Morawetz - Universität Wien

Bayesianische Analyse von
Paneldaten∗
Ulrich Morawetz
Juni 2005
Zusammenfassung
In der Seminararbeit werden die in der frequentistischen Ökonometrie
für Paneldaten sehr gebräuchlichen Fixed und Random Effects Modell in
einem bayesianischen Kontext vorgestellt und an Hand einer Schätzung
von Rapserenteerträgen angewendet. Genauer wird hierbei das Verhalten
von Variablen behandelt, die für ein Individuum über die Zeit konstant
sind. Es wird demonstriert dass sich diese auch im bayesianischen Modell
mit der standard Spezifikation nicht schätzen lassen. Der Vergleich der
Ergebnisse der Schätzungen zeigt außerdem, dass es bei nicht informativen
priori Informationen keine nennenswerten Unterschiede gibt.
1
Einleitung
In der folgenden Abhandlung wird erörtert welche Möglichkeiten die bayesianische Analyse von Paneldaten bietet. Ziel der Untersuchung ist es herauszufinden
ob die bayesianische Methode zusätzliche Möglichkeiten bietet zeitkonstanten
Variablen zu behandeln. Die Arbeit orientiert sich an Tony Lancasters Buch
über Bayesiansche Ökonometrie [4]. Nach der Einführung wird eine intuitive
Vorstellung der bayesianischen Idee geboten, hiernach die Methode genauer
in Anwendung auf ein Fixed und ein Random Effects Modell dargestellt. Anhand eines Beispiel werden zuletzt beide Modelle ausprobiert und dann die
Ergebnisse miteinander und mit den frequentistischen Pendants verglichen. Die
statistischen Schätzungen für das bayesianische Modell wurden mit den Softwarepacketen R [5] und WinBUGS [7] durchgeführt, jene für die frequentistischen
Modelle mit STATA [6].
∗
Seminararbeit für den UK 300632 “Oekonometrische Methoden für Paneldaten” an der
Universität Wien im SS 2005 von Prof. Robert Kunst.
1
2
Baysianische Grundlagen
In der bayesianischen Analyse wird davon ausgegangen, dass man über die zu
schätzenden Parameter bereits vor Beginn der Datenanalyse Information hat.
Und auch wenn dies nur die Information ist, dass man keine Information hat,
fließt sie doch in die bayesianische Analyse ein. Diese, a priori Information, wird
dann durch die beobachteten Daten aktualisiert. Damit die a priori Information
verwendet werden kann, muss sie in Form einer Verteilung spezifiziert werden.
Die Daten andererseits werden anhand einer likelihood Funktion erfasst (siehe
Abbildung 1).
0.15
Bay’sche Datenanalyse
0.05
Dichte
0.10
likelihood
0.00
priori
−30
−20
−10
0
10
20
30
beta
Abbildung 1: Dichte von Priori und Likelihood.
Hat man keine priori Informationen muss man eine möglichst unpräzise
priori Information (also mit sehr großer Varianz) statt dessen verwenden. Man
spricht dann von einer “non-informative” priori Information. Die Verwendung
einer non-informative priori Verteilung führt dazu, dass die posteriori Verteilung
alleine durch die Daten, also die likelihood Funktion, bestimmt wird.
Nach den Grundlagen des Theorem von Bayes (siehe z.B. [3], Seite 430),
2
prob(parameter|daten) =
prob(daten|parameter) ∗ prob(parameter)
prob(daten)
∝ prob(daten|parameter) ∗ prob(parameter)
= Likelihood ∗ P rioriV erteilung,
(1)
werden die beiden Verteilungen zusammengeführt. Durch die Multiplikation
von priori Verteilung und likelihood Funktion entsteht die posteriori Verteilung
(siehe Abb. 2). Die Multiplikation der Funktionen kann in manchen Fällen
analytisch erfolgen, im allgemeinen jedoch nur durch Simulation.
0.15
Bay’sche Datenanalyse
0.05
Dichte
0.10
likelihood
posteriori
0.00
priori
−30
−20
−10
0
10
20
30
beta
Abbildung 2: Dichte von Priori, Likelihood und Posterior Verteilung
Für eine likelihood Funktion und eine non noninformative priori Verteilung
kann die posteriori Verteilung als f (β, σ 2 |X, y) angeschrieben werden wobei β
und σ 2 die zu schätzenden Parameter und X und y die Datenmatrizen darstellen [3]. Um aus dieser Verteilung die Verteilung von β zu errechnen, muss
über σ integriert werden,
R∞
0
f (β, σ 2 |y, X)dσ 2 . Dies ist in den meisten Fällen
3
ebenfalls nur durch Simulation mittels Markov Chain Monte Carlo (MCMC)
Methoden möglich.
3
Bayesianische Analyse von Panel Daten
Betrachtet man ein lineares Modell, so kann die die Zusammenhänge erklärende
Gleichung für Paneldaten als
yi,t = xi,t β + ǫi,t , i = 1, 2, . . . , N ; t = 1, 2, . . . , T,
(2)
angeschrieben werden wobeit yi,t die erklärte Variable für Person i zum Zeitpunkt t ist. Um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass die Fehlertermini unabhängig von den erklärenden Variablen sein müssen um die Annahmen für
kleinste Quadrat Schätzungen zu genügen, und dies dadurch, dass mehrere Beobachtungen pro Person vorliegen, häufig nicht gegeben ist, wird in der frequentistischen Literatur oft ein Fixed Effects Modell gewählt. Im weiteren soll das
bayesianische Pedant dazu vorgestellt werden.
3.1
Fixed Effects Modell
Im Fixed Effects Modell wird für jedes Individuum eine Konstante eingefügt
die die Effekte die über die Zeit konstant sind erfasst1 . Das erweiterte Modell
gestaltet sich dann als
yi,t = Xi,t β + αi j + ǫi,t , ǫi,t |xi,t , β, αi , ǫ ∼ n(0, τ ),
(3)
wobei αi dabei ein Koeffizient für die Dummy-Variable j für Individuum i
ist. Den NT ǫi,t Termini wird eine priori Verteilung gegeben nach der sie unabhängig, normal mit mittel null und Präzision τ verteilt sind.
Für dieses Modell müssen nun eine Likelihood Funktion und priori Verteilungen für die Parameter definiert werden. Fasst man die durch das Einfügen
von Dummy-Variablen für jedes Individuum entstehende Datenmatrix als Z
und den dazugehörigen Vektor der zu schätzenden Parameter als δ zusammen,
schreibt sich das Fixed Effects Modell als
y = Zδ + ǫ, ǫ|Z, ǫ ∼ n(0, τ IN T ).
1
(4)
Äquivaltent kann das Modell auch als Modell mit Variablen als Differenz zum Mittelwert
dargestellt werden. Gezeigt wird dies z.B. von Lancaster[4] auf Seite 284 ff.
4
Die likelihood Funktion ist dann gegeben durch (siehe z.B. Lancaster [4]),
ℓ(δ, τ ) ∝ τ N T /2 exp −(τ /2)(y − Zδ)′ (y − Zδ) .
(5)
Für die bayesianische Schätzung sind nun auch noch die priori Verteilungen der Parameter notwendig. Eine nicht informative Priori Verteilung ist ein
nahe liegender Ausgangspunkt. Dies kann etwa durch die Annahme einer uniformen Verteilung für die Parameter des Modells, δ, und den Parameter für die
Präzision, τ , geschehen,
p(δ, τ ) ∝ 1/τ.
(6)
Durch die Multiplikation von priori Verteilung und likelihood Funktion
erhält man die posteriorie Verteilung. Aus dieser kann dann durch Simulation
die Verteilung der Parameter errechnet werden. Dieses Modell entspricht seiner
Konzeption nach dem fixed Effekts Modell der frequentistischen Literatur.
3.2
Random Effekts Modell
Hinter dem fixed Effects Modell steht die Annahme, dass die individuellen Effekte, αi , gleichverteilt sind. Es ist jedoch eher anzunehmen, dass Individualeffekte,
auch über Individuen hinweg, ähnlich sind. Dies spricht dafür eine Modellspezifikation zu verwenden die davon ausgeht, dass die Individualeffekte ähnlich
sind. Um dies zu erreichen, kann ein hierarchisches bayesianisches Modell herangezogen werden. Im folgenden wird davon ausgegangen, dass die individuellen
Effekte ein Mittel von α haben um das sie mit gemeinsamer Präzision φ normal
variieren. Die zwei so entstehenden Gleichungen schreiben sich als:
yi,t = Xi,t β + αi j + ǫi,t ,
αi = α + ηi,t
(7)
wobei ǫi,t und ηi,t unabhängig normalverteilt sind mit Präzision τ bzw. φ gegeben Xi , β, τ , α. Der Vektor j besteht aus Einsern und ist so lang wie die Anzahl
der Beobachtungen für Individuum i. Setzt man Gleichung 7 in Gleichung 9 ein,
so erhält man
yi,t = Xi,t β + αj + (ǫi,t + ηi,t j).
(8)
Der zweigeteilte Fehlerterm ist Normalverteilt mit Mittelwert null und es ist
auch möglich möglich die Varianz-Kovarianz Matrix und die Präzision anzugeben (siehe Lancaster [4], Seite 192).
5
Die likelihood Verteilung für dieses Modell dann durch
ℓ(β, τ, αi ) ∝ τ
N T /2
N
X
(
exp −(τ /2)(
′
)
(yi − Xi β − αi j) (yi − Xi β − αi j)
i=1
(9)
gegeben wobei für αi die Gleichung aus Formel 7 einzusetzen ist. Die multivariate priori Verteilung setzt sich aus den priori Verteilungen von den zu
schätzenden Parametern zusammen. Die priori Verteilung von β und τ sind
unverändert gleichverteilt während αi nach der Modellspezifikation eine normalverteilte priori Verteilung zugeordnet wird. Für die Parametern von αi ,
namentlich α und φ, wird meistens aus rechnerischen Gründen eine GammaVerteilung angenommen, sie soll hier jedoch nicht festgelegt werden. Unter der
Annahme der Unabhängigkeit der einzelnen Verteilungen ist die so entworfene
priori Verteilung ist dann
p(β, τ, αi , α, φ) = p(β, τ )p(αi |α, φ)p(α|φ)p(φ)
N
X
1
∝ φN/2 exp −(φ/2) (αi − α)2 p(α)p(φ).
τ
i=1
)
(
(10)
Das zusammenführen von likelihhood und priori Verteilung ergibt dann die
gewünschte posteriori Verteilung, die Grundlage für das errechnen von Schätzparametern ist.
4
Ein Beispiel
Geschätzt werden sollen Rapserträge von österreichischen Bauern. Die Daten
stammen aus dem LBG Datensätzen über buchführende landwirtschaftliche Betriebe aus den Jahren 1998 bis 2002 [8]. Die erklärte Variable ist Dezitonnen
Raps pro Hektar und als erklärende Variablen werden der durchschnittliche Niederschlag pro Monat und ob es sich um einen biologisch wirtschaftenden Betrieb
handelt eingesetzt. Die Niederschlagsmessungen beziehen sich auf den nächst
gelegnen interpolierten Girdpunkt des jeweiligen geographischen Mittelpunkt
der Gemeinde des Bauern und stammen aus der MARS Datenbank [1]. Insgesamt sind 489 Betriebe im Sample. Die Beobachtungen schwanken zwischen
einem und fünf Jahren (siehe Tabelle 1).
Die Codes für die in WinBUGS geschätzen Modelle sind in den Appendizes A.1 und A.2 zu finden. Es wurden für alle Parameter nicht informative
Priori Verteilungen angenommen außer für φ, der Präzision von α im Random
Effects Modell, da hier eine nichtinformative priori Verteilung zu einer sehr
6
Beobachtungen pro Hof
Anzahl der Höfe
1
2
3
4
5
gesamt
86
86
50
104
163
489
Tabelle 1: Anzahl der Beobachtungen pro Hof
langsamen Konvergenz aller Parameter führt (siehe Lancaster [4], Seite 293).
Für die Simulation wurden 1000 Iterationen durchgeführt und die letzten 500
für die Schätzung der Parameter benützt. WinBUGS wurde von R aus mit Hilfe
von bugs.R [2] bedient.
Entsprechend der Spezifikation des Fixed Effekts Modells wird für jeden
Hof eine Konstante geschätzt. Auch für das Random Effects Modell wird für
jeden Betrieb eine Konstante geschätzt, jedoch unter der Bedingung dass die
Parameter (Konstanten) um einen geschätzten Mittelwert normal variieren. Die
Schätzergebnisse für die beiden Modelle für die 489 Konstanten sind in einem
Boxplot in Abbildung 3 dargestellt. Die Mittewerte liegen nahe bei einander
und wie zu erwarten war streuen die Konstanten des Fixed Effects Modells
stärker als jene des Random Effekts Modells.
30
20
0
10
dt Raps per ha
40
50
Konstanten der Betriebe
FE
RE
Abbildung 3: Boxplot der Konstanten im Fixed und im Random Effects Modell.
Die Ergebnisse der anderen geschätzten Parameter sind aus der Tabelle 2,
der Abbildung 6 und der Abbildung 7 ersichtlich. Die Abbildungen zeigen jeweils den Parameter Mittelwert und das 95% Vertrauensintervall (V.I.). Bei
den Parametern für den Niederschlag zeigt sich, dass insbesondere jene Para7
meter für die Monate wo der Raps frisch gesäht ist (Oktober und November)
und wenn der Raps wachst (März-Juni) von null verschieden sind. Abgesehen
vom Jänner sind die Parameter des Random Effects Modells immer näher bei
null als jener des Fixed Effects Modells. Die Individuen spezifischen Termini
des Fixed Effekts Modells scheinen den zeitkonstanten Einfluss von unbeobachteten Variablen demnach in einer Weise zu erfassen der die Parameter des
Niederschlages stärker zu Geltung kommen lässt.
Fixed Effect
Variable
Random Effects
Mittel
[95%
-V.I.]
Mittel
[95%
-V.I.]
bio
1.42
-0.28
3.29
-0.44
-1.75
0.80
Nied. Jän
1.71
0.37
3.10
2.39
1.23
3.56
Nied. Feb
-0.16
-1.03
0.72
0.08
-0.64
0.73
Nied. Mär
-1.13
-1.69
-0.52
-0.97
-1.52
-0.43
Nied. Apr
1.08
0.36
1.86
0.64
-0.08
1.34
Nied. Mai
1.47
0.86
2.05
1.24
0.68
1.79
Nied. Jun
0.83
0.21
1.37
0.77
0.27
1.28
Nied. Jul
0.21
-0.35
0.77
0.29
-0.20
0.80
Nied. Aug
-0.06
-0.40
0.27
0.01
-0.28
0.31
Nied. Sep
0.24
-0.15
0.60
0.10
-0.23
0.42
Nied. Okt
-1.20
-1.64
-0.76
-1.23
-1.63
-0.86
Nied. Nov
1.60
0.89
2.34
1.07
0.43
1.73
Nied. Dez
-1.42
-2.46
-0.40
-0.77
-1.59
0.12
τ
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
φ
–
–
–
0.03
0.02
0.04
ᾱ
–
–
–
20.73
18.50
23.83
Tabelle 2: Geschätze Parameter des bayesianischen Random und Fixed Effekts
Modelle
Nur sehr unpräzise Aussagen lassen die Schätzungen für die Dummy-Variable
für biologische Wirtschaftsweise “bio” zu. Außerdem ist das Vorzeichen im Fixed und im Random Effects Modell konträr. Für das Fixed Effects Modell ist
das dadurch zu erklären, dass nur Parameter geschätz werden können die sich
über die Zeit verändern. Die meisten Bauern blieben jedoch während des Beobachtungszeitraumes bei einer Wirtschaftsweise und nur 63 wechselten. Diese
geringe Anzahl an variierenden Beobachtungen ist der Grund für die unpräzisen Schätzergebnisse des Fixed Effects Modells. Doch auch im Random Effects
8
Modell sind die Auswirkungen der geringeren Variabilität der Variable2 an der
Größe des Vertraunesintervalls zu merken. Aber im Random Effects Modell
entspricht wenigstens das Vorzeichen den Erwartungen (niedrigere Erträge bei
biologischem Anbau).
4.1
Das Identifikationsproblem
Um genauer Verstehen zu könne wie ein Parameterwert für eine fast zeitkonstante Variable zustande kommt, soll die tatsächlich zeitkonstante Variable,
“Erschwerniszone” den beiden Modellen hinzu gefügt werden. Erschwerniszone
ist ebenfalls eine Dummy-Variable und sie ist 1 wenn der Betrieb erschwerte Produktionsbedingungen hat. Der Verlauf der jeweils zwei Simulationspfade
ist in den Abbildungen 4 und 5 zu sehen. Dort sind die letzten 500 der 1000
Abbildung 4: Konvergence of some parameters in fixed effects model
Wiederholungen der MCMC Simulation abgebildet. Die beiden Pfade jeder Abbildung unterscheiden sich in den Startwerten. In der Mitte der Darstellung für
2
Im Gegensatz zu den Variablen für den Niederschlag gibt es hier fast keine Variation
innerhalb eines Hofes sondern nur zwischen den Höfen.
9
das Fixed Effects Modell sind die Pfade für den Parameter für den Niederschlag
in Dezember zu sehen. Er variiert gering um einen Mittelwert. Die Pfade der
Parameter für die Erschwerniszone wandern hingegen stark (man beachte die
Skalierung) auf und ab ohne auf einen (gemeinsamen) Wert zu konvergieren.
Die Pfade für “bio” liegen in Bezug auf ihre Konvergenz zwischen jenen der
Erschwerniszone und jenen des Niederschlages. Es scheint, dass die Parameter
bei geringerer Variabiliät weniger konvergieren. Auch im Random Effekts Mo-
Abbildung 5: Konvergence of some parameters in random effects model
dell ist zu erkennen, dass die Parameter für “erschwerniszone” und “bio” weit
gestreut sind und auf und ab wandern. Dadurch, dass die Parameter für jeden
Hof jedoch der Auflage unterliegen normalverteilt um ein Mittel α mit Präzision φ zu variieren reduzieren sie die Varianz der zeitkonstanten Variablen nicht
vollständig.
10
5
Vergleich bayesianische vs. frequentistische Schätzungen
Von besonderem Interesse ist zumeist der Vergleich frequentistischer und bayesianischer Resultate. Zu diesem Zwecke wurde sowohl ein frequentistisches Random Effects als auch ein frequentistisches Fixed Effects Modell geschätzt. Die
Ergebnisse sind in der Tabelle 3 und den Abbildungen 6 und 7 zu finden. Ein
Hausman Test um zu testen ob das Randoem Modell konsitent ist ergibt ein
χ2 von 651.2 bei 13 Freiheitsgraden und die Hypothese muss verworfen werden.
Der Vergleich der Parameter aus den frequentistischen und bayesianischen Modellen zeigt, dass sich die beiden Fixed und die beiden Random Effects Modelle
jeweils ähnlich verhalten. Dies gilt sowohl für die Lage des Mittelwertes (Parameters) und für die Größe des Vertrauens- bzw. Konfidenzintervalles. Da nicht
informative priori Verteilungen für die Bayesianischen Schätzungen angenommen wurden, entspricht dies den Erwartungen.
Fixed Effect
Variable
Random Effects
Koeff.
[95%
-C.I.]
Koeff.
[95%
-C.I.]
bio
0.73
-1.01
2.47
-0.57
-1.86
0.72
Nied. Jän
0.78
-0.61
2.18
2.35
1.13
3.56
Nied. Feb
-0.48
-1.34
0.39
0.09
-0.65
0.83
Nied. Mär
-1.13
-1.74
-0.52
-0.95
-1.53
-0.38
Nied. Apr
1.14
0.39
1.88
0.61
-0.08
1.31
Nied. Mai
1.53
0.94
2.12
1.21
0.66
1.76
Nied. Jun
0.54
-0.04
1.13
0.75
0.22
1.27
Nied. Jul
-0.18
-0.75
0.38
0.28
-0.22
0.79
Nied. Aug
-0.07
-0.41
0.27
0.01
-0.30
0.31
Nied. Sep
-0.09
-0.49
0.32
0.08
-0.26
0.42
Nied. Okt
-1.44
-1.88
-1.00
-1.25
-1.64
-0.85
Nied. Nov
1.76
1.07
2.45
1.03
0.39
1.68
Nied. Dez
-2.19
-3.21
-1.17
-0.74
-1.62
0.13
Kons.
24.80
19.75
29.86
21.65
17.83
25.46
Tabelle 3: Geschätze Parameter des frequentistischen Random und Fixed Effekts Modelle
11
Einfluß der Niederschlagsmenge auf Rapsernte
0
Dez
Nov
Okt
Sep
Aug
Jul
Jun
Mai
Apr
Mär
Feb
Jän
−3
−2
−1
Koeffizient
1
2
3
Bayes FE
Bayes RE
Freq. FE
Freq. RE
Abbildung 6: Mittelwerte und Vertrauens- bzw. Konfidenzintervalle für Niederschlagsmenge in verschiedenen Modellen.
1
−2
−1
0
Koeffizient
2
3
Einfluss bio auf Rapsernte
Bio
Abbildung 7: Mittelwert und Vertrauens- bez. Konfidenzintervall für die Dummyvariable für biologische Wirtschaftsweise in verschiedenen Modellen.
12
6
Schlussfolgerungen
Die Motivation sich mit dem bayesianischen Zugang zu beschäftigen war die
Hoffnung auf diesem Weg über die Zeit konstante Variablen schätzen zu können.
Entgegen den ersten Eindrücken wurde diese Hoffnung auf Grund der Nichtkonvergenz der Parameter enttäuscht. Ein möglicher, noch auszutestender Weg
dieses Problem zu lösen ist ein Random Effects Modell zu Schätzen und informative priori Verteilungen einzusetzen. Dies könnte die Konvergenz erleichtern und
gleichzeitig die gegebene Variabilität zwischen den Individuen nützen. Gelingt
es nicht zeitkonstante Parameter mit dem bayesianischen Modell zu schätzen,
muss subsumiert werden, dass der Aufwand im Vergleich zum frequentistischen
Modell um ein vielfaches höher ist, die Ergebnisse jedoch in etwa gleich.
Literatur
[1] European Comission Directorate General Joint Research Centre. Monitoring
of Agriculture with Remote Sensing (MARS) meteorological database, 2004.
[2] A. Gelman. bugs.R: functions for running WinBugs from R. Columbia
University, 2004.
[3] W. H. Greene. Econometric Analysis. Prentice Hall, 5 edition, 2002.
[4] T. Lancaster. An Introduction to Modern Bayesian Econometrics. Blackwell
Publishing Ltd, 2004.
[5] R Development Core Team. R: A language and environment for statistical
computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, 2004.
ISBN 3-900051-07-0.
[6] StataCorp. Stata Statisitcal Software: Release 8. StatCorp LP, College
Station, TX, 2003.
[7] Winbugs Development Team. Winbugs 1.4. Imperial College and Medical
Research Council, UK, 2004.
[8] LBG Wirtschaftstreuhand. Die buchführungsergebnisse aus der österreichischen landwirtschaft. Technical report, LBG, 1998-2002.
13
A
A.1
WinBUGS Program Code
Program Code für Fixed Effects Modell
model{
for(n in 1:N){
y[n]~dnorm(mu[n],tau)
mu[n]<beta1[x1[n]]+
beta2*x2[n]+
beta3*x3[n]+
beta4*x4[n]+
beta5*x5[n]+
beta6*x6[n]+
beta7*x7[n]+
beta8*x8[n]+
beta9*x9[n]+
beta10*x10[n]+
beta11*x11[n]+
beta12*x12[n]+
beta13*x13[n]+
alpha[farm[n]]}
for (f in 1:T){
alpha[f]~dnorm(0,0.0001) }
beta1[1]<-0
for(b in 2:2){
beta1[b]~dnorm(0,0.0001)}
beta2~dnorm(0,0.0001)
beta3~dnorm(0,0.0001)
beta4~dnorm(0,0.0001)
beta5~dnorm(0,0.0001)
beta6~dnorm(0,0.0001)
beta7~dnorm(0,0.0001)
beta8~dnorm(0,0.0001)
beta9~dnorm(0,0.0001)
14
beta10~dnorm(0,0.0001)
beta11~dnorm(0,0.0001)
beta12~dnorm(0,0.0001)
beta13~dnorm(0,0.0001)
tau~dgamma(0.01,0.01)}
A.2
Program Code für Random Effects Modell
model{
for(n in 1:N){
y[n]~dnorm(mu[n],tau)
mu[n]<beta1[x1[n]]+
beta2*x2[n]+
beta3*x3[n]+
beta4*x4[n]+
beta5*x5[n]+
beta6*x6[n]+
beta7*x7[n]+
beta8*x8[n]+
beta9*x9[n]+
beta10*x10[n]+
beta11*x11[n]+
beta12*x12[n]+
beta13*x13[n]+
alpha[farm[n]]}
for (f in 1:T){
alpha[f]~dnorm(alphabar,phi)}
alphabar~dnorm(0,0.0001)
beta1[1]<-0
for(b in 2:2){
beta1[b]~dnorm(0,0.0001)}
15
beta2~dnorm(0,0.0001)
beta3~dnorm(0,0.0001)
beta4~dnorm(0,0.0001)
beta5~dnorm(0,0.0001)
beta6~dnorm(0,0.0001)
beta7~dnorm(0,0.0001)
beta8~dnorm(0,0.0001)
beta9~dnorm(0,0.0001)
beta10~dnorm(0,0.0001)
beta11~dnorm(0,0.0001)
beta12~dnorm(0,0.0001)
beta13~dnorm(0,0.0001)
tau~dgamma(0.01,0.01)
phi~dgamma(0.01, 10)}
16