Einführung in die Kristallographie
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Einführung in die Kristallographie Gerhard Heide Institut für Mineralogie Professur für Allgemeine und Angewandte Mineralogie Brennhausgasse 14 03731-39-2665 oder -2628 [email protected] Kristallphysik ◮ Einkristall(!) ◮ Festkörperphysik + Kristallsymmetrie ◮ richtungsabhängige makroskopische Eigenschaften Anisotropie der Wachstumsgeschwindigkeit (Ag in AgNO3)-Lösung v001 < v101 Kristallphysik ◮ Ursache-Wirkungs-Prinzip Wirkung = (Kristall)-Eigenschaft × Ursache Beispiel Wärmekapazität cp ∆T = ◮ 1 m·cp · ∆Q mit p = const. Dimension“ der Wirkung: ” ◮ ◮ ◮ Zustände (Temperatur T ) ~) Richtungen (elektrische Feldstärke E 2 Felder (mechanische Spannung ~σ ) Symmetrie von Ursachen“ (Felder) ” 7 Kontinuierliche Punktgruppen ∞ ∞m homogenes elektrisches Feld Symmetrie von Ursachen“ (Felder) ” 7 Kontinuierliche Punktgruppen ∞/m homogenes magnetisches Feld ∞2 ∞/m mm einachsige Zug-/Druckspannung Symmetrie von Ursachen“ (Felder) ” 7 Kontinuierliche Punktgruppen ∞∞2 ∞∞∞ hydrostatischer Druck Neumannsches Symmetrieprinzip SymmetrieEigenschaft ⊇ SymmetrieKristall Beispiel Wachstumsform Pyrit Symmetrie der Wachstumsform 4 2 m 3̄ m Symmetrie der Struktur P 2a1 3̄ ⊇ 2 m 3̄ Neumannsches Symmetrieprinzip Beispiel Wärmeleitfähigkeit / Brechzahl 3-achsiges 2-achsiges Ellipsoid Ellipsoid Kugel 2 2 2 mmm ∞ 2 2 m mm ∞∞m triklin monoklin rhombisch tetragonal hexagonal trigonal kubisch Systematik der Eigenschaften Physikalische Effekte ◮ mechanische Effekte (Elastizität) ◮ thermische Effekte (Ausdehnung) ◮ optische Effekte (Doppelbrechung) ◮ elektrische Effekte (Leitfähigkeit) ◮ Kombinationen (Piezoelektrischer Effekt) Systematik der Eigenschaften Stufe des Tensors der Eigenschaft ◮ 0. Stufe: Skalare (Dichte m = ρ · V , Wärmekapazität) ◮ 1. Stufe: Vektoren (Pyroelektrizität ~p = ◮ 2. Stufe: Matrizen (Thermische Ausdehnung, Dielektrizitätskonstante, Leitfähigkeit) ◮ 3. Stufe: 3-dimensionale Matrizen (Piezoelektrizität) ◮ 4. Stufe: 4-dimensionale Matrizen (Elastische Eigenschaften) ~ ∆P ∆T ) Eigenschaftstensoren nullter Stufe (Skalare) Beispiel Massendichte ρ ◮ m = ρV ◮ geringe Varianz: nur 11/2 Größenordnung Li: ρ =0.53 g/cm3 , Pb: ρ =11,34 g/cm3 , Pt: 21,45 g/cm3 , Ir: 22,65 g/cm3 ◮ Berechung aus der Struktur ( Röntgendichte“): Halit ” ◮ ◮ ◮ ρ = m/V = mEZ /VEZ mEZ = (4 · MCl + 4 · MNa )/NL = 4 · (35, 45 + 22, 98)g/mol/(6, 023 · 1023 /mol) = 233, 72/6, 023 · 10−23 g = 3.88 · 10−22 g VEZ = a3 (kubisch!) = (5,6402Å)3 = 179, 4 · 10−8·3 cm3 = 1, 794 · 10−22 cm3 Eigenschaftstensoren nullter Stufe (Skalare) Beispiel Massendichte ρ ◮ Berechung aus der Struktur ( Röntgendichte“): Halit ” −22 ◮ ρ= 3.88·10 g 1,794·10−22 cm3 = 2, 1627 g/cm3 Beispiel Wärmekapazität ∆Q m·∆T ◮ cp = ◮ Fe: 0,46 J/g/K, Eis: 2,10 J/g/K Minerale: 2,1...2,2 g/cm3 synthetisch: 2,164 g/cm3 Eigenschaftstensoren erster Stufe (Vektoren) Beispiel Pyroelektrizität ◮ ◮ ~ durch Änderung der elektrischen Polarisation (∆P) Temperaturänderung (∆T ) Anziehungs- bzw. Abstoßungsverhalten nach Temperaturänderung: ◮ ◮ ◮ ◮ Abkühlung von Turmalin von 120 ◦ C Bestäuben mit Schwefel-Mennige-Gemisch aus Baumwollbeutel (Aufladung durch Baumwollbeutel: Mennige positiv, Schwefel negativ) rote und gelbe Spitzen 1756 Franz Ulrich Theodor A EPINUS (Physikprofessor in Berlin u. St. Petersburg) Eigenschaftstensoren erster Stufe (Vektoren) Beispiel Pyroelektrizität ◮ ◮ auf sehr kleinem Raum sehr hohe Spannungen von mehreren 100.000 V Beispiel Turmalin: ∆T = 1 K, Länge = 1 cm ⇒≈ 700V (!) Anwendung: ◮ Bewegungsmelder ◮ kalte Kernfusion: Beschleunigung und Ionisation von Atomen Mini-Röntgenquelle: Beschleunigung von Elektronen ◮ Eigenschaftstensoren erster Stufe (Vektoren) Beispiel Pyroelektrizität ◮ permanentes elektrisches Dipolmoment Turmalin, Bax Sr1−x Nb2 O (SBN), BaTiO3 (Perovskit-Struktur), Triglyzinsulfat (TGS) ◮ strukturelle Änderung bei Temperaturänderung ~ = ~p · ∆T ∆P ~ – Änderung Polarisation (Vektor) ∆P T – Temperatur (Skalar) ~p – pyroelektrischer Koeffizient (Vektor) px Px1 − Px2 Py1 − Py2 = py · (T1 − T2 ) Pz1 − Pz2 pz ◮ Eigenschaftstensoren erster Stufe (Vektoren) Beispiel Pyroelektrizität ◮ ◮ Auftreten: Kristallsystem mit polarer Achse kein Inversionszentrum, keine Spiegelebenen ⊥ zur Achse, keine zwei gegeneinander geneigte Drehachsen Orientierungsmöglichkeit des pyroelektrischen Vektors ~p Kristallklasse Orientierung 1 beliebig m in der Spiegelebene 2 k2 3, 4, 6, mm2, k~c 3m, 4mm, 6mm Eigenschaftstensoren erster Stufe (Vektoren) ◮ Elektrokalorischer Effekt (Umkehrung des pyroelektrischen Effektes) ◮ Pyromagnetischer Effekt ◮ Magnetokalorischer Effekt Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Beispiel Thermische Ausdehnung ◮ l−l0 l0 = α · (T − T0 ) Mineral Richtung Korund 3̄m k~a 5,85 Calcit 3̄m k~a -3,66 Aragonit mmm k~a 9,87 Quarz 32 k~a 14 Brucit 3̄m k~a 11 α [10−6 /K ] k~c 6,23 k~c 24,67 k~b 15,88 k~c 9 k~c 33 k~c 32,40 Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Beispiel Thermische Ausdehnung ◮ kugelförmige Probe bei T0 ◮ erwärmte (und deformierte) Probe bei T Kristallsystem Symmetrie der erwärmten Probe kubisch ∞∞m (Kugel) ∞ 2 2 tetragonal m m m (Rotationsellipsoid) hexagonal trigonal 2 2 2 rhombisch m m m (3-achsiges Ellipsoid) monoklin trigonal Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Beispiel Thermische Ausdehnung ◮ 2→ 2→ ǫ = α ∆T T – Temperatur (Skalar) 2→ ǫ – Deformation (3 × 3-Matrix) 2→ α – Thermische Ausdehnung (3 × 3-Matrix) ◮ Beispiel Gips m2 12, 0 0 −13, 3 αij [10−6 /K ]= 0 41, 4 0 −13, 3 0 17, 99 Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Beispiel Thermische Ausdehnung ◮ thermische Ausdehnung α in Richtung ~n? 2→ Tensorflächen: α(~n) = ~n· α ·~n 2→ Beispiel Dielektrizitätskonstante ǫ ◮ ~ = ǫ0 2→ ~ ǫ ·E D ~ E – Elektrische Feldstärke ~ – dielektrische Verschiebung D 2→ ǫ Tensor der Dielektrizitätskonstanten ◮ ⇒ s. Polarisationsmikroskopie q 2→ ◮ schwache Absorption: n = Indikatrix: Tensorfläche 2→ ǫ (Kristalloptik) Eigenschaftstensoren zweiter Stufe ~ =2→ ρ ·~j Elektrische Leitfähigkeit: E ~ – Elektrische Feldstärke E ~j – Stromdichte 2→ ρ Tensor der elektrischen Leitfähigkeit Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Seebeck-Effekt (1822) ◮ Temperaturmessung (Thermoelemente) ◮ Stromerzeugung Eigenschaftstensoren zweiter Stufe Peltier-Effekt (1834) ◮ geräuschlos, platzsparend kühlen Eigenschaftstensoren zweiter Stufe 2→ Thermische Leitfähigkeit ~q = − λ · ∆T ∆~r ∆T ∆~r – Temperaturgradient ~q – Wärmestrom 2→ λ – Wärmeleitfähigkeit Eigenschaftstensoren dritter Stufe 3→ ~ = d :2→ σ Piezoelektrizität: P ◮ 2→ σ – mechanischer Spannungstensor ~ P – dielektrische Polarisation 3→ d – Tensor piezoelektrischer Moduln (33 = 27 Komponenten) ◮ Eigenschaftstensoren dritter Stufe Piezoelektrizität ◮ ◮ 1̄ ∈ / Kristallsymmetrie: 1, 2, m, 222, mm2, 3, 32, 3m, 6, 622, 6̄m2, 4, 4̄, 422, 4mm, 4̄2m, 23, 4̄3m Eigenschaftstensoren dritter Stufe Piezoelektrizität ◮ Turmalin, Quarz, Topas oder Seignettesalz, BaTiO3 (Perovskit) Quarzwürfel 1 cm Kantenlänge: 5,8 V/N ◮ Feuerzeug, Kraftmessung ◮ reziproker piezoelektrischer Effekt: Uhr, Akustik, Medizin, AFM Eigenschaftstensoren vierter Stufe 2→ 4→ 2→ Elastische Eigenschaften: ǫ = S : σ 2→ ǫ – Spannungstensor 2→ σ – Verzerrungstensor 4→ S – Tensor der elastischen Moduln (34 = 81 Komponenten)
