(i), b

16
§ 1. Die elementarenOperationenmit Vektoren
17
§ 1. Die elementarenOperationenmit Vektoren
also
12. Im Würfel ABCDEFGH
(Fig.18) liegt J in der Seitenfläche BCGF,
------+
2 ~
3 -----+
-..
~
--...
-+BJ = 3 BC
4 BF. Zerlege AJ nach AB, AD und AF.
so daß
+
Da
a und
Ti nicht
13. Im Würfel ABCDEFGH
(Fig.18) liegt J auf der Körperdiagonale BH, so daß
H J = .l. BH. Die Gerade GJ schneide die Fläche A D HEin K. Zerlege AK nach
kollinear sind, folgt nach Satz 1
I
->-
I
T-TX-Y
1
4
->-
AD und AE.
I
1
14. Im Würfel ABCDEFGH
(Fig.18) ist J der Mittelpunkt von HE. J wird mit einem
Punkt K der Körperdiagonale AG verbunden, wobei AK = AG. Die Gerade JK
6-TX+3Y=
Die Auflösung dieses Gleichungssystems
->-
liefert
I
t
->-
->-
in L. Zerlege AL nach AB und AD.
schneidet die Fläche ABCD
I
x =T'
Y =4'
Ergebnisse
1. a) Siehe Fig. 19, b) siehe Fig. 20.
2. ä = 20 b- 11C.
Aufgaben zu § 1
3.
1. Zeichne drei Vektoren ä, b,
-r
-+
-+
a) den Vektor a = a - 2 b
b) den Vektor
t; so daß
_
c in der Ebene.
l_
+ TC,
ä- 2 b +t
l(
-+
=
Konstruiere
AC = a + b, cE
2. Berechne a aus der Gleichung 3 2 a - b
3. Drücke in einem Parallelogramm ABCD
AC, cE und BD durch aund baus.
+
Ü
-+
C )
-+
=2b
mit
AB
1
+T
=
+ 2b-
3C
).
ä und Ai5
=
b
-+
(a
-+
-+
die Vektoren
-+
-..-
liegt D auf AC und E auf AB, so daß AE
=
+AB
also
BF und CF von BD bzw, CE aus?
CE
=
+
liegt D auf AC und E auf BC, so daß AD = +AC
und
B C. BD und AE schneiden sich in F. Welche Bruchteile machen die Strecken
BF und EF von BD bzw. AE aus?
8. In einem Quadrat ABCD
CF
=
+
CD. AFund
-
liegt E auf BC und F auf CD, so daß BE
=
j-
4BC
+ GH
1
_
= T (a
=T
1-+
-+
a+ Tb,
=.l. t +.l.
2
-+
2
-+
+ b+ c +
s,
-r
-+
a) = 0,
ein Parallelogramm, also ein ebenes Viereck.
Eltrl
AC. BD und CE schneiden sich in F. Welche Bruchteile machen die Strecken
7. In einem Dreieck ABC
-0.
EF=HG.
Somit ist EFGH
und
-----+
1
-----+
+BF
GH = GD+00
also
EF
+
-----+
EF =EB
5. Beweise: Die Seitenmitten eines räumlichen Vierecks liegen in einer Ebene und bilden
ein Parallelogramm.
=
=
c
+
CD
+ 1) + tE = DS + sD
AS,
5. Es sei ä = AB, b = M, = cD, d = DA (Fig. 22). Ist E der Mittelpunkt von AB,
F derjenige von BC, G derjenige von CD und H derjenige von AD, so ist
4. Beweise: Sind it, V,tE die Vektoren von den Ecken eines Dreiecks zum Schwerpunkt,
so ist Ir +t
tE = -0.
6. In einem Dreieck ABC
BD = b- a.
b,
es sD,
c.
-+
= -
4. Zeichnet man D so, daß A SB D (Fig. 21) ein Parallelogramm ist, so ist Ir =
1) = ES, tE =
=
also
A
und
B
Fig.19
Fig.18
DE schneiden sich in G. Welche Bruchteile machen die Strecken
A
AG und DG von AF bzw. DE aus?
9. Beweise: Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen.
10. Beweise: Im Dreieck teilen sich zwei Schwerlinien im Verhältnis 1: 2.
D~
11. Beweise: Verbindet man in einem Parallelogramm AB CD die Ecke A mit den Mittelpunkten der Seiten BC und CD, so teilen die Verbindungslinien die Diagonale BD in
drei gleiche Teile.
8
Fig.20
2
C
Fig.21
18
A
H.
AB
Ist
= Ci, Ai5 =
b
(Fig. 25), ferner
c
AR = xAF =
i?</C
G
A
8
a
8
x (b
+
Daraus
folgt
= y=
1
=
----+
----+
4" AB
2
---+
1 -----+
----+
8
8. x
8
1
2
=
=
sAB
2
---+-
=
01
=0
.
J
2 ----+
----+
3 DB ; analog erhält man DG
=
2 -----+
3DB .
3----+
+ 3AD + 4"AF.
+ 3AE.
+ lOAD.
2----+
1---+
Koordinatensystem
y=t.
=
9. Es sei a
---+
--
AB, b
=
----+-
•
---+
AD (Pig, 23), ferner AE
---+
AE
also
=
--
--
-----+
x(a+ b), EB
Ci= x(Ci+b)
+
---+
--.
=
xAC, EB
=
y(a-
---
=y =
-
10. Es sei a
=
x+y-l
x-y
+.
----+
--
AB,
b
=
a) Orientierung
Auf jeder Geraden gibt es zwei einander entgegengesetzte (aber völlig gleichwertige) Richtungen, auf jeder Ebene zwei Drehsinne und im Raum zwei Schraubungsarten. Auf einer Geraden läßt sich eine Richtung festlegen durch Wahl eines
O.
=
=
--+
O}
AB
0
----+
BC (Fig. 24), ferner AS
+
=
----+
-----+
xAD,
BS
----+
= y BE.
= x (Ci
B§
=y(-Ci+AE)=y(-Ci++(Ci+b»)
-+
wegen A S = AB
+
=y(-+Ci++b);
t
kollinearen Vektoren
= Ci und
= in ihr mit gemeinsamem Anfangspunkt (Fig. 2); unter dem durch Ciund
definierten Drehsinn versteht man dann
denjenigen der Drehung, die Ci auf kürzestem Weg in die Richtung von b über-
B::; gilt also
+
(x +
+
+
+ ++
(+ + Y) b
+
Ci+
x-
b) = Ci y (-
y-l)
folgt
Ci
t
1
-l=O!
1
"2x-"2Y
=
D
\t
b),
=
X++Y
also x=y=+.
AC
orientiert, wenn auf ihr auf
als die positive, deren entwird).
durch ein Paar von nicht-
~
x (Ci
also
Also ist
Vektors
= Ci auf ihr (Fig.l). Eine Gerade heißt
diese Weise eine Richtung festgelegt ist (die dann
gegengesetzte als die negative Richtung bezeichnet
In einer Ebene läßt sich ein Drehsinn definieren
AB
+ b) ,
15
-+
Also wird
y(Ci-b),
(x+y-l)Ci+(x-y)b=
Daraus folgt
1. Das Koordinatensystem
~
= y DB.
b),
also
Daraus
14. AL
----+.
2
3' also HB
O.
§ 2. Vektoren im ebenen und räumlichen
2
. -
also x
b) = Ci,
Fig.25
y =3'
=+.
Ci),
c
D
Fig.24
7. X=9'
+
Ci+(x-y)b=
x-y
13. AK = 3AD
-
+ y (Ci-
l...x+y-l
Fig.23
----+
Y
Ci)
(+x+y-l)
12. AJ
6. X=6'5
+
2
A
+
also
also x
8
x (b
HB=yW=y(a-b),
so wird
D
Fig.22
19
§ 2. Vektoren im ebenen und räumlichen Koordinatensystem
§ 1. Die elementaren Operationen mit Vektoren
O.
b
K;C
B
A
0
Fig.l
~C
Fig.2
Fig.3
35
§ 2. Vektoren im ebenen und räumlichen Koordinatensystem
§ 2. Vektoren im ebenen und räumlichen Koordinatensystem
34
6. Von einem Dreieck sind zwei Ecken A, B und der Schwerpunkt
die Koordinaten der Ecke C:
a) A(6/-1),
B(-2/6),
S(3/4),
b) A(10/6), B(-6/4),
S(-1/-4),
c) A (0/0/4), B (5/2/0), S (3/ -1/3),
d) A (3/ - 2/5), B (7/5/10), S (5/4/6).
7. Von einem Parallelogramm
Bestimme
a) A(8/-5),
b) A(-4/-4),
c) A(-1/8/2),
B(-1/-4),
B(4/-2),
B(4/5/-1),
8. Ergänze
Ecken
A, B, C gegeben.
C(0/4),
C(6/7),
C(2/7/1).
A (- 4/1/3),
die drei Punkte
gramm (3 Lösungen!).
Fig.16
sind drei aufeinanderfolgende
der vierten Ecke D:
die Koordinaten
S gegeben. Bestimme
B (4/3/6),
C (8/5/ - I) zu einem Parallelo-
9. Von einem Parallelogramm
sind zwei Ecken A, B und der Diagonalenschnittpunkt
gegeben. Gesucht sind die andern Ecken:
o
a) A (3/-
E
2/5), B (7/5/10), E (5/4/6),
B(9/6/3), E(6/-1/0).
b) A(5/4/-4),
10. Zerlege den Vektor cnach den Vektoren
Satz von Euler: Das Umkreiszentrum U, der Schwerpunkt S und der Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks liegen auf einer Geraden (der «Eulerschen Geraden») und es ist ( U H S) = -1 : 2.
a = VA, t = UR und c = UC (Fig.16).
Nun ist a+ t = UD, also hat der von U ausgehende Vektor a+ b +c = UD + c
seine Spitze auf h Da man zyklisch permutieren darf, folgt also, daß a+ t + t
Zum Beweis wählen wir die Vektoren
c'
----+
H hat, also
seine Spitze im Höhenschnittpunkt
------+
US
1
-+-
.."..,.
c) a=
e) a=
b) a=
2.
3.
Gegeben sind die ~ ekt~en
nenten von d = a + 2b _
Berechne
_
_die Komponenten
""t
_
a) 3b-2a
b) -2a+3d
=
b) 3
_= (
c,
-1
von
i),
b=
d aus s =
(_
i), c =
(-
~) ,
3
(3),
1 b=
+
s- + b +
t=
(;).
4
3) und
( -2
die Kompo-
Berechne die Kompo-
e)
c =
(1),
3 wenn
b+3c-4d
s-: G), b =
und
(-!)
(-!), c= (=i),
kollinear
d=
(-i). Bestimme
x so,
sind.
2C - 3 d und (~) kollinear sind.
3) und C (x /5) auf einer Geraden
c=
b=
(i),
c=
b=(_~),
c=
d nach
g)
s=
a, bund
den Vektoren
b=(-:).
c=(-~~).
=
b=(_D,
c=
c=
=
c =
G)' r., G)'
G), b (= D'
=
d=
CD,
=
(-D'
(-D·
(-
d=
CD,
d=(_lD,
D' d (D,
G), (=D,
D' d (D .
=
d=
c=
c =
c:
G), d (=D,
c=
b=(-D'
=
b:
c=
d)a=(j).
s
(!), b (= D'
f) a=
5. Bestimme x, so daß die Punkte A (5/ - 6), B (- 7/liegen.
(_ ~). Berechne
3a-2b,
= 4b-3t.
4. ;:~ebensinddieVektoren
a) 2a-
+s
(-!), b =
(-0,
G), b G)'
G)'
c)a=
1. Gegeben sind die V~ktor!n ~ =
nenten von d = 3 a - 2 b - c.
b=
b=(-~),
(D,
Aufgaben zu § 2
I
G),
(i),
g) a=(_~),
a)a=
womit der Satz bewiesen ist.
(~),
11. Zerlege den Vektor
ist. Ferner gilt nach (10)
1 ------Joo-
= 3 (a + b + c) = 3 UH,
-+
= UH
a) a=
aund
(_
=
12. Gegeben ist ein Viereck AB CD. Beweise, daß es ein Parallelogramm ist:
a) A(4/-2/5),
B(7/9/-4),
C(9/12/-2),
D(6/1/7),
b) A(0/8/-6),
B(-9/5/0),
C(4/0/3), D(-13/13/-9).
13. Gegeben sind die Punkte A (- 3/5) und B (3/ - 4). Bestimme den Punkt, der
Verhältnis
a) t = -
+,
b) t =
1- teilt.
AB im
.
benen und räumlichen Koordinatensystem
§ 2. Vektoren Im e
§ 2. Vektoren im ebenen und räumlicben Koordinatensystem
36
14. Teile die Strecke
15. Gegeben
sind
C(0,6/-2).
A (-
9/15/
- 2) B (-12/
- 6/4)
27
in drei gleiche Teile.
die auf einer Geraden liegenden PunkteA(3/-5),
B(-1/0)
und
Bestimme D, so daß (AB) und (CD) zwei harmonische
Punktepaare
bilden.
16. Gegeben ist das Dreieck ABC mit der Basis AB auf der x-Achse. Wo schneiden
Winkelhalbierenden
des Innen- und Außenwinkels
bei C die x-Achse?
a) A (0/0), B (28/0), C(63/84),
b) A (0/0), B (28/0), C(10/24).
17.
die
a) Beweise:
Die Verbindungsgeraden
der Schwerpunkte
der Seitenflächen
eines
Tetraeders
mit den Gegenecken gehen durch einen Punkt, dessen Koordinaten
die
arithmetischen
Mittel aus den entsprechenden
Koordinaten
der Ecken sind (Schwerpunkt des Tetraeders),
und teilen sich im Verhältnis
1: 3.
b) Was ist die geometrische Bedeutung des Punktes, dessen Koordinaten
die arithmetischen Mittel der entsprechenden
Koordinaten
der Ecken eines ebenen Vierecks sind?
18.* Ein «vollständiges
Vierseit » besteht aus 4 Geraden einer Ebene, die sich in 6 Punkten
schneiden. Verbindet man je zwei dieser Punkte, so erhält man 3 neue Geraden, die
sogenannten
«Diagonalen»
des Vierseits. Beweise, daß ihre Mittelpunkte
auf einer
geraden Linie liegen.
II
19.
die Komponenten
gegengesetzte
20.
Berechne
) A (Oillf7)
~) A(5/13/21'),
Richtung
den Umfang
des Vektors
hat wie ( des Dreiecks
mit der Länge
~'5).
14, der a) gleiche,
b) ent-
B(25/12/14),
28.
a) A(-I/-3),
B(3/-3),
C(8/9),
B(-4/2),
C(17/30),
c) A(3/2/-1),
B(4/-2/7),
C(I/-2/3),
d) A(-20/9/17),
B(-6fl6/3),
C(36/1/-3).
D(10/0/5).
C(10/21/2),
.
raden AB und A C.
.
..
(
0/-3)
B(12/-11)
C(8/12) ist fast gletchseltlg.
29 * Das Dreieck mit den Ecken A - 1 k'
' I . hseitiges Dreieck
dessen Ecken lauter
.
.
) I der Ebene gIbt es em g eic
'
BeweIse: an.
h b
b) I Raum gibt es solche Dreiecke.
ganzzahlige Koordmaten
a en.
m
Ergebnisse
i~)·
1.
d = (-
2.
d=(-D·
d=(_!),
d=(_~)'
b)
4.
a) x=6,
5.
:)=C(S~~),b)
b) x=2.
c) C(4/-5/5),
C(-7/-22),
~: a) D(9/3), b) D(-2/5),
D (0/3/-4),
D2(-8/-1/1
~: a)1 C(7/10/7),
D(3/3/2),
ABC:
bilden:
.'
3/-2/1),
B(5/-1/-1),
C(1/1/7).
Berechne die
Gegeben smd die PunkvtekA (.
R" ht ng der beiden Winkelhalbierenden
der GeKomponenten
je eines
e ·tors m
IC u
3. a)
Berechne
.
k
ABC
D ein reguläres Tetraeder
daß die Pun te
, , ,
(15/2/19)
B (20/10/0),
C(15/23/16),
D
,
Beweise
.
37
d) C(5/9/3).
c) DO)(-D3/(1106//~)/'2)
, 3
•
3
b) C(7/-6/4),
D(3/-8/- ).
b) A(2/-6),
21.
Die Länge einer Strecke
ist y.
10.t=xa+yb:
) -1
=-2,
a) x = 1, y = 3, b) x = 2, \= 7,_ ~: -f)':= _ 3, Y = -2,
d) x = 0,5, y = 4, e) x = - , y ,
A(7/3)
mit den Endpunkten
und B(-5/y)
22.
Von einem Quadrat ABCD ist die Diagonale
die Koordinaten
der Ecken B, D.
23.
Welche Punkte
wie vom Punkt
24.
Welche Punkte der x- und y-Achse haben von den Punkten
gleiche Abstände?
25.
Bestimme
der x-Achse haben vom Punkt
B(15/6/3)?
den Mittelpunkt
a) A(5/7),
B(-I/-I),
und den Radius
A(-2/2)
C(5/1)
ist 13. Gesucht
gegeben.
A (12/ 12/ - 6) doppelte
des Kreises
A (durch
Berechne
Entfernung
1/ - 4) und B (5/ - 2)
drei Punkte
A, B, C:
C(6/0),
26.
Bestimme
B(I/-I),
den Mittelpunkt
a) A(3/1/3),
b) A(-4/1/5),
c) A (5/1/6),
d) A (1/3/0),
e) A(O/O/I),
f) A(0/3/2),
C(3/-2).
und den Radius
a und b sind
punkt haben.
l3. a) P(-1/2),
14. PI (-1l/1/2),
der Kugel durch vier Punkte
A, B, C, D:
b)P(-21/32).
P2(-10/8/0).
15. D(-9/10).
-210
a) XI = 15, X2
S' d P (T)
17. a ) 10
I I
Fläche PIP2PS'
-.
hältnis
B(0/-3/4),
C(3/0/4),
D(I/-I/-I),
B(-1/2/5),
C(0/1/1),
D(-2/0/6),
B(6/-4/-6),
C(3/-2/7),
D(-4/-2/0),
B (2/0/4),
C(2/-1/3),
D (-1/3/4),
B(3/-1/5),
C(-I/-4/2),
D(I/-2/0),
B(OJ-l/4),
C(I/I/3),
D(-I/I/3).
kollinear.
-r
zc:-11. a=xa+yb+
4
-5
=-6
c)x=l,y=3,z=2,
a)x=4,y=5,z=2,
b)x=
,y'~1 z='t,
f)x=-2,y=3,z=-5,
d)x=3,y=-4,z=-5,
e)x=l,y,
-=t
d
I . h
Mittel
g) -a , -b und t sind komplanar.
-+ _ ± CLJ ist oder AB
und CD
en g eic en
I
12. Man zeigt, daß entweder AB -
16.
b) A (5/0), B (7/2), C ( - 7/0),
c) A (-12/-3),
B(6/9), C (13/2),
d) A(-3/1),
g)
_
-
+
b) x =13,
x2=-182.
P' (_) d~ Ecken (Fig 17) und ist S(TS) der Schwerpunkt
der
4 r4
ie
.,
-finden wir für den Punkt M(TM)' der den Vektor SP. im Ver-
so
teilt,
_ TS +
rM -
bIS
+
T4
=
1
1+3
Da man bei zyklischer
.
Behauptung
bewiesen,
i. (Tl + T + T + .!. T)
2
4
3
3
3
4
=
.!. (Tl + T2 + T3 + T4)'
4
lb
punkt M bekommt,
Permutation
der Ecken denseT en ders
. d
S h
nkt des
etrae
.
M Ist er c werpu
.
ist die
38
§ 2. Vektoren im ebenen und"
raum
Ii h
JC
en Koordinatensystem
§ 2. Vektoren im ebenen und räumlichen
Daraus folgt
also a --
a-ilx
J.-ily-l
Da ferner
_x_
l-y'
---Jo.
AE
Ai
ßb- a
also
=
f-l . A C
also
ß
kollinear ist, ist
f-l (c - a)
a+
(f-t-f-lx-l)
Daraus folgt
s
=
+
OQ =
+
2'
2
~ (ä+
b)
1_
----+
OR = -(aa+ßb)
=
-
------...-----+
iä
+ ~ b,
1
x_I
= -·--a
2
l-y
1
--+
--+
+2
1
xy
2
1- y
also
-----+
a
D
un
dE
"
eXlstIeren,istxc;61undyc;6l.Nun'
0+
_
D Jjjj 'B---+-'
1St D = aa,
. a
mit C koUmear ist ist
p.
BD = aa-b = J.. Be =
(a-h) a
J.(c-b) =J.(Xa+yb-b:,
+ (J.-J.y-l)
b=
o.
E
\
\
\
\
\
\
19. a)
(-!),
\
Fig.19
\
b) (
12
xy1- x
xy
(l-x)(I-y)
---+-----+
(OQ-OP),
-!).
-12
20.
21.
22.
23.
24.
25.
a) 32, b) 84, c) 20, d) 126.
YI = 8, Y2 = - 2,
B(I/-2),
D(2/5),
P.(18/0/0),
'P2(14/0/0),
PI (1/0), P2 (0/3).
a) M(2/3),
7 = 5,
b) M(-1/8),
7 = 10,
c) M(I/-3),
r = 13,
d) A, B, C liegen auf einer Geraden.
26. a) M(I/-1/2),
7=3,
b) M(-2/0/3),
7=3,
c) M(3/-2/0),
7=7,
d) M(0/1/2),
7 = 3, e) M(I/-2/3),
7 = 3,
f) A,B,C,D liegen in einer Ebene.
27. AB = BC = CA = AD = BD = CD = 15·
\
R~
1
also liegen P, Q und R auf einer Geraden.
s:
, WIrbestImmen a und
---+
OR-OP=
-
(l-y)b,
2
_
OR - OP=-·--a+-·--b,
18. P, Q, R seien die Mittelpunkte d D'
1
d' V
er ragona en OC AB b
DE (F'
.•e .;ktoren
= 01, b = OB c _ ---+-,
' _
z~
ig, 19). Wir führen
sich c nach und b zerlegen:
' - OC ein. Da a und b nicht kollinear sind, läßt
xa+yb;
y+ -·--b,
2 I-x
_1
OQ- OP= 2(I-x)a
also
b = O.
(ß-f-lY)
2'
2
also
""
...•
a ),
OP=.2.-c=!:...-ä+Lb
b) Sind P (-)1 bi P (,
.
17
IS 4 74) die Ecken eines ebene V'
,
Seltenmittelpunkte Mund
M di 0
n1 ierecks (FJg.18), so haben die
'
1
3 re
rtsvektoren - (7
r) b
1 _
_
h at der MIttelpunkt
M d es aus allen 4 S '
2
zw. -2 (r3
7)
also
,2 1
4 ,
gramms den Ortsvektor
eltenmIttelpunkten gebildeten Para11elo-
-
+yb-
= -y-.
I-x
Fig.18
wenn die Schnittpunkt
f-l (x a
f-l-f-lX-1=0}
ß-f-lY
=0
Fig.17
OE-Pb"
=
Somit wird schließlich
F1
a
39
=0 }
=0
-+
__
=
AC
mit
Koordinatensystem
28. Z.B.
(D (-:D·
V2.
und
29. a) Die Fläche Feines Gitterpunktsdreiecks ist rational, denn man erhält sie aus einem
Gitterpunktsrechteck mit achsenparaUelen Seiten durch Subtraktion der Flächen
\
\
\
rechtwinkliger Dreiecke. Wäre das Dreieck gleichseitig, so wäre F
\
\
\
D
= ~ a2,
wobei
aber das Quadrat a seiner Seite ganzzahlig wäre; daraus würde folgen, daß
rational wäre.
b) Z.B. das Dreieck A (1/0/0), B (0/1/0), C(O/O/I).
2
V3
90
§ 6. Die Gleichungder Geraden
Aufgaben
§ 6. Die Gleichungder Geraden
91
zu § 6
I
1. Stelle eine Parametergleichung der Geraden durch die Punkte A (5/8/B'(4/-3/-9)
auf!
e)
r=
f)
r=
g)
r=
3) und
2. Stelle eine Parametergleichung der Geraden g in Fig. 8 auf!
3. Bestimme die Spurpunkte folgender Geraden:
4. Bestimme die Spurpunkte der Geraden durch die Punkte A ( - 4/B (3/1+/-4).
5. Liegen die Punkte
und D (4/5/6) ?
A(3/8/9)
und
B(I/
-10/
2/5 ~) und
3
- 8) auf der Geraden durch
6. Stelle die Koordinatengleichung der Projektion der Geraden
die xy-Ebene auf.
r=
(i)
7
+
C(5/2/3)
auf
I (_:)
S
7. Von einer Geraden sind die Spurpunkte SI und S2 gegeben. Bestimme den dritten
Spurpunkt S3'
a) SI(2/-3/0),
S2(0/-2/1), b) SI(-5/3/0), S2(0/2/-1),
c) S1(-5/3/0), S2(0/2/6),
d) SI(-3/2/0),
S2(0/-4/6),
e) SI(30/-1/0), S2(0/5/-18).
(D+
t(!)
G)+
t(D
(-D
und
+t(-!)
tG)'
r=G)
+
und
r=(ü
+t(_D,
und
r= (~)
t (~),
+
6,
I,
b)
r=
G) +t(=r)
und
r=(ü
i)
r=
(D +t(_D
und
r=
G)
+t(-Ü'
und
r=
(D
+t(-Ü'
k)
r=(-i)+t(-!)
(
S'
+ t ~~),
9. Welche Punkte auf der Geraden durch die Punkte
haben vom Punkt C (1/- 2/3) den Abstand 3?
A (6/-8/3)
und
B (-6/8/7)
10. :Vie lang ist der auf de~Parallelen durch P(5/12/- 2) zur Geraden r = (~~) +
hegende Abschnitt zwischen der xy- und der zx- Ebene?
4
t( ~)
- 2
11. Gegeben sind zwei windschiefe Geraden g und h. Eine horizontale Transversale der
Länge 5 ist einzuschieben. In welche Höhe kommt sie zu liegen?
8. Bestimme die gegenseitige Lage folgender beiden Geraden:
a)
r=
(~D (=:,s)
+
I
und
r=
Gs)
b)r=(~D+t(-D
und
r=
(D
und
r=(ü
r=
(D +t(_D
und
r=
c)
d)
+t(_~'4)
z
r=(D
G)
+ t(-
D'
b) g:
r = (-
D+ D'
t (-
h:
r=(_D+t(-ü'
h:
v = (_
D + (!) .
t
+t(
+
-D,
t (_
11
12. Berechne die Achsenabschnitte folgender Geraden:
D'
a)
r=(-~)+tm,
b)
r=(!)+tG).
13. Gegeben sind die drei Geraden
r=
y
1.5
v=
m
+ t (-;),
r=
(_~) + t
G) und
(_~) + t (~). Bestimme ihre Schnittpunkte.
14. Entscheide durch Zeichnung und Rechnung, ob die Punkte
auf der Geraden durch die Punkte A (19/11) und B (- 17/-
P(-5/-3)
und Q(2/1)
10) liegen oder nicht.
15. Entscheide durch Zeichnung und Rechnung, ob die Geraden 10x-7y+20 = 0 und
17x -12y - 20 = 0 parallel sind oder nicht. Im letzteren Fall bestimme ihren Schnittpunkt!
)---t-~~---y
----~--O+,5--~----~2L--X
16. Entscheide durch Zeichnung und Rechnung, ob die Geraden 10x + 7Y+ 16 = 0 und
12x-17y-14 = 0 normal aufeinander stehen oder nicht. Im letzteren Fall bestimme ihren spitzen Schnittwinkel!
Fig.9
17. Stelle die Koordinatengleichung der Parallelen durch den Punkt P zur Geraden g auf:
a) P(-4/6),
g: 4x-5y-18=0,
b) P(6/-3),
g: 10x+6y-5=0.
x
Fig.8
r=(-D+t(-1),
+t(-Ü'
2 f---------,
9
a)g:
18. Stelle im Dreieck A(3/-2)
B(-4/3)
C(-3/-5)
gender Geraden auf:
a) der drei Seitengeraden.
b) der Parallelen
c) der Geraden der Höhen ha und hc•
die Koordinatengleichungen
fol-
durch A zu B C und durch C zu AB,
b) die Winkel,
c) die Gleichungen
= 0,
lege man eine Gerade, so daß sie mit den
ein Dreieck mit der Fläche F abschneidet.
a) P(3/4), F
=
=
27, b) P(7/6), F
22. Wie lautet die Koordinatengleichung
84,
c) P(5/6), F
=
40.
A und B gleiche Abstände?
23. Welcher Punkt der Geraden g hat von den Punkten
a) g: 3x-2y-6
= 0, A(-3/0),
B(-1/4),
b) g: x+2y+2
= 0, A(O/l), B(5/0).
24. Bestimme in Fig. 9 die Koordinaten
von A und B und die Winkel a und
(2+
113)x +
2, y
28. Gegeben sind eine Gerade g und zwei Punkte
=
(2-
P,
Q.
b) windschief,
c) parallel,
~) sic~ schneidend, 5(5/3/4),
f) sich schneidend, 5 (6/1/3),
g) windschief,
h) parallel,
i) zusammenfallend.
k) sich schneidend, 5(-87/9/128).
ß.
der Diagonalen
spitzen Winkel bilden die Verbindungslinien
der Mittelpunkte
Gegenseiten des Vierecks mit den Ecken A(5/7), B(-3/9),
C(-2/-1),
=
V3)x-3
Bestimme
und y
=
folgender
je zweier
D(3/2)?
4-x
bilden
ihre Spiegelpunkte
be-
P(1/7), Q(1/-6),
= 0, P(-3/6),
Q(11/-6).
= 0,
29. Gegeben ist die Gerade 3xKoordinatengleichung
4y+ 2 = 0 und der Punkt P( - 5/8). Gesucht ist die
der an P gespiegelten
30. Spiegele die Gerade 11x+2y+34
Geraden.
2x-y-2
= O.
achsen auf.
die mit der Geraden
sei die Spitze eines gleichschenklig-rechtwinkligen
auf der Geraden x - 7Y 15 = 0 liegt. Stelle die Gleichungen
auf.
+
34.· Gegeben sind parallelen Geraden x -
113y -
Wie lang ist die Seite eines gleichseitigen
dieser Geraden liegt?
35. ·Gegeben
P(l/-l),
sind die Quadrate
Q(0/-2),
Dreiecks,
113y =
4x+3y+6
= 0 einen
Dreiecks, dessen Basis
seiner Schenkelgeraden
0 und x-
113y+
8 = O.
_
- O.
= 0, 8x+3y-36
b) 6x+7y-8
= 0,
4
=
0
,
c
) k'
eme
L"
osung.
-=-a + Lb = 1.
b) P(2/ - 2).
24, A(+I+).B(fH),a=98,1°,ß=59,00.
25. a) E(O/O), e = 45°, b) E(-3/1),
e
=
71,6°,
c) E(2/1),
s
=
71,6°.
26, 81,8°.
ß hi ..
d'
it
27. Für den Winkel Yl' um den man die erste Gerade drehen mu,
IS sie m
ie zwei e
fällt, erhält man
_
tanYl-
2 - 113- (2 + 113)
1+(2-113)(2+113)
=
- 2113
1+4-3
= -
113,
also Yl = 120°; analog erhält man für den Winkel Y2' um den man die zweite Gerade
drehen muß, bis sie in die dritte fällt,
von dem je eine Ecke auf einer
mit den Ecken 0(0/0), A(4/0), B(4/4), C(0/4) und 0,
Wie lautet die Gleichung der Geraden durchO.
der Quadrate liegenden Strecken wie 3 : 1 verhalten?
R(-l/-l).
auf der sich die innerhalb
2 = 0, x -
P2(0/0/5).
20. H(2/-1).
21. a) 2x+3y-18
23. a) P(2/0),
31. Stelle die Gleichungen der an der Geraden 2x + 3y - 18 = 0 gespiegelten Koordinaten-
33. P(3/ -1)
Pl(3/-4/4),
7.
a) ZI = 0, Z2 = - 4, b) ZI = - 1, Z2 = 3.
a) a=-15,
b=10,
b) a=3, b=-6.
P(-1/-4),
Q(7/-2),
R(3/4).
P ja, Q nein.
Schnittpunkt
5 (- 380/ - 540).
Schnittwinkel
89° 46'.
a) 4x-5y+46
= 0, b ) 5x+3y-21
= O.
a) a: 8x+y+29
= 0, b: x-2y-7
= 0, c: 5x+7y-l
= 0,
b) 8x+y-22
= 0, 5x+7y+50
= 0,
c) x- 8y-19
=~, 7x-5y-;;-4
0
19. a) A(-6/3),
B(2/4), C(0/-6),
b) a = 63,4 , ß = 71,6 Y =;; 45,0 ,
c) ha: x+5y-9
= 0, hb: 2x-3y+8
= 0, hc: 8x+y+
= .
22.
= 0 an der Geraden
32. Durch P(4/5) lege man die Geraden,
Winkel von 45 ° einschließen.
9.
10.
H.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
6
züglich g:
a) g: 2x-3y+6
b) g: 3x-5y+5
d) 53(-2/0/2),
:~ i~~:~!ie:r:J~nd,
26. Welchen
Die Geraden y
ein gleichseitiges Dreieck.
3. a) 51(2/-2/0),52(0/-4/6),53(4/0/-6),
b) 51(2/ -10/0),
52 existiert nicht.' ~3(2/?/6),
c) 51(5/6/0),
52(0/6/-1),
53 eXlstJertmcht.
4. 51 = 52 = 53 = Ursprung.
5. A ja, B nein.
6. 3x+2y-12
= O.
7. a) 53(-4/0/3),
b) 53(10/0/-3),
c) 53(10/0/18),
8. e) windschief,
25. Bestimme den Schnittpunkt und den spitzen Schnittwinkel
Vierecke ABCD:
a) A(3/1), B(-4/2),
C(-6/-2),
D(6/-3),
b) A(1/-3),
B(3/4), C(-7/5),
D(-5/0),
c) A(-1/4),
B(-2/-1),
C(6/-3),
D(4/2).
27. Beweise:
a und b ?
der Geraden mit den Achsenabschnitten
6,
2.
der Höhengeraden.
21. Durch den Punkt P im ersten Quadranten
Koordinatenachsen
1.;:= ( !) + (li)
;:= (!) +t( -0·
t
20. Bestimme im Dreieck A (4/2) B (3 / - 6) C(- 6/0) den Höhenschnittpunkt.
positiven
Ergebnisse
-3
19. Bestimme im Dreieck, dessen Seiten a, bund c durch die Geraden 5x-y-6
3x+2y+12
= 0 bzw. x-8y+30
= 0 gegeben sind,
a) die Ecken,
93
§ 6. Die Gleichung der Geraden
§ 6. Die Gleichung der Geraden
92
tanY2 =
-1-(2-113)
1+(-1)(2-113)
_ 113-3
- 113-1
=
(V3-3) (113+1)
(113-1)(113+1)
also Y2 = 120°.
28. a) 1'(5/1),
71(-7/6),
b) 1'(3/-4),71(-1/14).
=
-2113
2
=
-113,
102
Aufgahen zn § 7
16.
1. Gegeben sind drei Punkte A, B, C. Stelle die Koordinatengleichung der Ebene durch
A, Bund C auf:
a)· A(I/-1/2),
B(-2/0/3),
C(3/1/-2),
b) A (5/2/1), B (- 6/3/ - 2), C (2/5/2),
c) A(I/-2/4),
B(3/-3/2),
C(2/5/-2),
d) A(7/4/-5),
B(9/2/-10),
C(5/-2/-20).
17.
2. Stelle die Koordinatengleichung folgender Ebene auf:
a) r=(_D+u(-D+v(-D,
103
§ 7. Die Gleichung der Ebene
§ 7. Die Gleichung der Ebene
b) r=(-!)+u(=D+v(=D·
Beweise, daß auch die Ebene
Aufgabe 15 zusammenfällt.
r=
(-!) +
+ v (-
u (-~)
2
1
i)
mit der Ebene von
1
Bestimme die Durchstoßpunkte folgender Ebenen und Geraden:
G) + (D + D,
a) Ebene
r=
b) Ebene
r.;
c) Ebene
r=(_lD+u(-D+v(=D,
u
(=ü
+
u
v (-
G) +
v
G),
Gerade
r = (_
Gerade
r=
Gerade
r=
D + D'
t ( -
(-D + t (0,
(!)+t(_D·
3. Stelle die Koordinatengleichung der Ebene mit den Achsenabschnitten a, bund c auf!
4. Liegt der Ursprung auf der Ebene durch die Punkte A(-2/0/1),
C(-I/ -4/3)?
5.
6.
Liegen die Punkte A (0/2/2) und B(4/1,5 / 4,5) auf der Ebene 2x +
2/7/8)
Liegen die Punkte A (-
r=
(D
und B(4/
4/ 3) auf der
18.
B(4/0/-2)
'
3y-
3z +
1=
b) Ebene
+u(-D
-D?
+v(
r=
(i) + (-!)
t
3
geht und zur Ebene
r = (-
D + D + (D
u ( -
v
5/3)
10.
Bestimme das Volumen des Tetraeders, das von der Ebene 6x- 9yden Koordinatenebenen begrenzt ist.
11.
Stelle die Gleichungen der drei projizierenden Ebenen durch die Gerade
13.
t
14.
15.
2z+
t
und die zweite Spur
r=
(!) + (0
t
gegebenist.
Stelle die Koordinatengleichung der Ebene auf, deren erste Spur die Gleichung
2 x 3y - 6 = 0 und deren dritte Spur die Gleichung 2 z x - 3 = 0 hat.
+
+
Stellen die Gleichungen
r = (-
r = (-
D + (= D + (D
u
v
D + (D + D
u
v (-
dieselbe Ebene dar?
(=D+t(-O,
x+2y-5z+9=0,
Gerade
r=
(=!)+t(_D,
e) Ebene
7x-5y+3z-8=0,
Gerade
r=(-~D+t(-D,
d)Ebene
2x-
y+3z+1=0,
Gerade
r=
e) Ebene
2x-
y+
Gerade
r=
3z+
5 = 0,
(=D+t(_O,
(!) + t (_ O·
20.
Bestimme den Durchstoßpunkt der Ebene mit den Achsenabschnitten a, b, c mit der
Geraden mit den Spurpunkten 51' 52 :
a) a = 3, b = 4, c = -5, 51(-2/3/0),
52(0/2/3),
b) a = 6, b = -2, c = 5,51(4/-2/0),52(0/-1/5).
21.
Stelle eine Parametergleichung der Schnittgeraden der Ebenen x und x y - 3 z - 2 = 0 auf.
22.
Stelle eine Parametergleichung der Schnittgeraden der Ebenen
2z- 3 = 0 mit der Geraden durch
+
r=(D+uG)+v(O
Stelle eine Parametergleichung und die Koordinatengleichung der Ebene auf, die
(!) + G)
r=
Bestimme den Durchstoßpunkt der Ebene x-y+
A (- 1/0/4) und B (1/2/0).
auf.
r=
Gerade
19.
18= 0 und
Von einer Geraden sind die Gleichungen zweier projizierender Ebenen, die durch sie
gehen, gegeben. Wie lautet eine Parametergleichung der Geraden und die Koordinatengleichung der dritten projizierenden Ebene?
a) x+3y-l
= 0, y-4z+2
= 0, b) 3x- y+2 = 0, 2z+x-3 = o.
durch die erste Spur
y+3z+1=0,
parallel ist.
9. Bestimme die Achsenabschnitte und die Gleichungen der Spuren der Ebene
3x-2y+4z-12
= O.
D + (= D
2x-
1
8. Stelle die Koordinatengleichung der Ebene auf, die durch den Punkt P(2/ -
12.
a) Ebene
O?
Ebene
7. Stelle die Koordinatengleichung der Ebene, die durch die Gerade
und durch den Punkt P( 4/2/1) geht, auf.
r = (-
Bestimme die Durchstoßpunkte folgender Ebenen und Geraden:
und
r=(D+u(J)+v(D
2y+ z + 3 = 0
auf.
23.
Stelle eine Parametergleichung der Schnittgeraden der Ebene durch die Punkte
A (6/4/7), B(9 /2/9), C(I/7 /0) mit der Ebene durch die Punkte P(2/2/ 4), Q(6/ 13/4),
R(I/3/7) auf.
24.
Stelle eine Parametergleichung der Schnittgeraden der Ebene mit den Achsenabschnitten a = b = c = 1 mit der Ebene durch die Punkte A(O/1/2), B(I/ -1/1), C(I/0/2) auf.
25.
Bestimme den Schnittpunkt der folgenden drei Ebenen:
a) 4x+3y+z-13=0,
2x-5y+3z-1=0,
7x-y-2z+1=0,
b) 6x-2y-z-l
= 0, 3x-5y+z+4
= 0, 2x-y-3z+14
=
und
o.
104
26. Stelle eine Parametergleichung
der Schnittgeraden
Ebene durch die Punkte A(2/3/1),
B(-3/0/2),
der Ebene x - 2Y
auf.
+z =
0 mit der
12. a)r=(-D+t(-lD'
C(1/2/3)
27. Stelle eine Parametergleichung
der folgenden Ebene auf:
a).2x-3y+4z+5
= 0,
b) 2x-y+z-4
= O.
b) r=
28. Gegeben sind vier Punkte
A (4/0/-3),
B (5/2/0), C (0/3/-3),
D (6/-3/3).
Stelle
die Koordinatengleichungen
der Ebenen auf, die durch A und B gehen, und von denen
C und D gleiche Abstände haben.
29. Gegeben sind vier Punkte A, B, C, D. Stelle die Koordinatengleichungen
der Ebenen
auf, die durch D gehen und von A, Bund C gleiche Abstände haben (4 Lösungen!).
a) A (-2/4/5),
B(-2/0/3),
C(2/4/7), D(6/8/2),
b) A(5/-1/3),
B(-I/I/-3),
C(I/-5/5),
D(O/O/O).
30. Welche Ebenen schneiden
das durch die Ebenen x = 0, y = 0 und x
Prisma in einem gleichseitigen Dreieck?
31. Berechne
das Volumen des Tetraeders,
das durch die Ebenen
x - y - 1 = 0, x - z - 1 = 0 und z - 2 = 0 begrenzt ist.
32. Gegeben sind die Punkte
P(-3/5/8),
a) Stelle eine Parametergleichung
A(-5/0/2),
derjenigen
B(2/7/9),
+y =
x+y+z-l
1 begrenzte
=
0,
Transversalen
dieser Transversalen
C(-6/7/-2),
stimme P auf A Bund Q auf CD, so daß die Transversale
ist. Wie lang ist PQ ?
PQ parallel zum Vektor (~)
21.
r=
22.
r=
(D (D (D,
+ u
+v
x-2y+2z+2
e) Gerade ist parallel
der Ko-
Ergebnisse
3.
:
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ja.
+ ~+~
=
0,
b) x+8y-4z+10
c) 4x+2y+3z-12=0,
=
t
t
r=
(D + D.
t (-
25. a) 5 (1/2/3),
b) 5 (2/3/5).
+tCD·
O.
32. a) r=
(D (-D'
33. P(-4/2/4),
34. G(-7/10/9),
2y-4z+12=0,
= O.
4z+3x-12=0.
b) r=(D+u(_D+v(!)-
28. 3x-3y+z-9
= 0, 5x+2y-3z-29
= O.
29. a) x-2y-2z+14
= 0, 4x-5y+z+14
= 0, 2x-y+2z-8
=
x+ y-2z-10
= 0,
b) 5x-9y-8z
= 0, 4y+3z = 0, 5x-3y-6z
= 0, y+2z = O.
30. x+y±z+a
= O.
31. V= 6 [Ecken A(0/-1/2),
B(3/-4/2),
C(3/2/2), D(I/0/0)].
= 1.
A nein, B ja.
A ja, B nein.
5x+4y+7z-35
= O.
3x-5y-4z-19
= O.
a=4, b=-6,
c=3; Spuren 3x-2y-12=0,
9.
11. 5x+4y+3
= 0, 6y+5z-3
= 0, 2z-3x-3
zur Ebene.
b) 5(-12/2/20).
27. a) r=(=D+u(J)+v(D,
b) x+2y-3z-6=0,
= O.
(D + (i) .
(!) + (!)-
26. r=O)
1. a) 3x+5y+4z-6=0,
d) 5y-2z-30
= O.
2. a) 12x+3y+z-36
= O.
23. r=G)+t(-D.
24.
die aus einem Punkt P(a/b/c) durch Permutation
liegen auf einem Kreis im Raum.
hervorgehen,
y+6z-11
2
wird.
ordinaten
(=D,
+ t
19. 5(0/1/2).
20. a) 5(-12/8/-15),
D(6/4/10). Be-
34.* Gegeben sind die Punkte A(-11/6/7),
B(7/24/16), C(-11/4/21),
D(7/13/3),
E(-11/20/9),
F(7/8/3). Bestimme G auf AB und H auf CD, so daß die Transversale GH der Geraden AB und CD von der Geraden EF geschnitten und halbiert
35.* Beweise: Alle Punkte,
(1l)
14. 2x+3y+4z-6
= O.
15. Ja.
16. Auf der gegebenen Ebene erhält man 3 Punkte, indem man zuerst u = 0, v = 0, dann
u = O,v = 1 und schließlich u = 1 und v = 0 setzt: A(7 / - 4/2), B(4/ - 3/3), C(6/ 1/3).
Nun zeigt man, daß diese 3 Punkte auf der Ebene von Aufgabe 15 liegen (einfacheres
Verfahren siehe § 12, Abschnitt 5).
17. a) 5(-6/13/16),
b) 5(1/2/-5),
c) 5(8/7/-11).
18. a) 5(1/-3/-2),
b) 5(1/0/2),
c) 5(1/-2/-3),
und ihre
Länge zwischen den Geraden.
B(6/-3/-1),
13. r=
x+12z-7=0,
d) Gerade liegt in Ebene,
C(2/4/0), D(4/0/4).
der Geraden AB und
CD auf, die durch P geht. b) Bestimme die Endpunkte
33. Gegeben sind die Punkte A(-6/3/5),
105
§ 7. Die Gleichung der Ebene
§ 7. Die Gleichung der Ebene
35.
+ t
b) 5 (3/2/2),
Q(2/5/6), PQ
H(9/14/1).
Alle diese Punkte
=
T(-1/4/6),
5T = 6.
7.
liegen auf der Ebene
und haben vom Ursprung
o.
mit der Gleichung
den gleichen Abstand
x + y + z = a+ b + c
Va2 + b2 + c2•
110
§ 8. Das skalare Produkt zweier Vektoren
§ 8. Das skalare Produkt zweier Vektoren
Beispiel 3: Stelle eine Formel auf für die Zerlegung eines Vektors b in eine zu
einem Vektor
parallele und eine zu
normale Komponente! Für die skalare
Komponente von b in der Richtung von
erhält man
a
a
a
Aufgaben zn § 8
Berechne
(job
(u+ b)· (c- d)
a
Oif =
für die Projektion
von
von
s; = b
a
Ti auf
b in
der Richtung von
=
u· b. u = u· b a
e
a a
= Ti-Ti;;= Ti _
Die verlangte Zerlegung ist also
b
-
= OB'
+ B'B
----+
a
a
a)
u·b s.
-
-
a2
a2
.
Beispiel 4: Beweise, daß sich die drei Höhen eines Dreiecks in einem einzigen
Punkt schneiden.
a = BC,
Im Dreieck ABC (Fig. 6) führen wir die Vektoren
u = HA
ein. Der Punkt H liege so, daß
also ist
a·u = 0 und Ti·v= o. Wir
auf
-+-
v
also
a und v = HB
w = HC
zeigen, daß dann
Es ist
=
-+-
-+-
w-a,
Durch Addition dieser Gleichungen erhält man
+ Ti·w
0,
-
-+-
c·w
und
u=(=D,
b)
normal. Berechne a und b.
u und
den Grundvektoren:
u=C~D·
Ti = CA, c = AB
auf Ti normal steht,
auf c normal steht:
V2
e;:
5. Bestimme die Komponenten des Ortsvektors, der die Länge 2
hat, mit
den
Winkel 60°, mit
den Winkel 135° und mit ~ einen spitzen Winkel einschließt.
e;
6.
Beweise:
(u· b)2 =1=u2 b2•
7. Berechne den Zwischenwinkel folgender Vektoren:
a)
(-!) und (-D'
b)
(-D (~D.
und
-
-->-
8. Berechne den Zwischenwinkel von AB und CD :
a) A(5/7/3),
B(-3/3/4),
C(2/-3/6),
D(3/-1/4),
b) A(0/3/6),
B(I/-4/5),
C(7/9/-7),
D(4/6/-4).
a:
T
= (~)+ (i) ,
t
b: T
= (~)+ (-i),
t
c:
T
= (~)+
t (_:).
10. Berechne die Winkel des Dreiecks mit den Ecken A,B,C:
a) A(2/-2),
B(4/2),
C(-2/S),
b) A(-1/3f7),
B(-5/4/3),
C(6/-5/-4),
c) A(2/1/-3),
B(-3/0/1),
C(7/-1/-1).
C (-2/-6),
-
0,
+ Ti = - c
G) (-;D
11. Berechne die Winkel des Vierecks mit den Ecken A (9/8), B (-4/5),
D (6/- 8).
also
also wegen (i
steht auf den Vektoren
9. Berechne die Winkel des Dreiecks mit den folgenden Seitengeraden:
a·u = (i'(w+Ti) = a·w + (i. Ti = 0,
Ti·v = Ti·(w-a)= Ti·w-Ti·a
O.
a·w
(u- b)' (c+ 1).
4. Ein Ortsvektor schließt ~it ~ den Winkel 60°, mit ~ den Winkel 45° ein. Welchen
Winkel schließt er mit ~ ein ?
a2
u·b a + (-b - -U.b)a
b;;) = -
= b;; + (b -
G)
und
3. Berechne die Zwischenwinkel zwischen dem Vektor
a2'
die Normalebene zu
B'B
-
a
2. Der Vektor
a (Fig.I)
u=G), b=(-!), c=(=i), d=(-i).
1. Gegeben sind die Vektoren
ba=--,
für die vektorielle Komponente
III
12. Bestimme die Komponenten der Projektion des Vektors AB auf die Gerade des
-->Vektors CD:
a) A(-7/-5),
B(0/-4),
C(10/1), D(-6/13),
b) A(I/-2/3),
B(5/-8/1),
C(2/4/3),
D(-1/9/1).
0,
was zu beweisen war.
A
13. Berechne die vektorielle und skalare Komponente von
a)u=(-D' b=(-D'
Fig.6
b)u=(_D,
b in
der Richtung von
u:
b=(~D·
14. Beweise, daß die Winkelhalbierenden zweier Nebenwinkel normal aufeinander stehen
(unter Verwendung des skalaren Produkts).
15. Beweise, daß im Rhombus die Diagonalen normal aufeinander stehen (mit Hilfe des
skalaren Produkts).
8
c
16. Beweise: Im Parallelogramm ist die Summe der Quadrate über den Seiten gleich derjenigen der Quadrate über den Diagonalen (mit Hilfe des skalaren Produkts).
§ 8. Das skalare Produkt
112
zweier Vektoren
§ 8. Das skalare Produkt
17. Beweise, daß die 4 Punkte A,B,C,D in dieser Reihenfolge ein Rechteck bilden:
a) A (11/-1/4), B (6/- 4/- 3), C (4/0/-1),
D (9/3/- 2),
b) A(7/6/3),
B(4/10fl),
C(-2/6/2),
D(I/2/4).
C
18. Zeige,daßdiePunkteA(0/11/7),
B(10/21/2),
C(20/10/0), D(10/0/5), E(5/13/21),
F (15/23/16), G (25/12/14), H (15/2/19) die Ecken eines Würfels bilden.
A
19. In Fig. 7 liegt A auf der positiven x-Achse, B auf der positiven z-Achse und C in der
yz-Ebene, so daß AB um 30° und BC um 45° gegen die Horizontale geneigt ist.
Bestimme<):: ABC.
20. Gegeben sind die Punkte A (- 2/3/ - 2), B (- 6/ -1/1).
x-Achse gilt<):: A PB = 90° ?
Für welche Punkte P der
+t (
0.
22. Gegeben sind die Punkte A (2/-2/0),
der y-Achse, so daß<):: PAB = 45°.
B (0/-1/2).
~).
-1
Gesucht sind die Punkte P auf
23. Berechne den Zwischenwinkel von ä und b, wenn (ä
a = 2b cF 0 ist!
+ b) . (ä + 3,5 b)
= 0 und
24. Welche Bedingung müssen zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ä und
erfüllen, damit eine reelle Zahl t existiert, für die I ä t b I = 1 ist?
+
b
Hinweis: Hier können auch die folgendenAufgaben von§ 12gelöstwerden: S. 169,Nr. 10,11,12,
'13, 15 und S. 170, Nr. 16.
1. -13;
=
10. a) a
b) a
c) a
=
18,4°,
a
66,4°,
H.
a
12.
a)(_~),
Fig.l0
ß=
=
116,6°, Y
45,0°.
ß=
92,7°, Y
=
114,3°, /5 = 86,6°.
b)(-D·
(-!),
13. a) ba = 6, bli=
14. Sind a-
=
=
-OA und -b
b) ba = -10,
st: oE =
+ b, oE = - a+ b,
(ä + b) . (- ä + b) = b2 - ä2 =
b) a
=
103,3°,
ß=
22,7°, Y
=
72,P.
= ä, AD = b (Fig. 9), ferner
also
(~).
_
AC2+BD2
6. (ä· b)2 = (ab cosv)" = a2b2eos2y, aber ä2 b2 = a2b2.
= (ä
17. Man zeigt, daß AB
7. a) 115,3°, b) 112,6°.
z
a
=
b, so ist
BD
=
= ä
+ b,
BD
=
b-
_
+ b)2 + (b -
= DC
ä)2
=
und AB . AD
ä,
_
_
c .•.
0
~
Y
b
<,
<,
///8
<,
/
/
0
Fig.7
----+
=
0 ist.
----+
----+
---+
AD=EH,
----+---+
AB . AD = AB . AE = AD . AE =
-,.•.
/
/
/
/
<,
.•.-,
~
a
A
AB=DC=EF=HG,
AB = AD = AE = 15.
E
19. 110,7°.
20. xl =-1, x2 =-7.
21. PI (1/2/3), P2(-11/-10/15).
12
22. YI = 0, Y2 = - 7""'
23. 146,4°.
Fig.8
_
2ä2+2b2 =AB2+ BC2
18. Man zeigt, daß
c
x
=
ä+b,
O.
-+'
-+
.
16. Ist AB
= a,
AD
= -b (F'ig. 10), so ist
AC
5.
- so ist
.
a,
b-ä,
2
AC' BD = (ä + b) . (b - ä) = b - ä2 = b2- a2 = O.
also
131,8°,
= -
= Ci
AC
=
(-D·
bli=
-OB (Fig.8 ) Einhei
I
eitsve ktoren, un d iist -OC
on
15. Ist AB
=
a
56,3°, ß = 90°,·y = 33,7°,
84,8°, ß = 74,1°, Y = 21,2°,
113,8°, ß = 30,8°; y = 35,3°.
=
=
=
-15.
4, b = - 5.
3. a) a = 48,2°, ß = 109,5°, Y
4. ßI = 60°, ß2 = 120°.
2.
8
~
8. a) 131,8°, b) 66,2°.
also
Ergebnisse
l><7
Fig.9
9. a
21. Gegeben sind die PunkteA (- 2/2/0), B (-1/0/2) und die Gerade T = (~)
Gesucht sind die Punkte P auf dieser Geraden, so daß <)::PA B = 45
4
113
zweier Vektoren
24. a siny ~ 1 (wobei y der Zwischenwinkel von ä und bist).
0,
_
_
+ CD2+DA
2.
122
§ 9. Zueinander normale Geraden und Ebenen
§ 9. Zueinander normale Geraden und Ebenen
jenige der zweiten positiv; deshalb liegt 0 auf der negativen Seite der ersten
Ebene und auf der positiven Seite der zweiten Ebene. Also ist die Winkelhalbie_
rende Ir gesucht. Ihre Gleichung lautet
x-2y+2z-3
x+4y-8z+5
9
3
also
+
3(x - 2y 2z - 3)
3x-6y+6z-9
4x-2y-2z-4
2xyz-2
=
b) P(2/-5/8),
s : x-2y+3z-8=0.
13. Eine Pyramide hat als Grundfläche das Dreieck mit den Ecken A (4/ -1/3) B (2/ 1/ 5)
C(-I/-2/0)
und die Spitze 5(0/-5/5).
Berechne die Koordinaten des Spiegelpunktes von 5 bezüglich der Ebene ABC.
r=G)+tG)
-x-4y+8z-5,
0,
O.
anderEbenex-2y+z-3
= 0 hervorgeht.
15. Ein Lichtstrahl, der von P(4/5/-1)
nach Q(-7/8/-9)
geht, wird dazwischen
einmal an der Ebene x + 3y - 2 z - 7 = 0 reflektiert. Bestimme den Reflexionspunkt.
16. Ein vonA(2/- 4/6) ausgehender Lichtstrahl wird an der Ebene 4x-3y-z-24
= 0
im Punkt B (2/- 6/ z) reflektiert. In welchem Punkt schneidet der reflektierte Strahl
die zx-Ebene?
Aufgaben zu § 9
17. Im Punkt A (3/-5/3)
soll ein von P(-I/-3/7)
kommender Lichtstrahl nach
Q (- 5/3/ -1) reflektiert werden. Wie muß die Normale des Spiegelsgerichtet werden?
I
1. Stelle die Koordinatengleichung der Ebene auf, die durch den Punkt P(2/2/und zur Ebene x - 2y - 3 z = 0 parallel ist.
2) geht
2. Stelle die Koordinatengleichung der Ebene auf, die durch den Punkt P (2/- 3/ -1)
geht und zum Vektor -; = (
-!)
normal steht.
3. Stelle die Koordinatengleichung der Normalebene durch P(-6/10/16)
r =
s : x+4y-3z+9=0,
14. Stelle eine Parametergleichung der Geraden auf, die durch Spiegelung der Geraden
= - (x + 4y - 8z + 5),
=
a) P(0/-5/5),
123
(D
+ t (-
D
auf.
zur Geraden
0-1
4. Welcher Punkt auf der Geraden r = (- 3) + t (
und Q (1/4/2) gleiche Abstände?
2
1) hat von den Punkten P(3 / 4/ 0)
2
18. Gegebensind zwei Ebenen 4x - 3y- z- 24 = 0 und x+ 3z- 6 = 0 und zwei Punkte
A (0/- 2/8), B (- 2/4/6). Gesucht sind die Reflexionspunkte des Lichtstrahls, der
von A nach B geht und dazwischen zuerst an der ersten, dann an der zweiten Ebene
reflektiert wird (man überzeuge sich zuerst, ob beide Punkte im gleichen Winkelraum der Ebenen liegen).
19. Ein durch P (1/ 11/2) gehender, parallel zur y-Achse nach links laufender Lichtstrahl
wird an der Kugel mit dem Zentrum im Ursprung und dem Radius 3 reflektiert. In
welchem Punkt und unter welchem Winkel schneidet der reflektierte Strahl die
zx-Ebene?
20. Gegeben ist der Punkt P (0/2/1), die Ebene mit den Achsenabschnitten a = - 2,
b = 1, c = 2 und die Gerade
r=
( -~)
+ t (~). Gesucht ist die Koordinatengleichung
5. Von einem gleichschenkligen Dreieck ist die Basis A (- 6/9/5) B (2/1/1) gegeben,
während die Spitze C auf der Geraden durch die Punkte P (- 3/11 /13) und Q (7/6/3)
liegt. Bestimme C.
der Ebene durch P, parallel zur gegebenen Geraden und normal zur gegebenen Ebene.
6. Das Dreieck A(-6/2/6)
B(2/2/2)
C(8/11/8) ist der Normalschnitt eines dreikantigen Prismas. Bestimme die ersten Spurpunkte seiner Kanten.
21. Von einem Quader ist die Kante A (- 8/11 / 11) B (0/15/17) gegeben, während man
von den andern von A ausgehenden Kanten A D und A E weiß, daß D auf der Geraden
durch die Punkte P(-10/0/17)
und Q(8/18/5) und E auf der Ebene mit den
Achsenabschnitten a = b = c = 11 liegt. Bestimme alle Ecken des Quaders.
7. Gegeben sind vier Punkte A(I/I/2),
B(-2/0/3),
C(3/-1/-2),
stimme den Punkt auf der Normalen durch A zur Ebene ABC,
gleiche Abstände hat.
D(0/3/3).
Beder von C und D
8. Stelle die Koordinatengleichung der Ebene auf, die durch die Punkte A und B geht
und normal zur Ebene e steht:
a) A (-1/2/0), B (1/1/2), s: x + 2y + 2z - 4 = 0,
b) A (2/3/7), B (- 1/2/ - 2), s : 5 x - 2Y + 4 z - 10 = O.
9. Gesucht ist die Projektion des Punktes P(3/ 1/-1) a) auf die Ebene x+2y+3z-30
b) auf die Ebene 3x+y+z20 = O.
= 0,
22. Oeaeben ist die Gerade durch die Punkte A (10/8/ - 8) und B (9/4/ - 7), die zu ihr
parallele Gerade durch C(0/4/2) und ein Punkt P(4/-8/-6).
Berechne die Koordinaten des Punktes, der von den beiden Geraden gleiche Abstände hat und dem
Punkt P am nächsten liegt.
23. Die Gerade g gehe durch die Punkte A (0/12/2), B ( - 3/6/4). Dazu sind die Punkte
C(1/4/4) und D (- 6/ - 5/1) gegeben. Gesucht ist eine Parametergleichung einer Geraden h durch D, so daß die kürzeste Transversale von g und h durch C geht.
11. Eine Pyramide hat die Spitze D (5/-4/10)
und als Grundfläche das Dreieck
A (- 2/ -1 / -1) B (2/1/0) C (- 3/6/ - 2). Gesucht ist der Punkt, der von C und D
gleiche Abstände hat und dessen Projektion auf die Grundfläche ihr Schwerpunkt ist.
24. Berechne den spitzen Winkel zwischen folgenden Ebenen:
a) 2x + 3y + 4z - 6 = 0 und 3x - 2y - z + 4 = 0,
b) x-2y+2z-8=0
und x+z+6=0,
c) x - 2Y + 3 z - 1 = 0 und 2 x + 3Y - z + 6 = 0
d) 2x - Y + 2z - 3 = 0 und x + y + z = 0,
e) 3x + 4y + 5z = 0 und Grundebene.
12. Gegeben ist eine Ebene e und ein Punkt P. Bestimme den Spiegelpunkt von P bezüglich s :
25. Stelle die Koordinatengleichungen der Ebenen auf, die durch die z-Achse gehen und
mit der Ebene 2 x + y z = 0 einen Winkel von 60 bilden.
10. Stelle eine Parametergleichung der Projektion der Geraden r = (_~) + t ( ~) auf
die Ebene x - 2Y+ z - 1 = 0 auf.
6
_ 5
Vs
0
124
§ 9. Zueinander
§ 9. Zueinander
normale Geraden und Ebenen
a = 2, b = 3, C = -1 steht normal
a' = -1, b' = 1 und c', Wie groß ist c' ?
26. Die Ebene mit den Achsenabschnitten
Ebene mit den Achsenabschnitten
27. Gegeben sind vier Punkte A (0/-10/-
6), B(2 /-11/-
Unter welchem Winkel sind die Ebenen
geneigt?
29. Berechne den Neigungswinkel
2x+3y+4z-6
= O.
8), C( - 4/ 1/7), D(5 /0 /-11).
ABC und AB D gegeneinander
der Dreiecke
28. Berechne den Winkel zwischen der xy-Ebene
A(O/O/O), B(a/-a/O),
C(a/a/a).
der Geraden
und
der Ebene
~)
-3
durch
die Punkte
gegenüber
der Ebene
1
30. Eine Pyramide im Raum hat als Grundfläche das Dreieck A (6/-1/2)
B (2/3/-4)
C (-1/0/1)
und die Spitze S (3/6/4). Unter welchem Winkel ist die Seitenkante A S
gegenüber
der Grundfläche
geneigt?
11
A (9/- 2), B (6/5), C (- 4/-
31. Berechne die Abstände der Punkte
der Geraden 4x+3y-30
= O.
3) und D (0/0) von
C(8/6).
33. Berechne die Längen der Höhen der Dreiecke mit den folgenden Seitengeraden
a) a: x+7y+41
= 0, b: 4x+3y-11
= 0, c: 2x-y+7
= 0,
b) a: 3x+4y+4
= 0, b: x-y-1
= 0, c: 8x-y+34
= O.
A (10/-9/7)
der Punkte
35. Gegeben ist die Ebene 2x-y+2z-9
=
von der Ebene inklusive Fußpunkt,
der Ebene inklusive Fußpunkt.
und B (-8/7/0)
O. Bestimme
a,b,c:
von der Ebene
Gegeben ist das Tetraeder mit den Ecken A (3/2/3), B (-3/-6/1),
D (0/5/2). Berechne die Länge der von D ausgehenden Höhe.
38. Berechne den Abstand
achsen den Abschnitt
des Ursprungs
jI3
C (6/-2/0),
von der Ebene, die auf allen drei Koordinaten-
hat.
P (a / b / c) von der Ebene mit den Achsenabschnit-
ten a, b, c.
40.
Berechne
den Abstand
48. Stelle die Gleichungen
5x+ 12y-1 = 0 auf.
49. Stelle die Gleichungen
a) x-2y+2z-9
=
b) x+4y-8z-1
=
c) x-2y+2z-3
=
der Winkelhalbierenden
der winkelhalbierenden
0 und x+4y-8z-9
0 und 2x-5y-14z+2
0 und Grundebene.
der Ebene, die durch die Gerade
mal steht, auf.
in der Grundebene
der Parallelen
im Abstand
44.
zur Geraden
6 x - 8y - 13 = 0 im Abstand
4,5
zur Ebene 2x+2y+z-8
=0
der Parallelebenen
Punkte
auf der
a) A(O/O), B(-4/-2),
die von Bund
C(-12/5),
C gleiche Abstände
b) A(6/-3),
B(-1/-5),
mit den Seitengeraden
= 0 auf.
2 z = 0 und
+
t (~)
geht und zur ersten
Ebene nor-
0
r = (_ ~)
=
t
+ 4y -
haben
12 = 0 und von
von
den
Ebenen
0 gleiche Abstände?
B(0/-2/1),
C(I/6/6),
D(-5/-3/-12).
a) Unter welchem Winkel sind die Ebenen der Dreiecke ABC und ABD gegeneinander geneigt? b ) Welche Punkte der Geraden CD haben von diesen Ebenen gleiche
Abstände?
auf der Normalen durch P(13/4/9) zur Ebene
haben von den Ebenen x-2y+2z+4
= 0 und 2x+3y-6z-5
stände?
haben:
C(5/5).
auf:
+y -
0 + (-1)i
A (4/-6/-3),
= 0 und
= 0,
0
Geraden
Ebenen
Ebenen der Ebene 2 x
(-~)
2x+ 2y + z+ 1 = 0 und 2x- y+ 2z-1
55. Gegeben sind die Punkte
4 auf!
Durch A lege man die Geraden,
folgender
+2
des Dreiecks mit den Ecken A (- 5/- 5),
der x-Achse gleiche Abstände?
Fig.9
43. Stelle die Koordinatengleichungen
r=
z
auf!
Ebenen
3 x - 4y
= 0,
53. Welche Punkte der Geraden y = x haben von der Geraden 3 x
41. Berechne den Abstand der parallelen Geraden g und h:
a) g: 3x+4y-12
= 0, h: 6x+8y-29
= O.
4
.4
b ) g:y=3x-5,
h:y=3x+10.
42. Stelle die Gleichungen
der Geraden
51. Stelle die Gleichungen der Winkelhalbierenden
des Dreiecks
a: 3x-4y-29
= 0, b: 3x+4y-22
= 0, c: 12x+5y-11
D von der Ebene ABC in Fig. 9.
des Punktes
r = 17.
Sind in der Grundebene P1(rl) und P2(r2) zwei Punkte, ist g eine Gerade
mit der Hessesehen Normalform H(T) = 0, und ist S der Schnittpunkt
von g mit der
Geraden PlP2, so ist (PlP2S) = H(rl):
H(r2)·
56. Welche Punkte
39. Berechne den Abstand des Punktes
b) A (7/11), M(0/-12),
M
46. Durch A lege man die Geraden, deren Abstände von Bund C sich wie m: n verhalten:
a)A(-1/0),
B(6/3), C(1/-5),
m:n=2:3,
b)A(-2/0),
B(5/4), C(1/-3),
m:n=3:1,
c)A(4/5),
B(-2/1),
C(12/-3),
m:n=3:4.
54. Welche
36. Berechne den Abstand des Punktes P (6/1/ - 2) von der Ebene durch die drei Punkte
A (3/2/1), B (-1/-1/4),
C (-5/0/-5).
37
r = 5,
von A an den Kreis mit dem Zentrum
52. Stelle die Gleichungen der winkelhalbierenden
a) den Abstand des Ursprungs
des Punktes
P (6/0/12) von
b) den Abstand
und dem Radius r:
a) A (-2/3),
M(-I/-4),
50. Stelle die Gleichungen derWinkelhalbierenden
B(-5/10),
C(15/-5) auf.
32. Berechne die Längen der Höhen folgender Dreiecke ABC:
a) A(-3/7),
B(-5/-7),
C(7/2),
b) A(-3/4),
B(-4/-3),
34. Berechne die Abstände
2x-2y+z+6
= O.
45. Gesucht sind die Gleichungen der Tangenten
47. Beweise:
+ t (-~)
r=(
auf der
125
normale Geraden und Ebenen
x
12x+2y+5z
=
= 0
0 gleiche Ab-
l26
§ 9. Zueinander
57. Gegeben sind die Höhenfußpunkte
seine Ecken
dreiecks).
(Wink:
die Höhen
§ 9. Zueinander
normale Geraden und Ebenen
D (0/0), E (3/0), F(O/ 4) eines Dreiecks. Bestimme
sind die Winkelhalbierenden
des Höhenfußpunkrg,
58. Eine Pyramide
hat die Grundfläche A (-12/0/-2)
B (12/-12/-2)
und die Spitze 5 ( - 4/4/6). Berechne die Koordinaten
des Zentrums
ihrer Inkugel.
C(0/12/-2)
60. Gegeben ist die Ebene
mit der Gleichung z = ax+ßy+y.
Unter ihren "Höhenlinien» verstehen wir die Projektionen
der auf ihr liegenden horizontalen
Geraden
mit ganzzahligen Höhen z auf die Grundebene.
a) In welchem Abstand folgen sich
die Höhenlinien,
b) in welcher Richtung nehmen die zugehörigen Höhen zu?
61. Welche Punkte der Ebene 2x - y + 4z - 105 = 0 haben von allen drei Koordinatenebenen gleiche Abstände?
62. Gegeben sind die drei Geraden
63. Berechne
gleichung
den Abstand
r
=
der Punkte auf der dritten Geraden, die von den ersten beiden
des Punktes
(D {-D·
P(2/I/I)
von der Geraden
+
64. Berechne den Abstand des Punktes
A (0/1/11) und B (9/ - 5/5) geht.
65. Berechne den Flächeninhalt
C(8/5/5).
P(1/2/3) von der Geraden, die durch die Punkte
des Dreiecks mit den Ecken A (2/1/2), B ( - 4/
1. x-2y-3z-4=0.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
x-2y+4z-4
= O.
2x-y-2z+54
= O.
R (1/-4/0).
C(3/8/7).
Al (-9/8/0),
Bd1/4/O),
Cd4/19/0).
P(4/-4/6)
(Ebene ABC: 3x-5y+4z-6
8. a) 2x-2y+z-2
= 0, b) 2x+3y-z-6
9. a) P'(5/5/5),
b) P'(6/2/0).
= 0).
= O.
10. T=(!)+t(-D.
11. P ( - 4/3/9)
(Ebene ABC: 3x - y - 10z - 5 = 0).
12. a) P(2/3/-1),
b) P(-2/3/-4).
13. 8(2/3/-1).
G) + (~D·
15. R (-1/2/-1).
16. P (-4/0/-1).
t
-1/ -
3) und
(-D·
und auf der positiven
Seite der ersten Ebene
Seite der zweiten Ebene.
19. Q(9/0/18), a = 6,38°.
20. x-3y+7z-1
= O.
21. C (1/7/21), D (-7/3/15),
H (- 0,6/0,4/8,2).
22. Q (0/- 6/- 2).
E (-1,6/8,4/4,2),
F (6,4/12,4/10.2),
G (7,4/4.4/14,2),
23. T=(=D+t(lD·
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
Ergebnisse
14. T =
mit der Parameter-
=
18. P (4/- 4/4), Q (0/0/2); A und B liegen beide auf der negativen
und den Radius
59. Stelle die Koordinatengleichungen
der Ebenen auf, die durch A (4/2/1) und B(2/ 1/-1)
gehen und die Ebene x - 4Y + z - 8 = 0 unter 45 ° schneiden.
Berechne die Koordinaten
gleiche Abstände haben.
17. ;
127
normale Geraden und Ebenen
a) 78,6°, b) 45°, c) 60°,
3x-y=0,
x+3y=0.
c' = -6.
45° (Ebenen x-2y+2z-8
35,3°.
30,6°.
60,4°.
0; 1,8; 11; 6.
a) ha = 10, hb = 13,42, hc
a) ha = 10,61, hb = 10, hc
17; 8.
a) d = 3, F(2/-1/2),
b)
3.
3 (Ebene ABC:
d) 54,7°,
e) 45°.
= 0 und x+z+6
= 10,61, b) ha
= 13,42, b) ha
=
=
= 0).
5, hb
7, hb
=
=
6,71, hc = 10,61.
4,95, hc = 4,34.
d = 9, F(0/3/6).
2x- 3y+ 6z-18
= 0).
1.
2abc
Va2b2
+ ac +bc
2 2
2 2
•
1.
a) 0,5, b) 9.
3x-4y+16
= 0, 3x-4y-29
= O.
2x+2y+z-20
= 0, 2x+2y+z+4
= O.
a) 7x+8y = 0, 3x+16y = 0, b) 5x-3y-39
= 0, 3x+4y-6
= O.
a) 4x-3y+17=0,3x+4y-6=0,
b) 8x-15y+l09=0,15x+8y-193=0.
a) x+25y+l=0,
19x-17y+19=0,
b)5x+16y+l0=0,
13x+2y+26=0,
c) x = 4, x+6y-34
= O.
47. Sind dI, d2 die Abstände von PI bzw. P2 von g, so ist nach dem 2. Strahlensatz
P15 : P 25 = dl : d2• Liegen die Punkte auf der gleichen Seite (auf verschiedenen
Seiten) von g, so teilt 5 die Strecke P1P2 außen (innen), also ist (P1P25)
positiv
(negativ);
ferner haben H(TI) und H(T2) dasselbe Vorzeichen (verschiedene Vorzeichen), also ist wegen ± dl = H(TI) und ± d2 = H(T.) stets (PI P2 5) = H(~) : H(T2)·
48. 14x-112y+31
= 0, 64x+8y+21
= O.
49. a) x-5y+7z-9
= 0, 2x-y-z-18
= 0,
b) llx+5y-82z+1
= 0, x-35y-2z+11
= 0,
c) x-2y-z-3
= 0, x-2y+5z-3
= O.
50. wo: x-y=O,
wp: 2x+y=0,
wy: x+3y=0.
51. Wa: 9x+7y-31
= 0, wp: llx-3y-48
= 0, wy: 8y+7
52. 4x-y-z+2
= 0, 3y-3z-2
= O.
53. P (1/1), Q (6/6).
54. A (-7/16/4),
B(2,2/-2,4/-5,2).
55. a) 60
b) P (-1/3/0),
Q (7/15/24).
0,
=
O.
154
§ 11. Das vektorielle Produkt zweier Vektoren
§ 11. Das vektorielle Produkt zweier Vektoren
155
3. Berechne die Fläche des Dreiecks ABC:
a) A(-1/2),
B(3/4), C(5/-6),
b) A (- 7/8), B (- 5/- 3), C (7/ - 6),
c) A (ll / I), B (7/3), C (9/ 5).
4. Berechne den Flächeninhalt des Vierecks A (- 2/- 2) B (2/6) C (8/4) D (10/ - 4).
Fig.8
c
5. Bestimme den Schwerpunkt des Vierecks A (- 8/ I) B (- 4/- 3) C (4/ - 5) D (0/5).
a
3. Distributives Gesetz:
ax (b+c)
= (ax b) + (axc).
(14)
t: +
Beweis: Die x-Komponente der linken Seite ist [a",
c"], diejenige der
rechten Seite [a", b"]
[a", c"] ; sie sind also einander gleich (nach dem distributiven Gesetz des Flächenprodukts).
Analog für die y- und z-Komponente.
+
X
(c+J)
= (ax
c) + (bx c) + (ax
d.h. man darf (auch bei mehrgliedrigen
der gewöhnlichen Algebra.
d)
+ (bx
d),
Summen) «ausmultiplizieren»
(a+b)
(15)
wie in
(-
D (= D.
X
aufgespannten Parallelo-
8. Beweise, daß die Punkte A, B, C auf einer Geraden liegen:
a) A(-3/-7),
B(-6/5),
C(5/-39),
b) A(I/-1/2),
B(-3/-3/4),
C(3/0/1).
9. Berechne die Fläche des Dreiecks ABC:
a) A (1/-1/3),
B (2/1/3), C (4/1/- 3),
b) A(I/0/-3),
B(I/2/-I),
C(5/5/4),
c) A(-3/1/-4),
B(3/3/1),
C(9/7/4),
d) A(6/-5/5),
B(-2/7/-3),
C(2/-2/-I).
10. Stelle eine Parametergleichung der Geraden auf, die durch P (I / 0/ 3) geht und normal
zu den beiden Geraden
= (a+b) X c+ (a+b) X d = -ex (a+b) -dx
= - (c X a) - (c X b) - (d X a) - (d X b)
und
7. Berechne die Fläche des von den Vektoren (~) und (-;)
gramms.
.
3
3
4. Folgerung aus (13) und (14):
(a+b)
D.(= D
6. Berechne ( -
c)
2. Das assoziative Gesetz (a X b) X = s»: (b X
gilt nicht allgemein, denn die
linke Seite dieser Gleichung ist ein Vektor in der durch
und b bestimmten
Ebene (Fig. 8); analog ist die rechte Seite ein Vektor in der durch bund t bestimmten Ebene.
11.
v=
(D + D
t (-
und T =
(-
D + (D
t
steht.
Stelle die Koordinatengleichung der Ebene auf, die durch den Punkt P (2/ -1/ I) geht
und normal auf den Ebenen 3x+ 2y- z+ 4 = 0 und x+y+z3 = 0 steht.
12. Gegeben sind zwei Ebenen 2x-y+3z+4
= 0 und x+y-2z-3
= 0 und ein
Punkt P(2 / 0/ -I). Gesucht ist eine Parametergleichung der Geraden, die durch P geht
und zu beiden Ebenen parallel ist.
13.*Gegeben sind die Punkte A(-2/5/7),
B(6/13/3),
C(6/6/11),
D(-2/11/9),
E (12/4/16). Bestimme diejenigen Punkte auf der Geraden D E, die von den Geraden
AB und A C gleiche Abstände haben.
5. Für beliebige reelle Zahlen x und y gilt
xaxyb=xy(axb).
(16)
Beweis: Die x-Komponente der linken Seite ist [xa", yb"], diejenige der
rechten Seite xy [a", b"]; diese sind einander gleich nach (7). Analog für die
y- und z-Komponente.
14. Beweise: Liegen die drei Punkte Pl(Tl) , P2(T2),
(Tl X T2)
+ (T
2
X T3)
+ (T3 X Tl)
=
P3(T3) auf einer Geraden, so gilt
O.
Physikalische Beispiele für das vektorielle Produkt: Drehmoment aus Ortsvektor und Kraft; Geschwindigkeit aus Winkelgeschwindigkeit und Orts vektor .
15. Beweise: a) Die Summe der Vektoren, die zu den Seiten eines Dreiecks in der Dreiecksebene normal nach außen stehen und deren Längen gleich den entsprechenden Seiten
sind, ist der Nullvektor. b) Die Summe der Vektoren, die zu den Seitenflächen eines
Tetraeders normal nach außen stehen und dessen Längen gleich den entsprechenden
Seitenflächen sind, ist der Nullvektor.
Aufgaben zu § II
16. a) Beweise: (aX b)2 = a2 b2 - (a' b)2.
* b) Beweise daraus die Heronsche Formel für die Dreiecksfläche
1. Berechne folgende Determinanten:
a) 11 21,
b)
c) Isina SinßI
3 4
c
0
cosa cosß '
la
-bi,
F= Vs(s-a)(s-b)(s-c),
wobei s = +(a+b+c).
d) Isina C?sßI.
cosa smß
Ergebnisse
2. Löse nach der Cramerschen Regel auf:
a) 3x+ Y=61}
x+5y = 95
b) -x+
Y=8}
5x-2y = 5
c) 3x+7y-19
2xy-7
= 0 }
=0
1. a) -2,
b) bc, c) sin(a-ß),
d) -cos(a+ß).
2. a) x = 15, y = 16, b) x = 7, y = 15, c) x = 4, y = 1.
156
§ 11. Das vektorielle Produkt zweier Vektoren
157
3. a) 22, b) 63, c) 6.
4. 74.
5. S(-1,6/-0,2).
6. -21
und
§ 12. Das Spatprodukt
(-D.
1. Definition und Eigenschaften
7. 7.
8. a) [AB, AC] = 0,
b).m
9. a) 7, b) 6, c) 11, d) 28.
10. T =
Drei von einem Punkt
AC = O.
t
c]
= O.
T=(_D+t(-D.
13. P(0/10/10), Q(-6/13/7).
14. Die Punkte liegen dann und nur dann auf einer Geraden, wenn (T2
also
X
Ta) - (Tl
X T3) -
also
(T,
X
a, b, c Seitenvektoren,
a+ b+ c = 0, also
15. a) Sind
so ist
-
T,)X (Ta- T,) = 0
-+
(T2
T2)
(T2
X
T,)
X
T3)
+ (T
2
+ (Tl X T,) = 0,
+ (T3 X T,) = 0 .
die einen negativen
a.L
+
b.L+ c.L =
(-aa,
2)
+
(-bb,
2)
+
(-cc,
2)
1. Es gilt
(-aa,-b+-cb, + c,
und a.L' b.L' c.L sind die in der Aufgabe vorkommenden
a,
b) Sind
b,
bilden, so ist
c von
einer Ecke
- (ax b) - (bXc)= (b X a) -
(b Xc)
ausgehende
(cX a)+
+
(aX c)
+
2
2
(b-a)
X
= (00) = 0,
2)
Vektoren.
Kantenvektoren,
die ein Rechtssystem
[a, t, c] = [b, c, a] = [c, a, b] = - [c, t, a] = - [b, a, c] = - [a, c, b] .
(b Xc) - (ax c) - (b X a)
+
=
a2b2-a2b2cos2q:> =
a2
c
b)2.
Nun ist
s (s -c)
= --}
(c-} b + c) . --}(u-} b=
(s-b)(s-a)
+
[(a+b)2_(a-b)2]
= --}(a-b+c)'
="41
[(-a-
c) =
+
= --}(ab
--}(-a+b+c)
-b)2-(a-b)2]=T(ab-a'b),
1
[(a+b)2-
2(s-b)(s-a)
=
und
je nachdem y spitz
ein Rechtssystem,
im Falle eines stumpfen
(a X b) . = [a,
c].
c
Winkels y ein Linkssystem;
t.
b).
c2]
+ a'b),
=
+
[c2- (a-b)2]
-
-
also
F = --}
V2s(s-c)'
s-
a)
C'
b) Daraus folgt
F = --}[aX b[ = --}
V(ax b)2 = --}
Va2b2- (a' b)2 = --}
V(ab- a'b)(ab+
Ia X t I
c
r der Zwischenwinkel von c und a X t, so ist
(a X b) . c = F· cosy = ± V,
oder stumpf ist. Im Falle eines spitzen Winkels y bilden a, t, c
(ax a)
b2-(a.
V s(s-a)(s-b)(s-c).
(1)
Beweis: Durch zyklische Permutation
der Vektoren (d.h. durch Ersetzung
von
durch t, von b durch
und von
durch
geht ein Rechtssystem in ein
Rechtssystem
und ein Linkssystem in ein Linkssystem über, dagegen geht bei
Vertauschung zweier Vektoren ein Rechtssystem
in ein Linkssystem über und
umgekehrt.
2. Es gilt
[a, t, c] = (a X b) . C.
(2)
Beweis: Ist F =
(c-a)
=axa=O.
a) (ax b)2 = a2b2sin2q:>
= a2b2(1_ cos2q:»
c]
Gesetze
Umlauf des Dreiecks definieren,
=
c
c
a
also
16.
ausgehende, nicht-komplanare
Vektoren spannen einen
auf, der durch lauter Parallelogramme
begrenzt ist und
als räumliches Pendant zum (von zwei Vektoren aufgespannten)
Parallelogramm
aufgefaßt werden kann (Fig. 1). Der Fläche des Parallelogramms
entspricht das
Volumen V des Spats.
Definition: Unter dem Spatprodukt [a, t,
von drei Vektoren a, t, versteht
man das positive oder negative Volumen des von diesen Vektoren aufgespannten
Spats, je nachdem diese Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtsoder ein Linkssystem bilden.
Drei Vektoren 0" b, sind also dann und nur dann komplanar, wenn [0" b,
= 0 ist.
Somit ist z. B. auch [0" b, c] = 0, wenn zwei der drei Vektoren kollinear sind.
Spat (ein Parallelflach)
(Ü + (-D .
11. 3x-4y+z-11
12.
X
des Spatprodukts
Fig.l
also ist