PDF-Version - IAP TU

Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Technische Universität Darmstadt - Fachbereich Mathematik
Seminar zur Mathematik, SS 2004
Operatoralgebren und vollständig positive Operatoren“
”
Tensorprodukte in der Physik
Kedar S. Ranade∗
Betreuer: Prof. B. Kümmerer
Seminarvortrag: 05. Juni 2004
1
Klassische Systeme und Quantenmechanik
In diesem Abschnitt werden zunächst die Konzepte der klassischen Mechanik
und der Quantenmechanik gegenübergestellt. Die Formulierung erfolgt so,
daß sowohl klassische als auch Quantenmechanik als Spezialfälle einer einheitlichen mathematischen Struktur beschrieben werden können.1
1.1
Klassische Mechanik und Phasenraum
Die klassische Mechanik ist durch folgende Strukturen gekennzeichnet:
1. Einem physikalischen System wird ein Phasenraum Ω zugeordnet.
2. Physikalisch meßbaren Größe entsprechen Funktionen aus BC(Ω).
3. Der Zustand eines Systems wird durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß
auf Ω bestimmt.
∗
1
Homepage: http://prp0.prp.physik.tu-darmstadt.de/~ranade/
Nicht bekannte Ausdrücke entnehme man den Anhängen.
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 1/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Der Raum BC(Ω) bildet eine kommutative C ∗ -Algebra. Wählt man einen
Hilbertraum H derart, daß jedem Punkt ω ∈ Ω bijektiv ein Basisvektor
eω ∈ H einer Orthonormalbasis von H zugeordnet werden kann, so ist BC(Ω)
mittels der Abbildung
X
ψ : BC(Ω) → B(H),
ψ(f ) :=
f (ω) h · , eω i eω
(1)
ω∈Ω
isometrisch isomorph zur einer kommutativen C ∗ -Unteralgebra von B(H);
ist die Mächtigkeit von Ω endlich, d.h. |Ω| = n ∈ N, so kann man diese
Unteralgebra mit den n × n-Diagonalmatrizen identifizieren.
1.2
Quantenmechanik und Hilbertraum
Die Quantenmechanik beruht auf folgenden Grundlagen:
1. Einem physikalisches System wird ein C-Hilbertraum H zugeordnet.
2. Physikalisch meßbaren Größen, in der Quantenmechanik als Observable
bezeichnet, entsprechen selbstadjungierten2 Operatoren aus B(H).
3. Der Zustand eines Systems wird durch ein Funktional
ϕ ∈ S B(H) := {ϕ ∈ B(H)∗ | ϕ ≥ 0, ϕ(1I) = 1}
(2)
bestimmt.3 In der Sprache der Physik ordnet ein solcher Zustand einer
Observable den Erwartungswert einer Messung dieser Observablen zu.
Die den Observablen zugeordneten selbstadjungierten Operatoren erzeugen
die nicht-kommutative C ∗ -Algebra B(H).
1.3
Vergleich der Modelle, vereinfachende Annahmen
Die in den Abschnitten (1.1) und (1.2) aufgestellte Forderung, daß Observable
nur beschränkten Funktionen bzw. Operatoren entsprechen, ist stark
vereinfachend. Physikalische Größen wie Ort, Impuls und Energie sind im
allgemeinen unbeschränkt.
Unter den genannten Einschränkungen kann man also sowohl klassische
als auch quantenmechanische Systeme durch C ∗ -Unteralgebren von B(H)
beschreiben; im ersteren Fall ist diese eine kommutative C ∗ -Unteralgebra
von B(H), im letzteren ganz B(H).
2
3
Für
lineare Operatoren istdies äquivalent zu hermitesch.
beschränkte
∗
S B(H) = ϕ ∈ B(H) | ϕ ≥ 0, kϕk = 1 wegen ϕ ≥ 0 ⇔ kϕk = ϕ(1I) in C ∗ -Algebren
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 2/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Insbesondere heißt das, daß ein quantenmechanisches System genau dann
klassisch beschrieben werden kann, wenn man nur physikalische Größen
betrachtet, für die die zugehörigen Operatoren kommutieren.
Im weiteren Text werden vereinfachend meist Hilberträume mit endlicher
Dimension n ∈ N betrachtet. Der einfachste nichttriviale Fall ist hierbei
n = 2. Ein solches System bezeichnet man in der Quanteninformationstheorie
als Qubit; der Prototyp ist ein Teilchen mit Spin 1/2.
1.4
Zustände und Dichtematrizen
Ist dim H = n, so entspricht jedes Funktional ϕ ∈ B(H)∗ einer n × n-Matrix:
ϕ ∈ B(H)∗ ⇔ ∃! ρ ∈ Mn (C) : ϕ(A) = Spur(ρA) ∀A ∈ B(H)
(3)
Für das Funktional ϕ und die Matrix ρ gelten die Zusammenhänge
ϕ = ϕ ∗ ⇔ ρ = ρ∗ ,
ϕ ≥ 0 ⇔ ρ ≥ 0,
kϕk = Spur |ρ|,
(4)
so daß folgende isometrische Isomorphien bestehen:
B(H)∗ ∼
= Mn (C) und S B(H) ∼
= {ρ ∈ Mn (C)| ρ ≥ 0, Spur ρ = 1} . (5)
Die einem Zustand ϕ zugeordnete Matrix ρ heißt Dichtematrix 4 und man
spricht sehr oft auch vom Zustand ρ.
Im Fall unendlichdimensionaler Hilberträume definiert jeder Spurklasseoperator ρ ∈ T (H) ein Funktional auf B(H); die Umkehrung gilt jedoch im
allgemeinen nicht.
1.5
Reine und gemischte Zustände
Die Menge der Zustände S B(H) ist schwach-∗-kompakt und konvex. Ist
ein Zustand ϕ extremal, d.h.
ϕ = λϕ1 + (1 − λ)ϕ2 , ϕ1 , ϕ2 ∈ S B(H) , λ ∈ (0; 1) ⇒ ϕ1 = ϕ2 = ϕ, (6)
so wird er als reiner Zustand, andernfalls als gemischter Zustand bezeichnet.
Letztere ergeben sich dem Satz von Krein-Milman als abgeschlossene konvexe
Hülle der reinen Zustände.5
4
synonym Dichteoperator, statistische Matrix oder statistischer Operator
Die Überlegung gilt auch im klassischen Fall. Die reinen Zustände sind hier die Punktmaße, die einem genau festgelegten Phasenraumpunkt entsprechen.
5
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 3/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Ein Zustand ϕ ist genau dann rein, wenn die ihm zugeordnete Dichtematrix ρ
eine (notwendig eindimensionale) Projektion ist, d.h.
ϕ ist reiner Zustand ⇔ ∃Ψ ∈ H, kΨk = 1 : ρ = h · , Ψi Ψ.
(7)
Der Zustandsvektor Ψ ist bis auf eine Phase eindeutig; umgekehrt ist jeder
Einheitsvektor aus H Zustandsvektor eines reinen Zustands.
2
Zusammengesetzte Systeme
In diesem Abschnitt sollen physikalische Systeme betrachtet werden, die
aus mehreren Untersystemen aufgebaut sind. Der Einfachheit halber werden
nur bipartite Systeme, d.h. Systeme, die aus zwei Untersystemen A und B
zusammengesetzt sind, betrachtet.
2.1
Motivation des Tensorproduktes
Seien zwei (klassische oder quantenmechanische) Systeme mit den Hilberträumen HA und HB gegeben und deren Zustände durch Dichtematrizen ρA
und ρB festgelegt. Es erfolgen an beiden Sytemen unabhängig Messungen,
die durch Projektionen PA und PB charakterisiert seien.
Besteht zwischen den Systemen keine Wechselwirkung, so erwartet man,
daß die durch die Projektionen definierten Ereignisse EA und EB statistisch
unabhängig sind, d.h. daß für die Wahrscheinlichkeiten gilt:
P (EA ∧ EB ) = P (EA ) · P (EB ) = Spur ρA PA · Spur ρB PB
(8)
Für zwei selbstadjungierte Operatoren mit ihren Spektralzerlegungen
X
X
A=
ai PA,i ∈ B(HA )
und
B=
bj PB,j ∈ B(HB )
i∈I
(9)
j∈J
ist der Erwartungswert der Produktes beider Meßergebnisse aufgrund der
statistischen Unabhängigkeit der Messungen das Produkt der Erwartungswerte der Einzelmessungen und bestimmt sich damit zu
hABi = hAi · hBi = Spur ρA A · Spur ρB B .
(10)
Für die zusammengesetzte Observable AB für das Gesamtsystems gilt also
AB ∈ Bil(B(HA )∗ , B(HB )∗ ) und wegen B(H)∗ ∼
= T (H) für dim H < ∞ ist
AB eine Bilinearform auf T (HA ) × T (HB ) und somit
AB := A ⊗ B ∈ B(HA ) ⊗ B(HB ) = B(HA ⊗ HB )
(11)
Die Algebra der Operatoren des zusammengesetzten Systems ist also durch
das Tensorprodukt B(HA ⊗HB ) gegeben.
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 4/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
2.2
Zustände im zusammengesetzten System
Seien A ⊆ B(HA ) und B ⊆ B(HB ) die Algebren der Operatoren der Untersysteme A und B. Für zwei beliebige reine Zustände ϕA und ϕB in den
∗
Untersystemen ist auch das Tensorprodukt ϕA ⊗ ϕB ∈ A∗ ⊗ B∗ ∼
= (A ⊗ B)
ein reiner Zustand. Konvexkombinationen von Zuständen der Form
X
X
ϕ=
pj (ϕA,j ⊗ ϕB,j ) ,
pj ≥ 0 ∀j ∈ J,
pj = 1,
(12)
j∈J
j∈J
sind dann ebenfalls Zustände im Produktraum. Die so definierten Zustände
nennt man separabel 6 .
Ist eine der Operatoralgebren (o.B.d.A. A) kommutativ, so gibt es eine
Orthonormalbasis {e
positive Operator A ∈ A
Pi | i ∈ I} von HA , so daß jeder
+
in der Form A =
i∈I ai h · , ei i ei mit ai ∈ R0 ∀i ∈ I dargestellt werden
kann; für einen Zustand ϕ ∈ S(A ⊗ B) und i ∈ I definiert man dann:
ϕA,i ∈ S(HA )
ϕB,i ∈ S(HB )
ϕA,i (A) := Spur(A h · , ei i ei ) = ai
ϕB,i (B) := p−1
i ϕ(h · , ei i ei ⊗ B)
pi := ϕ(h · , ei i ei ⊗ 1I)
(13)
(14)
(15)
Unter Verwendung dieser Definitionen folgt nach (12), daß alle Zustände in
der Tensorproduktalgebra separabel sind, falls mindestens eine der Operatoralgebren der Untersysteme kommutativ ist.
3
Verschränkte Zustände
In diesem Abschnitt werden nicht separable Zustände betrachtet; diese
Zustände nennt man verschränkt 7 . Die Verschränkung ist für viele Effekte
verantwortlich, die in der klassischen Physik nicht vorkommen.
3.1
Existenz verschränkter Zustände
Zunächst sollen verschränkte Zustände explizit konstruiert werden. Hierzu
seien zwei Systeme A und B mit geeigneten Hilberträumen HA und HB
gegeben.
Ferner seien ΨA,1 , ΨA,2 ∈ HA und ΨB,1 , ΨB,2 ∈ HB Zustandsvektoren mit
hΨA,1 , ΨA,2 i = 0 oder hΨB,1 , ΨB,2 i = 0 gegeben und
√
(16)
Ψges := ΨA,1 ⊗ ΨB,1 + ΨA,2 ⊗ ΨB,2 / 2 ∈ HA ⊗ HB .
6
7
auch faktorisierbar oder klassisch korreliert
Verschränkung – engl. entanglement, verschränkt – engl. entangled
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 5/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Der Vektor Ψges definiert als Einheitsvektor in HA ⊗HB einen reinen Zustand,
ist jedoch nicht als Tensorprodukt von zwei reinen Zuständen in der Form
ΨA ⊗ ΨB darstellbar, d.h. nicht separabel. Das typische Beispiel für solche
Zustände ist die Bell-Basis (17).8
Physikalisch interpretiert man die Verschränkung, indem man sagt, daß
eine Eigenschaft über mehrere Untersysteme verteilt ist; dies bedeutet, eine
solche Eigenschaft bestimmt sich durch (nicht-klassische) Korrelationen der
Untersysteme.
3.2
Maximal verschränkte Systeme
Betrachtet man ein zusammengesetztes System aus zwei klassischen Untersystemen, so ist die Einschränkung eines beliebigen reinen Zustands auf eine
des Untersysteme wieder ein reiner Zustand im Untersystem. Das folgende
Beispiel zweier Qubits zeigt, daß dies im quantenmechanischen Fall nicht
mehr gilt.
A A
Seien
H
und
H
Qubit-Hilberträume
mit
Orthonormalbasen
e0 , e1
A
B
B
,
e
.
Dann
definieren
die
Vektoren
und eB
1
0
√
√
B
A
B
B
A
B
Φ− = eA
Φ+ = eA
0 ⊗ e0 − e1 ⊗ e1 / 2
0 ⊗ e0 + e1 ⊗ e1 / 2
√
√
B
A
B
B
A
B
Ψ+ = eA
Ψ− = eA
(17)
0 ⊗ e1 + e1 ⊗ e0 / 2
0 ⊗ e1 − e1 ⊗ e0 / 2
die sogenannte Bell-Basis des Zwei-Qubit-Hilbertraumes. Für die zugeordneten Dichtematrizen ρ = h · , χi χ, χ ∈ {Ψ+ , Ψ− , Φ+ , Φ− }, bestimmen sich
die reduzierten Dichtematrizen zu
1
1
ρA := SpurHB ρ = 1IHA
und
ρB := SpurHA ρ = 1IHB .
(18)
2
2
Die einzelnen Qubits enthalten also keine Information über die Korrelationen
des Gesamtsystem. Einen solchen Zustand nennt man maximal verschränkt.
3.3
Maße für Verschränkung
Es ist möglich, Verschränkung quantitativ zu erfassen; dies geschieht unter
Verwendung von Größen, die man als Verschränkungsmaße bezeichnet.
Betrachtet man zwei Systeme mit Hilberträumen der gleichen Dimension
n ∈ N, so wird für reine, durch ihre Dichtematrix ρ festgelegte Zustände im
Tensorproduktraum die von-Neumann-Entropie der reduzierten Dichtematrix
wie folgt definiert:9
E(ρ) := S(ρA ) = S(ρB )
(19)
8
9
Für eine genauere Betrachtung von Verschränkungskriterien vgl. Anhang A.
Für eine Definition der Entropie vgl. Anhang A.
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 6/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Das Verschränkungsmaß E hat unter anderem folgende Eigenschaften:
• E(ρ) ∈ [0; k log2 n]
• E(ρ) = 0 ⇔ ρ ist separabel
• E(ρ) = k log2 n ⇔ ρ ist maximal verschränkt
Auf die genauen Eigenschaften von E kann hier nicht eingegangen werden, es
ist jedoch festzuhalten, daß E durch sogenannte LOCC-Operationen10 , d.h.
Operationen, die an den Untersystemen durchgeführt werden können, ohne
daß diese unmittelbar miteinander wechselwirken müssen, nicht wächst. Es
ist allerdings möglich, aus vielen schwach verschränkten Zuständen wenige
maximal verschränkte Zustände zu erzeugen; dies nennt man Destillieren
von Verschränkung.
Es muß jedoch angemerkt werden, daß die Konstruktion eines solchen
Verschränkungsmaßes für gemischte Zustände wesentlich komplizierter ist.
4
Anwendungen I: Bellsche Ungleichung
Nach der im wesentlichen bis heute anerkannten Formulierung der Quantenmechanik, die um 1925 erfolgte, kam die Frage auf, ob die Quantenmechanik
eine lokal-realistische Theorie sei, d.h. eine Theorie, bei der das Ergebnis
einer Messung, die nur an einem Teilsystem ausgeführt wird, unabhängig
von Messungen an räumlich11 entfernten Teilsystemen ist (Lokalität) und
durch verborgene Parameter determiniert wird (Realität).
Diese Frage wurde unter Verwendung verschränkter Zustände verneint.
4.1
Bloch-Kugel und Bloch-Vektor
Der Zustand eines einzelnen Qubits kann durch einen Bloch-Vektor
~s = (sx , sy , sz )t ∈ B1 (0)R3 beschrieben werden. Für die Dichtematrix ρ gilt
dann:
X
1
1
ρ = ρ(~s) = 1I +
σk · sk = 1I + ~σ · ~s
(20)
2
2
k∈{x,y,z}
Man spricht hierbei von der Bloch-Kugel ; es gilt ferner (ρ rein ⇔ k~sk = 1).
Die Bloch-Kugel ist damit auch isometrisch isomorph zu S B(C2 ) , und
zu einem Bloch-Vektor ~s ∈ S 2 definiert man den zugehörigen Operator zu
(+1) ρ(~s) + (−1) ρ(−~s) = ~σ · ~s mit den Eigenwerten +1 und −1.
10
engl. für local operations and classical communication
insbesondere auch für raumartig voneinander getrennte Messungen, d.h. für solche
Messungen, bei denen das Licht zwischen zwei Messungen nicht vom einen zum anderen
Teilsystem gelangen kann
11
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 7/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
4.2
Anwendungen I: Bellsche Ungleichung
Die folgende Überlegung wurde durch John S. Bell12 angestellt: Betrachtet
werden zwei räumlich voneinander getrennte Qubits an denen unabhängig
voneinander Messungen durchgeführt werden, die durch normierte BlochVektoren ~a, ~b ∈ S 2 beschrieben werden. Einschränkend werde angenommen,
daß im Fall ~a = ~b stets entgegengesetzte Meßwerte angenommen werden.13
Geht man davon aus, daß die Teilchen nicht wechselwirken, so erwartet
eine lokal-realistische Theorie, daß ein Parameter14 λ ∈ Λ derart existiert,
daß das Meßergebnis der einzelnen Messungen durch Funktionen der Form
A, B : S 2 × Λ → {−1, +1}
mit
B(~a, λ) = −A(~a, λ) ∀ ~a ∈ S 2
(21)
beschrieben werden kann.
Bezeichnet man mit P (~a, ~b) den Erwartungswert für das Produkt beider
Meßergebnisse, so ergibt
sich unter Verwendung einer WahrscheinlichkeitsR
dichte ρ : Λ → [0; 1], λ∈Λ ρ (λ) dλ = 1, für den Parameter λ:
Z
~
P (~a, b) =
ρ (λ) A(~a, λ)B(~b, λ) dλ
(22)
λ∈Λ
Z
ρ (λ) A(~a, λ)A(~b, λ) dλ.
(23)
=−
λ∈Λ
Unter Verwendung eines dritten normierten Bloch-Vektors ~c folgt:
Z
h
i
~
~
ρ(λ) A(~a, λ)A(~c, λ) − A(~a, λ)A(b, λ) dλ
P (~a, b) − P (~a, ~c) =
Zλ∈Λ
h
i
~
~
=
ρ(λ)A(~a, λ)A(b, λ) A(b, λ)A(~c, λ) − 1 dλ.
(24)
(25)
λ∈Λ
Betrachtet man die Beträge der Ausdrücke, so folgt mit |A( · , λ)| = 1 für
beliebige normierte Bloch-Vektoren ~a, ~b, ~c ∈ S 2 die Bellsche Ungleichung:
Z
h
i
~
~
ρ (λ) 1 − A(b, λ)A(~c, λ) dλ = 1 + P (~b, ~c). (26)
|P (~a, b) − P (~a, ~c)| ≤
λ∈Λ
Man betrachtet nun den durch den Vektor Ψ− beschriebenen Zustand und
berechnet die quantenmechanische Vorhersage für P (~a, ~b):
h
i
− −
~
~
P (~a, b) = Spur
·,Ψ Ψ
(~σ ·~a)⊗(~σ · b) = −~a ·~b = − cos ^(~a, ~b) (27)
Man erkennt, daß die Ungleichung z.B. für die Wahl ^(~a, ~b) = ^(~b, ~c) = π/3
und ^(~a, ~c) = 2π/3 verletzt und die Quantenmechanik somit keine lokalrealistische Theorie ist.
12
in On the Einstein-Podolsky-Rosen-Paradox“, Physics Vol. 1 (1964), S. 195 – 200
”
Dies kann z.B. durch den Bell-Zustand Ψ− , das Spin-Singulett, realisiert werden.
14
Genaugenommen müßte man sagen, daß Λ ein Maßraum ist usw.
13
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 8/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
5
Anwendungen II: Quantenkryptographie
Verschränkte Zustände erlauben es, zwischen zwei Parteien, Alice und Bob15 ,
Nachrichten sicher zu übertragen. Dies beruht darauf, daß diese Parteien
durch Messung ihrer Zustände einen sicheren Schlüssel erzeugen können.
5.1
Das One-time-pad
Das One-time-pad ist ein theoretisch sicheres Verfahren zur Übertragung
einer Nachricht (ni )i∈1,...,n ∈ Fn2 . Voraussetzung hierbei ist, daß Alice und
Bob sich einen geheimen zufälligen Schlüssel (si )i∈1,...,n ∈ Fn2 teilen.
Alice erzeugt mittels der Vorschrift ti := ni ⊕ si den zu übermittelnden
Text. Da der Schlüssel zufällig ist, ist der verschlüsselte Text auf Fn2 gleichverteilt, so daß dieser keine Rückschlüsse auf die Nachricht zuläßt. Bob kennt
den geheimen Schlüssel und kann den empfangenen Schlüsseltext durch die
Vorschrift ni = ti ⊕ si entschlüsseln.
Durch das One-time-pad reduziert sich die sichere Übertragung einer
Nachricht auf die sichere Erzeugung eines geheimen Schlüssels. Nur diese
Schlüsselerzeugung wird durch ein quantenmechanisches Protokoll behandelt,
und man spricht daher auch von engl. quantum key distribution (QKD).
5.2
Schlüsselerzeugung: Lo-Chau-Protokoll
Im folgenden wird kurz das modifizierte Lo-Chau-Protokoll 16 zur Erzeugung
eines geheimem Schlüssels beschrieben:
1. Alice erzeugt 2n Qubit-Paare, die jeweils durch den Zustandsvektor
Φ+ ∈ HA ⊗ HB beschrieben werden.
2. Alice wählt ein zufälliges Element b ∈ F2n
2 und führt eine HadamardTransformation der Form 1IA ⊗ HB an denjenigen Qubit-Paaren aus,
für die bi = 1 ist.
3. Alice sendet den die zweite Hälfte der Paare an Bob.
4. Bob empfängt die Qubits und gibt dies öffentlich bekannt.
5. Alice wählt zufällig n der Qubit-Paare aus, die als Testbits dienen.
15
Üblicherweise wird bei einer Übertragung der Sender Alice“ und der Empfänger Bob“
”
”
genannt; ein eventueller Lauscher heißt Eve“ (von engl. eavesdropping – Abhören).
”
16
vgl. [NiCh00] oder Peter W. Shor, John Preskill: Simple Proof of Security of the
”
BB84 Quantum Key Distribution Protocol“, Phys. Rev. Lett 85 (2000), S. 441 – 444
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 9/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
6. Alice veröffentlicht b und die Positionen der Testbits.
7. Bob invertiert Alices Hadamard-Transformationen aus Schritt 2 unter
Verwendung von b.
8. Alice und Bob messen die Testbits in der z-Basis17 und vergleichen ihre
Ergebnisse. Ist die Fehlerrate zu hoch, bricht das Protokoll ab.
9. Alice und Bob wenden Fehlerkorrekturverfahren18 , um dadurch m ≤ n
durch Ψ beschriebene Zwei-Qubit-Zustände zu erhalten.
10. Alice und Bob messen die Qubits in der z-Basis; die Meßergebnisse
bilden dann ihren geheimen Schlüssel.
Es kann gezeigt werden, daß das Protokoll im Rahmen der Quantenmechanik
theoretisch sicher ist, sofern die Fehlerrate nicht zu hoch ist. Das beschriebene
Protokoll ist allerdings derzeit nicht experimentell realisierbar.
Anhang A: Begriffe und Bezeichnungen
Stetige Funktionen
Für einen lokal-kompakten topologischen Raum Ω ist die Menge
BC(Ω) := {f : Ω → R| f beschränkt und stetig}
(28)
mit der Supremumsnorm kf k := supx∈Ω |f (x)| eine kommutative C ∗ -Algebra.
Hilberträume und Operatoren, Dualraum
Im Text bezeichnet H stets einen Hilbertraum über den komplexen Zahlen C
mit linkslinearem Skalarprodukt h · , · i : H × H → C.
Die Menge der beschränkten linearen Operatoren auf H
B(H) := {T : H → H| T linear und beschränkt}
(29)
ist bzgl. der Operatornorm kT k := supx∈H,kxk=1 kT xk eine C ∗ -Algebra.19
Zu einem Operator T ∈ B(H) bezeichnet T ∗ (in der Physik meist T † )
die Adjungierte. Ist T = T ∗ , so nennt man den Operator T selbstadjungiert;
er wird positiv (genauer positiv semidefinit) genannt, falls er zusätzlich nur
nicht-negative Spektralwerte besitzt; hierfür schreibt man T ≥ 0.
A
B
B
Alice mißt bzgl. eA
0 ⊗ 1I, e1 ⊗ 1I , Bob bzgl. 1I ⊗ e0 , 1I ⊗ e1
18
Diese Fehlerkorrekturverfahren sind zu kompliziert, um hier beschrieben zu werden.
19
äquivalent: B(H) := {T : H → H| T linear und stetig}
17
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 10/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Indexmengen werden mit I und J bezeichnet; oft (aber nicht durchgehend)
wird I für die Orthonormalbasis eines Hilbertraums verwendet und J für
sonstige Indexmengen.
Für einen Einheitsvektor Ψ ∈ H bezeichnet h · , Ψi Ψ die Projektion auf
den eindimensionalen
PUnterraum CΨ ⊆ H; ist {ei | i ∈ I} eine Orthonormalbasis von H so gilt i∈I h · , ei i ei = 1I.
Für einen normierten Vektorraum E ist der Dualraum gegeben durch
E ∗ := {ϕ : E → C| ϕ linear und stetig} .
(30)
Spur eines Operators, Spurklasseoperatoren
Ist der Ausdruck summierbar, so wird für einen Operator T ∈ B(H) die Spur
definiert durch
X
hT ei , ei i ,
(31)
Spur T :=
i∈I
wobei {ei | i ∈ I} eine Orthonormalbasis von H ist. Die Spur ist unabhängig
von der Wahl der Basis und für T ≥ 0 zumindest bestimmt divergent.
Die Menge der Spurklasseoperatoren
T (H) := {T : H → H| Spur |T | < ∞} ⊆ B(H)
√
(32)
ist ein abgeschlossenes zweiseitiges ∗ -Ideal von B(H). Es ist |T | := T ∗ T ≥ 0,
und bzgl. der Spurnorm kT k1 := Spur |T | ist der Raum T (H) ein Banachraum derart, daß
ϕ ∈ T (H)∗ ⇒ ∃! T ∈ B(H) : ϕ(S) = Spur(T ∗ S) ∀S ∈ T (H).
gilt, d.h. (T (H), k · k1 )∗ ∼
= B(H).
(33)
Endlichdimensionale Hilberträume
Jeder komplexe Hilbertraum H der Dimension n ∈ N ist isomorph zu Cn ,
und es gilt unter Verwendung der komplexen n × n-Matrizen:
B(H) = T (H) ∼
= Mn (C) := {(aij )i,j=1,...,n | aij ∈ C ∀i, j = 1, . . . , n} (34)
Pauli-Matrizen
Die Pauli-Matrizen sind gegeben durch
0 1
0 −i
σx =
,
σy =
,
1 0
i 0
σz =
1 0
,
0 −1
(35)
und man faßt sie zusammen zu ~σ = (σx , σy , σz )t .
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 11/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Bitfolgen
Über dem endlichen Körper F2 := {0, 1} wird die Menge
Fn2 = {0, 1}n
mit
|Fn2 | = 2n
(36)
bzgl. der Operation ⊕“ (bitweise Addition modulo 2) zu einem Vektorraum
”
der Dimension dim Fn2 = n.
Messungen in der Quantenmechanik
Eine von-Neumann-Messung ist durch Projektionen {Pj | j ∈ J} auf dem
Hilbertraum H bestimmt, die folgende Eigenschaften erfüllen:
X
Pi Pj = δij Pi ∀i, j ∈ J
und
Pj = 1I
(37)
j∈J
Mit einem Zustand ϕ und der zugeordneten Dichtematrix ρ ergibt sich die
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines durch Pi bezeichneten Ereignisses
zu ϕ(Pi ) = Spur(ρPi ).
Ein selbstadjungierter Operator A ∈ B(H) definiert eine Zerlegung von H
in Eigenräume und hierdurch eine von-Neumann-Messung. Sein Erwartungswert ergibt sich somit zu ϕ(A) = Spur(ρA).
Die möglichen Meßwerte sind die Eigenwerte des Operators.
von-Neumann-Entropie
Für eine Zahl k ∈ R+ und eine Dichtematrix ρ mit den Eigenwerten λj (mit
ihrer Vielfachheit) ist die von-Neumann-Entropie definiert durch
X
λj log2 λj
(38)
S(ρ) := −k Spur(ρ log2 ρ) = −k
j∈J,λj 6=0
P
+
Wegen
j∈J λj = 1 und λj ∈ R0 ∀j ∈ J sie ist null für reine Zustände
und maximal, falls ρ ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist. In der Quanteninformationstheorie ist dabei k = 1.
Hadamard-Transformation
Die Hadamard-Transformation wirkt auf die Zustandsvektoren eines QubitSystems wie die Matrix
1 1 1
∗
−1
(39)
H=H =H = √
2 1 −1
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 12/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Sonstige verwendete Bezeichnungen
∧
logisches UND.
δik = {1 für i = k, 0 für i 6= k
Kronecker-Symbol
R+ = {x ∈ R| x > 0}
positive reelle Zahlen
+
R+
=
R
∪
{0}
nicht-negative reellen Zahlen
0
3
B1 (0)R3 = {x ∈ R | kxk ≤ 1}
abgeschlossene Einheitskugel in R3
S 2 = ∂B1 (0)R3 = {x ∈ R3 | kxk = 1} Einheitssphäre in R3 .
Bil(E, F )
Bilinearformen auf E × F
Kriterien für Verschränkung bei reinen Zuständen
Für jeden reinen Zustand
ρ = h · , ΨiΨ in HA ⊗ HB existieren Orthonormal
in HA und HB , so daß man folgende
|
j
∈
J
und
eB
systeme eA
j |j ∈ J
j
20
Schmidt-Zerlegung erhält:
X
X
B
λ2j = 1.
(40)
λj eA
λj ≥ 0 ∀j ∈ J,
Ψ=
j ⊗ ej ,
j∈J
j∈J
Die reduzierten Dichtematrizen ergeben sich also zu
X X A
B
ρA =
λ2j · , eA
e
und
ρ
=
λ2j · , eB
B
j
j
j ej .
j∈J
(41)
j∈J
Dies bedeutet, ρA und ρB sind genau dann rein, d.h. Projektionen, wenn ein
Index k ∈ J existiert, so daß λj = δjk ∀j ∈ J ist. Insbesondere ist ein reiner
Zustand also genau dann separabel, wenn diese Bedingung erfüllt ist.
Zusammenfassend gilt also:
E(ρ) = 0 ⇔ ρA , ρB rein
⇔ ∃ k ∈ J : λj = δjk ⇔ ρ separabel
E(ρ) 6= 0 ⇔ ρA , ρB gemischt ⇔ @ k ∈ J : λj = δjk ⇔ ρ verschränkt (42)
20
Diese Zerlegung folgt aus polarer und Singulärwertzerlegung; vgl. hierzu [NiCh00].
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 13/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Anhang B: Tensorprodukte
In diesem Abschnitt beginnt die Numerierung einer Orthonormalbasis
abweichend zum übrigen Text mit 1“ statt mit 0“. Des weiteren wird die
”
”
Indexkonvention i, k ∈ {1, . . . , n}, j, l ∈ {1, . . . , m} verwendet.
Veranschaulichung des Tensorproduktes
Seien n, m ∈ N und HA := Cn , HB := Cm Hilberträume mit den Orthonormalbasen
A
B
e1 , . . . , eA
⊆ HA
und
e1 , . . . , eB
(43)
n
m ⊆ HB .
B
eine Orthonormalbasis von HA ⊗ HB und
Dann ist die Menge eA
i ⊗ ej | i, j
mittels der Abbildung
!
X
X
B
ψ : HA ⊗ HB → Cnm , ψ
cij eA
⊗
e
:=
cij eij
(44)
i
j
i,j
i,j
ist das Tensorprodukt HA ⊗HB isomorph zu Cnm , wobei {eij | i, j} eine Orthonormalbasis von Cnm ist. In Vektordarstellung werden die Komponenten in
der Reihenfolge
B
f(i−1)m+j := eij = ψ(eA
(45)
i ⊗ ej )
d.h. f1 = e11 , f1 = e12 , . . . , fm = e1m , fm+1 = e21 , . . . , fnm = enm , angeordnet.
Abbildung in den Produktraum, Skalarprodukt
Je einem Vektor aus HA und HB wird mittels folgender Abbildung ein Vektor
im Tensorproduktraum zugeordnet:
n
X
!
vi eA
i
⊗ : HA × HB −→
!
m
X
⊗
wj eB
7−→
j
i=1
HA ⊗ H B
X
vi wj eij
j=1
(46)
(47)
i,j
In HA ⊗ HB gilt für jedes Skalarprodukt die Gleichung:
*
+
X
X
X
X
αij βij .
αij eij ,
βkl ekl =
αij βkl heij , ekl i =
| {z }
i,j
k,l
i,j,k,l
=δik δjl
(48)
i,j
Damit gilt hv1 ⊗ w1 , v2 ⊗ w2 i = hv1 , v2 i · hw1 , w2 i , v1 , v2 ∈ HA , w1 , w2 ∈ HB .
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 14/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Operatoren im Tensorproduktraum
Jeder lineare Operator auf dem Tensorproduktraum kann durch eine Matrix
C = (cij,kl ) ∈ Mnm (C) dargestellt werden und hat die Form




C11 . . . C1n
ci1,k1 . . . ci1,km

..  mit C =  ..
..  ∈ M (C). (49)
..
..
C =  ...
 .
.
.
ik
m
. 
. 
Cn1 . . . Cnn
cim,k1 . . . cim,km
Für A ∈ Mn (C) und B ∈ Mm (C) definiert man
A ⊗ B = (aik ) ⊗ (bjl ) := (aik · bjl ) ∈ Mnm (C),
(50)
Hieraus folgt (A ⊗ B)(v ⊗ w) = (Av) ⊗ (Bw) ∀ v ∈ HA , w ∈ HB und
(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD) ∀ C ∈ Mn (C), D ∈ Mm (C).
Partielle Transposition
Für C = (cij,kl ) ∈ Mnm (C) wird die partielle Transposition definiert durch:21




T
T
C11 . . . Cn1
C11
. . . C1n

.. , C THB := (c ) =  ..
.. 
..
..
C THA := (ckj,il ) =  ...
 .
.
.
il,kj
. 
. 
T
T
C1n . . . Cnn
Cn1 . . . Cnn
(51)
Es gilt C T = C TA TB = C TB TA .
Partielle Spur
Für C = (cij,kl ) ∈ Mnm (C) ist Spur über einen Faktor ist gegeben durch
SpurHA C :=
n
X
Cii ∈ Mm (C)
(52)
cij,kj = (Spur Cik )ik ∈ Mn (C)
(53)
i=1
(SpurHB C)ik :=
m
X
j=1
Es gilt Spur C = SpurHA SpurHB C = SpurHB SpurHA C.
21
Die partielle Transposition wird im Text zwar nicht benötigt, man verwendet sie
aber für das Peres-Horodecki-Kriterium, welches für Zwei-Qubit-Systeme besagt, daß die
Aussage ρ separabel ⇔ ρA ≥ 0 ⇔ ρB ≥ 0“ gilt und im Gegensatz zu den im Text
”
angesprochenen Kriterien auch für gemischte Zustände gültig ist.
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 15/16
Tensorprodukte in der Physik
K.S.Ranade
Literatur
[Kümm04] Burkhard Kümmerer:
Operatoralgebren“/ C ∗ -Algebren“
”
”
Vorlesung (WS 2003/04), Mitschrift des Verfassers
[NiCh00]
Michael A. Nielsen, Issac L. Chuang:
Quantum Computation and Quantum Information“
”
Cambridge University Press, 2000
[Pres98]
John Preskill:
Quantum Information and Computation“
”
Vorlesungsskript (ca. 1998), verfügbar unter
http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/
[Keyl02]
Michael Keyl:
Fundamentals of Quantum Information Theory“
”
Quelle: arXiv:quant-ph/0202122 v1 21 Feb 2002
[Kümm88] Burkhard Kümmerer:
Mathematische Grundlagen der quantenstatistischen Mechanik“
”
Vorlesungsskript (SS 1988), nicht öffentlich verfügbar
[Maas03]
Hans Maassen:
Quantum Probability, Quantum Information Theory,
”
Quantum Computing“
Vorlesungsskript (SS 2003), Quelle:
http://www.math.kun.nl/~maassen/lectures/qpqiqc.ps.gz
[KüMa98] Burkhard Kümmerer, Hans Maassen:
Elements of Quantum Probability“
”
Quantum Probability Communications, X (1998) 73-100,
alternativ
http://www-math.sci.kun.nl/math/onderzoek/reports/
,→rep1996/rep9615.ps.gz
05.06.2004
TU Darmstadt
Seite 16/16