NACHHOLKLAUSUR – 11.02.2014 STANDARD

NACHHOLKLAUSUR – 11.02.2014
STANDARD- UND ERGÄNZUNGSPROGRAMM
INFINITESIMALRECHNUNG I – HS2013
UNIVERSITÄT BASEL
PROF. DR. GIANLUCA CRIPPA
Hinweise:
Die Klausur umfasst 9 Aufgaben. Die ersten 6 Aufgaben sind für das Standardprogramm
gedacht, die letzten 3 (mit einem Stern gekennzeichnet) für das Ergänzungsprogramm.
Für jede Aufgabe erhalten Sie maximal 2 Punkte.
• Um die Kreditpunkte für das Standardprogramm zu erhalten, sind 6 Punkte erforderlich. Die Punkte können aber auch in den Aufgaben des Ergänzungsprogramms
erworben werden.
• Um die Kreditpunkte für das Standard- und das Ergänzungsprogramm zu erhalten,
sind 8 Punkte erforderlich. Dabei müssen mindestens 2 Punkte in den Aufgaben des
Ergänzungsprogramms erworben werden.
Bitte geben Sie nur das Aufgabenblatt mit Ihren Lösungen ab. Ihre Lösungen (Reinschrift)
schreiben Sie bitte ordentlich unter die entsprechenden Aufgaben in den dafür vorgesehenen
Bereich auf den ausgeteilten Blättern. Weitere Notizblätter bitte nicht abgeben (sie werden
bei der Korrektur nicht berücksichtigt). Benutzen Sie bitte einen Kugelschreiber (keinen
Bleistift).
Sie haben 90 Minuten Zeit, die Aufgaben zu bearbeiten. Der Gebrauch von Büchern, Notizen
sowie eines Taschenrechners ist untersagt. Als einziges Hilfsmittel dürfen Sie ein handgeschriebenes Blatt (A4, beidseitig beschrieben) mit Formeln mitbringen.
Füllen Sie bitte hier Ihre Angaben in Blockschrift ein:
Studierende/r
Matrikelnummer
Assistierende/r
2
2
2 A. Denz 2 E. Semenova 2 S. Spirito
Standardprogramm
Ergänzungsprogramm
Viel Erfolg!!
Aufgabe 1. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für jede natürliche Zahl n ≥ 2
gilt
n Y
1
1
= .
1−
k
n
k=2
Lösung.
Aufgabe 2. Berechnen Sie
2
1 n
lim 1 + 3
.
n→∞
n
Lösung.
Aufgabe 3. Untersuchen Sie die Reihe
+∞
X
nn
(2n)!
n=1
auf Konvergenz.
Lösung.
Aufgabe 4. Bestimmen Sie – falls existent – Infimum und Supremum der folgenden Menge,
und untersuchen Sie, ob die Menge ein Maximum bzw. Minimum besitzt:
−2x3 + x2 + 6x + 4
A= x∈R :
≥ −2 ∩ Q .
x3 − x
Lösung.
(Lösung Aufgabe 4.)
Aufgabe 5. Untersuchen Sie, ob die Funktion
 x
4 −1


x
f (x) =


log(4)
stetig ist.
Lösung.
x ∈ R \ {0}
x=0
Aufgabe 6. Berechnen Sie
i) die Ableitung der Funktion
f (x) =
sin(e−x )
;
+ log(x)
x2
ii) das Integral
Z
0
Lösung.
π
2
p
cos(x) sin(x) dx .
Aufgabe 7?. Betrachten Sie die Funktion gegeben durch

falls x ≥ 0
 x − a − 2b cos(x)
f (x) =

b sin(x) − x
falls x < 0
wobei a und b reelle Zahlen sind.
i) Bestimmen Sie a und b so, dass f stetig ist.
ii) Bestimmen Sie a und b so, dass f differenzierbar ist und die Ableitung f 0 stetig ist.
iii) Berechnen Sie das Integral
Z 1
f (x) dx
−1
wobei a und b die Werte aus ii) sind.
Lösung.
(Lösung Aufgabe 7?.)
Aufgabe 8?. Untersuchen Sie die Reihe
+∞
X
(n!)2
n=1
2n2
auf Konvergenz.
Tipp: Benutzen Sie das Quotienten-Kriterium.
Lösung.
(Lösung Aufgabe 8?.)
Aufgabe 9?. Sei f : R → R eine stetig differenzierbare Funktion (d.h., f 0 existiert und ist
stetig), so dass:
(1) Es gibt nur einen Punkt x0 mit f 0 (x0 ) = 0.
(2) Es gilt limx→+∞ f (x) = +∞ und limx→−∞ f (x) = −∞.
Beweisen Sie, dass x0 weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum ist.
Lösung.
Bitte lassen Sie die untenstehende Tabelle leer!
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7 ?
Aufgabe 8 ?
Aufgabe 9 ?
Standardprogramm:
bestanden
Ergänzungsprogramm:
bestanden
2
2
nicht bestanden
nicht bestanden
2
2