4. GR ¨OSSENORDNUNGEN VON FUNKTIONEN (Landau

4. GRÖSSENORDNUNGEN VON FUNKTIONEN
(Landau-Notation)
Die O-Notation (groß- O“ Notation):
”
Wir betrachten zwei Funktionen f (x), g(x) mit x > 0 und Werten
in den reellen Zahlen. Wir schreiben
f (x) = O(g(x))
für x → ∞
falls f (x) für große Werte von x von der Größenordnung her g(x)
nicht übersteigt.
f wächst nicht schneller (bzw. fällt nicht langsamer) als g“.
”
Mathematisch ausgedrückt:
Es gibt für die beiden Funktionen eine Konstante c > 0, so dass
|f (x)| ≤ c · |g(x)|
gilt, wenn x nur ausreichend groß ist.
Dahinter steckt die Überlegung, dass durch Multiplikation mit
einer Konstanten c > 0 eine Funktion in ihrer Größenordnung
unverändert bleibt.
Beispiel: Es gilt 2x + 1 = O(x) für x → ∞,
da 2x + 1 ≤ 3x für x ≥ 1.
Obige Bedingung ist mit c = 3
für x ≥ 1 erfüllt.
Beispiele: Größenordnungen für x → ∞.
1. 2x3 + 3x2 = O(x3) (betrachte c = 5 und x ≥ 1).
Regel: Bei Potenzen dominieren für x → ∞ die Terme mit den
höchsten Exponenten.
x3 +x
2. x4−2 = O(x−1) (betrachte c = 4 und x ≥ 2).
3. xm = O(exp(x)) für jede natürliche Zahl m (betrachte c = m!
und x ≥ 0).
P∞
m
Denn: x /m! ≤ n=0 xn/n! = exp(x).
4. ln x = O(x1/m) für jede natürliche Zahl m.
Ersetze im letzten Beispiel x durch ln x und ziehe die m-te
Wurzel.
5. Ein wichtiger Spezialfall:
f (x) = O(1) bedeutet, dass f (x) für große x beschränkt bleibt,
dass also |f (x)| ≤ c für ein c > 0, falls x ausreichend groß ist.
(Hier steht 1 für die Funktion g, die den festen Wert 1 hat.)
6. z.B.: x+1
x = O(1), sin(x) = O(1)
Eine wichtige Rechenregel:
f1(x) = O(g(x)) , f2(x) = O(g(x))
⇒
f1(x) + f2(x) = O(g(x))
Denn aus |f1(x)| ≤ c1|g(x)| und |f2(x)| ≤ c2|g(x)| folgt
|f1(x) + f2(x)| ≤ (c1 + c2)|g(x)|.
Beispiele. x + 2 exp(x) = O(exp(x)), x + ln x = O(x) für x → ∞.
Wir haben gesehen: x = O(exp(x)) und ln x = O(x).
Das gibt aber noch ungenaue Vorstellungen:
exp(x)
x
ln x
2,78
1
0
2, 2 · 104
10
2,3
5 · 1011
20
3,0
5 · 1021
50
3,9
2, 7 · 1043
100
4,6
1, 4 · 10217
500
6,2
Die Geschwindigkeit des Wachstums von exp(x), x und ln x ist
höchst unterschiedlich! Um Größenordnungen noch genauer zu
unterscheiden, eine weitere Definition:
Die o-Notation (klein- o“ Notation):
”
Für zwei Funktionen f (x), g(x), x > 0, schreiben wir
f (x) = o(g(x))
für x → ∞
falls g(x) für große Werte von x von kleinerer Größenordnung ist
als f (x).
f entfernt sich weniger schnell von 0, oder geht schneller gegen
”
0 als g“, kurz
f ist klein im Vergleich zu g“
”
Mathematisch ausgedrückt:
Gleichgültig, wie man die Konstante c > 0 wählt, die Ungleichung
|f (x)| ≤ c · |g(x)|
ist erfüllt, falls x nur ausreichend groß ist.
Beispiel:
√
x = o(x) für x → ∞
Für jedes c > 0 ist cx schließlich größer als
√
x.
Wir schreiben auch
f (x)
→0
g(x)
für
f (x) = o(g(x))
Also:
Während bei f (x) = O(g(x)) die Ungleichung |f (x)| ≤ c · |g(x)|
nur für ein c > 0 erfüllt zu sein braucht (das beliebig groß gewählt
werden darf), muss man bei f (x) = o(g(x)) die Ungleichung für
alle c > 0 (die dann beliebig klein sein können) in Betracht ziehen.
Und in der Sprache der Quantoren:
f (x) = O(g(x))
⇔
∃c > 0 ∃x0 ≥ 0 ∀x ≥ x0 : |f (x)| ≤ c · |g(x)|
f (x) = o(g(x))
⇔
∀c > 0 ∃x0 ≥ 0 ∀x ≥ x0 : |f (x)| ≤ c · |g(x)|
Beispiele: Größenordnungen für x → ∞
1. xp = o(xq ) für p < q,
denn dann gilt xp/xq = xp−q → 0.
2. xp = o(exp(x)) für alle reellen Zahlen p,
wegen xp = o(xq ) und xq = O(exp(x)) für p < q.
3. ln x = o(xq ) für alle reellen Zahlen q,
wegen ln x = O(xp) und xp = o(xq ) für p < q.
4. Ein wichtiger Spezialfall:
f (x) = o(1) bedeutet f (x) → 0, dass also |f (x)| mit wachsendem x kleiner und kleiner wird.
1 = o(1), ln x = o(1).
5. z.B.: 1
=
o(1),
x
ln x
x
Dieselben Schreibweisen werden benutzt nicht nur für x → ∞,
sondern auch für x → x0, also bei Annäherung an eine reelle
Zahl x0. Wir schreiben
f (x) = o(g(x)) für x → x0 ,
f (x)
falls
→ 0 für x → x0
g(x)
Beispiele von Größenordnungen für x → 0:
1. xp = o(xq ) für p > q
denn dann gilt xp/xq = xp−q → 0.
Merke: Für x → 0 dominieren Potenzen mit kleinerem Exponenten (anders als für s → ∞, wo sich die größeren Exponenten durchsetzen).
2. exp(x) = 1 + o(1),
denn exp(x) − 1 = exp(x) − exp(0) → 0 für x → 0.
3. exp(x) = 1 + x + o(x)
Dies folgt aus
P
n /n! = 1 + x + x2 + x3 + · · · = 1 + x + 0(x2 ).
exp(x) = ∞
x
n=0
2
6
Graphisch:
o(x)
x