E10 Wechselstromwiderstände: Serienschwingkreis
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Physikalisches Anfängerpraktikum Universität Stuttgart WS 2013/14 Protokoll zum Versuch E10 Wechselstromwiderstände: Serienschwingkreis Johannes Horn, Robin Lang 28.03.2014 Verfasser: Mitarbeiter: Gruppennummer: Datum: Betreuer: Robin Lang (BSc. Mathematik) Johannes Horn (BSc. Mathematik) ST 28.03.2014 Dubravka Ukalovic̄ 1 Inhaltsverzeichnis E10 Wechselstromwiderstände Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 3 2 Grundlagen 2.1 Ohmscher Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kapazitiver Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Induktiver Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 4 3 Fragen 4 4 Messprinzip mit Skizze und Versuchsablauf 4.1 Versuchsaufbau und -durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Verwendete Geräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 6 5 Benötigte Formeln 5.1 Abgleichbedingung bei der Wheatstone’schen Brückenschaltung 5.2 Berechnung des Widerstandes mit Serien-RC-Glied . . . . . . . . 5.3 Berechnung des Widerstandes mit Parallel-RC-Glied . . . . . . . 5.4 Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 7 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Messwerte 7 7 Auswertung 7.1 Teilaufgaben a) und b) Impedanz, Phase, Wirk-, Blind- und Scheinwiderstand 7.2 Teilaufgabe c) Grafische Aufbereitung der Messwerte und Bestimmung der Resonanzfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 10 8 Fehlerdiskussion 11 9 Zusammenfassung 12 10 Literatur 13 Seite 2 von 13 2 GRUNDLAGEN E10 Wechselstromwiderstände 1 Aufgabenstellung Im Versuch soll der komplexe Widerstande eines Bauteils mit unbekanntem komplexen Widerstand in Abhänigikeit von der Wechselstromfrequenz bestimmt werden. Dazu nutzt man eine Wheatstone’sche Brückenschaltung, die durch ein RC-Glied mit einem veränderbaren Widerstand abgeglichen wird. Dann ist der komplexe Widerstand des Bauteils durch die anderen bekannten Widerstände berechenbar. 2 Grundlagen In Wechselstromkreisen gibt es drei verschieden Arten von Widerständen, da sich die Widerstände nicht nur auf die Amplituden von Stromstärke und Spannung auswirken, sondern auch die Phasenlage verändern. Um diese beiden Eigenschaften eines Widerstands wiederzugeben, greift man auf die komplexen Zahlen zurück. Betachtet man die komplexen Zahlen in Polarkoordinaten, so gibt der Betrag der komplexen Zahl, der Scheinwiderstand, wie beim Gleichstrom das Verhältnis von Spannung zur Stromstärke an und der Winkel entspricht der Phasenverschiebung von Stromstärke und Spannung. Im Folgenden werden die drei Grundtypen von komplexen Widerständen kurz erläutert. [1] [2] 2.1 Ohmscher Widerstand Ohmsche Widerstände entsprechen keine Phasenverschiebung. Das heißt, sie sind rein reell und es gilt wie bei Gleichstrom U0 ZR = , I0 wobei U0 und I0 die Amplituden der Wechselspannung bzw. des Wechselstroms beschreiben. 2.2 Kapazitiver Widerstand Kapazitive Widerstände werden durch Kondensatoren hervorgerufen. Für diese gilt mit der Kapazität C des Kondesators Q = C · U. Daraus folgt durch differenzieren I = C · U̇ . Damit folgt, wenn man von einer Wechselspannungsquelle mit U (t) = U0 · eiωt ausgeht, I (t) = iωC · U0 · eiωt = iωC · U (t) . Also ergibt sich der komplexe Widerstand eines Kondesators zu ZC = 1 1 U (t) = = −i I (t) iωC ωC Dieser ist wegen Re( Zc ) = 0 rein imaginär und wirkt sich demnach nicht auf das Verhältnis der Amplituden aus. Andererseits ergibt sich aber eine Phasenverschiebung von − π2 zwischen Stormstärke und Spannung. Seite 3 von 13 4 MESSPRINZIP MIT SKIZZE UND VERSUCHSABLAUF E10 Wechselstromwiderstände 2.3 Induktiver Widerstand Induktive Widerstände werden durch Spulen hervorgerufen. Für eine Spule folgt aus dem Induktionsgesetz: U = L · İ wobei L die Induktivität bezeichnet. Damit ergibt sich, mit einem Wechselstrom I (t) = I0 · eiωt U = iωL · I . Und damit ein komplexer Widerstand von ZL = U (t) = iωL I (t) Dieser ist wiederrum rein imaginär, erzeugt aber eine Phasenverschiebung von π 2. 3 Fragen Siehe handschriftliche Bearbeitung im Anhang. 4 Messprinzip mit Skizze und Versuchsablauf 4.1 Versuchsaufbau und -durchführung Abbildung 1: Versuchsaufbau [4] Bei dem zu untersuchenden Schaltkreis handelt es sich um eine Wheatstone’sche Brückenschaltung, welche über einen Differenzverstärker an einem digitalen Oszilloskop angeschlossen ist. Durch das Anlegen von Spannung variierender Frequenzen mithilfe des Frequenzgenerators wird die Brückenschaltung dann durch Variation der Kapazität des Kondensators und des Potentiometers näherungsweise angeglichen. ZuVermeidung von Messungenauigkeiten wurden diese beiden Bauteile geerdet. Der Angleich-Vorgang findet mithilfe der Betrachtung der zwischen D und B (vgl. Abbildung 2, 3) anliegenden Potentialdifferenz statt, welche minimiert werden soll und am Oszilloskop (Pk-Pk-Value1 ) abgelesen werden kann. Notiert werden hierbei die Frequenz der 1 Um übermäßiges Rauschen zu verhindern, wurde das Oszilloskop auf 128−fache Mittelwertbildung des Inputsignals eingestellt. Seite 4 von 13 4 MESSPRINZIP MIT SKIZZE UND VERSUCHSABLAUF E10 Wechselstromwiderstände Spannungsquelle, der zugehörige ohmsche Widerstand und die eingestellte Kapazität des variablen Kondensators. Hierbei sollen jeweils mindestens zehn Frequenzen 0, 2 kHz = f 1 < f 2 < . . . < f 10 < f 0 unterhalb der Resonanzfrequenz und mindestens zehn Frequenzen f 0 < f 11 < . . . < f 20 = 8, 0 kHz überhalb dieser aufgezeichnet werden, wobei die lokale Schrittweite mit abnehmendem Abstand zu f 0 ebenfalls abnimmt2 (vergleiche Kapitel 6 Messwerte). Abbildung 2: Schaltkreis für ω < ω0 [3] Sei f 0 bzw. ω0 die Resonanz(-kreis)frequenz des Schwingkreises. Während für Frequenzen ω < ω0 ein Reihen-RC-Glied verwendet wird (Abbildung 2), tauscht man dieses für ω > ω0 durch ein Parallel-RC-Glied aus (Abbildung 3), da diese Schaltung in der Lage ist positive Phasen abzugleichen, während mit der Schaltung aus Abbildung 2 nur negativen Phasen abgeglichen werden können. Abbildung 3: Schaltkreis für ω > ω0 [3] 2 Die Resonanzfrequenz f 0 wird vor dem Versuch durch Überbrückung von Kondensator und Potentiometer grob geschätzt (Schätzung siehe Kapitel 6) Seite 5 von 13 5 BENÖTIGTE FORMELN E10 Wechselstromwiderstände 4.2 Verwendete Geräte • Wechselstrommessbrücke – Steckplatine – Zwei Widerstände mit R1 = R2 = R3 = 4, 7 kΩ – Variabler Widerstand (Potentiometer) – Variabler Kondensator (40 pF bis 1, 2 µF) – Blackbox mit zu bestimmendem komplexen Widerstand – Steckverbindung (Brücke) • Frequenzgenerator (0, 2 Hz - 8 kHz) • Differenzverstärker • Digitales Oszilloskop • Verbindungskabel 5 Benötigte Formeln 5.1 Abgleichbedingung bei der Wheatstone’schen Brückenschaltung Ist die Brücke abgeglichen, besitzen also die Punkte B und D (vgl. Abbildung 4) keine Potentialdifferenz, ∆UDB = 0, so ergibt sich aus dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz folgender Zusammenhang zwischen Stromstärke und komplexem Widerstand: Abbildung 4: Wheatstone’sche Brückenschaltung [3] Zx I1 = Z2 I2 (1) Z3 I1 = Z4 I2 (2) Aus der zweiten Gleichung folgt I2 = Z3 I1 Z4 Zx = Z2 Z3 . Z4 und damit aus der ersten Gleichung (∗) Seite 6 von 13 6 MESSWERTE E10 Wechselstromwiderstände 5.2 Berechnung des Widerstandes mit Serien-RC-Glied Der Gesamtwiderstand des Serien-RC-Glieds beläuft sich auf Z2 = Rn + 1 . iωCn Da außerdem Z3 = Z4 = const gilt, ergibt sich mit 5 (3) Zx = Z2 = Rn + 1 1 = Rn − i . iωCn ωCn Damit erhält man einen Scheinwiderstand von s | Zx | = R2n + (4) 1 . (ωCn )2 (5) 5.3 Berechnung des Widerstandes mit Parallel-RC-Glied Der Gesamtwiderstand des Parallel-RC-Glieds beläuft sich auf −1 1 Z4 = + iωCn . Rn Da außerdem: Z2 = Z3 = const ergibt sich wiederum mit (3) aus Kapitel 5 Formeln: Zx = Z22 1 + iωCn Rn Damit erhält man einen Scheinwiderstand von s | Zx | = Zn2 = Z22 + iωZ22 Cn Rn (6) 1 + ω 2 Cn2 . R2n (7) 5.4 Phasenverschiebung Die Phase ist der Winkel der Polardarstellung der komplexen Zahlen. Dieser ergibt sich mit der Eulerschen Formel zu: Im( Zx ) ϕ x = arctan (8) Re( Zx ) 6 Messwerte Für die Resonanzfrequenz ergab sich ein Wert von ungefähr f 0 = 1, 53 kHz. Für die verschiedenen Frequenzen f i < f 0 mit dem Serien-RC-Glied ergaben folgende Messwerte, um die Brücke abzugleichen: Frequenz [kHz] ZR [ Ω ] Cn [nF] 0,2 920 47,4 0,4 1100 49,6 0,6 1060 54,5 0,8 1050 63,9 1,0 1040 83,1 1,2 1040 129,4 1,3 1040 188,3 1,4 1040 368,3 1,425 1040 488,5 1,45 1040 868,4 Bei der umgebauten Schaltung mit Parallel-RC-Glied benötigte man für die verschiedenen Frequenzen f i > f 0 folgende Abgleichbedingungen: Seite 7 von 13 7 AUSWERTUNG E10 Wechselstromwiderstände Frequenz [kHz] Rn [Ω] Cn [nF] 1,45 21090 0 1,525 21140 0 1,55 21200 0,8 1,6 21220 1,3 1,65 21220 2,0 Frequenz [kHz] Rn [Ω] Cn [nF] 2,4 21490 6,9 3,0 21670 8,4 4,0 22050 9,8 6,0 23100 10,7 8,0 24900 11,1 1,7 21290 2,5 1,8 21290 3,5 2,0 21390 4,9 7 Auswertung 7.1 Teilaufgaben a) und b) Impedanz, Phase, Wirk-, Blind- und Scheinwiderstand Mithilfe der Formeln (4)-(8) aus Kapitel 5 erhält man folgende Auswertung. Der obere Teil der Tabelle stellt hierbei die Auswertung der Schaltung mit dem Serien-RC-Glied, der untere Teil die mit dem Parallel-RC-Glied dar. Frequenz f [kHz] 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,3 1,4 1,425 1,45 Wirkwiderstand Re Zx [Ω] 920 1100 1060 1050 1040 1040 1040 1040 1040 1040 Blindwiderstand Im Zx [Ω] -16789 -8022 -4867 -3113 -1915 -1025 -650 -309 -229 -126 Impedanz Zx [ Ω ] 920-16789i 1100-8022i 1060-4867i 1050-3113i 1040-1915i 1040-1025i 1040-650i 1040-309i 1040-229i 1040-126i Scheinwiderstand | Zx | 16814 8097 4981 3286 2179 1460 1227 1085 1065 1048 Phase ϕ x [rad] -1,51 -1,43 -1,35 -1,25 -1,07 -0,78 -0,56 -0,29 -0,22 -0,12 1,5 1,525 1,55 1,6 1,65 1,75 1,8 2,0 2,4 3,0 4,0 6,0 8,0 1047 1045 1042 1041 1041 1038 1038 1033 1028 1019 1002 956 887 0 0 172 289 458 560 874 1360 2298 3498 5441 8911 12325 1047 1045 1042+172i 1041+289i 1041+458i 1038+560i 1038+874i 1033+1360i 1028+2298i 1019+i3498 1002+5441i 956+8911i 887+12325i 1047 1045 1056 1080 1137 1179 1357 1708 2517 3643 5532 8962 12357 0 0 0,16 0,27 0,41 0,49 0,7 0,92 1,15 1,29 1,38 1,46 1,50 Abbildung 5: Auswertung der Messwerte Seite 8 von 13 7 AUSWERTUNG E10 Wechselstromwiderstände Exemplarisch führen wir einige Berechnungen am ersten Messwert durch: Re Zx = R = 920 Ω 1 1 1 Im Zx = − =− =− 1 ωCn 2π · f Cn 2π · 200 s · 47, 4 · 10−9 F 1 V =− · 109 6 s · ≈ −16789 Ω 2π · 200 · 47, 4 A· 6 s Zx = Re Zx + i · Im Zx = (920 − 16789i ) Ω q p | Zx | = (Re Zx )2 + (Im Zx )2 = 9202 + 167892 Ω ≈ 16814 Ω Im Zx −16789 Ω ϕ x = arctan ≈ −1, 51 rad = arctan Re Zx 920 Ω Aus obiger Tabelle lässt sich die Abhängigkeit des komplexen Widerstands von der Frequenz erkennen. In der Nähe der Resonanzfrequenz ist die Phase nahezu Null und der unbekannte Widerstand wirkt als reiner ohmscher Widerstand. Für kleine bzw. sehr große Werte gegenüber der Resonanzfrequenz kann man die Annäherung an − π2 bzw. π2 beobachten. Dass die Phase für ω < ω0 ebenfalls kleiner Null ist deutet auf einen RL-Widerstand hin. Seite 9 von 13 7 AUSWERTUNG E10 Wechselstromwiderstände 7.2 Teilaufgabe c) Grafische Aufbereitung der Messwerte und Bestimmung der Resonanzfrequenz Mit den im vorigen Unterkapitel berechneten Werten der Scheinwiderstände und Phasen erhält man folgende Schaubilder: Abbildung 6: Werte und Interpolation der Scheinwiderstände In Abbildung 6 ist der Scheinwiderstand | Zx | gegenüber der Frequenz f abgetragen. Man erkennt den durch logarithmische Skalierung entstehenden achsensymmetrischen Graphen, welcher seinen Tiefpunkt bei einer Frequenz von fˆ0 ≈ 1, 5 kHz und dem Scheinwiderstand von Ẑ ≈ 2000 Ω annimmt. Eine weitere Möglichkeit zur graphischen Bestimmung der Resonanzfrequenz liefert Abbildung 7. Hierbei betrachtet man die Nullstelle der »Phasen-Funktion« , woraus sich eine Frequenz von fˇ0 ≈ 1, 5 kHz = fˆ0 ergibt. Diese beiden Auswertungen der Messreihen stimmen somit näherungsweise mit dem zu Beginn des Versuchs festgestellten Schätzwert von f 0 = 1, 53 kHz überein. Seite 10 von 13 8 FEHLERDISKUSSION E10 Wechselstromwiderstände Abbildung 7: Werte und Interpolation der Phasenverschiebung 8 Fehlerdiskussion Mögliche Fehlerquellen sind: 1. Der Frequenzregler der Spannungsquelle war trotz vorhandenem Feinregler recht unpräzise. 2. Die Toleranzen der benutzten Abgleichgrößen verfälschen die berechneten Scheinwiderstände und Phasen. 3. Der Abgleichpunkt lässt sich nicht präzise feststellen, da I das Potentiometer keine rasterfreie Einstellungsmöglichkeit liefert, I das trotz Erdung der Dekaden und Mittelwertbildung des Inputsignals vom Oszilloksop auftretende Signalrauschen eine genaue Einstellung des Amplituden-Minimums verhindert, I Ablesefehler des variablen Kondensators die Messwerte beeinflusst, I die fehlende Abschirmung des Systems weitere Fehler (z.B. induzierter Art) zulässt und I das Minimum nicht bei 0 mV, sondern bei einem arithmetischen Mittel von Ū ≈ 21 mV liegt, also bei jeder Messung leicht variiert. 4. Die Auswertung der graphischen Aufbereitung der Messwerte führt zu Ablesefehlern. 5. Verluste durch Innenwiderstände von sämtlichen Geräten, Leitern der Schaltplatine und Kabel werden vernachlässigt und tragen so zu Ungenauigkeiten bei. Obiger Auflistung zu Folge setzen wir einen Fehler von ±50 Hz (also ∆ f = 100 Hz) an. Dieser Fehlerbereich ist mit den Erfahrungen beim Brücken-Abgleich vereinbar. Seite 11 von 13 9 ZUSAMMENFASSUNG E10 Wechselstromwiderstände 9 Zusammenfassung Zusammenfassend stellen wir fest, dass wir die Frequenzabhängigkeit des komplexen Widerstandes am Oszilloskop trotz einiger Fehlerquellen gut beobachten konnten. Da es sich um ein unbekanntes Bauteil mit komplexem Widerstand handelt, können wir allerdings nicht beurteilen, ob und wie weit unser Messergebnis von dem realen komplexen Widerstand des Bauteils abweicht. Demnach sind auch Vergleiche mit Literaturwerten weder möglich noch sinnvoll. Die Messungen selbst ergaben allerdings, dass der Widerstand in der Blackbox von induktiver Art sein muss. Die Resonanzfrequenz f res des so untersuchten RLC-Gliedes beträgt f res = (1500 ± 50) Hz, was einem relativen Fehler von δ f res ≈ ±3, 4% entspricht. Seite 12 von 13 10 Literatur E10 Wechselstromwiderstände 10 Literatur [1] Otten, Ernst W.: Repetitorium Experimentalphysik III. Auflage. Springer, Berlin 2009. ISBN 978-3-540-85787-7 [2] Demtröder, Wolfgang.: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme V. Auflage. Springer, Berlin 2008. - ISBN 978-3-540-79294-9 [3] Versuchsanleitung vom 28.03.2014 www3.physik.uni-stuttgart.de/studium/praktika/ap/pdf_dateien/E10.pdf [4] Uni Stuttgart vom 28.03.2014 http://www3.physik.uni-stuttgart.de/studium/praktika/ap/bilder/?Name=E10. jpg Seite 13 von 13
