Formelsammlung Technische Mechanik
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Gleichförmige Bewegung Weg s Geschwindigkeit v s = v ⋅t s v = =π ⋅d ⋅n t Gleichförmige beschleunigte Bewegung 1 Bewegung ohne Anfangss = a ⋅t2 2 geschwindigkeit v = a ⋅t v = 2⋅a⋅s v⋅t s= 2 s v t d n Weg Geschwindigkeit Zeit Durchmesser Drehzahl m m·s-1 s m min-1 s a t v Weg Beschleunigung Zeit Geschwindigkeit m m·s-2 s m·s-1 F a m g µ Kraft Beschleunigung Masse Fallbeschleunigung Haftreibungszahl N = kg·m·s-2 m·s-2 kg m·s-2 1 ds dt dv d 2 s s = a = = dt dt 2 v = ∫ a ⋅ dt s = v = s = ∫ v ⋅ dt Schiefe Ebene Kraft F Gewichtskraft FG F = m⋅a FG = m ⋅ g Haftreibungskraft FR FR = µ ⋅ FG FR = µ ⋅ FN Hangabtriebskraft FH Normalkraft FN FH = m ⋅ g ⋅ sin α FN = m ⋅ g ⋅ cos α Arbeit F ist konstant auf geradem Weg W = Fs ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos α = F ⋅s s2 F ist veränderlich W = ∫ Fs ⋅ ds s1 Arbeitsformen Hubarbeit WH WH = FG ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h 1 m ⋅ v2 2 Beschleunigungsarbeit WB WB = Reibungsarbeit WR WR = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s ⋅ cosα Erstellt von Olaf Gramkow W Arbeit Fs Kraftkomponente in Wegrichtung F Kraft s Weg α Winkel zwischen F und s J N FG h m g v µ s α N m kg m·s-2 m·s-1 1 m 1°, 1 (rad) Gewichtskraft Höhe über Nullniveau Masse Fallbeschleunigung Geschwindigkeit Haftreibungszahl Weg Winkel der Schrägen N = kg·m·s-2 m 1°, 1 (rad) Seite: 1/7 Energie, Energieerhaltung 1 m ⋅ v2 2 kinetische Energie Ekin Ekin = potentielle Energie Epot E pot = m ⋅ g ⋅ h Energieerhaltung E pot + Ekin = konstant Ekin m v Epot g h Ekin Epot kinetische Energie Masse Geschwindigkeit potentielle Energie Fallbeschleunigung Höhe über Nullniveau kinetische Energie potentielle Energie J kg m·s-1 J m·s-2 m J J P ∆W ∆t η Wab Wzu Momentanleistung Arbeit während ∆ t Zeitintervall Wirkungsgrad abgegebene Arbeit zugeführte Arbeit W = J·s-1 J s 1 J J Leistung Momentanleistung P P= dW ∆W = lim ∆ t → 0 dt ∆t Wirkungsgrad η η= Wab Pab = Wzu Pzu η ges = η1 ⋅η2 ⋅ ... ⋅ηn Übersetzung i i= nvor nnach i Übersetzung nvor Drehzahl (Eingang) nnach Drehzahl (Ausgang) 1 min-1 min-1 ω ϕ t Winkelgeschwindigkeit Drehwinkel Zeit s-1 1 (rad) s ϕ α t a s r ω v n Drehwinkel Winkelbeschleunigung Zeit Beschleunigung Bogen Radius Winkelgeschwindigkeit Bahngeschwindigkeit Drehzahl 1 (rad) s-2 s m·s-2 m m s-1 m·s-1 min-1 FZp FZf m v r ω Zentripetalkraft Zentrifugalkraft Masse Geschwindigkeit Radius Winkelgeschwindigkeit N = kg·m·s-2 N = kg·m·s-2 kg m·s-1 m s-1 FG γ m r Gravitationskraft Gravitationskonstante Masse Schwerpunktabstand N m3·kg-1·s-2 kg m i JZ m Radius Massenträgheitsmoment Masse m kg·m2 kg Seite: 2/7 iges = i1 ⋅ i2 ⋅ ... ⋅ in Gleichförmige Kreisbewegung Winkelgeschwindigkeit ω ω= ϕ = konstant t Gleichförmige beschleunigte Kreisbewegung s ω ⋅t 1 ϕ = α ⋅t2 = = Drehwinkel ϕ 2 r 2 v π ⋅n = α ⋅t = r 30 Winkelgeschwindigkeit ω ω= Winkelbeschleunigung α α = ϕ = a ω = = konstant r t Zentripetalkraft / Zentrifugalkraft FZp = FZf Zentripetalkraft FZp Zentrifugalkraft FZf FZp = m ⋅ v2 = m ⋅ r ⋅ω 2 r Gravitationsgesetz m1 ⋅ m2 r2 Gravitationskraft FG FG = γ Gravitationskonstante γ γ = 6,67 ⋅10 −11 m3 kg ⋅ s 2 Begriff des Trägheitsradius Trägheitsradius i Erstellt von Olaf Gramkow i= JZ m Kinetik der Rotation Massenträgheitsmoment JS Drehmoment M J S = ∫ r 2 ⋅ dm = ∑ mi ⋅ ri 2 M = J ⋅ ϕ J A = J S + m ⋅ a2 Satz von Steiner Begriff des Schwungmoments FG ⋅ D 2 = J Z ⋅ 4 g Schwungmoment FG·D2 kg·m2 kg m ϕ a Massenträgheitsmoment Masse Abstand von der Drehachse Winkelbeschleunigung Abstand Drehpkt./Schwerpkt JZ g Massenträgheitsmoment Fallbeschleunigung kg·m2 m·s-2 mred reduzierte Masse JZ Massenträgheitsmoment r Radius kg kg·m2 m ϕ s-2 m·s-2 m kg m·s-2 s-1 s JS m r s-2 m Begriff der reduzierten Masse reduzierte Masse mred mred = JZ r2 Beschleunigung Rotationsbeschleunigung ϕ ϕ = x R m2 ⋅ g m1 + m2 2 ω = ω 0 − ϕ ⋅ t Arbeit, Energie und Leistung bei der Rotation ϕ2 Arbeit W (bei konstantem W = Drehmoment) rot ∫ M (ϕ ) ⋅ dϕ = M ⋅ ϕ Translationsbeschleunigung x x = ϕ1 Rotationsenergie Erot (kinetische Energie) Energieerhaltungssatz Leistung P Sonderfall: M (ϕ ) = konst. W = M (ϕ 2 − ϕ1 ) 1 Erot = J P ⋅ ω 2 2 WrotE = WrotA + W zu − Wab P = M ⋅ω (Rotation) P = F ⋅v (Translation) JP = JS + m ⋅ r2 x R m g ω t Rotationsbeschleunigung Translationsbeschleunigung Radius Masse Fallbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit Zeit Wrot Arbeit M Drehmoment ϕ Drehwinkel J = kg·m2·s-2 N·m 1°, 1 (rad) Erot Rotationsenergie JP Massenträgheitsmoment ω Winkelgeschwindigkeit J kg·m2 s-1 P M ω F v JP JS m r Leistung Drehmoment Winkelgeschwindigkeit Kraft Geschwindigkeit Massenträgheitsmoment Massenträgheitsmoment Masse Radius W = J·s-1 N·m s-1 N = kg·m·s-2 m·s-2 kg·m2 kg·m2 kg m xT Abstand zwischen Drehpunkt und Angriffspunkt der Trägheitskraft FTr Massenträgheitsmoment Masse Abstand zwischen Schwerpunkt und Drehpunkt Massenträgheitsmoment Massenträgheitsmoment m Trägheitsmittelpunkt xT = JZ m ⋅ rS J Z = J S + m ⋅ rS2 JS + rS m ⋅ rS xT > rS xT = Erstellt von Olaf Gramkow JP m rS JZ JS kg·m2 kg m kg·m2 kg·m2 Seite: 3/7 Kinetik der allgemeinen ebenen Bewegung Drehpunkt ist der aC = aS + aCS Schwerpunkt aCS = aCSN + aCST Beschleunigung – Punkt C Schwerpunktbeschleunigung aCS Beschleunigung des Punktes C bei der Drehung von S aCST Tangentialkomponente aCSN Normalkomponente aC aS aCST = r ⋅ ϕ = r ⋅ α aCSN = r ⋅ ϕ 2 = r ⋅ ω 2 m·s-2 m·s-2 m·s-2 m·s-2 m·s-2 FRX = m ⋅ aSX FRY = m ⋅ aSY Schwerpunktsatz Relativbewegung a F FR = RX = m ⋅ aS = m ⋅ SX aSY FRY acor = 2 ⋅ vrel ⋅ ω F für ω ⊥ vrel sonst: acor = 2(ω F × vrel ) acor = 2 ⋅ ω F ⋅ vrel ⋅ sin (∠ω F , vrel ) Kinetik der Relativbewegung vCabc = vF + vrel Festigkeitslehre F A F Schubspannung τ τ= A F σ Z = ≤ σ Zzul Zugbeanspruchung σ Z A Formänderung bei Beanspruchung auf Zug ∆l = l − l0 Verlängerung ∆l ∆l Dehnung ε ε= l0 ∆d = d 0 − d Durchmesseränderung ∆d ∆d Querkürzung ε Q εQ = d0 Normalspannung σ Querzahl oder Poissonzahl µ σ= µ= εQ ε σ F A τ σZ Normalspannung Kraft Fläche Schubspannung Zubeanspruchung ∆l Verlängerung l Endlänge l0 Anfangslänge ε Dehnung ∆d Durchmesseränderung d0 Anfangsbreite d Endbreite ε Q Querkürzung µ E Poissonzahl Elastizitätsmodul N·m-2 N = kg·m·s-2 m2 N·m-2 N·m-2 m m m 1 m m m 1 1 N·mm2 σ = E ⋅ε N für Stahl : E = 210000 mm 2 Statische Belastung zähe Werkstoffe σ zul = Re ( RP0 , 2 ) spröde Werkstoffe σ zul = Rm ν ν = 2,0...4,0 σ zul = σ Zsch ν ν = 3,0...6,0 Schwellende Belastung Erstellt von Olaf Gramkow ν ν = 1,3...2,0 Seite: 4/7 Wechselnde Belastung σ zul = σ Zdw ν ν = 3,0...6,0 Beanspruchung auf Druck σd = F ≤ σ dzul A ∆l = l0 − l (= l0 ⋅ ∆t ⋅ α ) ∆l Stauchung ε ε= (= ∆t ⋅ α ) l0 Beanspruchung auf Abscheren F τ a = ≤ τ azul Abscherspannung τ a A Verkürzung ∆l Inneres Kräftesystem und Spannungsarten y σ by = σ b max ⋅ Biegespannung σ by e F A ∆l l0 l ε Kraft Fläche Verkürzung Anfangslänge Endlänge Stauchung für zähe Metalle: τ a ≈ 0,8 ⋅ Rm für Grauguß: τ ab ≈ 1,1 ⋅ Rm σ by σ b max y e Flächenmoment 2. Grades Biegespg. im Abstand y von der neutralen Faser maximale Biegespannung in der Randfaser Abstand von der neutralen Faser Abstand der Randfaser von der neutralen Faser I = ∫ y 2 ⋅ dA σ b max = axiales Widerstandsmoment N m2 m m m 1 W= Mb ⋅ e I I e Mb ≤ σ bzul W Festigkeitswert σ bB σ bF σ bsch σ bw = = = = = Sicherheitszahl ν ν ν ν σ b max = σ bzul Vollkommen elastischer Stoß m1 ⋅ v1 A + m2 ⋅ v2 A = m1 ⋅ v1E + m2 ⋅ v2 E Impulserhaltungssatz p = m⋅v Impuls p p Impuls m Masse p = m⋅v v Geschwindigkeit v ⋅ (m1 − m2 ) + 2 ⋅ m2 ⋅ v2 A v1A Geschwindigkeit vor v1E = 1 A dem Stoß (Körper 1) m1 + m2 v2A Geschwindigkeit vor v ⋅ (m2 − m1 ) + 2 ⋅ m1 ⋅ v1 A dem Stoß (Körper 2) v2 E = 2 A m1 + m2 v1E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 1) v2E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 2) m1 Masse (Körper 1) m2 Masse (Körper 2) Teilweise plastischer Stoß v −v ε Stoßzahl Stoßzahl ε ε = 2 E 1E ε=0 vollkommen plastischer Stoß v1 A − v2 A ε=1 vollkommen elastischer Stoß Erstellt von Olaf Gramkow kg·m·s-1 kg m·s-1 m·s-1 m·s-1 m·s-1 m·s-1 kg kg 1 Seite: 5/7 v ⋅ (m1 − ε ⋅ m2 ) + v2 A ⋅ (1 + ε ) ⋅ m2 v1E = 1 A m1 + m2 v ⋅ (m2 − ε ⋅ m1 ) + v1 A ⋅ (1 + ε ) ⋅ m1 v2 E = 2 A m1 + m2 Energieverlust ∆E ∆E = 1 m ⋅m 2 ⋅ 1 − ε 2 ⋅ 1 2 ⋅ (v1 A − v2 A ) 2 m1 + m2 Wirkungsgrad η ( η= ) 1 1 + mmab mb > ma v1A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 1) v2A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 2) v1E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 1) v2E Geschwindigkeit nach dem Stoß (Körper 2) m1 Masse (Körper 1) m2 Masse (Körper 2) ∆E Energieverlust ε Stoßzahl v1A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 1) v2A Geschwindigkeit vor dem Stoß (Körper 2) m1 Masse (Körper 1) m2 Masse (Körper 2) η Wirkungsgrad ma kleine Masse mb große Masse m·s-1 m·s-1 m·s-1 m·s-1 kg kg kg·m2·s-2 1 m·s-1 m·s-1 kg kg 1 kg kg Geometrische Körper Kreis: π A = π ⋅ r2 = ⋅ d 2 4 U = 2 ⋅π ⋅ r = π ⋅ d Kugel: V= 4 π 1 O3 ⋅π ⋅ r 3 = ⋅ d 3 = ⋅ 3 6 6 π O = 4 ⋅ π ⋅ r 2 = π ⋅ d 2 = 3 36 ⋅ π ⋅ V 2 r= 1 O 3 3 ⋅V ⋅ = 2 π 4 ⋅π 3 ⋅V O = 2⋅3 π 4 ⋅π Quader: V = a ⋅b⋅c O = 2 ⋅ (a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ c ) d= d = a 2 + b2 + c2 Zylinder: V = π ⋅ r2 ⋅ h M = 2 ⋅π ⋅ r ⋅ h O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ (r + h ) Erstellt von Olaf Gramkow Seite: 6/7 Massenträgheitsmomente einiger Körper Hohlzylinder ( J x = 12 ⋅ m ⋅ ra2 + ri 2 ( ) J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ ra2 + ri 2 + 13 ⋅ l 2 dünnwandiger Hohlzylinder JS = Jx = m ⋅ r2 ( J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ 2 ⋅ r 2 + 13 ⋅ l 2 ) ) J x = 12 ⋅ m ⋅ r 2 Vollzylinder J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ r 2 + 121 ⋅ m ⋅ t 2 dünne Scheibe (l « r) J S = J x = 12 ⋅ m ⋅ r 2 J y = J z = 14 ⋅ m ⋅ r 2 dünner Stab (l » r) unabhängig von der Form des Querschnitts J x = 12 ⋅ m ⋅ r 2 dünner Ring Jx = m ⋅ r2 J S = J y = J z = 121 ⋅ m ⋅ l 2 J y = J z = 12 ⋅ m ⋅ r 2 Kugel, massiv J x = J y = J z = 25 ⋅ m ⋅ r 2 dünne Kugelschale J x = J y = J z = 23 ⋅ m ⋅ r 2 Quader J S = J x = 121 ⋅ m ⋅ b 2 + h 2 ( ⋅ m ⋅ (l ( J y = 121 ⋅ m ⋅ l 2 + h 2 J z = 121 2 + b2 ) ) ) Trigonometrische Funktionen Gegenkathete a sin α = = Hypotenuse c Ankathete b cos α = = Hypotenuse c Gegenkathete a = tan α = Ankathete b Ankathete b cot α = = Gegenkathete a sin 2 x + cos 2 x = 1 tan x = sin x 1 = cos x cot x π ⋅α 180° 180° Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß: α = ⋅x π Erstellt von Olaf Gramkow cot x = cos x 1 = sin x tan x Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß: x = Seite: 7/7
