KAPAZITÄT und ENERGIE - Fakult at f ur Physik
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Kapitel 4 KAPAZITÄT und ENERGIE 4.1 Kondensator Ein Kondensator besteht typischerweise aus zwei Leiterplatten, die sich in einem kleinen Abstand voneinander befinden. Meist liegt zwischen den Elektroden eine dielektrische Isolierschicht, die auch zur Erhöhung der Kapazität führt. Im folgenden Schaltkreis beobachtet man eigenartige Phänomene: #$ % Beim Einschalten leuchtet die Glühbirne für einige Zeit auf, wird immer schwächer und verlischt, wenn der Kondensator aufgeladen ist. Ersetzt man darauf hin die Stromquelle durch einen Kurzschluss beobachtet man dasselbe Phänomen: Die Glühbirne leuchtet für einige Zeit auf, wird immer schwächer und verlischt, wenn der Kondensator entladen ist. #& % ! " " ! # $ % & ' ! ! ! ! ! ! " ##$ % &$ ' ((((((((() ! " ##$ % &$ ' ((((((((() Zu Beginn besteht keine Potentialdifferenz zwischen den Kondensatorplatten. Deshalb erscheint beim Anlegen der Batterie die Potentialdifferenz Ub an der Glühlampe und sie leuchtet. Der Stromfluß durch die Lampe führt zur Aufladung des Kondensators, bis die Kondensatorspannung den Wert Uc ≈ Ub . erreicht. 33 34 KAPITEL 4. KAPAZITÄT UND ENERGIE Im geladenen Zustand beschreibt man den Kondensator durch zwei Elektroden, die jeweils die Ladungen +Q und −Q tragen. Die beiden Elektroden befinden sich auf dem Potential φ1 und φ2 . Die Potentialdifferenz beträgt U = φ1 − φ2 . Die Flächenladungsdichte auf den Elektroden ist σ = Q/#0 . Das Feld im Kondensator ist proportional zur Ladung Q, die auf den Leiterflächen sitzt und umso kleiner, je größer die Elektrodenoberfläche A ist (siehe dazu Seite 17) E= σ Q = #0 A #0 (4.1) Die Kapazität dieses Systems definiert man als C= Q U (4.2) Die Dimension der Kapazität ist " ! Coulomb = 1 [F arad] 1 V olt (4.3) Gebräuchlich sind Kondensatoren im Pico-, Nano- und Mikrofarad-Bereich. Feld in einem Plattenkondensator Zwei Platten, bei x = 0 und bei x = d, tragen die Ladungen +Q und −Q. Im Raum dazwischen befinden sich keine freien Ladungen (auch keine Materie). Zur Berechnung der Potentialverteilung verwenden wir die Laplace-Gleichung (siehe Seite 20) in einer Dimension d2 φ=0 dx2 ⇒ φ(x) = ax + b (4.4) mit den Randbedingungen φx=0 = φ1 = b und φx=d = φ2 = ad + φ1 . Mit a = (φ2 −φ1 )/d = U/d ergibt sich der Potentialverlauf zwischen den Platten als φ(x) = U x + φ1 d (4.5) und das Feld als $ = −∇φ $ = − U x̂ . E d (4.6) Q U σ = = #0 #0 A d ! "! ! Bei einer Plattenfläche A gilt für den Betrag ( ∞ ausgedehnter Platten) E= # $% $& # $% $" ! "" (4.7) und den Proportionalitätsfaktor in der Beziehung Q = C · U , die Kapazität C = #0 A . d (4.8) Diese Gleichung gilt für einen mit Luft (=Vakuum) gefüllten Kondensator. Beispiel: für A = 1 cm2 und d = 1 mm ist C = 0.9 pF . " 35 4.1. KONDENSATOR Kapazität eines Kugelkondensators Zwei konzentrische Hohlkugeln mit den Radien ri und ra tragen die Ladungen +Q und −Q. Im Innenraum r < ri herrscht kein Feld. Das Potential in diesem Bereich ist gleich dem der inneren Kugel % Q φi = fc (4.9) ri Das Feld zwischen beiden Kugelflächen ist gleich dem, das durch eine im Kugelmittelpunkt sitzende Ladung +Q erzeugt würde: $ > ri ) = fc Q êr E(r r2 $ & $ ' $ (4.10) Das Potential für (ri < r < ra ) ist φ(r) = fc Q r #" ! " (4.11) Im Aussenraum (r > ra ) addiert sich das Feld der innernen Kugel (Gl.4.10) und das der äußeren Kugel zum Gesamtfeld Null (die eingeschlossene Gesamtladung ist gleich Null)1 . Die Feldstärke macht an der Innen- bzw. Aussenwand je einen Sprung um σ/#0 , wobei in unserem Beispiel σi = +Q/(4ri2 π) und σa = −Q/(4ra2 π) ist. Die Potentialdifferenz zwischen den Kugelflächen ist $ # 1 1 − U = φi − φa = fc Q (4.12) ri ra Damit ist die Kapazität des Kugelkondensators C= 1 ri · ra Q Q = = U φi − φa fc ra − ri (4.13) 1 R2 4π#0 R2 A = = #0 fc d d d (4.14) Wenn der Abstand zwischen den Kugelflächen klein ist (ri ≈ R ≈ ra ), führen wir für den Abstand d = ra −ri ein und setzen R2 ≈ ri · ra C= wobei A = 4R2 π die Oberfläche der Kugel ist. 1 Inwieweit im Außenraum dennoch eine von Null verschiedene Feldstärke vorliegt, hägt von der Potentialdifferenz zwischen der äußeren Kugel und seiner Umgebung ab! Im Bild hier haben wir die äussere Hohlkugel geerdet. 36 KAPITEL 4. KAPAZITÄT UND ENERGIE Kapazität einer Kugel Wenn wir den Radius der äußeren Kugel gegen ∞ anwachsen lassen, ergibt sich aus (4.12) die Kapazität einer einzelnen Kugel mit Radius R = ri gegenüber einer Gegenelektrode im Unendlichen (φ∞ = 0) als C = 4π#0 R (4.15) Schaltung von Kondensatoren • parallel: gleiche Spannung liegt an der Summe der Flächen, damit steigt nach Gl.(4.8) die Kapazität Cgesamt = % Ci . (4.16) i • in Serie: Die gleiche Ladungsdifferenz (jeweils +Q und −Q ) verteilt sich über die Summe der Abstände zwischen den Kondensatorplatten. Für & die gesamte angliegende Spannung gilt U0 = i Ui . Damit sinkt nach Gl.(4.8) die Kapazität 1 Cgesamt = % 1 . Ci i (4.17) Spannungsüberhöhung bei Verringerung der Kapazität Wir laden einen Kondensator auf, an dem ein Elektrometer angeschlossen ist. Die Ladung verteilt sich auf den Kondensator und das Elektrometer gemäß Qges = QC + QE = CE · UE + CC · UC $ Die Ladung sei zeitlich konstant. Die Potentialdifferenz UE = UC = U und damit Qges = (CE + CC ) · U Wenn wir jetzt den Plattenabstand d erhöhen und damit die Kapazität CC erniedrigen, dann steigt die Spannung U an! ! ! " # 37 4.2 Energie des elektrischen Feldes Ein Ladungslöffel überträgt die Ladungsmenge dQ auf eine isolierte Kugel im Vakuum und leistet dabei die Arbeit ! " ! dW = dQ (φR − φ∞ ) = dQ φR # wobei wir φ∞ = 0 gesetzt haben. Für das Potential der Kugel schreiben wir φR = fc Q R . Die Arbeit ist also gleich ' 1 Q2 1 Q2 1 Q dQ = · = W = fc (4.18) R 4π#0 R 2 2 C Eine geladene Kugel ist damit ein Energiespeicher Wel = 1 1 Q2 = CU 2 2 C 2 (4.19) Diese Gleichung verwenden wir jetzt für einen Plattenkondensator. Für einen ebenen Plattenkondensator gelten die Beziehungen: " C = #0 A/d ! und U =E·d Mit dem Ausdruck für das im Volumen des Kondensators A · d = V ist die im elektrischen Feld des Plattenkondensators gespeicherte Energie Wel = 1 1 1 C U 2 = #0 E 2 · Ad = #0 E 2 V 2 2 2 (4.20) Diese Beziehung gilt für beliebige elektrische Feldanordnungen im Vakuum. Über sie lässt sich die Energiedichte des elektrischen Feldes definieren: wel = Wel /V = 1 #0 E 2 2 (4.21) Die Dimension der Energiedichte des elektrischen Feldes ergibt sich aus dieser Gleichung als ! " A·s V2 V ·A·s W ·s J 1 2 [wel ] = #0 E = = = = 3 (4.22) 2 3 3 2 V ·mm m m m 38 Kraft zwischen Platten eines Kondensators Das elektrische Feld zwischen den Platten eines Kondensators beträgt E= Q σ = #0 #0 A (4.23) wobei A die Plattenfläche angibt. Die elektrische Feldstärke ist unabhängig vom Abstand der Platten (siehe Seite 17). Da die Platten entgegengesetzt geladen sind (+Q und −Q) ziehen sie sich mit einer Kraft F an. Vergrößern wir den Plattenabstand d um einen Betrag ∆d, dann leisten wir die Arbeit F · ∆d. Dieser Arbeit entspricht eine Zunahme der elektrostatischen Feldenergie um 12 #0 E 2 · A · ∆d. Damit ergibt sich für die Kraft zwischen beiden Platten F = 1 1 #0 E 2 · A = Q · E 2 2 (4.24) wobei wir E = Q/(#0 A) verwendet haben. Der Faktor 1/2 gegenüber dem Ausdruck (2.9) ist folgendermaßen einzusehen: Ausserhalb der Kondensatorplatten ist das elektrische Feld gleich Null. Die Feldstärke fällt also über die endliche Dicke der Ladungsschicht auf der Kondensatorplatte auf Null ab, sodass auf die Ladungen im Mittel nur das Feld E/2 wirkt. Sicherheitsaspekte Die Gefährlichkeit eines Stromschlages ist durch die Größe des Stromes bestimmt. Kleine Ströme (< 5 mA) spürt man als unangenehm, sie führen aber zu keinem dauerhaften Schaden. Ströme > 50 mA führen zu Schäden, da sie Nervensignale übertreffen und Muskeln (Herz) einfrieren lassen. Trifft dies für mehrere Sekunden zu, kann dies zum Tod führen. Der typische Innenwiderstand des menschlichen Körpers liegt im Bereich von einigen 100 Ω. Damit ist die Spannungsgrenze für gefährliche Stromschläge im Bereich von U = I · R = 0.05 × 100 = 5 V olt! Das bedeutet, dass im Prinzip eine Autobatterie für einen tödlichen Stromschlag ausreicht. Auf Grund des hohen Widerstandes trockener Haut (≈ 20kΩ) liegt aber die gefährliche Grenze erheblich höher. Aus diesem Grund überlebt man typisch den Stromschlag aus dem Netz (es sei denn, man sitzt in der Badewanne). Ein weiterer Gesichtspunkt ist die Leistung der Stromquelle. Eine 1 kV Überlandleitung kann problemlos über längere Zeit große Ströme abführen und ist damit tödlich. Ein Van-de-Graff Generator schafft mehrere 100 kV , kann aber nur Strom für sehr kurze Zeit liefern. Dasselbe gilt für eine Tesla-Spule die mehrere 106 V liefert, aber im Normalfall keine großen Ströme. Beim Gehen auf einem isolierten Teppich kann sich der Körper auf mehrere Tausend Volt aufladen - und mit einem entsprechenden Blitz (z.B. bei Berührung mit einem geerdeten Stiegengeländer) entladen, ohne dass großer Schaden entsteht.
