1. ¨Ubergang von der Biot-Savart-Gleichung zur Oersted
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Elektrodynamik WS 05/06 Seite 1 Üb 6, KW 47 Biot-Savart-Gl. vs. Orested-Gl. Kursleiter: Prof. Dr.-Ing. Gerd Brunk Assistent: Dipl.-Ing. Uwe Herbrich 1. Übergang von der Biot-Savart-Gleichung zur Oersted-Gleichung Es war - ausgehend vom Feld einer bewegten Punktladung - die Biot-Savartsche Gleichung für den Beitrag eines vom Strom I durchflossenen Linienelementes dξ 4π dh = Idξ × R R3 mit R := x − ξ und R := |R| hergeleitet worden. (a) Zeigen Sie: Zu dh existiert ein Vektorpotential dah , so daß dh = ∇x × dah ist. Beachten Sie dabei, daß ∇x R = iR ≡ R/R gilt. (b) Übertragen Sie das Ergebnis auf räumlich verteilte Ströme j(ξ) = jit mit der Darstellung des Volumenelementes dVξ =dAds und integrieren Sie über den Raum. (c) Stellen Sie auch die gesamte magnetische Feldstärke h(x) durch ein solches Integral ausgehend von der Biot-Savart-Gleichung dar. Hinweis: In der Potentialtheorie wird gezeigt werden, daß das gefundene Vektorpotential ah die Poisson-Gleichung ∆ah = −j erfüllt und die durch die Biot-Savart-Gleichung gelieferte Feldstärke h der Beziehung ∇ × h = j (verschiebungsstromfreies Durchflutungsgesetz) genügt. 2. Elektrostatisches Feld einer Raumladungsverteilung Gegeben seien die Raumladungsverteilungen im Vakuum (d = ε0 e) a r für r1 ≤ r ≤ r2 , a > 0 und − ∞ < z < ∞ ρe (x) := , 0 sonst r2 := x2 + y 2 (1) (HA: unendlich langer Hohlzylinder“) ” und ρe (x) := a R für R1 ≤ R ≤ R2 , a > 0 0 sonst , R := |x| (2) ( Kugelschale“) ” (a) Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke e und das Skalarpotential ϕ im gesamten Raum, indem Sie die Symmetrie ausnutzen und die Ergiebigkeit des Feldes d untersuchen. (b) HA: Stellen Sie das ϕ-Feld und das e-Feld als Diagramm über den radialen Abstand R beziehungsweise r im gesamten Raum dar. Version 31. Mai 2006 Elektrodynamik WS 05/06 Seite 2 Üb 6, KW 47 Biot-Savart-Gl. vs. Orested-Gl. Kursleiter: Prof. Dr.-Ing. Gerd Brunk Assistent: Dipl.-Ing. Uwe Herbrich (c) Man ermittle für die angegebenen Ladungsverteilungen jeweils eine Lösung ϕ der PoissonGleichung ∆ϕ = − ρe ε0 und bestimme aus dem Potential ϕ das elektrische Feld e. Abgabe: 8. Dezember Version 31. Mai 2006
