Mathematische Methoden der Physik II

Gandalf Lechner
WS 2009/10
Übungsaufgaben zur Vorlesung
“Mathematische Methoden der Physik II”
Die jeweils aktuelle Version dieses Dokuments und weitere Informationen zu Vorlesung
und Übungen finden sich unter https://elearning.mat.univie.ac.at/physikwiki/.
1) Potenzreihenentwicklung
a) Auf welchem Gebiet in der komplexen Ebene ist die Funktion
f (z) :=
z2
1−z
holomorph?
b) Gib die Potenzreihenentwicklung von f um z0 = 0 an und zeige, dass diese
Reihe auf der Kreisscheibe {z ∈ C : |z| < 1} die Funktion f darstellt.
2) Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
a) Zeige, dass für jede komplexe Zahl z gilt
eiz = cos z + i sin z .
b) Folgere aus a) die Formeln (wieder für beliebiges z ∈ C)
sin z =
1 iz
e − e−iz ,
2i
cos z =
1 iz
e + e−iz .
2
c) Die Hyperbelfunktionen sind definiert durch
sinh z := −i sin(iz)
cosh z := cos(iz)
sinh z
tanh z :=
.
cosh z
Zeige, dass sinh und cosh ganz holomorphe Funktionen sind, und berechne
ihre ersten (komplexen) Ableitungen. Wo ist tanh holomorph? Skizziere die
Graphen von x 7→ sinh x und x 7→ cosh x in Abhängigkeit von einer reellen
Variable x.
3) Reelle und komplexe Differenzierbarkeit
a) Für beliebige komplexe Zahlen a, b ∈ C ist die Funktion
g : IR2 → C ,
g(x, y) := x2 + ay 2 + bxy
auf ganz IR2 nach x und y differenzierbar. Für welche Werte von a, b ist
f : C → C,
f (x + iy) := g(x, y)
auf ganz C komplex differenzierbar?
1
b) Finde eine auf der rechten Halbebene {z ∈ C : Re z > 0} holomorphe
Funktion f mit Imaginärteil
y
Im f (x + iy) = arctan ,
x > 0.
x
(Tipp: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen)
4) Komplexe Wegintegrale
a) Berechne für die drei Funktionen
f1 (z) :=
z2
,
z+i
f2 (z) :=
z+1
,
(z + i)2
f3 (z) :=
1
,
(z + i)2
H
jeweils das Wegintegral γ fk (z) dz, k = 1, 2, 3, wobei γ ein positiv durchlaufener Kreis mit Radius R um z = −i ist. Verwende dabei keine evtl. bekannten
Integralsätze, sondern führe die Integrale explizit aus.
b) Berechne
I
η
dc
c+1+i
wobei η ein positiv durchlaufener Kreis mit Radius
7
5
um den Ursprung ist.
5) Komplexer Logarithmus
Betrachte die Funktion
Z
dζ
,
l(z) :=
γz ζ
wobei γz der rechts skizzierte Weg ist (gerade Strecke von 1 bis |z|, dann positiv orientierter Kreisbogen von |z| bis z = |z|eiϕ ,
0 ≤ ϕ < 2π). Beachte, dass der Weg hier
von z abhängt!
Berechne l explizit durch Ausführen des
Wegintegrals. Wo ist diese Funktion holomorph? Zeige, dass l ein Logarithmus ist
in dem Sinne, dass für z im Holomorphiegebiet el(z) = z gilt. Welcher Zusammenhang besteht zwischen l und dem in der
Vorlesung besprochenen Hauptzweig des
Logarithmus Ln?
6) Taylorreihen
Betrachte die auf der reellen Achse definierte glatte Funktion
10
f (x) :=
2
e−x +26 sinh(x +10)
,
(ex + 1)(x2 − 10x + 26)
x ∈ IR .
Diese Funktion soll in der Nähe von x0 = 1 bzw. in der Nähe von x0 = 3 durch
ein Polynom genähert werden (Taylorentwicklung). In welchem Intervall wird eine
solche Entwicklung eine gute Näherung für f darstellen? Finde dieses Intervall für
die beiden Entwicklungspunkte x0 = 1 und x0 = 3.
2
7) Funktion auf Kreisscheibe
Wir betrachten eine Funktion f , die auf einer offenen Umgebung der Einheitskreisscheibe K1 (0) holomorph ist, und auf dem Rand ∂K1 (0) = {z ∈ C : |z| = 1}
konstant gleich 1 ist, d.h. f (z) = 1 für alle z mit |z| = 1. Welche Funktionswerte
kann so eine Funktion bei z = 21 annehmen?
8) Beschränkte ganze Funktionen
a) Zeige, dass jede ganz holomorphe Funktion f , die uniform beschränkt ist,
d.h. |f (z)| ≤ M für alle z ∈ C mit einer festen Konstante M ≥ 0 erfüllt,
konstant ist. (Tipp: Potenzreihenentwicklung, dann Koeffizienten der Reihe
abschätzen)
b) Betrachte nun speziell ein Polynom P (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + aN z N mit
komplexen Koeffizienten a0 , ..., aN ∈ C, N > 0, aN 6= 0, und die Funktion
f (z) := 1/P (z). Benutze Teil a), um zu beweisen, dass P eine Nullstelle hat.
9) Residuen
Berechne die Residuen der folgenden Funktionen f1 , ..., f6 an ihren jeweiligen Singularitätsstellen. Die auftretenden Parameter a, b, an , sind komplexe Konstanten.
a) f1 (z) =
z sin z
z 2 +a2
b) f2 (z) =
PN
c) f3 (z) =
n=−N
sin z
z
z
an z n
d) f4 (z) = e (1 + sin z)−1
e) f5 (z) =
cosh z
z 3 +(6+2i)z 2 +(8+6i)z
a
f) f6 (z) = exp z−b
10) Anwendung des Residuensatzes I
Berechne das Integral
Z ∞ iωy
e
dy ,
2
−∞ 1 + y
ω ∈ IR\{0} ,
mit Hilfe des Residuensatzes unter Verwendung der beiden Halbkreiswege
und des Limes R → ∞ (analog zu dem Beispiel aus der Vorlesung). Überlege,
ob man den Weg in der oberen oder unteren Halbebene schließen muss, um den
Residuensatz erfolgreich anwenden zu können.
3
11) Anwendung des Residuensatzes II
Berechne das folgende Integral mit Hilfe des Residuensatzes:
Z ∞ αx
e
dx ,
0 < α < 1.
x
−∞ 1 + e
Überlege zuerst, wo der Integrand (komplexe) Singularitäten hat, und bestimme
den Typ dieser Singularitäten. Verwende dann den folgenden Integrationsweg, und
bilde den Limes R → ∞.
12) Kosinusreihen
Entwickle die auf dem Intervall [0, L], L > 0, gegebenen
Funktionen u(x) := x2
P∞
a0
3
). Bestimme dazu
und v(x) := x , in Kosinusreihen der Form 2 + n=1 an cos( nπx
L
die Entwicklungskoeffizienten an und skizziere bzw. plotte die Funktionen und je
eine approximierende Kosinussumme. Konvergieren diese Kosinusreihen gegen u
bzw. v?
13) Wärmeleitender Draht
Ein dünner, idealisiert als eindimensional
angenommener Metalldraht der Länge L
habe zur Zeit t = 0 die nebenstehend skizzierte Temperaturverteilung
L 2 x3
6ϑ
x −
T0 (x) = 3 ·
L
2
3
mit ϑ = 200◦ C. Für die Temperatur
T (t, x) des Drahtes zur Zeit t an der Stelle
x gilt die Wärmeleitungsgleichung
∂T
∂ 2T
,
= κ2 ·
∂t
∂x2
0 < x < L,
t ∈ IR ,
wobei die Wärmeleitfähigkeit κ > 0 eine Konstante ist. Die Enden des Drahtes sind
isoliert, so dass keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird (NeumannRandbedingungen):
∂T
(t, 0) = 0 ,
∂x
∂T
(t, L) = 0 ,
∂x
t ∈ IR .
Bestimme die Temperaturverteilung T (t, x) mittels Separationsansatz und Fourierreihenentwicklung der Anfangsbedingung. Wie sieht das Langzeitverhalten der
Temperaturverteilung aus? Schritt für Schritt geht das so (analog zur Diskussion
der Wellengleichung in der Vorlesung):
4
a) Finde zuerst alle Lösungen der Produktform T (t, x) = f (t)g(x), indem Du
gewöhnliche Differentialgleichungen für f und g herleitest und löst. Zeige
dabei, dass λ := −κ2 · g 00 (x)/g(x) konstant und aufgrund der Randbedingung
positiv sein muss, und bestimme die möglichen Werte von λ.
b) Nutze die Linearität der Wärmeleitungsgleichung, um allgemeinere Lösungen in der Form von Linearkombinationen der Produktlösungen aus a) zu
erhalten. Passe die Koeffizienten dieser Linearkombinationen dann an die
Anfangsbedingung an, indem Du T0 (x) in eine geeignete Fourierreihe entwickelst, d.h. die Fourierkoeffizienten berechnest. Dabei kann Aufgabe 12)
verwendet werden.
c) Gib explizit eine Näherungslösung T≈ (t, x) erster Ordnung an, indem Du nur
die Terme mit n = 0 und n = 1 in der Fourierreihe berücksichtigst, und begründe, warum dies die wesentlichen Terme für das Langzeitverhalten sind.
Zeige dann, dass sich für große Zeiten eine konstante Gleichgewichtstemperatur T einstellt. Wie hoch ist diese Temperatur, und wie lässt sich dieses
Verhalten physikalisch interpretieren?
14) Fouriertransformation einer Gaußfunktion
Bestimme die Fouriertransformierte der Gaußfunktion
1 x 2
−1/4 −1/2
Gσ (x) := π
σ
exp −
2 σ
mit Standardabweichung σ > 0. Berechne dazu das Fourierintegral
Z R
1
G̃σ (k) = √
dx e−ikx Gσ (x)
lim
R→∞
2π
−R
mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes, indem Du die Holomorphie- und Abfalleigenschaften von Gσ verwendest und den Integrationsweg in der komplexen
Ebene verschiebst. Welcher verschobene Weg geeignet ist, sieht man, wenn man
den Integranden des Fourierintegrals zu einer Gaußfunktion mit komplexen Argument umformt.
Was ist die Fouriertransformierte von f (x) := x2 G1 (x)? (Hier empfiehlt es sich,
die Eigenschaften der Fouriertransformation zu verwenden und nicht neu zu integrieren.)
15) Koordinatentransformation
Eine invertierbare (d × d)-Matrix Λ und einen Vektor a = (a1 , ..., ad ) ∈ IRd können
wir für die folgende affin lineare Koordinatentransformation des IRd benutzen,
x = (x1 , ..., xd ) ∈ IRd .
x 7−→ Λx + a ,
Auf Funktionen f ∈ S (IRd ) wirkt diese Koordinatentransformation gemäß
fa,Λ (x) := f (Λ−1 (x − a)) .
Wie wirkt sich diese Koordinatentransformation auf die Fouriertransformierte von
˜
f aus? Finde eine Formel, die fg
a,Λ durch f ausdrückt.
5
, Fouriertransformierte einer Funktion mit kompaktem Träger
Diese Aufgabe ist eine etwas schwierigere freiwillige Zusatzaufgabe. Wer eine Lösung findet, bitte bei Gelegenheit mit Gandalf besprechen.
Sei f ∈ S (IR) eine von Null verschiedene, glatte Funktion
mit kompaktem Träger, d.h. f (x) = 0 für alle x außerhalb
eines endlichen Intervalls [a, b]. Zeige, dass die Fouriertransformierte f˜ von f über die ganze reelle Achse ausgebreitet
ist, d.h. dass es kein noch so kleines Intervall [k0 , k0 + ε] (mit
ε > 0) gibt, so dass f˜(k) = 0 für alle k ∈ [k0 , k0 + ε].
Tipp: Mit “imaginary numbers” meint Hobbes holomorphe Funktionen und insbesondere den Identitätssatz.
16) Faltungen
Wir betrachten die Gaußfunktion Gσ,µ mit Mittelwert µ ∈ IR und Standardabweichung σ > 0,
(x − µ)2
−1/4 −1/2
.
Gσ,µ (x) := π
σ
exp −
2σ 2
Zeige mit Hilfe der Fouriertransformation und des Faltungssatzes, dass die Faltung
Gσ1 ,µ1 ∗ Gσ2 ,µ2 zweier solcher Gaußfunktionen bis auf einen konstanten Faktor wieder eine Gaußfunktion
Gσ3 ,µ3 ist, mit Mittelwert µ3 = µ1 + µ2 und Standardabp
2
weichung σ3 = σ1 + σ22 .
Tipp: Aufgaben 14) und 15) verwenden.
17) Lineare Integrodifferentialgleichung
In manchen mathematischen Modellen treten lineare Integrodifferentialgleichungen der Form
Z ∞
∂ 2 u(t, x)
∂u(t, x)
=λ
+
dy u(t, x − y) v(y)
∂t
∂x2
−∞
auf, z.B. bei der Modellierung der zeitlichen Entwicklung einer Population oder
bei Finanzmarktmodellen.
Die von zwei Variablen t, x ∈ IR abhängige Funktion u ist gesucht, v ist eine
modellabhängige, fest vorgegebene Funktion, und λ ≥ 0 ein fester Parameter.
Löse die obige Integrodifferentialgleichung für den Fall v(y) = e−3|y| unter der
2
Anfangsbedingung u(0, x) := u0 (x) = e−x /2 soweit, dass Du u(t, x) als ein Integral
über explizite Funktionen angeben kannst. Dieses Integral muss dann nicht mehr
ausgeführt werden.
Tipp: Verwende eine Fouriertransformation in x analog zu der Behandlung der
Wellen- und Schrödingergleichung in der Vorlesung, und benutze die in Übungen
bzw. Vorlesung berechneten Fouriertransformierten von u0 und v.
18) Deltafolgen
Es sei ϕn , n ∈ IN, die folgendermaßen definierte Folge von Funktionen auf IR:

 +n2 ; − n1 ≤ x < 0
−n2 ; 0 ≤ x ≤ n1
ϕn (x) :=
.

0 ; |x| > n1
6
Skizziere ϕn und zeige, dass diese Folge im Sinne von Distributionen gegen die
Ableitung der Delta-Distribution δ 0 konvergiert, d.h. dass für jede Testfunktion
f ∈ S (IR) gilt
Z
lim
dx ϕn (x)f (x) = δ 0 (f ) = −f 0 (0) .
n→∞
Tipp: Finde zuerst geeigneteR Stammfunktionen Φn der ϕn , die von der Form
Φn (x) = nΦ1 (nx) sind und dx Φ1 (x) = 1 erfüllen. Wie in der Vorlesung folgt
dann, dass die Φn für n → ∞ die Delta-Distribution approximieren.
19) Fouriertransformation von Distributionen
Zeige, dass die Fouriertransformierte Ten der√durch die Funktion x 7→ xn , n ∈ IN0 ,
gegebenen regulären Distribution Tn gleich 2π in δ (n) ist. Benutze im Gegensatz
zur Vorlesung nicht eine formale Schreibweise, sondern argumentiere mit Testfunktionen f ∈ S (IR).
20) Deltadistributionen
In dieser Aufgabe geht es darum, die formalen Ausdrücke δ(λ · x) und δ(x2 − a2 )
im Sinne von Distributionen zu definieren. Die Zahlen a, λ > 0 sind hier beliebige
reelle Parameter.
Gehe dazu so vor, dass Du eine Deltafolge ϕn betrachtest, die im Sinne von Distributionen gegen δ konvergiert, d.h.
Z
lim
dx ϕn (x) f (x) = f (0) = δ(f ) ,
f ∈ S (IR) .
n→∞
Um δ(λ · x) bzw. δ(x2 − a2 ) als Distributionen zu definieren, betrachte die Funktionen ψn,λ (x) := ϕn (λ · x) bzw. ξn,a (x) := ϕn (x2 − a2 ), setze für Testfunktionen
f ∈ S (IR)
Z
T1,λ (f ) := lim
dx ψn,λ (x) f (x) ,
n→∞
Z
T2,λ (f ) := lim
dx ξn,a (x) f (x) ,
n→∞
und bestimme T1,λ (f ) und T2,λ (f ) explizit.
21) Fundamentallösungen des Laplaceoperators in zwei Dimensionen
Das Newton-Potenzial in zwei Dimensionen ist die Funktion
q
1
log x21 + x22 ,
N2 (x1 , x2 ) :=
x = (x1 , x2 ) ∈ IR2 \{0} .
2π
a) Zeige, dass im Sinne von Distributionen auf S (IR2 ) gilt
∆N2 (x) = δ(x) ,
hierbei ist ∆ der Laplaceoperator
in zwei Dimensionen und δ(x) = δ(x1 )δ(x2 ).
R
Es ist also zu zeigen, dass IR2 d2 x (∆f )(x) · N2 (x) = f (0) für jede Testfunktion f ∈ S (IR2 ) gilt.
Gehe dazu wie folgt vor: Überzeuge Dich zunächst, dass ∆N2 (x) = 0 für
x 6= 0. Verwende in obigem Integral Polarkoordinaten, und teile das Integral
7
in ein Integral über die Kreisscheibe Bε mit Radius ε und Mittelpunkt x = 0
und ein Integral über die gelochte Ebene IR2 \Bε auf. Argumentiere, dass das
Integral über Bε im Limes ε → 0 verschwindet. Zur Auswertung des Integrals
über IR2 \Bε bietet es sich an, den Laplaceoperator in Polarkoordinaten (r, ϕ)
in der Form
∂f (r, ϕ)
1 ∂ 2 f (r, ϕ)
1 ∂
r
+ 2
(∆f )(r, ϕ) =
r ∂r
∂r
r
∂ϕ2
zu schreiben.
b) Es wird das elektrische Potenzial einer Punktladung vor einer geerdeten Metallplatte gesucht (in zwei Dimensionen, siehe Bild). Die Punktladung befinde
sich bei y = (y1 , y2 ) ∈ IR2 mit y1 > 0, die Metallplatte in der Ebene x1 = 0.
Das gesuchte Potenzial ist eine Greensche Funktion
G+ des Laplaceoperators, d.h.
2
∂2
∂
G+ (x; y) = δ(x − y) für x1 > 0 ,
+
∂x21 ∂x22
R
bzw. d2 x(∆f )(x)G+ (x) = f (y) für alle Testfunktionen f , die in der Halbebene x1 ≤ 0 verschwinden.
Die Metallplatte wird durch die DirichletRandbedingung
G+ (x; y) = 0 für x auf der Metallplatte
modelliert. (Die Ladungen in der Metallplatte verschieben sich so lange, bis
die auf sie wirkende Kraft senkrecht zur Platte zeigt.) Zeige, dass diese Bedingungen von
G+ (x; y) := N2 (x − y) − N2 (x − y 0 )
erfüllt werden, wenn y 0 das Spiegelbild von y an der Metallplatte ist.
c) Finde für eine beliebig vorgegebene Ladungsverteilung ρ mit ρ(x) = 0 für
x1 ≤ 0 eine Lösung der Poissongleichung ∆Φ = ρ, die die Randbedingung
aus
PN
b) erfüllt. Was ergibt sich speziell für den Fall, dass ρ(x) = n=1 Qn δ(x−y n )
eine Ansammlung von Punktladungen bei y 1 , ..., y N mit Ladungen Q1 , ..., QN
beschreibt?
22) Orthogonale Polynome
In der Physik kommen viele Familien von orthogonalen Polynomen vor, z.B. die
Hermite-, Laguerre-, Legendre-, Jacobi- und Gegenbauer-Polynome u.v.m.. In dieser Aufgabe sollen die in der Quantenmechanik wichtigen Legendre-Polynome diskutiert werden. Im folgenden bezeichnet φn (x) := xn , n = 0, 1, 2, ....
a) Betrachte den Hilbertraum L2 ([−1, 1]) mit dem Standard-Skalarprodukt. Finde durch Anwenden des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens
auf {φn }n∈IN0 Polynome Pn , n = 0, 1, 2, ..., die
hPn , Pm i =
8
2 δnm
2n + 1
erfüllen. Man beachte die obige Normierung, die Pn haben also nicht Norm
1. Berechne Pn für n = 0, 1, 2, 3 explizit und prüfe für diese Beispiele, dass
sie die Legendresche Differentialgleichung
(1 − x2 )f 00 (x) − 2xf 0 (x) + n(n + 1)f (x) = 0
lösen.
b) Überlege, was sich für
∞
X
2n + 1
2
n=0
Pn (x)Pn (y)
ergibt.
c) Zeige: Falls g ∈ L2 ([−1, 1]) und
hφn , gi =
0 ; n gerade
,
; n ungerade
2
n+2
so gilt g(x) = x fast überall.
23) Orthonormalbasen
Es seien H1 und H2 zwei separable Hilberträume mit Skalarprodukten h · , · i1 bzw.
h · , · i2 , zugehörigen Normen k·k1 bzw. k·k2 und Orthonormalbasen {ψn1 }n∈IN bzw.
{ψn2 }n∈IN .
a) Wir definieren auf den Basisvektoren eine lineare Abbildung U : H1 → H2 ,
U ψn1 := ψn2 ,
P
P
P
d.h. U n cn ψn1 := n cn ψn2 für alle komplexen Zahlen cn mit n |cn |2 < ∞.
Zeige, dass diese Abbildung das Skalarprodukt und die Norm erhält (isometrische Abbildung), d.h. für alle ψ, φ ∈ H1 gilt
hU ψ, U φi2 = hψ, φi1
und
kU ψk2 = kψk1 ,
und surjektiv ist, d.h. jedes ξ ∈ H2 kann in der Form ξ = U ψ mit einem
geeigneten ψ ∈ H1 geschrieben werden.
b) Zeige andersherum: Ist U : H1 → H2 eine isometrische und surjektive lineare
Abbildung und {bn }n∈IN eine Orthonormalbasis von H1 , so ist {U bn }n∈IN eine
Orthonormalbasis von H2 .
24) Anfreunden mit Operatoren
In dieser Aufgabe sollen einige in der Vorlesung eingeführte Begriffe an zwei
Beispieloperatoren nachvollzogen werden. Wir betrachten den Hilbertraum H =
L2 (IR), und darauf die Operatoren
ψ(x)
1 + x2
(Bψ)(x) := ψ 0 (x)
(Aψ)(x) :=
a) Sind A und B beschränkt? Wenn ja, bestimme ihre Operatornormen.
9
b) Kommutieren A und B? Berechne [A, B].
c) Ist A invertierbar? Wenn ja, bestimme den inversen Operator A−1 .
d) Sind A und B selbstadjungiert? Bestimme die adjungierten Operatoren A∗
und B ∗ .
25) Integraloperatoren und Neumann-Reihen
Wir betrachten zu gegebenem λ ∈ C und ϕ ∈ L2 (IR) die Integralgleichung
Z
2
2
λ · ψ(x) − dy e−(x +y ) ψ(y) = ϕ(x)
und suchen nach Lösungen ψ ∈ L2 (IR). Dazu führen wir den Integraloperator K
ein,
Z
2
2
(Kψ)(x) := dy e−(x +y ) ψ(y) .
In Hilbertraumnotation ist die Integralgleichung also durch
(λ · 1 − K)ψ = ϕ
gegeben (Die 1 bezeichnet hier die Identität auf L2 (IR)), und die Lösung ist ψ =
(λ · 1 − K)−1 ϕ, falls (λ · 1 − K)−1 existiert.
a) Zeige, dass K ein beschränkter linearer Operator auf dem Hilbertraum L2 (IR)
ist, und berechne seine Operatornorm kKk.
b) Zeige, dass im Falle |λ| > kKk die Folge {ψN }N ∈IN ,
−1
ψN := λ
ϕ+
N
X
λ−(1+n) K n ϕ ,
n=1
für N → ∞ in Norm gegen eine Lösung der Integralgleichung konvergiert.
26) Adjungierte Operatoren
Zeige, dass die Adjungiertenbildung A 7→ A∗ von Operatoren die folgenden Eigenschaften hat (mit λ, µ ∈ C, A, B ∈ B(H)):
• (λA + µB)∗ = λA∗ + µB ∗ ,
• (AB)∗ = B ∗ A∗ ,
• (A∗ )∗ = A.
27) Erwartungswerte und Schwankungsquadrate
Es seien X und P der Orts- bzw. Impulsoperator auf L2 (IR), d.h. für ψ aus dem
Definitionsbereich S (IR) ⊂ L2 (IR) gilt
(Xψ)(x) = x · ψ(x) ,
(P ψ)(x) = −i~ ψ 0 (x) .
Bestimme die Erwartungswerte und Schwankungsquadrate von X und P in dem
Zustand ψσ,µ , wobei
1
ψσ,µ (x) := π −1/4 σ −1/2 e− 2 (
x−µ 2
σ
)
mit σ > 0, µ ∈ IR ist. Prüfe, ob das Unschärfeprodukt ∆ψσ,µ X · ∆ψσ,µ P in Einklang
mit der Unschärferelation ist.
10
28) Weiteres Übungsmaterial
Hier folgen einige weitere Übungsaufgaben, deren Bearbeitung freiwillig ist und die
auch nicht mehr in den Übungen besprochen werden. Diese Aufgaben können z.B.
zum Nachvollziehen des letzten Vorlesungsteils oder zum allgemeinen Zeitvertreib
benutzt werden.
• Finde einen Operator U 6= ±1, der sowohl unitär als auch selbstadjungiert
ist.
• Zeige: Ist A ∈ B(H) und U unitär, so gilt
Sp (U AU ∗ ) = Sp A .
• Bestimme das Spektrum des Faltungsoperators C, definiert auf L2 (IR) als
Z ∞
dy e−y f (x − y) .
(Cf )(x) :=
0
Tipp: Benutze die vorangehende Aufgabe und die Fouriertransformation.
• Auf L2 (IR) betrachten wir den Operator
(Hf )(x) = −f 00 (x) + x2 f (x) .
Zeige, dass alle Eigenwerte von H positiv sind. Finde einen Eigenwert von
H.
• Bestimme im Kontext der vorhergehenden Aufgabe den Kommutator [H, P ]
mit P definiert als
(P f )(x) := −if 0 (x) .
Was für eine Unschärferelation ergibt sich für die Schwankungsquadrate ∆H
und ∆P ?
• Und zum Schluss noch zwei zum Knobeln:
a) Zeige, dass es keine (n × n)-Matrizen X, P gibt, die die Heisenbergschen
Vertauschungsrelationen
[X, P ] = i · 1
erfüllen. 1 bezeichnet hier die (n × n)-Einheitsmatrix.
b) Bestimme das Spektrum der Fouriertransformation als Operator auf L2 (IR).
Schöne Semesterferien!
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