3 GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG

11PS - KINEMATIK
P. Rendulić 2011
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3
GERADL. GLEICHM. BESCHL. BEWEGUNG
3.1
Experimentelle Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes
7
3.1.1 Versuchsbeschreibung
Wirkt längs der Bahn eine konstante Kraft in Bewegungsrichting auf den Schlitten (z.B.
durch Schlitzgewichte, die über eine Schnur und Umlenkrolle am Schlitten ziehen, oder
eine leicht geneigte Bahn), so führt er eine geradlinig gleichmäßig beschleunigte
Bewegung aus.
Zur Bestimmung des Weg-Zeit-Gesetzes s = f (t ) für eine geradlinig gleichförmig
beschleunigte Bewegung werden die Zeiten gemessen, die der Schlitten aus dem
Ruhezustand aus benötigt, um verschiede Wegstrecken s zurückzulegen. Die Zeit t wird
mit einer Lichtschranke und einem Digitalzähler bestimmt. Um kleinere Schwankungen
auszugleichen, wird für jede Wegstrecke s die zugehörige Zeit t mehrmals gemessen und
ein Mittelwert tm gebildet..
3.1.2
Messwertetabelle
s (m)
0
-
t (s)
-
tm (s)
0
tm2 (s)2
0
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3.1.3
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Weg-Zeit-Diagramm im s-t-Koordinatensystem
s
t
O
3.1.4
Weg-Zeit-Diagramm im s-t2-Koordinatensystem
s
2
t
O
3.1.5 Ergebnis
Der sich im s-t2-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug ist eine Gerade durch den
Koordinatenursprung: Führt ein Körper eine geradlinig gleichmäßig beschleunigte
Bewegung aus, so ist der von ihm in der Zeit t zurückgelegte Weg s dem Quadrat der Zeit
t2 proportional:
s ~ t2 ;
somit gilt für das Weg-Zeit-Gesetz
s = k ⋅t2 ,
wobei k eine Konstante ist.
Der sich im s-t-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug ist also eine Parabel.
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3.1.6
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Interpretation
Die Steigung k der Geraden s = f (t 2 ) hat die Dimension einer Beschleunigung (m/s2); sie
ist jedoch nicht dem Betrag a der Beschleunigung gleichzusetzen, vielmehr gilt
k=
1
a,
2
womit für das Weg-Zeit-Gesetz
s=
1
⋅a ⋅t2
2
folgt.
Anmerkung: Der Faktor ½ lässt sich jedoch aus den vorliegenden Messungen nicht
ermitteln; er wird später rechtfertigt werden.
3.1.7
Schlussfolgerung
Das Weg-Zeit-Gesetz für eine geradlinige Bewegung mit
konstanter Beschleunigung ist eine Parabel im Weg-ZeitKoordinatensystem.
3.2
Experimentelle Herleitung des Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes und des
Beschleunigung-Zeit-Gesetzes
3.2.1 Versuchbeschreibung
Ein auf einer Luftkissenbahn aufgesetzter Schlitten bewegt sich geradlinig gleichförmig
beschleunigt.
Um die Geschwindigkeit v eines Körpers zu ermitteln, misst man für ein kleines
Wegintervall ∆s das zugehörige Zeitintervall ∆t und bildet den Quotienten. ∆s / ∆t. Die so
gemessene Geschwindigkeit entspricht der Momentangeschwindigkeit am Bahnpunkt in
der Mitte des Wegintervalls ∆s .
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Die
Änderung
der
Geschwindigkeit
∆v
im
Zeitintervall
∆t
ist
die
Durchschnittsbeschleunigung a. Ist die Durchschnittsbeschleunigung von der Größe des
Zeitintervalls ∆t und dem Zeitpunkt t, in dem sie bestimmt wird, unabhängig, ist die
Durchschnittsbeschleunigung gleich der Momentanbeschleunigung a. Die Beschleunigung
a bestimmt sich dann als Quotient v / t.
Zur Bestimmung des Geschwindigkeit-Zeit-Gesetzes misst man außer dem Zeitintervall
∆t die Zeit t, die der Schlitten benötigt, um den Bahnpunkt s zu erreichen.
3.2.2
Messwertetabelle
Blendenlänge ∆s = ............. m
s (m)
0
-
t (s)
-
tm (s)
0
-
∆t (s)
-
∆tm (s)
v=
∆s ⎛ m ⎞
⎜ ⎟
∆t m ⎝ s ⎠
a=
v
tm
⎛m⎞
⎜ 2⎟
⎝s ⎠
-
-
-
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3.2.3
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Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm im v-t-Koordinatensystem
v
t
O
3.2.4
Beschleunigung-Zeit-Diagramm im a-t-Koordinatensystem
a
t
O
3.2.5 Ergebnis
• Der sich im v-t-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug ist eine Gerade durch den
Koordinatenursprung: Die Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t des gleichförmig
beschleunigten Körpers ist der Zeit t proportional:
v ~t.
•
Der sich im a-t-Koordinatensystem ergebende Kurvenzug ist eine Parallele zur
Zeitachse. Die Beschleunigung a bleibt längs der Bahn konstant. Bewegt sich ein
Körper geradlinig gleichförmig beschleunigt, so bewegt er sich mit konstanter
Beschleunigung.
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3.2.6 Interpretation
Aus der Proportionalität zwischen v und t folgt für das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
v = a⋅t ,
wobei die Konstante a die Steigung der Geraden ist; sie hat die Dimension einer
Beschleunigung und ist aufgrund der Definition der Beschleunigung dieser gleichzusetzen.
3.2.7
Schlussfolgerungen
Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz für eine geradlinige Bewegung
mit konstanter Beschleunigung besagt, dass die
Geschwindigkeit eines Körpers der Zeit proportional ist.
Das Beschleunigung-Zeit-Gesetz für eine geradlinige Bewegung
mit gleichförmiger Beschleunigung ist eine horizontale Gerade;
die Beschleunigung ist konstant.
3.3
Definition der Beschleunigung
Unter
konstanter
Beschleunigung
a
versteht
Geschwindigkeitsänderung zu der dafür benötigten Zeit.
a=
man
das
Verhältnis
der
∆v v 2 − v 1
=
∆t
t 2 − t1
Die SI-Einheit der Beschleunigung ist das Meter pro Sekunde im Quadrat. In der Tat:
[a] = [∆v ] =
[∆t ]
3.4
v
m
s =m
s s2
Rechtfertigung des Faktors ½
B
a
v=
t
Wir wissen, dass der zurückgelegte Weg
s sich geometrisch als die Fläche
unterhalb der Geschwindigkeitslinie im vt-Diagramm darstellen lässt.
Die
Fläche
unterhalb
der
Geschwindigkeitslinie ist das Dreieck
OAB. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks
ist:
s = ½ a t2
t
O
t
s=
A
1
1
1
1
⋅ OA ⋅ AB = ⋅ t ⋅ v = ⋅ t ⋅ a ⋅ t = ⋅ a ⋅ t 2
2
2
2
2
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Diese Betrachtung rechtfertigt den Faktor ½ welcher im Weg-Zeit-Gesetz der geradlinig
gleichmäßig beschleunigten Bewegung auftaucht.
Anmerkung: das Weg-Zeit-Diagramm kann theoretisch aus dem Geschwindigkeit-ZeitDiagramm hergeleitet werden.
3.5
Geradlinig
gleichmäßig
beschleunigte
Bewegung
mit
Anfangsgeschwindigkeit
In den vorherigen Punkten wurde die geradlinig beschleunigte Bewegung ohne
Anfangsgeschwindigkeit v0 beschrieben. Das heißt, dass der beobachtete Körper aus dem
Stand beschleunigt.
Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit v0, wenn die gleichförmige
Beschleunigung einsetzt, dann ändert sich das dazugehörige Geschwindigkeit-ZeitDiagramm folgendermaßen:
v
at
½at
v0
2
v0t
t
O
Daraus ergibt sich das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz für die geradlinig gleichmäßig
beschleunigte Bewegung:
v = v 0 + at
und das Weg-Zeit-Gesetz:
s = v 0t +
1 2
at
2
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14
3.6
Geradlinig gleichmäßig verzögerte Bewegung
Ein gleichmäßiger Verzögerungsvorgang ist ein Sonderfall der gleichmäßig
beschleunigten Bewegung. Bei einer Verzögerung haben Geschwindigkeit und
Beschleunigung entgegengesetztes Vorzeichen (sie wirken in entgegengesetzte
Richtungen), sodass sich der Betrag der Geschwindigkeit verringert, bis die
Anfangsgeschwindigkeit v0 aufgezehrt ist.
a=
∆v v 2 − v1
=
< 0 weil v1 > v 2
∆t
t 2 − t1
Die Endgeschwindigkeit v2 des Körpers ist also kleiner als seine Anfangsgeschwindigkeit
v1.
Die Verzögerung unterscheidet sich von der Beschleunigung nur durch das negative
Vorzeichen des Zahlenwertes.
Beispiel:
Beschleunigung:
a>0
Verzögerung:
a<0
a = -5 m/s2 heißt, dass die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um 5 m/s
abnimmt.
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3.7
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15
Zusammenfassung
Geradlinig gleichförmige Bewegung
Weg-Zeit-Gesetz
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
v
s
t
t
s = v ⋅t
v = konstant
Geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit
Weg-Zeit-Gesetz
s
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
Beschleunigung-Zeit-Gesetz
v
a
t
t
s=
1
⋅a ⋅t2
2
t
v = a⋅t
a = konstant
Geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit
Weg-Zeit-Gesetz
s
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
Beschleunigung-Zeit-Gesetz
v
a
t
t
s=
1
⋅ a ⋅ t 2 + v0 ⋅ t
2
v = a ⋅ t + v0
t
a = konstant
Geradlinig gleichmäßig verzögerte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit
Weg-Zeit-Gesetz
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
v
s
t
t
t
s=
Beschleunigung-Zeit-Gesetz
1
⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t (a < 0)
2
v = a ⋅ t + v 0 (a < 0)
a = konstant (a < 0)
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3.8
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16
Aufgaben
3.8.1 Beschleunigender Körper
Ein Körper hat aus der Ruhe nach der 1. Sekunde eine Geschwindigkeit von v1 = 0,5 m/s,
nach der 2. Sekunde von v2 = 1,0 m/s, nach der 3. Sekunde von v3 = 1,5 m/s erreicht.
a.
b.
c.
d.
Zeichne das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm.
Trage die Geschwindigkeitsänderung je Sekunde in das Diagramm ein.
Warum haben die Geschwindigkeit und die Beschleunigung verschiedene Einheiten?
Berechne die Fläche unter der v-Linie. Was stellt sie dar?
3.8.2 Zwei Radfahrer
Zwei Radfahrer A und B bewegen sich aus der Ruhe gleichmäßig beschleunigt. Fahrer A
erreicht nach tA = 7 s eine Fahrgeschwindigkeit vA = 7,2 km/h, Fahrer B nach tB = 15 s eine
Geschwindigkeit vB = 10,8 km/h.
a. Welcher Fahrer hat die größere Anfahrbeschleunigung?
b. Welche Wege haben die Radfahrer dabei zurückgelegt?
3.8.3 Beschleunigendes Auto
Ein Auto erhält aus der Ruhe gleichmäßig beschleunigt eine solche Beschleunigung, dass
es nach t = 16 s einen Weg s = 200 m zurücklegt.
a. Wie groß ist die Beschleunigung?
b. Welche Endgeschwindigkeit (in km/h) ist dabei erreicht?
3.8.4 Auf der Autobahn beschleunigendes Fahrzeug 1
Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird bei einer Beschleunigung von a = 2,5 m/s2 von
v1 = 180 km/h auf v2 = 216 km/h gleichmäßig beschleunigt gesteigert.
a. Wie groß ist die dabei zurückgelegte Wegstrecke?
b. Zeichne das zugehörige v-t-Diagramm.
3.8.5 Auf der Autobahn beschleunigendes Fahrzeug 2
Ein PKW wird in 15 s von der Geschwindigkeit 90 km/h auf 126 km/h gleichmäßig
beschleunigt.
a. Wie groß ist die Beschleunigung? (a = 0,667 m/s2)
b. Welcher Gesamtweg wird während der Beschleunigung zurückgelegt? (s = 450 m)
c. Wie
ändern
sich
Beschleunigung
und
Gesamtweg,
wenn
die
Geschwindigkeitsänderung in 10 s erreicht werden soll? (a’ = 1,00 m/s2; s = 300 m)
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3.8.6
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17
Verzögerung
Ein Autofahrer muss bei plötzlicher
Gefahr sein Fahrzeug abbremsen. Bis
zur Betätigung der Bremsen vergeht eine
Reaktionszeit von 1 s. Ermittle mit den
Werten aus dem v-t-Diagramm:
a.
b.
c.
d.
e.
die Fahrgeschwindigkeit,
die Wegstrecke s1, die er in der Reaktionszeit durchfährt,
die Bremsverzögerung a und den Bremsweg s2,
den Anhalteweg,
Wie groß wäre die Wegstrecke s1 + s2 bei gleicher Verzögerung, jedoch zweifacher
Fahrgeschwindigkeit?
3.8.7 Richtgeschwindigkeit auf der Autobahn
Dargestellt ist ein Beispiel des Deutschen
Verkehrssicherheitsrates
zur
Richtgeschwindigkeit 130 km/h. Auf der
Autobahn wird in 150 m Entfernung ein
Hindernis entdeckt. Begründe, dass bei
einer Reaktionszeit von 1 s und einer
Bremsverzögerung von -6 m/s2:
a. bei Tempo 130 km/h der Anhalteweg ausreicht
b. es bei Tempo 150 km/h zu einem Aufprall kommt mit einer Auftreffgeschwindigkeit von
circa 75 km/h.
3.8.8 Verzögerung
Bei einer Geschwindigkeit von 108 km/h erblickt ein Autofahrer in 70 m Entfernung ein
Hindernis. Nach einer Schrecksekunde führt er eine Vollbremsung aus und erreicht dabei
eine Verzögerung von a = -4 m/s2.
a. Mit welcher Geschwindigkeit prallt der Wagen noch auf das Hindernis?
b. Welche Verzögerung wäre notwendig gewesen, um den Wagen dicht vor dem
Hindernis zum Stillstand zu bekommen?
3.8.9 An der Ampel 1
Neben einer Ampel sitzt ein Polizist auf seinem Motorrad. In dem Moment, wo ein Auto mit
der konstanten Geschwindigkeit von 72 km/h durch Rot fährt startet der Polizist und nimmt
die Verfolgung des Wagens auf. Die Bewegung des Motorrads erfolgt bei konstanter
Beschleunigung (4,5 m/s2).
a. Wann holt der Polizist das Auto ein?
b. Wie weit liegt der Einholpunkt von der Ampel entfernt?
c. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Motorrads am Einholpunkt?
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18
3.8.10 An der Ampel 2
Neben einer Ampel sitzt ein Polizist auf seinem Motorrad. Zwei Sekunden, nachdem ein
Auto mit der konstanten Geschwindigkeit von 72 km/h durch Rot gefahren ist, startet der
Polizist und nimmt die Verfolgung des Wagens auf. Die Bewegung des Motorrads erfolgt
bei konstanter Beschleunigung (4,5 m/s2).
a. Wann holt der Polizist das Auto ein?
b. Wie weit liegt der Einholpunkt von der Ampel entfernt?
c. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Motorrads am Einholpunkt?
3.8.11 Im Nebel auf der Autobahn *
Auf der Autobahn fährt ein Lastwagen mit einer konstanten Geschwindigkeit von 54 km/h.
Ein Autofahrer fährt trotz der eingeschränkten Sicht viel zu schnell (126 km/h) hinter dem
Lastwagen. Erst in dem Moment wo der Abstand zwischen dem Wagen und dem
Lastwagen 30 m beträgt kann der Autofahrer eine Vollbremsung einleiten. Die
Verzögerung des Wagens beträgt dabei –6 m/s2.
a. Zeige, dass ein Auffahrunfall stattfindet!
b. Wie groß dürfte die Geschwindigkeit des Autos maximal sein, damit kein Unfall
stattfindet?
3.8.12 Auf der schmalen Landstraße *
Auf einer einspurigen Landstraße fährt ein Wagen mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h.
Ihm kommt ein 2. Wagen mit einer Geschwindigkeit von 110 km/h entgegen. Beide Fahrer
können sich noch nicht sehen, weil einer der Wagen sich noch in einer Kurve befindet. In
dem Moment, wo die Fahrer sich gegenseitig erblicken, leiten beide eine Vollbremsung
ein. In diesem Augenblick beträgt die Entfernung zwischen den Fahrzeugen 120 m. Die
Verzögerung des 1. Wagens beträgt –6 m/ s2, die des 2., wegen schlechterer Reifen –5
m/s2. Berechne, ob ein Unfall stattfinden wird!