EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung

Werbung
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon
und Bellsche Ungleichung
Seminar „Quantenmechanik”
Johannes Hölck
20.12.2013
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Gliederung
1. Einleitung
2. Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon
3. Bellsche Ungleichung
4. Fazit
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
2
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
»Gott würfelt nicht!«
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
3
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
»Die Quantenmechanik ist sehr
achtunggebietend. Aber eine innere
Stimme sagt mir, daß das noch nicht der
wahre Jakob ist. Die Theorie liefert viel,
aber dem Geheimnis des Alten bringt sie
uns kaum näher. Jedenfalls bin ich
überzeugt, daß der nicht würfelt.«
Albert Einstein (1926)
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
4
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon
• Einstein, Podolsky & Rosen (1935):
„Can quantum-mechanical description of physical reality be considered
complete?”
Albert Einstein
Begriffe und
Definitionen
20.12.2013
Boris Podolsky
Abgeleitete
Eigenschaften
Nathan Rosen
Gedankenexperiment
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
Widerspruch
und
Widerlegung
5
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Grundannahme
Lokalität und Realismus sind
fundamentale Eigenschaften der Welt!
Lokalität
• Wechselwirkungen auf unmittelbare Umgebung beschränkt
• Relativität: raumartige Ereignisse können sich nicht beeinflussen
Realismus
• physikalische Größen existieren unabhängig von Messung
⇒ Messergebnisse stehen vorab fest
• probabilistische Ergebnisse entstehen durch unbekannte „verborgene
Parameter”
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
6
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Eigenschaften von Theorien
• Eigenschaften einer „guten” physikalischen Theorie nach
Einstein, Podolsky & Rosen:
Korrektheit
Vollständigkeit
Übereinstimmung mit der
Realität
Jedes Element der physikalischen
Realität besitzt eine
Entsprechung in der Theorie.
Experiment und Vergleich
„Element der physikalischen
Realität”?
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
7
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Physikalische Realität
• Definition von Einstein, Podolsky & Rosen:
„Eine physikalische Größe [= Observable], deren Wert mit
Sicherheit vorhersagbar ist, ohne das System, an dem sie
gemessen wird, zu stören, ist ein Element der physikalischen
Realität.”
Aˆ ψ  a ψ
• Kurz und knapp:

20.12.2013
σ A ² 
A : Observable
a : eindeutige Konstante
ψ Aˆ ² ψ  ψ Aˆ ψ ²
 a ²  ψ ψ  a  ψ ψ ²  0
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
8
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Physikalische Realität
• Unschärfe zweier Observablen: σ A σ B  1 [ Aˆ , Bˆ ]
2
[A, B ]≠0
A und B nicht beide mit
Sicherheit bestimmbar
A und B nicht Elemente
derselben physikalischen
Realität
• Folgerung:
Physikalische Größen,
deren Operatoren nicht
kommutieren, können
nicht beide real sein.
20.12.2013
oder
Die quantenmechanische
Beschreibung ist nicht
vollständig.
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
9
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Gedankenexperiment 1
• Betrachte zwei Systeme I und II:
– Wechselwirkung für
– keine Wechselwirkung für
0≤t≤T
T<t
Lokalität
• Wechselwirkung ⇒ Produktzustand für T < t
⇒ Entwickle in Eigenfunktionen eines Operators A von I:

Ψ x ,ξ   u n x  ψ n ξ 
n 1
un : Eigenfunktionen zu Observable A
x : Parameter von System I
ξ : Parameter von System II
• Messung von A ergibt k-ten Eigenwert ⇒ Kollaps:
Ψ x ,ξ   uk x  ψ k ξ 
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
10
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Gedankenexperiment 1
• Istψk Eigenfunktion zu Observable Γ von System II:
ΓˆΨ x ,ξ   Γˆ uk x  ψ k ξ   γ k Ψ x ,ξ 
γk : Eigenwert von Observable A bzgl. ψk
⇒ Messung von Γ würde mit Sicherheit ohne Störung des
Systems I+II den Messwert γk ergeben
Γ ist Element der
physikalischen Realität
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
11
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Gedankenexperiment 2
• Alternativ: Entwicklung in Eigenfunktionen eines anderen
Operators B von System I:

Ψ x ,ξ   v m x  φm ξ 
m 1
Messung von B

Ψ x ,ξ  v l x  φl ξ 
• Ist φr Eigenfunktion zu Observable Δ von System II:
ΔˆΨ x ,ξ   δ l Ψ x ,ξ 
Δ ist Element der
physikalischen Realität
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
12
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Einfluss der Lokalität
Mögliche Messung
von A
in System I
Γ besitzt
physikalische Realität
in System II
Lokalität
System II nach
möglicher Messung von
A bzw. B unverändert
Mögliche Messung
von B
in System I
Δ besitzt
physikalische Realität
in System II
Γ und Δ besitzen beide physikalische Realität
Frage: Können Γ und Δ so gewählt werden,
dass sie nicht kommutieren?
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
13
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Beispiel: Teilchenzerfall
• Betrachte: Teilchenzerfall im Schwerpunktsystem
I
II
pI
xI
• Identifiziere:
P=0
X=0
A  pI
B  xI
pII = -pI
xII = -xI
Γ  p II
Δ  x II
σ p σΓ  0
II
σx σΔ  0
II
Aber: [ pˆ II , xˆ II ]  i  0
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
14
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Ergebnis
Physikalische Größen,
deren Operatoren nicht
kommutieren, können
nicht beide real sein.
oder
Die quantenmechanische
Beschreibung ist nicht
vollständig.
»While we have thus shown that the wave function does not provide a
complete description of the physical reality, we left open the question of
whether or not such a description exists. We believe, however, that such
a theory is possible.«
Einstein, Podolsky & Rosen
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
15
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Diskussion des EPR-Paradoxon
• Abhängigkeit der Realitäts-Definition von Messung:
»Indeed, one would not arrive at our conclusion if one insisted that two
or more physical quantities can be regarded as simultaneous elements
of reality only when they can be simultaneously measured or predicted.«
• Bohr (Juli 1935):
– unangemessene Definition der „störungsfreien
Messung” ⇒ Rolle des Messapparats:
Versuchsaufbau zur Vorhersage von pII Teil des
Gesamtsystems ⇒ schließt Messung von xII aus!
– Γ und Δ Elemente komplementärer Realitäten
Niels Bohr
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
16
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Diskussion des EPR-Paradoxon
Vervollständigung der
Quantenmechanik zu lokaler
realistischer Theorie möglich?
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
17
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Weiterentwicklung der Thematik
• Bohm & Aharonov (1957):
– Neuformulierung des EPRGedankenexperimentes
– Ort & Impuls ⇒ Spin-Komponenten
– Singulett-Zustand: Ψ  S , S z  0, 0
David Bohm
I

sI
II

S 0


s II  s I
Yakir Aharonov
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
18
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Bellsche Ungleichung
• Bell (1964):
„On the Einstein Podolsky Rosen Paradox”
– Ableitung einer mathematischen Relation,
die jede lokale, realistische Theorie erfüllt
– Quantenmechanik erfüllt die Relation nicht!
⇒ Werkzeug zur experimentellen Falsifikation
einer der beiden Theorien!
Experiment und
Annahmen
20.12.2013
Ableitung
mathematischer
Relation
Widerspruch
zur QM
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
John Bell
Experimentelle
Überprüfung
19
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Experimenteller Aufbau
II
B

s II
I
A

S 0

sI
Messungen
raumartig getrennt
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
20
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Experimenteller Aufbau
• Spin zweier Spin½-Teilchen I und II:



sI  σI
2
σ I  σ x , σ y , σ z I

T
analog für

s II
• Messung des Spins entlang normierter Achsen:

 

 
 
σ I  a  1 σ II  b  1
a ,b mit a  b 1
• Strenge Antikorrelation entlang gleicher Achsen:


 
 
σ I  σ II

σ I  a  σ II  a
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
21
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Annahmen
Realismus
• Ergebnisse A und B der Spinmessungen sind durch äußere
Parameter von vornherein festgelegt:
 
 
Aσ I  a   Aa ,b , λ   1
 
B σ II  b   B a ,b , λ   1


mit unbekannten „verborgenen Parametern” λ
Lokalität
• Messvorgänge beeinflussen sich nicht gegenseitig:
 

Aa ,b , λ   Aa , λ 
20.12.2013

 
B a ,b , λ   B b , λ 
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
22
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Ableitung der Ungleichung
• Statt Einzelmessungen ⇒ Produkt der Spinkomponenten:

 

   
σ I  a σ II b   p a ,b , λ   Aa , λ  B b , λ 
• „Verborgene Parameter” nicht bekannt ⇒ Mittelung:

 
 

P a ,b    dλ ρ λ  p a ,b , λ    dλ ρ λ  Aa , λ  B b , λ 
mit
0  ρ λ   1
 dλ ρ λ   1
 
P : „Korrelation” mit  1  P a ,b   1
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
23
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Ableitung der Ungleichung
• Ergebnis:
 
 
 
1  P b ,c   P a ,b   P a ,c 
Ursprüngliche Formulierung von Bell (1964)
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
24
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Graphische Darstellung
y
• Wähle koplanare Achsen:
  
⇒ a , b , c liegen in einer Ebene
(linear abhängig)
⇒ vollständige Beschreibung
durch Relativwinkel
 
P a ,b   P φ 
 
P b ,c   P θ 
 
P a ,c   P φ  θ 
20.12.2013
φ +θ
θ
φ
x
P θ   P φ   P φ  θ   1
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
25
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Graphische Darstellung
• Wähle θ = φ und nutze
Eigenschaften von P (θ ):
– Anti-Korrelation:
P (0°) = -1 , P (180°) = 1
– Periodizität: P θ  2π  P θ 
– Monotonie für θ ∊ [0°, 180°]
P θ   P θ   P 2θ   1
 P θ   P 2θ   P θ   1
 P θ   1 P 2θ   1
2
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
26
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Quantenmechanischer Erwartungswert
 
   
   
PQM b ,c   σ I  b σ II  c    σ I  b σ I  c 
Operatoren zu Spin-Komponenten: Pauli-Matrizen
ˆ  ˆ    ˆ  

Mit σ I  b σ I  c   b  c  iσ I  b  c  und σ I  0 folgt:
 
 
PQM b ,c    b  c   cos θ 
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
27
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Vergleich
Erfüllt QM die Ungleichung?
Wähle: θ = φ = 60°
  / 

 cos 60  cos 120  1
cos
60



1
2
11 1
2 2
Bellsche
Ungleichung
⇒ Quantenmechanik verletzt
Bellsche Ungleichung!
QM
Welche Theorie ist nun richtig?
⇒ Experiment!
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
28
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Erste Messergebnisse
Jahr
Arbeitsgruppe
1972
Freedman & Clauser
QM
1973
Holt & Pipkin
Bell
1974
Faraci, Gutkowski,
Notarrigo & Pennisi
Bell
1975
Kasday, Ullman & Wu
QM
Lamehi-Rachti & Mittig
QM
Clauser
QM
Fry & Randall
QM
1976
…
20.12.2013
Ergebnis
• Stand 1976:
5:2 für
Quantenmechanik!
• heutiger Stand:
Bellsche
Ungleichung ist
verletzt!
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
29
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Weiterentwicklungen
• Clauser, Horne, Shimony & Holt (1969):
– allgemeinere Formulierung: Bell-CHSH-Ungleichung
 
– Lockerung der strengen Korrelation: P a ,a   1 i.A.

– Berücksichtigung Messgenauigkeit: Aa , λ   1 i.A.
 
 
 
 


2  P b ,b   P b ,c   P a ,b   P a ,c 
Ausweitung der möglichen Experimente
z.B. verschränkte Photonen aus Atomübergängen/Paarvernichtung
⇒ Messung der Polarisationen
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
30
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Experimenteller Aufbau für Photonen
B
II

I

 II    I

I
A
Messungen
raumartig getrennt
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
31
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Erste Messergebnisse
Jahr
Arbeitsgruppe
1972
Freedman & Clauser
QM
Übergangs-Photonen
1973
Holt & Pipkin
Bell
Übergangs-Photonen
1974
Faraci, Gutkowski,
Notarrigo & Pennisi
Bell
Annihilations-Photonen
1975
Kasday, Ullman & Wu
QM
Annihilations-Photonen
Lamehi-Rachti & Mittig
QM
Singulett-Protonen
Clauser
QM
Übergangs-Photonen
Fry & Randall
QM
Übergangs-Photonen
1976
Ergebnis Testobjekt
…
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
32
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Experimentelle Probleme
• „Lokalitätsschlupfloch”
Wahl der Messachsen dürfen gegenseitig nicht „bekannt” sein
⇒ raumartige Trennung der Messvorgänge
⇒ zufällige Wahl der Achsen kurz vor Detektion
• „Nachweisschlupfloch”
geringe Nachweisquote realer Detektoren (z.T. ˂5%)
⇒ alle nicht-erfassten Photonen werden fälschlicherweise als
„Negativ”-Ereignisse gewertet
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
33
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Weiterentwicklungen II
• Greenberger, Horne, Zeilinger (1989)
– verschränkter Drei-Teilchenzustand
– statt Erwartungswerten: eindeutiger Nachweis durch 4 Messungen!
⇒ siehe Vortrag zum Thema „Verschränkung” (26.10.13)
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
34
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Besondere Experimente
Jahr
Arbeitsgruppe
Besonderheit
1998
Tittel
Verschränkung über mehrere Kilometer
1998
Weih & Zeilinger
Verbesserte Zufallsauswahl der Achsen
durch QM-Prozess
30σ -Abweichung von Bell-CHSH
2000
Pan et al.
Erstes GHZ-Experiment
2001
Rowe et al.
Detektionsrate ≥90%
2007
Gröblacher et al.
Zusätzlich Ausschluss einiger nichtlokaler realistischer Theorien
2008
Salart et al.
30 km Separation zwischen Detektoren
…
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
35
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Zusammenfassung
Lokale realistische
Theorien sind mit der
Wirklichkeit
unvereinbar!
Quantenmechanik kann
nicht im Sinne Einsteins
„vervollständigt”
werden.
20.12.2013
Lokalität und/oder
Realismus falsch?
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
36
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
Ausblick
Quantenmechanik
Nicht-lokale
nichtrealistische
Theorien
Lokalität
und
Realismus
Lokale
nichtrealistische
Theorien
20.12.2013
De-BroglieBohmTheorie
Nichtlokale
realistische
Theorien
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
37
Einleitung
EPR-Paradoxon
Bellsche Ungleichung
Fazit
De-Broglie-Bohm-Theorie
• Entwickelt von De Broglie & Bohm (unabhängig voneinander)
• Definiert durch 2 Grundgleichungen:
1
2
ψ
i
 Hψ
t


dQ i  i S

mit ψ  ψ exp i S 
dt
mi
h 

Q i : Teilchenorte
• Teilchenort = „Verborgene Parameter”
Unkenntnis Anfangsbedingungen ⇒ probabilistische Ergebnisse
• Übereinstimmung mit Quantenmechanik in allen bisher
überprüfbaren Situationen
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
38
Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!
Noch Fragen?
Frohe Weihnachten! 
20.12.2013
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
39
Quellen
•
Literatur:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
•
Bilder:
–
–
–
–
–
•
A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen: Can Quantum-Mechanical Description Be Considered Complete? In: Physical Review 47 (1935),
S. 777-780
N. Bohr: Can Quantum-Mechanical Description Be Considered Complete? In: Physical Review 48 (1935), S. 696-702
J. S. Bell: On the Einstein Podolsky Rosen paradox. In: Physics. 1, Nr. 3 (1964), S. 195-200
J. F. Clauser, M.A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt: Proposed experiment to test local hidden-variable theories. In: Physical Review
Letters 23, Nr. 15 (1969), S. 880-884
J. F. Clauser, M. A. Horne: Experimental consequences of objective local theories. In: Physical Review 10, Nr. 2 (1974), S. 526-535
B. D‘Espagnat: The Quantum Theory and Reality. In: Scientific American 241, Nr. 11 (1979), S. 158-181
B. D‘Espagnat: Nonseparability and the tentative descriptions of reality. In: Physics Report 110, Nr. 4 (1984), S. 201-264
F. Schwabl: EPR-Argument, Versteckte Parameter, Bellsche Ungleichung. In: Quantenmechanik. Springer Verlag, Berlin
Heidelberg 2007, S. 397-403
S. Gröblacher et al.: An experimental test of non-local realism. In: Nature 446 (2007), S. 871-875
G. Weihs: Ein Experiment zum Test der Bellschen Ungleichung unter Einsteinscher Lokalität.
http://www.uibk.ac.at/exphys/photonik/people/gwdiss.pdf (abgerufen am 09.12.2013)
http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_test_experiments (abgerufen am 09.12.2013)
http://de.wikipedia.org/wiki/De-Broglie-Bohm-Theorie (abgerufen am 18.12.2013)
Portraits von A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen: http://img.blog.timecomm.info/20120607_2634724.jpg (abgerufen am
08.12.2013)
Portrait von N. Bohr: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Niels_Bohr.jpg (abgerufen am 08.12.2013)
Portrait von D. Bohm: http://www.theosophy-nw.org/theosnw/science/bohm1ol.jpg (abgerufen am 09.12.2013)
Portrait von Y. Aharonov: http://www.aip.org/history/acap/images/bios/aharonovy.jpg (abgerufen am 09.12.2013)
Portrait von J. S. Bell: http://th.physik.uni-frankfurt.de/~jr/gif/phys/bell.jpg (abgerufen am 09.12.2013)
Zitate:
–
20.12.2013
A. Einstein: „Die Quantenmechanik ist sehr achtung-gebietend […]” - Brief an Max Born, 4. Dezember 1926
Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon und Bellsche Ungleichung
40
Herunterladen