Gestalt haben, jedoch
den ursprünglichen Maxwell-Gleichungen (4.1)-(4.2) völlig äquivalent sind.
4.2
Die Schrödinger-Gleichung & e.-m. Felder
Nun zurück zur Schrödinger-Gleichung, die, beachtet man die Ersetzung der
Impulsoperatoren
ˆ − eA
ˆ → ~p
~
~p
nun die Gestalt annimmt
)
(
¶2
µ
∂Ψ
~
1
~
ı~
+ U (~r) + e Φ Ψ .
=
∇ − eA
∂t
2m ı
(4.12)
(4.13)
4.3. DER SPIN
165
Ausmultiplizieren der Klammer mit den Impulsoperatoren in (4.13) und die
Verwendung der Coulomb-Eichung ergibt
∂Ψ
=
ı~
∂t
½ 2
¾
~
ı~e ~
e2 ~ 2
∆+
A·∇ +
A + U (~r) + e Φ Ψ .
(4.14)
2m
m
2m
Als kleine Übung eignete sich die Berechnung des Einflusses eines konstanten
Magnetfeldes, dessen Potenzial als
~ = − 1 ~r × B
~
A
(4.15)
2
geschrieben werden kann, der letztlich z.B. zur Aufspaltung entarter Niveaus m, l zur Energie n−2 beim H-Atom führt.
4.3
4.3.1
Der Spin
Magnetisches Moment
Klassisch ist magnetische Dipolmoment (siehe Elektrodynamik)
e ˆ ˆ
~ˆ
~ˆ
r × ~p = µB L
M
L̃ = 2m~
µB
L̂z
M̂L,z
= −
~
~
mit dem Bohr’schen Magneton
(4.16)
(4.17)
|e|~
= 9, 274 · 10−24 A m2 .
(4.18)
2m
Ich habe hier schon bewußt Operatoren geschrieben, denn wir können direkt
die im letzten Kapitel berechneten Eigenwerte dafür einsetzen und haben
dann die Größen.
Legen wir ein magnetisches Feld an – ohne Einschränkung können wir wie
~ = B ~ez festlegen – so dass der Anteil des
üblich dessen Richtung in z, also B
magnetische Anteil des Hamiltonians und dessen Eigenwerte (mit L̂z ⇒ m)
lauten
~ˆ · B
~ = − M̂ ~ B = − µB B L̂z
Ĥmag = −M
(4.19)
L,z
~
Emag = µB m B .
(4.20)
µB =
166KAPITEL 4. TEILCHEN IM ELEKTROMAGNETISCHEN FELDERN
4.3.2
Der Stern-Gerlach Versuch
In diesem Experiment wurde versucht, das magnetische Moment von Atomen zu untersuchen. Man studierte einen Atomstrahl, der ein inhomogenes
Magnetfeld, ∂z B 6= 0, durchläuft. Die Kraftwirkung auf das einzelne Atom
ist dann gemäß der Hamiltongleichungen klassisch durch Beziehung
∂B
F~ = − ∇Hmag = −∇Emag = Mz
∂z
(4.21)
gegeben.
Gemäß der 2l + 1 Werte der Entartung der Atome (siehe Tabelle 3.3) sind
damit ebsoviele Linienaufspaltungen zu erwarten. Stern und Gerlach führten
den Versuch mit Edelmetall-Atomen – Silber – sowie auch mit H-Atomen
durch. Beiden Atomen ist gemein, dass sie nur s-Orbitale, also l = 0, besitzen. Man erwartete also gar keine Aufspaltung. Tatsächlich trat aber eine
doppelte Aufspaltung auf. Sie entsprachen einem magnetischen Moment
M̂~ˆ
S,z
= −
2µB
Ŝz
~
(4.22)
ˆ
mit dem Spinoperator ~S und dessen z-Komponente ŝz . Die dazugehörigen
Eigenwerte lauten sz = ±~/2 (Uhlenbeck - Goudsmit Hypothese).
Im klassischen kann man auch den Drehimpuls in einen Bahnanteil und
einen Spin zerlegen, aber letzterer hat etwas mit der endlichen Ausdehnung
eines makroskopischen Körpers und seiner Massenverteilung zu tun. Welche
Bedeutung haben letztere Größen für ein Elektron oder Proton, von denen
wir ganz und gar keine interne Information haben? Offenbar haben Stern
und Gerlach ganz prinzipielle Größen entdeckt, die den Elementarteilchen
(Fermionen) inhärent sind.
4.3.3
Eigenschaften des Spin
Im Folgenden haben wir den Gesamtdrehimpuls eines Elektronenzustands
als Summe von Bahndrehimpuls und Spin zu verstehen
ˆ
ˆ
~ˆ + ~S
~J
.
= L
(4.23)
Wir wissen, dass wir nach der Beabachtung 2 Spinzustände haben — Spin
”
up“ ~/2 mit der Spinquantenzahl mS = 1/2 und Spin down“ −~/2 mit der
”
4.3. DER SPIN
167
Quantenzahl mS = −1/2 — und wir schreiben die entsprechenden Eigen~ˆ auf
wertgleichungen analog zu denen des Drehimpulses L
Ŝz χ± = ~mS χ± = ±
ˆ2
~S
χ± = ~2 s(s + 1) χ±
~
χ±
2
3
= ~2 χ± .
4
(4.24)
(4.25)
Der Spin gehört ebenfalls zu den Observablen ⇒ reelle Ew’s, ONS, Vollständigkeit etc.... Es müssen neben den Vertauschungsrelationen bzgl. der Obser2
~ˆ und Ĥ auch die untereinander gelten
vablen L̂z , L
ˆ
[~S2 , Ŝz ] = 0 .
(4.26)
Auf die Vertauschungen der einzelnen Komponenten gehen wir später ein.
Zunächst kümmern wir uns um die Korrekturen und Konsequenzen, die der
Spin des Elektron z.B. im Zusammenhang mit einen homogenen, stationären
~ˆ hat. Wir haben hier offensichtlich die
Magnetfeld auf den Hamiltonian H
2 Spineigenzustände χ± — oft auch mit der Dirac-Notation | ↑i und | ↓i
bedacht — zu berücksichtigen. Wir weisen darauf hin, dass diese Zustände
keinesfalls vom Ort abhängen wie z.B. die bisher behandelte WK-Amplitude
ϕ(~r). Beides fassen wir nun zu dem erweiterten Zustand zusammen:
~ = Φ(~r) · χ(σ) =
Ψ
Φχ+ + Φ χ− = Φ+ + Φ−
hΦ+ |Φ+ i + hΦ− |Φ− i = 1
hχ+ |χ+ i = hχ− |χ− i = 1 ; hχ− |χ+ i = hχ+ |χ− i = 0 .
(4.27)
(4.28)
(4.29)
Wir werden sehen, dass die Spineigenfunktionen χ± (σ) Matrizen (2 × 1,
Vectoren) sind – entsprechend spin up“ und spin down“. Einen Spinzwi”
”
schenzustand kann man leicht durch Linearkombination gewinnen:
χ = a χ+ + b χ−
(4.30)
Wir werden sehen, dass die Spinoren wegen des Vektorcharakters der Spineigenfunktionen,
µ ¶
1
| ↑i = χ+ =
(4.31)
0
µ ¶
0
| ↓i = χ− =
(4.32)
1
168KAPITEL 4. TEILCHEN IM ELEKTROMAGNETISCHEN FELDERN
schreiben kann
~ =
Ψ
µ
Φ+
Φ−
¶
womit wir nun die erweiterte SGL aufschreiben können
½·
¾
¸
∂ ~
~2
µB ~ˆ ~ ~ˆ
µB ~ ~ˆ ~
ı~ Ψ =
−
∆ + U (~r) +
L·B I + 2 B·S Ψ
∂t
2m
~
~
(4.33)
(4.34)
ˆ
wobei ~I die 2 × 2 Einheitsmatrix ist und natürliche müssen dann die Komˆ
ponenten der Spinoperatoren ~S auch 2 × 2 Matrizen sein. Das werden wir
sofort sehen! Man kann nämlich den Spinanteil und den Ortanteil völlig voneinander getrennt betrachten (Separabilität), da die Spinfunktionen χ(σ)
in keiner Weise vom Ort ~r abhängen.
Lassen wir ein variables e.-m. Feld, charakterisiert durch die Potenziale
~ r, t), zu dann erhalten wir die Pauli–Gleichung für die zeitliche
Φ(~r, t) und A(~
Entwicklung der Spinoren:
¸
¾
½·
´2
∂ ~
1 ³ˆ
ˆ
ˆ
~
~
~
~
~p − eA + U + eΦ I + µB B · ~σ Ψ
ı~ Ψ =
(4.35)
∂t
2m
wobei wir hier schon einmal die berühmten Pauli-Spin Matrizen eingeführt
haben:
ˆ
ˆ = 2 ~S
~σ
.
~
(4.36)
In Gleichung (4.35) haben wir schon die kanoisch-konjugierten Impulseope¨ ˆ
~ die wir in dem Abschnitt
− eA,
ratoren durch die kinetischen ersetzt m~ˆr = ~p
bzgl. der quantenmechanischen Behandlung von Systemen in Anwesenheit
von elektro-magnetischen Feldern noch genauer behandeln werden.
Welche Gestalt und Eigenschaften diese Matrizenoperatoren haben wird Gegenstand des nächsten Unterabschnitts sein.
Vertauschungsregeln & Schiebe(Leiter)-Operatoren
~ˆ werden wir jetzt die VertauschungsreAnalog zum Drehimpulsoperator L
ˆ
geln, die Gestalt sowie die Eigenwertgleichungen des Spinoperators ~S betrachten. Es sei noch daran erinnert, dass sich die Analogien der Eigenˆ
~ˆ und ~S
(Uhlenbeck - Goudsmit - Hypothese) mit den
schaften von L
4.3. DER SPIN
169
Drehgruppen (Vorlesungsvertretung durch Carsten Henkel) begründen lassen. Plausibel kann man sich diese Analogie durch die Verwandschaft von
Drehimpuls und Spin machen – in der klassischen Mechanik sind es nur
verschiedene Darstellung ein und der selben Größe.
In der Formulierung von Uhlenbeck - Goudsmit hat der Spin kein klassisches Analogon!
Hier werden wir die Eigenschaften axiomatisch nach Uhlenbeck - Goudsmit einführen und alles Weitere daraus ableiten. Völlig analog zu den Ei~ˆ lauten die des Spin
genwertproblemen zu L
½
¾
½
¾
3 2
| ↑i
| ↑i
ˆ2
ˆ2
2
~S
~
χ± = S
= s(s + 1) ~ χ± = ~
(4.37)
| ↓i
| ↓i
4
½
¾
½
¾
~
~
| ↑i
| ↑i
(4.38)
= ± χ± .
Ŝz χ± = Ŝz
= ±
| ↓i
| ↓i
2
2
Der Eigenwert s = 1/2 ersetzt l und aus m~ wird nun ±~/2 — es existieren
also nur 2 Möglichkeitenden Spin in eine Richtung (wir wählen immer ~ez )
einzustellen – “Spin up” und “Spin down”.
Ich habe schon bewußt für beide Operatoren die gleichen Eigenzustände
χ+ = | ↑i = (1, 0)T bzw. χ− = | ↓i = (0, 1)T geschrieben, woraus man
~ˆ die Vertauscharkeit der z-Komponente des Spin
analog zu L
ˆ2
[~S , Ŝz ] = 0
(4.39)
mit seinem Betragsquadrat folgern kann.
Die beiden prinzipiellen Einstellungsmöglichkeiten χ+ = | ↑i und χ− = | ↓i
können nun mit Wichtungen zu einem gemischten Gesamtzustand superponiert werden
χ(σ) = a χ+ + b χ
bzw.
| i = a | ↑i + b | ↓i .
(4.40)
ˆ2
Wie sehen nun die Operatoren Ŝi bzw. ~S konkret aus. Die Matrizenform
ihrer gemeinsamen Eigenzustände (4.31) und (4.32) lassen 2 × 2 Matrizen
vermuten, die wir im Folgenden aus den Eigenwertproblemen (4.38) und
(4.37) ableiten.
Das Eigenwertproblem (4.37) lautet in Matrixform
¶µ ¶
µ
µ ¶
3 2
1
c d
1
ˆ2
~S
= ~
| ↑i =
(4.41)
0
e f
0
4
ˆ2
~S
| ↓i =
µ
c d
e f
¶µ
0
1
¶
3
= ~2
4
µ
0
1
¶
(4.42)
170KAPITEL 4. TEILCHEN IM ELEKTROMAGNETISCHEN FELDERN
woraus nach elementarer Auswertung der resultierenden Gleichungen folgt
¶
µ
3 2
1 0
ˆ2
~S
.
(4.43)
= ~
0 1
4
Analog verfahren wir mit der z-Komponente, die in Matrix-Form die Gestalt
hat
µ
¶µ ¶
µ ¶
1
g h
1
1
= ~
Ŝz | ↑i =
(4.44)
0
i j
0
2
Ŝz | ↓i =
µ
g h
i j
¶µ
0
1
¶
1
= − ~
2
womit man für die z-Komponente sofort erhält
µ
¶
~
1 0
Ŝz =
.
0 −1
2
µ
0
1
¶
(4.45)
(4.46)
Um die anderen beiden Kompenten Ŝx und Ŝy zu gewinnen benutzen wir
die Vertauschungsrelationen der Ŝi , die völlig analog zu denen des Bahn“”
Drehimpulse lauten:
[Ŝi , Ŝj ] = ı ~ εijk Ŝk .
(4.47)
Mit zyklischer Vertauschung gewinnt man die jeweils anderen ausstehenden
Relationen – insgesamt 3 an der Zahl.
Der nächste Schritt bei der Herleitung von Ŝx und Ŝy ist die Einführung
von Schiebe (Leiter)-Operatoren
Ŝ± = Ŝx ± ı Ŝy ,
(4.48)
deren Eigenschaften der Erhöhung und Erniedrigung der Ŝz Eigenwerte (oft
auch in Analogie zum Drehimpuls mit mS bezeichnet) im Folgenden für die
Berechnung der fehlenden Spin-Matrizen ausgenutzt wird.
Völlig analog zu den Operatoren L̂± können folgende Eigenschaften mit den
Vertauschungsrelationen durch einfaches Ausmultiplizieren und Ausrechenen leicht gezeigt werden:
i.)
[Ŝz , Ŝ± ] = ± ~ Ŝ±
(4.49)
4.3. DER SPIN
171
ii.)
[Ŝ+ , Ŝ− ] = 2 ~ Ŝz
(4.50)
ˆ2
iii.) wegen Vertauschbarkeit von Ŝi und dem Betragsquadrat ~S folgt
ˆ2
[~S , Ŝ± ] = 0
(4.51)
ˆ2
Ŝ+ Ŝ− = ~S + ~ Ŝz − Ŝ2z
(4.52)
iv.)
und unter Verwendung von Eigenschaft ii.) folgt sofort
ˆ2
Ŝ− Ŝ+ = ~S − ~ Ŝz − Ŝ2z .
(4.53)
Zunächts beantworten wir die Frage, welche Wirkung die Operatoren Ŝ± χ∓
haben.
Im Folgenden verwende ich nur noch die Bezeichnungen χ± als Synonym
für die Eigenzustände | ↑i bzw. | ↓i oder auch statt der entsprechenden Matrixdarstellungen. Ich möchte noch einmal betonen, dass alle Darstellungen
nur verschiedene Schreibweisen ein und desselben physikalischen Sachverhalts sind.
Um die Wirkung die Operatoren Ŝ± χ∓ zu bestimmen, bedienen wir uns der
Eigenschaft i.) womit wir erhalten
Ŝz Ŝ± χ∓ = Ŝ± Ŝz χ∓ ± ~ Ŝ± χ∓
~
= ∓ Ŝ± χ∓ ± ~ Ŝ± χ∓
2
(4.54)
wobei wir die Eigenwerte mS = ±~/2 eingesetzt haben. Zusammenfassend
können wir nun schreiben
·
¸
o
n
o
~ n
Ŝz Ŝ± χ∓ = ±~ ∓
(4.55)
Ŝ± χ∓
2
172KAPITEL 4. TEILCHEN IM ELEKTROMAGNETISCHEN FELDERN
wobei in den geschweiften Klammern die EF’s zu den um ±~ erhöhten/
erniedrigten Ew’s stehen, also erhält man die Wirkungen:
Ŝ− χ+ = C− χ−
;
Ŝ− χ− = 0
(4.56)
Ŝ+ χ− = C+ χ+
;
Ŝ+ χ+ = 0 .
(4.57)
Nun gilt es nur noch die Konstanten C± zu bestimmen. Die rechten Ausdrücke in Gln. (4.56) & (4.57) verschwinden, weil es über mS = ~/2 keinen
noch höheren Eigenwert gibt, Gleiches gilt für den niedrigsten mS = −~/2
– nur eben kann der nicht verringert werden. Also stellen die rechten Seiten
die Abbruchbedingungen für das Spinspektrum dar.
Die Eigenschaft iv.) auf einen Spinzustand angewendet und sich der entsprechenden Ew’s erinnert, ergibt
ˆ2
Ŝ− Ŝ+ χ− = ~S χ− − ~ Ŝz χ− − Ŝ2z χ−
·
¸
3 2
~2
~2
=
~ +
−
χ− = ~2 χ−
4
2
4
.
(4.58)
Allgemein kann man völlig analog zu den Beziehungen für den Drehimpuls~ˆ schreiben
operator L
½ 2 ¾
~
2
Ŝ∓ Ŝ± χ∓ = ~ [s(s + 1) − mS (mS ∓ 1)] χ∓ =
χ∓ , (4.59)
0
wobei hier die Ew’s simpel lauten: s = |mS | = 1/2. Die linke Seite von
(4.59) kann mit den Gln. (4.56)-(4.57) durch die Konstanten C± ausgedrückt
werden:
½ 2 ¾
~
C∓ C± χ∓ =
χ∓ ,
0
woraus folgt,
C± = ~ ,
(4.60)
so dass die Wirkung der Schiebeopatoren lautet
p
Ŝ± χ∓ = ~ s(s + 1) − mS (mS ∓ 1) χ± = ~ χ±
Ŝ± χ± = 0 .
(4.61)
(4.62)
Damit und mit den Definitionen der Schiebeoperatoren Ŝ± gewinnt man
deren Matrixdarstellungen
µ
¶
µ
¶
0 1
0 0
Ŝ+ = ~
; Ŝ− = ~
.
(4.63)
0 0
1 0
4.3. DER SPIN
173
Nun ist es nur ein Schritt, um zu den Operatoren Ŝx = (1/2)(Ŝ+ + Ŝ− )
und Ŝy = (1/2)(Ŝ+ − Ŝ− ) zu gelangen — nämlich einfach diese Matrizen
einzusetzen und auszurechnen, womit folgt
µ
µ
¶
¶
~
~
0 1
0 −ı
; Ŝy =
.
(4.64)
Ŝx =
1 0
ı 0
2
2
Nun können wir mit der Definition (4.36) die Pauli-Spinmatrizen explizit
formulieren
¶
¶
µ
¶
µ
µ
1 0
0 −ı
0 1
; σ̂z =
; σ̂y =
σ̂x =
(4.65)
0 −1
ı 0
1 0
die für die Zeitentwicklung der Spinoren, siehe Gln. (4.34) & (4.35), entscheidend sind.
Weiterführende Studien ranken sich um die Superposition von Drehimpulsen
a la Gl. (4.23) aber auch die Addition von den Gesamtdrehimpulsen
ˆ
ˆ
ˆ
~J
= ~J1 + ~J2 .
(4.66)
Kombinationen ihrer Eigenwerte & -funktionen
ˆ2
~J
i |l, m, χi = ji (ji + 1) |l, m, χi
Ĵiz |l, m, χi = mij |l, m, χi
(4.67)
(4.68)
führt zu den Clebsch-Gordon Koeffizienten. Der Satz gemeinsamer EF’s deuˆ2
tet auch hier wieder auf ein Satz von Observablen hin: Ĵz sowie ~J .
Bezüglich weiterer Details der Drehimpuls-Superposition verweisen wir auf
die Literatur (z.B. Schwabl).
174KAPITEL 4. TEILCHEN IM ELEKTROMAGNETISCHEN FELDERN
Kapitel 5
Mehrteilchensysteme
5.1
Schwerpunkt- & Relativbewegung
Zunächst betrachten wir 2 identische Teilchen ohne Spin, d.h. der Massen
sind gleich m1 = m2 + m und deren WK-Amplitude hat die folgende Gestalt
Ψ(~r1 , ~r2 , t) .
(5.1)
Die Dynamik ist natürlich mit der SGL
∂Ψ(~r1 , ~r2 , t)
ˆ , ~r1 , ~r2 )Ψ(~r1 , ~r2 , t)
ˆ , ~p
= Ĥ(~p
2
1
∂t
mit dem Hamiltonian
ı~
Ĥ = −
~2
(∆1 + ∆2 ) + U (~r1 , ~r2 )
2m
(5.2)
(5.3)
beschrieben.
Die WK das Teilchen 1 im Volumen d3~r1 um den Ortsvektor ~r1 und gleichzeitig das Teilchen 2 im Volumen d3~r2 um den Ortsvektor ~r2 anzutreffen
ist
dp = |Ψ(~r1 , ~r2 , t)|2 d3~r1 d3~r2
und folglich lautet die Normierung
Z
d3~r1 d3~r2 Ψ∗ Ψ ≡ 1 .
(5.4)
(5.5)
Im Falle, dass der Hamiltonian nicht explizit von der Zeit abhängt, kann
wieder die Zeitabhängigkeit separiert werden
µ
¶
Et
Ψ(~r1 , ~r2 , t) = ϕ(~r1 , ~r2 ) exp −ı
(5.6)
~
175
176
KAPITEL 5. MEHRTEILCHENSYSTEME
womit man die auf die stationäre SGK geführt wird
(∆1 + ∆2 ) ϕ(~r1 , ~r2 ) =
2m
{U (~r1 , ~r2 ) − E} ϕ(~r1 , ~r2 ) .
~2
(5.7)
In vielen Anwendungsfällen ist das Potenzial nur vom Abstand beider Teilchen U (|~r1 − ~r2 |) bestimmt, was sofort die Aufspaltung des quantenmechanischen Problems in Schwerpunkt- & Relativkoordinaten
~r = ~r1 − ~r2
; ~rS =
1
m1~r1 + m2~r2
= (~r1 + ~r2 )
m1 + m2
2
(5.8)
mit der Rücktransformation
µ
1
~r = ~rS + ~r
m1
2
µ
1
= ~rS −
~r = ~rS − ~r
m2
2
~r1 = ~rS +
~r2
(5.9)
(5.10)
mit der Effektivmasse µ = m1 m2 /(m1 +m2 ). Für die Impulseoperatoren des
Schwerpunkts und der Relativbewegung gilt analog zur Klassik
ˆ
ˆ
ˆ = m2 ~p1 − m1 ~p2
~p
m1 + m2
=
´
1 ³ˆ
ˆ
~p1 − ~p
2
2
ˆ ,
ˆ + ~p
ˆ
~p
p
2
1
S = ~
(5.11)
(5.12)
wobei die rechten Ausdrücke für den hier relavanten Spezialfall m1 = m2 =
m stehen.
Völlig analog zur Klassik impliziert die Energieerhaltung, dass
Ã
!
ˆ2
ˆ2
ˆ2
ˆ2
ˆ2
~p
~p
~p
~p
~p
1 ˆ2
2
S
S
1
~p +
+
=
+
=
(5.13)
2m1
2m2
2µ
2(m1 + m2 )
m
4
gelten muss. Gemäß dem Korrespondenzprinzip haben wir wieder zu setzen
ˆ = ~ ∇~r
~p
ı
ˆ = ~ ∇~r
; ~p
S
S
ı
womit dann die SGL (5.7) die Gestalt
µ 2
¶
~
1
− ∇~r + U (~r) − E ϕ =
∇~r ϕ
2µ
2M S
(5.14)
(5.15)
annimmt – für identische Teilchen setze µ = m/2 und M = m1 + m2 = 2m.
5.2. PERMUTATIONEN – FERMIONEN – BOSONEN
Wieder ist die Wellenfunktion mit dem Ansatz
´
³
ϕ = exp ı~kS · ~rS Φ(~r)
177
(5.16)
separierbar und man erhält die SGL für die Relativbewegung eines Teilchens
mit der Effektivmasse µ und der Gesamtmasse des Systems M
Ã
!
¾
½ 2 2
~2~kS2
~ ∂
+ U (r) Φ =
E−
Φ = Ẽ Φ ,
(5.17)
−
2µ ∂~r2
2M
wobei Ẽ = E − ~2~kS2 /(2M ) die Energie der Relativbewegung ist.
Wir können der Einfachheit annehmen, dass der Schwerpunkt ruhen möge,
~k 2 → 0 und Ẽ → E – womit wir dann im Beispiel des Zentralpotenzials (H
S
- Atom) wieder exakt das gleiche Einteilchenproblem vorliegen haben, nur
mit dem Unterschied, dass die Elektronenmasse me durch die Effektivmasse
(mit der Protonenmasse mp ≈ 1836me ) ersetzt werden muss
µ =
me mp
= 0.999533me .
me + mp
(5.18)
Die Kernkorrekturen bei den Energienivieaus sind klein – Promille – jedoch
sehr wohl meßbar.
5.2
Permutationen – Fermionen – Bosonen
Zunächst betrachten wir zur Illustration wieder ein Zweiteilchensystem mit
den orthogonalen Einzelzuständen Ψa (i) und Ψ(j) wobei das Argument i ≡
~ri χi auf das i-te Teilchen am Ort ~ri mit der Spinvariable χi = | ↑ii oder
χi = | ↓ii hindeutet.
Hätten wir nicht quantenmechanische Tatsachen – nämlich Ununterscheidbarkeit – zu beachten sähe die kombinierte WK-Amplitude wie folgt aus
Ψ(1, 2) = Ψa (1)Ψb (2) .
(5.19)
Das würde eindeutig benennen: Teilchen 1 im Zustand a und das andere in
b. Nun können wir aber bei Quantensystemen keinewegs sagen, welches nun
genau wo ist, sondern nur dass beide mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit entweder in a oder b anzutreffen sind. Um dieser Ununterscheidbarkeit
Ausdruck zu verleihen, muss die Kombination
1
Ψ(1, 2) = √ {Ψa (1)Ψb (2) ± Ψa (2)Ψb (1)}
2
(5.20)
178
KAPITEL 5. MEHRTEILCHENSYSTEME
angesetzt werden. Die Wahl des Vorzeichens spielt keine Rolle, denn die Orthogonalität der Zustände a und b erzwingt das Verschwinden der gemischten Zustände. Denn bilde ich aus den Wk-Amplituden die Wahrscheinlichkeiten erhalten wir
h1, 2|1, 2i =
1
hΨa (1)Ψb (2) ± Ψa (2)Ψb (1)|Ψa (1)Ψb (2) ± Ψa (2)Ψb (1)i =
=
2
= ha1 b2 |a1 b2 i ± ha1 b2 |a2 b1 i ± ha2 b1 |a1 b2 i + ha2 b1 |a2 b1 i =




1
ha1 |a1 ihb2 |b2 i ± ha1 |b1 ihb2 |a2 i ± ha2 |b2 ihb1 |a1 i + ha2 |a2 ihb1 |b1 i
=
=
{z
} |
{z
} |
{z
} |
{z
}
2 |
≡1
≡0
≡0
≡1
1
1
(ha1 |a1 ihb2 |b2 i + ha2 |a2 ihb1 |b1 i) = (1 + 1) ≡ 1 .
(5.21)
=
2
2
Wobei es unerheblich, ob ich das negative oder das positive Vorzeichen nehme, die Normierung passt – beides sind gleichberechtigte ununterscheidbare
Zweiteilchen-Zustände. Für beide gelten die Vertauschungsrelationen
Ψ(1, 2) = ± Ψ(2, 1) ,
(5.22)
d.h. wir haben es prinzipiell mit symmetrischen oder antisymmetrischen
WK-Amplituden zu tun.
Nun kann man aus der relativistischen Quantenmechanik folgern, dass für
Teilchen mit ganzzahligem Spin (s = 0; 1; 2; ...) das positive Vorzeichen zu
nehmen ist – das sind Bosonen – und dass entsprechend für solche mit
halbzahligem Spin (s = 1/2; 3/2; ...) das negative gilt – es handelt sich um
Fermionen.
Von der Warte der nichtrelativistischen Quantenmechanik sind diese beiden
Möglichkeiten axiomatisch zu verstehen.
Das Pauli-Prinzip: Es ist unmöglich 2 Fermionen in ein und denselben
Quantenzustand vorzufinden, d.h. sie können nicht in allen Quantenzahlen
übereinstimmen. E smuss z.B. wenigstens die Spinvariable unterschiedlich
sein ⇒ dann können die beiden Fermionen in n, l, m übereinstimmen, nur
ihre Spins müssen verschieden sein.
Im oben geschilderten Bild ist das recht einfach zu verdeutlichen. Befinden
sich die beiden Fermionen [es gilt also das Minuszeichen in Gl. (5.20)] im
Zustand indiziert mit a dann haben wir offensichtlich
1
Ψ(1, 2) = √ {Ψa (1)Ψa (2) − Ψa (2)Ψa (1)} ≡ 0 ,
(5.23)
2
5.2. PERMUTATIONEN – FERMIONEN – BOSONEN
179
d.h. die WK-Amplitude dieses Zustandes ist Null – m.a.W. dieser kann gar
nicht existieren. Das entspricht dem Inhalt des Pauli-Prinzips.
Wenden wir uns einem Beispiel zu: ⇒ 2 unkorrelierte Quantenteilchen
im 1D-Potenzialkasten. Die Einteilchenlösung lautete
Ψn (x, t) =
kn =
µ
¶
µ
¶
En
En
sin (kn x) · exp −ı t
= ϕ(x) · exp −ı t (5.24)
~
~
2
2
nπ
k ~
; En = n 2 1
= n 2 E0
(5.25)
a
2m
2
a
Die unterscheidbare 2-Teilchen WK-Amplitude lautet nach oben Gesagtem
ϕn1 n2 (x1 , x2 ) = ϕn1 (x1 ) ϕn2 (x2 )
¢
¡
En1 +n2 = n21 + n22 E0 ,
(5.26)
(5.27)
und damit ist der Grundzustand
ϕ11 =
2
sin(k1 x1 ) sin(k1 x2 )
a
; E11 = 2E0
(5.28)
sowie die angeregten Zustände
ϕ12 =
ϕ21 =
2
sin(k1 x1 ) sin(k2 x2 ) ; E12 = 5E0
a
2
sin(k2 x1 ) sin(k1 x2 ) ; E21 = 2E0
a
(5.29)
.
(5.30)
Somit sind diese beiden Zustände entartet – sie besitzen die gleiche Energie.
Wie sieht es in diesem Beispiel mit den ununterscheidbaren Zuständen aus
ϕij
Eij
2
[sin(ki x1 ) sin(kj x2 ) ± sin(ki x2 ) sin(kj x1 )]
¡a 2
¢
= i + j 2 E0 .
∝
(5.31)
(5.32)
Während bei Bosonen ebenfalls der Grundzustand i = j = 1 mit E11 = 2E0
existiert, ist dieser bei Fermionen nicht existent, denn es gilt ϕ11 ≡ 0.
Selbiges gilt auch allgemein für alle i = j > 1 Entartungen — die sind bei
Fermionen wegen des Pauli-Prinzips ausgeschlossen.
180
5.2.1
KAPITEL 5. MEHRTEILCHENSYSTEME
N-ununterscheidbare Teilchen/Permutationen
Gegeben seien N Teilchen, die von dem Hamiltonian
ˆ , 1, 2, ..., N )
ˆ , ..., ~p
ˆ , ~p
Ĥ = Ĥ(~p
N
2
1
(5.33)
bestimmt werden und durch die WK-Amplitude
Ψ = Ψ(1, 2, ..., N ) .
(5.34)
Wir führen den Permutationsoperator ein, dessen Wirkung durch die Beziehung
P̂ij Ψ(..., i, ..., j, ...) = Ψ(..., j, ..., i, ...)
(5.35)
definiert ist. Offensichtlich ist auch, dass zweifache Anwendung von P̂2ij → 1
nichts bewirkt. Damit können die Ew’s als Phasenfaktor geschrieben werden
P̂ij Ψ(..., i, ..., j, ...) = eiξ Ψ(..., i, ..., j, ...) = ± Ψ(..., i, ..., j, ...) . (5.36)
Man sieht hier, dass die EF’s von P̂ij und Ĥ die gleichen sind. Das ist leicht
einzusehen, denn unter der Voraussetzung, dass das Potenzial nur von den
Interpartikelabständen bestimmt wird U (|~ri − ~rj |), womit gilt
ˆ2
X ~p
i
+ U (|~ri − ~rj |) ,
Ĥ =
2m
i
vertauschen der Hamiltonian und der Permutationsoperator
[P̂ij , Ĥ] = 0 .
(5.37)
Damit wäre im Spezialfall von 2 Teilchen hinreichend begründet, warum
nur die symmetrische bzw. antisymmetrische Kombination die tatsächliche
Lösung des Problems sind, denn die Ψ(ij) sind sowohl EF’s des Permutationssowie des Hamiltonoperators. Obgleich die unterscheidbare Variante Lösung
(symmetrisch) die SGL (das Energie EW-Problem) befriedigt, kombiniert
diese nicht mit den EF’s des Permutationsoperators, d.h. es ist zwingend
notwendig symmetrische und antisymmetrische Kombinationen zu kreieren,
um einen Satz von gemeinsamen Eigenfunktionen zu erzeugen.
Für 2 Teilchen ist es sehr einfach diese Kombinationen zu finden, wir haben
sie oben schon genannt. Wie sehen diese für Bosonen und Fermionen aus?
5.2. PERMUTATIONEN – FERMIONEN – BOSONEN
181
Dafür wollen wir zunächst einmal die Eigenschaften beider Sorten noch einmal zusammentragen:
Bosonen: In jedem Energieniveau Ei können sich beliebig viele Bosonen befinden. Für sehr niedrige Temperaturen kann es sogar eine Auskondensation aller/der meisten Teilchen in den Grundzustand geben – BoseEinsteinKondensation (siehe Spahn-Skript Statistische Phusik & Thermo”
dynamik“ ⇒ Heimseite).
Fermionen: In jedem Energieniveau Ei kann jeweils nur ein (bzw. 2, wenn
Spin berücksichtigt) sitzen.
Diese Eigenschaften berücksichtigend, wenden wir uns zunächst den vollständig
symmetrischen Bosonen-WK Amplitude für N -Teilchen zu
v
u
X
1
ϕS (1, ..., N ) = u
P̂ ϕα1 (1) · ϕα2 (2)...ϕαN (N )
(5.38)
t Q
N ! Nj !
P
j
wobei die Ni die Vielfachheit darstellt, d.h. Ni mal tauchen gleiche Energieniveaus/Zustände α1 = αn = α..... M. a. W. N1 Teilchen sitzen im Zustand
|1i, Nk im Zustand |ki u.s.w. Es sind zusätzlich noch folgende Nebenbedingungen mit zu berücksichtigen
X
X
N =
Nj ; E =
Nj ǫj .
(5.39)
j
j
Der Vorfaktor kann wie folgt verstanden werden. Haben wir z.B. N1 , N2 , ..., NN
Vielfachheiten
können wir in der Summe über alle möglichen Permutationen
Q
von N !/ Ni ! ausgehen, die aber natürlich wegen der Ununterscheidbarkeit
i
alle nur wie einer zählen. Die Wurzel erscheint deshalb, weil ja richtige Wahrscheinlichkeiten erst durch das Produkt ϕ∗S ϕS entstehen.
Mit der vollständigen asymmetrischen WK-Amplitude der Fermionen haben
wir es einfacher, für alle Teilchen gilt aus dem Pauli-Prinzip N1 = N2 = ... =
NN = 1, so dass wir erhalten
r
1 X
P̂ ϕα1 (1) · ϕα2 (2)...ϕαN (N ) .
(5.40)
ϕA (1, ..., N ) =
N!
P
Man kann diese Kombination auch mit der Slater-Deteminante darstellen,
die diese Asymmetrie gut veranschaulicht
¯
¯
¯ ϕα (1) · · · ϕα (N ) ¯
1
1
¯
¯
1 ¯
¯
.
.
.
.
√
ϕA (1, ..., N ) =
(5.41)
¯
¯ .
.
.
¯
¯
N! ¯
¯
ϕαN (1) · · · ϕαN (N )
182
KAPITEL 5. MEHRTEILCHENSYSTEME
In der statistischen Physik werden die Eigenschaften der verschiedenen Quantenteilchen eine entscheidende Rolle spielen, denn sie beeinflussen wesentlich
die Entropie
S = kB ln W
(5.42)
über das statistische Gewicht W . Teilen wir das fast kontinuierliche Spektrum einer großen Zahl N von Teilchen in k Intervalle mit der Energie Ēk
auf, in denen dort immer noch gk Niveaus liegen mögen, dann lautet das
statistische Gewicht für
Bosonen:
W =
Y (nk + gk − 1)!
nk !(gk − 1)!
(5.43)
Y
(5.44)
k
Fermionen:
W =
k
gk !
nk !(gk − nk )!
Mit diesen Ausdrücken variiert man die Entropie S inklusive ihrer NB’s
(5.39)
!
Ã
X
X
= 0 ,
(5.45)
δ S+µ
Ni + β
Ni ǫi
i
i
nach den Bestzungszahlen ni , die letzlich meine Verteilung darstellen.
Das Resultat ist für die Einzelniveaus
(
1
(Bose & Fermi)
−1
exp
βεi ∓1
λ
F
(5.46)
n̄p~ =
λF exp −βεi (Maxwell-Boltzmann)
wobei λF = exp(βµ) die Fugazität ist.
Literaturverzeichnis
183
184
LITERATURVERZEICHNIS
Abbildungsverzeichnis
1.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2
Die Kurven zeigen die verschiedenen Strahlungsgesetze: gestrichelt jenes von Rayleigh-Jeans (∝ ω 2 ), gültig für ω → 0
und das von Wien, welches korrekte Werte für große ω liefert.
Das Planck’sche Strahlungsgesetz, welches beide Extreme vereint, ist die solide Kurve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Zur Freisetzungsenergie Elib = Φ + EB eines Elektrons in einem Metall. Die Fermi-Energie (-kante) ist EF = −Φ und
mit EB ist der energetische Abstand des Elektrons unter der
Fermikante bezeichnet. Die kinetische Energie des Photoelektrons nach Freisetzung ist Ekin , so dass ein Photon der Energie ~ω = Elib + Ekin vonnöten ist, um das oben dargestellte
Photoelektron zu produzieren. . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Die Abhängigkeit der Grenzspannung Ugr (ω) von der Energie (Frequenz ω) des Lichts (beides in willkürlichen Einheiten). Aus dem Anstieg der Messkurve kann man auf das
Planck’sche Wirkungsquantum ~. Der Schnittpunkt mit der
x-Achse Ugr = 0 = ~ ωlib markiert die Energie, die das Photon
haben muss, um ein Elektron aus dem Metall zu lösen. . . .
37
Schematische Darstellung zum Compton-Effekt, dem Stoß
von Photonen ~~k an ruhenden Elektronen mit der Ruhenergie
E0 = me c2 . Das einfallende (~~k) und gestreute Photon (~~k ′ )
ist mit gestrichelten Linien gekennzeichnet, wohingegen das
gestoßene“ Elektron (~
p′ ) durch den soliden Pfeil dargestellt
”
ist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.3
1.4
1.5
1.6
Doppelspaltexperiment zum Nachweis der Elektronenbeugung.
43
185
186
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
1.7
1.8
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Beitrag aller Pfade zur quantenmechanischen Wahrschein”
lichkeitsamplitude“. Die wahre Trajektorie soll die waagerechte rote fette Linie darstellen, für die die Wirkung ja ein Minimum haben muss δW = 0 und somit konstant ist. Für alle
anderen Trajektorien wird δW =
6 0 entsprechend der Abweichungen δxi von der klassichen Trajektorie variieren. Enscheidend ist, ob es sich um eine klassisches (W ≫ ~) oder eine
quantenmechanisches System (W >& ~) handelt. Die Summe der von der klassischen Trajektorie abweichenden Einzelpfade Ψi ∝ exp {ıW/~} werden sich für eine klassisches
System auslöschen, da jede Variation der Bahn große Änderungen in der Phase der Wellenfunktionsbeiträge δW/~ ≫ 1
nach sich ziehen (s. Text). Bei Quantensystemen ist hingegen
δW ≈ O(~) und benachbarte Pfade liefern Beiträge, eben
wegen der Unbestimmtheit von Orten und Impulsen. . . . .
Die Amplitude des Wellenpakets (1.177) für die Werte ∆k =
1. Die Ausdehnung des Wellenpakets kann mit ∆x = 2π/∆k
beziffert werden, wie man deutlich in dem Graphen erkennen
kann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
57
Illustration der Selektion der Eigenlösungen, die im Falle gebundener Zustände nur fürRbestimmte diskrete Eigenwerte Ei
normierbare EF’s liefern: dx |ϕi (x)|2 = 1 . Passen die Werte Ea/b nicht, führt die Krümmung E − U zu divergierenden
EF’s ϕa/b (Eigenfunktionen rechts oben und links unten). . . 87
Potenzialverläufe für die Fälle (B) und (C). . . . . . . . . . . 88
Der unendlich hohen Potenzialkasten. . . . . . . . . . . . . . 89
Links: Das eindimensionale Rechteckpotenzial. Rechts: Der
rechteckige Potenzialtopf. Das Elektron möge sich aus Richtung x = −∞ mit der Energie E der Barriere/dem Topf
nähern. Die Barriere/der Topf teilt die x-Achse in drei Regionen: I und III in denen sich das Teilchen frei U (x) = 0
bewegen kann und das Gebiet II in dem die Barriere energetisch höher ist als die kinetische Energie des Elektrons. Im
Fall des Topfes ist in allen Gebieten das Elektron frei beweglich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Als Beispiel für ein periodisches Potenzial: U (x) = cos(2x). . 99
Illustration der erlaubten und unerlaubten Energiebänder. . 105
Schematische Darstellung des Beispiel-Potenzials U (x). . . . 106
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
187
2.8
Die Bänderstruktur des Kasten-Potenzials (2.101) für das
geometrische Verhältnis a/b = 30. Links: Die Bänder für
Energien, die kleiner als U0 = 1 sind; Rechts: Gleiches für
Energien E ≥ U0 = 1. Für die Breite der Barriere ist b = 1
gesetzt und die Energieeinheit ist als ~ω = 1 gesetzt, d.h. wir
haben willkürliche Skalierungen für die Energien und auch für
die Längenskalen ξ = x für diesen Plot gewählt. Die Größe
des Potenzials U0 ist durch die dünne vertikale Linie markiert.
Die verbotenen Bereiche kann man an den abgeschnittenen
Bereichen der sonst glatten Funktion F (E) erkennen. Durch
dünne gestrichelte Linien sind die abgeschnittenen, d.h. verbotenen Energiebereiche gekennzeichnet. Man erkennt auch,
dass hin zu höheren Energien die verbotenen Zonen immer
schmaler und spärlicher werden, bis jenseits von E > 3 nahezu Verhältnisse freier Teilchen vorliegen. . . . . . . . . . . . 108
2.9 Entwicklung eines Realpotenzials in der Nähe eines lokalen
Minimums bei x = x0 . Der quadratische Term der Entwicklung ist durch die gestrichelte Kurve gekennzeichnet. . . . . 110
2.10 Die ersten drei EF’s, ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , des harmonischen Oszillators
(gestrichelte Linie) sowie das Potenzial für die artifiziellen
Werte m = ~ = ω = 1. Die drei Energieeigenwerte (En =
(n + 1/2) für n = 0, 1, 2) sind als dünne horizontale Linien
dargestellt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1
3.2
3.3
Die ersten vier Grade der axialsymmetrischen zonalen Kugelfunktionen in polarer Darstellung. . . . . . . . . . . . . . . . 150
³
³
´
´
|1| 2
|1| 2
Oben links: P1
cos2 φ ; Oben rechts:
P1
sin2 φ ;
³
³
´
´
|2| 2
|2| 2
Unten links: P2
cos2 2φ ; Unten rechts:
P2
sin2 2φ.
Alle Funktionen sind in der Äquatorialebene , d.h. bei θ =
”
”
π/2 oder cos θ = 0, dargestellt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Das Effektivpotanzial Uef f in atomaren Einheiten für die Drehimpulseigenwerte l = 0 (gestrichelte Kurve), l = 1 (durchgezogen) und l = 2 & 3 (Rest). . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
188
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
Tabellenverzeichnis
189