3 Deskriptive Statistik in R (univariat)

Markus Burkhardt - EDA in R:
3 Deskriptive Statistik in R
3 Deskriptive Statistik in R (univariat)
Markus Burkhardt ([email protected])
Inhalt
3.1 Ziel ................................................................................................................................................. 1
3.2 Häufigkeiten .................................................................................................................................. 1
3.3 Deskriptive Kennziffern I – Lagemaße ........................................................................................... 2
3.4 Streuungsmaße ............................................................................................................................. 5
3.5 Standardisierung: z-Werte ............................................................................................................ 7
3.6 Weiterführende Deskriptive Statistik ............................................................................................ 8
3.8 Literatur ......................................................................................................................................... 9
3.1 Ziel
In diesem Kapitel zeigen wir Ihnen die Grundtechniken der deskriptiven Datenanalyse in R. Ziel einer
deskriptiven Analyse ist es, Variablen bzw. Datenreihen so zu beschreiben, dass möglichst viele
Information in einer möglichst kleinen Menge an Zahlen ausgedrückt wird. Letztlich geht es also
darum nicht die gesamte Zahlenreihe zu berichten, sondern einzelne Kennziffern die etwas über die
Beschaffenheit der Zahlenreihe aussagen. Allerdings ist die Aussagekraft stets an bestimmte
Bedingungen geknüpft – wie das Skalenniveau oder die Verteilung der Daten. Genau diese
Bedingungen können Gegenstand der explorativen Datenanalyse. Die deskriptiven Kennziffern bieten
des Weiteren die Grundlage für grafische Explorationsverfahren, die wir im nächsten Kapitel
vorstellen
3.2 Häufigkeiten
Das Auszählen von Häufigkeiten ist wohl die einfachste Form der deskriptiven Statistik. Ob
diese Art der Analyse sinnvoll ist, hängt natürlich von der Struktur Ihrer Daten ab. Insbesondere für
nominal- und ordinalskalierte Daten bieten sich Häufigkeitsanalysen an. Aber auch für
intervallskalierte Daten kann eine Häufigkeitsanalyse sinnvoll sein. Wir führen zunächst eine
Häufigkeitsanalyse für das Geschlecht in der Datei bsp01 durch, um herauszufinden, wie viele
Männer und Frauen in unserem Beispieldatensatz vorhanden sind. Die Grundlage für
Häufigkeitsanalysen bietet die Funktion table().Das Ergebnis wird in der R-Console ausgegeben (Abb.
1). Die table() Funktion schließt standardmäßig NA-Werte aus.
> table(bsp01$sex)
female
male
58
42
Abbildung 1. Häufigkeitstabelle in R.
1
Markus Burkhardt - EDA in R:
3 Deskriptive Statistik in R
Durch die Eingabe mehrere Objekte, erhalten Sie mehrdimensionale Tabellen. Eine solche
Darstellung, kann die Häufigkeit des Geschlechts in Abhängigkeit der Körpergröße sein. Dazu sollte
die Körpergröße für eine bessere Übersichtlichkeit kategorisiert werden. Beispielsweise wollen wir
die Körpergröße in zwei Kategorien einteilen, Menschen die kleiner als zwei Meter sind und
Menschen die größer als zwei Meter sind. Die Funktion cut() bildet neue Kategorien. Wenn Sie sich
die Hilfe zu dieser Funktion ansehen help(cut), sehen Sie, dass die Argumente x und breaks definiert
werden müssen. (Die anderen Argumente sind vordefiniert. Sie können aber natürlich auch diese
Werte spezifisch einstellen.) Dem Argument x weisen Sie Ihr Objekt zu, welches in kategorisiert
werden soll und dem Argument breaks die Grenzwerte in Form einer Variable (Abb. 2).
Wenn Sie eine Tabelle als Objekt speichern, sehen Sie, dass auch Tabellen eine eigene
Objekt-Klasse in R sind. Für diese Klasse gibt es einige weitere sehr nützliche Funktionen. Wenn Sie
lediglich an dem häufigsten Wert (dem Modalwert), nicht aber an der gesamten Häufigkeitstabelle
interessiert sind, können Sie die Funktion which.max() anwenden. Diese gibt den Index des größten
Wertes eines R-Objektes zurück. Im Falle eines Objektes der Klasse table, die entsprechende
Kategorie. Allerdings wird bei mehreren Maxima nur das jeweils Erste Maximum ausgegeben. Mit
Hilfe von barplot() können Sie sehr schnell eine Häufigkeitsverteilung grafisch darstellen (wir gehen
auf diese Funktion ausführlicher im nächsten Kapitel ein). Die Funktion prop.table() ermöglicht es
Ihnen, relative Anteile darzustellen. Natürlich können Sie auch arithmetische Operationen oder
Indizierungen in Tabellen vornehmen (Beispiele in Abbildung 2). Einen guten Überblick über den
Umgang mit Tabellen gibt auch die Internetseite:
http://www.statmethods.net/stats/frequencies.html
# Häufigkeitsanalyse mit der Funktion table()
# Häufigkeitstabelle für das Geschlecht
table(bsp01$sex)
# Kategorisierung der Variable height in 2 Gruppen,
# von 0 bis einschließlich 200 und größer 200 bis 250
# mit entsprechenden lables
height_kategorien <- cut(x=bsp01$height, breaks=c(0,200,250),
labels=c("kleiner/gleich 200 cm", "groesser 200 cm")
)
# Mehrdimensionale Tabelle aus Geschlecht und der kategoriserten Körpergröße
table(bsp01$sex, height_kategorien)
# Grafische Darstellung von Häufigkeiten
barplot(table(bsp01$sex))
# relative Häufigketien
prop.table(table(sex))
# in Prozent
prop.table(table(sex))*100
# Aufsteigende Sortierung mit sort()
sort(table(bsp01$sex), decreasing=FALSE)
# Modalwert
which.max(table(bsp01$sex))
Abbildung 2. Häufigkeitsanalysen mit der Funktion table().
3.3 Deskriptive Kennziffern I – Lagemaße
Deskriptive Kennziffern lassen sich in Lagemaße (wo liegt die Verteilung bzw. wo konzentriert sie
sich) und Streuungsmaße (wie breit ist die Verteilung bzw. wie stark konzentriert sich) unterscheiden.
2
Markus Burkhardt - EDA in R:
3 Deskriptive Statistik in R
Sie kennen bereits die Funktion des arithmetischen Mittelwertes1 mean(). Der Mittelwert ist
vermutlich das am häufigsten berichtete Lagemaß der deskriptiven Datenanalyse (Formel 1).
(1)
Allerdings verlangt die sinnvolle Verwendung des Mittelwerts zwei Voraussetzungen: Zum einen
müssen die Daten mindestens Intervallskalenniveau besitzen, zum anderen sollte der Mittelwert aus
einer weitgehend symmetrischen Verteilung stammen. Ein Beispiel für eine asymmetrische
Verteilung geben Sedlmeier und Renkewitz (2013) aus der Arbeit von Pedersen, Miller, PutchaBhagavatula und Yang (2002). Auf die Frage: „Was wäre Ihre ideale Anzahl an Sexualpartnern in den
nächsten 30 Jahren?“ gaben Männer im Mittel 7,7 Partner und Frauen 2,8 Partner an. Diese
Unterschiede scheinen zunächst einmal zu gängigen Geschlechterstereotypen zu passen. Allerdings
zeigen Pedersen et al. (2002), dass diese Mittelwertsunterschiede weniger durch
geschlechtsspezifische Sexualstrategien, sondern vielmehr durch die Asymmetrie der
Antwortverteilung zustande kommen. Wir haben die Daten einmal nachgestellt2 (Abb. 3). Sie können
erkennen, dass der Mittelwert der Männer vor allem durch die 3 Männer beeinflusst wird, die 99 als
Antwort gaben. In diesem Fall, ist der Mittelwert also nicht gut geeignet, um die Datenreihe der
idealen Anzahl an Sexualpartnern für Männer zu beschreiben. Zwei gute Alternativen sind im
vorliegenden Fall der getrimmte Mittelwert und der Median.
Abbildung 3. Asymmetrische Verteilung adaptiert nach Pedersen et al. (2002) mit Mittelwert.
Beachten Sie, dass die Skalierung der x-Achse nur bis zum Wert 20 sinnvoll gewählt ist.
1
Wir bezeichnen den arithmetischen Mittelwert im Folgenden kurz als Mittelwert.
Da wir nicht die Originalwerte vorliegen haben gibt es leichte Abweichungen zwischen unseren Daten und den
Originaldaten. Unsere Daten können heruntergeladen werden:
http://www.tu-chemnitz.de/hsw/psychologie/professuren/method/homepages/mb/pedersen_2002.txt.
2
3
Markus Burkhardt - EDA in R:
3 Deskriptive Statistik in R
Der getrimmte Mittelwert ist ein Mittelwert aus einem Anteil um die Daten in der Mitte. In der
Funktion mean() können sie dem Argument trim einen Wert zwischen null und eins zuweisen, um
den Anteil an Daten zu bestimmen, der von jedem Ende der Verteilung abgeschnitten werden soll
(Abb. 4).
Eine Alternative zum Mittelwert stellt die Berechnung des Medians – dem Wert in der Mitte aller
(aufsteigend oder absteigend sortierten) Werte dar. Der Vorteil dieser Kennziffer ist, dass sie relativ
robust gegenüber einzelnen extremen Werten ist. Bei einer Zahlenreihe von: {1; 2; 5; 8; 12; 15; 20;
27; 30; 100} beträgt der Median 13,5 (da dieser Wert in der Mitte liegt)3. Der Mittelwert hingegen
liegt bei 22, also deutlich oberhalb des Medians. Zur Berechnung des Medians in R wird die Funktion
median() genutzt. Die Mitte aller Werte lässt sich auch als den Punkt beschreiben, der eine
Datenreihe in zwei Teile teilt, sodass unterhalb des Medians 50% der Daten, und oberhalb des
Medians 50% der Daten liegen (Abbildung 4).
Ausgehend von dieser Überlegung, können wir auch die Mitte der Daten unterhalb des Medians
berechnen. Dieser Wert wird 25% Quantil4 genannt, da 25% der Daten unterhalb dieses Wertes und
75% oberhalb dieses Wertes liegen. Entsprechend können beliebige Quantile berechnet werden, am
geläufigsten sind das 25% Quantil, Median und 75% Quantil. Diese werden durch die summary() oder
etwas variabler mit quantile()und dem Argument probs bestimmt. Beachten Sie bei der
Quantilberechnung, dass mehrere Algorithmen in R implementiert sind (siehe dazu help(quartile))
und mit dem Argument type definiert werden. Die Auswirkungen der verschiedenen
Quantilalgorithmen nehmen mit zunehmender Stichprobengröße ab und sind im Bezug auf
sozialwissenschaftlicher Datenanalyse als eher unbedeutend zu bewerten.
Abbildung 4. Mittelwerte, getrimmte Mittelwerte, Median und Quartile einer Zahlenreihe.
3
Bei einer geraden Anzahl an Elemente innerhalb einer Variablen wird in der Regel der Mittelwert zwischen
den beiden in der Mitte liegenden Elementen genutzt.
4
Zum Teil wird das 25% Quantil auch als unteres Quartil, das 75% Quantil als oberes Quartil bezeichnet.
4
Markus Burkhardt - EDA in R:
3 Deskriptive Statistik in R
In Abbildung 5 haben wir exemplarisch die Berechnung der deskriptiven Kennziffern für die Daten
von Pedersen et al. (2002) vorgenommen. In Abbildung 6 veranschaulichen wir nochmal die
verschiedenen Lageparameter bei der unsymmetrischen Verteilung der erwünschten Sexualpartner
für die untersuchten Männer.
# Herunterladen der Daten (Kapitel 1) von
http://www.tu-chemnitz.de/hsw/psychologie/professuren/method/homepages/mb/pedersen_2002.txt
attach(pederseon_2002)
# Deskriptive Statistik nur für die Gruppe der Männer (des_m)
des_m <- subset(desired, sex=="male")
# Mittelwert
mean(des_m)
# getrimmter Mittelwert
# hier der Mittelwert ohne die oberen und unteren 10% der Daten
mean(des_m, trim=.1)
# hier der Mittelwert ohne die oberen und unteren 25% der Daten
mean(des_m, trim=.25)
# Median
median(des_m)
# 25% und 75% Quantil
quantile(des_m, probs=.25)
quantile(des_m, probs=.75)
# Zusammenfassung der deskriptiven Statistik mit summary()
summary(des_m)
Abbildung 5. Quellcode für Lagemaße der Daten von Pedersen 2002.
Abbildung 6. Veranschaulichung der Lageparameter bei unsymmetrischer Verteilung.
3.4 Streuungsmaße
Streuungsmaße geben an, wie breit die Verteilung der Daten ist bzw. wie stark sich diese Verteilung
konzentriert. Für intervallskalierte Variablen wird häufig auf die Varianz bzw. die
Standardabweichung zurück gegriffen. Diese werden durch die Funktionen var() bzw. sd() berechnet.
Auch hier ist die Angabe v. a. dann sinnvoll, wenn normalverteilte Werte vorliegen. Varianz ist ein
Mittelwert, der ausdrückt, wie weit die einzelnen Werte im Durchschnitt vom Mittelwert entfernt
sind. Die „Entfernung“ wir dabei durch die Summe der quadrierten Abweichungen gemessen (Formel
2 und 3).
5
Markus Burkhardt - EDA in R:
3 Deskriptive Statistik in R
Varianz
(2)
Standardabweichung
(3)
Der Nachteil der Varianz ist, dass im Ergebnis quadrierte Einheiten vorliegen, die inhaltlich kaum
interpretierbar sind. Die Standardabweichung als Quadratwurzel der Varianz (Formel 3) löst dieses
Problem. Wenn Sie die Funktionen var() bzw. sd() in einem Script selbst programmieren, werden Sie
feststellen, dass R und Sie nicht zum selben Ergebnis kommen. Das liegt daran, dass die R Funktionen
auf der korrigierten Stichprobenvarianz beruhen. Die korrigierte Stichprobenvarianz spielt im Bereich
der Inferenzstatistik eine entscheidende Rolle, weshalb R diese ausgibt (Formel 4 und 5). Es ist
ersichtlich, dass die Unterschiede in der Varianz vor allem bei sehr kleinen Stichproben (geringes n)
auftreten.
korrigierte Stichprobenvarianz
(4)
korrigierte Standardabweichung
(5)
Alternative Streuungsangaben für nicht intervallskalierte Variablen sind der Interquartilsabstand oder
die Spannweite. Die Berechnung des Interquartilsabstand, der Differenz des 75% Quantils und des
25% Quantils, erfolgt mit der Funktion IQR(). Die Spannweite (die Differenz zwischen größten und
kleinsten Wert der Datenreihe) wird Ihnen nicht direkt angegeben. Sie können sich aber mit der
Funktion range() das Minimum und das Maximum der Variable ausgeben lassen. In Abbildung 7
stellen wir die Verwendung einiger Streuungsmaße am IQ unserer Beispieldatei bsp01 vor. In
Abbildung 8 zeigen wir Ihnen verschiedene Verteilungen mit zugehöriger Standardabweichung.
# Berechnung von Streuungsmaßen der Variable IQ des Dataframe
attach(bsp01)
# Varianz und Standardabweichung des IQ
var(IQ)
sd(IQ)
# Interquartilsabstand und Range
IQR(IQ)
range(IQ)
# Spannweite
max(IQ)-min(IQ)
bsp01
# Vergleich empirische Varianz vs. korrigierte Stichprobenvarianz
# empirische Varianz
sum((IQ-mean(IQ))^2/length(IQ))
# korrigierte stichprobenvarianz
var(IQ)
detach(bsp01)
Abbildung 7. Berechnung von Streuungsmaßen mit R.
6
Markus Burkhardt - EDA in R:
3 Deskriptive Statistik in R
Abbildung 8. Verschiedene Verteilungen mit gleichem Mittelwert und unterschiedlichen
Standardabweichungen (SD).
3.5 Standardisierung: z-Werte
Die Lage und Streuungsmaße die Sie bisher kennengelernt, haben sind in ihrer Größe abhängig von
der jeweiligen Einheit der zugrundeliegenden Daten. Es kann natürlich vorkommen, dass Sie Werte
gleicher Gegenstandsbereich miteinander vergleichen wollen, die unterschiedlich skaliert sind oder
aber Sie wollen die relativen Abstände bzgl. einer gegebenen Verteilung bewerten. Zur
Veranschaulichung betrachten wir das folgende Beispiel (der dazugehörige Quellcode findet sich in
Abbildung 9). Die mittlere Körpergröße von Männern sollte in einer repräsentativen Stichprobe
größer sein als die Körpergröße von Frauen. Betrachten wir die Mittelwerte der Männer (x = 182 cm)
und der Frauen (x = 164) in unserem Beispieldatensatz, sehen wir diese Unterschiede im Mittelwert.
Was wir aber nicht wissen ist, ob eine Frau mit 182 cm Körpergröße relativ zu den anderen Frauen
größer ist als ein Mann mit der Größe von 200 cm relativ zu den anderen Männern. Um diese Frage
zu beantworten helfen sogenannte Standardisierungsverfahren.
Standardisierungen bieten die Möglichkeit Daten zu vergleichen, die ursprünglich unterschiedliche
Skalierungen haben oder, wie in unserem Beispiel, aus unterschiedlichen Populationen stammen. Es
gibt mehrere standardisierte Skalen (z.B. IQ –Werte oder Abiturnoten) die geläufigste und
grundlegendste ist jedoch die z-Standardisierung. Diese wird in R über die Funktion scale()
ausgeführt. Die z- Standardisierung erfolgt, indem jeder einzelne Messwert durch die
Standardabweichung geteilt wird (Formel 6). Die neuen Daten haben dabei die Eigenschaft, dass der
Mittelwert gleich null und die Standardabweichung gleich 1 ist. Jeder einzelne Messwert kann nun
auch relativ zu jedem anderen Messwert mit ursprünglich anderer Skalierung verglichen werden.
7
Markus Burkhardt - EDA in R:
3 Deskriptive Statistik in R
(6)
# Mittelwerte der Körpergröße von Männer und Frauen
height_male <- subset(height, sex=="male")
height_female <- subset(height, sex=="female")
mean(height_male)
mean(height_female)
# z-Standaradisierung
z_height_male <- scale(height_male)
z_height_female <- scale(height_female)
# Mittelwert z_Standardisierter Werte ist 0 (gerundet auf 4 Kommastellen)
round(mean(z_height_male),4)
round(mean(z_height_female),4)
# Standardabweichung von 1
round(sd(z_height_male),4)
round(sd(z_height_female),4)
# Wie groß ist eine Frau von 182 cm relativ zu den anderen Frauen?
(182-mean(height_female))/sd(height_female)
# Wie groß ist ein Mann von 200 cm relativ zu den anderen Männern?
(200-mean(height_male))/sd(height_male)
## relativ zur jeweiligen Bezugsgruppe ist eine Frau von 182 cm
## größer als ein Mann von 200 cm Körpergröße
Abbildung 9. Quellcode für die z-Standardisierung.
3.6 Weiterführende Deskriptive Statistik
Es gibt eine ganze Reihe weitere Funktionen der deskriptiven Statistik. Wir haben einige in Tabelle 1
ohne Anspruch auf Vollständigkeit zusammengestellt. Sie werden im Laufe Ihrer Nutzung von R
merken, dass Sie mit den gängigen Lage und Streuungsmaßen ziemlich viel erreichen können, wenn
Sie diese in eigenen Funktionen (Kapitel 5) nutzen. In verschiedenen Paketen finden Sie weitere
Funktionen. Auch hier lohnt sich die Such im Internet.
Tabelle 1. Wichtige Funktionen der deskriptiven Statistik.
Statistische Funktionen in R
mean
median
var
sd
quantile
min
max
which.min
which.max
table
IQR
range
summary
length
Beschreibung
Mittelwert
Median
korrigierte Stichprobenvarianz
Standardabweichung
Quantil
Minimum
Maximum
Welcher Wert bildet das Minimum
Welcher Wert bildet das Maximum
Häufigkeitstabelle
Interquartilabstand
Spannweite
Zusammenfassung deskriptiver Kennziffern
Anzahl der Elemente
8
Markus Burkhardt - EDA in R:
3 Deskriptive Statistik in R
3.7 Literatur
Pedersen, W. C., Miller, L., Putcha-Bhagavatula, A. D., & Yang, Y. (2002). Evolved Sex
Differences in the Number of Partners Desired? The Long and the Short of It. Psychological
Science (Wiley Blackwell), 13(2), 157.
Sedlmeier, P. & Renkewitz, F. (2013). Forschungsmethoden und Statistik: Ein Lehrbuch für
Psychologen und Sozialwissenschaftler (2. überarbeitete und erweiterte Auflage). München,
Pearson.
9