EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
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Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung Seminar „Quantenmechanik” Johannes Hölck 20.12.2013 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Gliederung 1. Einleitung 2. Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon 3. Bellsche Ungleichung 4. Fazit 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 2 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit »Gott würfelt nicht!« 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 3 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit »Die Quantenmechanik ist sehr achtunggebietend. Aber eine innere Stimme sagt mir, daß das noch nicht der wahre Jakob ist. Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns kaum näher. Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der nicht würfelt.« Albert Einstein (1926) 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 4 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon • Einstein, Podolsky & Rosen (1935): „Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?” Albert Einstein Begriffe und Definitionen 20.12.2013 Boris Podolsky Abgeleitete Eigenschaften Nathan Rosen Gedankenexperiment Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung Widerspruch und Widerlegung 5 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Grundannahme Lokalität und Realismus sind fundamentale Eigenschaften der Welt! Lokalität • Wechselwirkungen auf unmittelbare Umgebung beschränkt • Relativität: raumartige Ereignisse können sich nicht beeinflussen Realismus • physikalische Größen existieren unabhängig von Messung ⇒ Messergebnisse stehen vorab fest • probabilistische Ergebnisse entstehen durch unbekannte „verborgene Parameter” 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 6 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Eigenschaften von Theorien • Eigenschaften einer „guten” physikalischen Theorie nach Einstein, Podolsky & Rosen: Korrektheit Vollständigkeit Übereinstimmung mit der Realität Jedes Element der physikalischen Realität besitzt eine Entsprechung in der Theorie. Experiment und Vergleich „Element der physikalischen Realität”? 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 7 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Physikalische Realität • Definition von Einstein, Podolsky & Rosen: „Eine physikalische Größe [= Observable], deren Wert mit Sicherheit vorhersagbar ist, ohne das System, an dem sie gemessen wird, zu stören, ist ein Element der physikalischen Realität.” Aˆ ψ a ψ • Kurz und knapp: 20.12.2013 σ A ² A : Observable a : eindeutige Konstante ψ Aˆ ² ψ ψ Aˆ ψ ² a ² ψ ψ a ψ ψ ² 0 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 8 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Physikalische Realität • Unschärfe zweier Observablen: σ A σ B 1 [ Aˆ , Bˆ ] 2 [A, B ]≠0 A und B nicht beide mit Sicherheit bestimmbar A und B nicht Elemente derselben physikalischen Realität • Folgerung: Physikalische Größen, deren Operatoren nicht kommutieren, können nicht beide real sein. 20.12.2013 oder Die quantenmechanische Beschreibung ist nicht vollständig. Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 9 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Gedankenexperiment 1 • Betrachte zwei Systeme I und II: – Wechselwirkung für – keine Wechselwirkung für 0≤t≤T T<t Lokalität • Wechselwirkung ⇒ Produktzustand für T < t ⇒ Entwickle in Eigenfunktionen eines Operators A von I: Ψ x ,ξ u n x ψ n ξ n 1 un : Eigenfunktionen zu Observable A x : Parameter von System I ξ : Parameter von System II • Messung von A ergibt k-ten Eigenwert ⇒ Kollaps: Ψ x ,ξ uk x ψ k ξ 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 10 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Gedankenexperiment 1 • Istψk Eigenfunktion zu Observable Γ von System II: ΓˆΨ x ,ξ Γˆ uk x ψ k ξ γ k Ψ x ,ξ γk : Eigenwert von Observable A bzgl. ψk ⇒ Messung von Γ würde mit Sicherheit ohne Störung des Systems I+II den Messwert γk ergeben Γ ist Element der physikalischen Realität 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 11 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Gedankenexperiment 2 • Alternativ: Entwicklung in Eigenfunktionen eines anderen Operators B von System I: Ψ x ,ξ v m x φm ξ m 1 Messung von B Ψ x ,ξ v l x φl ξ • Ist φr Eigenfunktion zu Observable Δ von System II: ΔˆΨ x ,ξ δ l Ψ x ,ξ Δ ist Element der physikalischen Realität 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 12 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Einfluss der Lokalität Mögliche Messung von A in System I Γ besitzt physikalische Realität in System II Lokalität System II nach möglicher Messung von A bzw. B unverändert Mögliche Messung von B in System I Δ besitzt physikalische Realität in System II Γ und Δ besitzen beide physikalische Realität Frage: Können Γ und Δ so gewählt werden, dass sie nicht kommutieren? 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 13 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Beispiel: Teilchenzerfall • Betrachte: Teilchenzerfall im Schwerpunktsystem I II pI xI • Identifiziere: P=0 X=0 A pI B xI pII = -pI xII = -xI Γ p II Δ x II σ p σΓ 0 II σx σΔ 0 II Aber: [ pˆ II , xˆ II ] i 0 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 14 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Ergebnis Physikalische Größen, deren Operatoren nicht kommutieren, können nicht beide real sein. oder Die quantenmechanische Beschreibung ist nicht vollständig. »While we have thus shown that the wave function does not provide a complete description of the physical reality, we left open the question of whether or not such a description exists. We believe, however, that such a theory is possible.« Einstein, Podolsky & Rosen 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 15 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Diskussion des EPR-Paradoxon • Abhängigkeit der Realitäts-Definition von Messung: »Indeed, one would not arrive at our conclusion if one insisted that two or more physical quantities can be regarded as simultaneous elements of reality only when they can be simultaneously measured or predicted.« • Bohr (Juli 1935): – unangemessene Definition der „störungsfreien Messung” ⇒ Rolle des Messapparats: Versuchsaufbau zur Vorhersage von pII Teil des Gesamtsystems ⇒ schließt Messung von xII aus! – Γ und Δ Elemente komplementärer Realitäten Niels Bohr 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 16 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Diskussion des EPR-Paradoxon Vervollständigung der Quantenmechanik zu lokaler realistischer Theorie möglich? 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 17 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Weiterentwicklung der Thematik • Bohm & Aharonov (1957): – Neuformulierung des EPRGedankenexperimentes – Ort & Impuls ⇒ Spin-Komponenten – Singulett-Zustand: Ψ S , S z 0, 0 David Bohm I sI II S 0 s II s I Yakir Aharonov 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 18 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Bellsche Ungleichung • Bell (1964): „On the Einstein Podolsky Rosen Paradox” – Ableitung einer mathematischen Relation, die jede lokale, realistische Theorie erfüllt – Quantenmechanik erfüllt die Relation nicht! ⇒ Werkzeug zur experimentellen Falsifikation einer der beiden Theorien! Experiment und Annahmen 20.12.2013 Ableitung mathematischer Relation Widerspruch zur QM Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung John Bell Experimentelle Überprüfung 19 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Experimenteller Aufbau II B s II I A S 0 sI Messungen raumartig getrennt 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 20 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Experimenteller Aufbau • Spin zweier Spin½-Teilchen I und II: sI σI 2 σ I σ x , σ y , σ z I T analog für s II • Messung des Spins entlang normierter Achsen: σ I a 1 σ II b 1 a ,b mit a b 1 • Strenge Antikorrelation entlang gleicher Achsen: σ I σ II σ I a σ II a 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 21 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Annahmen Realismus • Ergebnisse A und B der Spinmessungen sind durch äußere Parameter von vornherein festgelegt: Aσ I a Aa ,b , λ 1 B σ II b B a ,b , λ 1 mit unbekannten „verborgenen Parametern” λ Lokalität • Messvorgänge beeinflussen sich nicht gegenseitig: Aa ,b , λ Aa , λ 20.12.2013 B a ,b , λ B b , λ Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 22 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Ableitung der Ungleichung • Statt Einzelmessungen ⇒ Produkt der Spinkomponenten: σ I a σ II b p a ,b , λ Aa , λ B b , λ • „Verborgene Parameter” nicht bekannt ⇒ Mittelung: P a ,b dλ ρ λ p a ,b , λ dλ ρ λ Aa , λ B b , λ mit 0 ρ λ 1 dλ ρ λ 1 P : „Korrelation” mit 1 P a ,b 1 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 23 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Ableitung der Ungleichung • Ergebnis: 1 P b ,c P a ,b P a ,c Ursprüngliche Formulierung von Bell (1964) 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 24 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Graphische Darstellung y • Wähle koplanare Achsen: ⇒ a , b , c liegen in einer Ebene (linear abhängig) ⇒ vollständige Beschreibung durch Relativwinkel P a ,b P φ P b ,c P θ P a ,c P φ θ 20.12.2013 φ +θ θ φ x P θ P φ P φ θ 1 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 25 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Graphische Darstellung • Wähle θ = φ und nutze Eigenschaften von P (θ ): – Anti-Korrelation: P (0°) = -1 , P (180°) = 1 – Periodizität: P θ 2π P θ – Monotonie für θ ∊ [0°, 180°] P θ P θ P 2θ 1 P θ P 2θ P θ 1 P θ 1 P 2θ 1 2 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 26 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Quantenmechanischer Erwartungswert PQM b ,c σ I b σ II c σ I b σ I c Operatoren zu Spin-Komponenten: Pauli-Matrizen ˆ ˆ ˆ Mit σ I b σ I c b c iσ I b c und σ I 0 folgt: PQM b ,c b c cos θ 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 27 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Vergleich Erfüllt QM die Ungleichung? Wähle: θ = φ = 60° / cos 60 cos 120 1 cos 60 1 2 11 1 2 2 Bellsche Ungleichung ⇒ Quantenmechanik verletzt Bellsche Ungleichung! QM Welche Theorie ist nun richtig? ⇒ Experiment! 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 28 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Erste Messergebnisse Jahr Arbeitsgruppe 1972 Freedman & Clauser QM 1973 Holt & Pipkin Bell 1974 Faraci, Gutkowski, Notarrigo & Pennisi Bell 1975 Kasday, Ullman & Wu QM Lamehi-Rachti & Mittig QM Clauser QM Fry & Randall QM 1976 … 20.12.2013 Ergebnis • Stand 1976: 5:2 für Quantenmechanik! • heutiger Stand: Bellsche Ungleichung ist verletzt! Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 29 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Weiterentwicklungen • Clauser, Horne, Shimony & Holt (1969): – allgemeinere Formulierung: Bell-CHSH-Ungleichung – Lockerung der strengen Korrelation: P a ,a 1 i.A. – Berücksichtigung Messgenauigkeit: Aa , λ 1 i.A. 2 P b ,b P b ,c P a ,b P a ,c Ausweitung der möglichen Experimente z.B. verschränkte Photonen aus Atomübergängen/Paarvernichtung ⇒ Messung der Polarisationen 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 30 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Experimenteller Aufbau für Photonen B II I II I I A Messungen raumartig getrennt 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 31 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Erste Messergebnisse Jahr Arbeitsgruppe 1972 Freedman & Clauser QM Übergangs-Photonen 1973 Holt & Pipkin Bell Übergangs-Photonen 1974 Faraci, Gutkowski, Notarrigo & Pennisi Bell Annihilations-Photonen 1975 Kasday, Ullman & Wu QM Annihilations-Photonen Lamehi-Rachti & Mittig QM Singulett-Protonen Clauser QM Übergangs-Photonen Fry & Randall QM Übergangs-Photonen 1976 Ergebnis Testobjekt … 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 32 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Experimentelle Probleme • „Lokalitätsschlupfloch” Wahl der Messachsen dürfen gegenseitig nicht „bekannt” sein ⇒ raumartige Trennung der Messvorgänge ⇒ zufällige Wahl der Achsen kurz vor Detektion • „Nachweisschlupfloch” geringe Nachweisquote realer Detektoren (z.T. ˂5%) ⇒ alle nicht-erfassten Photonen werden fälschlicherweise als „Negativ”-Ereignisse gewertet 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 33 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Weiterentwicklungen II • Greenberger, Horne, Zeilinger (1989) – verschränkter Drei-Teilchenzustand – statt Erwartungswerten: eindeutiger Nachweis durch 4 Messungen! ⇒ siehe Vortrag zum Thema „Verschränkung” (26.10.13) 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 34 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Besondere Experimente Jahr Arbeitsgruppe Besonderheit 1998 Tittel Verschränkung über mehrere Kilometer 1998 Weih & Zeilinger Verbesserte Zufallsauswahl der Achsen durch QM-Prozess 30σ -Abweichung von Bell-CHSH 2000 Pan et al. Erstes GHZ-Experiment 2001 Rowe et al. Detektionsrate ≥90% 2007 Gröblacher et al. Zusätzlich Ausschluss einiger nichtlokaler realistischer Theorien 2008 Salart et al. 30 km Separation zwischen Detektoren … 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 35 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Zusammenfassung Lokale realistische Theorien sind mit der Wirklichkeit unvereinbar! Quantenmechanik kann nicht im Sinne Einsteins „vervollständigt” werden. 20.12.2013 Lokalität und/oder Realismus falsch? Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 36 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit Ausblick Quantenmechanik Nicht-lokale nichtrealistische Theorien Lokalität und Realismus Lokale nichtrealistische Theorien 20.12.2013 De-BroglieBohmTheorie Nichtlokale realistische Theorien Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 37 Einleitung EPR-Paradoxon Bellsche Ungleichung Fazit De-Broglie-Bohm-Theorie • Entwickelt von De Broglie & Bohm (unabhängig voneinander) • Definiert durch 2 Grundgleichungen: 1 2 ψ i Hψ t dQ i i S mit ψ ψ exp i S dt mi h Q i : Teilchenorte • Teilchenort = „Verborgene Parameter” Unkenntnis Anfangsbedingungen ⇒ probabilistische Ergebnisse • Übereinstimmung mit Quantenmechanik in allen bisher überprüfbaren Situationen 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 38 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit! Noch Fragen? Frohe Weihnachten! 20.12.2013 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 39 Quellen • Literatur: – – – – – – – – – – – – • Bilder: – – – – – • A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen: Can Quantum-Mechanical Description Be Considered Complete? In: Physical Review 47 (1935), S. 777-780 N. Bohr: Can Quantum-Mechanical Description Be Considered Complete? In: Physical Review 48 (1935), S. 696-702 J. S. Bell: On the Einstein Podolsky Rosen paradox. In: Physics. 1, Nr. 3 (1964), S. 195-200 J. F. Clauser, M.A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt: Proposed experiment to test local hidden-variable theories. In: Physical Review Letters 23, Nr. 15 (1969), S. 880-884 J. F. Clauser, M. A. Horne: Experimental consequences of objective local theories. In: Physical Review 10, Nr. 2 (1974), S. 526-535 B. D‘Espagnat: The Quantum Theory and Reality. In: Scientific American 241, Nr. 11 (1979), S. 158-181 B. D‘Espagnat: Nonseparability and the tentative descriptions of reality. In: Physics Report 110, Nr. 4 (1984), S. 201-264 F. Schwabl: EPR-Argument, Versteckte Parameter, Bellsche Ungleichung. In: Quantenmechanik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2007, S. 397-403 S. Gröblacher et al.: An experimental test of non-local realism. In: Nature 446 (2007), S. 871-875 G. Weihs: Ein Experiment zum Test der Bellschen Ungleichung unter Einsteinscher Lokalität. http://www.uibk.ac.at/exphys/photonik/people/gwdiss.pdf (abgerufen am 09.12.2013) http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_test_experiments (abgerufen am 09.12.2013) http://de.wikipedia.org/wiki/De-Broglie-Bohm-Theorie (abgerufen am 18.12.2013) Portraits von A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen: http://img.blog.timecomm.info/20120607_2634724.jpg (abgerufen am 08.12.2013) Portrait von N. Bohr: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Niels_Bohr.jpg (abgerufen am 08.12.2013) Portrait von D. Bohm: http://www.theosophy-nw.org/theosnw/science/bohm1ol.jpg (abgerufen am 09.12.2013) Portrait von Y. Aharonov: http://www.aip.org/history/acap/images/bios/aharonovy.jpg (abgerufen am 09.12.2013) Portrait von J. S. Bell: http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/bell.jpg (abgerufen am 09.12.2013) Zitate: – 20.12.2013 A. Einstein: „Die Quantenmechanik ist sehr achtung-gebietend […]” - Brief an Max Born, 4. Dezember 1926 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung 40
