HS2014 UNIVERSIT¨AT BASEL Hinweise: Die Klausur umfasst 9

NACHHOLKLAUSUR – 13.02.2015
ANALYSIS I – HS2014
UNIVERSITÄT BASEL
PROF. DR. GIANLUCA CRIPPA
Hinweise:
Die Klausur umfasst 9 Aufgaben. Die ersten 6 Aufgaben sind für das Standardprogramm
gedacht, die letzten 3 (mit einem Stern gekennzeichnet) für das Ergänzungsprogramm.
Für jede Aufgabe erhalten Sie maximal 2 Punkte.
• Um die Kreditpunkte für das Standardprogramm zu erhalten, sind 6 Punkte erforderlich. Die Punkte können aber auch in den Aufgaben des Ergänzungsprogramms
erworben werden.
• Um die Kreditpunkte für das Standard- und das Ergänzungsprogramm zu erhalten,
sind 8 Punkte erforderlich. Dabei müssen mindestens 2 Punkte in den Aufgaben des
Ergänzungsprogramms erworben werden.
Bitte geben Sie nur das Aufgabenblatt mit Ihren Lösungen ab. Ihre Lösungen (Reinschrift)
schreiben Sie bitte ordentlich unter die entsprechenden Aufgaben in den dafür vorgesehenen
Bereich auf den ausgeteilten Blättern. Weitere Notizblätter bitte nicht abgeben (sie werden
bei der Korrektur nicht berücksichtigt). Benutzen Sie bitte einen Kugelschreiber (keinen
Bleistift).
Sie haben 90 Minuten Zeit, die Aufgaben zu bearbeiten. Der Gebrauch von Büchern, Notizen
sowie eines Taschenrechners ist untersagt. Als einziges Hilfsmittel dürfen Sie ein handgeschriebenes Blatt (A4, beidseitig beschrieben) mit Formeln mitbringen.
Füllen Sie bitte hier Ihre Angaben in Blockschrift ein:
Studierende/r
Matrikelnummer
Assistierende/r
2
2
2 A. Bohun 2 S. Iula 2 S. Mouzo 2 A. Schikorra
Standardprogramm
Ergänzungsprogramm
Viel Erfolg!!
Aufgabe 1. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für jede natürliche Zahl n ≥ 1
gilt
n
X
n+2
k(k + 1) = 2
.
3
k=1
Lösung.
Aufgabe 2. Berechnen Sie
n!(1 + n)n + (n − 1)!(1 + n)nn
.
n→+∞
n! nn
lim
Lösung.
Aufgabe 3. Untersuchen Sie die Reihe
∞ p
X
n2 + 1 − n
n=1
auf Konvergenz.
Lösung.
Aufgabe 4. Bestimmen Sie – falls existent – Infimum und Supremum der folgenden Menge,
und untersuchen Sie, ob die Menge ein Maximum bzw. Minimum besitzt:
|x − 1|
A = x ∈ R \ {−3} :
≤ 1 ∩ Q.
|x + 3|
Lösung.
Aufgabe 5. Untersuchen Sie, ob die Funktion

2
cos x − ex




sin2 x
f (x) =



 −3
2
stetig ist.
Lösung.
x ∈ R \ {0}
x=0
Aufgabe 6. Berechnen Sie die (ersten) Ableitungen der Funktionen:
p
x+2
3
f (x) = ln
,
g(x) = e2x sin ,
h(x) = (x − 1)(x2 + 2) .
cos x + 2
x
Lösung.
(Lösung Aufgabe 6.)
Aufgabe 7?. Betrachten Sie die Funktion gegeben durch

falls x ≥ 0
 (−x + a)ex + b(x2 + 1)
f (x) =

−a sin x − b cos x + 1
falls x < 0
wobei a und b reelle Zahlen sind.
i) Bestimmen Sie a und b so, dass f stetig ist.
ii) Bestimmen Sie a und b so, dass f differenzierbar ist und die Ableitung f 0 stetig ist.
Lösung.
(Lösung Aufgabe 7?.)
Aufgabe 8?. Untersuchen Sie die Reihe
+∞
X
n2 3n
√
4n n + 1
n=1
auf Konvergenz.
Lösung.
(Lösung Aufgabe 8?.)
Aufgabe 9?. Sei f : [0, +∞) → R eine stetige Funktion so, dass
lim f (x) = l ∈ R
x→+∞
gilt. Beweisen Sie, dass f gleichmässig stetig ist.
Lösung.
Bitte lassen Sie die untenstehende Tabelle leer!
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7 ?
Aufgabe 8 ?
Aufgabe 9 ?
Standardprogramm:
bestanden
Ergänzungsprogramm:
bestanden
2
2
nicht bestanden
nicht bestanden
2
2