Arithmetik

Arithmetik
Bemerkungen zu
Primzahlen
Primzahlen
Die Suche nach Mustern und Tendenzen
spielt bei der Erforschung der
Verteilung der Primzahlen eine wichtige
Rolle.
 Es gibt unendlich viele Primzahlen.
(Beweis von Euklid)
 Der Abstand zwischen den Primzahlen
wird im Mittel immer länger.
Primzahlen

Der „Primzahlsatz“ gibt eine Formel an, die
besagt, dass der durchschnittliche Abstand
zwischen zwei aufeinander folgenden
Primzahlen in der Nähe der Zahl n nahe beim
natürlichen Logarithmus von n liegt.
z.B. Liegt n in der Nähe von 100, so hat der
natürliche Logarithmus von n ungefähr den
Wert 4,6. Also: Etwa jede fünfte Zahl sollte in
diesem Bereich eine Primzahl sein.
Primzahlen

Der Abstand zwischen zwei aufeinander
folgenden Primzahlen kann beliebig
groß werden.
Primzahlen

Satz von Green-Tao, 2004 (Teilaussage):
Die Primzahlen enthalten beliebig lange arithmetische
Progressionen, d.h. für jede natürliche Zahl k>2 gibt
es eine Folge p1, ..., pk von Primzahlen mit p2- p1=p3p2=...=pk- pk-1.
Z. B. ist 7, 37, 67, 97, 127, 157 eine arithmetische
Progression der Länge k=6 aus Primzahlen.
Man beachte: Der Satz garantiert zwar beliebig lange
Progressionen aus Primzahlen, unendlich lange gibt
es jedoch nicht, denn n+jd ist für j=n sicher nicht
prim.
Primzahlen
Muster
 7, 37, 337, 3337, 33337, 333337 sind
Primzahlen.
Aber: 3333337 ist nicht Primzahl.
 Formeln, die viele Primzahlen liefern:
x 2  x  17
(liefert eine Folge von 40 Primzahlen,
wobei mit x=0 begonnen wird.)
x 2  x  41
Primzahlen
Spiralförmige Anordnung
der Primzahlen zwischen 41
und 439. Die Zahlen in der
Hauptdiagonalen genügen
der Formel:
x 2  x  41
Primzahlen



Mersennesche Zahlen sind Zahlen der Form Mk=2k-1, wobei k
eine Primzahl ist. Unter den Mersenneschen Zahlen gibt es
Primzahlen, die sog. Mersenneschen Primzahlen.
Primzahl-Rekord 2006: Die Mersenne-Zahlen 230.402.457-1 und
232.582.657-1 wurden als 43te bzw. 44te Mersenne-Primzahlen
nachgewiesen. Sie haben 9.152.052 bzw. 9.808.358 Stellen.
Primzahl-Rekord 2008: Die Mersenne-Zahlen 243.112.609-1 und
237.156.667-1 wurden als 45te bzw. 46te Mersenne-Primzahlen
nachgewiesen. Sie haben 12.978.189 bzw. 11.185.272 Stellen.
Für eine Mersenne-Primzahl mit mind. 10 Millionen Stellen
wurde eine Belohnung von 100.000 Dollar ausgeschrieben.
(Siehe http://www.mersenne.org und http://www.primzahlen.de)
2016: Die Mersenne-Zahlen 274.207.281-1 wurden als 49te
Mersenne-Primzahl nachgewiesen. Sie hat 22.338.618 Stellen.
Primzahlen




Primzahlzwillinge: Zwei Primzahlen mit dem Abstand 2 bilden einen
Primzahlzwilling.
z.B.: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59, 61), (71,73),
(101,103)
Primzahldrillinge: I. A. spricht man von Primzahldrillingen, wenn unter
vier aufeinander folgenden ungeraden Zahlen drei Primzahlen sind. (Vgl.
hiervon abweichende Def. in den Übungen.)
z. B.: (5,7,11), (7,11,13), (11,13,17), (13,17,19), (17,19,23), (37,41,43)
Primzahlvierlinge: Man spricht von Primzahlvierlingen, wenn unter fünf
aufeinander folgenden ungeraden Zahlen die ersten beiden und die letzten
beiden jeweils ein Primzahlzwilling sind.
z.B.: (5,7,11,13), (11,13,17,19), (101,103,107,109), (191,193,197,199)
Bis heute unbewiesene Vermutung: Es gibt unendlich viele
Primzahlzwillinge, unendlich viele Primzahldrillinge und unendlich viele
Primzahlvierlinge.
Primzahlen

Erster gigantischer Primzahldrilling im Oktober
2008 (wahrscheinlich) gefunden
Norman Luhn fand ein Primzahldrilling
(wahrscheinlich) mit genau 10047 Stellen. Das
Primzahlentupel lautet p=2072644824759 * 2^33333
-1, p+2,p+6. Mit freundlicher Unterstützung von
Francois Morain aus Frankreich, wird für die dritte
Zahl p+6 ein Echtheitszertifikat mittels ECPP
berechnet, da es sich im Moment nur um ein
wahrscheinliche Primzahl handelt.
Stand: Februar 2009
Primzahlen

Weiteres aus neuerer Forschung:
Yitang Zhang (ausgezeichnet mit Preisen in 2013,
2014) hat mit trickreichen Ideen gezeigt, dass es
unendlich viele Primzahl-Paare gibt, die den Abstand
kleiner gleich 70.000 haben – ein bedeutender Schritt
in Richtung Beweis der Primzahlzwillingsvermutung.
Inzwischen wurde die Schranke noch weiter nach
unten gedrückt.
(Quelle: MDMV 22/2014, S. 13)
Primzahlen
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Goldbachsche Vermutungen



Schwache Goldbachsche Vermutung: Jede ungerade Zahl größer als 5
lässt sich als Summe von drei Primzahlen schreiben. (Noch unbewiesen,
Stand 2012)
Starke Goldbachsche Vermutung: Jede gerade Zahl größer als 2 lässt
sich als Summe von zwei Primzahlen schreiben. (Noch unbewiesen, Stand
2012)
Weitere Vermutung von Goldbach (1690–1746) – später als falsch
erkannt
Jede ungerade Zahl lässt sich als Summe aus einer Primzahl und dem
Doppelten einer Quadratzahl schreiben.
Z. B. 11 = 3 + 2·22 oder 23 = 5 + 2·32.
Für die ersten 2500 Zahlen wurde die Behauptung durch Euler überprüft
und bestätigt.
Erst ein Jahrhundert später wurde die Behauptung widerlegt.
Gegenbeispiele: 5777 und 5993 lassen sich nicht als solch eine Summe
(Quelle: MDMV 18/2010, S. 222–226)
schreiben.
Primzahlen

Magisches Quadrat aus Primzahlen
Magische Zahl: 240
Sie realisiert sich in Zeilen-, Spalten- und Diagonalsummen,
zudem in allen 2x2 Unterquadraten.
(Quelle: MDMV 20/2012, S. 198)