Datei:

Datei:
AwGJK825.doc (Word97-Format)
Schule:
Johannes-Kepler-Gymnasium Chemnitz
E-Mail: [email protected]
Autor/Ansprechpartner: Herr Hauschild
Quelle / Literaturhinweise:
eigene Entwicklung
Systematische Einordnung:
Schlagworte inhaltlich:
Schlagworte didaktisch:
Funktionen, Satzgruppe des Pythagoras
Heuristik; verschiedene Lösungswege; Problemlösestrategien
Unterrichtliche Einordnung:
Jahrgangsstufe:
Thema:
Zeitumfang:
Klasse 8
Anwendung zur Satzgruppe des Pythagoras
ca. 1 Unterrichtsstunde
Anliegen/Ziele:
Beabsichtigt ist eine Systematisierung zu geometrischen Inhalten im Stoffgebiet
„Satzgruppe des Pythagoras“, wobei gleichzeitig das Thema „Lineare Funktionen“
wiederholt werden soll. Anhand einer Aufgabe werden verschiedene Lösungswege diskutiert, einerseits um die unterschiedlichen Sätze anzuwenden, andererseits
um die „Problemlösekompetenz“ der Schüler zu erhöhen. Eine „Rückschau“ nach
erfolgreichem Lösen einer Aufgabe verspricht oft mehr als das Abarbeiten einer
Aufgabenfolge zu ähnlichen Inhalten.
Unterrichtliche Voraussetzungen:
Die Schüler kennen Kathetensatz, Höhensatz und den Satz des Pythagoras, sie
können die Sätze insbesondere für Berechnungen an geometrischen Objekten
anwenden.
Die Behandlung der linearen Funktionen liegt schon einige Zeit zurück, die Schüler sind mit Grundtechniken (Aufstellen von Gleichungen für lineare Funktionen,
Nullstellenberechnung, Anstiegsermittlung) vertraut. Zusätzlich zum verbindlichen
Stoff wurde die Beziehung zwischen den Anstiegen zueinander senkrechter Graphen linearer Funktionen behandelt, nicht zuletzt deshalb, weil diese Beziehung
sich oftmals auch auf geometrische Sachverhalte (innermathematische Vernetzung) anwenden lässt.
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Beschreibung der unterrichtlichen Maßnahmen:
1. Problemstellung
Aufgabe: Gegeben ist eine Gerade g, die durch die Punkte P(-2; 2) und
Q(4; -1) verläuft.
a) Stelle die Gleichung der zugehörigen linearen Funktion auf.
b) Berechne die Nullstelle der zugehörigen linearen Funktion.
c) Welchen Abstand hat die Gerade vom Koordinatenursprung?
Löse die Aufgabe auf unterschiedlichen Wegen.
Die Schüler erhalten den Auftrag, die vom Lehrer vorgegebene Aufgabe selbstständig zu bearbeiten.
Die Teilaufgaben a) und b) dienen zur Wiederholung, während die Teilaufgabe c)
für Schüler dieser Klassenstufe eine Problemaufgabe darstellt. Im Folgenden liegt
das Augenmerk der Darstellung auf der Bewältigung dieser Teilaufgabe.
2. Bearbeitung der Aufgabe
Die Schüler bearbeiten die Aufgaben selbstständig, der Lehrer sucht bei den
Schülern nach unterschiedlichen Ansätzen zur Bearbeitung der Teilaufgabe c) und
gibt bei Bedarf individuelle Unterstützung. Z. B. erhalten einzelne Schüler folgende
Tipps für die Bearbeitung der Teilaufgabe c):
-
zunächst Klarheit verschaffen durch Anfertigen einer Zeichnung und Messen
des gesuchten Abstands
Eintragen der Achsenschnittpunkte und der gesuchten Strecke in eine Zeichnung
-
3. Darstellung unterschiedlicher Lösungswege
Einzelne Schüler stellen an der Tafel ihre Lösungen vor und erläutern ihr Vorgehen. Im Folgenden werden drei unterschiedliche Lösungswege der Schüler skizziert, die Bezeichnungen beziehen sich jeweils auf die Lösungsskizze.
y
g
L
B(0; 1)
d
O(0; 0)
A(2; 0)
x
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1. Lösungsweg:
Die Größe d ließe sich im Dreieck OAB mit Hilfe des Höhensatzes berechnen,
wenn die Hypotenusenabschnitte LA und LB bekannt wären. Diese wiederum
ergeben sich durch Anwendung des Satzes des Pythagoras sowie des Kathetensatzes in diesem Dreieck:
4
1
, LB 
,
AB  5 , LA 
5
5
4
2
d 2  LA * LB  , d 
.
5
5
2. Lösungsweg:
Die gesuchte Größe d ließe sich im Dreieck OAL mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen, wenn LA bekannt wäre. Diese Strecke ist mit dem Satz des
Pythagoras sowie dem Kathetensatz im Dreieck OAB berechenbar:
2
2
4
16
2
, daher d  OA  LA  4 

LA 
5
5
5
3. Lösungsweg:
Der Flächeninhalt des Dreiecks OAB berechnet sich einerseits aus
1
A  AO * OB  1FE .
2
Andererseits gilt die Flächenformel für allgemeine Dreiecke:
1
A  * AB * d .
2
Gleichsetzen und Berechnen von AB mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck
(OA * OB )
2
OAB liefert folgendes Resultat: d 

AB
5
4. Lösungsweg:
Würde man den Lotfußpunkt L (das heißt: dessen Koordinaten) kennen, so ließe
sich der gesuchte Abstand d mit dem Satz des Pythagoras berechnen (Grundaufgabe: Abstand zweier Punkte). Der Lotfußpunkt L wiederum ergibt sich als Schnitt
der Gerade g (siehe Aufgabenstellung) mit einer zu g senkrechten Geraden h
durch den Koordinatenursprung O:
x
Gleichung für g : y    1 , Gleichung für h: y = 2 x
2
2
2
2
2 4
2 4
Koordinaten von L: L ;  , daher d       
5
5 5
5 5
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Erfahrungen / Bemerkungen:
Die verwendete Aufgabenstellung wurde bewusst formal gewählt, um den Sachverhalt nicht zusätzlich zu erschweren. Anliegen war es, verschiedene Zugänge zu
einer Problemstellung zu finden. Die Schüler sollten erfahren, dass es nicht zwingend „die“ Lösung zu einer vorgelegten Aufgabe gibt, sondern dass vielmehr mehrere Ideen zu einer erfolgreichen Bearbeitung führen können. Zum einen kann sich
dadurch ihre Methodenkompetenz erhöhen, zum anderen werden wichtige mathematische Grundlagen gefestigt. Die Einbettung der zunächst als „Geometrieaufgabe“ gedachten Problemstellung in ein Koordinatensystem gab zudem die
Möglichkeit einer Wiederholung zurückliegenden Stoffes und eine Verknüpfung mit
neu angeeigneten Inhalten (innermathematische Vernetzung). Zudem spielte hier
das „Transformationsprinzip“ (Übersetzen in die Sprache einer geeignet gewählten
mathematischen Disziplin), welches bei außermathematischen Anwendungen in
natürlicher Weise angewandt werden muss, eine wichtige Rolle.
Während der Phase der selbstständigen Arbeit der Schüler an der Aufgabe hatte
der Lehrer ausreichend Gelegenheit, die auftretenden Lösungen der Schüler zu
beobachten – es waren dies die oben aufgeführten Lösungswege 1 und 2. Bei
sehr unterschiedlichem Arbeitstempo der Schüler kann folgende Zusatzaufgabe
gestellt werden:
Beweise: In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenlängen a und b so1
1
1
wie der Höhenlänge h gilt: 2  2  2 .
h
a
b
Versuche mehrere Lösungswege anzugeben.
Beim Vortragen der Lösungen wurden die Schüler gebeten, möglichst nicht fertige
(im Sinne von „druckreife“) Ausarbeitungen an die Tafel zu schreiben, sondern
vielmehr auf das Finden der Lösungen einzugehen („Welche Gedanken spielen
sich im Kopf ab, um von den Start- zu den Zielgrößen zu gelangen?“). Damit soll
erreicht werden, dass sich die Schüler nicht fertige Lösungen, sondern immer wiederkehrende Strategien einprägen.
Die Ideen, die hinter dem dritten und vierten Lösungsweg stehen, wurden in einem
kurzen Unterrichtsgespräch mit „sanften Impulsen“ durch den Lehrer erarbeitet.
Besonders der dritte Lösungsweg, der wohl nur von sehr leistungsstarken Schülern ohne Lehrerhilfe zu erwarten ist, sollte ergänzt werden, da der Flächeninhalt
oftmals eine geeignete Hilfsgröße darstellt.
Beim Vergleich der unterschiedlichen Lösungswege wurde die dritte Lösung einhellig von den Schülern als die eleganteste bewertet.
Die schriftliche Ausarbeitung der zugehörigen Lösungen war anschließende Schüleraufgabe.
Abschließend sei bemerkt, dass die gestellte Aufgabe selbstverständlich auch ohne die Teilaufgaben a) und b) gestellt werden kann. Die Entscheidung für die beiden zusätzlichen Teile a) und b) ist lediglich dadurch begründet, dass möglichst
jeder Schüler einen Zugang zur Problemstellung findet.
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