Entfernungen im All

Einführung in die Astronomie – Entfernungen
Entfernungen im Universum und ihre Bestimmung
Die Entfernungsbestimmungen im Weltall sind schwierig vorzunehmen, denn die Grössenordnungen,
mit denen wir es zu tun haben, sind enorm. Zudem sind wir nicht (oder nur mit grossem Aufwand) in der
Lage, unseren Beobachtungsstandort Erde zu verlassen. Die Astronomen in allen Epochen haben mit
verschiedensten Ideen versucht, die Distanzen trotzdem zu berechnen.
1. Eratosthenes: Der Erdradius
Die erste Berechnung des Erdradius geht auf den Griechen Eratosthenes (um 220 v.Chr.) zurück, der
also bereits damals von der Vorstellung ausging, dass die Erde eine Kugel ist.
Er benutzte den Abstand zwischen den beiden fast auf demselben Längengrad liegenden Städten
Alexandria (beim heutigen Kairo an der Mittelmeerküste) und Syene (dem heutigen Assuan) und die
Tatsache, dass am 21. Juni in Syene die Sonne auf den Grund eines tiefen Brunnens scheint und damit
senkrecht über dem Beobachter steht, während sie in Alexandria 7.5° neben dem Zenit steht.
In der Skizze rechts gilt:
α
=
7.5°
d
=
900 km
Sonnenstrahlen
d
Syene
Alexandria
Daraus und aus der Kreisformel U = 2πr folgt:
r
d/α
=
2πr/360°
r
=
…………… km
r
Der heute verwendete Wert liegt bei …………… km.
Eratosthenes erreichte einen erstaunlich guten Wert.
Aufgabe
1.1. Verifizieren Sie die Angaben, dass am 21. Juni die Sonne in Assuan senkrecht über dem Beobachter
steht und in Alexandria dieser Winkel um 7.5° abweicht.
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2. Die Astronomische Einheit
2.1. Aristarch
Der Abstand Erde–Sonne, die sog. Astronomische Einheit (AE), ist quasi die Messlatte für die Distanzen
in unserem Sonnensystem und hat deshalb eine grosse Bedeutung.
Bereits um 270 v.Chr. versuchte Aristarch von Samos den Abstand der Sonne zur Erde zu bestimmen.
Bei Halbmond mass er den Winkel zwischen Mond und Sonne und berechnete den Sonnenabstand
trigonometrisch.
Sonne
Aristarch misst für den Winkel α den Wert
α
=
87°
Wegen der Halbmondstellung ist der Winkel Sonne–Mond–
Erde gleich 90° und das Dreieck rechtwinklig. Es gilt:
………………
1 AE
=
………………
1 AE
=
……·d
E
=
1A
cos(α)
Der Abstand der Sonne zur Erde wäre so also etwa …… Mal
Mond
Erde
so gross wie der Abstand Erde–Mond.
Aristarchs Wert ist deutlich zu klein. Der Winkel α liegt nahe bei 90°. Er ist kaum messbar, weil der
Zeitpunkt des exakten Halbmonds praktisch nicht feststellbar ist und ein schon kleiner Fehler das Resultat
massiv beeinflusst. Der tatsächliche Abstand der Sonne zur Erde—mit Hilfe von Radarsignalen
gemessen—ist etwa 390 Mal der Abstand Erde–Mond.
Um den absoluten Wert für die Distanz Erde–Sonne zu erhalten, muss noch die Messung von Hipparch
von Nicaea (190–125 v.Chr.) verwendet werden, der den Abstand des Mondes zur Erde mit 59 Erdradien
sehr gut bestimmte. Er berechnete diesen Wert anhand von Messungen, die er bei einer Mondfinsternis
gewonnen hatte (vgl. Roth – Sternschnuppern, DMK–Themenheft, Orell Füssli 1996).
Heute ist diese Messung ebenfalls mit Radartechnik möglich.
Hier werden nun die historischen und die wahren Werte einander gegenübergestellt.
Historisch Werte:
1 AE
=
19 · d
=
Wahre Werte:
1 AE
=
389.2 · d
19 · 59 · r
=
389.2 · 60.33 · r
=
19 · 59 · 6’900 km
=
389.2 · 60.33 · 6’370 km
=
7’700’000 km
=
149’600’000 km
1 AE
Aufgabe
2.1. a) Bestimmen Sie den Winkel, den Aristarch hätte messen müssen, um das richtige Resultat zu
bekommen.
b) Zeigen Sie durch Ausprobieren, dass ein kleiner Fehler bei der Winkelmessung von z.B. 0.1°
bereits einen riesigen Einfluss auf das Resultat hat.
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2.2.
Venustransit
Bei ganz wenigen Gelegenheiten schiebt sich die Venus so exakt zwischen Erde und Sonne, dass sie als
schwarzer Punkt vor der gleissenden Sonnenscheibe durch ein entsprechend ausgerüstetes Fernrohr
gesehen werden kann. Mittels geometrischer Überlegungen und mit Hilfe des dritten Keplergesetzes kann
so eine gute Näherung für die Astronomische Einheit, gewonnen werden.
Die Idee zu diesem Verfahren stammt von Edmond Halley (1656–1742). Durchgeführt wurden die
Messungen aber erst anlässlich der Venustransite von 1761 und 1769 durch verschiedene Forscherteams,
die — rund um den Globus verteilt — den Weg der Venus über die Sonnenscheibe verfolgt haben. Aus
verschiedenen Gründen waren die Resultate aber weniger genau als erhoft, sodass erst mit den nächsten
beiden Tranisten von 1874 und 1882 ein Wert für 1 AE bestimmt wurde, der dem heutigen sehr nahe
kommt.
A
B’
d
D
Erde
Venus
A’
B
Sonne
Wird die Venus beim Vorübergang von zwei unterschiedlichen Orten auf der Erde aus beobachtet, so
wird sich die Venus als schwarzer Punkt nicht an der gleichen Stelle auf der Sonnenscheibe zeigen.
Kennen wir den Abstand d der Beobachtungsorte (durch den Erdradius und die jeweilige Breite der
Beobachtungsorte) und berechnen wir mit den beobachteten Daten den Winkel ε, so können wir die
Distanz AA' = 1 AE bestimmen.
Aus den Umlaufzeiten TV und TE von Venus und Erde können wir mit dem dritten Keplerschen Gesetz
den Abstand rV der Venus zur Sonne als Vielfaches des Erdbahnradius ausdrücken:
TV2
rV3
€
⎛ r ⎞3
⎜ V ⎟
⎝ rE €⎠
rV
=
TE2
rE3
=
⎛ T ⎞2
⎜ V ⎟ = ……………
⎝ TE ⎠
=
…………… · rE = …………… AE
1 AE = rE
€ Positionen A' und B' der Venus vor der Sonne lässt sich D als Winkel angeben.
Aus den€beobachteten
Haben die Beobachtungsorte auf der Erde etwa den gleichen Längengrad und liegen d = 6'370 km von
einander entfernt (1 Erdradius), so ergeben Messungen, dass die Strecke D unter einem Winkel von α =
23" (Bogensekunden, 1° = 60’ = 3600“) gesehen wird.
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Von der Venus aus wird D aber unter einem grösseren Winkel – nämlich ε – gesehen. Wenn wir
annehmen, dass das Dreieck AA’B bei A’ einen rechten Winkel hat — was näherungsweise stimmt, da es
sehr langgestreckt ist —, so bekommen wir für ε:
tan(α) · rE
=
tan(ε) · rV
ε
=
……………
Auch das Dreieck ABV ist näherungsweise rechtwinklig mit einem rechten Winkel bei B. So können wir
AV berechnen:
sin(ε)
=
d / AV
AV
=
…………………… m
Nun ist die gesuchte Grösse AA' = 1 AE bald bestimmt:
1 AE
=
AV / (rE–rV) = …………………… m
Nach 1882 fand erst am 8. Juni 2004 wieder ein Venustransit statt, der nächste wird am 6. Juni 2012
beobachtbar sein. In unserem Jahrhundert spielt aber die Berechnung der Astronomischen Einheit über
die Beobachtung des Venustransits keine wesentliche Rolle mehr, da mit Radartechnnik genauere
Ergebnisse möglich sind.
Aufgabe
2.2. a) Geben Sie zwei Orte an, die auf demselben Längengrad liegen und 6370 km auseinander sind.
Geben Sie deren geografische Breiten an!
b) Testen Sie die Rechnung oben auf ihre Fehleranfälligkeit, indem Sie annehmen, die Strecke D auf
der Sonne würde unter einem Winkel von 25“ statt 23“ gesehen (Abweichung von ca. 10%).
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3. Der Abstand naher Sterne: Die Parallaxe
Um Abstände zu anderen Sternen trigonometrisch zu messen, findet sich auf der Erde keine genügend
grosse Basisstrecke. Betrachtet man aber die Position der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne, so erhalten
wir im Abstand eines halben Jahres von zwei gegenüberliegenden Positionen aus zwei unterschiedliche
Blickwinkel auf nahe Sterne.
Scheinbare Positionen
Der Winkel α wird Parallaxe genannt. Er entspricht dem
Winkel, unter dem der Erdbahnradius vom betrachteten Stern
α
aus gesehen wird, resp. der grossen Halbachse der Ellipse, die der
Stern
Stern von der Erde aus unter den Fixsternen beschreibt.
Im Jahr 1838 bestimmte Friedrich Wilhelm Bessel als erster die
α
Parallaxe des Sterns 61 Cygni im Sternbild Schwan. Seine
Messung ergab 0.31 Bogensekunden (1° = 60’ = 3’600“)
α
=
d
0.31“±0.02“
Mit der Kenntnis der Astronomischen Einheit lässt sich der
1AE
Abstand des Stern 61 Cygni nun bestimmen.
Erde
Sonne
tanα
=
1 AE / d
d
=
1 AE / tanα
=
10.0·1016 m ± 0.6·1016 m
≈
670’000 AE
Das Dreieck Erde–Erde–Stern ist
gleichschenklig und damit das Dreieck
Erde–Sonne–Stern rechtwinklig.
Die Astronomische Einheit ist für solche und grössere Entfernungen nicht mehr praktisch. Es werden in
diesen Fällen die Einheiten Lichtjahr und Parsec gebraucht.
1 Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt:
1 LJ
=
9.46·1015 m
1 Parsec ist die Distanz eines Sterns, wenn seine Parallaxe 1“ beträgt:
1 pc
=
1 AE / tan(1“)
=
3.09·1016 m
=
3.26 LJ.
Mit der Parallaxenmethode lassen sich Distanzen bis maximal 100 pc resp. 300 LJ bestimmen.
Die Tatsache, dass die Parallaxe auftritt, ist der unumstössliche Beweis, dass sich die Erde um die Sonne
bewegt. Bessel hat mit seiner Messung das heliozentrische Weltbild zwei Jahrhunderte nach Kopernikus
und Kepler endgültig bestätigt.
Aufgabe
3.1. a) 100 pc können maximal mit der Parallaxenmethode gemessen werden. Wie gross ist die zugehörige Parallaxe?
b) G. F. Struve bestimmte kurz nach Bessel die Parallaxe der Wega mit 0.125“. Der moderne Wert
beträgt 0.123“. Vergleichen Sie!
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4. Scheinbare und absolute Helligkeit
Die Distanz weiter entfernter Objekte kann nur indirekt bestimmt werden. Es müssen bestimmte Eigenschaften dieser Objekte ausgenutzt werden.
Eine der messbaren Eigenschaften ist die scheinbare Helligkeit. „Scheinbar“ bedeutet, dass die unterschiedlichen Entfernungen nicht berücksichtigt werden. Eine Einteilung in sechs Grössenklassen stammt
von Hipparch:
1. Grössenklasse: hellste Sterne.
…
6. Grössenklasse: gerade noch von blossem Auge sichtbare Sterne.
Für eine formale Definition ergibt sich folgendes Problem: Dem menschlichen Auge erscheint eine Verdoppelung der einfallenden Lichtenergie nicht als Helligkeitsverdoppelung.
Unsere Augen empfinden eine Helligkeitszunahme dann als regelmässig, wenn die Lichtenergien mit
dem Quadrat anwachsen, d.h. erscheinen uns 2 Lampen doppelt so hell wie 1 Lampe, so werden wir 4
Lampen als dreimal, 8 Lampen als viermal so hell empfinden.
So ist die Differenz der Helligkeiten m zweier Lichtquellen proportional zur Differenz der Logarithmen
der Lichtenergien E.
m1–m2
=
k·(logE1–logE2)
=
k·log(E1/E2)
Die Konstante k wird mit –2.5 so gewählt, dass das antike System ungefähr mit der formalen Definition übereinstimmt. Ein Grössenklassenunterschied von 5 entspricht dem 100fachen Unterschied der einfallenden Lichtenergie.
Neben der Differenz zweier Helligkeiten muss noch ein Bezugspunkt definiert werden. Zu diesem
Zweck wird eine Reihe von Sternen in der Umgebung des Himmelsnordpols herangezogen. Für den Polarstern ergibt sich so eine durchschnittliche Helligkeit von 2.12m.
Hier einige Beispiele:
Kennen wir neben der scheinbaren Helligkeit auch unseren Abstand zu einem bestimmten Stern, so
können wir die scheinbare Helligkeit für jeden beliebigen Abstand bestimmen. Um die wahre Helligkeit
verschiedener Sterne vergleichen zu können, wird die absolute Helligkeit definiert: Die scheinbare Helligkeit, mit der Sterne in der Entfernung 10 pc erscheinen, heisst absolute Helligkeit M.
Zwischen m und M besteht folgender Zusammenhang, der Entfernungsmodul genannt wird.
m–M
=
5·log(r/10 pc)
r in pc
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Beispiel: Der Stern Spica (α Vir) hat eine absolute Helligkeit von –3.6M und scheinbare Helligkeit von
0.9m. Da seine scheinbare Helligkeit kleiner ist, muss seine Entfernung grösser sein als 10 pc. Die Gleichung oben ergibt:
0.9–(–3.6)
=
5·log(r/10 pc)
r
≈
79 pc ≈ 260 LJ.
Aufgaben
4.1. Die Komponenten des Doppelsterns ε Hydrae besitzen die scheinbaren Helligkeiten 3.7m und 4.8m.
Welche Helligkeit hat das Gesamtsystem?
4.2. Bestimmen Sie die absolute Helligkeit der Sonne mit r = 1 AE und mSonne = –26.73m.
4.3. Welche maximale scheinbare Helligkeit hätte die Supernova etwa, wenn der Stern Beteigeuze im
Orion (Abstand 650 LJ) explodieren würde?
Lösungen: 1a) 89.85°, b) 230–1’200x Abstand Erde–Mond; 2a) 0.01“, b) 8.0 pc, 8.1 pc; 3. 3.4m; 4. 4.8M; 5. –11.5m.
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4. Grosse Entfernungen: Die Cepheidenmethode
Um die Distanz zu einem Stern zu bestimmen, genügt es nach dem letzten Abschnitt, seine absolute
und seine scheinbare Helligkeit zu kennen. Die Erste ist im Allgemeinen nur schwer bestimmbar, denn sie
kann ja nicht direkt gemessen, sondern nur dann berechnet werden, wenn Eigenschaften eines Sterns die
effektiv abgestrahlte Leistung ergeben.
Glücklicherweise gibt es eine Kategorie von Sternen, bei denen sich die absolute Helligkeit indirekt bestimmen lässt. Der erste, bei dem dies gelang, ist δ Cephei, weswegen die Methode auch den Namen
Cepheidenmethode erhalten hat.
Cepheidensterne sind bereits ältere Sterne, die sich in
einer Umbruchphase befinden. Ihre Oberfläche pulsiert
regelmässig. Das Anwachsen und Schrumpfen der Oberfläche können wir aus grosser Distanz als Helligkeitsänderung erkennen. Entscheidend ist nun die Tatsache, dass
zwischen der Periodenlänge der Helligkeitsschwankung
und der absoluten Helligkeit des Sterns eine ganz bestimmte Beziehung besteht: Je länger die Periode, desto
Die Helligkeitskurve von δ Cephei
heller der Stern!
Diese Erkenntnis verdanken wir Henrietta Leavitt, die 1912 diese Perioden–Helligkeitsbeziehung formulierte.
Kennen wir die Periodenlänge der Helligkeitsschwankung, so können wir die durchschnittliche absolute Helligkeit berechnen. Ist weiter die relative Helligkeit durch Messungen bekannt, ergibt sich der Abstand mit Hilfe des Entfernungsmoduls. Cepheidensterne sind Messlatten, mit denen sich der Abstand von
Sternhaufen, aber auch der von Galaxien bestimmen lässt.
Ungenauigkeiten ergeben sich jedoch aus der Tatsache, dass weder der Abstand zu δ Cephei, noch
der zu einem anderen Cepheidenstern exakt bekannt ist. Deshalb sind solche Distanzangaben mit einem
relativ grossen Fehler behaftet. Trotzdem ist diese Methode von Edwin Hubble 1923 erfolgreich verwendet worden um zu zeigen, dass der Andromedanebel kein Objekt unserer Galaxis ist, sondern eine eigene
Welteninsel darstellt.
1952 bemerkte Walter Baade, dass es zwei Typen von Cepheidensternen gibt, den hellen Typ I und den
etwas dunkleren Typ II. Hubbles Werte mussten korrigiert werden, aber seine wesentlichen Resultate
blieben bestehen.
Die Cepheidenmethode ist heute eine wichtige Art, grosse Distanzen innerhalb unserer Milchstrasse
und zu anderen Galaxien zu bestimmen. Voraussetzung ist, dass Einzelsterne erkannt und deren Helligkeit
vermessen werden kann.
5. Andere Methoden
Einzelne Sterne können auch über ihr Spektrum vermessen werden, wenn die absolute Helligkeit eines
Sterns des gleichen Spektraltyps bekannt ist. Für Sternhaufen, bei denen eine Raumbewegung festgestellt
werden kann, kann die Sternstromparallaxe angewandt werden.
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Einführung in die Astronomie – Entfernungen
Können keine Einzelsterne mehr erkannt werden, weil eine Galaxie zu weit entfernt ist, so lässt sich die
Entfernung anhand anderer Informationen abschätzen: Die hellsten Kugelsternhaufen einer Galaxie haben
etwa die gleiche absolute Helligkeit, oder eine Supernova hat eine Maximalhelligkeit von etwa –18M.
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