Ungleichungen - Relativityhair

Ungleichungen
Diese Seite beinhaltet graphische Darstellungen von Ungleichungen, sowie Erläuterungen dazu.
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Abbildungsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
Aufgabe 1: 2x − 8 > |x|
Abbildung 1: Darstellung der Funktionen y = 2x − 8 und y = |x|
Die Graphik zeigt: 2x − 8 > |x| gilt für x > 8
Für x = 8 gilt 2x − 8 = |x| und |x| = x. Für x > 8 wächst 2x schneller als x, daher folgt
2x − 8 > |x| für x > 8.
1
2
Aufgabe 2: x2 + 2x − 3 ≤ 0
Abbildung 2: Darstellung der Funktion y = x2 + 2x − 3
Die Graphik zeigt: x2 + 2x − 3 ≤ 0 gilt für −3 ≤ x ≤ 1.
2.1
Alternatives Lösungsverfahren: quadratische Ergänzung
Die Ungleichung x2 + 2x − 3 ≤ 0 lässt sich mittels quadratischer Ergänzung lösen.
Dazu betrachte man den Ausdruck (x + 1)2 .
Es gilt (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.
Dies ist eine Anwendung der binomischen Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Um den Ausdruck x2 + 2x − 3 darzustellen, muss von (x + 1)2 die Zahl 4 abgezogen werden:
(x + 1)2 − 4 = x2 + 2x − 3
Damit lässt sich die Ungleichung x2 + 2x − 3 ≤ 0 folgendermaßen schreiben:
2
(x + 1)2 − 4 ≤ 0 ⇒ (x + 1)2 ≤ 4
Diese Ungleichung ist erfüllt, falls
(1) (x + 1) ≤ 2 gilt
(2) (x + 1) ≥ −2 gilt
Aus (1) folgert man x ≤ 1, aus (2) folgert man x ≥ −3
3
3
Aufgabe 3: 2x2 − 10x + 8 > 0
Abbildung 3: Darstellung der Funktion y = 2x2 − 10x + 8
Die Graphik zeigt: 2x2 − 10x + 8 > 0 ist für alle reellen Zahlen x erfüllt, für die gilt: x < 1
und x > 4.
3.1
Alternatives Lösungsverfahren: quadratische Ergänzung
Aus der Ungleichung 2x2 −10x+8 > 0 erhält man x2 −5x+4 > 0, indem man 2x2 −10x+8 > 0
durch 2 dividiert.
Beide Ungleichungen sind gleichwertig.
Behauptung:
Die Gleichung x2 − 5x + 4 > 0 lässt sich schreiben als (x − 2, 5)2 − 2, 25 > 0
Beweis:
(x − 2, 5)2 = x2 − 5x + 6, 25 ⇒ (x − 2, 5)2 − 2, 25 = x2 − 5x + 4
4
Aus (x − 2, 5)2 − 2, 25 > 0 folgert man (x − 2, 5)2 > 2, 25
Diese Ungleichung ist erfüllt, falls
(1) x − 2, 5 > 1, 5
(2 )x − 2, 5 < −1, 5
Dabei wurden folgende Rechengesetze verwendet:
Sei a eine beliebige reelle Zahl, b > 0 eine weitere reelle Zahl.
Aus √
a2 > b folgert man |a| >
a > b gilt.
√
√
b, die letzte Ungleichung ist erfüllt, falls a < − b oder
Für den Umkehrschluss der vorangehenden Beweisschritte sind folgende Rechengesetze wichtig:
Für positive reelle Zahlen a, b mit a > b gilt a2 > b2
Für negative reelle Zahlen a, b mit a < b gilt a2 > b2
1, 52 = 2, 25
Aus (1) folgert man x > 4, aus (2) folgert man x < 1
5
4
Aufgabe 4: |x − 3| + |2x − 4| ≤ 7
Abbildung 4: Darstellung der Funktion y = |x − 3| + |2x − 4|
Die Graphik zeigt |x − 3| + |2x − 4| ≤ 7 für x ≥ 0 und x etwas größer als 4. Die obere
Abschätzung für x, x < 4 23 , muss berechnet werden.
6
5
Aufgabe 5:
x−1
<1
x+1
Abbildung 5: Darstellung der Funktion y =
Die Graphik zeigt:
5.1
x−1
x+1
x−1
< 1 für x > −1
x+1
Eine rechnerische Lösung des Problems
Für x = −1 ist die Ungleichung nicht definiert. Sei also im folgenden x 6= −1.
Für beliebige reelle Zahlen x gilt x − 1 < x + 1
(1) Sei nun x + 1 > 0, d.h. es gilt x > −1.
Dann folgt
x−1
<1
x+1
7
Hierbei wurde folgendes Rechengesetz benutzt:
Seien a, b beliebige reelle Zahlen. Sei c eine beliebige reelle Zahl mit c > 0.
Aus a < b folgt dann
a
b
<
c
c
(2) Sei x − 1 < 0, d.h. x < 1
Dann folgt aus x − 1 < x + 1 die Ungleichung
x−1
>1
x+1
Dabei wurde folgendes Rechengesetz benutzt:
Seien a, b beliebige reelle Zahlen. Sei c eine beliebige reelle Zahl mit c < 0.
a
b
Aus a < b folgt dann >
c
c
Beispiele:
−8
−6
=4>3=
−2
−2
16
12
= −3 > −4 =
12 < 16 ⇒
−4
−4
−4
8
−4 < 8 ⇒
= 2 > −4 =
−2
−2
x−1
< 1 gilt nur für x > −1
Ergebnis: Die Ungleichung
x+1
−8 < −6 ⇒
8
6
Aufgabe 6: |x − 6| > x2
Abbildung 6: Darstellung der Funktionen y = |x − 6| und y = x2
Die Graphik zeigt: |x − 6| > x2 für −3 < x < 2
6.1
6.1.1
Eine rechnerische Lösung des Problems
(x − 6) < 0
Für (x − 6) < 0 gilt |x − 6| = −(x − 6), hiermit erhält man die Ungleichung −(x − 6) > x2
Umformungen ergeben
−x + 6 > x2 , x2 + x − 6 < 0
Die zuletzt angegebene Ungleichung kann man mit quadratischer Ergänzung behandeln.
2
1
25
2
Es gilt x + x − 6 = x +
−
2
4
9
2
2
1
25
1
25
Aus der Problemstellung x + x − 6 < 0 folgt dann x +
−
< 0 bzw. x +
<
2
4
2
4
2
Hieraus folgert man für die Bedingungen an x:
5
1
<
2
2
5
1
(2) x + > −
2
2
(1) x +
Hierbei wurde folgendes Rechengesetz benutzt:
Sei a eine beliebige reelle Zahl, b > 0 eine weitere reelle Zahl.
Aus a2 < b folgert man |a| <
√
√
√
b, die letzte Ungleichung ist erfüllt, falls − b < a < b gilt.
Aus (1) folgt x < 2, aus (2) folgt x > −3
6.1.2
(x − 6) > 0
Sei x − 6 > 0, dann gilt x > 6. |x − 6| > x2 wird zu x − 6 > x2 .
Für alle reellen Zahlen x > 1 gilt x < x2
Damit gilt dann auch x < x2 für x > 6.
Für reelle Zahlen a, b mit b > 0 gilt a − b < a, hieraus folgt insbesondere x − 6 < x
Zusammen mit den vorangehenden Überlegungen erhält man
x − 6 < x < x2 , damit kann die Ungleichung x − 6 > x2 nicht erfüllt sein.
10
7
p
Aufgabe 7: (1 + x)(x + 4) > 2
Abbildung 7: Darstellung der Funktion y =
Die Graphik zeigt:
p
(1 + x)(x + 4) > 2 für −5 < x < 0
11
p
(1 + x)(x + 4)
8
x−3
<1
Aufgabe 8: 2x + 3 x−3 Abbildung 8: Darstellung der Funktion y = 2x + 3 Die Graphik zeigt: |
x−3
| < 1 für x < −6 und x > 0
2x + 3
12
9
Aufgabe 9:
|x − 3|
<1
2x + 3
Abbildung 9: Darstellung der Funktion y =
|x − 3|
2x + 3
Die Graphik zeigt:
|x − 3|
3
< 1 ist erfüllt für x > 0 und für x < − .
2x + 3
2
|x − 3|
3
x = − ist Asymptote an die Funktion y =
2
2x + 3
3
Die Darstellung x = − hat folgende Bedeutung:
2
3
Für alle y-Werte hat x den Wert − , d.h. es wird eine Gerade parallel zur y-Achse dargestellt.
2
die Ungleichung
13
9.1
Intervalldarstellungen der Ungleichung
Für x > 0 ist der Abstand von 2x zu −3 größer als der Abstand zwischen x und 3.
Der Abstand von 2x zu −3 ist |2x − (−3)|, der Abstand von x zu 3 ist |x − 3|.
Für x > 0 ist 2x − (−3) = 2x + 3 > 0, damit ist der Abstand von 2x zu −3 gleich 2x + 3.
Es folgt:
|x − 3|
<1
2x + 3
3
Für x < 0 betrachte ich nur den Fall 2x + 3 > 0 bzw. x > − . Andernfalls ist der Nenner
2
|x − 3|
kleiner als 1.
negativ, der Zähler positiv und damit der Wert des Quotienten
2x + 3
Man erkennt aus der Abbildung: der Abstand von x zu 3, also |x − 3| ist größer als der
Abstand von 2x zu −3.
Der Abstand von 2x zu −3 ist |2x − (−3)|
Nach Voraussetzung ist aber |2x − (−3)| = |2x + 3| = 2x + 3 > 0. Damit hat der Quotient
|x − 3|
unter diesen Voraussetzungen einen Wert größer als 1.
2x + 3
14
15
Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
Darstellung
Darstellung
Darstellung
Darstellung
der
der
der
der
5
Darstellung der
6
7
Darstellung der
Darstellung der
8
Darstellung der
9
Darstellung der
Funktionen y = 2x − 8 und y = |x|
Funktion y = x2 + 2x − 3 . . . . . .
Funktion y = 2x2 − 10x + 8 . . . .
Funktion y = |x − 3| + |2x − 4| . .
x−1
Funktion y =
. . . . . . . . .
x+1
2
Funktionen y =
p|x − 6| und y = x
Funktion y = (1 + x)(x
+ 4) . . .
x−3 . . . . . . .
Funktion y = 2x + 3 |x − 3|
Funktion y =
. . . . . . . .
2x + 3
16
.
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1
2
4
6
. . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
9
11
. . . . . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . . . . . . . .
13
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Aufgabe 1: 2x − 8 > |x|
1
2 Aufgabe 2: x2 + 2x − 3 ≤ 0
2.1 Alternatives Lösungsverfahren: quadratische Ergänzung . . . . . . . . . . . .
2
2
3 Aufgabe 3: 2x2 − 10x + 8 > 0
3.1 Alternatives Lösungsverfahren: quadratische Ergänzung . . . . . . . . . . . .
4
4
4 Aufgabe 4: |x − 3| + |2x − 4| ≤ 7
6
x−1
<1
x+1
Eine rechnerische Lösung des Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Aufgabe 5:
5.1
6 Aufgabe 6: |x − 6| > x2
6.1 Eine rechnerische Lösung des Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 (x − 6) < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 (x − 6) > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
7 Aufgabe 7: (1 + x)(x + 4) > 2
x−3 <1
8 Aufgabe 8: 2x + 3 |x − 3|
<1
2x + 3
Intervalldarstellungen der Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Aufgabe 9:
9.1
17
7
7
9
9
9
10
11
12
13
14