Freie Gedämpfte Schwingungen - auf Matthias

1
PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
Freie Gedämpfte Schwingungen
durchgeführt am 14.06.2010
von Matthias Dräger, Alexander Narweleit und Fabian Pirzer
1
1.1
Physikalische Grundlagen
Schwingungen
Als Schwingung bezeichnet man einen zeitlich periodischen Vorgang, der bei einem physikalischen
System seine Ruhelage verlässt und durch die rücktreibende Kraft diese wieder einnimmt. Bei einem
Federpendel ist dies die Federkraft und in einem elektrischen Schwingkreis, der aus einem Kondensator
und einer Spule besteht, die Kondensatorspannung.
1.2
Harmonische Schwingungen
Harmonische Schwingungen sind Schwingungen, die den mathematischen periodischen Funktion, der
Sinus- oder Konsinusfunktion, sehr ähnlich sind. Dabei ist die rücktreibende Kraft proportional zur
jeweiligen Auslenkung aus der Ruhelage.
Abbildung 1: Verlauf einer harmonischen Schwingung
Hierbei ist A0 die Amplitude, T die Schwingungsdauer und der Faktor ω die Kreisfrequenz. Die
Kreisfrequenz ergibt sich aus der Grundperiode 2π und der Periodendauer T:
ω=
1.3
2·π
T
(1)
Federpendel und Schwingkreis
Das Federpendel ist der einfachste mechanische Oszillator. Hier wird bei Auslenkung der Feder mit
einem Massestück potenzielle Energie aufgebaut, die beim Loslassen in kinetische Energie überführt
wird (bis zur Ruhelage). Durch die Trägheit des Körpers schwingt dieser weiter, d.h. die kinetische
Energie wird wieder in potenzielle Energie überführt und der Körper bremst ab.
1
1.4
Methametische Behandlung (Differentialgleichung der Schwingung)
1 PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
Abbildung 2: Federpendel und elektr. Schwingkreis
Der einfachste elektrische Oszillator besteht aus einer Spule und einem Kondensator. Hierbei wird
die elektrische Feldenergie des aufgeladenen Kondensators in magnetische Feldenergie der Spule umgewandelt. Nach dem Ladungsausgleich induziert die Spule eine Spannung, die den Kondensator mit
umgekehrter Polarität auflädt. Dies ist im folgenden Bild dargestellt:
Abbildung 3: Ladungsverteilungen in einem elektrischen Schwingkreis
1.4
1.4.1
Methametische Behandlung (Differentialgleichung der Schwingung)
Federpendel
Nachdem Hookeschen Gesetzt ist die Kraft einer Feder proporional zu ihrer Auslenkung x. Der Proportionalitätsfaktor D stellt hierbei die Federkonstante dar:
F = −D · x
(2)
Daraus ergibt sich für F = m · a die Gleichung:
−D · x = m · a
−D · x = m ·
d2 · x
D
+x·
=0
dt2
m
2
d2 · x
dt2
(3)
1.4
Methametische Behandlung (Differentialgleichung der Schwingung)
1 PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
Es wird eine mathematische Funktion x = f(t) gesucht deren zweite Ableitung nach der Zeit gleich
der Funktion selbst ist, aber mit umgekehrten Vorzeichen. Diese Bedingung erfüllen die Sinus- Kosinusfunktionen:
x(t) = x0 · cos (ω · t)
(4)
Der Ansatz aus (4) ist genau dann eine Lösung, wenn due Frequenzen durch die Größen D und m
bestimmte Werte annehmen:
dx
= −ω · x0 sin (ω · t)
dt
d2 x
= −ω2 · x0 · cos(ω · t) = −ω2 · x
dt2
Es folgt durch Vergleich mit (3):
ω2 =
1.4.2
D
m
(5)
Elektrischer Schwingkreis
Es besteht folgender Zusammenhang zwischen Strom und Spannung (siehe dazu Versuch R-C-Kreise):
IC = C ·
dUC
dt
(6)
Durch Integration erhält man die Spannung:
Z
1
UC =
IC dt
C
(7)
Der Spannungsabfall an einer Spaule UL ist proportional zur Änderung des Stromes. Nach der Lenzschen Regel widersetzt sich die Spule einer Stromänderung aufgrund der Selbstinduktion und einer
Gegenspannung:
Uind = −L ·
dIL
dt
UL = −Uind
dIL
⇔ UL = L ·
dt
(8)
(9)
(10)
Hierbei ist L der Selbstinduktionskoeffizient der Spule (Induktivität).
Durch die Kirschhoffsche Maschenregel gilt UC + UL = 0 und wegen der Reihenschaltung I = IC = IL .
Mit (7) und (10) erhalten wird:
Z
1
dIL
Idt + L ·
(11)
C
dt
Nach Ableitung (nach t) und Umstellung:
d2 I
1
·I=0
+
dt2 L · C
(12)
Wir suchen eine Funktion I = f(t) die zweimal abgeleitet die gleiche Funktion abbildet mit umgekehrten Vorzeichen - also eine Kosinusfunktion:
I(t) = I0 · cos (ω · t)
3
(13)
1.5
Energieinhalt der Schwingung und Dämpfung
1
PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
Diese Formel stellt eine lösung dar, wenn in Formel (13) die Größen L und C bestimmte Werte
annehmen:
dI
= −ω · I0 · sin (ω · t)
dt
d2 I
= −ω2 · I0 · cos (ω · t) = −ω2 · I
dt2
Durch Vergleich mit (12) folgt:
ω2 =
1.5
1
L·C
(14)
Energieinhalt der Schwingung und Dämpfung
Die anfängliche Auslenkung eines schwingungsfähigen Systems wird bei einem Federpendel wie folgt
berechnet:
dW = F · dx
Z x0
1
W=
D · cdx = · D · x20
2
0
(15)
(16)
In einem elektrischen Schwingkreis:
W=
1
· C · U20
2
(17)
Als Gesamtenergie gilt in einem Federpendel:
1
1
1
· D · x2 + · m · v2 = const = · D · x20
2
2
2
(18)
und in einem elektrischen Schwingkreis:
1
1
· C · U2 + · L · I2 = const
2
2
(19)
Durch Reibung oder Widerständer kann das System Energie verlieren, man spricht von einer gedämpften Schwingung. Die Amplitude nimmt dabei ab, dass wie folgt berechnet werden kann:
dA = −δ · A · dt
A = A0 · e
−δ·t
(20)
(21)
Für das Federpendel ergibt das das folgendes Abklingverhalten:
x(t) = x0 · e−δ·t · cos (ω · t)
(22)
I(t) = I0 · e−δ·t · cos (ω · t)
(23)
und im elektrischen Schwingkreis:
4
3
VERSUCHSAUFBAU
Trägt man das Verhalten nach t ab, erhält man folgendes Bild: Für den elektrischen Schwingkreis
Abbildung 4: Verlauf einer gedämpften Schwingung
gilt folgender Zusammenhang zwischen der Dämpfungskonstante δ, dem Verlustwiderstand R und der
Induktivität L:
δ=
2
R
2·L
(24)
Aufgaben
1. (Vorversuch zur gemeinsamen Durchführung und sofortigen Auswertung durch die gesamte
Gruppe): Aufbau eines Schwingkreises niedriger Frequenz aus einer Spule und einem Kondensator und einem Drehspulmessinstrument zum Nachweis der zeitlich periodischen Spannung
am Kondensator. Messung der Schwingungszeit mit der Stoppuhr und der Amplitudenwerte am
Messinstrument. Berechnung der Induktivität L aus der Kreisfrequenz (bei bekannter Kapazität)
und des Verlustwiderstandes R aus der Dämpfungskonstanten.
2. (Schwingkreis): Periodische Anregung eines Schwingkreises höherer Frequenz. Beobachtung und
Messung des Schwingungsverlaufs mit dem Oszilloskop. Bestimmung der Parameter der Schwingung (Schwingungsdauer bzw. Kreisfrequenz und Dämpfungskonstante) und Vergleich mit den
direkt gemessenen Daten der verwendeten Bauteile (Kapazität C des Kondensators, Induktivität
L und Widerstand R der Spule).
3
Versuchsaufbau
Abbildung 5: Aufbau Versuch 1
Abbildung 6: Aufbau Versuch 2
5
5
4
VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
Geräte und Materialien
Für die Versuche verwendeten wir folgende Geräte:
4.1
Versuch 1
• Stoppuhr 1/10 sec
• Kondensator (250 ± 50)µF
• Spule mit 10.200 Windungen ≈ 600H
• Spannungsquelle
• Analog-Nullvoltmeter technowa
• Umschalter
4.2
Versuch 2
• Oszilloskop HAMEG (303-6)
• Netzgerät Voltcraft MX 2020
• Digitalmultimeter ESCORT ELL-131D
• Kondensator 1µF
• Spule 0,5 mH
• Schaltbrett
4.3
Fehlerwerte
Gerät
Oszilloskop
Digitalmultimeter (AC)
Fehler
X-Achse: 5%, Y-Achse: 3%, Ablesefehler: ±0, 2cm
R: 0, 5% + 3d
C: 0, 7% + 3d
L: 0, 7% + 5d
Tabelle 1: Messfehler in der Übersicht
5
5.1
Versuchsdurchführung
Aufgabe 1
Der erste Versuch wurde mit dem ganzen Kurs durchgeführt. Es wurde zunächst ein elektrischer
Schwingkreis nach Abbildung 5 mit einer Frequenz von f ≈ 0, 3Hz aufgebaut. Der Kondensator wurde über einen Umschalter aufgeladen und anschließend wurden die Spannungsamplituden mit dem
Voltmeter und die Schwingungsdauer mit einer Stoppuhr gemessen. Die Daten können der folgenden
Tabelle entnommen werden:
6
5.2
Aufgabe 2
5
Zeit t in s
0
1,7
2,9
4,5
5,9
7,3
9,0
VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
Amplitude A in V
5,0
-3,8
2,4
-1,6
0,8
-0,6
0,2
Tabelle 2: Messwerte Versuch 1
Es wurden folgende Ablesefehler festgelegt:
∆t = 0, 4s
∆A = 0, 2V
5.2
Aufgabe 2
Bevor wir mit dem Versuch angefangen haben, haben wir die Kapazität des Kondensators und die
Induktivität, sowie den Widerstand der Spule direkt gemessen. Wir haben dabei die Skala 120Hz und
1kHz am Digitalmultimeter eingestellt:
Bauelement
Eigenschaft
Kondensator
Kapazität C
Induktivität L
Widerstand R
Spule
Gemessener Wert
bei 120 Hz
bei 1kHz
(1, 017 ± 0, 072)µF (1, 012 ± 0, 071µF
(0, 483 ± 0, 034)mH
(487, 2 ± 35)µH
(0, 850 ± 0, 043)Ω
(15, 42 ± 0, 78)Ω
Angegebener Wert
1 µF
0,5 mH
Tabelle 3: Direktmessungen an Kondensator und Spule
Wir haben nun auf einem Schaltbrett die Schaltung nach Abbildung 6 aufgebaut. Am Funktionsgenerator haben wir eine Rechteckspannung mit einer Frequenz von f = (100 ± 1)Hz eingestellt. Bei dem
Oszilloskop haben wir die Zeitachse auf 1cm = 0,2ms und die Y-Achse auf 1cm = 0,2V eingestellt.
Am Oszilloskop konnte man das folgende stehende Bild erkennen:
Abbildung 7: Bild vom Oszilloskop
Um genauer ablesen zu können, haben wir die Zeitachse auf 1cm = 0,1ms gestellt. Wir haben folgende
Werte abgelesen:
7
6
Zeit t in ms
0
0,04
0,10
0,18
0,24
0,32
0,38
0,45
0,52
AUSWERTUNG
Amplitude A in V
0
0,85
-0,72
0,60
-0,53
0,44
-0,40
0,32
-0,30
Tabelle 4: Messwerte Versuch 2
6
6.1
Auswertung
Aufgabe 1
Gesucht wird die Periodendauer T, die Induktivität L, die Dämpfungskonstante δ und der Verlustwiderstand R. Wir haben zunächst die Periodendauer bestimmt, indem wir unseren Messzeitraum von
9s durch die Anzahl der Perioden (= 3) geteilt haben. Der Fehler der Zeit lad bei ∆t = 0, 4s (siehe
Durchführung):
T=
9s
= 3, 00s
3
Fehlerrechnung
δT = δt
∆0, 4s 9s
∆t
·T =
·
≈ 0, 14s
∆T =
t
9s
3
Eine andere Möglichkeit ist, die Periodendauer über die gegebene Frequenz (f = 0,3 Hz) zu berechnen:
T=
1
1
=
≈ 3, 3s
f
0, 3Hz
Leider sind wir uns in dem Fall nicht sicher, ob die Frequenz wirklich auf 0,3 Hz gestellt wurde. Auch
ist uns der Fehler des Funktionsgenerators unbekannt. In der folgenden Rechnung arbeiten wir mit
T = (3, 00 ± 0, 14)s. Wir berechnen die Induktivität L, indem wir die Eigenfrequenz ω in die Formel
der Schwingungszeit einsetzen:
r
1
1
ω2 =
⇔ω=
L·C
L·C
2π
2·π
T=
=q
ω
1
L·C
T2 =
⇔L=
4π2
1
L·C
T2
32 s 2
= 2
≈ 910H
2
4π · C
4π · 250 · 10−6 F
Einheitenkontrolle
[L] =
s2
s2
= C =
F
V
s2
A2 ·s4
kg·m2
8
=
kg · m2
= 1H
A 2 · s2
6.1
Aufgabe 1
6
AUSWERTUNG
Fehlerrechnung
δL = 2 · δT + δC
T2
2 · ∆T
∆C
· 2
∆L =
+
T
C
4π · C
2 · 0, 14s
32 s2
50 · 10−6
∆L =
· 2
+
−6
3s
250 · 10
4π · 250 · 10−6
≈ 270H
Wir berechnen nun die Dämpfungskonstante δ, indem wir Exponentialfunktion des Abklingverhaltens
umstellen:
A = A0 · e−δ·t
ln A = ln A0 · e−δ·t
ln A = ln A0 + ln e−δ·t
ln A = ln A0 − δ · t
ln A0 − ln A
δ=
t
Für A0 setzen wir 5V ein und die erste Periode ist nach t = 2, 9s bei einer Amplitude von 2,4V zuende:
δ=
ln 5V − ln 2, 4V
1
≈ 0, 2531
2, 9s
s
Fehlerrechnung
δ(δ) = δ(ln A0 − ln A) + δt
∆(ln A0 − ln A) ∆t
ln A0 − ln A
∆δ =
+
·
(ln A0 − ln A)
t
t
∆ ln A0 + ∆ ln A ∆t
ln A0 − ln A
∆δ =
+
·
(ln A0 − ln A)
t
t
|ln (A0 − ∆A0 | − ln A0 ) + |ln (A − ∆A) − ln A| ∆t
ln A0 − ln A
∆δ =
+
·
(ln A0 − ln A)
t
t
Wir setzen folgende Werte ein: A0 = (5, 0 ± 0, 2)V, A = (2, 4 ± 0, 2)V, t = (2, 9 ± 0, 4)s.
|ln (5, 0V − 0, 2V) − ln 5, 0| + |ln (2, 4V − 0, 2V) − ln 2, 4V| 0, 4s
ln 5, 0V − ln 2, 4V
∆δ =
+
·
(ln 5, 0V − ln 2, 4V)
2, 9s
2, 9s
1
∆δ ≈ 0, 0092
s
Mit der Dämpfungskonstante berechnen wir nun den Verlustwiederstand R:
δ=
R
2·L
1
⇔ R = δ · 2 · L = 0, 2531 · 2 · 910H ≈ 230Ω
s
Einheitenkontrolle
[R] =
1
kg · m2
V
1 kg · m2
·H= · 2 2 = 2 3 =
=Ω
s
s A ·s
A ·s
A
9
6.2
Aufgabe 2
6
AUSWERTUNG
Fehlerrechnung
δR = δ(δ) + δL
∆δ ∆L
∆R =
·δ·2·L
+
δ
L
!
0, 0092 s1
270H
1
∆R =
· 0, 2531 · 2 · 910H ≈ 160Ω
1 + 910H
s
0, 2531 s
In der folgenden Tabelle wurden alle Ergebnisse auf eine signifikante Stelle gerundet:
Eigenschaft
Periodendauer
Induktivität
Dämpfungskonstante
Verlustwiderstand
Berechneter Wert
T = (3, 0 ± 0, 2)s
L = (900 ± 300)H
δ = (0, 30 ± 0, 01) Vs
R = (200 ± 200)Ω
Literaturwert
n/a
600 H
n/a
n/a
Tabelle 5: Ergebnisse im Überblick
6.2
6.2.1
Aufgabe 2
Schwingungsdauer aus der Tabelle
Um die Schwingungsdauer T zu ermitteln, greifen wir auf Tabelle 4 zurück und erweitern diese mit
Fehlerangaben. Der Fehler auf der Zeitachse liegt bei 5%+0, 02ms und auf der Y-Achse bei 3%+0, 04V:
Zeit t in ms
0
0, 04 ± 0, 020
0, 10 ± 0, 022
0, 18 ± 0, 025
0, 24 ± 0, 029
0, 32 ± 0, 032
0, 38 ± 0, 039
0, 45 ± 0, 043
0, 52 ± 0, 046
Amplitude A in V
0
0, 85 ± 0, 063
−0, 72 ± 0, 056
0, 60 ± 0, 050
−0, 53 ± 0, 047
0, 44 ± 0, 042
−0, 40 ± 0, 040
0, 32 ± 0, 036
−0, 30 ± 0, 035
Tabelle 6: Messwerte aus Versuch 2 mit Fehlerwerten
Wir haben drei volle Perioden zwischen t1 = (0, 04 ± 0, 020)ms und t2 = (0, 45 ± 0, 043)ms aufgenommen - also eine Zeitspanne von:
tges = t2 − t1 = 0, 41ms
∆tges = ∆t2 + ∆t1 = 0, 063ms
Um die Periodendauer zu berechnen, teilen wir die Zeitspanne durch die Anzahl der Perioden:
T=
tges
0, 41ms
=
= 0, 137ms
Perioden
3
10
6.2
Aufgabe 2
6
AUSWERTUNG
Fehlerrechnung
δT = δtges + δPerioden
∆tges
tges
∆T =
·
tges Perioden
∆0, 063ms 0, 41ms
=
·
≈ 0, 021ms
0, 41ms
3
6.2.2
Dämpfungskonstante aus dem Diagramm
Im Diagramm wurden die positiven Amplitudenwerte logarithmisch aufgetragen. Die Dämpfungskonstante kann aus der Steigung der Grenzgerade berechnet werden, die durch die Punkte P1 und P2
verläuft. Wir nehmen einen Ablesefehler von 0,005 auf der X-Achse und 0,01 auf der Y-Achse an:
P1(0, 04 ± 0, 005; 0, 9 ± 0, 01)
P2(0, 45 ± 0, 005; 0, 28 ± 0, 01)
Aus den Punkten berechnen wir die Steigung m:
ln y2 − ln y1
x2 − x1
ln 0, 28 − ln 0, 9
≈ −2, 85
=
0, 45 − 0, 04
m=
Fehlerrechnung
|ln (y2 − ∆y2 ) − ln y2 | + |ln (y1 − ∆y1 ) − ln y1 |
2 · ∆x
ln y2 − ln y1
∆m =
+
·
ln y2 − ln y1
x2 − x1
x2 − x1
|ln (0, 28 − 0, 01) − ln 0, 28| + |ln (0, 9 − 0, 01) − ln 0, 9|
2 · 0, 005
ln 0, 28 − ln 0, 9
+
·
=
ln 0, 28 − ln 0, 9
0, 45 − 0, 04
0, 45 − 0, 04
≈ 0, 19
Es gilt:
m = −δ ⇔ δ = −m
Wir erhalten also für die Dämpfungskonstante das Ergebnis: δ = (2, 9 ± 0, 2)s−1 .
6.2.3
Berechnung der Schwingungsdauer
In den folgenden Rechnungen setzen wir in der ersten Rechnung die gemessenen Werte bei 120 Hz und
bei der zweiten Rechnung die Werte bei 1kHz ein:
1
L·C
2π
ω=
T
ω2 =
Wir setzen ein und erhalten:
4π2
1
=
2
T
L·C
√
T = 4π2 · L · C
p
T = 4π2 · 0, 483 · 10−3 H · 1, 017 · 10−6 F ≈ 139, 25µs
p
T = 4π2 · 487, 2 · 10−6 H · 1, 012 · 10−6 F ≈ 139, 51µs
11
6.2
Aufgabe 2
6
AUSWERTUNG
Fehlerrechnung
√
δT = δ L + δC
√
√ √
√ √
∆T = L + ∆L − L + C + ∆C − C · 4π2 · L · C
p
p
p
p
∆T = 0, 483mH + 0, 034mH − 0, 483mH + 1, 017µF + 0, 072µF − 1, 017µF
p
· 4π2 · 0, 483mH · 1, 017µF ≈ 0, 11µs
p
p
p
p
∆T = 487, 2µH + 35µH − 487, 2µH + 1, 012µF + 0, 071µF − 1, 012µF
p
· 4π2 · 487, 2µH · 1, 012µF ≈ 0, 12µs
6.2.4
Berechnung der Dämpfungskonstante
Auch hier setzen wir wieder in die erste Rechnung die Werte bei 120 Hz und in die zweite Rechnung
die Werte bei 1kHz ein:
R
2·L
1
0, 85Ω
≈ 880
δ=
2 · 0, 483mH
s
15, 42Ω
1
δ=
≈ 16000
2 · 487, 2µH
s
δ=
Fehlerrechnung
δ(δ) = δR + δL
∆R ∆L
R
+
·
∆δ =
R
L
2·L
0, 043Ω 0, 034mH
0, 85Ω
1
∆δ =
+
·
≈ 110
0, 85Ω
0, 483mH
2 · 0, 483mH
s
0, 78Ω
35µH
15, 42Ω
1
∆δ =
+
·
≈ 2000
15, 42Ω 487, 2µH
2 · 487, 2µH
s
6.2.5
Ergebnisse im Überblick
In der folgenden Tabelle wurden alle Ergebnisse auf eine signifikante Stelle gerundet:
Eigenschaft
Schwingungsdauer T
Dämpfungskonstante δ
aus Diagramm
(0, 14 ± 0, 04)ms = (140 ± 40)µs
(2, 9 ± 0, 2)ms−1 = (0, 0029 ± 0, 0002)s−1
Tabelle 7: Berechnete Ergebnisse
12
Berechneter Wert
bei 120 Hz
bei 1kHz
(139, 3 ± 0, 2)µs
(139, 5 ± 0, 2)µs
(900 ± 200)s−1 (20.000 ± 2.000)s−1
7
7
ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSION
Zusammenfassung und Diskussion
In diesem Versuch haben wir die Abklingkurve eines Schwingkreises beobachtet, um diverse Berechnungen vornehmen zu können. In dem Vorversuch wurden bei einem Kreis niedriger Frequenz Schwingzeit
und Amplitude festgehalten und dann mithilfe der bekannten Kapazität die Induktivität L und der
Verlustwiderstand R der Spule ausgerechnet.
Wir kamen hierbei auf eine Induktivität von L = 900 ± 300H, welche dem angegebenen Wert für
die Spule (600 H) gleich ist. Der Verlustwiderstand betrug R = 200 ± 200Ω. Dieser etwas komisch
anmutende Wert kam durch das Runden auf eine signifikante Stelle zustande.
Der zweite Teil des Versuchs behandelte dann das ablesen der Abklingkurve eines Kondensators mithilfe eines Oszilloskopen. Infolgedessen haben wir zeichnerisch ermittelte und berechnete Werte verglichen. Die Ergebnisse für die Schwingdauer T des Schwingkreises sind hierbei identisch, bei der
Dämpfungskonstante δ hingegen gibt es erstaunliche Unterschiede. Diese dürften sich in erster Linie
aus der Arbeit mit dem Oszilloskopen ergeben haben, da die manuelle Kalibrierung von Grund auf
sehr fehlerträchtig ist. Hinzukommt die grafische Auswertung als weitere Ungenauigkeit. Jedoch reicht
dies bei weitem nicht aus, um die enormen Unterschiede zu erklären. Von daher gehen wir aus, dass
bei einem Teil von Aufgabe 2 etwas gehörig schief ging.
13