Höhere Analysis I - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik

Vorlesung - Höhere Analysis I
Skript: PD Dr. Hans-Gerd Leopold, apl. Prof.
LATEX-Satz: Markus Weimar
Wintersemester 2007/08
Fakultät für Mathematik und Informatik
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Vorwort
Diese Ausarbeitung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit.
Sie entstand im Rahmen der privaten Prüfungsvorbereitung zu oben genannter Vorlesung
und enthält daher nur vereinzelt Beweise und keinerlei Bilder, die eventuell für das
vollkommene Verständnis notwendig sein könnten. Es wird allerdings gegebenen Falls auf
weitere Ausführungen der Vorlesung hingewiesen.
Für Korrekturen und umfassende ergänzende Hinweise möchte ich insbesondere Lars
Müller danken.
2
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1 Metrische und topologische Räume
1.1 Metrische Räume . . . . . . . .
1.2 Topologische Räume . . . . . .
1.3 Stetige Abbildungen . . . . . .
1.4 Fixpunktsätze . . . . . . . . . .
2
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2 Banachräume
2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kompakte Mengen in speziellen Banachräumen . . .
2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
2.4 Lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
. 4
. 16
. 23
. 28
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31
31
41
43
55
3 Hilberträume
3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Orthogonale Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Lineare Operatoren im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter Operatoren
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61
61
68
73
81
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4 Lokalkonvexe Räume
91
4.1 Lokalkonvexe Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Lineare stetige Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3 Distributionen (verallgemeinerte Funktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Literaturverzeichnis
111
3
1 Metrische und topologische Räume
1.1 Metrische Räume
Definition 1.1.1:
Sei X eine nichtleere Menge.
(i). Eine Abbildung d : X × X → [0, ∞) heißt Metrik oder Abstandsfunktion :⇔ für
alle x, y, z ∈ X gilt:
(M1) x 6= y ⇒ d(x, y) 6= 0
(Definitheit)
(M2) d(x, x) = 0
(M3) d(x, y) = d(y, x)
(Symmetrie)
(M1) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
(Dreiecksungleichung)
Das Tupel (X, d) heißt dann metrischer Raum .
(ii). Gelten für d nur (M2) - (M4), so spricht man von einer Pseudometrik oder auch
Halbmetrik bzw. von einem pseudometrischen Raum .
Beispiel:
(i). Q, R oder C versehen mit der Betragsmetrik d|·| (x, y) := |y − x| sind metrische
Räume.
(ii). Jede beliebige nichtleere Menge X wird mit der diskreten Metrik .
(
ddis (x, y) :=
0,
1,
x=y
sonst
zu einem metrischen Raum.
(iii). R mit der Arcustangensmetrik darc (x, y) := |arctan(x) − arctan(y)| ist metrischer Raum (zum Beweis siehe Übungsserie 1).
(iv). C mit d(z, w) := |<(z) − <(w)| ist ein peudometrischer Raum, da d hier nur
Pseudometrik ist. Denn für z := 1 + i und w := 1 + 2i gilt d(z, w) = 0, obwohl
z 6= w.
4
1 Metrische und topologische Räume → 1.1 Metrische Räume
(v). Seien x = (ξ1 , . . . , ξn ), y = (η1 , . . . , ηn ) ∈ Rn oder Cn . Dann definieren alle folgenden
Funktionen Metriken auf diesen beiden Mengen:
d1 (x, y) :=
n
X
|ξk − ηk |
k=1
n
X
d2 (x, y) :=
!1
|ξk − ηk |
2
2
k=1
n
X
dp (x, y) :=
!1
|ξk − ηk |
p
p
, für 1 ≤ p < ∞
k=1
d∞ (x, y) := max |ξk − ηk |
k=1,...,n
Summiert man dagegen nur bis n − 1, so werden sie zu Pseudometriken.
(vi). (R2 , dM ) ist ein metrischer Raum mit
p
 (ξ1 − η1 )2 + (ξ2 − η2 )2 ,
q
dM (x, y) := q 2
 ξ + ξ2 + η2 + η2,
1
2
1
2
x = λy, mit λ ∈ R
sonst
Hier ist der Abstand zweier linear abhängiger Punkte der euklidische und falls die
Punkte nicht linear abhängig sind die Summe der Abstände zu einem zentralen
Punkt (Nullpunkt). Die Metrik wird in Anlehnung an das französische Eisenbahnnetz
/ Pariser U-Bahnnetz auch Metro-Metrik genannt.
(vii). (R2 , du ) mit
(
du (x, y) :=
|ξ1 − η1 | + |ξ2 | + |η2 |, ξ1 6= η1
|ξ2 − η2 |,
ξ 1 = η1
ist ebenfalls ein metrischer Raum. Die Metrik wird auch als Urwaldmetrik bezeichnet.
Definition:
Man bezeichnet die Menge aller (unendlichen) Folgen über einem Körper K (R oder C)
mit s := {x = (ξk )∞
k=1 | ξk ∈ K}.
Man definiert darüber hinaus spezielle Mengen von Folgen mit gewissen Eigenschaften
5
1 Metrische und topologische Räume → 1.1 Metrische Räume
(Teilmengen von s):
lp :={x ∈ s |
∞
X
!1
p
p
|ξk |
< ∞}
( für 1 ≤ p < ∞ )
k=1
l∞ :={x ∈ s | sup|ξk | < ∞}
( Raum der beschränkten Folgen )
k
c :={x ∈ s | lim ξk existiert}
( Raum der konvergenten Folgen )
k→∞
c0 :={x ∈ s | lim ξk = 0}
( Raum der Nullfolgen )
k→∞
F :={x ∈ s | x = (ξ1 , . . . , ξk , 0, . . .)}
( Raum der finiten Folgen ).
Beispiel (Fortsetzung):
P
1 |ξk −ηk |
(viii) s bildet mit d(x, y) := ∞
k=1 2k 1+|ξk −ηk | einen metrischen Raum. Dabei ist wieder
∞
x = (ξk )∞
k=1 und y = (ηk )k=1 . Da der zweite Bruch stets ≤ 1 ist und die Reihe über
1
konvergiert ist d stets endlich. Zum Beweis der Dreiecksungleichung nutze man die
2k
t
strenge Monotonie der Funktion f (t) = 1+t
auf [0, ∞).
(k)
Die Funktionen d (x, y) := |ξk −ηk | bilden für alle k ∈ N ein System von Pseudometriken
(Halbnormen) auf s. Durch obigen Ansatz führt ein solches System stets auf eine Metrik.
1
p p
lp bildet mit der lp -Metrik dp (x, y) := ( ∞
k=1 |ξk − ηk | ) einen metrischen Raum.
Zum Beweis der Gültigkeit der Metrikaxiome verwendet man vom endlich-dimensionalen
Fall ausgehend einen Grenzübergang, sowie die Minkowski’sche Ungleichung für die
Dreiecksungleichung.
P
Aus den Mengen l∞ , c und c0 erhält man einen metrischen Raum üblicherweise durch die
Wahl der Supremumsmetrik : d∞ (x, y) := supk |ξk − ηk |.
Definition:
(i) Für ein Gebiet M (in der Regel M = [a, b]) bezeichnet C(M ) die Menge der stetigen
Funktionen f : M → R.
(ii) Ist X eine beliebige Menge, so heißt B(X) := {f : X → C | supx∈X |f (x)| < ∞} die
Menge der beschränkten Funktionen über X.
Beispiel (Fortsetzung):
(ix) d∞ (f, g) := supx∈[a,b] |f (x) − g(x)| definiert die Metrik auf C([a, b]).
Auf B(X) ist durch d∞ (f, g) := supx∈X |f (x) − g(x)| eine Metrik gegeben. Wählt man
für alle Teilmengen Y ⊂ X die Pseudometrik d∞,Y (f, g) := supx∈Y |f (x) − g(x)|, so kann
man auch aus diesem, X ausschöpfenden System durch obigen Trick eine Metrik auf
ganz X konstruieren.
6
1 Metrische und topologische Räume → 1.1 Metrische Räume
(x) Für 1 ≤ p < ∞ bilden auch die Funktionen
Z b
dp (f, g) :=
!1
p
p
|f (x) − g(x)| dx
a
Metriken auf C([a, b]). Dabei ist dp offensichtlich eine symmetrische Abbildung
C([a, b]) × C([a, b]) → [0, ∞). Ist f = g so folgt dp (f, g) = 0 unmittelbar, die Umkehrung
beweist man indirekt mit dem Argument, dass die Funktion f − g stetig sein muss. Für
die Dreiecksungleichung nutzt man die gewöhnliche Dreiecksungleichung für Beträge und
die Linearität des Integrals.
Definition 1.1.2:
Sei (X, d) ein metrischer Raum.
(i) Für x ∈ X und ε > 0 heißt Kε (x) := {y ∈ X | d(x, y) < ε} offene Kugel mit Radius
ε um x.
(ii) Ist M ⊂ X, so heißt x ∈ M innerer Punkt von M und M heißt Umgebung von
x :⇔ ∃ε > 0 mit Kε (x) ⊂ M .
Beispiel:
(i) In (R, |·|) ist Kε (x) = (x − ε, x + ε) eine offene Kugel.
(ii) Kreise in (R2 , d2 ): (ξ1 − η1 )2 + (ξ2 − η2 )2 < ε2 .
(iii) (X, ddis ):
(
Kε (x) =
X,
ε>1
{x}, 0 < ε ≤ 1
Definition 1.1.3:
Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum.
O ⊂ X heißt offene Menge (in (X, d)) :⇔ ∀x ∈ O gilt: x ist innerer Punkt von O.
Beispiel:
Kreise ohne Rand im R2 sind offene Mengen
Bemerkung:
Offene Kugeln Kε (x) sind tatsächlich offene Mengen nach Definition 1.1.3.
7
1 Metrische und topologische Räume → 1.1 Metrische Räume
Satz 1.1.1:
Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum und U ⊂ P(X) das System aller offenen Mengen
in (X, d). Dann gilt:
(i) ∅, X ∈ U
(ii) O1 , O2 ∈ U ⇒ O1 ∩ O2 ∈ U
(iii) Oi ∈ U für i ∈ I ⇒
[
Oi ∈ U.
i∈I
Beweis::
Offensichtlich.
Bemerkung:
Durch Induktion kann man (ii) noch auf endlich viele Mengen O ausweiten.
I aus (iii) ist eine beliebige Indexmenge (z.B.: N oder auch R), d.h. auch die überabzählbare
Vereinigung offener Mengen bleibt offen. Der Durchschnitt von abzählbar unendlich vielen
offenen Mengen muss dagegen schon nicht mehr offen sein, wie nachfolgendes Beispiel
zeigt:
Beispiel:
Wähle (R, |·|) als metrischen Raum. Darin sind die Mengen Ok := (− k1 , k1 ) für alle k ∈ N
T
offen, die Menge {0} jedoch nicht. Dennoch gilt: ∞
k=1 Ok = {0}.
Definition 1.1.4:
Sei (X, d) ein metrischer Raum.
Die Menge A ⊂ X heißt abgeschlossen :⇔ X \ A ist offen in (X, d).
Bemerkung:
Abgeschlossen und offen sind nicht die einzigen Zustände. Es existieren auch Mengen die
weder offen noch abgeschlossen sind.
Folgerung:
Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum. Dann gilt:
(i) X, ∅ sind abgeschlossen
(ii) A1 , A2 ⊂ X abgeschlossen ⇒ A1 ∪ A2 abgeschlossen
(iii) Ai ⊂ X für i ∈ I abgeschlossen ⇒
\
Ai abgeschlossen.
i∈I
Beweis::
Folgt leicht anhand von Definition 1.1.4, Satz 1.1.1 und den DeMorgan’schen Regeln. 8
1 Metrische und topologische Räume → 1.1 Metrische Räume
Definition 1.1.5:
Sei (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X eine beliebige Teilmenge. Dann heißt
M :=
\
A
Abschluss von M
M ⊂A
A abgeschl.
M o = int(M ) :=
[
O
Inneres von M
O⊂M
O offen
Bemerkung:
M ist die kleinste abgeschlossene Menge, die M enthält. Sei dazu angenommen es
existiere B ⊂ M abgeschlossen mit M ⊂ B =
6 M , dann folgt sofort der Widerspruch
T
B ⊂ M = {A | M ⊂ A, A abgeschl.} ⊂ B zu B 6= M .
Analog ist M o die größte offene Menge, welche ganz in M enthalten ist.
Definition:
Sei (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X eine beliebige Teilmenge. Dann heißt x ∈ X
Berührungspunkt der Menge M :⇔ ∀ε > 0 gilt Kε (x) ∩ M 6= ∅.
Satz:
Sei (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X eine beliebige Teilmenge. Dann gilt:
(i) M = {x ∈ X | x ist Berührungspunkt von M }
(ii) M o = {x ∈ X | x ist innerer Punkt von M }
(iii) X \ M o = X \ M
(iv) X \ M = (X \ M )o
(v) S ∪ T = S ∪ T
(vi) (S ∩ T )o = S o ∩ T o .
Beweis::
Siehe Übungsserie 1.
Definition 1.1.6:
Sei (X, d) ein (pseudo-) metrischer Raum. Die Folge (xj )∞
j=1 ⊂ X heißt konvergent in
X :⇔ ∃x ∈ X und ∀ε > 0 ∃j0 (ε) ∈ N mit d(xj , x) < ε für alle j ≥ j0 (ε). Man schreibt in
diesem Falle xj → x, limj→∞ xj = x oder äquivalent limj→∞ d(x, xj ) = 0.
9
1 Metrische und topologische Räume → 1.1 Metrische Räume
Bemerkung:
Offensichtlich konvergiert die Folge, wenn für alle j ≥ j0 (ε) gilt xj ∈ Kε (x).
Im metrischen Raum ist der Grenzwert einer konvergenten Folge stets eindeutig bestimmt.
0)
Zum Beweis wählt man ε := d(x,x
> 0, wobei x 6= x0 die angenommenen Grenzwerte
3
bezeichnen. Ab der Stelle j0 liegen dann alle xj in Kε (x) und ab j1 alle in Kε (x0 ), nach
der Wahl des ε gilt jedoch Kε (x) ∩ Kε (x0 ) = ∅ (Widerspruch).
Für pseudometrische Räume ist das nicht mehr richtig. Beispielsweile konvergiert in C
mit d(z, w) := |<(z) − <(w)| die Folge zj = 1j gegen jedes z = 0 + yi für y ∈ R.
Satz 1.1.2:
Ist (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X, so gilt: x ∈ M ⇔ ∃(xj )∞
j=1 ⊂ M mit
xj → x.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Ein (pseudo-) metrischer Raum induziert eine topologische Struktur auf X (Siehe dazu
Abschnitt 1.2), aber auch eine uniforme Struktur, die sich in den Begriffen der CauchyFolge, Vollständigkeit oder gleichmäßige Stetigkeit manifestiert.
Definition 1.1.7:
Sei (X, d) ein (pseudo-) metrischer Raum. Die Folge (xj )∞
j=1 ⊂ X heißt Cauchy-Folge
:⇔ Für jedes ε > 0 existiert j1 (ε) ∈ N mit d(xj , xl ) < ε für alle j, l ≥ j1 (ε).
Bemerkung:
Im (pseudo-) metrischer Raum ist jede konvergente Folge stets eine Cauchy-Folge, denn
konvergiert (xj )∞
j=1 gegen x, so folgt d(xj , xl ) ≤ d(xj , x) + d(x, xl ) < 2ε für j, l ≥ j1 (ε).
Definition 1.1.8:
Ein (pseudo-) metrischer Raum (X, d) heißt vollständig :⇔ Jede Cauchy-Folge konvergiert in X.
Beispiel:
(i) Die Räume (R, |·|) und (C, |·|) sind vollständig.
(ii) (Rn , dp ) und (Cn , dp ) sind vollständig, denn dp (xj , x) → 0 ⇔ für alle k = 1, . . . , n gilt
(j)
ξk → ξk in R (bzw. C).
10
1 Metrische und topologische Räume → 1.1 Metrische Räume
(iii) Die Räume (lp , dp ) sind vollständig für 1 ≤ p ≤ ∞.
Dazu sei (xj )∞
j=1 eine Cauchy-Folge in lp (1 ≤ p < ∞) und ε > 0. Dann existiert ein j0 (ε),
sodass für alle j, l ≥ j0 (ε) gilt
∞
X
j
!1
|ξk −
p
ξkl |p
<ε
k=1
Für beliebiges δ > 0 und k ∈ N ist damit |ξkj − ξkl | < δ, für j, l ≥ j1 (δ, k). Also bildet jede
Komponente jeweils eine Cauchy-Folge (ξkj )∞
j=1 in C. Da C vollständig ist, existiert für
j
jedes k ∈ N ein ξk ∈ C mit ξk → ξk . Man setzt x := (ξk )∞
k=1 . Mit obiger Ungleichung
folgt für fixiertes N ∈ N
N
X
j
|ξk − ξkl |p < εe
l→∞
k=1
N
X
N →∞
k=1
∞
X
j, l ≥ j0 (εe)
|ξkj − ξk |p < εe
−→
j ≥ j0 (εe)
|ξkj − ξk |p < εe
−→
j ≥ j0 (εe)
k=1
∞
Damit konvergiert die Folge (xj )∞
j=1 gegen x in lp . Dass x = (ξk )k=1 selbst in lp liegt zeigt
folgende Abschätzung mithilfe der Minkowski’schen Ungleichung:
∞
X
|ξk |p =
k=1
∞
X
|ξk − ξkj + ξkj |p ≤
k=1
∞
X
|ξk − ξkj |p +
k=1
∞
X
j p
|ξk | < ∞
k=1
Die Vollständigkeit von l∞ kann wie folgt nachgewiesen werden:
Sei (xj )∞
j=1 ⊂ l∞ eine beliebige Cauchy-Folge. Dann existiert für jedes ε > 0 ein j1 (ε),
(j)
(l)
sodass für alle j, l ≥ j1 (ε) gilt supk |ξk − ξk | = d∞ (xj , xl ) < ε. Daher ist für jedes k die
(j)
Folge (ξk )∞
j=1 eine Cauchy-Folge in R bzw. C. Da diese Räume vollständig sind, existiert
(j)
für jedes k ein ξk mit ξk → ξk für j → ∞. Bezeichne nun x := (ξk )∞
k=1 und zeige, dass
d∞ (xj , x) → 0 gilt.
(j)
(j)
(l)
(l)
|ξk − ξk | ≤ |ξk − ξk | + |ξk − ξk |
ε
ε
≤ d∞ (xj , xl ) + , für l ≥ l0 ( , k)
2
2
ε
ε ε
≤ + = ε, für j, l ≥ j1 ( )
2 2
2
(j)
Damit ist für alle k: |ξk − ξk | < ε, für j ≥ j1 ( 2ε ), denn es werden nur Bedingungen
(j)
an j gestellt. Also gilt supk |ξk − ξk | ≤ ε, für j ≥ j1 ( 2ε ). Also ist l∞ ein vollständiger
metrischer Raum.
11
1 Metrische und topologische Räume → 1.1 Metrische Räume
(iv) Der Raum C([a, b]) ist vollständig bezüglich der Supremumsmetrik, d.h. bzgl.
d∞ (f, g) = supx∈[a,b] |f (x) − g(x)|, aber unvollständig bezüglich der d1 -Metrik. Betrachte
dazu die Folge (fj )∞
j=1 mit
fj (x) :=



0,
−1 ≤ x ≤ − 1j
jx+1
2


1,
,
− 1j < x <
1
j
1
j
≤x≤1
welche eine nicht in C([−1, 1]) konvergente Cauchy-Folge bzgl. d1 darstellt (denn es ist
d1 (fj , fk ) < max( k1 , 1j ) < ε für k, j ≥ j1 (ε)). Bezüglich d∞ ist (fj )∞
j=1 nicht mal eine
Cauchy-Folge, denn es ist supx∈[−1,1] |fj (x) − fk (x)| =
1− kj
2
(o.B.d.A j < k).
Bemerkung:
Verschiedene Metriken auf einer Menge X können zwar die gleiche Topologie aber
unterschiedliche uniforme Strukturen erzeugen, wie folgende Beispiele zeigen:
Beispiel:
(i) X = R mit den Metriken d|·| (x, y) = |x − y| und darc = |arctan(x) − arctan(y)|. Wie
in Übungsserie 1 gezeigt stimmen hier die Systeme der offenen Mengen überein, das heißt
es wird die gleiche Topologie induziert. In (R, |·|) konvergiert jede Cauchy-Folge, daher
ist dieser Raum vollständig. In (R, darc ) ist aber beispielsweise die Folge xj = j eine
Cauchy-Folge (in (R, |·|) nicht!) ohne Grenzwert in R, daher ist (R, darc ) nicht vollständig.
1
1
(ii) Wähle X := { n+1
liegt
| n ∈ N} zusammen mit d|·| . Die Cauchy-Folge xj := j+1
zwar in X, konvergiert dort aber nicht, denn 0 6= X. Daher ist (X, d|·| ) unvollständig.
Zusammen mit der diskreten Metrik ist die Folge jedoch keine Cauchy-Folge, denn bei
dieser Metrik müssen Folgen ab einer gewissen Stelle konstant sein, um Cauchy-Folge
zu sein. Diese sind dann sicher konvergent, daher ist (X, ddis ) vollständig. Die erzeugte
Topologie der beiden Räume ist allerdings die gleiche.
Lemma:
Ist (X, d) ein (pseudo-) metrischer Raum und M ⊂ X eine Teilmenge, so wird durch d
eine (pseudo-) Metrik auf M induziert:
dM (x, y) := d(x, y) ∀x, y ∈ M.
Beweis::
Offensichtlich erfüllt dM alle Bedingungen für eine Metrik auf M .
12
1 Metrische und topologische Räume → 1.1 Metrische Räume
Satz:
b
b d)
Zu jedem metrischen Raum (X, d) gibt es einen vollständigen metrischen Raum (X,
b
b (d.h. ∀x, y ∈ X gilt d(x, y) = d(i(x),
und eine Isometrie i : X → X
i(y))), sodass gilt
b
i(X) = X.
Beweis::
Zur Idee siehe Vorlesung.
Beispiel:
Q kann eindeutig bis auf Isomorphie vervollständigt werden. Dabei entsteht R. In diesem
Sinne repräsentiert jede reelle Zahl eine Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen, die gegen
diese konvergieren (siehe Beweisidee).
Definition 1.1.9 (Überdeckungskompaktheit):
Sei (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X eine beliebige Teilmenge.
(i) (X, d) heißt (überdeckungs-) kompakt :⇔ Aus jeder offenen Überdeckung
S
X ⊂ i∈I Oi (mit Oi offen) kann man endlich viele Oi auswählen, welche bereits ganz X
S
überdecken (X ⊂ L
l=1 Oil ).
(ii) M heißt (überdeckungs-) kompakt :⇔ Aus jeder offenen Überdeckung von M
lässt sich stets eine endliche Überdeckung von M auswählen.
Bemerkung:
Sei (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X. Dann ist (M, dM ) wieder ein metrischer
Raum und die offenen Mengen OM in (M, dM ) lassen sich jeweils darstellen als OM =
OX ∩ M . Die Frage ob M überdeckungskompakt (gemäß (ii)) ist, ist nun äquivalent zur
Frage ob (M, dM ) überdeckungskompakt (nach (i)) ist.
Beispiel:
Wählt man X = R und M = [1, 2], so ist die Menge [1, 32 ) offen in (M, dM ), da der Raum
dort endet.
Definition 1.1.10 (Präkompaktheit):
Sei (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X eine beliebige Teilmenge. Dann heißt M
(überdeckungs-) präkompakt :⇔ M ist kompakt.
Lemma (Eigenschaften des Kompaktheitsbegriffs):
Ist (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X, so folgt:
(i) M kompakt ⇒ M präkompakt und abgeschlossen.
(ii) (X, d) kompakt, M ⊂ X ⇒ M präkompakt.
13
1 Metrische und topologische Räume → 1.1 Metrische Räume
Beweis::
(i) mit dem Begriff der Folgenkompaktheit (siehe später).
(ii) Offensichtlich.
Definition 1.1.11 (Folgenkompaktheit, ε-Netz):
Sei (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X eine beliebige Teilmenge.
(i) M heißt (folgen-) kompakt :⇔ Aus jeder Folge (xj )∞
j=1 ⊂ M kann eine konvergente
Teilfolge ausgewählt werden, wobei der Grenzwert in M liegt.
(ii) M heißt (folgen-) präkompakt :⇔ Aus jeder Folge (xj )∞
j=1 ⊂ M kann eine konvergente Teilfolge ausgewählt werden.
(iii) E ⊂ X heißt ε-Netz für M :⇔ Für jedes x ∈ M existiert stets yx ∈ E mit
S
d(x, yx ) < ε, d.h. M ⊂ y∈E Kε (y).
Beispiel:
Wähle (X, d) = (R, |·|) und M = (a, b], dann ist M nicht (folgen-) kompakt, aber (folgen-)
präkompakt.
Lemma:
Ist (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X (folgen-) präkompakt, so existiert für jedes
S
ε > 0 stets ein endliches ε-Netz für M , d.h. ∃x1 , . . . , xL ∈ X mit M ⊂ L
l=1 Kε (xl ).
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Satz 1.1.3 (Satz von Heine-Borel):
Sei (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂ X. Dann ist
M (überdeckungs-) kompakt ⇔ M ist (folgen-) kompakt.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Das heißt es gibt im metrischen Raum nur DIE Kompaktheit, da beide Begriffe hier
äquivalent sind.
Lemma:
Ist (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und M ⊂ X. Dann sind äquivalent:
(i) M ist präkompakt.
(ii) ∀ε > 0 existiert ein endliches ε-Netz für M .
(iii) ∀ε > 0 existiert ein präkompaktes ε-Netz für M .
14
1 Metrische und topologische Räume → 1.1 Metrische Räume
Beweis::
(i) ⇒ (ii): Lemma von oben.
(ii) ⇒ (iii): trivial, da jede endliche Menge kompakt (Jede Folge enthält konvergente
Teilfolge: da nur endliche viele Elemente da sind, muss mindestens eines unendlich oft
vorkommen), also insbesondere auch präkompakt ist.
Rest: Siehe Vorlesung.
Definition:
Ist (X, d) ein metrischer Raum, so heißt M ⊂ X beschränkt :⇔ ∃z ∈ X, ∃D > 0 mit
M ⊂ KD (z).
Lemma:
Im metrischen Raum gilt:
(i) Jede endliche Menge ist präkompakt.
(ii) Jede präkompakte Menge ist beschränkt.
Beweis::
(i) Endliche Mengen bilden selbst ihr eigenes ε-Netz.
(ii) Ist eine Menge präkompakt, so existiert nach obigem Lemma ein endliches ε-Netz
x1 , . . . , xl ∈ X. Dann gilt M ⊂ K2lε (xi ) für ein beliebiges i ∈ {1, . . . , l}.
Bemerkung:
Man kann die Präkompaktheit einer Menge auch quantitativ messen:
Sei M eine präkompakte Teilmenge eines metrischen Raumes. Dann gibt es für jedes
ε > 0 ein endliches ε-Netz für M . Man setzt
N (ε) := min{N ∈ N | M wird durch N Kugeln mit Radius ε überdeckt}
ek (M ) = E2k−1 (M ) := inf{ε > 0 | 2k−1 Kugeln vom Radius ε überdecken M }
als Maße der Präkompaktheit. Dabei heißen die ek (M ) (dynamische) Entropiezahlen
der Menge M . Es gilt zum Beispiel:
ek+l+1 (M ) ≤ ek (M ) · el (M ).
15
1 Metrische und topologische Räume → 1.2 Topologische Räume
1.2 Topologische Räume
Definition 1.2.1:
Ist X eine Menge und τ ⊂ P(X), so heißt (X, τ ) topologischer Raum :⇔
(i) ∅, X ∈ τ
(ii) O1 , O2 ∈ τ ⇒ O1 ∩ O2 ∈ τ
(iii) Oi ∈ τ, i ∈ I ⇒
[
Oi ∈ τ
i∈I
Die Mengen / Elemente der Topologie τ werden als offene Mengen bezeichnet.
Lemma 1.2.1:
Ist (X, d) ein (pseudo-) metrischer Raum, so bilden die bzgl. d offenen Mengen eine
Topologie τd auf X. (X, τd ) ist dann ein topologischer Raum.
Beweis::
Folgt aus Satz 1.1.1.
Definition:
(i) Man bezeichnet (X, τd ) oder nur τd als die von (X, d) induzierte / erzeugte
Topologie .
(ii) Kann eine Topologie τ eines topologischen Raumes durch eine Metrik erzeugt werden
(d.h. ∃d, mit τ = τd ), so heißt (X, τ ) metrisierbar .
Bemerkung:
Nicht jeder topologische Raum ist metrisierbar, wie folgendes Beispiel zeigt:
Beispiel (nicht metrisierbarer topologischer Raum):
X = {a, b}, τ = {∅, {a}, {a, b}}. Offensichtlich ist (X, τ ) ein topologischer Raum. Man
bezeichnet ihn als Sierpinski-Raum . (X, τ ) ist jedoch nicht metrisierbar. Zum Beweis
siehe Vorlesung.
Beispiel:
(i) X beliebig und τin = {∅, X} bilden trivialerweise einen topologischen Raum. τin wird
als indiskrete Topologie bezeichnet. (X, τin ) ist mittels din (x, y) = 0 (für alle x, y ∈ X)
peusdo-metrisierbar.
(ii) X beliebig und τdis = P(X) bilden ebenfalls einen topologischen Raum. τdis heißt
diskrete Topologie . Setzt man ddis (x, y) = 0, für x = y und ddis (x, y) = 1 sonst, so
ist ist (X, τdis ) durch diese diskrete Metrik metrisierbar.
16
1 Metrische und topologische Räume → 1.2 Topologische Räume
Lemma:
Für jeden topologischen Raum (X, τ ) gilt: τin ⊂ τ ⊂ τdis .
Beweis::
Klar.
Bemerkung:
Verschiedene (Pseudo-) Metriken können durchaus die selbe Topologie erzeugen.
Beispiel (induzierte Topologien):
(i) X = Cn mit dp für 1 ≤ p ≤ ∞ erzeugen τd1 = τdp = τd∞ (alle offenen Mengen
bezüglich der p-Metriken stimmen überein).
(ii) X = R mit d|·| oder darc induzieren jeweils τ|·| = τdarc . Das heißt die topologischen Räume (R, τ|·| ) und (R, τdarc ) sind äquivalent, aber die entsprechenden metrische
Räume sind verschieden bzw. haben verschiedene Eigenschaften. (R, d|·| ) ist vollständig
und es existieren dort unbeschränkte Mengen. (R, darc ) dagegen ist nicht vollständig und
alle Mengen sind durch π beschränkt (Vergleiche Übungsserie 1).
Definition 1.2.2:
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. A ⊂ X heißt abgeschlossen :⇔ X \ A ∈ τ (offen).
Folgerung:
Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, so gilt:
(i) X, ∅ sind abgeschlossen
(ii) A1 , A2 ⊂ X abgeschlossen ⇒ A1 ∪ A2 abgeschlossen
(iii) Ai ⊂ X für i ∈ I abgeschlossen ⇒
\
Ai abgeschlossen
i∈I
Beweis::
Folgt aus Definition 1.2.1 und 1.2.2.
Definition 1.2.3:
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und M ⊂ X. Dann heißt
(i) M o :=
[
O
Inneres von M und
O⊂M
O offen
(ii) M :=
\
A
Abschluss von M
M ⊂A
A abgeschlossen
17
1 Metrische und topologische Räume → 1.2 Topologische Räume
Definition 1.2.4:
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, x ∈ X und U ⊂ X.
(i) U heißt Umgebung von x (bezüglich τ ) :⇔ ∃O ∈ τ mit x ∈ O und O ⊂ U .
(ii) Uτ (x) := {U | U Umgebung von x} heißt Umgebungssystem von x bezüglich τ .
Bemerkung:
Umgebungen müssen keine offenen Mengen mehr sein. Daher ist es in der Stetigkeitsdefintion aus Analysis I auch egal, ob man < ε oder ≤ ε schreibt.
Lemma (Eigenschaften):
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Dann gilt für x ∈ X:
(i) Ist U ⊂ X, so impliziert U ∈ Uτ (x) stets x ∈ U .
(ii) Sind U, V ⊂ X, so folgt aus U, V ∈ Uτ (x): U ∩ V ⊂ Uτ (x).
(iii) Sind U, V ⊂ X, so impliziert U ∈ Uτ (x) und U ⊂ V stets V ∈ Uτ (x).
(iv) Für alle U ∈ Uτ (x) existiert V ∈ Uτ (x) mit V ⊂ U und für alle y ∈ V ist V ∈ Uτ (y).
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Definition 1.2.5:
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Eine Folge (xj )∞
j=1 ⊂ X heißt konvergent in (X, τ )
:⇔ ∃x ∈ X und ∀U ∈ Uτ (x) existiert j0 (U ) ∈ N mit xj ∈ U für j ≥ j0 (U ).
Man schreibt in diesem Falle x = limj→∞ xj , oder auch xj → x (für j → ∞).
Bemerkung:
(i) In metrischen Räumen wählt man spezielle Kugelumgebungen U = Kε (x) für ε > 0.
(ii) In pseudo-metrischen Räumen gilt: xj → x bzgl. d ⇔ xj → x bzgl. τd .
(iii) Für konvergente Folgen muss der Grenzwert nicht eindeutig bestimmt sein. Betrachte
dazu einen pseudo-metrischen Raum und die davon induzierte Topologie.
Definition 1.2.6:
Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt Hausdorff-Raum (erfüllt das Hausdorff’sche
Trennungsaxiom , besitzt die Hausdorff-Eigenschaft ) :⇔ Für alle x, y ∈ X mit
x 6= y existieren U ∈ Uτ (x) und V ∈ Uτ (y), sodass U ∩ V = ∅.
Bemerkung:
In einem topologischen Raum mit der Hausdorff’schen Eigenschaft gibt es also um zwei
verschiedene Punkte auch zwei offene Umgebungen, welche von einander unabhängig
sind. Somit sind alle Punkte von einander trennbar. In diesen Räumen ist der Grenzwert
(falls er existiert) stets eindeutig bestimmt - Vergleiche dazu den Widerspruchsbeweis,
dass der Grenzwert im metrischen Raum eindeutig bestimmt ist.
18
1 Metrische und topologische Räume → 1.2 Topologische Räume
Definition 1.2.7:
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, x ∈ X und M ⊂ X. Dann heißt x:
(i) innerer Punkt von M :⇔ ∃U ∈ Uτ (x) mit U ⊂ M .
(ii) äußerer Punkt von M :⇔ x ist innerer Punkt von X \ M .
(iii) Berührungspunkt von M :⇔ ∀U ∈ Uτ (x) gilt U ∩ M 6= ∅.
(iv) Häufungspunkt von M :⇔ ∀U ∈ Uτ (x) gilt (U \ {x}) ∩ M 6= ∅.
(v) Randpunkt von M :⇔ ∀U ∈ Uτ (x) gilt U ∩ M 6= ∅ und U ∩ (X \ M ) 6= ∅.
(Berührungspunkt von M und von X \ M ). Die Menge aller Randpunkte von M wird
mit ∂M bezeichnet.
(vi) isolierter Punkt von M :⇔ x ∈ M und ∃U ∈ Uτ (x) mit (U \ {x}) ∩ M = ∅ (bzw.
U \ {x} ⊂ X \ M ).
Lemma (Eigenschaften):
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und M, N ⊂ X. Es gilt:
(i) M o = {x ∈ X | x ist innerer Punkt von M }.
(ii) M = {x ∈ X | x ist Berührungspunkt von M }.
(iii) ∂M = M \ M o .
(iv) X \ M o = X \ M .
(v) M ∪ N = M ∪ N .
(vi) (M ∩ N )o = M o ∩ N o .
Beweis::
Einfach.
Lemma (Analogon zu Satz 1.1.2):
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Ist (xj )∞
j=1 ⊂ M ⊂ X mit xj → x, so gilt x ∈ M .
Beweis::
Analog zum metrischen Fall.
Bemerkung:
Im metrischen Raum galt sogar auch die Umkehrung: x ∈ M ⇒ ∃(xj )∞
j=1 ⊂ M mit
xj → x. Offensichtlich kann das im Allgemeinen im topologischen Raum nicht mehr
gelten. Zum Beweis Siehe Vorlesung.
Definition 1.2.8:
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und x ∈ X.
Uτ,B (x) ⊂ Uτ (x) heißt Umgebungsbasis von x bzgl. τ :⇔ Für alle V ∈ Uτ (x) existiert
U ∈ Uτ,B (x) mit U ⊂ V .
19
1 Metrische und topologische Räume → 1.2 Topologische Räume
Bemerkung:
Für eine Folge in einem topologischen Raum genügt es für die Konvergenz lediglich die
Existenz eines j0 für alle Mengen der Umgebungsbasis zu prüfen. Dies entspricht dem
Ansatz sich im metrischen Raum von allgemeinen ε-Kugeln auf Kugeln mit dem Radius
1
j für j ∈ N zurück zu ziehen.
Definition:
Der topologische Raum (X, τ ) erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom :⇔ Für jedes
x ∈ X existiert eine abzählbare Umgebungsbasis Uτ,B (x).
Bemerkung:
In einem topologischen Raum, welcher das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt gilt auch
stets die Umkehrung des vorrigen Lemmas (bzw. Satz 1.1.2).
Beispiel:
(i) In jedem topologischen Raum (X, τ ) ist Uτ,B, offen (x) := {O | O ∈ τ, x ∈ O} Umgebungsbasis für alle x ∈ X.
(ii) Ist (X, d) ein (pseudo-) metrischer Raum und τd die durch d erzeugte Topologie.
Dann ist Uτd ,B, offen (x) := {Kε (x) | ε > 0} eine überabzählbare Umgebungsbasis für jedes x ∈ X (denn: U ∈ Uτ (x) ⇒ ∃O ∈ τ mit O ⊂ U und x ∈ O ⇒ ∃ε > 0 mit Kε (x) ⊂ O).
(iii) In Fall des Beispiel (ii) existiert jedoch auch immer eine abzählbare Umgebungsbasis
{K 1 (x) | j ∈ N} aus offenen Mengen.
j
Bemerkung:
Nach dem letzten Beispiel erfüllt also jede durch eine (Pseudo-) Metrik d induzierte
Topologie (X, τd ) das erste Abzählbarkeitsaxiom.
In allgemeinen topologischen Räumen gilt das jedoch nicht. Betrachte dazu das Beispiel
der Koendlichen Mengen: τC = {O ⊂ X | X \ O endlich } ∪ {∅}.
Beispiel:
Betrachte den topologischen Raum (R, τC ). Hier besitzt kein x ∈ R bezüglich τC eine
abzählbare Umgebungsbasis, denn nimmt man an, dass für ein beliebiges x ∈ R die
T
Menge B(x) := {Bj | j ∈ N} eine abzählbare Umgebungsbasis ist, so ist ∞
j=1 Bj = {x}.
T∞
Denn offensichtlich ist x ∈ Bj für alle j ∈ N, also gilt {x} ⊂ j=1 Bj . Und für y 6= x
T
ist y ∈
/ ∞
j=1 Bj , denn es ist R \ {y} ∈ τC und x ∈ R \ {y} ∈ UτC (x). Da B eine
Umgebungsbasis ist, existiert ein Bj ∈ B mit Bj ⊂ R \ {y}. Das wäre ein Widerspruch
T
zu y ∈ ∞
j=1 Bj .
T
S∞
Dann ist R \ {x} = R \ ∞
j=1 Bj = j=1 (R \ Bj ) eine abzählbare Vereinigung endlicher
Mengen (da Bj ∈ τC ). R \ {x} ist aber offensichtlich überabzählbar (Widerspruch!).
20
1 Metrische und topologische Räume → 1.2 Topologische Räume
Bemerkung:
Damit weiß man auch, dass (R, τC ) nicht metrisierbar sein kann, da sonst immer eine
abzählbare Umgebungsbasis existiert.
Alle obigen Überlegungen gelten analog für abgeschlossene Mengen.
Im Folgenden sollen Netze, eine Verallgemeinerung des Folgenbegriffs nach Moore /
Smith (1922), betrachtet werden, um damit weitere aus dem metrischen Raum bekannte
Eigenschaften für topologische Räume übernehmen zu können.
Definition:
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum.
(a) (I, ≤) heißt gerichtete Menge :⇔ ∀i, j, k ∈ I gilt:
(i) i ≤ i
(ii) i ≤ j, j ≤ k ⇒ i ≤ k
(iii) i1 , i2 ∈ I ⇒ ∃j ∈ I mit i1 ≤ j, i2 ≤ j.
(b) Ist (I, ≤) eine gerichtete Menge, so bezeichnet man eine Abbildung I → X, notiert
als (xi )i∈I ⊂ X, als Netz .
(c) Ein Netz (xi )i∈I ⊂ X konvergiert gegen x ∈ X (schreibe xi → x) :⇔ Es existiert
ein x ∈ X und für alle U ∈ Uτ (x) existiert i(U ) ∈ I, sodass xi ∈ U für alle i ≥ i(U ) gilt.
Beispiel:
Eine triviale gerichtete Menge ist I = N. Die entsprechenden Netze sind dann einfach die
bereits bekannten Folgen.
Eine andere gerichtete Menge wäre die Umgebungsbasis Uτ,B (x) eines Punktes x eines
topologischen Raumes, mit der Relation ≤ für U, V ∈ Uτ,B (x) wie folgt definiert:
V ≤ U :⇔ U ⊂ V . Dann ist U mit U ≥ V1 , U ≥ V2 dasjenige Basiselement, welches in
V1 ∩ V2 enthalten ist (es existiert stets).
Satz (Gegenstück zu Satz 1.1.2):
Ist (X, τ ) ein topologischer Raum, M ⊂ X und (I, ≤) eine gerichtete Menge, so gilt:
x ∈ M ⇔ Es existiert ein Netz (xi )i∈I ⊂ M mit xi → x.
Beweis::
Entfällt.
Bemerkung:
Nun ein paar Bemerkungen zum Kompaktheitsbegriff in topologischen Räumen. Zunächst
wird dazu ganz analog zu in metrischen Räumen die Überdeckungskompaktheit definiert.
Mit der Erkenntnis, dass jeder metrische Raum die Hausdorff-Eigenschaft besitzt leuchtet
ein:
21
1 Metrische und topologische Räume → 1.2 Topologische Räume
Satz:
Gilt in einem topologischen Raum (X, τ ) das Hausdorff’sche Trennungsaxiom, so ist jede
überdeckungskompakte Teilmenge von X abgeschlossen.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Die aus dem metrischen Raum bekannte Folgenkompaktheit ist in dieser Form zwar
auch in topologischen Räumen definierbar, aber im Allgemeinen nicht äquivalent zur
Überdeckungskompaktheit. Man findet Beispiele, wo jeweils ein Kompaktheitsbegriff gilt,
der andere jedoch nicht.
Eine Rettung ist die Netzkompaktheit. Dann gilt: (X, τ ) ist überdeckungskompakt ⇔
Für alle Netze (xi )i∈I ⊂ X existiert ein konvergentes Teilnetz.
Lemma:
Erfüllt ein topologischer Raum das erste Abzählbarkeitsaxiom, so folgt aus der Überdeckungskompaktheit die Folgenkompaktheit.
Beweis::
Siehe „einfache“ Beweisrichtung in Satz 1.1.3.
Definition:
Ist (X, τ ) ein topologischer Raum und M ⊂ X, so wird M mit der von M induzierten
Topologie (Teilraumtopologie , Relativtopologie ) τM := {O ∩M | O ∈ τ } zu einem
topologischen Raum.
Bemerkung:
Vergleiche dazu die Einschränkung einer Metrik auf eine Teilmenge des Raumes. Auch
daraus wird wieder ein metrischer Raum.
22
1 Metrische und topologische Räume → 1.3 Stetige Abbildungen
1.3 Stetige Abbildungen
Definition 1.3.1 (ε-δ-Stetigkeit):
Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen zwei (pseudo-) metrischen Räumen (X, d1 ),
(Y, d2 ).
f heißt stetig in x0 ∈ X :⇔ ∀ε > 0 ∃δ(ε, x0 ) > 0, sodass für x ∈ X mit d1 (x, x0 ) < δ
stets d2 (f (x), f (x0 )) < ε gilt.
Satz 1.3.1:
Seien (X, d1 ), (Y, d2 ) (pseudo-) metrische Räume und f : X → Y . Dann ist f stetig in
x0 ∈ X ⇔ für jede Folge (xj )∞
j=1 ⊂ X mit xj → x0 gilt stets f (xj ) → f (x0 ) für j → ∞.
Beweis::
Vergleiche Vorlesung Analysis I.
Bemerkung:
Diese Charakterisierung wird auch als Folgenstetigkeit von Abbildungen in metrischen
Räumen bezeichnet.
Definition:
f : X → Y heißt stetig auf X :⇔ f ist stetig in jedem Punkt x0 ∈ X.
Satz 1.3.2:
Für Abbildungen f : X → Y zwischen metrischen Räumen sind folgende Aussagen
äquivalent:
(i) f ist stetig auf X.
(ii) Das vollständige Urbild f −1 (O) ⊂ X ist für alle offenen Mengen O ⊂ Y wieder offen.
(iii) Das vollständige Urbild f −1 (A) ⊂ X ist für alle abgeschlossenen Mengen A ⊂ Y
wieder abgeschlossen.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Für diese Charakterisierung ist das Urbild entscheident. Für die Bilder gilt die Aussage
im Allgemeinen nicht, wie folgendes Beispiel zeigt:
f : R → R mit f (x) ≡ c konstant. Dann sind die Mengen (a, b) und (d, e) offen. Allerdings
ist das Bild f ((a, b)) = {c} eine abgeschlossene Menge. Das Urbild offener Mengen ist
jedoch immer offen:
(
f
−1
((d, e)) =
∅, c ∈
/ (d, e)
R, c ∈ (d, e)
23
1 Metrische und topologische Räume → 1.3 Stetige Abbildungen
Satz 1.3.3 (Satz von Tietze-Urysohn für metrische Räume):
Sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge. Dann existiert
zu jeder stetigen Funktion f : A → [a, b] ⊂ R eine stetige Fortsetzung F : X → [a, b].
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Der Begriff Fortsetzung meint insbesondere die Identität f = F auf A.
Folgerung:
Für abgeschlossene Teilmengen A eines metrischen Raumes (X, d) existiert zu jedem
x0 ∈
/ A eine stetige Funktion ϕ : X → [0, 1] mit ϕ(x) = 0, für x ∈ A und ϕ(x0 ) = 1.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Folgerung:
Sei A eine abgeschlossene Teilmenge eines metrischen Raumes (X, d) und f : A → R
(oder C) eine beschränkte, stetige Funktion. Dann existiert eine beschränkte, stetige
Fortsetzung F : X → R (bzw. C) mit kF k∞ = supx∈X |F (x)| = supx∈A |f (x)| = kf k∞ .
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Definition 1.3.2:
Seien (X, d1 ), (X, d2 ) zwei (pseudo-) metrische Räume.
Eine Abbildung f : X → Y heißt gleichmäßig stetig auf M ⊂ X :⇔ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0,
sodass für alle x0 , x1 ∈ M mit d1 (x0 , x1 ) < δ(ε) stets d2 (f (x0 ), f (x1 )) < ε gilt.
Bemerkung:
Da in metrischen Räumen δ- bzw. ε-Kugeln auf M bzw. auf ganz X oder Y stets vergleichbar sind, kann ein solches universelles δ gefunden werden. In allgemeinen topologischen
Räumen ist die Definition einer gleichmäßigen Stetigkeit dagegen nicht sinnvoll.
Beispiel:
Eine (pseudo-) Metrik d : X × X → R ist stets eine gleichmäßig stetige Abbildung
b in die reellen Zahlen. Dabei ist
des (pseudo-) metrischen Produktraums ((X × X), d)
b 1 , y1 ), (x2 , y2 )) := d(x1 , x2 ) + d(y1 , y2 ), für (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ (X × X).
d((x
(Beachte dabei: d(·, ·) ≥ 0)
24
1 Metrische und topologische Räume → 1.3 Stetige Abbildungen
Satz 1.3.4:
Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen zwei metrischen Räumen und M ⊂ X kompakt,
sowie f |M stetig auf M . Dann gilt:
(i) Das Bild von M unter der Abbildung f (kurz: f (M )) ist kompakt in (Y, d2 ).
(ii) f (M ) ist beschränkt.
(iii) f |M ist gleichmäßig stetig.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Dabei bezeichnet f |M die Einschränkung der Abbildung f auf den Definitionsbereich
D(f ) := M .
Definition 1.3.3:
Seien (X, τ ), (Y, σ) zwei topologische Räume.
Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig in x0 ∈ X :⇔ ∀V ∈ Uσ (f (x0 )) gilt stets
f −1 (V ) ∈ Uτ (x0 ).
Lemma (Äquivalente Definition mit Umgebungsbasen):
Seien (X, τ ), (Y, σ) zwei topologische Räume. So gilt:
f : X → Y ist stetig in x0 ∈ X ⇔ ∀V ∈ Uσ,B (f (x0 )) ∃U ∈ Uτ,B (x0 ) mit f (U ) ⊂ V .
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Analog zu Satz 1.3.1 kann man nun auch im topologischen Raum Folgenstetigkeit
definieren. Nun gilt im Allgemeinen aber nur noch, dass aus der Stetigkeit (gemäß
Def. 1.3.3) die Folgenstetigkeit folgt. Die Umkehrung gilt nur, falls entweder in x0 (in
(X, τ )) eine abzählbare Umgebungsbasis existiert, oder aber in allgemeinen topologischen
Räumen die Folgenkonvergenz durch die Netzkonvergenz ersetzt wird.
Definition:
Im topologischen Raum (X, τ ) heißt eine Abbildung f : X → Y stetig auf X :⇔ f ist
in jedem Punkt x0 ∈ X stetig.
Bemerkung:
Satz 1.3.2 kann nun auch für topologische Räume übernommen werden:
25
1 Metrische und topologische Räume → 1.3 Stetige Abbildungen
Satz:
Für Abbildungen f : X → Y zwischen topologischen Räumen sind folgende Aussagen
äquivalent:
(i) f ist stetig auf X.
(ii) Das vollständige Urbild f −1 (O) ⊂ X ist für alle offenen Mengen O ⊂ Y wieder offen.
(iii) Das vollständige Urbild f −1 (A) ⊂ X ist für alle abgeschlossenen Mengen A ⊂ Y
wieder abgeschlossen.
Beweis::
Analog zu Satz 1.3.2.
Definition:
Seien (X, τ1 ) und (X, τ2 ) zwei unterschiedliche Topologien für eine Grundmenge. Dann
heißt τ2 feiner als τ1 :⇔ τ1 ⊂ τ2 .
Bemerkung:
Dabei müssen die Topologien vergleichbar sein.
Betrachte nun die identische Abbildung id : (X, τ2 ) → (X, τ1 ).
Lemma:
Seien (X, τ1 ) und (X, τ2 ) zwei unterschiedliche Topologien für eine Grundmenge. Dann
sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) τ2 ist feiner als τ1 .
(ii) id ist stetig.
(iii) ∀x ∈ X gilt U ∈ Uτ1 (x) ⇒ U ∈ Uτ2 (x).
Beweis::
Einfach.
Bemerkung:
Versucht man Satz 1.3.4 auf topologische Räume zu übertragen, so fällt auf, dass die
Aussagen (ii)+(iii) nicht sinnvoll sind, da die entsprechenden Definitionen nicht existieren.
Es bleibt also:
Satz:
Sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen und (X, τ )
kompakt. Dann ist auch das Bild f (X) kompakt in (Y, σ).
Beweis::
Einfach.
26
1 Metrische und topologische Räume → 1.3 Stetige Abbildungen
Bemerkung:
Satz 1.3.3 ist in allgemeinen topologischen Räumen nicht richtig. Er gilt nur für spezielle,
sogenannte normale topologische Räume. Die Gültigkeit des Satzes liefert sogar ein
Kriterium für die Normalität eines topologischen Raumes.
Definition:
Ein topologischer Raum (X, τ ) heißt normal (oder T4 -Raum , oder Tietze-Raum )
:⇔ Zu je zwei disjunkten und abgeschlossenen Mengen A, B ⊂ X existieren zwei disjunkte
und offene Mengen U, V ∈ τ mit A ⊂ U und B ⊂ V .
Bemerkung:
Im Allgemeinen ist die Hausdorff-Eigenschaft topologischer Räume unabhängig von der
soeben definierten T4 -Eigenschaft .
Beispiel (T4 -Raum ohne Hausdorff-Eigenschaft):
Im topologischen Raum (X, τin ) mit X = {a, b} und τin = {∅, {a, b}} sind die Punkte
a, b nicht trennbar. Daher besitzt er die T4 -Eigenschaft, ist jedoch kein Hausdorff-Raum.
Für ein Beispiel eines Hausdorff-Raumes, ohne T4 -Eigenschaft siehe Heine S.151.
Bemerkung:
Metrisierbare topologische Räume sind stets sowohl Hausdorff-, als auch T4 -Raum.
Satz 1.3.5 (Satz von Tietze-Urysohn):
Für einen topologischen Raum (X, τ ) sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) (X, τ ) ist normal.
(ii) Sind A, B ⊂ X disjunkt und abgeschlossen, so existiert f : X → [0, 1] mit f |A = 0
und f |B = 1.
(iii) Ist A ⊂ X abgeschlossen und f : A → [a, b] stetig auf A mit der induzierten Topologie
((A, τA ) mit τA = {O ∩ A | O ∈ τ }), so existiert eine stetige Fortsetzung F : X → [a, b].
Beweis::
Entfällt.
27
1 Metrische und topologische Räume → 1.4 Fixpunktsätze
1.4 Fixpunktsätze
Definition 1.4.1:
Seien (X, d1 ) und (Y, d2 ) zwei (pseudo-) metrische Räume und f : X → Y .
(i) f heißt lipschitzsetig :⇔ ∃L ≥ 0, sodass ∀x, y ∈ X gilt: d2 (f (x), f (y)) ≤ Ld1 (x, y).
Dabei heißt L Lipschitzkonstante .
(ii) f heißt strenge Kontraktion :⇔ f ist lipschitzstetig mit 0 ≤ L < 1.
Lemma:
Ist eine Abbildung f : X → Y zwischen zwei (pseudo-) metrischen Räumen lipschitzstetig,
so ist f auch gleichmäßig stetig.
Beweis::
Offensichtlich.
Bemerkung:
Die Umkehrung kann gelten, muss aber nicht, wie folgendes Beispiel zeigt.
Beispiel:
√
X = [0, 1] ⊂ R. Dann ist f (x) = x gleichmäßig stetig, aber nicht lipschitzstetig bezüglich
p
der Betragsmetrik (d(x, y) = |y − x|), bezüglich d(x, y) = |y − x| jedoch schon.
Satz 1.4.1 (Banach’scher Fixpunktsatz, 1922):
Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und f : X → X eine strenge Kontraktion
(0 ≤ L < 1). Dann besitzt f genau einen Fixpunkt, d.h. ∃!x∗ ∈ X mit f (x∗ ) = x∗ . Dieser
kann als Grenzwert einer Folge (xj )∞
j=0 ⊂ X mit xj+1 = f (xj ) und beliebigem Startwert
x0 ∈ X gewonnen werden. Es gilt ferner für alle j ∈ N: d(xj , x∗ ) ≤
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Lj
1−L d(x1 , x0 ).
Bemerkung:
Die Bedingung L < 1 ist wesentlich, wie folgendes Beispiel zeigt:
Beispiel:
Wähle (X, d) = (C, |·|) (vollständig!). Sei M ⊂ C \ {0} ein abgeschlossener Kreisring (z.B.:
M = {z ∈ C | 12 ≤ |z| ≤ 1}). Dann ist (M, |·|) ein vollständiger metrischer Raum. Sei die
Abbildung f nun die Drehung um den Winkel α (mit 0 < α < 2π). Für alle z, w ∈ M
gilt: |f (z) − f (w)| = 1 · |z − w|, d.h. L = 1. Man sieht leicht, dass f keinen Fixpunkt in
M besitzt, da 0 ∈
/ M.
28
1 Metrische und topologische Räume → 1.4 Fixpunktsätze
Folgerung 1.4.1:
Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum, A ⊂ X eine abgeschlossene, nichtleere
Teilmenge und f : A → A eine strenge Kontraktion. Dann besitzt f genau einen Fixpunkt
x∗ in A.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Beispiel (nichtlineare Integralgleichung als Fixpunktproblem):
Gegeben sei die Gleichung
f (t) −
Z t
1
0
2
2
f (τ )dτ
= 1,
t ∈ [0, 1]
Gibt es dafür eine Lösung f ∈ C([0, 1])? Es ist bereits bekannt, dass der metrische Raum
(C([0, 1]), d∞ ) mit d∞ (f, g) = supt∈[0,1] |f (t) − g(t)| vollständig ist.
2
R
Ein Fixpunkt der Abbildung T : C([0, 1]) → C([0, 1]), mit (T f )(t) := 1 + 0t 12 f (τ )dτ
wäre Lösung der obigen Gleichung. T ist jedoch keine Kontraktion auf ganz C([0, 1]).
Definiere daher die Menge A := {f ∈ C([a, b]) | 1 ≤ f (t) ≤ 1 + t, t ∈ [0, 1]} und zeige,
dass T : A → A. Es gilt:
1 ≤ (T f )(t) ≤ 1 +
Z t
1
0
2
2
(1 + τ )dτ
=1+
t
t2
+
2
4
!2
≤1+
t
t
+
2 4
2
≤ 1 + t2 ≤ 1 + t
Zeige darüber hinaus, dass A abgeschlossen ist:
Dazu sei (fj )∞
j=1 ⊂ A mit fj → g ∈ C([0, 1]) gleichmäßig (d.h. bezüglich d∞ ). Dann ist
fj (t) → g(t) für alle t ∈ [0, 1] und wegen 1 ≤ fj (t) ≤ 1 + t gilt für jedes feste t auch
1 ≤ g(t) ≤ 1 + t. Damit ist g ∈ A.
Es bleibt zu zeigen, dass es sich bei T um eine strenge Kontraktion handelt:
Es gilt für beliebige f, g ∈ A und t ∈ [0, 1]
|(T f )(t) − (T g)(t)| = |
Z t
1
Z
0 2
t 1
2
f (τ )dτ
Z t
1
0
Z t
1
2
2
g(τ )dτ
0
29
g(τ )dτ | · |
Z t
1
|
Z t
1
g(τ )dτ |
2
0 2
0 2
0 2
Z t
Z t
Z t
f (τ ) − g(τ )
1
1
≤|
dτ | · |
(1 + τ )dτ +
(1 + τ )dτ |
2
2
2
0
0
0
!
1
t2
≤ t · d∞ (f, g) · t +
2
2
1
3
≤ 1 · d∞ (f, g) ·
2
2
3
= · d∞ (f, g)
4
=|
f (τ )dτ −
−
f (τ )dτ +
1 Metrische und topologische Räume → 1.4 Fixpunktsätze
Damit existiert nach dem Banach’schen Fixpunktsatz genau ein Fixpunkt von T in A,
also ist die Integralgleichung lösbar.
Folgerung 1.4.2:
Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum, f : X → X lipschitzstetig und erst die
Funktion f j0 (·) = f (f (. . . (·))) eine strenge Kontraktion. Dann besitzt f genau einen
Fixpunkt x∗ ∈ X, welcher auch wieder iterativ gewonnen werden kann.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Satz 1.4.2 (Weissinger’scher Fixpunktsatz):
Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und F : X → X eine Abbildung. WeiP
ter exisiteren an ≥ 0 mit ∞
n=1 an < ∞, sodass für alle x, y ∈ X und n ∈ N gilt:
n
n
d(F (x), F (y)) ≤ an d(x, y). Dann besitzt F genau einen Fixpunkt x∗ ∈ X, welcher
iterativ als Grenzwert der Folge (F n (x0 ))∞
n=1 mit beliebigem Startpunkt
P
x0 ∈ X ermittelt
∞
∗
n
werden kann. Es gilt die Fehlerabschätzung d(x , F (x0 )) ≤
j=n aj d(F (x0 ), x0 ).
Beweis::
Siehe Übungsserie 4 / Aufgabe 3.
30
2 Banachräume
2.1 Grundbegriffe
Bemerkung:
Im Folgenden werden insbesondere die Körper K = R oder C betrachtet.
Definition:
Eine nichtleere Menge X heißt linearer Raum oder Vektorraum über dem Körper K
:⇔ Es existieren Abbildungen + : X × X → X, sodass für alle x, y, z ∈ X gilt:
x+y =y+x
(x + y) + z = x + (y + z)
∃0X ∈ X sodass x + 0X = x
∃(−x) ∈ X sodass x + (−x) = 0X
und · : K × X → X, sodass für alle x, y ∈ X und λ, µ ∈ K gilt:
λ(x + y) = λx + λy
(λ + µ)x = λx + µx
(λµ)x = λ(µx)
1K x = x
Definition:
Eine nichtleere Teilmenge E eines Vektorraums X heißt Unterraum oder linearer
Teilraum :⇔ Für alle x, y ∈ E und λ, µ ∈ K gilt λx + µy ∈ E.
Definition:
Ist M ⊂ X, so bezeichnet
Span(M ) := {y ∈ X | y =
n
X
λj yj mit yj ∈ M und λj ∈ K sowie n ∈ N}
j=1
den Spann von M bzw. die lineare Hülle von M in X.
31
2 Banachräume → 2.1 Grundbegriffe
Definition:
(i) Die endliche Menge {x1 , . . . , xN } ⊂ X heißt linear unabhängig :⇔ Aus
PN
j=1 λj xj = 0 folgt λj = 0 für j = 1 . . . , N .
(ii) M ⊂ X heißt linear unabhängig :⇔ Jede endliche Teilmenge aus M ist linear
unabhängig.
Bemerkung:
Die leere Menge ist per Definition linear unabhängig.
Jede Menge die den Nullvektor enthält muss linear abhängig sein.
Definition:
Eine Teilmenge B ⊂ X heißt (algebraische) Basis oder auch Hamelbasis des Vektorraums X :⇔ B ist linear unabhängig und Span(B) = X.
Bemerkung:
Jedes Element eines Vektorraums kann also durch eine endliche Linearkombination von
Basiselementen mit Koeffizienten des Körpers dargestellt werden, und zwar eindeutig!
Neben der Hamelbasis gibt es weitere (nicht zwingend algebraische) Basisbegriffe, wie
zum Beispiel die Schauderbasis eines Banachraumes. Dabei sind dann auch abzählbare
Linearkombinationen möglich. Ein Beispiel ist die Standardbasis der Einheitsvektoren in
lp , welche ganz offensichtlich keine Hamelbasis sein kann.
Satz (Hamelbasis):
Sei X ein linearer Raum. Dann kann jede linear unabhängige Menge M ⊂ X zu einer
Basis (Hamelbasis) von X erweitert werden.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Folgerung:
Jeder lineare Raum besitzt eine algebraische Basis.
Beweis::
Die leere Menge ist stets linear unabhängige Teilmenge eines Vektorraums und kann zu
einer Hamelbasis ergänzt werden.
Definition 2.1.1:
Ein (reeller oder komplexer) linearer Raum X heißt normierter Raum :⇔ Es existiert
eine Abbildung p : X → [0, ∞), sodass für alle x ∈ X und λ ∈ R (oder C) gilt:
(i) x 6= 0 ⇒ p(x) > 0
(Definitheit)
(ii) p(λx) = |λ|p(x)
(Homogenität)
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y)
(Dreiecksungleichung)
p heißt dann Norm .
32
2 Banachräume → 2.1 Grundbegriffe
Bemerkung:
Man schreibt statt p(·) auch k·kX , bzw. k·|Xk oder auch nur k·k (falls der zugehörige
lineare Raum klar ist) .
Der normierte Raum selbst wird sowohl mit (X, k·k), als auch nur mit X beschrieben
(falls die verwendete Norm klar ist).
Definition:
Gilt in Definition 2.1.1
(a) nur (ii) und (iii), so heißt p Halbnorm .
(b) statt (iii) nur p(x + y) ≤ d(p(x) + p(y)) mit einer Konstanten d > 1, so heißt p
Quasinorm .
(c) statt (ii) p(λx) = |λ|q p(x) mit einer Konstanten q 6= 1 so heißt p q-homogene Norm
.
Die zugehörigen Räume heißen in diesen Fällen halbnormiert , quasinormiert bzw.
q-homogen-normiert .
Lemma:
Es gilt stets p(0) = 0.
Beweis::
Aus (ii) folgt mit 0x = 0 trivialerweise p(0) = |0|p(x) = 0.
Lemma:
Jeder (halb-) normierte Raum (X, k·k) wird mit dk·k (x, y) := kx − yk ein (pseudo-)
metrischer Raum (X, dk·k ) bzw. sogar ein topologischer Raum (X, τdk·k ).
Beweis::
Klar.
Definition 2.1.2:
Sei X halbnormierter Raum und (xj )∞
j=1 ⊂ X eine Folge darin.
(i) (xj )∞
heißt
konvergent
:⇔
∃x
∈ X und ∀ε > 0 ∃j0 (ε) mit kxj − xk < ε für alle
j=1
j ≥ j0 (ε).
(ii) (xj )∞
j=1 heißt Cauchy-Folge (CF) :⇔ ∀ε > 0 ∃j1 (ε) mit kxj − xm k < ε für alle
j, m ≥ j1 (ε).
(iii) X heißt vollständig :⇔ Jede Cauchy-Folge konvergiert in X.
(iv) X heißt Banachraum :⇔ X ist vollständiger normierter Raum.
Lemma:
Sei X (halb-) normierter Raum. Dann gilt:
(i) (xj )∞
j=1 ⊂ X konvergiert gegen x ∈ X ⇔ limj→∞ kxj − xk = 0.
(ii) (X, k·k) ist vollständig ⇔ (X, dk·k ) ist vollständiger (pseudo-) metrischer Raum.
33
2 Banachräume → 2.1 Grundbegriffe
Beweis::
Entfällt. Für (i) siehe eventuell Vorlesung „Mengenlehre als Fundament für Mathematik
und Informatik“.
Beispiel:
(i) Q, R oder auch C mit k·k = |·| sind normierte Räume (R, C sogar vollständig).
(ii) Die diskrete Metrik auf einem Vektorraum besitzt kein Gegenstück.
(iii) Die Arcus-Tangens-Metrik auf R (d(x, y) = |arctan(x) − arctan(y)|) besitzt wegen der Homogenität der Norm auch kein Gegenstück.
(iv) Das Gegenstück zu C mit d(z, w) = |<(z) − <(w)| ist die Halbnorm k·k := |<(·)|.
1
(v) Rn oder auch Cn wird für 1 ≤ p < ∞ mit kxkp = kx | lpn k := ( nk=1 |ξk |p ) p zum
n k = max
Banachraum. Die Funktion kxk∞ = kx | l∞
k=1,...,n |ξk | bildet die Maximumsnorm
n
n
des R bzw. C . Dabei ist wie üblich x = (ξ1 , . . . , ξn ).
P
(vi)+ (vii) Auch für die metrischen Räume mit der Urwald-Metrik bzw. der EisenbahnMetrik existiert keine Norm.
(viii) Die Menge aller Folgen s = {x | x = (ξk )∞
k=1 } ist mit komponentenweiser Addition bzw. Multiplikation mit einem Skalar ein Vektorraum. Wegen der Homogenität, welche eine Norm erfüllen müsste, existiert auch zum metrischen Raum (s, d) mit
P
1 |ξk −ηk |
d(x, y) = ∞
k=1 2k 1+|ξk −ηk | keine Norm.
1
p p
lp = {x | kx|lp k < ∞} ist für 1 ≤ p < ∞ mit der Norm kx | lp k = ( ∞
k=1 |ξk | ) ein
vollständiger normierter Raum.
l∞ = {x | kx|l∞ k < ∞} ist ein normierter Raum durch kx | l∞ k = supk |ξk |.
Die Mengen der konvergenten Folgen c, bzw. der Nullfolgen c0 sind lineare Teilräume
von l∞ .
P
p p1
Für 0 < p < 1 ist ( ∞
k=1 |ξk | ) nur eine Quasinorm auf lp . Es gilt die scharfe Abschätzung
P
1
kx + y|lp k ≤ 2 p
−1
(kx|lp k + ky|lp k).
(ix) Die stetigen Funktionen C([a, b]) sind mit der Norm kf k∞ = supt∈[a,b] |f (t)| < ∞
(da stetige Funktionen auf abgeschlossenen Mengen beschränkt sind) vollständig.
R
1
Die Funktion kf kp := ab |f (t)|p dt p ist für 1 ≤ p < ∞ ebenfalls eine Norm auf C([a, b]).
Mit ihr ist der Raum jedoch nicht vollständig.
(x) Die Menge C 1 ([a, b]) der stetig differenzierbaren Funktionen über [a, b] ist ein
Untervektorraum von C([a, b]). Mit der Supremumsnorm aus (ix) ist der Raum jedoch
1
nicht vollständig. Dazu sei beispielsweise die Funktionenfolge (fj )∞
j=1 ⊂ C ([−1, 1]) mit
fj (t) := t2 +
1
j
1
2
gegeben. Bezüglich der Supremumsnorm handelt es sich dabei um
34
2 Banachräume → 2.1 Grundbegriffe
eine Cauchy-Folge, deren Grenzfunktion f (t) = |t| zwar stetig, aber nicht differenzierbar
in t = 0 ist.
Man kann auf C 1 ([a, b]) weitere Normen definieren: kf k := max{kf k∞ , kf 0 k∞ } oder
auch |kf k| := kf k∞ + kf 0 k∞ . Diese Normen sind äquivalent mit kf k ≤ |kf k| ≤ 2kf k
und C 1 ([a, b]) ist damit jeweils vollständig. Sei dazu (fj )∞
j=1 eine beliebige CauchyFolge in (C 1 ([a, b]), k·k). Dann sind die Folgen (fj )∞
und
(fj0 )∞
j=1
j=1 Cauchy-Folgen in
(C([a, b]), k·k∞ ). Da dieser Raum vollständig ist (dazu siehe (ix)) existieren Funktionen
f, g ∈ C([a, b]) mit fj → f und fj0 → g (gleichmäßig, d.h. bezüglich k·k∞ ). In den
Vorlesungen Analysis 1 und 2 wurde gezeigt, dass dann g = f 0 gilt, d.h. f ∈ C 1 ([a, b]).
(xi) Sei Ω ⊂ Rn offen und k ∈ N0 . Dann ist
C k (Ω) := {ϕ | ϕ : Ω → C mit ϕ k-mal stetig diff’bar und für |α| ≤ k
ist Dα ϕ stetig auf Ω fortsetzbar, sowie kϕk < ∞}
ein Vektorraum und mit kϕ|C k (Ω)k := |α|≤k kDα ϕk∞ =
vollständiger normierter Raum (Banachraum).
P
P
|α|≤k
supx∈Ω |Dα ϕ(x)| ein
(xii) Bezeichne D := {z ∈ C | |z| < 1} den offenen komplexen Einheitskreis und
H ∞ die Menge aller beschränkten, holomorphen Funktionen D → C. Mit der Norm
kf k∞ := sup|z|<1 |f (z)| < ∞ (da beschränkt) ist (H ∞ , k·k∞ ) ein Banachraum. Zum
∞
Beweis wähle man eine Cauchy-Folge (fj )∞
j=1 ⊂ H . Dann gibt es eine stetige Funktion
f , mit fj → f gleichmäßig (in k·k∞ ). Mit Hilfe der Funktionentheorie kann man zeigen,
dass f dann holomorph ist und somit in H ∞ liegt.
Lemma (Grundlegende Eigenschaften):
(i) In normierten Räumen ist der Grenzwert eindeutig bestimmt.
(ii) X halbnormierter Raum ⇒ Jede konvergente Folge ist Cauchy-Folge.
(iii) X Banachraum (vollst., normiert) ⇒ Jede Cauchyfolge konvergiert in X.
(iv) Die Begriffe aus Abschnitt 1.1 (offene Kugel, offene/abgeschlossene Menge, Charakterisierung von Punkten) und damit zusammenhängende Eigenschaften übertragen sich.
Beweis::
Wie Abschnitt 1.1 + 1.2.
Beispiel:
Für (iv): Sei M ⊂ X. Dann gilt: x ∈ M ⇔ ∃(xj )∞
j=1 ⊂ M mit xj → x.
Lemma 2.1.1:
(i) Ist (X, k·k) ein Banachraum und U ⊂ X ein (topol.) abgeschlossener Unterraum, so
ist auch (U, k·k) schon Banachraum.
(ii) Sei (X, k·k) ein normierter Raum und U ⊂ X ein vollständiger Unterraum (d.h.
(U, k·k) Banachraum). Dann ist U abgeschlossen.
35
2 Banachräume → 2.1 Grundbegriffe
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Das erklärt auch obiges Beispiel 10: Da (C 1 ([a, b]), k·k∞ ) ein nicht abgeschlossener
Unterraum vom Banachraum C([a, b]) ist kann es eine Folge in C 1 ([a, b]) geben, die gegen
f (·) = |·| ∈ C([a, b]) \ C 1 ([a, b]) konvergiert. Damit ist C 1 ([a, b]) nicht vollständig.
Lemma 2.1.2:
Für (halb-) normierte Räume X sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) X ist vollständig.
P∞
(ii) Jede absolut konvergente Reihe der Folge (xj )∞
j=1 kxj k < ∞) besitzt einen
j=1 (d.h.
PJ
Grenzwert in X (d.h. ∃x ∈ X mit x = limJ→∞ j=1 xj ).
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Definition:
In einem (halb-) normierten Raum X definiert man:
(i) M ⊂ X ist beschränkt :⇔ ∃c > 0, sodass ∀x ∈ M gilt kxk ≤ c.
(ii) (xj )∞
j=1 ⊂ X ist beschränkt :⇔ ∃c > 0, sodass ∀j ∈ N gilt kxj k ≤ c.
Lemma (Einfache Eigenschaften):
∞
Sei X ein (halb-) normierter Raum über dem Körper K. Weiter seien (xj )∞
j=1 , (yj )j=1 ⊂ X,
∞
x, y ∈ X, sowie (λj )j=1 ⊂ K und λ ∈ K. Dann gilt:
(i) xj → x und yj → y ⇒ xj + yj → x + y.
(ii) xj → x und λj → λ ⇒ λj xj → λx.
(iii) xj → x ⇒ kxj k → kxk in R (Stetigkeit der Norm).
(iv) xj → x ⇒ (xj )∞
j=1 ist beschränkt.
Beweis::
Siehe Vorlesungen Analysis I + II.
Lemma 2.1.3:
Sei (X, k·k∗ ) ein halbnormierter Raum. Es gilt:
(i) Die Menge N := {x ∈ X | kxk∗ = 0} ist ein linearer Teilraum von X.
(ii) Die Abbildung k[x]k := kxk∗ ist eine Norm auf dem Faktorraum X/N .
(iii) Ist (X, k·k∗ ) vollständig, so ist (X/N , k·k) ein Banachraum.
Beweis::
Offensichtlich.
36
2 Banachräume → 2.1 Grundbegriffe
Bemerkung:
Der Faktorraum X/N ist die Menge aller Äquivalenzklassen [x] gewisser x ∈ X. Dabei
ist [x] := x + N = {x + y | y ∈ N }, d.h. x, y ∈ [x] = x + N ⇔ x = x + 0, y = x + a mit
0, a ∈ N ⇔ y − x = x + a − x − 0 = a ∈ N ⇔ kak∗ = ky − xk∗ = 0.
Bemerkung:
Zur Betrachtung der Lp -Räume nun ein paar Definitionen aus der Maß- und Integrationstheorie.
Definition:
(i) Ist die Menge T 6= ∅, so heißt Σ ⊂ P(T ) σ-Algebra über T :⇔
(a) ∅ ∈ Σ
(b) E ∈ Σ ⇒ T \ E ∈ Σ
(c) Ej ∈ Σ, ∀j ∈ N ⇒
∞
[
Ej ∈ Σ
j=1
(ii) Für eine σ-Algebra Σ heißt eine Abbildung µ : Σ → [0, ∞] Maß :⇔
(a) µ(∅) = 0

(b) µ ist σ-additiv d.h. Ej ∈ Σ paarweise disjunkt ⇒ µ(
∞
[
j=1
Ej ) =
∞
X

µ(Ej )
j=1
(iii) (T, Σ, µ) heißt Maßraum :⇔ Σ ist σ-Algebra über der Menge T =
6 ∅ und µ ein Maß
auf Σ.
(iv) Ein Maßraum (bzw. das Maß selbst) heißt endlich :⇔ µ(T ) < ∞.
(v) Ein Maßraum (bzw. das Maß selbst) heißt σ-endlich :⇔ ∃(Ej )∞
j=1 ⊂ Σ sodass für
S
alle j ∈ N gilt: µ(Ej ) < ∞ und ∞
E
=
T
.
j
j=1
Bemerkung:
Ist (T, d) ein metrischer oder (T, τ ) ein topologischer Raum, so existieren dort offene
Mengen. Das kleinste Mengensystem mit den Eigenschaften einer Σ-Algebra, welches
alle offenen Mengen enthält bezeichnet man als σ-Algebra der Borelmengen. Als Maß
wird dann häufig das Lebesgue-Maß λ verwendet.
Definition:
Sei (T, Σ, µ) ein Maßraum und 1 ≤ p < ∞.
(i) Eine Funktion f : T → R (oder C) heißt meßbar :⇔ für alle A ⊂ R gilt f −1 (A) ∈ Σ
(vollst. Urbild)
R
(ii) Man definiert das Lebesgue-Integral solcher Funktionen: T f (x)dµ(x) (über Treppenfunktionen).
R
p
cp (T, Σ, µ, C) := {f : T → C | f meßbar mit
(iii) L
T |f (x)| dµ(x) < ∞}
37
2 Banachräume → 2.1 Grundbegriffe
Bemerkung:
cp := L
cp (T, Σ, µ, C) bildet für 1 ≤ p < ∞ einen linearen Raum (Vektorraum)
Die Menge L
und die Abbildung k·k∗p := (
R
T |·(x)|
p
1
dµ(x)) p < ∞ definiert eine Halbnorm darüber,
cp , k·k∗ ) ein vollständiger halbnormierter Raum ist. Definiert man N = Np wie in
sodass (L
1
cp /N mit der Norm k[·]k := ( |·(x)|p dµ(x)) p
Lemma 2.1.3 so bilden die Räume Lp := L
p
T
für 1 ≤ p < ∞ einen Banachraum, wobei f, g ∈ [f ] ∈ Lp ⇔ f = g µ-f.ü. Man schreibt
oft f ∈ Lp , meint aber eigentlich einen Vertreter f ∈ [f ] einer Äquivalenzklasse aus Lp .
R
Definition:
Sei (T, Σ, µ) ein Maßraum und f : T → C meßbar. Dann bezeichnet
ess- sup|f (x)| :=
x∈T
inf { sup |f (x)| }
N ∈Σ, x∈T \N
µ(N )=0
das wesentliche Supremum (essentielles Supremum).
Bemerkung:
Für (abschnittsweise) stetige Funktionen ergibt sich die Identität mit dem klassischen
Supremum.
Im Grunde ist das wesentliche Supremum die kleinste obere Schranke für den Funktionswert einer Menge von Funktionen, welche sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.
Definiert man k·k∗∞ := ess- supx∈T |·(x)|, so kann man analog zum obigen Vorgehen auch
den Raum L∞ definieren.
Beispiel:
(i) T = R oder T = I ⊂ R (Intervall) und Σ die σ-Algebra der Borelmengen, sowie µ = λ
das Lebesgue-Maß.
(ii) T = Ω ⊂ Rn und wieder Σ die σ-Algebra der Borelmengen, sowie µ = λn das
n-dimensionale Lebesgue-Maß.
(iii) T = N, Σ = P(N), sowie µ(·) = #(·) das Zähl-Maß. Dann ist Lp (N, P(N), µ) = lp .
(iv) L∞ ist Banachraum.
(v) Für 0 < p < 1 ist Lp nur Quasi-Banachraum.
Lemma 2.1.4:
Sei X ein endlich-dimensionaler linearer Raum über dem Körper K und {y1 , . . . yn } ⊂ X
eine fixierte Basis. Dann gilt:
P
(i) Jedes x ∈ X ist eindeutig darstellbar als x = nk=1 λk yk mit λk ∈ K.
Pn
(ii) Mit kxk0 := k=1 |λk | wird (X, k·k0 ) zum Banachraum.
38
2 Banachräume → 2.1 Grundbegriffe
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Definition 2.1.3:
Sei X ein linearer Raum und k·k1 , k·k2 (halb-) Normen auf X.
(i) k·k1 heißt schwächer als k·k2 :⇔ ∃c > 0, sodass ∀x ∈ X gilt: kxk1 ≤ ckxk2 .
(ii) k·k1 ist äquivalent zu k·k2 :⇔ ∃c1 , c2 > 0, sodass ∀x ∈ X gilt:
c1 kxk2 ≤ kxk1 ≤ c2 kxk2
Bemerkung:
Normen sind äquivalent, falls jeweils die eine schwächer ist als die andere.
Damit hat man eine Halbordnung bzw. eine Äquivalenzrelation auf Normen definiert.
Satz 2.1.1:
Alle Normen auf einem endlich-dimensionalen linearen Raum sind äquivalent.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Sie führen also zur gleichen Konvergenz und zur gleichen Topologie auf X.
Definition 2.1.4:
Sei X ein normierter / metrischer / topologischer Raum.
(i) M ⊂ X heißt dicht in X :⇔ M = X.
(ii) X heißt separabel :⇔ Es existiert eine abzählbare, dichte Teilmenge M ⊂ X.
Lemma:
Sei X ein normierter / metrischer Raum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) M liegt dicht in X.
(ii) M = X.
(iii) ∀x ∈ X existiert (yj )∞
j=1 ⊂ M mit yj → x.
(iv) ∀x ∈ X ∀ε > 0 existiert stets y(x, ε) ∈ M mit d(x, y) < ε.
Beweis::
Klar.
39
2 Banachräume → 2.1 Grundbegriffe
Beispiel:
(Rn , k·kp ), (Cn , k·kp ) oder jeder andere beliebige endlich-dimensionale Raum X mit beliebiger Norm ist separabel. Zum Beweis wähle eine Basis B := {y1 , . . . yn } von Rn und
P
definiere M := {x ∈ Rn | x = nk=1 λk yk mit λk ∈ Q}. Da Q und Qn abzählbar sind und
dicht liegen, ist auch M abzählbar und liegt dicht im Rn .
Lemma 2.1.5:
Sei X ein normierter Raum. Dann gilt:
X ist separabel ⇔ Es existiert eine abzählbare Menge A ⊂ X mit Span(A) = X.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Beispiel:
(i) Für 1 ≤ p < ∞ ist (lp , k·kp ) separabel.
Zum Beweis setze A := {ej | ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .)
Span(A) = lp (Abschluss in lp ), denn es ist
x = (ξk )∞
k=1 ∈ lp ⇔ kx −
N
X

ξk ek kp = 
k=1
∞
X
j-ter Einheitsvektor }. Dann ist
1
p
|ξk |p  → 0, für N → ∞
k=N +1
Also ist lp separabel nach Lemma 2.1.5. Sucht man noch eine abzählbare, dichte Teilmenge
von lp , so bietet sich die Menge M ⊂ F der finiten Folgen, mit rationalen Komponenten an.
(ii) (c0 , k·k∞ ) ist separabel (analog).
(iii) (l∞ , k·k∞ ) ist nicht separabel.
(iv) (C([a, b]), k·k∞ ) ist ein separabeler Banachraum.
Zeige dazu, dass die Menge der endlichen Linearkombinationen von Polynomen
Span({xn |n ∈ N}) dicht in C([a, b]) liegt (Bernsteinpolynome, Weierstrass’scher Approximationssatz).
(v) (L∞ ([a, b]), k·k∞ ) ist nicht separabel.
(vi) Für 1 ≤ p < ∞ ist (Lp ([a, b]), k·kp ) separabel.
Dazu zeigt man, dass C([a, b]) dicht in Lp ([a, b]) liegt und nach (iv) selbst separabel ist.
40
2 Banachräume → 2.2 Kompakte Mengen in speziellen Banachräumen
2.2 Kompakte Mengen in speziellen
Banachräumen
Lemma 2.2.1 (Lemma von Riesz):
Sei E ein (nichtleerer) abgeschlossener echter Unterraum eines Banachraums (X, k·k).
Dann exisitert für jedes ε > 0 ein xε ∈ X \ E mit kxε k = 1 und inf y∈E kxε − yk ≥ 1 − ε.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Abgeschlossen ist hier im topologischen Sinne zu sehen. Z.B. ist Q ein echter Unterraum
von R, aber nicht abgeschlossen.
Satz 2.2.1:
Ein Banachraum (X, k·k) ist endlich-dimensional ⇔ Jede beschränkte Menge in X ist
präkompakt.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Vergleiche dazu kompakte / präkompakte Mengen in metrischen Räumen (Abschnitt
1.1): Folgenkompaktheit ∼
= Überdeckungskompaktheit, ε-Netz, usw.
Satz 2.2.2:
Für 1 ≤ p < ∞ ist M ⊂ lp präkompakt ⇔
(i) M ist in lp beschränkt und
P∞
p
(ii) ∀ε > 0 ∃k0 (ε) sodass ∀x = (ξk )∞
k=k0 |ξk | < ε (gleichmäßge Restsumk=1 ∈ M gilt
menabschätzung).
Beweis::
Siehe Übungsserie 5.
Bemerkung:
Ist M endlich-dimensinal und beschränkt, so auch präkompakt.
Definition 2.2.1:
Eine Familie stetiger Funktionen {fα | α ∈ A} ⊂ C(Ω) heißt gleichgradig stetig :⇔
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0, sodass für alle x, x0 ∈ Ω mit kx − x0 k < δ und alle α der Indexmenge
A gilt |fα (x) − fα (x0 )| < ε.
41
2 Banachräume → 2.2 Kompakte Mengen in speziellen Banachräumen
Bemerkung:
Es sind dann alle Funktionen fα gleichmäßig stetig und δ hängt nicht von der konkreten
Funktion der Familie ab.
Wir betrachten C(Ω) (stetige Funktionen f : Ω → R oder C) im Folgenden stets mit der
Supremumsnorm.
Satz 2.2.3 (Arzela-Ascoli):
Sei Ω ⊂ Rn offen und beschränkt. Dann ist
{fα | α ∈ A} ⊂ C(Ω) präkompakt ⇔ {fα | α ∈ A} ist beschränkt und gleichgradig stetig.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
In metrischen Räumen ist jede präkompakte Menge stets beschränkt.
42
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in
Banachräumen
Vergleiche Abschnitt 1.3 - Abbildungen zwischen metrischen / topologischen Räumen.
Definition:
X1 , X2 lineare Räume über einem Körper K.
T : X1 → X2 heißt linearer Operator :⇔ ∀x1 , x2 ∈ X1 und λ1 , λ2 ∈ K gilt:
T (λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 T (x1 ) + λ2 T (x2 ).
Statt T (x) schreibt man bei linearen Operatoren auch T x.
Bemerkung:
Dies stellt eine einschneidende Bedingung dar, da zum Beispiel von den R1 → R1
Funktionen nur noch Geraden durch den Ursprung übrig bleiben.
Beispiel:
Triviale Beispiele sind der Nulloperator O(x) = 0X2 ∀x ∈ X1 zwischen beliebigen
linearen Räumen sowie die Identität auf einem Vektorraum id : X → X, x 7→ x.
Lemma:
(i) T (0X1 ) = 0X2
(ii) Seien T, S : X1 → X2 lineare Operatoren und λ ∈ K. Dann sind
(T + S)(x) := T x + Sx
∀x ∈ X1
(λT )(x) := λT x
∀x ∈ X1
wieder lineare Operatoren von X1 nach X2 .
Beweis::
klar.
Bemerkung:
Damit ist die Menge aller linearen Operatoren von X1 nach X2 wieder ein linearer Raum
(Vektorraum).
43
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
Beispiel (für lineare Operatoren):
(i) Aus der linearen Algebra sind lineare Abbildungen A : Rn → Rm in Form von Matrizen
A bekannt. Sind x = (ξ1 , . . . , ξn ), sowie y = (η1 , . . . , ηm ) und A := (αj,k ) j=1,...,m , so gilt
k=1,...,n
y = Ax ⇔ nj =
Pn
k=1 αj,k ξk
∀j = 1, . . . , m ⇔ (η1 , . . . , ηm )T = A · (ξ1 , . . . , ξn )T .
(ii) Will man das Konzept aus (i) auf unendliche Räume verallgemeinern zu A : s → s,
definiert durch
A := (αj,k )∞
j,k=1 mit ηj =
∞
X
αj,k ξk
∀j ∈ N
k=1
so ist dies in der Regel nur sinnvoll, wenn man weitere Forderungen stellt.
P
Gilt ∞
j,k=1 |αj,k | < ∞ so folgt A : l∞ → l1 , denn es gilt
kAx|l1 k =
∞
X
|ηj | =
j=1
≤ sup|ξk |
k
Ist
P∞
j,k=1 |αj,k |
2
Oder gilt supj (
∞ X
∞
X
|
j=1 k=1
∞
X
αj,k ξk | ≤
∞ X
∞
X
|αj,k | = kx|l∞ k ·
j,k=1
|αj,k | · |ξk |
j=1 k=1
∞
X
|αj,k | < ∞ nach Vorraussetzung.
j,k=1
< ∞, so hat man A : l2 → l2 .
P∞
k=1 |αj,k |)
< ∞, so folgt A : l∞ → l∞ .
Desweiteren kann man als Spezialfall Diagonaloperatoren an Stelle unendlicher Matrizen
betrachten. Dann bildet der Operator D, charakterisiert durch d = (δk )∞
k=1 immernoch
Folgen auf Folgen ab. Und zwar setzt man
D : s → s mit y = Dx = (δ1 ξ1 , δ2 ξ2 , . . .) für x = (ξk )∞
k=1
Das heißt man hat in obiger Summe immer nur einen Summanden: ∀j ∈ N : ηj = δj ξj .
Offensichtlich ist D ein linearer Operator. Wählt man d nun geschickt, so ergeben sich
gewisse Eigenschaften.
Für d ∈ l∞ gilt D : lp → lp , für 1 ≤ p ≤ ∞ und wegen lp ⊂ lq ⇔ p ≤ q (vergleiche dazu
Übungsserie 5) gilt sogar D : lp → lq , mit 1 ≤ p ≤ q.
Ist d ∈ l1 , so gilt D : l∞ → l1 . Dies soll hier einmal exemplarisch bewiesen werden:
P
P∞
kDx|l1 k = ∞
k=1 |δk ξk | ≤ supk |ξk |
k=1 |δk | = kx|l∞ k · kd|l1 k.
Für d ∈ lr mit 0 <
1
r
=
1
q
−
1
p
< 1 hat man D : lp → lq für 1 < p < q < ∞.
(iii) Folgende Operatoren arbeiten auf den stetigen Funktionen C([a, b]) und sind alle
offensichtlich linear:
Der Integraloperator ordnet jeder stetigen Funktion eine Stammfunktion mit (T f )(a) = 0
44
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
zu:
T : C([a, b]) → C([a, b]) mit (T f )(t) :=
Z t
f (s)ds
a
Der Volterra’sche Integraloperator, mit einem Kern k ∈ C([a, b] × [a, b]):
v
Z t
v
K : C([a, b]) → C([a, b]) mit (K f )(t) :=
k(t, s)f (s)ds
a
Der Fredholm’sche Integraloperator, mit einem Kern k ∈ C([a, b] × [c, d]):
F
F
K : C([c, d]) → C([a, b]) mit (K f )(t) :=
Z d
k(t, s)f (s)ds
c
Der Multiplikationsoperator, mit einem fixierten a ∈ C([a, b]):
Ma : C([a, b]) → C([a, b]) mit (Ma f )(t) := a(t)f (t)
Lemma:
Sei T : X1 → X2 ein linearer Operator. Dann sind äquivalent:
(i) T ist gleichmäßig stetig auf X1
(ii) T ist stetig auf X1
(iii) T ist stetig in irgendeinem Punkt x0 ∈ X1
(iv) T ist stetig in 0 ∈ X1
Beweis::
Trivial ist (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv). Der Schluss (iv) ⇒ (i) gestaltet sich wie folgt: Wegen
der Stetigkeit in 0 gibt es für jedes ε > 0 ein δ > 0 sodass gilt
kT x | X2 k = kT x − T 0 | X2 k < ε, für x ∈ X1 mit kx | X1 k = kx − 0 | X1 k < δ
Setze nun x := y − z und nutze die Linearität von T .
Definition 2.3.1:
Ein linearer Operator T : X1 → X2 heißt beschränkt :⇔
∃c > 0 :
kT x|X2 k ≤ ckx|X1 k
∀x ∈ X1
Ist T beschränkt so heißt
kT k :=
sup
kT x|X2 k
kx|X1 k=1
Norm von T .
L(X1 , X2 ) bezeichnet die Menge aller linearen und beschränkten Operatoren
von X1 nach X2 . Ist X := X1 = X2 so schreibt man L(X) := L(X, X).
45
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
Bemerkung:
T linear + beschränkt ⇒ ∃ supkx | X1 k=1 kT x | X2 k denn wegen T beschränkt existiert ein
c > 0 mit kT xk ≤ ckxk. Mit kxk = 1 folgt kT xk ≤ c und für eine beschränkte Menge
reeller Zahlen existiert stets das Supremum.
Lemma:
Ist T ein linearer und beschränkter Operator so gilt:
ek = sup
kT k = sup kT xk = sup kT x
kxk=1
ke
xk≤1
b
x6=0
bk
kT x
bk
kx
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Lemma 2.3.1:
Ist T ein linearer und beschränkter Operator so gilt:
kT k = inf{c | c mit kT xk ≤ ckxk}
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
kT k ist also die kleinst mögliche Konstante in der Ungleichung kT xk ≤ ckxk.
Beispiel:
Alle bisherigen Beispiele sind nicht nur linear sondern auch beschränkt.
Insbesondere gilt für den Diagonaloperator D : l∞ → l1 mit Dx = (d1 ξ1 , d2 ξ2 , . . .) das
Folgende: kDx | l1 k ≤ . . . ≤ kx | l∞ k · kd | l1 k. Damit ist stets kD | L(l∞ , l1 )k ≤ kd | l1 k.
Wählt man im Speziellen x∗ = (1, 1, . . .). Dann ist kx∗ | l∞ k = supk |ξk∗ | = 1. Also
folgt kDx∗ | l1 k = k(d1 , d2 , . . .) | l1 k = kd | l1 k. Daher gilt insbesondere für die Norm
des Operators kDk = kD | L(l∞ )k = supkx | l∞ k=1 kDx | l∞ k ≥ kd | l1 k. Aus den beiden
Ungleichungen ergibt sich also zusammenfassend kDk = kd | l1 k.
Beispiel (für unbeschränkte lineare Operatoren):
(i) Sei M := {f | f, f 0 ∈ C([a, b])} ⊂ C([a, b]) ein linearer Teilraum des Raumes der
stetigen Funktionen (eigentlich ist M = C 1 ([a, b])).
d
Betrachte den Differentialoperator dt
: M → C([a, b]), f 7→ f 0 und wähle auf M die übliche Supremumsnorm der stetigen Funktionen kf |M k := kf |C([a, b])k = supt∈[a,b] |f (t)|.
46
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
Dieser Operator ist offenbar linear.
n
t−a
Wähle nun die speziellen Funktionen fn (t) := b−a
. Dann ist
d
d
daher gilt k dt
fn |C([a, b])k = supt∈[a,b] | dt
fn (t)| =
Weiter ist kfn |M k = supt∈[a,b] |
t−a
b−a
n
d
dt fn
n−1
= n (t−a)
(b−a)n und
n
b−a .
| = 1. Es kann also keine Konstante c exisiteren,
n
= b−a
≤ ckfn |M k = c.
sodass für alle n ∈ N gilt
Damit ist der Differentialoperator auf (M, k·k∞ ) nicht beschränkt. Der Ausweg ist eine
andere Norm auf M zu wählen: kf |M k := kf |C 1 ([a, b])k = kf |C([a, b])k + kf 0 |C([a, b])k.
Dies ist die Standardnorm auf C 1 ([a, b]), welche auch die Bezeichnung impliziert.
d
Wie bereits im Beispiel 10 in Abschnitt 2.1 gezeigt, ist dt
: C 1 ([a, b]) → C([a, b]) ein
beschränkter linearer Operator.
d
fn |C([a, b])k
k dt
(ii) Man kann mithilfe der Hölder’schen Ungleichung zeigen, dass T : l2 → R mit
P
ξk
∞
T x := ∞
k=1 k ∈ R, für x = (ξk )k=1 ⊂ l2 einen linearen und beschränkten Operator definiert. Betrachtet man l2 als Teilmenge von l∞ , so wird es zum linearen Teilraum.
Die Abbildung T : (l2 , k·|l∞ k) → R ist zwar noch linear, aber nicht mehr beschränkt.
Dazu wählt man die Folge, deren erste N Einträge
√ 1 sind und die sonst nur 0en enthält:
xN = (1, . . . , 1, 0, . . .) ∈ l2 (wegen kxN |l2 k = N ). Es gilt offensichtlich kxN |l∞ k = 1.
P
1
Weiter ist T xN = N
k=1 k → ∞ (N → ∞) und es kann daher keine Konstante c > 0
geben, sodasss für alle N stets kT xN k ≤ ckxN |l∞ k gilt. T ist also unbeschränkt (l2 liegt
nicht dicht in l∞ ).
Satz 2.3.1:
Ein linearer Operator T : X1 → X2 ist beschränkt ⇔ T ist stetig.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Lemma:
In endlich dimensionalen Räumen sind alle linearen Abbildungen beschränkt und damit
stetig.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Lemma 2.3.2:
Seien T, S ∈ L(X1 , X2 ) und λ ∈ C oder R. Dann gilt auch (T + S) und (λT ) ∈ L(X1 , X2 ).
Beweis::
Siehe Vorlesung.
47
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
Bemerkung:
Lineare und beschränkte Operatoren bilden also einen Unterraum der linearen Operatoren.
Lemma 2.3.3:
Ist T ∈ L(X1 , X2 ) dann wird durch kT k := supkxk=1 kT xk eine Norm auf dem Vektorraum
L(X1 , X2 ) definiert.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Eine Norm induziert einen Konvergenzbegriff:
L(X1 ,X2 )
Tj → T für j → ∞ in L(X1 , X2 ), d.h. kTj − T k −→ 0 für j → ∞. Dies wird als
Normkonvergenz bzw. gleichmäßige Konvergenz bezeichnet.
Eine andere Variante ist die Punktweise / schwache Konvergenz:
Tj x → T x für j → ∞ für jedes x ∈ X1 (Konvergenz in X2 ), d.h. kTj x − T x|X2 k → 0
(j → ∞).
Diese Variante ist schwächer (vergleiche dazu ÜS 7/1), denn sie folgt aus obiger Konvergenz: kTj x − T xk = k(Tj − T )xk ≤ kTj − T k · kxk. Umgekehrt gilt das nicht.
Satz 2.3.2:
Ist X1 ein normierter Raum und X2 ein Banachraum, so ist L(X1 , X2 ) mit der Operatorennorm vollständig (also Banachraum).
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Satz 2.3.3 (Fortsetzungssatz):
Sei E ein linearer Teilraum vom X1 , der dort dicht liegt (d.h. E = X1 ) und X2 ein
Banachraum. Ein nur auf E definierter linearer und beschränkter Operator T0 mit
Werten in X2 kann auf eindeutige Weise zu einem linearen und beschränkten Operator
T : X1 → X2 , unter Erhalt der Norm, fortgesetzt werden (d.h. T x = T0 x ∀x ∈ E und
kT |L(X1 , X2 )k = kT0 |L(E, X2 )k).
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Satz 2.3.4 (Komposition von Operatoren):
Sei T ∈ L(X1 , X2 ) und S ∈ L(X2 , X3 ). Dann ist ST := (S ◦ T ) ∈ L(X1 , X3 ) mit
k(ST )|L(X1 , X3 )k ≤ kS|L(X2 , X3 )k · kT |L(X1 , X2 )k (kurz: kST k ≤ kSk · kT k).
48
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Im Allgemeinen herrscht dort keine Gleichheit.
Beispiel:
Seien T, S : l2 → l2 gegeben mit T x := (ξ1 , 0, ξ3 , 0, ξ5 , . . .) und Sx := (0, ξ2 , 0, ξ4 , . . .)
für x = (ξ1 , ξ2 , ξ3 , . . .). Dann ist kT |L(l2 )k = kS|L(l2 )k = 1, aber ST x = T Sx = 0,
damit ist kST |L(l2 )k = kT S|L(l2 )k = 0. D.h. es handelt sich um eine echte Ungleichung
0 < 1 · 1 = 1.
Bemerkung:
Von Interesse sind Aussagen über Invertierbarkeit von linearen Operatoren.
Für T ∈ L(X, Y ) und T x = y stellen sich also folgende Fragen:
(i) ∃x ∈ X mit T x = y für alle y ∈ Y ? (Lösbarkeit)
(ii) Sind diese x jeweils eindeutig bestimmt?
(iii) Ist die jeweilige Lösung stetig abhängig von der rechten Seite? D.h. welche Auswirkung
hat der Übergang von y zu ye ∈ Y mit ky − yek < δ auf die Lösung x?
Beispiel:
Sei p eine fixierte stetige Funktion und der Operator P (D) : C 1 ([a, b]) → C([a, b]) definiert
durch (P (D)x)(t) := x0 (t) + p(t)x(t), für x ∈ C 1 ([a, b]). Zu beachten ist dabei die Norm
kf |C 1 ([a, b])k := kf |C([a, b])k + kf 0 |C([a, b])k.
Dann ist P (D)x = y ⇔ x0 (t) + p(t)x(t) = y(t) für t ∈ [a, b] eine gewöhnliche, lineare
Differentialgleichung erster Ordnung. Aussagen über Lösbarkeit und Eindeutigkeit liefert
der Satz von Piccard-Lindelöff. Könnte man den Operator invertieren, wäre die Lösung
unmittelbar ablesbar.
Erweiterung auf partielle Differentialgleichungen:
P
P (D) := |α|≤m aα Dα definiert einen allgemeinen Differentialoperator m-ter Ordnung.
Definition 2.3.2:
Für lineare Operatoren T : X → Y definiert man:
(i) Ker(T ) = N (T ) := {x ∈ X | T x = 0} heißt Kern von T
(ii) Im(T ) = R(T ) := {y ∈ Y | ∃x ∈ X mit y = T x} heißt Bild von T
Lemma:
Sei T : X → Y ein linearer und beschränkter Operator. Dann gilt:
(i) Ker(T ) ist ein linearer und abgeschlossener Teilraum von X
(ii) Im(T ) ist ein linearer Teilraum von Y (i.A. nicht abgeschlossen).
49
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Definition:
Ist Im(T ) endlich-dimensional, so heißt der lineare Operator T endlich-dimensional ,
ausgeartet oder auch finit .
Definition 2.3.3:
Ein linearer und beschränkter Operator T : X → Y heißt invertierbar :⇔ ∃S ∈ L(Y, X)
mit ST = IX : X → X und T S = IY : Y → Y , wobei I die Identität bezeichnet
(IA x = x ∀x ∈ A). Ein solches S wird mit T −1 bezeichnet.
Bemerkung:
In dieser Definition wird neben der algebraischen Invertierbarkeit zusätzlich noch die
Setigkeit des inversen Operators gefordert. Es gibt Beispiele, bei denen der Umkehroperator nicht zwingend stetig sein muss. Exemplarisch ist hier die identische Abbildung
auf den stetigen Funktionen zu nennen, genauer: id : (C([0, 1]), k·k∞ ) → (C([0, 1]), k·k1 ),
da der Zielraum nicht vollständig ist. Der Satz von Banach (siehe Höhere Analysis II)
macht später genauere Aussagen über die Stetigkeit inverser Operatoren.
Lemma:
Falls T invertierbar ist, gilt Ker(T ) = {0} und Im(T ) = Y .
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Ist T −1 auch stetig, d.h. beschränkt, wenn Ker(T ) = {0} und Im(T ) = Y gilt? Ja: Satz
von Banach (vergleiche Höhere Analysis II).
Beispiel (Für Kern und Bild eines Operators):
Sei 1 < p < ∞ und x = (ξ1 , ξ2 , ξ3 , . . .) ∈ lp .
(i) Die Abbildung L : lp → lp (z.B.: l2 → l2 ) mit Lx := (ξ2 , ξ3 , ξ4 , . . .) heißt Linksshift.
Es gilt: Ker(L) = {x ∈ lp | x = (ξ1 , 0, . . .)} und Im(L) = lp
(ii) Analog zu (i) kann man den Rechtsshift R : lp → lp mit Rx := (0, ξ1 , ξ2 , . . .) definieren.
Es gilt: Ker(R) = {0} und Im(R) = {y ∈ lp | η1 = 0} ⊂ lp , wobei Im(R) 6= lp .
(iii) Der Diagonaloperator D : lp → lp mit Dx := (ξ1 , ξ22 , ξ33 , . . .) liefert das Folgende:
Ker(D) = {0} und Im(D) $ lp , aber das Bild liegt dicht in lp , d.h. Im(D) = lp . Dazu
wähle y = Dx = (1, 21 , 13 , . . .) ∈ lp , dann ist x = (1, 1, . . .) ∈
/ lp . Es gibt also kein Urbild
für y in lp . Und es gilt: lp = F ⊂ Im(D) ⊂ lp , wobei F die finiten Folgen bezeichnen.
50
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
Definition 2.3.4:
Ein linearer und beschränkter Operator T : X → Y zwischen zwei normierten Räumen
heißt Isomorphismus :⇔ T ist bijektiv und T −1 ist stetig (also beschränkt).
Gilt darüber hinaus sogar kT xk = kxk ∀x ∈ X so wird T als Isometrie bezeichnet.
Die entsprechenden Räume heißen zueinander isomorph X ' Y (bzw. sogar isometrisch isomorph X ∼
= Y ).
Beispiel:
c ' c0 (konvergente Folgen sind isomorph zu Nullfolgen).
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
betrachte nun folgenden Spezialfall:
Für einen linearen und beschränkten Operator T : X → X über einem normierten
P
n
Raum X definiert man die Neumann’sche Reihe von T zu ∞
n=0 T . Dabei ist
T n = T ◦ T ◦ . . . ◦ T und per Definition T 0 = IX .
Satz 2.3.5 (Satz über die Neumann’sche Reihe):
1
Sei T ∈ L(X), X Banachraum und limn→∞ kT n k n < 1. Dann ist IX − T invertierbar und
P
n
−1
die Neumann’sche Reihe konvergiert (in der Operatorennorm) mit ∞
n=0 T = (IX −T ) .
1
−1
Ist ferner kT k < 1, so gilt außerdem k(IX − T ) k ≤ 1−kT k .
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Wegen dem Satz über die Komposition von Operatoren gilt für T ∈ L(X) : kT n k ≤ kT kn .
Bemerkung:
1
Es genügt zu fordern, dass lim supn→∞ kT n k n < 1, denn setzt man an := kT n k ≥ 0, so
hat die Folge (an )∞
n=1 die spezielle Eigenschaft an+m ≤ an · am . Für solche Folgen gilt
1
1
lim supn→∞ ann = limn→∞ ann (Vergleiche dazu [Heuser]).
Bemerkung (Zusammenhang zum Banach’schen Fixpunktsatz):
Sei T : X → X linear mit kT k ≤ 1 und y0 ∈ X beliebig. Dann ist K : X → X, definiert
durch Kx := y0 + T x eine kontrahierende Abbildung, denn für x1 , x2 ∈ X gilt
kKx1 − Kx2 k = kT x1 − T x2 k = kT (x1 − x2 )k ≤ Lkx1 − x2 k mit L = kT k < 1. Nach dem
Banach’schen Fixpunktsatz existiert also ein x∗ ∈ X, für welches gilt
51
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
Kx∗ = x∗ = y0 + T x∗ ⇔ y0 = x∗ − T x∗ = (IX − T )x∗ ⇔ x∗ = (IX − T )−1 y0 . Ist
x0 ∈ X beliebig fixiert folgt daher durch Iteration
x1 = y0 + T x0
x2 = y0 + T (y0 + T x0 )
= y0 + T y0 + T 2 x0
x3 = y0 + T (y0 + T y0 + T 2 x0 )
= y0 + T y0 + T 2 y0 + T 3 x0
..
.
xj = y0 + T y0 + . . . + T j−1 y0 + T j x0
Damit ist x∗ = limj→∞ xj = limj→∞
limj→∞
T jx
0
P
j−1 n
n=0 T y0
+ T j x0 =
P∞
n=0 T
ny
0
mit
= 0, da kT k ≤ 1.
Definition 2.3.5 (Kompakter Operator):
Ein linearer T : X → Y zwischen normierten Räumen heißt kompakter Operator :⇔
T bildet alle beschränkten Mengen aus X in präkompakte Mengen in Y ab.
Bemerkung:
Dies ist eine schärfere Forderung als beschränkter Operator. Genauer gilt: T (linear) ist
kompakt ⇒ T ist beschränkt, denn präkompakte Mengen sind beschränkt.
Es genügt zu fordern, dass die abgeschlossene Einheitskugel K1X (0) = {x ∈ X | kxk ≤ 1}
in X durch T in eine präkompakte Menge T (K1X (0)) ⊂ Y überführt wird.
Lemma:
Der lineare Operator T : X → Y ist kompakt ⇔ T (K1X (0)) ⊂ Y ist präkompakt.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Lemma:
Ist T ein linearer, beschränkter und ausgearteter Operator (dim(Im(T )) < ∞) so folgt,
dass T kompakt ist.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Ein Banachraum X hat endliche Dimension ⇔ L(X) enthält nur kompakte Operatoren.
52
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Satz 2.3.6:
Ist Y ein Banachraum so bildet die Menge aller (linearen) kompakten Operatoren
T : X → Y einen abgeschlossenen Unterraum von L(X, Y ).
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Folgerung:
Sei Y ein Banachraum und (Tn )∞
n=1 ⊂ L(X, Y ) eine Folge ausgearteter Operatoren (⇒ Tn
kompakt) mit Tn → T (in der Operatorennorm), so ist der Grenzoperator T kompakt.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
In Hilberträumen ist das sogar eine Charakterisierung kompakter Operatoren (eine genaudann-wenn-Aussage).
In allgemeinen Banachräumen ist die Umkehrung allerdings nicht immer richtig (Gegenbeispiel 1973 von Enflo, siehe [Werner]).
Bemerkung:
Seien X, Y, Z Banachräume, T ∈ L(X, Y ) und S ∈ L(Y, Z). Ist T oder S kompakt, so ist
auch ST ∈ L(X, Z) kompakt.
Beweis::
Entfällt.
Definition:
In einem Banachraum X bezeichnet K(X) die Menge aller kompakten Operatoren
T : X → X.
Bemerkung:
K(X) ⊂ L(X)
L(X) ist eine Banachalgebra und K(X) eines ihrer Ideale (abgeschlossen bzgl. Addition
und Komposition und für S ∈ K(X), T ∈ L(X) gilt stets ST, T S ∈ K(X)).
53
2 Banachräume → 2.3 Lineare Abbildungen / Operatoren in Banachräumen
Bemerkung:
Die Kompaktheit eines Operators kann durch die Entropiezahlen von T (K1X (0)) gemessen werden:
ek (T ) := inf{ε > 0 | T ({x ∈ X | kxk ≤ 1}) ⊂ Y kann durch 2k−1 Kugeln
mit Radius ≤ ε überdeckt werden}
Es gilt für Operatoren S und T , wegen kT xk ≤ kT kkxk:
e1 (T ) = kT k
ek+l−1 (ST ) ≤ ek (S) · el (T )
ek+l−1 (S + T ) ≤ ek (S) + el (T )
(das geht auch für lineare und beschränkte Operatoren)
Es gilt: T kompakt ⇔ ek (T ) → 0, für k → ∞.
Desweiteren kann man Approximationszahlen von Operatoren definieren:
ak (T ) := inf{kT − Ak | A ∈ L(X, Y ) ausgeartet mit dim(Im(A)) ≤ k}
Gilt ak → 0, für k → ∞ (d.h. ∃(Ak )∞
k=1 ⊂ L(X, Y ) mit Ak → T in L(X, Y )), so folgt,
dass T kompakt ist.
Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch (nach obiger Bemerkung).
Beispiel (Ein auf ganz X definierter unbeschränkter Operator):
Sei B = {xα | α ∈ I} - wobei I potentiell überabzählbar sein darf - eine algebraische Basis
des linearen Raumes X, d.h. jedes Element des Raumes ist durch eine endliche Linearkombination dieser Basiselemente darstellbar. Wähle nun eine abzählbare Teilmenge paarweise
P
P∞
verschiedener Indizes (αk )∞
k=1 kλαk xαk sinnk=1 ⊂ I, dann definiert T ( α∈I λα xα ) :=
voll einen linearen Operator, da die Darstellung von x, y ∈ X eindeutig bestimmt ist
(denn B ist Basis) und sowohl links (die restlichen αk sind 0), als auch rechts (fast alle
λαk sind 0) eine endliche Summe steht. Des Weiteren ist T unbeschränkt, denn es gilt
T (xαk ) = kxαk , bzw. kT (xαk )k = kkxαk k.
Beispiel (Ein Operator bei dem Ker(T ) nicht abgeschlossen ist):
Wähle für 1 ≤ p < ∞ den Raum X = lp . Die algebraische Basis B = {xα | α ∈ I} von
X möge die Einheitsvektoren bzw. -folgen ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) enthalten (und noch
mehr!). Setze xαk := ek und definiere dann den unbeschränkten Operator T : lp → C
P
P
durch T ( α∈I λα xα ) := ∞
k=1 kλαk .
Dann sind die Elemente xn = e1 − n1 en = (1, 0, . . . , 0, − n1 , 0, . . .) ∈ Ker(T ). Die Folge
(xn )∞
/ Ker(T ), da gilt
n=1 ⊂ lp strebt offensichtlich gegen e1 = (1, 0, . . .), aber e1 ∈
T (e1 ) = 1.
54
2 Banachräume → 2.4 Lineare Funktionale
2.4 Lineare Funktionale
In diesem Abschnitt sei X ein normierter Raum und Y = C oder R. Man betrachtet nun
L(X, C) bzw. L(X, R) - d.h. lineare und beschränkte Operatoren T : X → C.
Da C Banachraum ist, folgt, dass auch L(X, C) zum Banachraum wird.
Definition:
X 0 := L(X, C) heißt Raum der linearen und stetigen (beschränkten) Funktionale über
X oder auch Dualraum von X . Elemente aus X 0 werden Funktionale genannt und
mit x0 bezeichnet.
Man schreibt auch kx0 |X 0 k = supkx|Xk=1 |x0 (x)| = supkx|Xk=1 |< x0 , x >|
Wie sieht X 0 in konkreten Fällen aus?
Beispiel:
(Cn , k·k2 )0 ∼
= (Cn , k·k2 )
Satz 2.4.1:
1
(i) Sei 1 ≤ p < ∞ und p1 + 1q = 1 ( ∞
= 0 im Fall p = 1, q = ∞). Dann ist die Abbildung
P
∞
0
∞
T : lq → (lp ) mit (T y)(x) := k=1 ηk ξk , wobei x = (ξk )∞
k=1 ∈ lp und y = (ηk )k=1 ∈ lq ,
ein isometrischer Isomorphismus.
(ii) Die selbe Abbildungsvorschrift vermittelt einen isometrischen Isomorphismus zwischen
l1 und (c0 )0
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Satz 2.4.2:
Sei 1 ≤ p < ∞ und p1 + 1q = 1. Ferner sei (Ω, Σ, µ) ein σ-endlicher Maßraum. Dann
R
definiert T : Lq (Ω, Σ, µ) → (Lp (Ω, Σ, µ))0 mit (T g)(f ) := Ω (f g)dµ einen isometrischen
Isomorphismus.
Beweis::
Siehe [Werner, II 2.4].
Beispiel:
R
1
Für f ∈ Lp ([a, b]) mit Lebesgue-Maß und 0 < p < 1 ist kf |Lp k = ab |f (t)|p dt p < ∞.
Lp ist in diesem Fall ein Quasi-Banachraum, da es sich nur um eine Quasi-Norm handelt
(Dreiecksungleichung mit einer Konstanten > 1).
Es gilt (Lp ([a, b]))0 = {0}.
55
2 Banachräume → 2.4 Lineare Funktionale
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Wie „reichhaltig“ ist X 0 also? Kann man durch X 0 Elemente aus X „trennen“ - d.h.
existiert für x, y ∈ X mit x 6= y ein x0 ∈ X 0 mit x0 (x) 6= x0 (y) bzw. x0 (x − y) 6= 0?
Das hängt mit der Fortsetzbarkeit von linearen Funktionalen zusammen:
Sei E ⊂ X ein echter linearer Teilraum eines Vektorraums X, sowie l : E → C ein
lineares Funktional auf E. Kann dieses auf ganz X fortgesetzt werden?
∃y1 ∈ X \ E. Damit ist E ∪ {y1 } linear unabhängig, denn sonst wäre y1 ∈ E.
x ∈ Span(E ∪ {y1 }) besitzt die eindeutige Darstellung x = z + αy1 mit z ∈ E und α ∈ C.
Definiere l1 (x) := l(y) + αc1 mit c1 = const. beliebig fixiert.
Setzt man E1 := Span(E ∪ {y1 }) so folgt l1 : E1 → C ist eine lineare Fortsetzung von l.
S
Führt man diesen Prozess itterativ weiter so erhält man ∞
j=1 Ej . Ist dies bereits der
gesamte Raum X (was in der Regel nicht der Fall ist) so ist man fertig. Der Fortsetzungsprozess ist für Räume diesen „Typs“ also so möglich.
Definition 2.4.1:
Eine Abbildung p : X → R heißt sublinear :⇔ für beliebige x, y ∈ X gilt:
p(x + y) ≤ p(x) + p(y) (subadditiv) und
p(αx) = αp(x)
∀α > 0 (positiv-homogen)
Beispiel:
(i) Normen und Halbnormen
(ii) Jede lineare Abbildung von X nach R auf reellem Vektorraum
(iii) x = (ξk )∞
k=1 ∈ l∞ (reelle Folgen) und p(x) := lim supk ξk
(iv) x = (ξk )∞
k=1 ∈ l∞ (komplexe Folgen) und p(x) := lim supk <(ξk ) (oder =(ξk ))
Satz 2.4.3 (Satz von Hahn-Banach, Variante: Lineare Algebra):
Sei X ein reeller Vektorraum und p eine sublineare Abbildung auf X. Ferner sei auf einem
linearen Teilraum E von X ein lineares Funktional l : E → R mit l(x) ≤ p(x) ∀x ∈ E
gegeben. Dann existiert eine Fortsetzung L von l auf ganz X mit L(x) ≤ p(x) ∀x ∈ X.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Eine solche Fortsetzung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.
56
2 Banachräume → 2.4 Lineare Funktionale
Satz (Satz von Hahn-Banach, Variante: Lineare Algebra, komplex):
Sei X ein reeller oder komplexer Vektorraum und p ein reellwertiges, subadditves und
betragshomogenes Funktional auf X (p(αx) = |α|p(x), α ∈ K). Außerdem sei auf einem
linearen Unterraum E ⊂ X ein lineares Funktional l : E → C mit |l(x)| ≤ p(x) ∀x ∈ E
gegeben. Dann hat l eine lineare Fortsetzung L auf ganz X mit |L(x)| ≤ p(x) ∀x ∈ X.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Satz 2.4.4 (Hahn-Banach-Theorem):
Sei l ein stetiges, lineares Funktional auf einem linearen Teilraum E eines normierten
Raumes X. Dann existiert eine stetige lineare Fortsetzung L : X → C von l auf X mit
der gleichen Norm, d.h. kl|E 0 k = supkxk≤1 |l(x)| = supkxk |L(x)| = kL(x)|X 0 k.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Folgerung 2.4.1:
Ist X ein normierter Raum und x0 ∈ X \ {0}. Dann existiert ein lineares und stetiges
Funktional L ∈ X 0 mit kL|X 0 k = 1 und L(x0 ) = kx0 k.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
e 0k =
Variante: kL|X
1
kx0 k
e 0 ) = 1.
und L(x
Bemerkung:
Damit kann man Elemente x und y trennen, denn es existiert ein Funktional L, welches
auf x0 := y − x nicht Null ist. Da L linear ist folgt L(x) 6= L(y).
Folgerung 2.4.2:
Ist X ein normierter Raum, so gilt für jedes x ∈ X stets
kxk =
sup |L(x)| =
kL|X 0 k≤1
Beweis::
Siehe Vorlesung.
|L(x)|
0
L∈X 0 \{O} kL|X k
sup
57
2 Banachräume → 2.4 Lineare Funktionale
Folgerung 2.4.3:
Gilt für ein Element x eines normierten Raumes X stets L(x) = 0 für jedes Funktional
L ∈ X 0 , so ist x = 0.
Beweis::
klar.
Bemerkung:
Ist X ein normierter Raum, so ist X 0 = L(X, C) der Raum der linearen und stetigen
Funktionale über X (Dualraum) - ein Banachraum, da R bzw. C Banachräume sind.
Man kann nun über X 0 abermals lineare, stetige Funktionale definieren.
Definition 2.4.2:
Für einen normierten Raum X wird X 00 := (X 0 )0 = L(X 0 , C) der Bidualraum von X
genannt.
Lemma:
Ist x ∈ X und K = R oder C, so ist ix : X 0 → K, definiert durch ix (x0 ) := x0 (x) für
x0 ∈ X 0 , ein lineares und stetiges Funktional über X 0 , d.h. ix ∈ X 00 .
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Es gilt wegen kxk = supkx0 |X 0 k≤1 |x0 (x)| (vgl. Folgerung 2.4.2) sogar kix |X 00 k = kxk.
Folgerung:
J : X → X 00 mit J(x) := ix ist eine lineare, stetige und normerhaltende (nicht notwendig
surjektive) Abbildung, die jedem x das lineare Funktional ix : X 0 → K zuordnet.
Beweis::
Linearität klar: J(x + y)(x0 ) = ix+y (x0 ) = x0 (x + y) = x0 (x) + x0 (y) = ix (x0 ) + iy (x0 ) =
J(x)(x0 ) + J(y)(x0 ) ∀x0 ∈ X 0 , damit folgt J(x + y) = J(x) + J(y).
Beschränktheit (Stetigkeit) und Normerhaltung folgen unmittelbar aus obiger Bemerkung:
kJ(x)|X 00 k = kix |X 00 k = kxk ∀x ∈ X.
Bemerkung:
Man nennt J die kanonische Einbettung von X in X 00 .
Insbesondere ist kJ|L(X, X 00 )k = 1.
58
2 Banachräume → 2.4 Lineare Funktionale
Lemma:
Ist X ein normierter Raum so folgt:
(i) X 00 = L(X 0 , C) ist Banachraum.
(ii) J(X) (das Bild von X unter der Abbildung J) ist ein linearer Teilraum von X 00 .
(iii) Ist X überdies vollständig (Banachraum) so ist J(X) abgeschlossen (im topol. Sinne)
und damit auch Banachraum.
Beweis::
(i) Wegen Satz 2.3.2, da C vollständig ist.
(ii) Siehe obige Folgerung und Lemma aus Abschnitt 2.3.
00
(iii) Wähle eine beliebige Cauchy-Folge (x00k )∞
k=1 in J(X) ⊂ X . Dann existiert wegen (i)
c00 ∈ X 00 . Die Linearität und Normerhaltung von J liefern ferner, dass
ein Grenzelement x
auch die Urbild-Folge (xk )∞
k=1 ⊂ X eine Cauchy-Folge ist:
kxm − xn |Xk = kJ(xm − xn )|X 00 k = kJ(xm ) − J(xn )|X 00 k = kx00m − x00n |X 00 k < ε.
Ist X Banachraum, so existiert auch dort ein Grenzelement x ∈ X, dessen Bild J(x) = x00
offensichtlich in J(X) liegt.
Aus der Stetigkeit von J folgt, dass x00k = J(xk ) gegen J(x) = x00 ∈ J(X) konvergiert. Da
c00 = x00 ∈ X 00 . Damit ist J(X) abgeschlossen
der Grenzwert eindeutig bestimmt ist folgt x
und daher als abgeschlossene Teilmenge eines Banachraums auch selbst Banachraum. Bemerkung:
Damit kann man die Vervollständigungsproblematik in normierten Räumen behandeln:
Folgerung:
Jeder normierte Raum ist isometrisch isomorph zu einem dichten Unterraum eines
Banachraumes.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
∼
Beispiel (c00
0 = l∞ ):
c0 mit der Supremumsnorm k·k∞ ist ein Banachraum. Frühere Überlegungen zeigten,
dass (c0 )0 ∼
= l1 und (l1 )0 ∼
= l∞ gilt. Damit folgt unmittelbar (c0 )00 ∼
= l∞ .
0
∼
Die Abbildung Jc0 : c0 → l∞ sieht dann mit x = (ξk )∞
∈
c
und
y
= (ηk )∞
0
k=1
k=1 ∈ l1 = (c0 )
P∞
so aus: Jc0 (x)(y) = k=1 ξk ηk . Damit ist c0 in l∞ eingebettet, wobei Jc0 nicht surjektiv
ist.
Beispiel (lp00 ∼
= lp ):
Für 1 < p < ∞ gilt (lp )0 ∼
= lq mit p1 + 1q = 1 (siehe oben). Dann ist offensichtlich
∼ lp . Daher ist
1 < q < ∞ und damit nach gleichem Argument (lp0 )0 = (lp )00 ∼
= (lq )0 =
lp00 ∼
= lp .
P∞
∞
0
∼
D.h. mit x = (ξk )∞
k=1 ξk ηk .
k=1 ∈ lp und y = (ηk )k=1 ∈ lq = (lp ) ist Jlp (x)(y) =
59
2 Banachräume → 2.4 Lineare Funktionale
Definition:
Ist X Banachraum und die Abbildung J surjektiv so heißt X reflexiv oder selbstbezüglich,
∼ X.
d.h. es gilt X 00 =
Bemerkung:
Mit Hilfe des Dualraums X 0 eines normierten Raumes (X, k·k) kann man eine neue,
schache Konvergenz definieren: Eine Folge konvergiert genau dann schwach in X, wenn
alle linearen, stetigen Funktionale angewendet auf die Folge gegen das entsprechende
Funktional angewendet auf den schwachen Grenzwert konvergieren.
Definition:
Ist (xj )∞
j=1 eine Folge in einem normierten Raum (X, k·k) und x ∈ X, so definiert man:
σ
xj −→ x (oder σ − limj→∞ xj = x oder weak- limj→∞ xj = x) :⇔ ∀x0 ∈ X 0 = L(X, C)
gilt x0 (xj ) → x0 (x) für j → ∞.
In diesem Falle nennt man die Folge (xj )∞
j=1 schwach konvergent in X.
Lemma:
Aus der Konvergenz einer Folge folgt stets auch die schwache Konvergenz.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.
Beispiel (Schwach-konvergente Folge, die nicht konvergiert):
Sei 1 < p < ∞. Man betrachte die Folge der Einheitsvektoren (ej )∞
j=1 ⊂ lp mit
(j) ∞
∞
0
ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) = (ξk )k=1 und wähle ferner ein x = (ηk )k=1 ∈ (lp )0 ∼
= lq . Dann
P∞
(j)
0
0
gilt (siehe früher): x (ej ) = k=1 ηk ξk = ηj . Damit ist limj→∞ x (ej ) = limj→∞ ηj = 0,
1
q q
wegen ( ∞
k=1 |ηk | ) < ∞. Also gilt weak- limj→∞ ej = 0, aber kej k = 1, d.h. es existiert
kein limj→∞ ej .
P
Bemerkung:
Der schwache Grenzwert ist stets eindeutig bestimmt.
Lemma:
∞
(fj )∞
j=1 ⊂ C([0, 1]) konvergiert schwach gegen 0 ∈ C([0, 1]) ⇔ (fj )j=1 konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion: limj→∞ fj (t) = 0 ∀t ∈ [0, 1]
Beweis::
Entfällt.
60
3 Hilberträume
3.1 Grundbegriffe
Bemerkung:
In diesem Kapitel wollen wir den Begriff des Banachraums weiter spezifizieren. Es ergibt
sich folgende Rangordnung (vom Allgemeinen zum Speziellen):
Topologischer Raum
Metrischer Raum
Normierter Raum
Banachraum
Hilbertraum
Bemerkung (unübliche Definition):
Ein Hilbertraum ist ein Banachraum in dem für beliebige Elemente x, y stets die Parallelogrammgleichung kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) gilt.
Definition 3.1.1:
Sei H ein linearer Raum über C (oder R). Eine Abbildung (·, ·) : H × H → C heißt
Skalarprodukt :⇔ ∀x, y, x1 , x2 ∈ H und λ1 , λ2 ∈ C (bzw. R) gilt:
(i) (x, x) > 0 für x 6= 0
(insbesondere reell)
(ii) (x, y) = (y, x)
(· konjugiert komplex)
(iii) (λ1 x1 + λ2 x2 , y) = λ1 (x1 , y) + λ2 (x2 , y)
Bemerkung:
Ein Skalarprodukt ist also eine positiv definite, hermitische Sesquilinearform. Im Falle
eines Vektorraums über R ist das Skalarprodukt eine positiv definite, symmetrische
Bilinearform (Abb. H × H → R).
61
3 Hilberträume → 3.1 Grundbegriffe
Lemma:
Es gilt für alle x, y1 , y2 ∈ H und λ1 , λ2 ∈ C (bzw. R):
(i) (0, x) = (0x, x) = 0(x, x) = 0
(ii) (x, λ1 y1 + λ2 y2 ) = (λ1 y1 + λ2 y2 , x) = λ1 (y1 , x) + λ2 (y2 , x) = λ1 (x, y1 ) + λ2 (x, y2 )
(iii) (x, x) = (x, x) ∈ R
Beweis::
Trivial.
Satz 3.1.1:
p
Im Vektorraum H wird mittels der Abbildung k·k = (·, ·) eine Norm definiert.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Durch die vom Skalarprodukt induzierte Norm ist (H, k·k) ein normierter Raum.
Lemma 3.1.1 (Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung):
p
Sei H ein normierter Raum, x, y ∈ H und k·k = (·, ·). Dann gilt stets
|(x, y)| ≤ kxk · kyk.
Gleichheit gilt nur für (x = 0 oder y = 0 oder) x = λy mit λ ∈ C.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Folgerung:
∞
Das Skalarprodunkt ist stetig, d.h. für (xn )∞
n=1 , (yn )n=1 ⊂ C, sowie x, y ∈ H mit xn → x
und yn → y gilt (xn , yn ) → (x, y) (in C).
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Satz 3.1.2:
Sei X ein normierter Raum. Dann gilt:
p
Es existiert auf X ein Skalarprodunkt mit k·k = (·, ·) ⇔ für alle x, y ∈ X gilt die
Parallelogramm-Gleichung : kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).
62
3 Hilberträume → 3.1 Grundbegriffe
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Definition 3.1.2:
(i) Ein linearer Raum X mit Skalarprodukt heißt Prähilbertraum .
p
(ii) Ist der durch k·k := (·, ·) bestimmte normierte Raum (X, k·k) vollständig (d.h.
Banachraum), so heißt H := X Hilbertraum (mit diesem Skalarprodukt).
Beispiel:
P
(i) H := Rn oder Cn mit l2n -Norm ist ein Hilbertraum mit (x, y) := nk=1 ξk ηk , für
x := (ξk )nk=1 , y := (ηk )nk=1 ∈ H
(ii) H := Rn oder Cn mit lpn -Norm (p 6= 2): kein Skalarprodukt möglich. Sei dazu
beispielsweise p = 1, x = (1, 0, . . .) und y = (0, 1, 0, . . .). Dann ist kxk1 = kyk1 = 1, sowie
kx+yk1 = kx−yk1 = 2. Damit ist die Parallelogrammgleichung verletzt: 22 +22 6= 2(1+1).
∞
∞
(iii) H := l2 ist Hilbertraum mit (x, y) := ∞
k=1 ξk ηk , für x := (ξk )k=1 , y := (ηk )k=1 ∈ H,
das ist sinnvoll, da nach der Hölder’schen Ungleichung gilt:
P
|
∞
X
ξk η k | ≤
k=1
∞
X
!1
2
2
|ξk |
k=1
Die Norm sieht dann so aus: kxk =
vollständig.
∞
X
!1
|ηk |
2
2
k=1
P
∞
k=1 ξk ξk
1
2
=
P
2
∞
k=1 |ξk |
1
2
und l2 ist damit
(iv) Für Ω ⊂ Rn ist L2 (Ω) (Äquivalenzklassen quadratisch integrierbarer Funktionen von
Ω nach R, die sich nur auf Nullmengen unterscheiden) ein Hilbertraum mit der Norm
Z
kf | L2 (Ω)k =
2
|f (x)| dµ(x)
1
2
Ω
und folgendem Skalarprodukt:
Z
(f, g) :=
f (x)g(x) dµ(x)
Ω
Denn (L2 (Ω), k·k) ist nach Lemma 2.1.3 ein Banachraum und (·, ·) : L2 × L2 → R ist eine
symmetrische, offensichtlich linkslineare Abbildung (da das Integral linear ist) für die
gilt (f, f ) > 0 für f ∈ L2 \ {0},Rdenn wegen f 6= 0R ⇒ ∃M ⊂ Ω mit µ(M ) 6= 0, sodass gilt
∀x ∈ M : f (x) 6= 0 ⇒ 0 < M f (x)2 dµ(x) ≤ Ω f (x)2 dµ(x) = (f, f ).
63
3 Hilberträume → 3.1 Grundbegriffe
Definition 3.1.3:
Sei H ein (Prä-) Hilbertraum.
(i) x, y ∈ H heißen orthogonal (schreibe x⊥y ) :⇔ (x, y) = 0.
(ii) M1 , M2 ⊂ H heißen orthogonal (schreibe M1 ⊥M2 ) :⇔ ∀x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 gilt
x1 ⊥x2 .
(iii) M ⊥ := {x ∈ H | ∀y ∈ M : (x, y) = 0} heißt das orthogonale Komplement von
M ⊂ H.
Folgerung:
Sei H ein (Prä-) Hilbertraum.
(i) x, y ∈ H, x⊥y ⇒ kxk2 + kyk2 = kx + yk2 (Pythagoras).
(ii) M ⊥ ist ein abgeschlossener linearer Teilraum von H.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Folgerung:
Sei H ein (Prä-) Hilbertraum. Dann gilt stets:
(i) M ⊂ (M ⊥ )⊥
⊥
(ii) M ⊥ = Span(M )
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Definition:
Eine Teilmenge M eines (reellen) linearen Raumes heißt konvex :⇔ für alle x, y ∈ M
und t ∈ [0, 1] ist tx + (1 − t)y ∈ M (alle Elemente der Verbindungsgerade zwischen x und
y aus M gehören ebenfalls zur Menge).
Lemma 3.1.2:
Jede abgeschlossene und konvexe Teilmenge M eines Hilbertraumes H besitzt genau ein
Element minimaler Norm, d.h. ∃!x∗ ∈ M mit kx∗ k = minx∈M kxk.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Folgerung (Bestapproximation):
Ist H ein (Prä-) Hilbertraum und M ⊂ H eine konvexe, abgeschlossene (und vollständige)
Teilmenge. Dann existiert zu jedem x0 ∈ H genau ein y ∈ M mit
ky − x0 k = min kz − x0 k.
z∈M
64
3 Hilberträume → 3.1 Grundbegriffe
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Definition:
Man nennt α(x0 , M ) := minz∈M kz − x0 k den Abstand des Punktes x0 von der Menge
M.
Bemerkung:
Die Folgerung gilt auch in vielen Banachräumen, aber nicht in allen.
Beispiel:
Gültig für lp mit 1 < p < ∞.
2
Ungültig für l1 , l∞ . Beispielsweise besitzt die abgeschlossene Kugel K1 ((0, 2)) des l∞
unendlich viele Punkte mit minimalem Abstand zum Ursprung.
Satz 3.1.3:
Sei H ein (Prä-) Hilbertraum und H1 ein abgeschlossener (und vollständiger) linearer
Teilraum von H. Dann kann jedes x ∈ H eindeutig in der Form x = x1 + x2 mit x1 ∈ H1
und x2 ∈ H1⊥ dargestellt werden.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Definition:
x1 aus Satz 3.1.3 heißt orthogonale Projektion von x auf H1 .
Folgerung:
Ist H1 ein abgeschlossener, linearer Teilraum eines Hilbertraumes H, so gilt (H1⊥ )⊥ = H1 .
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Die Vollständigkeit (welche für einen Prähilbertraum separat für den Unterraum gefordert
werden muss) ist wichtig für die Existenz der orthogonalen Projektion, wie folgendes
Beispiel zeigt:
65
3 Hilberträume → 3.1 Grundbegriffe
Beispiel:
e := {f ∈ C([0, 1]) | f (1) = 0} mit dem Skalarprodukt aus C([0, 1]), also
Die Menge H
R1
(f, g) := 0 f (t)g(t)dt ist ein Hilbertraum, welcher nicht vollständig ist.
R
e abgeschlossener, linearer Teilraum (ohne
e | 1 f (t)dt = 0} ist ein in H
T := {f ∈ H
0
⊥
e
Beweis). Es gilt T = {0}, aber T $ H.
Definition 3.1.4:
Sei H ein Hilbertraum, dann definiert man:
(i) die orthogonale Summe zweier zueinander orthogonaler linearer Teilräume H1 ⊥H2
von H durch:
H1 ⊕ H2 := {x ∈ H | x = x1 + x2 ,
x1 ∈ H1 , x2 ∈ H2 }
(ii) die orthogonale Summe endlich vieler paarweise orthogonaler linearer Teilräume
H1 , . . . , HJ von H (Hi ⊥Hj , i 6= j) durch:
J
M
Hj := {x ∈ H | x =
J
X
xj ,
xj ∈ Hj }
j=1
j=1
(iii) die orthogonale Summe abzählbar unendlich vieler paarweise orthogonaler linearer
Teilräume (Hj )∞
i 6= j) durch:
j=1 von H (Hi ⊥Hj ,
∞
M
Hj :=
\
e
H
j=1
e lineare Teilräume von H sind, welche alle LJ Hj für J ∈ N enthalten.
wobei die H
j=1
Lemma:
Sind H1 und H2 lineare Teilräume eines Hilbertrames H mit H1 ⊥H2 , so ist H1 ∩H2 = {0}.
Beweis::
Klar.
Bemerkung:
In Banachräumen gilt:
H1 ∩ H2 = {0} ⇒ H1 +̇H2 = {x ∈ H | x = x1 + x2 ,
x1 ∈ H1 , x2 ∈ H2 } (direkte Summe).
Lemma:
Die Darstellung von x ∈ H1 ⊕ H2 ist eindeutig bestimmt.
66
3 Hilberträume → 3.1 Grundbegriffe
Beweis::
Angenommen man hätte zwei Darstellungen
x = x1 + x2 = x01 + x02 mit x1 , x01 ∈ H1 und x2 , x02 ∈ H2 . Dann ist x1 − x01 = x02 − x2 ,
wobei x1 − x01 ∈ H1 und x2 − x02 ∈ H2 ist (da H1 und H2 lineare Teilräume sind). Wegen
dem vorrigen Lemma ist x1 − x01 = x2 − x02 = 0, also x1 = x01 und x2 = x02 .
Lemma 3.1.3:
Sei H ein Hilbertraum, dann gilt:
(i) Sind H1 ⊥H2 lineare Teilräume von H, so ist H1 ⊕ H2 abgeschlossen ⇔ H1 und H2
sind abgeschlossen.
e abgeschlossene, lineare Teilräume von H, so existiert genau ein abge(ii) Sind H1 , H
e = H1 ⊕ H2 . (man schreibt auch H2 = H
e H1 )
schlossener Teilraum H2 von H mit H
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Lemma 3.1.3 gilt nicht, falls H nur ein Prähilbertraum ist. Ein Gegenbeispiel für diesen
Fall ist in Übungsserie 10 zu finden.
67
3 Hilberträume → 3.2 Orthogonale Basen
3.2 Orthogonale Basen
Bemerkung:
Im Folgenden werden nur noch separable Hilberträume H betrachtet, d.h. solche für die
eine abzählbare, dichte Teilmenge existiert (Vergleiche dazu Definition 2.1.5). Der Vorteil
dieser Einschränkung ist die Möglichkeit Reihen einfacher zu formulieren.
Beispiel:
Die Räume (Cn , k·k2 ), l2 und L2 (Ω) (für Ω ⊂ Rn separabel) sind alle separabel.
Bemerkung:
(xi )i∈I ⊂ H für I überabzählbar heißt summierbar :⇔ ∃x ∈ H und für alle ε > 0
existiert eine endliche Indexmenge J(ε) ⊂ I, sodass für alle endlichen Indexmengen J
P
mit J(ε) ⊂ J ⊂ I stets kx − i∈J xi k < ε gilt.
Solche Folgen / Reihen muss man betrachen, wenn man auch nicht separable Hilberträume
H betrachten will.
Definition 3.2.1:
Die Folge (ej )∞
j=1 ⊂ H (oder eventuell auch nur endlich viele) heißt Orthonormalsystem
(kurz ONS ) :⇔ Für alle j, k ∈ N gilt:
(
(ej , ek ) = δjk =
1,
0,
j=k
j 6= k
Bemerkung:
Das verschwinden des Skalarprodukts für verschiedene Elemente rechtfertigt die Bezeichnung „ortho“ und die Normierung kej k2 = (ej , ej ) = 1 (⇒ kej k = 1) rechtfertigt die
Bezeichnung „normal“.
Das Ziel ist es, ein ONS zu finden, welches gleichzeitig Basis des Hilbertraumes ist.
Satz 3.2.1:
Sei H ein (Prä-) Hilbertraum und x ∈ H. Dann gilt:
(i) Ist E := {e1 , . . . , eJ } ⊂ H ein endliches ONS, so
∃!y ∈ Span(E) mit kx − yk =
inf
kx − zk
z∈Span(E)
(ii) Ist (ej )∞
j=1 ⊂ H ein ONS, so gilt die Bessel’sche Ungleichung :
∞
X
|(x, ej )|2 ≤ kxk2
j=1
68
3 Hilberträume → 3.2 Orthogonale Basen
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Mithilfe des Pythagoras ist leicht zu sehen, dass für ek ⊥ej , für j 6= k und λk , λj ∈ C gilt
P
P
P
k Jj=1 λj ej k2 = Jj=1 kλj ej k2 = Jj=1 |λj |2 .
Lemma:
Ist (ej )∞
j=1 ein ONS eines (Prä-) Hilbertraumes H und x ∈ H. Dann gilt:
x=
∞
X
∞
X
(x, ej )ej ⇔
j=1
|(x, ej )|2 = kxk2
(Parseval’sche Gleichung )
j=1
Beweis::
Folgt aus der Herleitung im Beweis des Satzes 3.2.1 (ii).
Definition:
Ist (ej )∞
j=1 ein ONS eines (Prä-) Hilbertraumes H und x ∈ H, dann heißt
(i) (x, ej ) ∈ C Fourierkoeffizient von x bezüglich ej ,
P
(ii) ∞
j=1 (x, ej )ej Fourierreihe von x.
Satz 3.2.2:
Ist (ej )∞
j=1 ein ONS eines separablen, unendlich-dimensionalen Hilbertraumes ({e1 , . . . , eJ }
im endlich-dimensionalen Hilbertraum) H, so sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) x =
∞
X
(x, ej )ej ,
∀x ∈ H
j=1
(ii)
∞
X
|(x, ej )|2 = kxk2 ,
∀x ∈ H
j=1
(iii) (x, y) =
∞
X
(x, ej )(y, ej ),
∀x, y ∈ H
j=1
(iv) Span({ej | j ∈ N}) ist dicht in H
(v) {ej | j ∈ N}⊥ = {0}
(vi) Die Abbildung H → l2 mit x 7→ ((x, ej ))∞
j=1 ist bijektiv und normerhaltend
(Isometrie)
(vii) (x, ej ) = 0 ∀j ∈ N ⇒ x = 0.
69
3 Hilberträume → 3.2 Orthogonale Basen
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Hat man also ein ONS, für welches eine der Aussagen in Satz 3.2.2 gilt, so ist dieser
unendlich-dimensionale separable Hilbertraum isometrisch isomorph zum Raum l2 .
Definition 3.2.2:
Ein ONS (ej )∞
j=1 ⊂ H heißt Orthonormalbasis (kurz ONB ) eines separablen Hilbertraumes H (oder auch vollständiges ONS , kurz VONS ) :⇔ Für alle x ∈ H gilt die
Parseval’sche Gleichung (bzw. eine der äquivalenten Aussagen aus Satz 3.2.2).
Satz 3.2.3:
In jedem Hilbertraum existiert eine Orthonormalbasis.
Beweis::
Im Allgemeinen Fall nutzt man für den Existenzbeweis das Zorn’sche Lemma.
Hier, für den Spezialfall separabler Hilberträume, wird ein konstruktiver Beweis mit Hilfe
des Orthogonalisierungsverfahrens von Gram-Schmidt geführt:
Siehe Vorlesung.
Beispiel:
In L2 ([−1, 1]) liegen die stetigen Funktionen C([−1, 1]) dicht. In diesen liegen wiederum
die Polynome Span({1, t, t2 , t3 , . . .}) dicht. Die Menge F := {1, t, t2 , t3 , . . .} entspricht
also der, aus dem zweiten Beweisschritt in Satz 3.2.3. Die Elemente sind noch nicht
orthogonal zueinander, denn es ist beispielsweise
(1, t2 ) =
Z 1
t2 dt =
−1
2
6= 0.
3
Hier muss also noch das Gram-Schmidt-Verfahren angewendet werden (siehe dazu Übungsserie 10).
Beispiel (für Orthonormalbasen):
(i) In (Cn , k·k2 ) ist (ej )nj=1 mit ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) eine ONB. Analog dazu bildet
(ej )∞
j=1 eine Orthonormalbasis des l2 .
(ii) Im Raum L2 (−π, π) bilden die Basisfunktionen der klassischen Fourierreihe
√ t , sin
√ t , cos
√ 2t , sin
√ 2t , . . .} eine ONB. Sie sind Lösungen der
{ √12π eikt | k ∈ Z} bzw. { √12π , cos
π
π
π
π
Differentialgleichung u00 − λu = 0 mit u(π) = u(−π).
70
3 Hilberträume → 3.2 Orthogonale Basen
k
(iii) Beispiel (ii) lässt sich auf L2 (0, a) verallgemeinern. Hier ist { √1a e2πi a t | k ∈ Z}
eine Orthonormalbasis.
(iv) Auf L2 (−1, 1) lässt sich aber neben der klassischen
Fourierbasis auch eine Orq
thonormalbasis aus Polynomen angeben: {ηn (t) := 2n+1
2 Pn (t) | n ∈ N0 }, wobei die
Funktionen Pn Legendre’sche
Polynome
heißen
und
wie
folgt definiert sind:
2
1 dn
n
Pn (t) = 2n n! dtn (t − 1) . Es handelt sich hierbei um Polynome vom Grad n mit Vorfaktor 1.
Die ONB erhält man einerseits mittels eines Potenzreihenansatzes als Lösung der Differentialgleichung (1 − t)2 u00 − 2tu0 + λu = 0 mit |u(1)|, |u(−1)| < ∞ oder durch das
Gram-Schmidt-Verfahren, angewendet auf die Menge der Polynome {1, t, t2 , . . .}, denn es
gilt Span({1, t, t2 , . . .}) = L2 (−1, 1).
Die Legendre-Polynome sind Lösungen der Legendre’schen Differentialgleichung
(1 − t2 )Pn00 − 2tPn0 + n(n + 1)Pn = 0 mit |Pn (1)|, |Pn (−1)| < ∞.
(v) In L2 (R) ist {Ψn (t) := √
1
√
2n n! π
t2
e− 2 Hn (t) | n ∈ N0 } mit den Hermite’schen Poly2
nomen (vom Grad n, mit Vorfaktor 1) Hn (t) := (−1)n et
dn
dtn
h
2
e−t
i
eine ONB. Wegen
R
dem L2 -Skalarprodukt (f, g) = R f (t)g(t)dt ist Ψn ∈ L2 (R).
R
Wählt man den Raum L2,w (R) mit dem Skalarprodukt (f, g)L2,w := R f (t)g(t)w(t)dt
2
und w(t) := e−t , so sind auch die Hermite’schen Polynome Elemente von L2,w (R). Sie
sind Lösungen der Hermite’schen Differentialgleichung Hn00 − 2tHn0 + 2nHn = 0.
t
1 −2
(vi) Auf L2 ((0, ∞)) ist {ϕn (t) := n!
e Ln (t) | n ∈ N0 } eine Orthonormalbasis. Die
n d
t
n
−t
Funktionen Ln (t) := e dtn t e
heißen Laguerr’sche Polynome (vom Grad n). Man
erhält sie durch eine Potenzreihenansatz aus der Laguerr’schen Differentialgleichung
tL00n (t) + (1 − t)L0n (t) + nLn (t) = 0 für 0 < t < ∞.
(vii) Im Raum L2 (×nj=1 (−π, π)), wobei ×nj=1 (−π, π) als n-dimensionaler Würfel mit
der Seitenlänge 2π angesehen werden kann, bildet { 1 n eikx | k ∈ Zn } eine ONB, wenn
(2π) 2
man kx := k1 x1 + . . . + kn xn vereinbart.
(viii) Die Menge w3 = S 2 := {x ∈ R3 | r = |x| = 1} bezeichne die Oberfläche der
Einheitskugel im
R3 mit Kugelkoordinaten.
Der Raum L2 (w3 ) mit dem Skalarprodukt
R
R 2π R π
(f, g)L2 (w3 ) := w3 f (ϕ, ϑ)g(ϕ, ϑ) dSw3 = 0 0 f (ϕ, ϑ)g(ϕ, ϑ) sin ϑ dϑdϕ ist ein Hilbertraum. Man definiert die hzugeordneten
Legendre’schen Polynome für m = 0, . . . , l durch
i
m l+m
d
l
2
2
l
2
Pm (t) := (1 − t ) dtl+m (1 − t ) (die gewöhnlichen Legendre Polynome erhält man
mit m = 0).
Dann bilden die Kugelflächenfunktionen {Yl,m | l ∈ N0 , m = 0, . . . , l}, sowie
{Yel,m | l ∈ N0 , m = 1, . . . , l} eine Orthonormalbasis des L2 (w3 ) mit (·, ·)L2 (w3 ) . Dabei ist
Yl,m (ϕ, ϑ) :=
1
2l l!
r
2(l+1)(l−m)! m
2π(l+m)! Pl (cos ϑ) cos (mϕ)
71
und
3 Hilberträume → 3.2 Orthogonale Basen
Yel,m (ϕ, ϑ) :=
1
2l l!
r
2(l+1)(l−m)! m
2π(l+m)! Pl (sin ϑ) sin (mϕ).
(k)
(ix) Im L2 ((0, 1)) sind die Haar’schen Funktionen {hn (t) | n ∈ N0 , k = 1, . . . , 2n }
eine Orthonormalbasis (vgl. auch Wavelets ). Dabei ist
(0)
h0 (t) := 1,
h(k)
n (t) :=

n


2

2 ,
n
−2 2 ,



0,
k−1
2n
k− 12
2n
≤t<
≤t<
sonst
k− 12
2n
k
2n
(x) Die Rademacher’schen Funktionen {rn (t) | n ∈ N0 } mit
(0)
r0 (t) := h0 (t)
(0)
r1 (t) := h1 (t)
n
2
1 X
rn (t) := √ n
h(k)
n (t),
2 k=1
n≥2
bilden nur ein Orthonormalsystem des L2 ((0, 1)), sind aber nicht vollständig (also keine
ONB).
(xi) Die Walsch’schen Funktionen {wn (t) | n ∈ N0 } hingegen sind eine Orthonormalbasis des L2 ((0, 1)) mit w0 (t) := 1 und wn (t) := rϑ1 +1 (t) · . . . · rϑp +1 (t) für n ≥ 1.
Dabei ist n = 2ϑ1 + . . . + 2ϑp die Binärdarstellung von n, mit ϑ1 < ϑ2 < . . . < ϑp .
72
3 Hilberträume → 3.3 Lineare Operatoren im Hilbertraum
3.3 Lineare Operatoren im Hilbertraum
Bemerkung:
Lineare und beschränkte (stetige) Operatoren in Banachräumen wurden bereits in
Abschnitt 2.3 betrachtet.
Abschnitt 2.4 beschäftigte sich mit linearen Funktionalen x0 ∈ X 0 = L(X, C). Insbesondere
waren Aussagen der Form (lp )0 ∼
= lp0 mit p1 + p10 = 1 für 1 ≤ p < ∞ von Interesse.
Die folgenden Betrachtungen gelten wieder auch für nicht separable Hilberträume.
Satz 3.3.1 (Darstellungssatz von Frechét-Riesz):
Sei l ein lineares und stetiges Funktional über einem Hilbertraum H. Dann gilt:
(i) ∃!y ∈ H mit l(x) = (x, y), für alle x ∈ H und kl | L(H, C)k = ky | Hk.
(ii) Die Abbildung T : H → H 0 = L(H, C) mit y 7→ (·, y) ist bijektiv, isometrisch und
konjugiert linear (d.h. T (λy) = λT (y)).
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Damit gilt stets H ∼
= H 0 . Insbesondere sind daher alle Hilberträume reflexiv.
Definition 3.3.1:
Sei H ein Hilbertraum über C.
(i) Eine Abbildung L : H × H → C heißt beschränkte / stetige Sesquilinearform :⇔
Für alle x, x1 , x2 , y, y1 , y2 ∈ H und λ1 , λ2 , µ1 , µ2 ∈ C gilt:
(a) L(λ1 x1 + λ2 x2 , y) = λ1 L(x1 , y) + λ2 L(x2 , y)
(Linearität im 1. Argument)
(b) L(x, µ1 y1 + µ2 y2 ) = µ1 L(x, y1 ) + µ2 L(x, y2 )
(konj. Linearität im 2. Argument)
(c) ∃c ≥ 0 mit |L(x, y)| ≤ ckxkkyk
(Beschränktheit)
(ii) Die Norm einer Sesquilinearform L ist definiert durch
kLk := sup |L(x, y)|.
kxk≤1
kyk≤1
Bemerkung:
Eine mögliche Verallgemeinerung wäre eine Abbildung L : H1 ×H2 → C, für Hilberträume
H1 , H2 .
„Sesqui“ steht für 1 21 - zwischen Linearform (lineare Funktionale) und Bilinearform.
73
3 Hilberträume → 3.3 Lineare Operatoren im Hilbertraum
Beispiel:
Jedes Skalarprodukt ist eine Sesquilinearform.
Lemma 3.3.1:
Sei L eine stetige Sesquilinearform auf einem Hilbertraum H. Dann gibt es zwei eindeutig
bestimmte Operatoren T, S ∈ L(H) mit:
L(x, y) = (T x, y) = (x, Sy),
∀x, y ∈ H
kLk = kT | L(H)k = kS | L(H)k.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Definition 3.3.2:
Ist H ein Hilbertraum und T ∈ L(H). Dann heißt T ∗ ∈ L(H) der zu T adjungierte
Operator :⇔ Es gilt (T x, y) = (x, T ∗ y) für alle x, y ∈ H.
Lemma:
Ist H ein Hilbertraum, so existiert zu jedem T ∈ L(H) stets der adjungierte Operator
T ∗ ∈ L(H) und ist eindeutig bestimmt.
Beweis::
Ist der Operator T ∈ L(H) vorgegeben, so definiere die stetige Sesquilinearform L durch
L(x, y) := (T x, y), für x, y ∈ H (stetig, da T und (·, ·) stetig). Nach Lemma 3.3.1 existiert
dann ein eindeutiges S ∈ L(H), mit L(x, y) = (T x, y) = (x, Sy) für alle x, y ∈ H. Setze
T ∗ := S.
Bemerkung:
Die Definition setzt vorraus, dass T auf ganz H definiert und dort beschränkt ist.
Definition:
Ein Operator T ∈ L(H) über einem Hilbertraum H heißt selbstadjungiert :⇔ T = T ∗
Bemerkung:
Unbeschränkte Operatoren sind nur sinnvoll auf Teilmengen eines Hilbertraumes. Beid2
00 mit D( d2 ) = {f ∈ L (R) | f 00 ∈ L (R)} ⊂ L (R). Für
spielsweise dt
2
2
2
2 : f 7→ f
dt2
d2
d2
d2
d2
( dt
f,
g)
=
(f,
g)
muss
f
∈
D(
)
und
g
∈
D(
)
mit
Randbedingungen
gelten.
2
dt2
dt2
dt2
Dies ist dann nur „Symmetrie“, die Selbstadjungiertheit verlangt noch gleiche Definitionsgebiete.
74
3 Hilberträume → 3.3 Lineare Operatoren im Hilbertraum
Bemerkung:
Ist T ∈ L(H1 , H2 ) für Hilberträume H1 , H2 , so ist die Definition eines adjungierten
Operators T ∗ ∈ L(H2 , H1 ) mit (T x, y)H2 = (x, T ∗ y)H1 für x ∈ H1 , y ∈ H2 möglich.
Satz 3.3.2 (Eigenschaften des adjungierten Operators):
Sind T, T1 , T2 lineare, beschränkte Operatoren über einem Hilbertraum H und T ∗ , T1∗ , T2∗
die zugehörigen adjungierten Operatoren. Dann gilt für λ1 , λ2 ∈ C:
(i) kT k = kT ∗ k
(ii) (λ1 T1 + λ2 T2 )∗ = λ1 T1∗ + λ2 T2∗
(iii) (T1 ◦ T2 )∗ = T2∗ ◦ T1∗
(iv) ∃T −1 ∈ L(H) ⇒ ∃(T ∗ )−1 = (T −1 )∗ ∈ L(H)
(v) (T ∗ )∗ = T
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Satz 3.3.3:
Sei H ein Hilbertraum und T ∈ L(H). Dann gilt:
H = Im(T ) ⊕ Ker(T ∗ ) = Im(T ∗ ) ⊕ Ker(T ).
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Für selbstadjungierte Operatoren gilt nach Satz 3.3.3 H = Im(T ) ⊕ Ker(T ).
Definition 3.3.3 (Projektions-Operatoren / Orthogonale Projektion):
Sei H1 ein abgeschlossener, linearer Teilraum eines Hilbertraumes H mit {0} $ H1 $ H.
Dann existieren eindeutig bestimmte x1 ∈ H1 , x2 ∈ H1⊥ mit x = x1 + x2 , ∀x ∈ H.
Definiere die (orthogonale ) Projektion P x von x auf H1 durch P x := x1 , ∀x ∈ H.
Bemerkung:
In den Sonderfällen H1 = {0} oder H1 = H folgt unmittelbar P = O (Nulloperator )
bzw. P = IH (Identität). Damit ist die orthogonale Projektion für alle abgeschlossenen
Unterräume H1 eines Hilbertraumes H definiert.
75
3 Hilberträume → 3.3 Lineare Operatoren im Hilbertraum
Lemma:
Sei H1 ein abgeschlossener, linearer Teilraum eines Hilbertraumes H. Die orthogonale
Projektion P auf H1 ist eindeutig bestimmt und es gilt:
(i) P ist linear
(ii) P ist beschränkt mit kP | L(H)k = 1
(iii) Im(P ) = H1 und Ker(P ) = H1⊥
Beweis::
Die Fälle der obigen Bemerkung sind trivial, daher sei o.B.d.A. {0} $ H1 $ H.
(i) Seien x = x1 + x2 und y = y1 + y2 mit x1 , y1 ∈ H1 , x2 , y2 ∈ H1⊥ (eindeutig) und
λ, µ ∈ C. Dann ist λx + µy = (λx1 + µy1 ) + (λx2 + µy2 ) ∈ H1 ⊕ H1⊥ . Offensichtlich gilt
damit P (λx + µy) = λx1 + µy1 = λP (x) + µP (y).
(ii) Mit dem Satz des Pythagoras folgt
kxk2 = kx1 + x2 k2 = kx1 k2 + kx2 k2 = kP xk2 + kx2 k2 ≥ kP xk2 . Daher ist kP k ≤ 1. Also
ist P beschränkt.
Andererseits ist für x1 ∈ H1 \ {0} die Darstellung x1 = x1 + 0 eindeutig. Daher folgt
kP x1 k = kx1 k, also kP k ≥ 1. Zusammengefasst gilt daher kP | L(H)k = 1.
(iii) gilt offensichtlich.
Satz 3.3.4:
Ist H ein Hilbertraum und P ∈ L(H), so gilt:
P ist Orthogonalprojektion ⇔ P 2 = P und P = P ∗ .
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Lemma:
Ist H ein Hilbertraum und P ∈ L(H), so gilt:
P ist Orthogonalprojektion ⇔ (I − P ) ist Orthogonalprojektion.
Beweis::
e so ist (I − P ) eine Projektion auf H
e ⊥ (siehe Beweis
Ist P eine Projektion bezüglich H,
Satz 3.3.4). Für die Rückrichtung setze Pb := I − P und wende bereits Bewiesenes an.
Damit folgt I − Pb = I − (I − P ) = I − I + P = P ist Projektion.
Bemerkung:
Weitere Eigenschaften von orthogonalen Projektionsoperatoren finden sich in Übungsserie
11 / Aufgabe 1.
Betrachte im Folgenden finite (ausgeartete) Operatoren K auf Hilberträumen H, d.h.
K ∈ L(H) mit dim(Im(K)) < ∞.
76
3 Hilberträume → 3.3 Lineare Operatoren im Hilbertraum
Lemma 3.3.2:
Sei K ein finiter Operator über einem Hilbertraum H. Dann ist K ∗ ebenfalls finit und
es gilt dim(Im(K)) = dim(Im(K ∗ )) := L. Weiter existiert eine ONB {e1 , . . . eL } von
Im(K), sowie linear unabhängige Elemente {e∗1 , . . . , e∗L } mit Span({e∗1 , . . . , e∗L }) = Im(K ∗ )
(Basis). Es gilt ferner
Kx =
L
X
(x, e∗l )el
und
K ∗y =
l=1
L
X
(y, el )e∗l ,
für x, y ∈ H
l=1
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Die Elemente {e∗1 , . . . , e∗L } in Lemma 3.3.2 müssen nicht mehr orthogonal sein, wie
folgendes Beispiel zeigt.


Beispiel:
2 0 2


3
3
Gegeben sei der Operator K : R → R , definiert durch die Matrix 1 0 0.
0 0 0
T
Es ist Kx = (2ξ1 + 2ξ3 , ξ1 , 0) , also gilt dim K = 2 und Ker(K) = Span({(0, 1, 0)T }).
Die Vektoren e1 = (1, 0, 0)T , e2 = (0, 1, 0)T bilden eine ONB in Im(K).


2 1 0


Der zu K adjungierte Operator K ∗ : R3 → R3 ist definiert durch die Matrix 0 0 0
2 0 0
∗
∗
T
(transponierte Matrix). Es ist K y = (2η1 + η2 , 0, 2η1 ) , also gilt dim K = 2 und
Ker(K ∗ ) = Span({(0, 0, 1)T }). Die Vektoren e∗1 = K ∗ e1 = (2, 0, 2)T und
e∗2 = K ∗ e2 = (1, 0, 0)T sind dann zwar linear unabhängig und bilden eine Basis in Im(K ∗ ),
aber sie sind nicht orthogonal zueinander.
Satz 3.3.5:
Sei H ein Hilbertraum, dann ist
(i) K ∈ L(H) kompakt ⇔ ∃(Kj )∞
j=1 ⊂ L(H) finit mit kK − Kj | L(H)k → 0
∗
(ii) K ∈ L(H) kompakt ⇔ K kompakt.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
In allgemeinen Banachräumen gilt in Aussage (i) des Satzes 3.3.5 nur „⇐“.
77
3 Hilberträume → 3.3 Lineare Operatoren im Hilbertraum
Definition 3.3.4:
Sei H ein Hilbertraum und T ∈ L(H).
(i) T heißt unitär :⇔ T ist invertierbar und es gilt T −1 = T ∗
(ii) T heißt selbstadjungiert :⇔ Es gilt T = T ∗
(iii) T heißt normal :⇔ Es gilt T ◦ T ∗ = T ∗ ◦ T
Bemerkung:
Auch andere Definitionen sind für diese Begriffe möglich. Sie sollen hier als Folgerung
notiert werden.
Folgerung:
Sei H Hilbertraum und T ∈ L(H). Dann gilt:
T unitär ⇔ (T x, T y) = (x, y)
T selbstadjungiert ⇔ (T x, y) = (x, T y)
∗
∀x, y ∈ H
∀x, y ∈ H
∗
T normal ⇔ (T x, T y) = (T x, T y)
∀x, y ∈ H
Beweis::
Seien x, y beliebig in H. Wegen den Eigenschaften des adjungierten Operators gilt:
(i) (T x, T y) = (x, T ∗ T y) = (x, y), wegen T ∗ = T −1 .
(ii) (T x, y) = (x, T ∗ y) = (x, T y), wegen T ∗ = T .
(iii) (T x, T y) = (x, T ∗ T y) = (x, T T ∗ y) = (T ∗ x, T ∗ y), wegen T T ∗ = T ∗ T .
Bemerkung:
Offensichtlich sind sowohl unitäre, als auch selbstadjungierte Operatoren normal. Die
Normalität eines Operators ist also die schwächste dieser drei Eigenschaften. Überdies
sind unitäre Operatoren isometrisch (norm- und winkelerhaltend).
Satz 3.3.6:
Sei H ein Hilbertraum über C und T ∈ L(H). Dann gilt:
T selbstadjungiert ⇔ (T x, x) ∈ R
∀x ∈ H
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Definition:
Sei H ein Hilbertraum und T ∈ L(H) selbstadjungiert.
T heißt positiv (schreibe T ≥ 0 ) :⇔ (T x, x) ≥ 0 ∀x ∈ H
78
3 Hilberträume → 3.3 Lineare Operatoren im Hilbertraum
Lemma:
Jede orthogonale Projektion P über einem Hilbertraum H ist positiv.
Beweis::
Sei x ∈ H beliebig. Dann ist (P x, x) = (P 2 x, x) = (P x, P ∗ x) = (P x, P x) ≥ 0, wegen
P = P 2 und P = P ∗ .
Bemerkung:
Auf der Menge M der selbstadjungierten Operatoren und Projektionen über einem
Hilbertraum H kann man nun eine Halbordnung definieren:
T ≤ S :⇔ ∀x ∈ H gilt: (T x, x) ≤ (Sx, x)
Äquivalent dazu ist S − T ≥ 0.
Satz 3.3.7:
Sei H ein Hilbertraum und T ∈ L(H) selbstadjungiert (allgemeiner: normal). Dann gilt:
kT | L(H)k = sup |(T x, x)| = sup |(T x, x)|
kxk≤1
kxk=1
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Folgerung:
Sei H ein Hilbertraum und T ∈ L(H) selbstadjungiert. Gilt für alle x ∈ H stets
(T x, x) = 0, so ist T = O (Nulloperator).
Beweis::
Entweder mithilfe von Satz 3.3.7, oder mit dem Argument (T x, x) = 0 ∀x ∈ H
⇒ T x ∈ H ⊥ = {0} ⇒ T = O.
Definition:
Ist T ∈ L(H) ein selbstadjungierter Operator über einem Hilbertraum H, so heißt
mT := inf (T x, x) untere Grenze des Operators T und
kxk=1
MT := sup (T x, x) obere Grenze des Operators T.
kxk=1
Bemerkung:
Diese Definition ist sinnvoll, da (T x, x) nach Satz 3.3.6 stets reell ist. Es gilt (wegen
Vorzeichen): kT | L(H)k = max(|mT |, |MT |).
Warum mT und MT obere bzw. untere Grenze genannt wird, begründet die nächste
Folgerung:
79
3 Hilberträume → 3.3 Lineare Operatoren im Hilbertraum
Folgerung:
Für selbstadjungierte Operatoren T ∈ L(H) über einem Hilbertraum H gilt stets
mT IH ≤ T ≤ MT IH
Beweis::
Sei x ∈ H.
1. Fall x = 0: Offensichtlich gilt: 0 = (mT IH x, x) ≤ (T x, x) ≤ (MT IH x, x) = 0.
x
2. Fall x 6= 0: setze y := kxk
. Damit ist x = kxky und kyk = 1. Es gilt:
(mT IH x, x) = (mT IH (kxky), kxky) = kxk2 (mT IH y, y) = kxk2 mT kyk2 = kx2 kmT
≤ kxk2 (T y, y) = (T (kxky), kxky) = (T x, x)
≤ kxk2 MT = kxk2 MT kyk2 = kxk2 (MT IH y, y) = (MT IH (kxky), kxky)
= (MT IH x, x)
Zusammenfassend ist also (mT IH x, x) ≤ (T x, x) ≤ (MT IH x, x) ∀x ∈ H.
Lemma 3.3.3:
Ist H ein Hilbertraum und T ∈ L(H), so gilt:
T normal ⇔ kT xk = kT ∗ xk
∀x ∈ H
Beweis::
Siehe Übungsserie 12.
Lemma:
Ist H ein Hilbertraum und T ∈ L(H) normal, so ist für α ∈ C auch (T − αIH ) ∈ L(H)
ein normaler Operator.
Beweis::
∗ und T T ∗ = T ∗ T die folgende Umrechnung:
Es gilt wegen IH = IH
∗
(T − αIH )(T − αIH )∗ = (T − αIH )(T ∗ − αIH
)
= (T − αIH )(T ∗ − αIH )
= T T ∗ − αIH T ∗ − T αIH + αIH αIH
= T T ∗ − αT ∗ − αT + ααIH
= T ∗ T − T ∗ αIH − αIH T + αIH αIH
= (T ∗ − αIH )(T − αIH )
= (T − αIH )∗ (T − αIH )
Daher ist auch der Operator T − αIH normal.
80
3 Hilberträume → 3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter Operatoren
3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter
Operatoren
Bemerkung:
Ziel ist es einen zur Hauptachsentransformation von Matrizen (lineare Algebra) analogen
Sachverhalt für Operatoren zu erörtern. Die Selbstadjungiertheit ist dabei das Gegenstück
zur Symmetrie (der Matrix) und die Kompaktheit das Analogon zur endlichen Dimension
(des Raumes).
Definition 3.4.1:
Sei H ein Hilbertraum (oder auch nur Banachraum) und T ∈ L(H). Man definiert:
(i) ρ(T ) := {λ ∈ C | ∃(T − λIH )−1 ∈ L(H)} heißt Resolventenmenge des Operators T
(ii) Rλ := (T − λIH )−1 heißt Resolvente
(iii) σ(T ) := C \ ρ(T ) heißt Spektrum des Operators T
Bemerkung:
ρ(T ) ist dabei die „harmlose“ und σ(T ) die „kritische / intressante Menge“.
Aus den Aussagen der Übungsserie 11 / Aufgabe 4 über die Neumann’sche Reihe (im
Falle eines Banachraumes) lässt sich Folgendes schließen:
Lemma:
Sei H Banachraum und T ∈ L(H), dann gilt:
1
(i) ρ(T ) ⊃ {λ ∈ C | |λ| > lim kT n k n }
n→∞
1
(ii) σ(T ) ⊂ {λ ∈ C | |λ| ≤ lim kT n k n }
n→∞
(iii) ρ(T ) ist offen und σ(T ) ist abgeschlossen in C
Beweis::
(i) Der Satz über die Neumann’sche Reihe (Satz 2.3.5) besagt, dass für T ∈ L(H) mit
1
limn→∞ kT n k n < 1 die Abbildung (T − IH )−1 existiert. Für ein beliebiges λ ∈ C \ {0}
gilt T − λIH = λ( Tλ − IH ). Damit existiert (T − λIH )−1 ⇔ ( Tλ − IH )−1 existiert, also
n
1
1
falls limn→∞ k Tλ k n < 1, bzw. limn→∞ kT n k n < |λ| gilt. Dann ist λ ∈ ρ(T ).
(ii) Folgt unmittelbar aus (i) und der Definition des Spektrums.
(iii) In Übungsserie 11 / Aufgabe 4b wurde gezeigt, dass für S, S1 ∈ L(H) mit S1
invertierbar und kS − S1 k < kS1−1 k−1 folgt, dass auch S invertierbar ist.
e nahe bei λ gilt
e H mit λ
Für S1 := T − λIH invertierbar, d.h. λ ∈ ρ(T ) und S := T − λI
−1 −1
e
e
e
kS1 − Sk = k(T − λIH ) − (T − λIH )k = k(λ − λ)IH k = |λ − λ| ≤ kS1 k . Dann ist auch
e H invertierbar, d.h. λ
e ∈ ρ(T ). Zu jedem λ ∈ ρ(T ) gehört also auch eine Kugel
S = T − λI
Kε (λ) zu ρ(T ). Damit ist ρ(T ) offen und dementsprechend σ(T ) abgeschlossen in C. 81
3 Hilberträume → 3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter Operatoren
Bemerkung:
Wann kann λ zum Spektrum σ(T ) gehören? Dazu betrachte (T − λIH ) : H → H.
Annahme: (T − λIH ) ist nicht injektiv, d.h. {0} $ Ker(T − λIH ). Dann kann (T − λIH )
nicht invertierbar sein.
Annahme: (T − λIH ) ist injektiv, aber nicht surjektiv, d.h. Im(T − λIH ) $ H. Dann
kann (T − λIH ) auch nicht invertierbar sein.
In beiden Fällen ist dann λ ∈ σ(T ). Dies sind die einzigen beiden Fälle (der Beweis
gelingt erst mit dem Satz von Banach - siehe dazu Höhere Analysis 2).
Definition:
Ist H ein Banachraum und T ∈ L(H). Dann definiert man:
(i) σp (T ) := {λ ∈ C | Ker(T − λIH ) % {0}} heißt Punktspektrum ,
λ ∈ σp (T ) heißt Eigenwert und
x ∈ Ker(T − λIH ) \ {0} heißt Eigenelement , -vektor oder -funktion (T x = λx)
(ii) σr (T ) := {λ ∈ C | Im(T − λIH ) $ H und (T − λIH ) ist injektiv} heißt residuales
oder Restspektrum und
H Im(T − λIH ) % {0} heißt Cokern
(iii) σc (T ) := {λ ∈ C | Im(T − λIH ) $ Im(T − λIH ) = H und (T − λIH ) ist injektiv}
heißt kontinuierliches (stetiges) Spektrum
Bemerkung:
Diese drei Mengen sind disjunkt und bilden zusammen das Spektrum, das heißt es gilt
σ(T ) = σp (T ) ∪ σr (T ) ∪ σc (T ).
Im(T − λIH ) = H meint, dass Bild von T − λIH liegt dicht in H. Damit decken die λ
aus σr und σc den Fall ab, dass T − λIH nicht surjektiv ist, wobei für die λ ∈ σc , das
schon fast erreicht ist.
Satz 3.4.1:
Sei H Hilbertraum und T ∈ L(H) selbstadjungiert. Dann gilt:
λ ∈ ρ(T ) ⇔ ∃c > 0 mit k(T − λIH )xk ≥ ckxk
Beweis::
Siehe Vorlesung.
∀x ∈ H
82
3 Hilberträume → 3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter Operatoren
Folgerung:
Sei H Hilbertraum und T ∈ L(H) selbstadjungiert (allgemeiner: normal). Dann gilt:
λ ∈ σ(T ) ⇔ ∃(xj )∞
j=1 ⊂ H mit kxj k = 1 und lim k(T − λIH )xj k = 0
j→∞
Beweis::
Durch Verneinung von Satz 3.4.1.
Bemerkung:
Es können in der Folgerung die folgenden Fälle auftreten:
b 6= 0 mit T x
b = λx
b. Setze dann die Folge stationär,
(a) λ ∈ σp (T ), d.h. λ ist Eigenwert: ∃x
b
x
durch xj := kbxk .
(b) λ ∈ σc (T ) ∪ σr (T ): λ ist kein Eigenwert.
Satz 3.4.2:
Sei H Hilbertraum und T ∈ L(H) selbstadjungiert (allgemeiner: normal). Dann gilt:
(i) σ(T ) ⊂ R (Das Spektrum ist reell)
(ii) σ(T ) ⊂ [mT , MT ]
(iii) mT ∈ σ(T ) und MT ∈ σ(T )
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Mit (iii) folgt insbesondere, dass die Norm des Operators stets ein Element des Spektrums
ist, d.h. kT | L(H)k ∈ σ(T ).
Beispiel:
(i) Sei H ein beliebiger Hilbertraum.
Setze T := IH und λ ∈ C beliebig. Offensichtlich ist T selbstadjungiert, denn es gilt
(IH x, y) = (x, y) = (x, IH y) für alle x, y ∈ H.
Wann ist T −λIH = IH −λIH = (1−λ)IH invertierbar? Es gilt mT = inf kxk=1 (IH x, x) = 1
und analog MT = supkxk=1 (IH x, x) = 1. Nach Satz 3.4.2(ii) ist also σ(IH ) = {1}.
−1
1
Klar ist (IH − λIH )−1 = (1 − λ)−1 IH
= 1−λ
IH = Rλ ∈ L(H) für λ ∈ C \ {1} und jedes
x ∈ H \ {0} ist Eigenvektor zum Eigenwert λ = 1, denn es gilt IH x = 1 · x.
∞
∞
(ii) Sei H = l2 = l2 (R). Es gilt (x, y) = ∞
k=1 ξk ηk =
k=1 ξk ηk für x = (ξk )k=1
bzw. y = (ηk )∞
k=1 ∈ l2 .
Betrachte Diagonaloperatoren (vergleiche Übungsserie 6) D : l2 → l2 , definiert über eine
P
83
P
3 Hilberträume → 3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter Operatoren
∈ l . Dann ist Dx = (δ1 ξ1 , δ2 ξ2 , . . .). D ist selbstadjungiert, denn es gilt
Folge (δk )∞
k=1
P∞ ∞
P
(Dx, y) = k=1 δk ξk ηk = ∞
k=1 ξk δk ηk = (x, Dy) für x, y ∈ l2 .
Wann gilt (D − λIH )x = ((δ1 − λ)ξ1 , (δ2 − λ)ξ2 , . . .) = (0, 0, . . .)? Falls δk = λ und x = ek !
Damit sind alle δk Eigenwerte, d.h. σp (D) = {δk | k ∈ N} mit den Eigenvektoren ek .
Ein extremes Beispiel ist die Wahl des Diagonaloperators De definiert durch (δk )∞
k=1 , wobei
[0, 1] ∩ Q = {δ1 , δ2 , . . .} (da Q abzählbar). Dann ist (δk )∞
∈
l
,
denn
es
gilt
0
≤ δk ≤ 1
∞
k=1
für k ∈ N. Es folgt σp (De ) = [0, 1]∩Q. Man weiß, dass σp (De ) ⊂ σ(De ) ist und σ(De ) muss
abgeschlossen sein. Daher ist auch σp (De ) = [0, 1] ⊂ σ(De ). Es gilt sogar σ(De ) = [0, 1],
P
denn es ist mDe = inf kxk=1 (De x, x) = inf kxk=1 ∞
k=1 δk ξk ξk ≥ inf kxk=1 inf k∈N δk kxk = 0
und analog MDe ≤ 1 und mit Satz 3.4.2 folgt damit σ(De ) ⊂ [0, 1].
(iii) Betrachte den Multiplikationsoperator T : L2 ([0, 1]) → L2 ([0, 1]) definiert durch
(T f )(t) :=R t · f (t). Offensichtlich
ist T selbstadjungiert,
denn für f, g ∈ L2 ([0, 1]) gilt
R
R
(T f, g) = 01 (T f )(t)g(t)dt = 01 t · f (t)g(t)dt = 01 f (t)t · g(t)dt = (f, T g).
R
Es gilt mT = inf kf k=1 (T f, f ) = inf kf k=1 01 t|f (t)|2 dt ≥ 0 und analog auch MT ≤ 1.
Es folgt σ(T ) ⊂ [0, 1]. Ist λ ∈ [0, 1), so existiert j0 ∈ N mit λ + 2−j ≤ 1 (j ≥ j0 ). Setze
( j
2 2 , λ ≤ t ≤ λ + 2−j
fj (t) :=
0,
sonst
−j
j
Damit ist kfj | L2 k2 = λλ+2 (2 2 )2 dt = 2j 2−j = 1 und es gilt ferner
R
j
−j
k(T − λIL2 )fj k = λλ+2 |(t − λ)2 2 |2 dt → 0. Damit gilt mit der Folgerung nach Satz 3.4.1
λ ∈ σ(T ) ∀λ ∈ [0, 1]. Sind diese λ Eigenwerte? Dafür müsste gelten (T − λIL2 )f (t) =
(t − λ)f (t) = 0 fast überall, d.h. f (t) = 0 fast überall. Es kann also keine Eigenwerte
geben.
R
Lemma 3.4.1:
Sei H Hilbertraum und T ∈ L(H) normal. Dann gilt:
(i) λ Eigenwert von T ⇒ λ Eigenwert von T ∗ mit Ker(T − λIH ) = Ker(T ∗ − λIH )
(ii) λ 6= µ Eigenwerte von T ⇒ Ker(T − λIH )⊥ Ker(T − µIH )
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Insbesondere sind selbstadjungierte Operatoren normal.
Hat man verschiedene Eigenwerte λ und µ von T so sind die zugehörigen Eigenräume
Ker(T − λIH ) bzw. Ker(T − µIH ) also disjunkt und die Eigenelemente zu verschiedenen
Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.
84
3 Hilberträume → 3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter Operatoren
Satz 3.4.3 (Spektralsatz):
Sei H ein Hilbertraum und T ∈ L(H) selbstadjungiert (allgemeiner: normal) und kompakt.
Dann besitzt T höchstens abzählbar unendlich viele von Null verschiedene (selbstadjungiert: reelle) Eigenwerte endlicher Vielfachheit. Diese bilden ihrer betragsmäßigen Größe
und Vielfachheit nach geordnet |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ . . . eine eventuell abbrechende Nullfolge.
Die zugehörigen Eigenelemente ej (T ej = λj ej ) bilden bei entsprechender Auswahl ein
Orthonormalsystem (ONS) {ej | j ∈ N}, bzw. eine Orthonormalbasis (ONB) in Im(T ),
und es gilt
H = Ker(T ) ⊕ Span(ej | j ∈ N)
Schließlich gilt für jedes x ∈ H
Tx =
X
λj (x, ej )ej
j
wobei über die von Null verschiedenen Eigenwerte summiert wird.
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Satz (Projektionsversion des Spektralsatzes):
Sei H ein Hilbertraum und T ∈ L(H) selbstadjungiert (allgemeiner: normal) und kompakt.
Sei λ∗k = λj(k) = . . . = λj(k+1)−1 der k-te (verschiedene) Eigenwert von T (dabei ist
j(k + 1) − j(k) = dim(Ker(T − λ∗k IH ))).
Dann existiert zu jedem k eine orthogonale Projektionen Pk : H → Ker(T − λ∗k IH ) mit
j(k+1)−1
X
Pk x =
(x, ej )ej
j=j(k)
Es gilt für alle x ∈ H die Darstellung
Tx =
X
λ∗k Pk x
k
und wegen Lemma 3.4.1 gilt
Pk ◦ Pl = O
Beweis::
Siehe Vorlesung.
für k 6= l
85
3 Hilberträume → 3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter Operatoren
Bemerkung:
Im vorrigen Satz wurde eine Darstellung von T in Form einer punktweise (in H) konvergenten Reihe gezeigt. Konvergiert die Folge der Operatoren (der Partialsummen) auch in
der Operatornorm (in L(H)) gegen T , d.h. handelt es sich um eine Art der gleichmäßigen
Konvergenz? Darüber gibt das nächste Lemma Aufschluss.
Lemma:
Ist H ein Hilbertraum, sowie T ∈ L(H) selbstadjungiert (allgemeiner: normal) und
kompakt. Weiter bezeichnen λ∗k und Pk die paarweise verschiedenen Eigenwerte von T ,
bzw. die zugehörigen orthogonalen Projektionen aus dem vorrigen Satz. Dann gilt:
T =
X
λ∗k Pk
(Konvergenz in L(H))
k
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung (Anwendung):
Sei H ein Hilbertraum und T ∈ L(H) selbstadjungiert (oder auch nur normal) und kompakt. Für gegebenes y ∈ H und λ ∈ C sei die Lösung x ∈ H der Gleichung (T −λIH )x = y
gesucht. Diese lässt sich mithilfe der Methode der Fredholm’schen Alternative explizit
angeben (sofern sie existiert). Dazu wird die Aussage des Spektralsatzes genutzt, dass
das Spektrum des Operators folgende Gestalt haben muss:
σ(T ) ⊂ {0, λ∗1 , λ∗2 , . . .}
1. Fall: λ 6= 0 ist kein Eigenwert von T , d.h. λ ∈ ρ(T ) ⇒ ∃(T − λIH )−1
P
Es soll T x − λx = y gelten, d.h. x = λ1 T x − λ1 y. Mit der Darstellung T x = j λj (x, ej )ej
des Spektralsatzes (Satz 3.4.3) gilt

(I)

1 X
x =  λj (x, ej )ej − y 
λ
j
und damit, wegen der Stetigkeit des Skalarprodukts, für alle m ∈ N auch


1 X
(x, em ) =  λj (x, ej )(ej , em ) − (y, em )
λ
j
(II)
=
1
(λm (x, em ) − (y, em ))
λ
Es folgt λ(x, em ) − λm (x, em ) = −(y, em ) und damit (x, em ) =
(definiert, denn λ ist kein Eigenwert!).
Wegen (I) lässt sich die Lösung also eindeutig darstellen durch


1 X λj
x= 
(y, ej )ej − y 
λ
λj − λ
j
86
1
λm −λ (y, em )
∀m ∈ N
3 Hilberträume → 3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter Operatoren
2. Fall: λ =
6 0 ist Eigenwert von T , das heißt ∃k ∈ N, sodass λ = λ∗k = λj für alle
j = j(k), . . . , j(k + 1) − 1.
Bis zu (II) kann man auch hier eine analoge Rechnung, wie im 1. Fall durchführen.
Es folgt (x, em ) = λm1−λ (y, em ) für alle m ∈ N \ {j(k), . . . , j(k + 1) − 1}. Im Falle
m ∈ {j(k), . . . , j(k + 1) − 1} erhält man (x, em ) = (x, em ) − λ1 (y, em ).
Gilt für alle m ∈ {j(k), . . . , j(k + 1) − 1} stets (y, em ) = 0, so erhält man eine wahre
Aussage und darf die (x, em ) frei wählen. Dann existiert für αj ∈ C

1

x= 
λ

λj
(y, ej )ej +
λj − λ
X
j
j6=j(k),...,j(k+1)−1
j(k+1)−1
X



αj e j − y  ∈ H
j=j(k)
und ist Lösung der Gleichung (nicht eindeutig bestimmt!).
Gilt hingegen (y, em ) 6= 0 lediglich für ein m ∈ {j(k), . . . , j(k + 1) − 1}, so führt dies auf
einen Widespruch, welcher sich nur lösen lässt, wenn man die Annahme der Existenz
einer Lösung der Gleichung fallen lässt.
Beispiel (Fredholm’sche Alternative für Integralgleichungen):
Das in der Bemerkung aufgezeigt Verfahren wurde erstmals von Fredholm auf Integralgleichungen mit spezieller Struktur angewendet.
Sei Ω ⊂ Rn offen und beschränkt (d.h. ∃L2 (Ω)) und k ∈ L2 (Ω × Ω). Dann beschreibt
Z
k(t, s)f (s)ds,
(Kf )(t) :=
t∈Ω
Ω
einen linearen, beschränkten und kompakten Operator K : L2 (Ω) → L2 (Ω) (vergleiche
dazu auch Übungsserie 12 / Aufgabe 7, für Ω = (a, b) ⊂ R1 ). Das bleibt auch richtig, wenn
A(t,s)
k(t, s) schwach singulär ist, d.h. es gilt k(t, s) = |t−s|
α mit 0 ≤ α < n und A(t, s) messbar
und beschränkt (Polstelle auf der Diagonalen im Definitionsbereich). Ist k symmetrisch
(k(t, s) = k(s, t), für s, t ∈ Ω), so ist K ein normaler Operator. Gilt zusätzlich noch, dass
k reellwertig ist, so ist K sogar selbstadjungiert.
Sei unter diesen Vorraussetzungen λ 6= 0 kein Eigenwert von K, so besitzen die Fredholm’schen Integralgleichungen zweiter Art
(K − λIL2 (Ω) )f (t) =
Z
k(t, s)f (s)ds − λf (t) = h(t),
t∈Ω
k(t, s)g(s)ds − λf (t) = h(t),
t∈Ω
Ω
und
∗
(K − λIL2 (Ω) )g(t) =
Z
Ω
für jedes h ∈ L2 (Ω) eine eindeutig bestimmte Lösung (erste Art wäre Kf = h).
Ist λ 6= 0, so besitzen die homogenen Integralgleichungen
(K − λIL2 (Ω) )f (t) =
Z
k(t, s)f (s)ds − λf (t) = 0,
Ω
87
t∈Ω
3 Hilberträume → 3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter Operatoren
und
(K∗ − λIL2 (Ω) )g(t) =
Z
k(t, s)g(s)ds − λf (t) = 0,
t∈Ω
Ω
die gleiche Anzahl linear unabhängiger Lösungen bezeichnet mit {g1 , . . . , gL }, das heißt
es gilt L = dim(Ker(K − λIL2 (Ω) )) = dim(Ker(K∗ − λIL2 (Ω) )). Dann ist die Ausgangsgleichung für ein h ∈ L2 (Ω) lösbar, genau dann wenn
Z
(h, gl ) =
Ω
h(t)gl (t)dt = 0 ∀l = 1, . . . , L
gilt. Die Lösung ist dann nicht eindeutig bestimmt.
Beispiel:
Betrachtet man bestimmte Randwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung (Sturm-Liouville), so führen sie auf ein Eigenwertproblem eines Integraloperators mit der Green’schen Funktion als Kern.
Bemerkung:
Satz 3.4.3 bleibt richtig, wenn man auf die Bedingungen der Selbstadjungiertheit (bzw.
Normalität) verzichtet und nur kompakte Operatoren auf Banachräumen betrachtet
(Beweis: Höhere Analysis II).
Man kann auch auf die Kompaktheit verzichten und nur selbstadjungierte Operatoren
(sowohl beschränkt, als auch unbeschränkt) im Hilbertraum betrachten, denn über selbstadjungierte Operatoren ist schon viel bekannt, z.B. σ(T ) ⊂ [mT , MT ]. Diese Überlegungen
werden eventuell in einer Vorlesung „Höhere Analysis III“ angestellt.
Bemerkung:
Betrachtet man nun einen selbstadjungierten, kompakten Operator T ∈ L(H) über
einem Hilbertraum H, welcher darüber hinaus o.B.d.A. als positiv angenommen wird
(d.h. ∀x ∈ H gilt (T x, x) ≥ 0), so ist mT ≥ 0 (nach Definition). Mit Satz 3.4.3 gilt
0 ≤ . . . < λ∗k < λ∗k−1 < . . . < λ∗1 = MT und es exisiteren Orthogonalprojektionen Pk auf
Ker(T − λ∗k IH ). Man setzt
H λ :=
Ker(T − λ∗k IH )
M
λ∗k ≤λ
und bezeichnet die zugehörigen Orthohonalprojektionen auf H λ mit Eλ .
P
Offensichtlich gilt dann H λ = {0} und Eλ = O für λ < 0, sowie Eλ = λ∗ ≤λ Pk , für
k
λ ≥ 0. Es folgt Eλ∗k − Eλ∗k−1 = Pk und wegen Satz 3.4.3
T =
X
k
λ∗k Pk =
X
λ∗k (Eλ∗k − Eλ∗k−1 ).
k
Die Operatorenfamilie (Eλ )λ bildet dann eine Spektralschar, welche man auch wie folgt
allgemeiner einführen kann.
88
3 Hilberträume → 3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter Operatoren
Definition:
Ist H ein Hilbertraum und (Eλ )λ∈I , mit I ⊆ R, eine Familie linearer stetiger Operatoren
über H. Dann heißt (Eλ )λ Spektralschar :⇔ Es gelten die folgenden Bedingungen
(i) Eλ ist Orthogonalprojektion, für alle λ ∈ I
(ii) Eλ ≤ Eµ , für λ < µ (bzw. 0 ≤ Eµ − Eλ ⇔ (Eλ x, x) ≤ (Eµ x, x)
λ
∀x ∈ H
µ
⇔ Eλ Eµ = Eλ ⇔ Im(E)λ ⊂ Im(E)µ ⇔ H ⊂ H )
(iii) Die Abbildung I → L(H) mit λ 7→ Eλ ist stetig von rechts, d.h. lim Eλ = Eλ0
λ↓λ0
(iv) Eλ = O für λ ≤ 0 (i.A. für λ < mT )
(v) Eλ = IH für λ ≥ MT = λ∗1
(vi) A ∈ L(H) und T A = AT ⇒ Eλ A = AEλ
Bemerkung (Fortsetzung):
Es gilt Im(Eλ∗k − Eλ∗k −0 ) = Ker(T − λ∗k IH ) = Im(Pk ) und die Eigenwerte λ∗k entsprechen
Sprungstellen der stückweise konstanten Funktion λ 7→ Eλ (vergleiche dazu auch die in
der Vorlesung angefertigte Zeichnung).
Formal lässt sich T als Riemann-Stieltjes-Integral in der Form
Z
T =
[mT ,MT ]
λ dEλ
darstellen, oder aus Sicht der Maßtheorie. Denn für fixierte x, y ∈ H ist g(λ) := (Eλ x, y)
ein Maß und T lässt sich dadurch charakterisieren, dass für alle x, y ∈ H gilt
Z
(T x, y) =
[mT ,MT ]
λ d(Eλ x, y)
Beispiel:
Der oben dargestellte Zusammenhang lässt sich anhand des bereits betrachteten Multiplikationsoperators T : L2 ([0, 1]) → L2 ([0, 1]) mit (T f )(t) = t · f (t) anschaulich erahnen.
Offensichtlich ist T selbstadjungiert, beschränkt, aber nicht kompakt und σ(T ) = [0, 1]
(vergleiche früher). Man definiert
(
(Eλ f )(t) : =
f (t), 0 ≤ t ≤ λ
0,
λ<t≤1
= χ[0,λ] (t)f (t)
sowie Eλ = O, für λ < 0 und Eλ = IH , für λ ≥ 1.
Man rechnet leicht nach, dass es sich bei (Eλ )λ um eine Spektralschar handelt, welche
sogar stetig ist. Der Operator T lässt sich also darstellen in der Form
Z
T =
Z
λ dEλ
bzw. T f =
[0−ε,1]
λ dEλ f
[0−ε,1]
89
3 Hilberträume → 3.4 Das Spektrum selbstadjungierter und kompakter Operatoren
Betrachtet man nun eine Zerlegung {µ0 , . . . , µL } des Intervalls [0 − ε, 1], das heißt
−ε = µ0 < µ1 < . . . < µL = 1 und Werte µ∗l ∈ (µl−1 , µl ], für l = 1, . . . , L, so lässt sich
für große L folgende Approximation über eine Art Zwischensumme formulieren:
T f (t) ≈
=
L
X
l=1
L
X
µ∗l (Eµl f (t) − Eµl−1 f (t))
µ∗l χ(µl−1 ,µl ] (t)f (t)
l=1
≈ t · f (t)
90
4 Lokalkonvexe Räume
4.1 Lokalkonvexe Topologien
Bemerkung:
Im Abschnitt 1.2 über Topologische Räume wurden für beliebige Mengen X folgende
Begriffe eingeführt:
Def.1: Topologie τ ⊂ P(X) (∅, X ∈ τ und O1 ∩ O2 ∈ τ , sowie i∈I Oi ∈ τ , für Oi ∈ τ )
Def.4: Umgebung U (x) ⊂ X (∃O ∈ τ , sodass x ∈ O ⊂ U (x)) und Umgebungssystem
Uτ (x) (Menge aller Umgebungen U (x) von x bezüglich τ )
Def.5: Konvergenz von (xj )∞
j=1 (∃x ∈ X und ∀U ∈ Uτ (x) ex. j0 (U ): xj ∈ U , j ≥ j0 (U ))
Def.8: Umgebungsbasis Uτ,B (x) ⊂ Uτ (x) (∀V ∈ Uτ (x) existiert U ∈ Uτ,B (x) mit U ⊂ V )
S
Im Folgenden sei nun X ausgestattet mit einer linearen Struktur (X Vektorraum über
K = C oder R).
Definition 4.1.1:
Eine Topologie τ auf einem Vektorraum X über K heißt Vektorraumtopologie :⇔ Die
Abbildungen
X × X → X, (x, y) 7→ x + y
K × X → X, (λ, x) 7→ λx
(Vektoraddition)
(skalare Multiplikation)
sind bezüglich τ stetig
Bemerkung:
Es existieren Topologien, die keine Vektorraumtopologien sind, wie folgendes Beispiel
zeigt.
Beispiel:
Sei X ausgestattet mit der diskreten Topologie τ = P(X) und x ∈ X \ {0}. Dann
konvergiert die Folge ( 1j x)∞
j=1 nicht in diesem topologischen Raum, denn sie ist nicht ab
einer bestimmten Stelle konstant (siehe früher). Andererseits ist aber 1j → 0 und 0 · x = 0.
Wäre nun die skalare Multiplikation stetig bezüglich τ , so müsste limj→∞ 1j x = 0 gelten.
91
4 Lokalkonvexe Räume → 4.1 Lokalkonvexe Topologien
Bemerkung:
Für die nächste Definition benötigt man ein Mengensystem, welches im Folgenden
konstruiert werden soll.
Dazu sei X ein Vektorraum und P = {pi | i ∈ I} eine Menge von Halbnormen auf X,
wobei I eine beliebige Indexmenge ist. Weiter bezeichne F eine endliche Teilmenge von
P und es sei ε > 0 fixiert. Man definiert
UF,ε := {x ∈ X | pi (x) ≤ ε
∀pi ∈ F }
Im Falle |P | = 1, d.h. P = {p} ist UF,ε = Kε (0). Als Ersatz für die Menge aller Kugeln
um den Nullpunkt mit Radius ≤ ε setzt man schließlich
U := {UF,ε | F ⊂ P endlich, ε > 0}
Definition:
Das so konstruierte Mengensystem U heißt Nullumgebungsbasis U
Bemerkung:
Die Bezeichnung ist gerechtfertigt, denn mithilfe von U lässt sich auf X stets eine Topologie
τ konstruieren:
O ∈ τ :⇔ ∀x ∈ O existiert U ∈ U mit x + U = {z ∈ X | z = x + y, y ∈ U } ⊂ O
Offensichtlich ist
1.) ∅, X ∈ τ
2.) O1 ∩ O2 ∈ τ , für O1 , O2 ∈ τ , denn
ist x ∈ O1 ∩O2 , so ist x ∈ O1 und x ∈ O1 . Dann existieren U1 und U2 ∈ U mit x+U1 ⊂ O1 ,
sowie x + U2 ⊂ O2 . Nach Definition von U ist U1 = UF1 ,ε1 und U2 = UF2 ,ε2 . Setzt man
nun U := UF1 ∪F2 ,min(ε1 ,ε2 ) ⊂ U1 ∩ U2 , so folgt x + U ⊂ (x + U1 ) ∩ (x + U2 ) ⊂ O1 ∩ O2 .
S
3.) α∈I Oα ∈ τ , für Oα ∈ τ (α ∈ I), denn
S
ist x ∈ α∈I Oα , so existiert ein α0 ∈ I mit x ∈ Oα0 . Daher exisitert U ∈ U mit
S
x + U ⊂ Oα0 ⊂ α∈I Oα .
Damit ist τ tatsächlich eine Topologie und der Begriff Nullumgebungsbasis lässt sich
interpretieren, als (gewöhnliche) Umgebungsbasis um den Nullpunkt herum. Durch Verschiebung um einen fixierten Vektor lässt sich daraus eine Umgebungsbasis für jeden
Punkt x0 ∈ X definieren.
Lemma 4.1.1:
In der so konstruierten Topologie sind die Addition und die skalare Multiplikation stetig,
d.h. es handelt sich stets um eine Vektorraumtopologie
Beweis::
Einfaches Anwenden der Definitionen, siehe [Werner].
92
4 Lokalkonvexe Räume → 4.1 Lokalkonvexe Topologien
Definition 4.1.2:
Ein so konstruierter topologischer Raum heißt lokalkonvexer topologischer Vektorraum oder auch nur lokalkonvexer Raum .
Bemerkung:
Jede Menge U ∈ U ist absolut konvex , d.h. mit x, y ∈ U und |λ| + |µ| = 1 ist auch
λx + µy ∈ U . Absolut konvexe Mengen M sind konvex im üblichen Sinne, d.h. mit
x, y ∈ M und t ∈ [0, 1] ist auch tx + (1 − t)y ∈ M . Es gehört also stets sowohl die
Verbindungsstrecke zwischen x und y zu U (das wäre die gewöhnliche Konvexität), als
auch diese am Ursprung gespiegelt. Absolut konvexe Mengen sind also das Analogon
einer Kugel um den Nullpunkt in einem Untervektorraum von X.
Beispiel (lokalkonvexe Räume):
(i) Ist T eine Menge und X ein Vektorraum aller Funktionen über T (zum Beispiel
T = [a, b], X = C([a, b]) oder T = Rn , X = C b (Rn ) stetig und beschränkt). Ist t ∈ T
fixiert, so definiert
pt (x) := |x(t)|,
x∈X
eine Halbnorm. Die Menge P := {pt | t ∈ T } erzeugt die lokalkonvexe Topologie der
punktweisen Konvergenz. Per Definition konvergiert eine Folge (xj )∞
j=1 in (X, τ ) :⇔
∃x ∈ X und ∀U (x) ∈ τ existiert j0 (U (x)) mit xj ∈ U (x), für alle j ≥ j0 (U (x)). Ist F eine
S
endliche Teilmenge von P und UF,ε := {x ∈ X | pi (x) ≤ ε, pi ∈ F }, sowie U := F,ε UF,ε ,
so gilt
xj → x (in τ ) ⇔ pi (xj − x) → 0,
∀pi ∈ P
Beweis::
„⇒“: Für pi ∈ P wähle F = {pi }. Nach Vorraussetzung gilt dann pi (xj − x) < ε.
„⇐“: F endlich, d.h. F = {p1 , . . . , pL }. Damit ist pi (xj − x) → 0, für i = 1, . . . , L. Das
heißt es gilt pi (xj − x) ≤ ε, für j ≥ j0 (ε, i).
(ii) Sei T ein topologischer Raum und X der Vektorraum aller stetigen Funktionen über
T (z.B. T = (a, b) und X = C b ((a, b))). Für alle kompakten Teilmengen K ⊂ T definiert
pK (x) := sup|x(t)|,
x∈X
t∈K
jeweils eine Halbnorm. Die Menge P := {pK | K ⊂ T, kompakt} erzeugt die lokalkonvexe
Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf Kompakta.
(iii) Wählt man T = R und X = C ∞ (R), so ist die Definition
pK,m (x) := sup|x(m) (t)|,
t∈K
93
x∈X
4 Lokalkonvexe Räume → 4.1 Lokalkonvexe Topologien
für m ∈ N0 und K ⊂ R kompakt stets sinnvoll (da x(m) als stetige Funktion auf einer
kompakten Menge insbesondere beschränkt ist, existiert dieses Supremum immer) und
P := {pK,m | K ⊂ R kompakt, m ∈ N0 } ist eine Menge von Halbnormen, welche wie
oben beschrieben eine lokalkonvexe Topologie τ induziert. Der Raum (C ∞ (R), τ ) wird
im Allgemeinen mit E(R) bezeichnet.
Analog definiert man E(Rn ) oder E(Ω) , mit Ω ⊂ Rn offen über die Halbnormen
pK,α (x) := sup|Dα x(t)|,
x∈X
t∈K
für α ∈ Nn0 , sowie K ⊂ Rn kompakt. Dabei bezeichnet Dα die partielle Ableitung zum
Multiindex α.
(iv) Die Menge S(Rn ) heißt Schwartz-Raum der schnell fallenden Funktionen
und ist definiert durch
S(Rn ) := {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) | lim xβ |Dα ϕ(x)| = 0, mit α, β ∈ Nn0 }
|x|→∞
wobei xβ zu interpretieren ist als xβ1 1 · xβ2 2 · . . . · xβnn . Es handelt sich dabei um unendlich oft
differenzierbare Funktionen, die schneller fallen als jedes Polynom. Der Schwartz-Raum
|x|2
ist nicht trivial, da zum Beispiel e− 2 oder e−|x| Elemente dieses Raumes sind. Die
Halbnormen zur Erzeugung der lokalkonvexen Topologie könnten beispielsweise folgende
Gestalt haben
pα,m (ϕ) := sup (1 + |x|m )|Dα ϕ(x)|,
ϕ ∈ S(Rn )
x∈Rn
für α ∈ N0n und m ∈ N.
(v) Sei Ω ⊂ Rn offen und K ⊂ Ω kompakt. Dann definiert man die Menge aller unendlich
oft differenzierbaren Funktionen über Ω mit kompakten Träger durch
DK (Ω) := {ϕ ∈ C ∞ (Ω) | supp(ϕ) ⊂ K}
wobei supp(ϕ) := {x ∈ Ω | ϕ(x) 6= 0} als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten
Menge selbst kompakt ist und als Support oder auch Träger der Funktion ϕ bezeichnet
wird. Auch diese Menge ist nicht trivial, da beispielsweise
ϕ(x) :=

1
 − 1−|x|
2
e
,
0,
|x| < 1
|x| ≥ 1
eine Funktion mit diesen Eigenschaften ist. Definiert man für α ∈ Nn0 Halbnormen der
Form
pα (ϕ) := sup |Dα ϕ(x)|,
x∈K
94
ϕ ∈ DK (Ω)
4 Lokalkonvexe Räume → 4.1 Lokalkonvexe Topologien
und fasst diese in der Menge P := {pα | α ∈ Nn0 } zusammen so führt dies auf die lokalkonvexe Topologie τ auf DK (Ω).
(vi) Betrachtet man nun für Ω ⊂ Rn offen die Menge
C0∞ (Ω) :=
[
DK (Ω) = {ϕ ∈ C ∞ (Ω) | supp(ϕ) ⊂ Ω kompakt}
K⊂Ω
so handelt es sich dabei um die unendlich oft differenzierbaren Funktionen über Ω mit
kompakten Träger und Null auf der Rand des Trägers (da Ω offen ist hat der Rand des
Trägers stets einen echten Abstand zum Rand von Ω). Als Halbnormen wählt man nicht
etwa die Halbnormen aus Beispiel (v) mit variablem K, sondern die Menge
P := {p | p Halbnorm auf C0∞ (Ω) mit pD
K (Ω)
stetig bezüglich τk }
wobei τk die lokalkonvexe Topologie auf DK (Ω) aus Beispiel (v) bezeichnet.
Die durch P erzeugte Topologie τ wird als induktive Limes Topologie bezeichnet und
man schreibt für (C0∞ (Ω), τ ) auch D(Ω) . Sie ist die stärkste lokalkonvexe Vektorraumtopologie auf C0∞ (Ω), sodass die Einbettung DK (Ω) → C0∞ (Ω) stetig ist.
Es ergibt sich für die Konvergenz in D(Ω):
(ϕj )∞
j=1 ⊂ D(Ω) konvergent gegen ϕ, falls
1.) ∃K ⊂ Ω kompakt, mit supp(ϕj ), supp(ϕ) ⊂ K, für alle j ∈ N und
2.) Für alle α ∈ Nn0 gilt pα,K (ϕj − ϕ) → 0, d.h. genau dann wenn
sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = kDα ϕj − Dα ϕ | C(K)k → 0
x∈K
(vii) Ist X ein normierter Raum und P = {p} = {k·k}, so ist die davon erzeugte lokalkonvexe Topologie genau die Normtopologie .
(viii) Ist X ein normierter Raum, so existiert der Dualraum X 0 = L(X, C) (vergleiche Abschnitt 2.4). Dann bilden für fixierte x0 ∈ X 0 die Funktionen
px0 (x) := |x0 (x)|,
x∈X
Halbnormen auf X und die Menge P := {px0 | x0 ∈ X 0 } erzeugt die sogenannte schwache
Topologie τ , bezeichnet mit σ(X, X 0 ) auf X.
(ix) Wählt man für einen normierten Raum X die Funktionen andererseits für fixierte
x ∈ X durch
px (x0 ) := |x0 (x)|,
x0 ∈ X 0
so sind dies Halbnormen auf X 0 und die Menge P := {px | x ∈ X} erzeugt die schwach*
Topologie σ(X 0 , X) auf X 0 .
95
4 Lokalkonvexe Räume → 4.1 Lokalkonvexe Topologien
(x) Sind X, Y normierte Räume, so kann man den Raum der stetigen linearen Operatoren L(X, Y ) betrachten. Die Halbnormen
px (T ) := kT x | Y k,
T ∈ L(X, Y )
für ein fixiertes Element x ∈ X bzw. die Menge P := {px | x ∈ X} erzeugt die starke
Operatorentopologie .
Die Funktionen
px,y0 (T ) := |y 0 (T x)|,
T ∈ L(X, Y )
für fixierte x ∈ X und y 0 ∈ Y 0 sind ebenfalls Halbnormen auf L(X, Y ) und die Menge
P := {px,y0 | x ∈ X, y 0 ∈ Y 0 } erzeugt die schwache Operatorentopologie .
Bemerkung:
Für normierte Räume X hat man also die Möglichkeit drei verschiedene lokalkonvexe
Topologien auf X 0 einzuführen:
1.) X 0 mit der Normtopologie kx0 | L(X, C)k,
2.) die schwach* Topologie σ(X 0 , X) auf X 0 oder
3.) die schwache Topologie σ(X 0 , X 00 ) auf X 0 .
Es gibt Fälle, in denen diese drei tatsächlich paarweise verschieden sind.
Lemma 4.1.2:
Die Halbnormenfamilie P erzeuge auf dem Vektorraum X die lokalkonvexe Topologie τ .
Dann sind äquivalent:
(i) (X, τ ) ist Hausdorffraum (d.h. Punkte sind durch offene Mengen trennbar)
(ii) ∀x ∈ X \ {0} existiert p ∈ P mit p(x) 6= 0
(iii) ∃U Nullumgebungsbasis mit
\
U = {0}
U ∈U
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Bemerkung:
Ist jeder topologische Vektorraum lokalkonvexer Raum? Nein! Ein Kriterium wird in
folgendem Satz geliefert.
Satz 4.1.1:
Sei (X, τ ) ein topologischer Vektorraum. Dann ist X lokalkonvex ⇔ Es gibt eine Nullumgebungsbasis aus absolut konvexen und absorbierenden Mengen in X.
96
4 Lokalkonvexe Räume → 4.1 Lokalkonvexe Topologien
Beweis::
Siehe [Werner, VIII Satz 1.5].
Definition:
Sei A eine Teilmenge eines Vektorraums X und die Abbildung pA : X → [0, ∞] definiert
durch x 7→ inf{λ > 0 | λx ∈ A}. Dann heißt A absorbierend :⇔ pA (x) < ∞ ∀x ∈ X.
Beispiel:
Eine Kreisscheibe in beliebiger Lage um den Ursprung im R3 ist absolut konvex aber
nicht absorbierend, wohin gegen die Einheitskugel beide Kriterien erfüllt.
97
4 Lokalkonvexe Räume → 4.2 Lineare stetige Funktionale
4.2 Lineare stetige Funktionale
Lemma 4.2.1:
Die Halbnormenfamilie P erzeuge die lokalkonvexe Topologie τ auf einem Vektorraum
X. Dann gilt:
(i) Für die Halbnorm q : X → [0, ∞) mit q ∈
/ P sind äquivalent:
1.) q ist stetig
2.) q ist stetig in 0
3.) {x ∈ X | q(x) ≤ 1} ist Nullumgebung
(ii) Alle p ∈ P sind stetig
(iii) Eine Halbnorm q ist stetig ⇔ ∃M ≥ 0 und ∃F ⊂ P endlich mit
q(x) ≤ M · max p(x)
p∈F
∀x ∈ X
Beweis::
Siehe Vorlesung.
Satz 4.2.1:
Seien (X, τP ) und (Y, τQ ) zwei lokalkonvexe Räume, erzeugt durch die Halbnormenfamilien
P und Q, sowie T : X → Y ein linearer Operator. Dann sind äquivalent:
(i) T ist stetig
(ii) T ist stetig in 0
(iii) ∀q ∈ Q existiert eine endliche Teilmenge F ⊂ P und ein M ≥ 0 mit
q(T x) ≤ M · max p(x) ∀x ∈ X
p∈F
Beweis::
Entfällt.
Folgerung:
Für einen lokalkonvexen Raum (X, τP ) und l : (X, τP ) → C gilt:
l linear und stetig ⇔ ∃F ⊂ P und M ≥ 0 mit |l(x)| ≤ M · max p(x) ∀x ∈ X
p∈F
Beweis::
Klar nach Satz 4.2.1. (Y, τQ ) = C mit Q = {|·|}.
98
4 Lokalkonvexe Räume → 4.2 Lineare stetige Funktionale
Bemerkung:
Im Abschnitt 1.2 bzw. 1.3 wurden Topologien verglichen. Es wurden topologische Räume
(X, τ1 ) und (X, τ2 ) betrachtet und es wurde definiert:
τ2 feiner als τ1 :⇔ τ1 ⊂ τ2 . Äquivalent dazu war, dass die identische Abbildung
id : (X, τ2 ) → (X, τ1 ) stetig ist.
Weiter ist bekannt, dass für jede Topologie gilt {∅, X} = τin ⊂ τ ⊂ τdis = P(X).
Ist eine Topologie τ2 feiner als τ1 , so hat τ2
mehr offene Mengen
mehr abgeschlossene Mengen
weniger kompakte Mengen
mehr stetige Funktionale, d.h. Abbildungen X → K (für K = R oder C)
weniger konvergente Folgen
Beispiel (Feinheit lokalkonvexer Topologien):
(i) Betrachte X = C b (Rn ) (stetige und beschränkte Funktionen) mit der Topologie
der punktweisen Konvergenz τ und der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf
Kompakta σ (vergleiche dazu Beispiel (i) und (ii) in 4.1).
Dann ist σ feiner als τ , denn id : (X, σ) → (X, τ ) ist stetig. Nach Satz 4.2.1 (iv) ist
q(T x) ≤ M · maxp∈F p(x), denn pt (x) ≤ 1 · p{t} (x).
(ii) Ist X ein normierter Raum, so ist die Normtopologie stets feiner als die schwache Topologie σ(X, X 0 ).
Definition 4.2.1:
Die Menge der linearen stetigen Funktionale auf einem lokalkonvexen Raum (X, τ ) heißt
Dualraum von X und wird mit X 0 oder auch (Xτ )0 bezeichnet.
Bemerkung:
Der Dualraum X 0 sei ausgestattet mit der schwach* Topologie σ(X 0 , X), d.h. die durch
die Halbnormen
px (x0 ) := |x0 (x)|,
∀x0 ∈ X 0
für x ∈ X erzeugte lokalkonvexe Topologie (vergleiche dazu Beispiel (ix) in 4.1). Das
entspricht der punktweisen Konvergenz im Dualraum, d.h.
0
0
0
0
0
(x0j )∞
j=1 ⊂ X konvergiert gegen x ∈ X ⇔ xj (x) → x (x),
∀x0 ∈ X 0
Satz 4.2.2 (Fortsetzungssatz von Hahn-Banach):
Sei X ein lokalkonvexer Raum, U ⊂ X ein linearer Teilraum, sowie l ein lineares und
stetiges Funktional über U (d.h. l ∈ U 0 ). Dann existiert eine Fortsetzung L von l mit
L ∈ X 0.
99
4 Lokalkonvexe Räume → 4.2 Lineare stetige Funktionale
Beweis::
Siehe Vorlesung (verwende die Folgerung nach Satz 4.2.1 und den Satz von Hahn-Banach
aus 2.4).
Bemerkung:
Analog zur Folgerung 1 bzw. der danach folgenden Bemerkung in Abschnitt 2.4 lässt sich
aus dem Satz von Hahn-Banach die Trennungseigenschaft des Dualraumes ableiten:
Satz 4.2.3 (Trennungssatz):
Sei X ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Dann trennt X 0 die Punkte von X, d.h. für
x 6= y existiert x0 ∈ X 0 mit x0 (x) 6= x0 (y).
Beweis::
Entfällt.
100
4 Lokalkonvexe Räume → 4.3 Distributionen (verallgemeinerte Funktionen)
4.3 Distributionen (verallgemeinerte
Funktionen)
Bemerkung:
Die Distributionentheorie wurde um 1950 von L. Schwartz eingeführt. Vorläufer waren
zum Beispiel schwache Ableitungen oder auch Arbeiten von Sobolev.
Im Mittelpunkt der Betrachtungen stehen die lokalkonvexen Räume D(Ω), E(Ω) und
S(Rn ), mit Ω ⊂ Rn offen oder auch Ω = Rn (vergleiche deren Definitionen im Beispiel
(iii), (iv) und (vi) in Abschnitt 4.1).
Definition:
Die Elemente der Funktionenräume D(Ω) , E(Ω) , oder S(Rn ) - mit Ω ⊆ Rn offen werden Testfunktionen genannt und für gewöhnlich mit ϕ bezeichnet.
Bemerkung:
Die Topologien der Räume E(Ω) und S(Rn ) haben eine „einfache Struktur“, denn es existiert jeweils eine abzählbare, totale Halbnormenfamilie, welche die jeweilige lokalkonvexe
Topologie erzeugt. In D(Ω) gibt es keine solche. Was das genau bedeutet soll in folgender
Definition geklärt werden:
Definition:
Eine Halbnormenfamilie P = {pi | i ∈ I} über X heißt total :⇔ Es gilt für x ∈ X
pi (x) = 0 ∀i ∈ I ⇔ x = 0
Beispiel (abzählbare, totale Halbnormenfamilien):
(i) Sei K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Ω eine aufsteigende Folge kompakter Mengen, für die gilt
S∞
m=1 Km = Ω. Dann wird die lokalkonvexe Topologie in E(Ω) durch die Halbnormenfamilie P = {pm | m ∈ N0 } mit

pm (ϕ) := sup 
x∈Km

X
|Dα ϕ(x)| ,
∀ϕ ∈ E(Ω)
|α|≤m
erzeugt.
(ii) Im Schwatz-Raum der schnell fallenden Funktionen S(Rn ) wären zum Beispiel


pk,m (ϕ) := sup (1 + |x|m )
x∈Rn
X
|Dα ϕ(x)| ,
|α|≤k
für k, m ∈ N0 Halbnormen einer solchen Familie.
101
∀ϕ ∈ S(Rn )
4 Lokalkonvexe Räume → 4.3 Distributionen (verallgemeinerte Funktionen)
Bemerkung:
Die Räume E(Ω) und S(Rn ) sind überdies sogar durch
d(ϕ, ψ) :=
∞
X
1
m=1
2m
·
pm (ϕ − ψ)
1 + pm (ϕ − ψ)
metrisierbar. Dass eine solche Konstruktion tatsächlich eine Metrik ist wurde in Kapitel
1 bereits gezeigt.
Die Metrik d erzeugt nun gemäß Abschnitt 1.2 eine Topologie auf diesen Funktionenräumen welche mit τd bezeichnet wird. Wie in allen lokalkonvexen Räumen, welche
durch eine abzählbare, totale Halbnormenfamilie erzeugt werden, stimmt τd aber mit der
lokalkonvexen Topologie überein.
Da man jetzt E(Ω) und S(Rn ) also als metrische Räume auffassen kann, stellt sich die
Frage nach Vollständigkeit bezüglich dieser Metriken.
Definition:
Lokalkonvexe Räume, welche durch eine abzählbare, totale Halbnormenfamilie erzeugt
werden können und die bezüglich der daraus konstruierten Metrik einen vollständigen
metrischen Raum bilden, werden Frechéträume genannt.
Beispiel (Frechéträume):
Die Funktionenräume E(Ω) und S(Rn ) sind Frechéträume.
Bemerkung:
Die Konvergenz in D(Ω) gestaltet sich wie folgt:
(ϕj )∞
j=1 ⊂ D(Ω) mit ϕj → 0 :⇔
1.) ∃K ⊂ Ω kompakt, mit supp(ϕj ) ⊂ K, für alle j ∈ N und
2.) Für alle α ∈ Nn0 gilt sup |Dα ϕj (x)| → 0
x∈K
Von besonderem Interesse sind die linearen und stetigen Funktionale über den obigen
Funktionenräumen. Sie stehen in engem Zusammenhang mit dem Begriff der Distribution.
Definition:
Die Dualräume der lokalkonvexen Räume E(Ω), D(Ω) und S(Rn ), d.h. die Menge
der linearen und stetigen Funktionale über ihnen, werden jeweils mit der schwach*
Topologie ausgerüstet und mit E 0 (Ω), D0 (Ω) und S 0 (Rn ) bezeichnet. Man hat also
punktweise Konvergenz. Die Elemente dieser Dualräume werden Distributionen oder
verallgemeinerte Funktionen genannt (schreibe h·, ·i ).
102
4 Lokalkonvexe Räume → 4.3 Distributionen (verallgemeinerte Funktionen)
Lemma:
Sei X ∈ {E(Ω), D(Ω), S(Rn )} und T : X → C eine lineare Abbildung. Dann sind folgende
Aussagen äquivalent:
(i) T stetig
(ii) ϕj → ϕ in X ⇒ T (ϕj ) → T (ϕ) in C
(iii) ∃M ≥ 0 und p1 , . . . , pn ∈ P mit |T (ϕ)| ≤ M · max pi (ϕ),
i=1,...,n
Beweis::
Siehe Folgerung in 4.2.
∀ϕ ∈ X
Definition:
Ist Ω ⊆ Rn , so bezeichnet Lloc
1 (Ω) diejenigen Funktionen f : Ω → C (oder R), für die
mit jeder beliebigen kompakten Teilmenge A ⊂ Ω gilt χA f ∈ L1 (Ω). f heißt in diesem
Falle lokal integrierbar .
Beispiel:
Die konstante Funktion f (x) ≡ 1 ist zwar lokal integrierbar (f ∈ Lloc
1 (Ω)), ist aber
offensichtlich kein Element von L1 (Ω).
Bemerkung:
Insbesondere ist jede stetige Funktion lokal integrierbar und, falls Ω selbst kompakt ist
gilt Lloc
1 (Ω) = L1 (Ω).
Beispiel (lineare stetige Funktionale / Distributionen):
(i) Sei 0 ∈ Ω. Dann ist die Abbildung
δ : D(Ω) → C mit δ(ϕ) = ϕ(0)
offensichtlich linear. Weiter ist δ auch stetig, denn |δ(ϕ)| ≤ 1·supx∈K |ϕ(x)| mit 0 ∈ K ⊂ Ω
kompakt, z.B. K = {0}. Das lineare stetige Funktional δ wird als Deltadistribution
bezeichnet. Für 0 6= x0 ∈ Ω definiert man allgemeiner auch δx0 = ϕ(x0 ), für ϕ ∈ D(Ω).
Man schreibt auch δ(ϕ) = hδ, ϕi.
(ii) Für f ∈ Lloc
1 (Ω) definiert
Tf (ϕ) = hTf , ϕi :=
Z
f (x)ϕ(x) dx,
ϕ ∈ D(Ω)
Ω
ebenfalls ein lineares stetiges Funktional auf D(Ω). Zunächst beachte man, dass supp(ϕ)
kompakt ist, sodass das Integral nur über einer komapkten Menge gebildet wird. Weiter
ist jede Testfunktion stetig und damit dort auch beschränkt. Da f schließlich lokal
103
4 Lokalkonvexe Räume → 4.3 Distributionen (verallgemeinerte Funktionen)
integrierbar ist existiert das Integral also und die Definition ist sinnvoll.
Aus der Linearität des Integrals folgt die Linearität des Funktionals und die Stetigkeit
von Tf sieht man wie folgt:
|hTf , ϕi| = |
≤
Z
f (x)ϕ(x) dx|
ZΩ
|f (x)| dx · sup |ϕ(x)|
K
x∈K
≤ M · sup |ϕ(x)|,
für supp(ϕ) ⊂ K
x∈K
Dabei verwendet man, dass für D(Ω) = K⊂Ω DK (Ω) (K kompakt) gilt, dass Tf genau
dann stetig auf D(Ω) ist, wenn Tf stetig auf DK (Ω) ist.
Tf bezeichnet man dann als die von f erzeugte reguläre Distribution .
S
Bemerkung:
0
Betrachtet man Äquivalenzklassen (wie bei Lp ), so ist die Abbildung Lloc
1 (Ω) → D (Ω)
mit f 7→ Tf wie in Beispiel (ii) injektiv (siehe folgendes Lemma). Das heißt man kann
lokal integrierbare Funktionen auch als spezielle Funktionale auffassen. Es gibt allerdings
Elemente in D0 (Ω), wie zum Beispiel die Deltadistribution, welche nicht mit Funktionen
aus Lloc
1 (Ω) identifiziert werden können. Man erhält also nur eine Isomorphie zwischen
loc
L1 (Ω) und einem Teilraum von D0 (Ω), da eine komplette Beschreibung von D0 (Ω) nicht
möglich ist.
Lemma 4.3.1:
R
∞
Ist f ∈ Lloc
1 (Ω) und gilt Ω f (x)ϕ(x) dx = 0 für alle ϕ ∈ C0 (Ω), so ist f (x) = 0 fast
überall auf Ω.
Beweis::
Entfällt.
Definition 4.3.1:
Die Elemente aus D0 (Ω), welche sich durch f ∈ Lloc
1 (Ω) erzeugen lassen, heißen reguläre
Distributionen .
Bemerkung:
In der Physik wird die Deltadistribution des öfteren als Funktion der Form
(
δ : R → [0, ∞] mit δ(x) :=
0,
x 6= 0
∞, x = 0
Z
δ(x) dx = 1
und
R
eingeführt. Eine solche Funktion existiert aber natürlich nicht, da das Integral über
eine Menge vom Maße Null (hier der einzelne Punkt {0}) stets 0 ist. Akzeptiert man
104
4 Lokalkonvexe Räume → 4.3 Distributionen (verallgemeinerte Funktionen)
R
R
diese Definition jedoch, würde R δ(x)ϕ(x) dx = ϕ(0) R δ(x) dx = ϕ(0) für eine beliebige
Funktion ϕ über R folgen, was im Grunde der Definition der Deltadistribution entspricht.
x2
1
Es existieren allerdings Funktionen δε (x) = √2πε
e− 2ε ∈ Lloc
1 (R), deren Distributionen
R
δε (x)ϕ(x) dx für ε → 0 gegen die Deltadistribution streben.
Beispiel (Fortsetzung: Distributionen):
(iii) Sei µ ein reguläres Borelmaß über Ω ⊂ Rn . D.h. es ist (Ω, Σ, µ) ein Maßraum, wobei Σ
die σ-Algebra der Borelmengen über Ω bezeichnet und µ ein Maß ist, sodass µ(K) < ∞ für
alle K ⊂ Ω kompakt und µ(A) = sup{µ(C) | C ⊂ A kompakt} = inf{µ(O) | A ⊂ O offen}
gilt. Dann ist
Z
Tµ (ϕ) :=
ϕ dµ
Ω
ein lineares stetiges Funktional (eine Distribution) aus D0 (Ω). Die Zuordnung ist wieder
injektiv.
(iv) Für ϕ ∈ D(Rn ) ist auch die Abbildung
T : D(Rn ) → C, mit ϕ 7→
X
ϕ(k)
k∈Zn
ein lineares stetiges Funktional (T ∈ D0 (Rn )). Da supp(ϕ) kompakt ist, ist diese Summe
stets endlich.
(v) Betrachtet man den R1 , so ist die Funktion x1 nicht lokal integrierbar, d.h. 1· ∈
/ Lloc
1 (R).
Man geht daher über zum Cauchy’schen Hauptwert (principal value, p.v.), wobei man
sich bei der Integration gleichmäßig von beiden Seiten der Polstelle annähert. Dann
definiert
Z
1
ϕ(x)
dx, ϕ ∈ D(R)
hp.v. , ϕi := lim
ε↓0 |x|≥ε x
x
eine Distribution.
Bemerkung:
n
0
n
In Analogie zur Isomorphie von Lloc
1 (R ) zu einem Teilraum von D (R ), kann man eine
comp
comp
Isomorphie von L1 (Rn ) zu E 0 (Rn ) finden. Dabei bezeichnet L1
(Rn ) die Menge der
n
L1 Funktionen über R mit kompaktem Träger . Wie hängen also die Funktionenräume
bzw. deren Dualräume zusammen? Bezeichnet A ,→ B die stetige Einbettung von A in
B (⊂ und stetig), so gilt :
D(Ω) ,→ E(Ω)
und D0 (Ω) ←- E 0 (Ω)
sowie
D(Rn ) ,→ S(Rn ) ,→ E(Rn ) und D0 (Rn ) ←- S 0 (Rn ) ←- E 0 (Rn )
Dies ist insbesondere damit zu begründen, dass durch eine feinere Topologie mehr stetige
lineare Funktionale entstehen.
105
4 Lokalkonvexe Räume → 4.3 Distributionen (verallgemeinerte Funktionen)
Bemerkung:
Bisher wurden nur Funktionen aus Lloc
1 mit Distributionen identifiziert, aber wie rechnet
man nun mit Distributionen? Da es sich um lineare stetige Funktionale handelt, hat man
wieder eine lineare Struktur, sodass gilt
hλT + µS, ϕi = λhT, ϕi + µhS, ϕi
für Distributionen T, S, komplexe Zahlen λ und µ und beliebige Testfunktionen ϕ.
Weiterhin wurden die Dualräume mit der schwach* Topologie ausgerüstet.
Definition 4.3.2 (Differentiation von Distributionen):
|α|
Bezeichnet Dα (·) := (−i)|α| ∂xα1∂...∂xαn (·) einen Differentialoperator, welcher die partiellen
n
1
Ableitungen gemäß des Multiindex α ∈ Nn0 bildet, so führt man die Ableitung einer
Distribution T wie folgt ein:
(D α T )(ϕ) = hDα T, ϕi := (−1)|α| hT, Dα ϕi,
ϕ ∈ D(Ω)
Bemerkung:
Die Differentiation einer Distribution wird also über die Anwendung der Distribution auf
die Ableitung der Testfunktion definiert. Zunächst sei bemerkt, dass die Testfunktionen als
unendlich oft stetig differenzierbar angesetzt waren. Weiter fällt auf, dass diese Bildung
gerechtfertigt erscheint, da sie eine natürliche Fortsetzung des Differentialoperators
darstellt. Sei dazu Ψ eine differenzierbare Funktion, dann gilt für die damit assozierte
Distribution hΨ, ·i und j ∈ {1, . . . , n}:
∂
h(−i)
Ψ, ϕi =
∂xj
(−i)
Rn
∂
Ψ (x)ϕ(x) dx
∂xj
!
Z
=
Rn−1
= (−i)
Rn−1
Ψ (x) · (−i)
Rn
= −hΨ, (−i)
∞
(Fubini)
!
∂
− Ψ (x)
ϕ(x) dxj (dx \ dxj )
Ψ (x)ϕ(x)
∂x
R
j
xj =−∞
Z
Z
(Definition)
∂
(−i)
Ψ (x)ϕ(x) dxj (dx \ dxj )
∂xj
R
Z
=−
Z
Z
∂
ϕ(x) dx
∂xj
(part. Int.)
(Fubini)
∂
ϕi
∂xj
(Definition)
Dabei ist zu beachten, dass supp(ϕ) kompakt ist und daher lim|xj |→∞ ϕ(x) = 0 gilt. Und
(dx \ dxj ) meint dx1 · . . . · dxj−1 · dxj+1 · . . . · dxn .
Warum statt dem üblichen Differentialoperator der Vorfaktor (−i) gewählt wurde, wird
später klar.
106
4 Lokalkonvexe Räume → 4.3 Distributionen (verallgemeinerte Funktionen)
Definition 4.3.3 (Multiplikation von Distributionen mit C ∞ -Funktionen):
Für Distributionen T ∈ X 0 , wobei X = D(Ω) oder E(Ω) (oder mit Zusatzvorraussetzungen auch S(R)) und Funktionen a ∈ C ∞ (R) erklärt man die Multiplikation
ha · T, ϕi := hT, a · ϕi,
ϕ∈X
Bemerkung:
Analog zum Differentialoperator ist diese Definition wieder eine Verallgemeinerung der
üblichen Multiplikation von Funktionen. Im Allgemeinen kann man jedoch nicht zwei
beliebige Distributionen miteinander multiplizieren, so existiert zum Beispiel das Quadrat
der Deltadistribution nicht.
Bemerkung (Stetigkeit):
Die vorgestellten Operationen auf Distributionen sind stetige Abbildungen (bezüglich
der schwach* Topologie) von D0 nach D0 , d.h.
Tn → T schwach* ⇔ hTn , ϕi → hT, ϕi in C
∀ϕ ∈ D(Ω)
Mit der Stetigkeit von Dα gilt also
Dα Tn → Dα T schwach* ⇔ hDα Tn , ϕi → hDα T, ϕi in C
∀ϕ ∈ D(Ω)
⇔ (−1)|α| hTn , Dα ϕi → (−1)|α| hT, Dα ϕi in C
α
α
⇔ hTn , D ϕi → hT, D ϕi in C
∀ϕ ∈ D(Ω)
∀ϕ ∈ D(Ω)
Abschließend sollen ein paar „klassische Beispiele“ der Anwendung von Distributionen
aufgezeigt werden:
Beispiel:
(i) Für die Betragsfunktion f : R → R mit f (x) = |x| gilt offensichtlich f ∈ Lloc
1 (R) (aber
f ∈
/ Lcomp
(R)).
Sie
ist
in
x
=
0
nicht
differenzierbar.
Betrachtet
man
die
assoziierte
1
Distribution Tf , so lässt sich diese im Distributionensinne ableiten und man erhält, das
von der Anschauung erwartete Ergebnis:
h
d
d
Tf , ϕi = −hTf , ϕi
dx
dx
Z
∞
d
ϕ(x) dx
dx
−∞
Z ∞
Z 0
d
d
x·
x·
=−
ϕ(x) dx +
ϕ(x) dx
dx
dx
0
−∞
=−
|x| ·
=−
∞
x · ϕ(x)
−
0
Z ∞
=
1 · ϕ(x) dx +
0
= hTH , ϕi,
Z ∞
!
1 · ϕ(x) dx +
0
Z 0
0
x · ϕ(x)
−
−∞
(−1) · ϕ(x) dx
−∞
ϕ ∈ D(R)
107
Z 0
−∞
!
1 · ϕ(x) dx
4 Lokalkonvexe Räume → 4.3 Distributionen (verallgemeinerte Funktionen)
Dabei bezeichnet TH die von der Heaviside-Funktion H : R → R mit
(
x≥0
x<0
1,
−1,
H(x) :=
erzeugte Distribution (man schreibt auch schlampig nur H anstatt TH , da beide identifiziert werden). Offensichtlich ist die Ableitung jedoch nur bis auf eine Nullmenge eindeutig
bestimmt, denn H ließe sich in endlich vielen Punkten abändern (z.B.: H(0) = −1) und
alles würde trotzdem analog gelten. Es gilt weiter, dass auch H selbst nicht differenzierbar
ist, aber die assoziierte Distribution:
d
d
h TH , ϕi = −hTH , ϕi
dx
dx
Z ∞
Z 0
d
d
1·
(−1) ·
=−
ϕ(x) dx −
ϕ(x) dx
dx
dx
0
−∞
∞
=−
1 · ϕ(x)
−
Z ∞
!
0
0 · ϕ(x) dx −
(−1) · ϕ(x)
0
0
−
Z 0
!
0 · ϕ(x) dx
−∞
−∞
= ϕ(0) + ϕ(0)
= 2 · hδ, ϕi,
ϕ ∈ D(R)
Die Ableitung (im Sinne der Distributionentheorie) der Heaviside-Funktion (und damit
im Prinzip auch der Signum-Funktion ) ist also die Deltadistribution.
2
2
∂
2 ∂
(ii) Man betrachte den eindimensionalen Wellenoperator ( ∂t
2 − a ∂x2 )(·) , mit einem
Parameter a 6= 0 und definiere die Funktion
(
E1 (x, t) :=
1
2a ,
0
at − |x| > 0
at − |x| ≤ 0
2
Dann ist E1 ∈ Lloc
1 (R ), aber nicht differenzierbar auf dem Rand des Kegels |x| = at.
D.h. man kann den Wellenoperator nicht überall auf E1 anwenden. Geht man jedoch zur
erzeugten regulären Distribution über, so gilt:
h(
2
∂2
2 ∂
−
a
)(E1 ), ϕi
∂t2
∂x2
∂2
∂2
= h 2 E1 , ϕi − a2 h 2 E1 , ϕi
∂t
∂x
2
∂
∂2
= hE1 , 2 ϕi − a2 hE1 , 2 ϕi
∂t
∂x
Z ∞ Z ∞
Z
Z
2
1
∂
a ∞ at
∂2
=
1
·
ϕ(x,
t)
dt
dx
−
1
·
ϕ(x, t) dx dt
2a −∞ |x|
∂t2
2 0
∂x2
−at
a
1
=
2a
Z ∞
−∞
a
−
2

∞
∂

ϕ(x, t)
∂t
Z ∞
0
−
t=
∂
ϕ(x, t)
∂x
Z ∞
|x|
a
at
|x|
a

∂
0 · ϕ(x, t) dt dx
∂t
Z at
!
∂
−
0·
ϕ(x, t) dx dt
∂x
−at
x=−at
108
4 Lokalkonvexe Räume → 4.3 Distributionen (verallgemeinerte Funktionen)
=−
1
2a
Z ∞
∂
−∞
∂t
ϕ x,
|x|
a
dx −
a
2
Z ∞
∂
0
∂x
∂
ϕ(−at, t) dt
∂x
ϕ(at, t) −
Mithilfe der Substitutionen y := xa , für x ∈ (0, ∞) bzw. y := − xa , für x ∈ (−∞, 0) kann
man die Gleichungskette wie folgt fortsetzen
=−
∞ ∂
0 ∂
1
a
ϕ(ay, y) dy − a
ϕ(−ay, y) dy
2a
∂t
0
+∞ ∂t
Z ∞
Z ∞
∂
∂
a
−
ϕ(at, t) dt −
ϕ(−at, t) dt
2 0 ∂x
∂x
0
Z
Z
Die Kettenregel angewendet auf die mittelbare Funktion ϕ liefert
d
ϕ(au, u) =
du
d
ϕ(−au, u) =
du
∂
∂
ϕ(au, u) · a + ϕ(au, u)
∂x
∂t
∂
∂
ϕ(−au, u) · (−a) + ϕ(−au, u)
∂x
∂t
womit man jeweils die ersten Integrale der Klammern berechnen kann:
1 ∂
1 ∞ d
ϕ(au, u) − a ϕ(au, u) du = −
ϕ(au, u) du
−
2 ∂t
2 ∂x
2 0 du
∞
1
= − ϕ(au, u)
2
u=0
1
= ϕ(0, 0)
2
Z ∞
1∂
0
Z
Völlig analog erhält man für die übrigen Terme noch einmal 12 ϕ(0, 0). Damit gilt also im
Sinne der Distributionen
(
2
∂2
2 ∂
−
a
)(E1 ) = δ(t,x)=(0,0)
∂t2
∂x2
Funktionen oder allgemeiner Distributionen, die unter Anwendung eines Differentialoperators die Deltadistribution ergeben werden als Fundamentallösung des Operators
bezeichnet.
(iii) Analog zu Beispiel (ii) kann man für den Laplace-Operator ∆(·) =
eine Fundamentallösung nachrechnen. Die Funktion

 1 log|x|,
e
En (x) := 2π 1
2−n
−
,
(n−2)|ωn | |x|
∂2
k=1 ∂x2 (·)
k
Pn
n=2
n≥3
wobei |ωn | das Volumen der (n − 1)-dimensionalen Einheitssphäre bezeichnet, ist diffeen (x) = 0 ist, für x 6= 0 (vergleiche dazu
renzierbar in Rn \ {0} und man weiß, dass ∆E
en = δx=0 .
Analysis III). Mit Hilfe der assoziierten Distribution zeigt man ∆E
109
4 Lokalkonvexe Räume → 4.3 Distributionen (verallgemeinerte Funktionen)
Bemerkung (Faltung von Distributionen):
Die Faltung zweier Funktionen ist definiert durch
(f ∗ g)(x) :=
Z
f (y) · g(x − y) dy
Sie besitzt einige interessante Eigenschaften, wie zum Beispiel
f ∗g =g∗f
(Kommutativität)
f ∗ g ∗ h = (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
(Assoziativität)
f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h)
α
α
(Distributivität)
α
D (f ∗ g) = D f ∗ g = f ∗ D g
(Ableitungsregel)
Näheres dazu ist in den Aufzeichnungen zur letzten Übung zu finden.
Auch hier lässt sich eine natürliche Erweiterung auf Distributionen finden. Man definiert
die Faltung einer Distribution T mit einer Funktion ϕ durch:
(T ∗ ϕ)(x) := hT, ϕ(x − ·)i ∈ C
Für Distributionen T, S ∈ D0 mit kompakten Träger kann man ebenfalls die Faltung (mit
samt ihren Eigenschaften) definieren. Ein entscheidendes Resultat ist die Neutralität der
Deltadistribution bezüglich der Faltung:
T ∗δ =δ∗T =T
Beispiel (Anwendung der Faltung):
Betrachtet man die Aufgabe der Lösung der Poisson-Gleichung ∆u = f , so ist aus
en eine Fundamentallösung der homogenen Variante
obigen Überlegungen bekannt, dass E
en = δ.
(Laplace-Gleichung ) ist. Es gilt also ∆E
en ∗ f , so gilt
Setzt man nun (falls möglich) u := E
e n ∗ f ) = ∆E
en ∗ f = δ ∗ f = f
∆u = ∆(E
Damit löst das so genannte Newton-Potential
en ∗ f = −
u(x) = E
1
(n − 2)|ωn |
Z
Rn
f (y)
dy
|x − y|n−2
die Poisson-Gleichung ∆u = f .
110
mit supp(f ) kompakt
Literaturverzeichnis
[Werner] FUNKTIONALANALYSIS von Dirk Werner
(Springer Verlag Berlin, 6. Auflage, 2007)
[Heuser] LEHRBUCH DER ANALYSIS, TEIL 2 von Harro Heuser
(Teubner B.G. GmbH, 10. Auflage, 1998)
111
Index
A
Abstand α(x0 , M ), 65
Abzählbarkeitsaxiom, erstes, 20
σ-Algebra Σ, 37
konvergente Folge (topol. Raum), 18
schwach konvergente Folge (norm. Raum),
60
Folgenräume
beschränkte Folgen l∞ , 6
finite Folgen F , 6
Folgen s, 5
konvergente Folgen c, 6
Nullfolgen c0 , 6
p-summierbare Folgen lp , 6
Fourier
Fourierkoeffizient (x, ej ), 69
Fourierreihe, 69
Fredholm’sche Alternative, 86, 87
Fundamentallösung, 109
Funktion
Heaviside-Funktion H, 108
Signum-Funktion, 108
Funktionen
(k)
Haar’sche hn , 72
Rademacher’sche rn , 72
Walsch’sche wn , 72
Funktionenräume
E(Ω), 94, 95, 101
Beschränkte Funktionen über X B(X),
6
L∞ , 38
L1 -Fkt.’n mit komp. Träger Lcomp
(Rn ),
1
105
lokal integrierbare Fkt.’n Lloc
1 (Ω), 103
p-integrierbare Fkt.’n Lp , 38
Schwartz-Raum S(Rn ), 94, 101
stetig diff’bare Fkt.’n C 1 (M ), 34
stetige Funktionen über M C(M ),
6
B
Basis
algebraische, 32
Orthonormalbasis (ONB), 70
D
Differentialgleichung
Hermite’sche, 71
Laguerr’sche, 71
Legendre’sche, 71
Distribution
Ableitung Dα T , 106
Deltadistribution, 103
Distribution h·, ·i, 102
Multiplikation, 107
reguläre Tf , 104
E
Eigen
Eigenelement, 82
Eigenwert λ, 82
F
Faltung (f ∗g)(x), 110
Feinheit von Topologien, 26
Folge
beschränkte Folge (norm. Raum), 36
Cauchy-Folge (metr. Raum), 10
Cauchy-Folge (norm. Raum), 33
konvergente Folge (metr. Raum), 9
konvergente Folge (norm. Raum), 33
112
INDEX
G
Gleichung
Laplace-Gleichung, 110
Parallelogrammgleichung, 61, 62
Parseval’sche, 69
Poisson-Gleichung, 110
Gram-Schmidt-Verfahren, 70
konvex, 64
linear unabhängig (endl.), 32
linear unabhängig (unendl.), 32
offen (metr. Raum), 7
offen (topol. Raum), 16
Resolventenmenge ρ(T ), 81
meßbare Funktion, 37
Metrik, 4
Arcustangensmetrik darc , 4
Betragsmetrik d|·| , 4
d1 , 5
diskrete ddis , 4
euklidische Metrik d2 , 5
Int-Metrik auf C(M ) dp (f, g), 7
lp -Metrik dp , 6
Maximumsmetrik des Rn d∞ , 5
Metrik des Rn dp , 5
Metro-Metrik dM , 5
Pseudometrik, 4
sup-Metik auf C(M ) d∞ (f, g)), 6
sup-Metrik auf l∞ d∞ (x, y), 6
Urwaldmetrik du , 5
metrisierbarer topologischer Raum, 16
K
Körper K, 31
kompakt
folgenkompakt, 14
überdeckungskompakt, 13
L
cp (T, Σ, µ, C), 37
L
Lebesgue-Integral, 37
Lemma
Bestapproximation, 64
Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung, 62
von Riesz, 41
lineare Hülle, 31
M
Maß, 37
σ-additiv, 37
Maßraum
endlich, 37
σ-endlich, 37
Maßraum (T, Σ, µ), 37
Menge
abgeschlossen (metr. Raum), 8
abgeschlossen (topol. Raum), 17
Abschluss M (metr. Raum), 9
Abschluss M (topol. Raum), 17
absolut konvex, 93
absorbierend, 97
beschränkt (metr. Raum), 15
beschränkt (norm. Raum), 36
Entropiezahlen ek (M ), 15
gerichtet, 21
Inneres M o (metr. Raum), 9
Inneres M o (topol. Raum), 17
N
Netz
ε-Netz, 14
Netz (topol. Raum), 21
Netzkonvergenz (topol. Raum), 21
Neumann’sche Reihe von T , 51
Newton-Potential, 110
Norm, 32
äquivalent, 39
Halbnorm, 33
int-Norm setiger Fkt.’n kf kp , 34
l∞ -Norm k· | l∞ k, 34
Lp -Norm k· | Lp k, 38
lp -Norm kx | lp k, 34
Maximumsnorm des Rn k·k∞ , 34
p-Norm des Rn k·kp , 34
q-homogene Norm, 33
Quasinorm, 33
schwächer, 39
113
INDEX
Sesqulinearform kLk, 73
sup-Norm stetiger Fkt.’n kf k∞ , 34
Nullumgebungsbasis U, 92
Summe Jj=1 Hj , 66
Summe H1 ⊕H2 , 66
Orthonormalsystem (ONS), 68
O
offene Kugel, 7
Operator
adjungiert T ∗ , 74
Approximationszahlen ak (T ), 54
beschränkt, 45
Bild Im(T ), 49
Cokern, 82
Entropiezahlen ek (T ), 54
finit, 50
Funktional x0 , 55
invertierbar, 50
Isometrie, 51
Isomorphismus, 51
Kern Ker(T ), 49
kompakt, 52
kompakte Operatoren K(X), 53
Laplace-Operator ∆(·), 109
linear, 43
lineare, beschränkte Operatoren L(X1 , X2 ),
45
normal, 78
Nulloperator O, 75
obere Grenze MT , 79
Operatornorm kT k, 45
orthogonale Projektion P x, 75
positiv T ≥ 0, 78
Resolvente Rλ , 81
selbstadjungiert, 74, 78
Spektralschar (Eλ )λ , 89
unitär, 78
untere Grenze mT , 79
∂2
2 ∂2
Wellenoperator ( ∂t
2 −a ∂x2 )(·), 108
orthogonal
Elemente x⊥y, 64
Komplement M ⊥ , 64
Mengen M1 ⊥M2 , 64
Projektion, 65, 75
L
Summe ∞
j=1 Hj , 66
P
Polynome
Hermite’sche Hn , 71
Laguerr’sche Ln , 71
Legendre’sche Pn , 71
präkompakt
folgenpräkompakt, 14
überdeckungspräkompakt, 13
Punkt
äußerer (topol. Raum), 19
Berührungspunkt (metr. Raum), 9
Berührungspunkt (topol. Raum), 19
Häufungspunkt (topol. Raum), 19
innerer (metr. Raum), 7
innerer (topol. Raum), 19
isolierter (topol. Raum), 19
Randpunkt (topol. Raum), 19
Randpunkte ∂M , 19
L
114
R
Raum
Banachraum, 33
Bidualraum X 00 von X, 58
dicht (metr./norm./topol. Raum), 39
Dualraum (Xτ )0 , 99
Dualraum X 0 von X, 55
Frechétraum, 102
halbnormierter Raum, 33
Hausdorff-Raum, 18
Hilbertraum, 63
isometrisch isomorph X ∼
= Y , 51
isomorph X ' Y , 51
linearer Raum, 31
linearer Teilraum, 31
lokalkonvex, 93
metrischer (X, d), 4
normierter Raum, 32
Prähilbertraum, 63
pseudometrischer Raum, 4
INDEX
q-homogen-normierter Raum, 33
quasinormierter Raum, 33
reflexiv (Banachraum), 60
separabel (metr./norm./topol. Raum),
39
Sierpinski-Raum, 16
T4 -Raum, 27
topologischer Raum (X, τ ), 16
Spektrum
kontinuierliches / stetiges σc (T ), 82
Punktspektrum σp (T ), 82
Restspektrum σr (T ), 82
Spektrum σ(T ), 81
Stetigkeit
auf X (metr. Räume), 23
auf X (topol. Raum), 25
gleichgradig, 41
gleichmäßig (metr. Raum), 24
in x0 (ε-δ-Def., metr. Räume), 23
in x0 (Folgenstet., metr. Räume), 23
in x0 (topol. Raum), 25
lipschitzstetig (metr. Raum), 28
sublineare Abbildung, 56
S
Satz
Banach’scher Fixpunktsatz, 28
Fortsetzungssatz, 48
Fortsetzungssatz von Hahn-Banach,
99
Hamelbasis, 32
Spektralsatz, 85
Spektralsatz (Projektionsvariante), 85
Trennungssatz, 100
über die Komposition von Operatoren, 48
über die Neumann’sche Reihe, 51
von Arzela-Ascoli, 42
von Frechét-Riesz (Darstellungssatz),
73
von Hahn-Banach, 57
von Hahn-Banach (lin. Alg.), 56
von Hahn-Banach (lin. Alg., komplex), 57
von Heine-Borel, 14
von Tietze-Urysohn (metr. Raum),
24
von Tietze-Urysohn (topol. Raum),
27
Weissinger’scher Fixpunktsatz, 30
Sesquilinearform
beschränkte / stetige, 73
Skalarprodukt
in (Rn , k· | l2n k), 63
in l2 , 63
in L2 (Ω), 63
induzierte Norm, 62
Skalarprodukt (·, ·), 61
T
Testfunktion ϕ, 101
Topologie
diskrete Topologie τdis , 16
indiskrete Topologie τin , 16
Normtopologie, 95
Relativtopologie, 22
schwach* Topologie σ(X 0 , X), 95
schwache Operatorentopologie, 96
schwache Topologie σ(X, X 0 ), 95
starke Operatorentopologie, 96
Topologie τ , 16
Vektorraumtopologie, 91
von (X, d) induzierte / erzeugte Topologie (X, τd ), 16
totale Halbnormenfamilie, 101
U
Umgebung
Umgebung (metr. Raum), 7
Umgebung (topol. Raum), 18
Umgebungsbasis, 19
Umgebungssystem, 18
Ungleichung
von Bessel, 68
115
INDEX
V
vollständig
metrischer Raum, 10
normierter Raum, 33
W
Wavelets, 72
wesentliches Supremum, 38
116