Der Satz von Pythagoras - MA@TUM
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Der Satz von Pythagoras Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner Technische Universität München 17. Oktober 2013 W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 1/9 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Historische Entwicklung Historisches zu Pythagoras 2 Der Satz von Pythagoras 3 Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Geometrischer Beweis 4 Ergänzungen Umkehrung und Kosinussatz W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 2/9 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Historische Entwicklung Historisches zu Pythagoras 2 Der Satz von Pythagoras 3 Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Geometrischer Beweis 4 Ergänzungen Umkehrung und Kosinussatz W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 2/9 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Historische Entwicklung Historisches zu Pythagoras 2 Der Satz von Pythagoras 3 Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Geometrischer Beweis 4 Ergänzungen Umkehrung und Kosinussatz W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 2/9 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Historische Entwicklung Historisches zu Pythagoras 2 Der Satz von Pythagoras 3 Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Geometrischer Beweis 4 Ergänzungen Umkehrung und Kosinussatz W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 2/9 Einleitung Historische Entwicklung Historisches Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit pythagoreischen Zahlentripeln Das sind Tripel der Form a2 + b 2 = c 2 In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von Pythagoras benutzt Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 3/9 Einleitung Historische Entwicklung Historisches Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit pythagoreischen Zahlentripeln Das sind Tripel der Form a2 + b 2 = c 2 In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von Pythagoras benutzt Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 3/9 Einleitung Historische Entwicklung Historisches Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit pythagoreischen Zahlentripeln Das sind Tripel der Form a2 + b 2 = c 2 In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von Pythagoras benutzt Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 3/9 Einleitung Historische Entwicklung Historisches Auf babylonischen Keilschrifttafel (ca. 1829 bis 1530 v. Chr) mit pythagoreischen Zahlentripeln Das sind Tripel der Form a2 + b 2 = c 2 In indischen Schulregeln (ca. 600 bis 400 v. Chr) wurde Satz von Pythagoras benutzt Jedoch kein allgemeiner Beweis vorhanden W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 3/9 Einleitung Historisches zu Pythagoras Historisches zu Pythagoras von Samos * um 570 v. Chr. auf Samos; nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gründete die Schule der Pythagoreer gehört zu den rätselhaftesten Persönlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!) W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 4/9 Einleitung Historisches zu Pythagoras Historisches zu Pythagoras von Samos * um 570 v. Chr. auf Samos; nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gründete die Schule der Pythagoreer gehört zu den rätselhaftesten Persönlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!) W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 4/9 Einleitung Historisches zu Pythagoras Historisches zu Pythagoras von Samos * um 570 v. Chr. auf Samos; nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gründete die Schule der Pythagoreer gehört zu den rätselhaftesten Persönlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!) W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 4/9 Einleitung Historisches zu Pythagoras Historisches zu Pythagoras von Samos * um 570 v. Chr. auf Samos; nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gründete die Schule der Pythagoreer gehört zu den rätselhaftesten Persönlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!) W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 4/9 Einleitung Historisches zu Pythagoras Historisches zu Pythagoras von Samos * um 570 v. Chr. auf Samos; nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gründete die Schule der Pythagoreer gehört zu den rätselhaftesten Persönlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!) W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 4/9 Einleitung Historisches zu Pythagoras Historisches zu Pythagoras von Samos * um 570 v. Chr. auf Samos; nach 510 v. Chr. in Metapont griechischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler gründete die Schule der Pythagoreer gehört zu den rätselhaftesten Persönlichkeiten der Antike gilt als erster, der den nach ihm benannten Satz bewies (ist allerdings umstritten!) W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 4/9 Der Satz von Pythagoras Der Satz von Pythagoras Satz (Pythagoras) Sind in einem rechtwinkligem Dreieck a und b die Längen der Katheten, und c die Länge der Hypotenuse, so gilt a2 + b 2 = c 2 . Bemerkung In Worten ausgedrückt ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. Geometrische Veranschaulichung W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 5/9 Der Satz von Pythagoras Der Satz von Pythagoras Satz (Pythagoras) Sind in einem rechtwinkligem Dreieck a und b die Längen der Katheten, und c die Länge der Hypotenuse, so gilt a2 + b 2 = c 2 . Bemerkung In Worten ausgedrückt ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. Geometrische Veranschaulichung W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 5/9 Der Satz von Pythagoras Der Satz von Pythagoras Satz (Pythagoras) Sind in einem rechtwinkligem Dreieck a und b die Längen der Katheten, und c die Länge der Hypotenuse, so gilt a2 + b 2 = c 2 . Bemerkung In Worten ausgedrückt ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. Geometrische Veranschaulichung W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 5/9 Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Vorbemerkungen zum Beweis Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz mehr als 400 verschieden Beweise bekannt darunter Beweise von bekannten Persöhnlichkeiten wie Euklid, Thales von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer und James A. Garfield. alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz, Ähnlichkeit, Scherung etc.) Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in Mathematics Magazine, Vol. 48 veröffentlicht. W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 6/9 Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Vorbemerkungen zum Beweis Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz mehr als 400 verschieden Beweise bekannt darunter Beweise von bekannten Persöhnlichkeiten wie Euklid, Thales von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer und James A. Garfield. alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz, Ähnlichkeit, Scherung etc.) Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in Mathematics Magazine, Vol. 48 veröffentlicht. W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 6/9 Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Vorbemerkungen zum Beweis Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz mehr als 400 verschieden Beweise bekannt darunter Beweise von bekannten Persöhnlichkeiten wie Euklid, Thales von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer und James A. Garfield. alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz, Ähnlichkeit, Scherung etc.) Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in Mathematics Magazine, Vol. 48 veröffentlicht. W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 6/9 Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Vorbemerkungen zum Beweis Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz mehr als 400 verschieden Beweise bekannt darunter Beweise von bekannten Persöhnlichkeiten wie Euklid, Thales von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer und James A. Garfield. alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz, Ähnlichkeit, Scherung etc.) Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in Mathematics Magazine, Vol. 48 veröffentlicht. W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 6/9 Beweis des Satzes von Pythagoras Vorbemerkungen Vorbemerkungen zum Beweis Satz von Pythagoras ist meistbewiesene mathematische Satz mehr als 400 verschieden Beweise bekannt darunter Beweise von bekannten Persöhnlichkeiten wie Euklid, Thales von Milet, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Arthur Schopenhauer und James A. Garfield. alle benutzen algebraische oder geometrische Hilfsmittel (Kongruenz, Ähnlichkeit, Scherung etc.) Der folgende geometrische Beweis wurde 1975 von Rufus Isaac in Mathematics Magazine, Vol. 48 veröffentlicht. W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 6/9 Beweis des Satzes von Pythagoras Geometrischer Beweis Geometrischer Beweis durch Ergänzung (1) Beweis In ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a, b und c (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie es in den folgenden beiden Zeichnungen dargestellt ist. a2 b a b2 BB B B 2 B c B b B B BB a Abbildung : Beide Quadrete besitzen die Seitenlängen a + b W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 7/9 Beweis des Satzes von Pythagoras Geometrischer Beweis Geometrischer Beweis durch Ergänzung (2) Beweis (Forsetzung) Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge c. a2 Das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge a und einem mit Seitenlänge b. BB B B 2 B c B b B B BB b b2 a a Die Fläche c 2 entspricht also der Summe der Fläche a2 und der Fläche b 2 , also a2 + b 2 = c 2 . W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 8/9 Beweis des Satzes von Pythagoras Geometrischer Beweis Geometrischer Beweis durch Ergänzung (2) Beweis (Forsetzung) Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge c. a2 Das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge a und einem mit Seitenlänge b. BB B B 2 B c B b B B BB b b2 a a Die Fläche c 2 entspricht also der Summe der Fläche a2 und der Fläche b 2 , also a2 + b 2 = c 2 . W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 8/9 Beweis des Satzes von Pythagoras Geometrischer Beweis Geometrischer Beweis durch Ergänzung (2) Beweis (Forsetzung) Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge c. a2 Das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge a und einem mit Seitenlänge b. BB B B 2 B c B b B B BB b b2 a a Die Fläche c 2 entspricht also der Summe der Fläche a2 und der Fläche b 2 , also a2 + b 2 = c 2 . W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 8/9 Ergänzungen Umkehrung und Kosinussatz Ergänzungen zum Satz von Pythagoras Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso: Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite c gegenüber liegt. Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar: Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ gilt: c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ). Der Satz von Pythagoras bildet mit dem Höhensatz und dem Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 9/9 Ergänzungen Umkehrung und Kosinussatz Ergänzungen zum Satz von Pythagoras Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso: Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite c gegenüber liegt. Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar: Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ gilt: c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ). Der Satz von Pythagoras bildet mit dem Höhensatz und dem Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 9/9 Ergänzungen Umkehrung und Kosinussatz Ergänzungen zum Satz von Pythagoras Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso: Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite c gegenüber liegt. Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar: Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ gilt: c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ). Der Satz von Pythagoras bildet mit dem Höhensatz und dem Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 9/9 Ergänzungen Umkehrung und Kosinussatz Ergänzungen zum Satz von Pythagoras Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso: Gilt die Gleichung a2 + b 2 = c 2 in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c, so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite c gegenüber liegt. Eine Verallgemeinerung stellt der Kosinussatz dar: Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ gilt: c 2 = a2 + b 2 − 2ab · cos(γ). Der Satz von Pythagoras bildet mit dem Höhensatz und dem Kathetensatz zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. W. Kinzner (TUM) Der Satz von Pythagoras 17. Oktober 2013 9/9
