Grundlagen der Elektrotechnik 1 Übungsaufgaben - ate.uni

Campus Duisburg
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik
Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni
Version 2006.10
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Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 1:
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎡
⎤
2
1
0
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
a = ⎣ 3 ⎦ cm, b = ⎣ 3 ⎦ cm und c = ⎣ 3 ⎦ cm.
3
0
−2
Gegeben sind die Vektoren a, b und c:
a)
Man weise das kommutative Gesetz: a + b = b + a,
sowie das assoziative Gesetz: (a + b) + c = a + (c + b) = (a + c) + b
analytisch und grafisch nach.
b)
Der skalare Faktor λ = 3 ist gegeben. Man weise das distributive Gesetz:
λ · (a + b) = λ · a + λ · b analytisch und grafisch nach.
(Die Lösung der Aufgabe ist im Anhang gegeben.)
Aufgabe 2:
⎡
⎤
⎡ ⎤
4
2
⎢ ⎥
⎢ ⎥
Gegeben sind die Vektoren a, b : a = ⎣ 3 ⎦ cm, b = ⎣ 4 ⎦ cm.
0
0
a)
Wie groß sind die Absolutbeträge der beiden Vektoren a und b ?
b)
Man bestimme je einen Einheitsvektor in Richtung von a und b.
c)
Wie groß ist der Winkel zwischen a und b ?
d)
Wie groß ist die Projektion von a auf b und von b auf a ?
Alle Rechenschritte in den Unteraufgaben a) bis d) sollen analytisch und grafisch durchgeführt werden.
Aufgabe 3:
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎡
⎤
4
1
4
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
Gegeben sind die Vektoren a, b und c: a = ⎣ 3 ⎦ cm, b = ⎣ 3 ⎦ cm und c = ⎣ −2 ⎦ cm.
0
2
0
Man weise nach, dass das Volumen des von den Vektoren a, b und c aufgespannten Spats durch die
Beziehung
V = (a × b)· c
berechnet werden kann. (Die Lösung dieser Aufgabe ist im Anhang gegeben).
1
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 4:
Man gebe für die Beziehungen:
R=
l
κ·A
und F = m · a
die zugeschnittenen Grössengleichungen an. Dabei soll der Widerstand R auf kΩ, der spezifische Leitm
2
wert κ auf Ω·mm
2 , die Länge l auf cm, der Querschnitt A auf cm , die Kraft F auf Newton (N), die
Masse m auf Gramm (g) und die Beschleunigung a auf sm2 bezogen werden.
Aufgabe 5:
Die zwei Punktladungen Q1 = 2 · 10−9 As und Q2 = −4 · 10−9 As (Bild 5.1) befinden sich im Abstand
a = 40 cm im Vakuum (εr =1).
P
c
b
Q1
a
Q2
Bild 5.1
Man bestimme die elektrische Feldstärke in dem Punkt P , der von der Ladung Q1 den Abstand
b = 30 cm und von der Ladung Q2 den Abstand c = 50 cm besitzt.
2
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 6:
4
5
3
r
6
2
r22
11111
00000
0000
1111
00000
11111
0000
1111
30◦
00000
11111
0000
1111
r12
00
11
0
1
00000
11111
0000
1111
7
1
00
11
0
1
Q
Q
00000
11111
0000
1111
30◦
00000
11111
0000
1111
00000
11111
0000
1111
00000
11111
0000
1111
Bild 6.1
2
8
|Q| = 0, 2782 · 10−11 As
r = 5 cm
1
r
2
12
r
2
9
11
10
Zwei Ladungen Q1 und Q2 befinden sich im Vakuum im Abstand von r2 vom Koordinatenursprung.
Man bestimme für die Punkte 1 - 12, die sich im Abstand r vom Koordinatenursprung befinden, die
ges,µ auf grafischem Weg für die Fälle Q1 = +|Q|; Q2 = +|Q| und
elektrische Gesamtfeldstärken E
Q1 = - |Q| ; Q2 = + |Q| für µ = 1,. . . ,12 ;
Maßstab: 1 cm = 5
V
m
Aufgabe 7:
P3 (d, l)
11
00
00
11
000000
111111
0
1
000000
111111
0
1
000000
111111
0
1
000000
111111
0
1
000000
111111
0
1
m, Q2
000000
111111
0
1
000000
111111
0
1
000000
111111
0
g1
l
000000
111111
0
1
P2 (x2 , y2)
000000
111111
0
1
000000
111111
0
1
1
0
0
1
0
1
P1 (d, 0)
0
1
a
m
00
11
0
1
00
11
y
Bild 7.1
0
Q0 1
0
1
d
|Q| = 10−8 As
d = 4 mm
l = 10 mm
a = 6 mm
εr = 1
m=1g
x
Im Koordinatenursprung befindet sich eine Punktladung Q0 = +|Q|. Im Punkt P1 (d, 0) befindet sich
ein ungeladener Körper geringer Ausdehnung der Masse m; dieser Körper ist im Punkt P3 (d, l) an
einem dielektrischen Faden der Länge l aufgehängt. Wird auf den Körper eine Ladung Q2 gebracht,
so wird er um den Abstand a in den Punkt P2 (x2 ,y2 ) ausgelenkt.
Wie groß sind die Ladung Q2 und die Koordinaten (x2 , y2 ) für den Fall
a)
d = 0 (Lösung allgemein und zahlenwertmäßig)
Maßstab:
1 cm = 1 mm
1 cm = 10−3 N
b)
d = d (Lösung grafisch)
3
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 8:
Zwischen zwei parallelen Metallelektroden (Bild 8.1) mit dem Abstand d = 4 cm befindet sich ein
Elektron.
U
1
0
0
1
00
11
-e
00
11
1
0
0
1
Bild 8.1
a)
Wie groß ist die Kraft, die auf das Elektron ausgeübt wird, wenn an die Platten eine Spannung
von 1000 V gelegt wird?
b)
Wie groß muss die an die Elektroden angelegte Spannung sein, damit ein Körper geringer Ausdehnung mit der Masse m = 1 mg, der die positive Ladung Q = 9, 81·10−10 As besitzt, im Raum
schwebt (g = 9, 81 sm2 )?
Aufgabe 9:
Im Ursprung eines
Q1 = -1,2·10−8 C.
kartesischen
Koordinatensystems
befindet
sich
eine
Punktladung
a)
Unter Berücksichtigung der Radialsymmetrie bestimme man den Absolutbetrag der elektrischen Verschiebungsdichte im Vakuum (εr = 1) sowie der elektrischen Feldstärke im Aufpunkt
P1 : (x1 = 3 cm, y1 = 7 cm, z1 = 9 cm).
b)
Man bestimme die Spannung des Aufpunktes gegenüber dem unendlich fernen Punkt.
c)
Wie groß ist der Absolutbetrag der Kraft F , die auf die Probeladung Q2 = -1,6·10−7 C ausgeübt
wird, wenn diese in den Aufpunkt P2 : (x2 = 6 cm, y2 = 9 cm, z2 = 3 cm) gebracht wird?
Aufgabe 10:
Gegeben ist eine aus zwei parallelen Metallplatten bestehende Elektrodenanordnung. Das zwischen
den Metallplatten befindliche Dielektrikum ist Papier mit der Dielektrizitätszahl εr = 4. Der Abstand
der Platten voneinander ist d = 2 mm und die anliegende Spannung beträgt U = 100 V.
a)
und
Wie groß ist der Absolutbetrag der im Dielektrikum herrschenden elektrischen Feldstärke E
der elektrischen Verschiebungsdichte D?
b)
Wie groß ist die auf einer Metallplatte gespeicherte Ladung, wenn die Fläche der Platte
A = 0,2 mm2 beträgt?
4
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 11:
Eine Elektrodenanornung aus zwei konzentrisch angeordneten Metallkugeln mit den Radien
ri = 4 cm und ra = 6,5 cm liegt an einer Spannung von 25 kV. Im Raum zwischen den Kugelelektroden
befindet sich Vakuum.
a)
Man bestimme die auf den Elektroden jeweils gespeicherte Ladung.
b)
Man zeichne den Verlauf des Absolutbetrags der elektrischen Feldstärke als Funktion von r
(ri ≤ r ≤ ra ).
c)
Wie groß ist die minimale und die maximale Feldstärke in der Elektrodenanordnung?
Aufgabe 12:
Gegeben ist eine Elektrodenanordnung aus zwei konzentrisch angeordneten Metallzylindern
der Länge l und den Radien ri = 0,5 cm und ra = 3 cm. Im Raum zwischen den Elektroden herrscht
Vakuum. Die innere Elektrode befindet sich auf dem Potential ϕi = 0 V, die äussere auf dem Potential
ϕa = 100 V.
a)
Man bestimme den Absolutbetrag der elektrischen Feldstärke E(r),
die zwischen den beiden
Elektroden herrscht.
b)
Wo tritt das Maximum des Absolutbetrages der elektrischen Feldstärke auf und wie groß ist es?
c)
Man zeige, dass für das Maximum des Absolutbetrages der elektrischen Feldstärke in Abhängigkeit
von ri notwendig ein Minimum existieren muss (Hinweis: Man stelle
die elektrische Feldstärke
minimal?
als Funktion von ri grafisch dar). Für welchen Wert von ri wird E
max
Aufgabe 13:
Gegeben ist eine Kugelladung mit dem Radius r0 .
a)
Es ist nachzuweisen, dass die Beziehung
c
Integrationsweg c gilt!
b)
Man skizziere einen Beweis, dass
c
= 0 für den im Bild angegebenen
· ds
E
= 0 für jeden beliebigen
· ds
E
geschlossenen Integrationsweg c gilt, der die Punktladung nicht berührt.
c
E
1
0
0
1
Bild 13.1
2r0
5
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 14:
Gegeben ist die Anordnung nach Bild 14.1.
Auf den Platten des Kondesators befindet sich die konstante Ladung ±Q = 10−4 C; unter dem Einfluss
der auf die Platten wirkenden Kraft stellt sich ein Plattenabstand d1 = 8 cm ein. Die Plattenfläche
beträgt: A = 10 cm2 . Wird dieselbe Anordnung in ein Ölbad (εr = 3,75) gebracht, so ändert sich der
N
?
Plattenabstand auf d2 = 10 cm (Bild 14.2). Wie groß ist die Federkonstante λ in m
d1
d2
ε0
ε0 εr
A
A
λ
+Q
Öl
-Q
λ
Bild 14.1
+Q -Q
Bild 14.2
Aufgabe 15:
Man bestimme die Kapazität der in den Aufgaben 11 und 12 beschriebenen Elektrodenanordnungen
(Kugelkondensator bzw. Zylinderkondensator) mit radial bzw. in Umlaufrichtung zweifach geschichtetem Dielektrikum εr1 , εr2 .
Aufgabe 16:
Gegeben ist ein homogenes zeitlich konstantes elektrisches Feld im Raum.
a)
Wie groß ist die Teilchengeschwindigkeit eines Elektrons, wenn es in diesem Feld im Vakuum
eine Potentialdifferenz von 1 V durchläuft?
b)
Es ist nachzuweisen, dass
für die mittlere Driftgeschwindigkeit in einem stofferfülltem Raum die
Beziehung vD = b · E gilt. Dabei soll vorausgesetzt werden, dass die die Wärmebewegung der
Stoffmoleküle charakterisierende mittlere “Wärmegeschwindigkeit” vW der Bedingung vW vD
genügt.
c)
Wie groß ist die Beweglichkeit des Elektrons, wenn die freie Weglänge λ = 7·10−6 cm des Elektrons
und die mittlere “Wärmegeschwindigkeit” vW = 2·108 cm
s gegeben sind.
6
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 17:
l
εr1
εr2
r1
r2
l1
Bild 17.1
εr1 = 7
εr2 = 2
Q = 10−12 As
r1 = 1 cm
r2 = 3 cm
l = 9 cm
l2
x
Gegeben ist ein zylindrischer Kondensator nach Bild 17.1. Auf den Aussenelektroden befinde sich die
Ladung + Q, auf der Innenelektrode - Q.
a)
Bestimmen sie die Längen l1 und l2 ,sodass die Teilladungen auf den Elektroden in den Bereichen
0 ≤ x ≤ l1 und l1 ≤ x ≤ l1 + l2 gleich groß sind.
b)
Berechnen sie die Kapazität des Kondensators für die berechneten Werte von l1 und l2 .
Aufgabe 18:
Gegeben ist ein mit den Dielektrika εr1 und εr2 gefüllter Kugelkondensator nach Bild 18.1. Auf der
Innenelektrode befinde sich die Ladung + |Q|, auf der Aussenelektrode die Ladung - |Q|.
111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
r3
Bild 18.1
κ = ∞ r2
r1
+ |Q|
εr1
κ=∞
- |Q|
Bereich 1
Bereich 2
εr2
a)
Wie groß sind die Absolutbeträge der elektrischen Feldstärke und der elektrischen Erregung in
den Gebieten: r1 ≤ r ≤ r2 ; εr1 und r2 ≤ r ≤ r3 ; εr2 ?
b)
Wie groß muss r2 gewählt werden, damit die im Bereich 1 gespeicherte elektrische Energie gleich
der im Bereich 2 gespeicherten elektrischen Energie ist?
c)
Wie groß ist r2 als Funktion von r3 für den Fall r3 = 10 · r1 ; εr1 = 10 · εr2 ?
7
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 19:
In einem Kupferdraht mit dem Querschnitt A = 2,7 mm2 Querschnitt fließt der Strom I = 12 A. Die
Dichte der Elektronen ist n = 8, 47 · 1019 mm−3 . Wie groß ist die Driftgeschwindigkeit vD der freien
Elektronen im Leiter?
Aufgabe 20:
Gegeben ist ein leitender Körper mit quadratischem Querschnitt und der Leitfähigkeit κ. An den
Endflächen wird über unendlich gut leitende Kontaktflächen die Spannung U0 angelegt. Wie groß ist
der Strom I?
x
l κ
b
c
b
b
c
c
I
b = 1 cm
c = 5 cm
l = 10 cm
κ = 1(Ωm)−1
Bild 20.1
U = 10 V
Aufgabe 21:
Ein Leitungsseil aus Kupfer besteht aus 15 einzelnen kreisrunden Drähten mit je 1,89 mm Durchmesser.
Sm
Die Leitfähigkeit des Materials beträgt κCu = 56 mm
2.
a)
Wie groß ist der Widerstand des Seils je km Leitungslänge?
b)
Sm
Das Leitungsseil wird mit einem 1 cm starken Isolationsmaterial (Hartpapier: κ = 10−14 mm
2)
umgeben. Man berechne den Isolationswiderstand pro km Länge gegen den Aussenraum, wenn
der Innenradius des Isolationsmaterials zu ri = 0,37 cm angenommen wird.
Aufgabe 22:
Der ohmsche Widerstand der Kupferwicklung eines Motors steigt von R1 = 0,304 Ω (bei ϑ1 = 20◦ C)
auf den Wert R2 = 0,372 Ω. Welche mittlere Temperatur ϑ2 stellt sich in der Wicklung ein, wenn der
Temperaturbeiwert des Leitmaterials für die angegebene Ausgangstemperatur α20 = 3, 9 · 10−3 K−1
beträgt?
8
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 23:
Eine Spule wird aus Kupferdraht von 600 m Länge und einem Durchmesser von 1,3 mm hergestellt.
a)
Wie groß ist der Widerstand des Drahtes?
b)
Mit welcher Drahtstärke muss die Spule gewickelt werden, wenn ein Aluminiumdraht verwendet
wird und der Widerstand unverändert bleiben soll?
c)
Wie groß ist die Spannung an der Spule, wenn sie von einem Strom von 5 A durchflossen wird?
Sm
Sm
κCu = 56 mm
2 ; κAl = 35 mm2
Aufgabe 24:
Eine Spule ist mit 0,3 mm starken kreisrunden Kupferdraht bewickelt, der mit Seide besponnen ist. Die
Sm
Betriebstemperatur sei zu 18◦ C angenommen und die zugehörige Leitfähigkeit ist mit κCu = 56 mm
2
gegeben.
a)
Wie groß ist der ohmsche Widerstand einer Spule mit einem Innendurchmesser di = 1,7 cm und
einem Aussendurchmesser da = 8,69 cm, wenn die Wicklung der Spule aus 110 Lagen zu je 115
Windungen besteht?
b)
Um wieviel Grad steigt die Temperatur des Kupferdrahtes, wenn der Widerstand der Spule
gegenüber dem Wert bei 18◦ C um 142 Ω steigt (αCu = 3, 9 · 10−3 K−1 )?
Bild 24.1
da
di
Aufgabe 25:
Zwei parallele Drähte mit einem Abstand von 8 cm werden von Strömen von je 80 A durchflossen.
a)
Welche Größe und Richtung hat die Kraft je Meter Leitungslänge, die jeweils auf die einzelnen Leiter ausgeübt wird, wenn die beiden Ströme zueinander gleichen bzw. entgegengesetzten
Richtungssinn haben?
b)
Wie groß ist die Kraft, wenn die beiden Leiter im Falle eines Kurzschlusses von einem Strom
60 kA durchflossen werden, und zueinander entgegengesetzten Richtungssinn haben?
c)
Wie lautet die zugeschnittene Größengleichung für den Absolutbetrag der Kraft je Längeneinheit?
Vs
µ0 = 1, 257 · 10−8 Acm
9
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 26:
Eine Leiterschleife nach Bild 26.1 mit den Abmessungen l1 = 50 mm, l2 = 100 mm,
l3 = 60 mm und
Vs
l4 = 80 mm wird in einem Magnetfeld der magnetischen Induktionsflussdichte B
= 2m
2 senkrecht
zur Fläche der Leiterschleife gebracht. Welche Kraft F wird auf die Leiteranordnung ausgeübt, wenn
die Schleife vom Strom I = 0,2 A durchflossen wird und die Eintauchtiefe
a)
l5 = 30 mm
b)
l6 = 70 mm beträgt.
Nach dem Einbringen der Schleife in das Feld wird sie nicht mehr bewegt.
l3
I
l3
l2
l1
I
l5
l4
l2
l6
l1
Bild 26.1
l4
Aufgabe 27:
Es ist nachzuweisen, dass von einem Magnetfeld an einer bewegten Ladung keine Arbeit geleistet wird.
Aufgabe 28:
7m
Ein Elektron durchläuft, mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 = 2 · 10
s ein homogenes Magnetfeld
der Länge l = 30 mm und der magnetischen Induktionsflussdichte B
= 10−3 Vs2 (Bild 28.1).
m
Es trifft anschließend auf einen Leuchtschirm S, der einen Abstand d = 100 mm vom Magnetfeld hat.
(Ladung eines Elektrons: q = - 1,6·10−19 As, Ruhemasse des Elektrons: m = 9, 108 · 10−28 g)
Um welche Strecke x wird das Elektron aus der Mittelachse ausgelenkt?
l
Bild 28.1
d
S
q, m
v0
x
B
10
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 29:
In einem sehr langen, geraden Draht vom Radius r0 = 0,6 cm fließt ein Strom I = 80 A.
a) Man bestimme die magnetische Erregung H
in Abhängigkeit vom Abstand r von der Mittellinie
des Leiters (0 ≤ r ≤ ∞).
b)
Wie groß ist die magnetische Erregung in den Punkten mit den Abständen 0, 5r0 , r0 , 2r0 ?
c)
Um den Leiter wird konzentrisch zur Leiterachse ein geschlossener Holzring des Querschnittes
4 cm2 und der mittleren Ringlänge 40 cm angebracht. Wie groß ist der magnetische Fluß durch
den Querschnitt des Ringes?
Aufgabe 30:
Zwei konzentrisch angeordnete Metallzylinder nach Bild 30.1 werden in entgegengesetzter Richtung
von einem Strom I durchflossen.
a)
Man bestimme die magnetische Erregung in Abhängigkeit vom Abstand r und von der Mittellinie
der Anordnung im Bereich 0 ≤ r ≤ r∞ .
b)
Man zeichne den Verlauf des Absolutbetrages der magnetischen Erregung über dem Abstand r
von der Mittellinie.
111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
r
000000000
111111111
000000000
111111111
00000
11111
r
000000000
111111111
00000
11111
000000000
111111111
00000
11111
000000000
111111111
r
00000
11111
000000000
111111111
r
00000
11111
000000000
111111111
00000
11111
000000000
111111111
00000
11111
000000000
111111111
I
000000000
111111111
000000000
111111111
11
00
000000000
111111111
I
000000000
111111111
4
2
Bild 30.1
3
1
Aufgabe 31:
Eine einlagige Rechteckspule mit 118 Windungen befindet sich in einem homogenen Magnetfeld der
Induktionsflußdichte 0,045 kT. Sie ist drehbar um eine zum Feld senkrecht stehende Achse. Die Seitenlängen der Spule sind 5 cm (parallel zur Achse) und 4 cm (senkrecht zur Achse). Die Spule wird
von einem Strom von 30 mA durchflossen.
a)
Man berechne den Winkel α, den die Spulenebene mit dem Feld einschließt, wenn auf die Spule
ein Drehmoment von 0,1029 Nm ausgeübt wird.
b)
In welcher Lage erfährt die Spule das größte Drehmoment?
c)
Wann befindet sich die Spule im Gleichgewicht? Man zeige mit Hilfe der potentiellen Energie der
Spule, in welchem Fall es sich um ein stabiles bzw. labiles Gleichgewicht handelt.
11
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 32:
Das Bild 32.1 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Drehspulinstrumentes. Die Abmessungen der DrehSm
spule betragen 2 cm × 1,5 cm. Die Spule ist mit 130 Windungen aus Kupferdraht (κCu = 56 mm
2)
mit einem Durchmesser von 0,2 mm gewickelt. Wie groß muss die magnetische Induktionsflußdichte
für einen Strom von 10 mA gewählt werden, wenn die Felder bei Endausschlag ein Richtmoment von
2·10−3 Ncm erzeugen?
B
S
N
2 cm
Bild 32.1
1,5 cm
Aufgabe 33:
Eine Leiterschleife nach Bild 33.1 mit den Längen l1 = 20 mm, l2 = 50 mm, l3 = 15 mm
und l4 = 40 mm wird
mit der Geschwindigkeit v0 in ein homogenes Magnetfeld der magnetischen
Induktionsflußdichte B
= 2 T eingetaucht. Die Ebene der Leiterschleife steht stets senkrecht auf der
Richtung der magnetischen Induktionsflußdichte.
a)
Man bestimme die in der Leiterschleife induzierte Spannung in Abhängigkeit von der Zeit t, wenn
die Leiterschleife z. Z. t = 0 in das Feld eintritt.
b)
Man zeichne den Verlauf der induzierten Spannung als Funkton der Zeit.
c)
Wie groß ist die induzierte Stromstärke?
l2
R
v0
R = 1 kΩ
v0 = 0,01 m/s
l4
l1
l3
x=0
Bild 33.1
B
l
12
∞
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 34:
Eine Rechteckspule mit den Abmessungen 4 cm × 3 cm hat 800 Windungen. Sie rotiert mit 600
Umdrehungen je Minute in einem homogenen Magnetfeld der Induktionsflußdichte 0,14 T um die im
Bild 34.1 gezeichnete Achse. Wie groß ist der Scheitelwert der induzierten Spannung und mit welcher
Frequenz ändert sie sich?
B
Bild 34.1
Aufgabe 35:
Gegeben ist ein Magnetfeld der homogenen Induktionsflußdichte B = B0 ·sin(ωt). Ein Leiter der Länge
l = 21 cm, der zu einem gleichseitigen Dreieck gebogen wurde, befindet sich in diesem Magnetfeld,
sodass die Dreiecksfläche senkrecht zur Richtung der magnetischen Induktionsflußdichte liegt.
a)
Wie groß ist die in der Leiterschleife induzierte Spannung in Abhängigkeit von der Zeit?
b)
Man bestimme den in der geschlossenen Schleife induzierten Strom, wenn der Widerstand pro
Ω
, die Frequenz f = 50 Hz und B0 = 1 T betragen.
Längeneinheit der Leiterschleife R = 10 cm
Aufgabe 36:
Gegeben ist eine rechteckige Leiterschleife neben einem stromdurchflossenen Leiter im Vakuum
(Bild 36.1). In die Leiterschleife ist ein Messinstrument mit dem Innenwiderstand Ri geschaltet.
1
0
i = î · cos(ωt)
R3
2
R3
2
Ri
R4
r0
R2
b
R1
c
a
Bild 36.1
Man berechne die am Meßinstrument anliegende Spannung u(t).
13
ω = 2 · π · 50 1s
î = 1 A
R1 = 1Ω
R2 = 4Ω
R3 = 1Ω
R4 = 4Ω
Ri = 10Ω
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 2 cm
r0 = 0,5 cm
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 37:
R1
Gegeben ist eine quadratische Schleife, die sich um ein homogenes,
zeitlich sich änderndes Magnetfeld der magnetischen Induktions ( mit der zeitlichen Ableitung dB = C = const)
flussdichte B
dt
schließt (Bild 37a.1).
Drei der Kanten der Schleife haben den Widerstand R1 , die vierte
Kante hat den Widerstand R2 . Ausserhalb der Schleife ist kein
Magnetfeld vorhanden. Die Kantenlänge ist a.
R1
R1
B
R2
Bild 37.1
a)
Die Schleife wird aufgeschnitten und die Spannung wie folgt gemessen:
u
R1
R1
R1
2
R1
2
0B
1
R2
2
R1
R2
2
u
R1
2
1
0
0B
1
R1
2
R2
2
R1
2
11 R
00
1
2
B
00
11
B
00
11
R1
2
R2
2
R2
2
R1
2
R2
2
u
Bild 37.21
Bild 37.23
Bild 37.22
Wie groß ist die jeweils gemessene Spannung?
b)
Die Schleife ist geschlossen und die Spannung wird wie folgt gemessen:
u
R1
R1
2
11B
00
R1
R1
R1
2
R1
2
R2
00B
11
R1
2
R1
2
R1
2
u
B
1R
0
B
1
0
0
1
R2
R2
u
Bild 37.31
Bild 37.32
Wie groß ist die jeweils gemessene Spannung?
14
Bild 37.33
1
2
R1
2
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 38:
In der Position x = d, y = l in der Nähe eines von einem Strom der Stromstärke i(t) = îcos(ωt)
durchflossenen unendlich langen Leiters befindet sich eine geschlossene, rechteckförmige Leiterschleife
mit einem Gesamtwiderstand R (Bild 38.1).
y
l
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
111111
000000
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
d
0
1
i(t)
0
1
0
1
a
y
a
a
l
R
1111111111
0000000000
i(t)
1111111111
0000000000
x
Bild 38.1
z
i(t) = îcos(ωt)
Berechnen Sie die in der Schleife induzierte Stomstärke ii (t) als Funktion der Zeit. Geben Sie die
Bezugspfeilrichtung von ii (t) an.
Hinweis: Der Radius des Leiters ist zu vernachlässigen.
Aufgabe 39:
Vs
Ein Eisenring (µr Eisen = 100, µ0 = 4π · 10−7 Am
) mit einem Querschnitt von 3 cm2 und einer mittleren
Länge von 60 cm, der von einem Luftspalt der Breite 1,5 mm unterbrochen ist, ist mit einer Spule von
350 Windungen bewickelt. In der Spule fließt ein Strom von 2,5 A.
a)
Man bestimme die magnetische Erregung sowie die magnetische Induktionsflußdichte im Eisen
und im Luftspalt längs der mittleren Linie des Ringes.
b)
Wie groß sind die entsprechenden magnetischen Flüsse?
c)
Mit Hilfe des magnetischen Widerstandes berechne man den magnetischen Fluß.
15
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 40:
Ein Ringkörper der mittleren Länge lm = 100 cm besteht aus geschichtetem hochlegierten Trafoblech, dessen Magnetisierungskennlinie durch die unten aufgeführten Daten gegeben ist. Der Ring ist
gleichmäßig mit 1000 Windungen bewickelt. In der Wicklung fließt ein Strom von 500 mA.
I
w
δ
Bild 40.1
a)
Wie groß muß der Querschnitt des Ringes gewählt werden, damit der magnetische Fluß
φ = 5 · 10−4 Wb beträgt?
b)
Welchen Wert hat der magnetische Fluß, wenn der Ring mit dem unter a) berechneten z. B.
quadartischen Querschnitt von einem Luftspalt von 0,4 mm Breite unterbrochen wird?
(Streuung soll vernachlässigbar sein.)
c)
Vs
).
Man zeichne die “gescherte” Kennlinie des Eisenrings mit Luftspalt (µ0 = 4π · 10−7 Am
H /
A
cm
B/T
H /
B/T
A
cm
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
4,0
5,0
6,0
0,25
0,50
0,65
0,76
0,85
0,93
1,04
1,12
1,17
7,0
8,0
9,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
1,22
1,25
1,28
1,30
1,34
1,37
1,40
1,42
1,43
(Die Lösung dieser Aufgabe ist im Anhang gegeben)
16
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 41:
Bild 41.1 und 41.2 stellen einen Eisenkern mit konstantem Querschnitt von 400 mm2 . Auf dem Mittelschenkel des Kerns (Bild 41.1) ist eine Spule mit w = 350 Windungen aufgebracht.
a)
Wie groß muß der in der
fließende Strom sein, damit im Mittelschenkel eine magnetische
Wicklung
Vs
Induktionsflußdichte B = 1 m2 erzeugt wird?
b)
Welcher Strom wäre erforderlich, wenn die Spule anstatt auf dem Mittelschenkel auf dem
Aussenschenkel (Bild 41.2) aufgebracht
wird und die magnetische Induktionsflußdichte in dem
Vs
mit der Spule bewickeltem Schenkel B
= 1m
2 betragen soll?
Vs
Die Permeabilitätszahl des Materials kann im linearen Teil der Magnetisierungskurve (B
≤ 1m
2)
als µr = 3000 angenommen werden. (Hinweis: Man vernachlässige die in den Ecken auftretenden
Kanteneffekte)
120 mm
20
85 mm
20
20
20
20
Bild 41.1
Bild 41.2
17
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 42:
Ein kreisförmiger Eisenkern besteht aus 2 magnetisch verschiedene Materialien und einem Luftspalt.
Eine Wicklung von w Windungen ist auf den Kern aufgebracht (Bild 42.1).
I = 0,5 A
w = 200
A = 1 cm2
µr1 = 10
µr2 = 5
A
H1 = 5 cm
l1 = l2 = 5 cm
I
I
l1
II
w
µr2
µr1
δ
l2
Bild 42.1
a)
Man berechne die Länge des Luftspaltes, die magnetische Erregung und die magnetische Induktionsflussdichte auf der Mittellinie des Kerns und im Luftspaltbereich unter Vernachlässigung
des Streufeldes, wenn der Betrag der magnetischen Erregung im Bereich I, wie angegeben, gleich
A
ist.
H1 = 5 cm
b)
Wie groß ist der magnetische Fluss durch den Querschnitt des Kerns und des Luftspaltes, falls
die magnetische Erregung als konstant über dem Querschnitt des Kerns und gleich dem unter
a) bestimmten Wert angenommen wird?
Aufgabe 43:
w = 100
ri
r
ri = 5 cm
ra = 10 cm
ra
A
Bild 43.1
µr = 100
Gegeben ist ein Toroid (µr = 100) mit quadratischem Querschnitt, der gleichmäßig mit 100 Windungen
Draht bewickelt ist. Im Draht fließt der Gleichstrom I = 1 A.
a)
Man berechne exakt die magnetische Erregung im Toroid als Funktion von r.
b)
Man berechne den Fluss durch den Querschnitt A des Toroids.
c)
Wie groß ist die Induktivität dieser Anordnung?
18
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 44:
Der Magnetkreis in Bild 44.1 besteht aus zwei gleich großen Eisenteilen mit der Permeabilität µr ,
die mittels eines Dauermagneten in einem Abstand d (Luftspalt) voneinander angebracht sind. Alle
Teile haben die gleiche quadratische Querschnittsfläche A = a2 . Die Entmagnetisierungskurve des
Dauermagneten ist in dem Diagramm Bild 44.2 dargestellt.
a)
Bestimmen sie allgemein (ohne Zahlenwert) die magnetische Induktionsflussdichte BL im Luftspalt.
b)
Wie groß muss die Länge l für den optimalen Arbeitspunkt eingestellt werden?
Dauermagnet
r = 5 cm
d = 0.05 cm
A = a · a = 1 cm2
µr = 1000
Vs
µ0 = 4π · 10−9 Acm
r
m
B
d
A
µr
l
Bild 44.1
Bm
Vs/cm2
8·10−6
6·10−6
4·10−6
2·10−6
-6
-5
-4
-3
-2
Bild 44.2
19
-1
1
Hm
A/cm
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 45:
l1
l2
I1
I2
w1
l1 = l2 = 3l3 = l
w2
l3
µ = const
µr 1
A
Bild 45.1
Gegeben ist eine Magnetkreisanordnung nach Bild 45.1 mit gleichem Querschnitt A in allen Schenkeln.
Kanten- und Streueffekte sollen vernachlässigt werden.
a)
Zeichnen sie das Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises und geben Sie dessen Kenngrößen
an. Die Kenngrößen sind durch die im Bild angegebenen Größen auszudrücken.
b)
Ermitteln Sie die Beziehungen für die magnetischen Flüsse in den drei Schenkelbereichen.
c)
Wie groß muss I2 bei vorgegebenem Wert I1 gewählt werden, damit φ2 = 4 · φ3 ist?
Aufgabe 46:
Gegeben ist ein magnetischer Kreis nach Bild 46.1. Alle Schenkel haben die Querschnittsfläche A und
die Permeabilitätszahl µr .
Bestimmen sie die magnetische Erregung Hδ im Luftspalt als Funktion von I1 und I2 unter der
Annahme, dass der magnetische Fluss im Luftspalt ausserhalb der Querschnittsfläche vernachlässigbar
ist. Für welchen Wert von I2 verschwindet der magnetische Fluss im Luftspalt?
l1
I1
l2
l3
2
w1
δ
I2
w2
l3
2
A
Bild 46.1
20
µ = const
µr 1
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Aufgabe 47:
Man bestimme die Induktivität pro Längeneinheit der im folgendem Bild dargestellten Doppelleitung.
Der Leiterabstand sei 2a. Die Leitungen haben jeweils den Radius r0 und werden in entgegengesetzter
Richtung von einem Strom I durchflossen.
000
111
00
11
00
11
00
11
0000
1111
111
000
0000 111
1111
000
I
000
111
00
11
00
11
00
11
I
r0
2a
Bild 47.1
Aufgabe 48:
In einem Netzwerkknoten fließen die Ströme i1 , i2 und i3 zusammen. Es sei:
i1
i1 = î1 · sin(ωt + ϕ1 )
i2 = î2 · sin(ωt + ϕ2 )
i2
i3
Bild 48.1
a)
Man berechne den Strom i3 und stelle ihn in der Form i3 = î3 · sin(ωt + ϕ3 ) dar.
b)
Wie groß sind die Amplitude î3 und der Nullphasenwinkel ϕ3 ausgedrückt durch die Größen der
Ströme i1 und i2 ?
c)
Man berechene i1 , i2 und i3 für ω = 18, 849 · 106 Hz, ϕ1 = 0 , ϕ2 =
◦
21
π
3
sowie î1 = 1A, î2 = 3A
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Anhang:
Lösung zur Aufgabe 1:
x
cm
8
9
7
8
6
7
5
6
5
4
4
a
3
3
2
2
b
1 1
-1
⎡
c
x
cm
8
9
7
8
6
7
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1 1
-1
⎤
2
⎢
⎥
a = ⎣ 3 ⎦ cm
3
⎡
⎤
1
⎥
b = ⎢
⎣ 3 ⎦ cm
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-2
-2
z
cm
⎡
x
cm
⎤
0
⎢
⎥
c = ⎣ 3 ⎦ cm
−2
8
9
7
8
6
7
5
6
5
4
4
3
3
2
2
1 1
-1
y
cm
x
cm
8
9
7
8
6
7
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1 1
a + (b + c)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
y
cm
(b + c) + a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-2
z
cm
z
cm
z
cm
Lösung zur Aufgabe 3:
V = (a × b) · c
x
cm
c
8
9
7
8
6
7
5
6
5
4
a 4
3
3
2
2
b
1 1
z
cm
⎡
⎤
4
⎢
⎥
a = ⎣ 3 ⎦ cm
0
⎡
⎤
1
⎥
b = ⎢
⎣ 3 ⎦ cm
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
22
(a + c) + b
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-2
y
cm
⎡
y
cm
⎤
4
⎢
⎥
c = ⎣ −2 ⎦ cm
0
y
cm
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Übungsaufgaben
Anhang:
Lösung zur Aufgabe 40:
θ = HE · lE + HL · δ, mit ΦE = ΦL und AE = AL folgt:
θ = HE · lE +
BE
µ0
HE0 = HE +
δ
µ0 ·lE
· BE , daraus folgt
HE0 − HE =
δ
µ0 ·lE
· BE und mit x =
θ
lE
· δ und mit θ = HE0 · lE (für BE = 0) folgt:
δ
µ0 ·lE
· BE und θ = HE0 · lE folgt schließlich:
− HE = x
1,8
T
1,6
Θ·µ0
δ
Magnetisierungskennlinie
1,4
B
1,2
1,0
0,8
gescherte Kennlinie
BE
x
0,6
Scherungsgerade
0,4
0,2
HE
0
0
2
4
Θ
lE
6
8
23
10
12
H
14
A
cm