Dr. Udo Bogner

Musterlösung Übungsklausur II
Aufgabe 1: Gestrandet auf dem Eis (10 Punkte)
Sie sind auf einem zugefrorenen See gestrandet, die Eisoberfläche ist komplett reibungsfrei. Um
zum 80m entfernten Ufer zu gelangen, können Sie ein Newton’sches Axiom/Gesetz ausnutzen:
sie können ihren Rucksack (mRuck=12 kg) von sich wegstossen und sich so einen Impuls in die
entgegengesetzte Richtung verschaffen.
(a) Welches Newton’sche Axiom/Gesetz nutzen Sie und wie lautet es?
Genutzt wird das 3. Newtonsche Axiom, mögliche Formulierungen:
Actio=reactio
F12=-F21
Zitat aus dem Skript: Bei zwei Körpern, die nur miteinander wechselwirken, ist die Kraft, die
Körper 1 auf Körper 2 ausübt, entgegengesetzt gleich der Kraft, die Körper 2 auf Körper 1
ausübt.
(b) Wie lange benötigen Sie für die Strecke bis zum Ufer, wenn Ihre Körpermasse mich = 70kg
beträgt und Sie den Rucksack mit vx=8m/s wegstossen?
Es gilt Impulserhaltung, und damit gilt auch
mRuck v x
mich vich
vich
mRuck
vx
mich
1,371
m
s
Die Masse mich bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, für die Strecke von 80m werden
t
dementsprechend
x
vich
80m
m
1,371
s
58,35s
benötigt.
(c) Da Sie den Rucksack gerne noch verwenden möchten, haben Sie ein masseloses Seil am
Rucksack befestigt, das sich reibungsfrei abrollt, solange Sie und der Rucksack sich bewegen. In
dem Moment, in dem Sie das Ufer erreichen und sicher stehen, stoppen Sie die Bewegung des
Rucksacks, indem sie das Seil festhalten. Nun können Sie den Rucksack wieder am Seil
zurückholen. Wieviel Seil hat sich inzwischen abgerollt?
Der Rucksack und ich bewegen sich mit vich und vx in entgegengesetzte Richtungen, die
Gesamtlänge des Seils ergibt sich als
l
(v x
vich ) t
546,8m
Aufgabe 2: Kugelstossen (10 Punkte)
Auf eine masselose Feder mit der Federkonstante c= 4500N/m wird eine Kugel der Masse mK=3
kg gelegt. Anschließend wird die Feder über eine äußere Kraft aus der Ruhelage um z = 20 cm
zusammengedrückt (gespannt) und losgelassen. Die Kugel fliegt dadurch senkrecht nach oben.
Es wirkt die konstante Erdbeschleunigung g=9,81 m/s senkrecht nach unten, Luftreibung etc.
werden vernachlässigt.
(a) Wie groß ist die in der Feder gespeicherte Energie, wenn sie gespannt ist?
Für die Energie gilt:
E
1
c
2
z2
90 Joule
(b) Nehmen Sie an, dass die gesamte Energie der Feder auf die Kugel übertragen wird.
Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit der Kugel und die maximale Flughöhe (gemessen
ab der Ruhelage der Feder)!
Es gilt Energieerhaltung, maximale Geschwindigkeit am tiefsten Punkt, bei maximaler Flughöhe
alle Energie in potentieller Energie:
E Kin
1
m v2
2
EPot
mgh 90 Joule
90 Joule
2E
m
vmax
E
mg
hmax
7,75
m
s
3,06m
(c) Berechnen Sie die Flugzeit der Kugel vom Startpunkt (Ruhelage der Feder) bis zum höchsten
Punkt und zurück!
Sowohl der Weg nach oben als auch der Weg nach unten sind gleichmässig beschleunigte
Bewegungen mit Beschleunigung g, beide Wege dauern gleich lang.
Wir berechnen die Fallzeit vom höchsten Punkt aus der bekannten Höhe hmax:
hmax
1 2
gt
2
t
2hmax
g
0,79 s
2t 1,58s
Die gesamte Flugzeit ergibt sich zu
Aufgabe 3: Mit dem Schlitten durch den Schnee (10 Punkte)
Sie schieben einen Schlitten auf der flachen Ebene durch den Schnee. Für die Reibungskraft, die
die Kufen im Schnee erfahren, gilt Fr
b vS
(a) Ist Fr eine konservative Kraft? Geben Sie zwei Beispiele für konservative Kräfte an!
Nein, denn die Arbeit hängt von der Geschwindigkeit ab.
Mögliche Beispiele für konservative Kräfte:
Gewichtskraft
Coulomb-Kraft
Kraft einer Feder
(b) Berechnen Sie die Formel für mechanische Leistung, die Sie aufbringen müssen, um den
Schlitten mit konstanter Geschwindigkeit vS zu bewegen.
Es gilt für die Arbeit und die Leistung:
W
F
x
P
dW
dt
F v
P b vs2
(c) Sie möchten mit dem Schlitten eine Strecke von 3 km zurücklegen. Berechnen Sie die
mechanische Energie, die Sie dafür aufbringen müssen, wenn Sie (a) 5 Minuten oder (b) eine
halbe Stunde Zeit für die Strecke brauchen. Rechnen sie mit b=200Ns/m !
Anhand der Zeitangaben erhalten wir die Geschwindigkeiten:
(1) vs=10m/s ; (2) vs=1,67 m/s
Es ergibt sich für die nötige Leistung:
(1) P=20kW (2) 557,8 W
Die Arbeit ergibt sich bei konstanter Leistung zu:
W
P
t
(1) W=6MJ (2) 1,004 MJ
Aufgabe 4: Schwungradspeicher (10 Punkte)
Eine
Möglichkeit,
die
durch
Windkraft
oder
Photovoltaik
produzierte
Energie
zwischenzuspeichern, sind mechanische Schwungräder, die über einen Motor in Rotation
versetzt werden und bei Bedarf über einen Generator wieder elektrische Energie erzeugen.
Betrachten Sie ein Schwungrad vereinfacht als Scheibe aus homogenem Material mit der Dichte
, einer konstanten Dicke h und einem Durchmesser d, die reibungsfrei um eine Achse durch den
Mittelpunkt rotieren kann.
(a) Leiten Sie die Formel für das Trägheitsmoment einer Scheibe für Drehung um eine Achse
durch den Mittelpunkt her!
Die Herleitung ist komplett identisch mit der für einen Zylinder mit homogener Dichte
(Herleitung im Skript zu finden):
Als Ergebnis ergibt sich IS=m/2 R2
(b) Ein Schwungrad aus Stahl (Dichte
= 7800 kgm-3 ) hat eine Dicke von h=10 cm und einen
Durchmesser von 2m. Es rotiert in einer Minute 3000 mal um seine Achse. Berechnen Sie die
Rotationsenergie, die in dem Schwungrad gespeichert ist.
Berechnung des Trägheitsmoments über die Gesamtmasse:
M
IS
r2
h
M 2
r
2
2450,44kg
1225,22kgm 2
Berechnung von :
2 f
3000
60 s
2
314,16
rad
s
Rotationsenergie:
E Rot
1
IS
2
2
60,46 MJoule
(c) Nehmen Sie an, dass die Rotationsenergie verlustfrei in elektrische Energie umgewandelt
werden kann. Wie lange kann mit der im Schwungrad gespeicherten Energie ein Haushaltsfön
(Leistungsaufnahme P=1600 W) betrieben werden? Geben Sie diese Zeit in Sekunden und in
Stunden an!
Es gilt:
E Rot
P
t
t
E Rot
P
37789 s
629,8 min 10,5h
Aufgabe 5: Schwerpunkt und Drehmoment: Waschmaschinen kippen (10 Punkte)
Betrachten Sie eine Waschmaschine näherungsweise als Quader mit homogener Dichte. Sie
wollen die Waschmaschine auf eine Kante kippen, indem sie am oberen Ende des Quaders in
horizontaler Richtung ziehen. Verwenden Sie die folgenden Größen: Masse des Quaders M=45
kg, Höhe h= 90cm, Breite b=60 cm, Tiefe t= 50 cm, Erdbeschleunigung g=9,81ms-2.
(a) Wo liegt der Schwerpunkt des Quaders? Sie können die Lage berechnen oder die Symmetrie
des Problems ausnutzen!
Symmetrieüberlegung: der Schwerpunkt muss genau im geometrischen Mittelpunkt des Quaders
liegen, gemessen von der linken Kante also bei x=30cm, y=25cm, z=45cm
Berechnung der Position über Volumenintegral:
Es gilt:
(b) Berechnen Sie das minimale Drehmoment, dass Sie anfangs aufwenden müssen, um den
Quader zu kippen, und die minimal erforderliche Kraft.
Das Drehmoment muss das Drehmoment, das aufgrund der Gewichtskraft, die im Schwerpunkt
angreift, entsteht, kompensieren.
Das Drehmoment ergibt sich anhand der Skizze oben aus dem Vektorprodukt:
  
rS Fg
Für die Länge rs gilt:

rS
b
2
2
h
2
2
54,08cm
Für den Winkel gilt:
b
h
arctan
33,69
Damit folgt für den Betrag des Drehmoments:


rS

Fg sin
132,43Nm
Die Kraft zum Kippen der Waschmaschine greift am oberen Ende an, die Länge des Hebelarms
ist also h. Die Kraft greift im rechten Winkel zum Hebelarm an, also ergibt sich:
FKipp
h
147,14 N
(c) Berechnen Sie den Winkel, um den Sie den Quader mindestens kippen müssen, damit er von
selbst umkippt.
Der Quader muss mindestens um den Winkel
gekippt werden: dann ist das Rückstell-
Drehmoment Null, da der Winkel zwischen Gewichtskraft und Hebelarm Null ist.
Aufgabe 6: Elastischer Inelastischer Stoß: Auffahr-Unfälle auf dem Eis (10 Punkte)
Zwei Schlittschuhläufer bewegen sich auf dem Eis reibungsfrei in die gleiche Richtung. Läufer 1
(Masse m1= 85 kg) hat vor dem Zusammenstoß die Geschwindigkeit v1=25 km/h, Läuferin 2
(Masse m2 = 55 kg) hat die Geschwindigkeit v2= 18 km/h. Beim zentralen Zusammenstoß
verhaken sich die beiden Läufer und bewegen sich gemeinsam mit konstanter Geschwindigkeit
weiter.
(a) Berechnen Sie die gemeinsame Geschwindigkeit v‘ der beiden Läufer nach dem Stoß.
Umwandlung der Geschwindigkeiten von km/h in m/s: v1=25 km/h=6,94m/s; v2= 18 km/h=5m/s
Es gilt Impulserhaltung:
m1v1
m2 v2
v'
(m1
m1v1 m2 v2
m1 m2
m2 )v'
6,18
m
s
22,24
km
h
(b) Berechnen Sie die Energiemenge Q, die beim Stoß von kinetischer Energie in
Verformungsarbeit umgewandelt wird.
Die Energiemenge ergibt sich aus der Differenz der kinetischen Energie vor und nach dem Stoß:
Q
m1 2
v1
2
m2 2
v2
2
m1
m2
2
v'2
60,99 Joule
(c) Bei einem zweiten Unfall stößt Läufer 1 mit Geschwindigkeit v1=25km/h auf Läufer 3
(Masse m3 = 120 kg), der vor dem Stoß ruht und sich mit seinem Bierbauch schützt, so dass der
Stoß von Läufer 1 und Läufer 3 vollständig elastisch ist. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten
v1‘ und v3‘ der beiden Läufer nach dem elastischen Stoss.
Hier gilt wieder Impuls- und Energieerhaltung, die vollständige Herleitung findet sich im Skript:
v '3
2m1
v1
m1 m3
v'1
m1 m3
v1
m1 m3
m
;
s
5,76
1,18
m
s
Aufgabe 7: Geostationärer Satellit (10 Punkte)
Ein Satellit soll in einer kreisförmigen Umlaufbahn die Erde auf Höhe des Äquators so
umkreisen, dass seine Winkelgeschwindigkeit gleich der Winkelgeschwindigkeit der Erde ist.
Damit scheint der Satellit fest über einem Punkt auf der Erdoberfläche zu stehen (geostationär)
und kann z.B. für die Übertragung von TV-Signalen verwendet werden.Verwenden Sie die
folgenden Größen: Rotationsperiode der Erde T = 24h, Erdmasse M
R 6371km , Gravitationskonstante g
6,67 10
11
5,97 10 24 kg , Erdradius
m3
kgs 2
(a) Leiten Sie die allgemeine Formel für die Winkelgeschwindigkeit
(r) auf einer Kreisbahn
mit Radius r her, beginnend mit dem Kräftegleichgewicht von Zentripetalkraft und der
Gravitationskraft zwischen dem Satelliten und einer Punktmasse im Mittelpunkt der Kreisbahn.
Gleichsetzen von Gravitationskraft und Zentripetalkraft:
FG
FZ
g M mS
gM
r3
1
r2
r
2
mS
3
2
r
gM
2
(b) Berechnen Sie den Radius der geostationären Umlaufbahn und den Abstand des Satelliten
vom Erdboden.
1. Umrechnung der Periode der Erdrotation in eine Winkelgeschwindigkeit:
f
1
T
2
2
T
2
24h
7,27 10
5
rad
s
Einsetzen in Formel aus (a):
r
3
gM
2
42235,45km
Abstand vom Erdboden h: h r R 35864,45km
(c) Warum können Sie die Erde, vereinfacht als eine Kugel mit homogener Dichte angenommen,
bei der Berechnung der Satellitenbahn durch eine Punktmasse im Erdmittelpunkt ersetzen?
Das Gravitationsfeld bzw. Potential einer homogenen Vollkugel ist für Abstände, die größer sind
als der Radius der Kugel, identisch mit dem einer Punktmasse im Mittelpunkt der Vollkugel
(Kugelschalentheorem).
Aufgabe 8: Anfangsbedingungen beim Fadenpendel (10 Punkte)
Ein Fadenpendel, bestehend aus einer Punktmasse, die an einem masselosen Faden der Länge
L=1m aufgehängt ist, schwingt im homogenen Schwerefeld mit g=9,81 ms-2. Zur Zeit t=0 ist das
Fadenpendel um einen Winkel von =5° ausgelenkt und schwingt nach aussen (d.h. für die
Geschwindigkeit v gilt v(t=0)>0), die maximale Winkelauslenkung des Fadenpendels beträgt
Max=8°.
x
Für die Auslenkung x gilt:
L
(a) Berechnen Sie die Schwingungsperiode des Fadenpendels. Betrachten Sie es näherungsweise
als harmonischen Oszillator.
Für die Kreisfrequenz beim Fadenpendel gilt die Formel:
g
L
3,132
rad
s
f
0,498Hz
2
T
1
f
2,01s
(b) Die Bewegungsgleichung für das Fadenpendel wird durch die Funktion
x(t )
A0 cos( t
) gelöst. Bestimmen Sie die Amplitude A0 und den Winkel
Angaben in der Aufgabenstellung. Ist
anhand der
positiv oder negativ?
Der maximale Auslenkwinkel ist bekannt, damit kann die Amplitude A0 bestimmt werden:
A0
L
Max
0,14m
Zur Zeit t=0 ist die Amplitude ebenfalls bekannt, da der Winkel angegeben ist. Es gilt:
x(0)
A0 cos(0
)
A0 cos( )
arccos
x(0)
A0
arccos
Der Cosinus ist eine gerade Funktion, d.h. cos( ) cos(
0,087 m
0,14m
51,58
) , also könnte der Winkel
auch
negativ sein. Bei der Bestimmung des Vorzeichens hilft die 1. Ableitung:
v(t )
A0
sin( t
Funktion, es gilt sin(
)
v(0)
)
A0
sin( 0
)
A0
sin( ) . Ausserdem ist sin
A0 und die Winkelgeschwindigkeit
sin
. Der Sinus ist eine ungerade
0 für 0
positiv sind, muss der Winkel
90 Da die Amplitude
also negativ sein!
(c) Warum ist das Fadenpendel bei genauer Betrachtung kein harmonischer Oszillator?
Die Rückstellkraft ist nicht proportional zur Auslenkung, sondern zum Sinus der Auslenkung.
Damit kann nur für kleine Winkel näherungsweise von einem harmonischen Oszillator
gesprochen werden.