Von der Quantendynamik zur Thermodynamik.

Von der Quantendynamik zur Thermodynamik.
1. Historischer Hintergrund
2. Strukturen im Zustandsraum
(a) Entropie – Landschaften
(b) Hilbertraum-Statistik
(c) Eingeschränkte Hilbertraum-Statistik
3. Dynamik im Zustandsraum
(a) Hilbertraum-Trajektorien
(b) Modelle und Simulationen
4. In der “Grauzone”: Abweichungen vom Gleichgewicht
HINTERGRUNDSERLÄUTRUNGEN
A. Hilbert-Raum und Dichte-Operator
B. Entropien
C. “Landschaften” im Hilbert-Raum
LITERATUR
ABBILDUNGEN
1
Teile von zusammengesetzten Quantensystemen, die sich insgesamt nach der
Schrödinger-Gleichung entwickeln, zeigen typischerweise thermodynamisches Verhalten.
Von der Quantendynamik zur Thermodynamik.
Die Thermodynamik mit ihren Grundbegriffen und Hauptsätzen ist eine
Theorie, deren Gültigkeit und Anwendungsrelevanz heute niemand mehr bezweifeln kann. Dessen ungeachtet findet, seit Wissenschaftler wie Boltzmann
ihre Grundsteine legten, eine Diskussion statt über die Möglichkeit bzw. Notwendigkeit, sie aus anderen, fundamentaleren Theorien abzuleiten. Eng damit verknüpft ist die Frage nach den Grenzen ihrer Anwendbarkeit. Heute,
da Experimente mit einzelnen Quanten-Objekten im Zentrum des Interesses
stehen, gewinnen diese Fragen wieder an Brisanz. Grundlegende theoretische Untersuchungen an Quantensystemen, die eine Partition in Objekt und
Umgebung erlauben, zeigen, dass der Objekt-Teil eine starke Tendenz zum
Gleichgewicht zeigt, obwohl die Gesamtdynamik der Schrödinger-Gleichung
folgt. Dieses Verhalten ist an keine minimale Objekt-Größe gebunden.
1. Historischer Hintergrund [1]
Feuer zum Heizen, Stroh zur Isolation - da der Mensch gezwungen ist, thermodynamische Größen zu optimieren, um zu überleben, ist die Thermodynamik als
rein phänomenologisch-empirische Wissenschaft wohl so alt wie die Menschheit
selbst. Die ersten Versuche allerdings, die physiologisch empfundene Temperatur
physikalisch zu quantifizieren, also ein Thermometer zu bauen, wurden von Santorio und Galileo erst um 1600 unternommen, als z.B. der Bau des Sonnensystems
im wesentlichen schon bekannt war. Der entscheidende Vorstoß zur Eingliederung thermodynamischer Phänomene in das damalige Gebäude der Physik gelang
dann Joule 1840, als er seine Versuche zum Wärmeäquivalent durchführte und damit Wärme als Energieform etablierte. Bald danach enstand die Formulierung des
ersten Hauptsatzes durch Clausius, der auch die ersten Versuche zur phänomenologischen Definition der Entropie unternahm und mit dem zweiten Hauptsatz die
Irreversibilität einführte.
Ein grundlegender Beitrag zur Berechnung thermodynamischen Verhaltens aus
der Newtonschen Theorie kam von Boltzmann, der 1866 forderte, dass die phänomenologische Entropie identifiziert werden müsse mit dem Logarithmus der Zahl
der Mikrozustände eines Systems, die zu einem gegebenen Makrozustand gehören.
Mit diesem “Rezept” gelang zum erstenmal die Bestimmung des thermodynamischen Verhaltens eines Gases aus seiner Hamiltonfunktion. Boltzmann war allerdings mit seiner Arbeit nicht vollständig zufrieden, da die Entropie nach dieser
Definition keine Observable (keine Funktion des Mikrozustandes) im Hamilton2
schen Sinn ist und ihre Dynamik sich deshalb der Analyse entzieht.
In der Folge bestanden daher eigentlich alle weiteren Versuche, die Thermodynamik auf die klassische Mechanik zu reduzieren, darin, eine Observable zu definieren, die mit der Zeit immer bis zu der von Boltzmann definierten Grenze
anwachsen würde. Boltzmann selbst führte im -Theorem eine solche Größe ein,
von der mit Hilfe der Hamiltonschen Theorie gezeigt werden konnte, dass sie immer wachse, allerdings nur unter der Annahme der Unkorreliertheit der Teilchen,
zudem konvergiert nicht gegen die gewünschte Grenze.
Ein weiterer Ansatz von ihm bestand darin, die Entropie mit dem Volumen zu
verknüpfen, welches von der Trajektorie eines Systems im Phasenraum, also dem
-dimensionalen Raum der Orte und Impulse aller
Teilchen, zu einem bestimmten Zeitpunkt bereits durchlaufen worden war. Damit eine so definierte
Größe aber die gewünschten Eigenschaften aufweisen kann, muss die Trajektorie jedem Punkt des zugänglichen Phasenraums beliebig nahekommen und sich in
jeden Volumenelement gleich lange aufhalten. Diese Eigenschaft ist die berühmte (Quasi-) Ergodizität. Da es unmöglich war, diese Eigenschaft für die riesige
Klasse der thermodynamischen Systeme explizit zu zeigen, entstand die Ergodenhypothese.
Einen anderen Zugang entwickelte Gibbs um 1900. Er ging von der Unmöglichkeit aus, den Zustand eines Makro-Systems genau zu bestimmen; so beschrieb er
den Zustand durch ein kleines Volumen statt durch einen Punkt im Phasenraum.
Alle Punkte dieses Raums bilden dann das Ensemble. Dieses Volumen sollte durch
die Dynamik der Hamiltonschen Gleichungen wachsen und schließlich den gesamten Phasenraum füllen. Da dieses Volumen aber nach dem Liouvillschen Satz
invariant ist, nahm Gibbs an, dass es sich zu einer schwammartigen Struktur verformen würde, die letztlich doch effektiv über den ganzen Raum verteilt wäre.
Gibbs verglich dieses Verhalten mit dem eines Tropfens Tinte, den man in ein
Glas gibt und verrührt. Daher nennt man es noch heute “mischend”. Allerdings
ließ sich diese Eigenschaft auch nur für spezielle Systeme nachweisen.
Ein weiterer Versuch, die Entropie stringent zu formulieren, geht auf Ehrenfest
zurück, der den Phasenraum so in Zellen unterteilte, dass eine Zelle nur solche
Zustände enthielt, die makroskopisch nicht zu unterscheiden sein sollten. In einer
Weiterentwicklung wurde die Entropie eines Zustandes dann verknüpft mit dem
Volumen der Zelle, in der er sich gerade aufhält. Die Zelle, die dem makroskopischen Gleichgewicht entspricht, sollte so überwältigend viel größer sein als alle
anderen Zellen, dass das System schlussendlich immer in sie hineinlaufen würde.
Diese Tendenz ist oft vorhanden, dennoch bereiten die Zellgrenzen Probleme, da
die Methode zu ihrer Festlegung nicht eindeutig klar ist.
Aus heutiger Perspektive erscheinen alle diese Versuche, die Thermodynamik aus
der klassischen Mechanik abzuleiten, fragwürdig. Seit langem ist klar, dass typische thermodynamische Systeme aus mikroskopischen Teil(ch)en bestehen, und
3
daher quantenmechanisch behandelt werden müssen. Zwar können im EhrenfestLimit, also wenn die Ausdehnung der Wellenpakete klein ist gegen die Strukturen des Potentials, die ihre Dynamik bestimmen, quantenmechanische Mittelwerte
(vgl. BOX A) wie klassische Koordinaten behandelt werden, aber es ist leicht auszurechnen, dass sich ein typisches Gas wegen der Kleinheit und der Leichtigkeit
seiner konstituierenden Teilchen nicht lange in diesem Limit befinden kann. Aber
selbst abgesehen von dieser Problematik sind Aspekte der Thermodynamik und
Statistik unübersehbar, welche bereits die Mitnahme von Quanteneffekten notwendig machen: die korrigierte Boltzmann-Statistik, der dritte Hauptsatz, sowie
die Einflüsse der Quantenstatistik.
Auch ist heute klar, dass die klassische Zustandsumme, ein zentraler Begriff der
Thermostatistik, als ein Grenzfall der quantenmechanischen gesehen werden kann.
Das alles legt den Versuch nahe, ganz allgemein die Prinzipien der Thermodynamik (Anwachsen der Entropie, entstehen eines Gleichgewichs) direkt auf quantenmechanische Evolutionsgleichungen wie die Schrödinger-Gleichung zurückzuführen. So versuchten bereits Schrödinger und von Neumann, die Thermodynamik konsequent aus quantenmechanischen Überlegungen herzuleiten. Lindblad
stellte fest, dass die Entropie eines Vielteilchensystems, definiert als die Summe der Teilentropien, anwachsen sollte durch die Vernachlässigung der “Verschränkung” (vgl.A) zwischen den Teilchen. Zurek und Mitarbeiter argumentierten, dass der zweite Hauptsatz letztlich aus der Unmöglichkeit folgen sollte, makroskopische Quanten-Systeme von ihrer Umgebung zu isolieren. Landau und
Lifschitz erhofften dagegen eine Deutung des 2.Hauptsatzes über den quantenmechanischen Messprozess.
2. Strukturen im Zustandsraum
Wie in Abschnitt 1 angedeutet, wird oft versucht, die Thermodynamik
über die These zu erklären, dass, nach Aufteilung des entsprechenden Zustandsraums in Zonen konstanter Entropie, die Zone mit der höchsten Entropie den größten Raum einnähme. Mit Hilfe der von Neumann-Entropie gelingt dies für den Hilbertraum zweigeteilter Quantensysteme überraschend
gut.
2a. “Entropie – Landschaften”
Betrachtet man in der Quantenmechanik
zusammengesetzte Systeme (z.B. System
bzw. “Gas”, , mit Zuständen und Umgebung bzw. “Container”, , mit Zuständen), so sind die Zustandsvektoren
des Gesamtsystems in einem ProduktHilbertraum der Dimension definiert. (vgl. A; wir beschränken uns
hier auf endliche Dimensionen.) Eine solche Grundstruktur muss als “typisch”
4
für jede Modellbildung gelten, denn die Vorstellung eines isolierten Quantensystems ist in der Regel eine unzulässige Idealisierung. Insbesondere Systeme, von
denen man thermodynamische Eigenschaften erwarten kann, interagieren immer
mit einer Umgebung, ob sie nun mit dieser Energie austauschen oder nicht .
Der Zustand des “eigentlich interessierenden” Systems, , ist dann im allgemeinen
nicht mehr als Zustandsvektor, sondern nur noch als Dichte-Operator darstellbar (vgl. A). Dieser Dichte-Operator entsteht durch “Reduktion”
aus
dem vollen
Zustand des Gesamtsystems. Dessen von Neumann-Entropie (vgl. B,C) ist
typischerweise größer als Null. (Sie ist Null nur für den Fall, dass sich die Gesamtwellenfunktion, , als Produkt reiner Zustände von und darstellen
lässt.) Diese Entropie
definiert al
existiert zu jedem Zustand des Gesamtsystems,
!#" , welche sich als eine “ so eine Funktion -Landschaft” über dem
Hilbertraum (reiner Zustände) darstellt (vgl. C).
2.b. Hilbertraum-Statistik (Abb.1, 2)
Da sich eine solche Landschaft typischerweise über einem äußerst hochdimensionalen “Boden” erhebt, ist es schwierig, sich von ihr ein Bild zu machen. Ein
einfacher (numerischer) Zugang ist der über eine “Hilbertraum-Statistik”. Hierbei
werden zufällig Zustände erzeugt, die in dem zugänglichen Zustandsraum, hier
zunächst also dem gesamten Hilbert-Raum, gleichverteilt sind. Nun gehört zu jedem Zustand ein spezieller Wert der Funktion, z.B, der Entropie, deren Landschaft
man untersucht. Aus diesen Daten wird nun ein Histogramm erzeugt, indem man
die Punkte in Kanäle
entsprechend ihrem Funktionswert “einsortiert”. Der so er&%
" , stellt die relativen% Größen der “Zonen” im
zeugte Graph, $
% Hilbertraum dar,
" scharf gepeakt
die mit dem jeweiligen
Funktionswert
verknüpft sind. Ist $
%('
%'
um einen Wert , füllt
diese
-Zone
fast
den
ganzen
Hilbert-Raum.
Oft können
&%
die Verteilungen $
" , oder zumindest ihre Mittelwerte und Varianzen, auch analytisch
werden (vgl. C).
% bestimmt
Für )
ist in Abb. 1 die Verteilung $ " dargestellt für )* (ZweiNiveaus-System,
Spin) eingebettet in eine Umgebung der Hilbertraum-Dimension
4
+*-,/.0,/1 . Wir sehen, dass diese Verteilung für 23
'6
458 7 rasch ein
scharfes
Maximum entwickelt bei der größtmöglichen Entropie, :9; " !
Aus dieser speziellen Verteilung können wir also rückschließen auf die'6
5< 7 -Landschaft: Diese wird man sich als riesige Hochfläche auf dem Niveau vorstellen dürfen, die nur an sehr wenigen Stellen signifikante “Täler” oder “Löcher”
aufweisen wird.
Woher das kommt? Zustände eines zusammengesetzten Systems sind typischerweise verschränkt (vgl. A; >==? ). Verschränkung ist eine Konsequenz des Superpositionsprinzips für zusammengesetzte Systeme und gilt z.B. als wertvolle Resource in der Quanteninformationsverarbeitung @=BA .
5
2.c Eingeschränkte Hilbertraum-Statistik (Abb. 3)
In die bisherigen Betrachtungen ging nichts weiter ein, als die Dimensionen der betrachteten Teil-Systeme. Die erwähnten Statistiken wären also
nur dann aussagekräftig, wenn dem System jeder Punkt im Zustandsraum
auch zugänglich wäre. Das ist aber typischerweise nicht so, Energieerhaltung
(mittlere Gesamtenergie C ) etc. schließen bestimmte Zustände aus.
Wenn die Statistik aber nun so aufgebaut wird, dass sie nur die zugänglichen Bereiche beinhaltet, entstehen Zusammenhänge zwischen thermodynamischen Größen, z.B., CD" . Außerdem lassen sich die zugänglichen Bereiche
oft tatsächlich als endlich dimensionale Räume darstellen, was für den Gesamtraum typischerweise nicht gilt.
%E
Über Nebenbedingungen der Art #"F HG(JI?KML wird der zugängliche
Hilbertraum eingeschränkt (vgl. die auf fester Höhe markierten Punkte einer Gebirgslandschaft). Betrachtet man z.B. die4Energie-Eigenfunktionen
NPOQ eines
6R
SR T VU beliebigen Hamilton-Operators
, welcher in dem be
trachteten Hilbertraum definiert ist, so sind die möglichen Zustände W , unter
Schrödinger Dynamik, %E
beschränkt auf solche mit vorgegebener Energie-Verteilung,
N[OH"`abG(JI?KML Der so definierte Bereich im Hilbertraum
d.h. YXZN[O\]^ _D
wäre eine “Energieschale”.
T VU zwischen System Generell setzen wir voraus, dass die Wechselwirkung und Umgebung “schwach” ist, d.h. die mittlere Wechselwirkungsenergie ist
klein gegen die mittlere Energie, welche in den getrennten Teilsystemen steckt.
Diese Bedingung wird als Voraussetzung thermodynamischen Verhaltens angesehen. Zusätzlich kann nun die Wechselwirkung danach klassifiziert werden, ob
Energie ausgetauscht wird (“kanonisch”) oder nicht (“mikrokanonisch”). Im letzteren Fall sind die Energieverteilungen der beiden Teile getrennt erhalten.
Trotz solcher Nebenbedingungen sind natürlich andere Funktionen von c^ im
allgemeinen innerhalb einer Energieschale nicht konstant. Dies
gilt z.B. für die
VU der Teile, insvon Neumann Entropien
der
reduzierten
Dichte-Operatoren
besondere also . Wiederum lässt sich leicht der maximale Wert von berechnen, welcher mit den mikrokanonischen Bedingungen und einer gegebenen
Energie-Verteilung verträglich ist. Es zeigt sich,
dass bereits für mäßig große Umgebungen die Hilbertraum-Verteilung von zu vorgegebener Energie-Verteilung
mit Mittelwert C nun bei dem jeweils größtmöglichen Wert ein scharfes Maximum besitzt (vgl. Abb.3); für festes C ist dieses Verhalten sehr ähnlich zu dem in
Abb.1. Dies bedeutet, dass “fast überall” im zugänglichen
Hilbertraum maximale
Entropie des Teilsystems herrscht, die zugängliche -Landschaft gleicht also
6
wieder einer riesigen Hochebene ohne bedeutende Einbrüche.
3. Dynamik im Zustandsraum
Die thermodynamisch-statistische Behandlung wird oft als pure Notwendigkeit dargestellt: Niemand kann =Bd _fe gekoppelte Differentialgleichungen
lösen, wie es etwa zur detailierten Berechnung für ein Mol eines klassischen
Gases notwendig wäre. Dann scheint es als glückliche Fügung, dass dieser
Zugang auch noch zu neuartigen Gesetzen wie dem zweiten Hauptsatz führt.
Dahinter verbirgt sich aber die Frage: “Schaffen wir die (detailierte) Berechnung nicht oder brauchen wir sie nicht?” Für zusammengesetzte Quantensysteme, deren vollständige dynamische Behandlung noch sehr wohl möglich
ist, lässt sich zeigen, dass thermodynamische Konzepte als extrem effiziente Abkürzungen zu wesentlichen Vorhersagen von System-Eigenschaften genutzt werden können. In diesem Sinne wird also die detaillierte Rechnung
(typischerweise) nicht gebraucht g .
3a. Hilbertraum-Trajektorien (Abb. 4, 9)
Bisher wurde noch nichts darüber gesagt, wie sich ein System in seinem Hilbertraum überhaupt bewegen wird. Diese Kenntnis ist aber notwendig, um abschätzen zu können, wie und in welchem Umfang sich die genannten HilbertraumStrukturen überhaupt auswirken können.
Der im folgenden geschilderte Zugang basiert vollständig auf der Schrödingergleichung c1h,(i , also nicht auf einer Mastergleichung oder einer anderen phänomenologischen Beschreibungen offener Systeme. Die Schrödingersche Dynamik
definiert, ausgehend von einem Anfangszustand c dj"k , eine unitäre Transformation mit der Zeit K als Parameter, K
"l# C K
"( dj"l . C K
" ist durch den
(hier zeitunabhängig gewählten) Hamilton-Operator des betrachteten Gesamtsystems festgelegt. Diese Dynamik ist reversibel.
Eine Hilbertraum-Geschwindigkeit für c K
"m ist definierbar über n _ oXWp K
"(Mp pVq Va- pVq
Vermittels der Schrödingergleichung lässt sich dieses n identifizieren mit der
rianz der Energie im Ausgangszustand, c d"s . Ein Energie-Eigenzustand hat
demnach ntad , wie zu erwarten. Die Dynamik für das abgeschlossene Gesamtsystem stellt sich also als eine deterministische Trajektorie im Hilbertraum dar,
welche mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen wird! Trajektorie und Durchlaufgeschwindigkeit sind durch den Anfangszustand (und natürlich ) festgelegt.
Der Anfangszustand legt auch die Nebenbedingungen fest (nun im Sinne von
Erhaltungsgrößen), durch welche der dem System zugängliche Hilbertraum
eingeschränkt wird. So bleibt z.B. die Energie-Verteilung und die von Neumann
Entropie des Gesamt-Systems konstant.
Die typische Dynamik eines aus zwei Untersystemen bestehenden Gesamtsystems
7
K
"r .
(mit XuX3 , Anfangszustand mit +dv,/nx:
w dj" wird sich also so darstellen, wie in Abb. 4 skizziert. Wechselwirkung der Untersysteme führt typischer
weise zu Verschränkung und damit zu einem lokalen Anwachsen von , wenn
diese zunächst Null war (Anfangszustand = Produktzustand).
Man beachte, dass sich die Trajektorie keineswegs “ergodisch” verhalten muss, es
genügt, dass sie im ursprünglichen “Entropie - Tal” nicht durch zufällige
Erhal
tungsgrößen festgehalten wird. Bei der Bewegung ist die Entropie zu jedem
Zeitpunkt definiert, also eine echte Zustandsgröße; sie relaxiert auf ihren Maximalwert.
Die Überlegungen lassen sich auf den kanonischen Fall verallgemeinern.
In beiden Fällen erkennen wir ein Verhalten, wie es vom 2. Hauptsatz erwartet
wird cih : Unabhängig vom Anfangszustand relaxiert das System in einen quasistationären Gleichgewichtszustand, welcher durch maximale Entropie (unter gegebenen Zwangsbedingungen) gekennzeichnet ist. Die Dynamik des abgeschlossenen Gesamt-Systems (d.h. die Dynamik im Großen!) bleibt dabei reversibel.
Qualitativ verschiedene dynamische Entwicklungen sind also vereinbar, aber anders als erwartet: Der gängige Widerspruch wurde ja eigentlich gesehen zwischen
der “Reversibilität im Kleinen, der Irreversibilität im Großen”. Dieser Aussage
kommt man aber doch nahe, wenn man beachtet, dass ja die Ursache der scheinbaren Irreversibilität an der Kopplung mit der Umgebung liegt, unerwünschte Kopplungen aber eher für kleine Systeme unterdrückt werden können als für große.
3b Modelle und Simulationen (Abb. 5, 6, 7, 8)
Lässt sich das alles denn auch konkret nachweisen? Man möchte natürlich vermeiden, Simulationsergebniss auf allzu spezielle Standard-Modelle eingeschränkt
zu sehen. Also benötigt man ein Konzept für “typische Modelle”. Hierzu werden
hier System und Umgebung durch ihr jeweiliges Spektrum und Entartungsschema
definiert. Die als schwach vorausgesetzte Kopplung wird durch Zufallsmatrizen
erfasst, deren Einträge bei mikrokanonischen Zusatzbedingungen durch das Verbot von Energie-Austausch weiter eingeschränkt sind. Das prinzipielle Verhalten
erweist sich als weitgehend unabhängig von der konkret verwendeten Zufallsmatrix.
Die mittlere Energie-Aufspaltung im Subsystem definiert die Energie-Einheit
und damit indirekt auch die Zeiteinheit. Für solche, durch ihre Hamilton Operatoren definierten Modelle wurden die entsprechenden Schrödingergleichungen
gelöst, und die Ergebnisse hinsichtlich thermodynamischer Größen analysiert.
Dies ist im wesentlichen in den Abbildungen dargestellt.
4. In der “Grauzone”: Abweichungen vom Gleichgewicht
Typischerweise kann man eine Erniedrigung der Entropie nur dadurch erkau8
fen, dass man den zugänglichen Zustandsraum durch Manipulation eines makroskopischen Parameters verkleinert (Abkühlen, Volumen verkleinern, etc). Für
konventionelle Maschinen und Kreisprozese (Carnot-Maschine, Otto-Zyklus, etc.)
ist das akzeptabel. Für neuartige Maschinen, nämlich Quantencomputer, liegt darin allerdings ein prinzipielles Problem. Einerseits muss hier, um große Datenmengen verarbeiten zu können die Dynamik in sehr hochdimensionalen Hilberträumen ablaufen, andererseits sollte diese Dynamik idealerweise vollständig kohärent,
also von der Entropie d sein. Hat das etwas mit Thermodynamik zu tun? Tatsächlich
lassen sich z.B. “Fehlerkorrektur”-Zyklen für Quantencomputer als neuartige Kreisprozesse interpretieren @=yAh . Fehler entstehen hier durch unerwünschte Verschränkung
des Nutzsystems mit einer unkontrollierbaren Umgebung , deren Wirkung
4 allerdings bekannt sein muss. Die damit verbundene Entropiezunahme z{
kann
in raschem Takt vermittels unitärer Transformationen auf einen Strom frischer
Hilfsteilchen übertragen werden. Diese Hilfsteilchen verlassen das System dann
als “Abgas”. Im Idealfall würde diese “Informationsdynamik” also fern vom Gleichgewicht ablaufen. In den bis heute bekannten Realiserungsmöglichkeiten dürfte
die Entropiezunahme eher nur verlangsamt sein; die Zeitabhängigkeit der Kontrollparameter könnte aber das Hineinlaufen in den thermischen Gleichgewichtszustandes selbst langfristig unterdrücken.
In vielerlei Hinsicht ist diese Gebiet zwischen statistischem und kohärentem Verhalten heute von Interesse. Unter dem Stichwort “Quantenkontrolle” schicken sich
verschiedene Gebiete der Physik an (z.B. die Halbleiter-Nanostruktur-Physik, die
Atomoptik, die Molekular-Elektronik etc.), die Grauzone zwischen thermodyna
mischen und detailiert mikroskopischen Verhalten auszuloten . Fundamentale
Fragen ergeben sich so in mindestens zwei Richtungen: Inwieweit gelten die Gesetze der Thermodynamik bis hinunter in den Bereich von Quanten-Maschinen
und Quanten-Bauelementen; inwieweit lässt sich “blos” thermodynamisches Verhalten vermeiden beim Zusammenschalten sehr vieler Quanten-Untereinheiten zu
einem meso- oder gar makroskopischen Gesamtsystem. Letzteres ist das notorische “Skalierungsproblem”, das u.a. die Entwickler von Quanten-Computern
umtreibt >=BAh . Zu Klärung dieser Fragen darf man sich wohl von der “QuantenThermodynamik” einen wesentlichen Beitrag erhoffen.
HINTERGRUNDSERLÄUTERUNGEN
A. Hilbert-Raum und Dichte-Operator >=BAh
Wie jeder Vektorraum wird der Hilbert-Raum von Dimensionen durch orthogonale Basis-Vektoren |Q aufgespannt. (In der Dirac-Notation ist X+|} der
dazu konjugiert-komplexe Vektor.) Jeder Vektor ~ lässt sich nach dieser Basis
entwickeln. Die Vektorkomponenten X€|} ~#:~‚O sind Skalarprodukte und im
9
allgemeinen komplex. (Die Zahl unterschiedlicher Zustände, ƒ , hängt von der angenommenen Auflösung ab und ist typischerweise groß gegen .)
Für einen Zustandsvektor c„ gibt es immer gewisse Observable, die (wie in der
klassischen Welt) scharfe Werte haben; andere Observable sind dann mehr oder
weniger unscharf (vgl. Unschärferelationen). So ein Vektor ~… ist aber nicht
der allgemeinste Zustand. Ein solcher kann nur durch einen sogenannten DichteOperator dargestellt werden. Ein reiner Zustand ist in dieser Darstellung ein
Projektions-Operator R ~!uX†~u , ein “gemischter”
R Zustand z.B. gegeben
‡ ~
uX‹~ , mit ‡Dˆ
‡
= und ‡ŒOŽd ,
durch W‡‰ˆ( ~ŠˆxuX‹~Šˆ(
_ _
_
_
reell. ‡ŒO lässt sich als Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des reinen Zustandes
~}OD interpretieren. In “volständig gemischten” Zuständen gibt es überhaupt keine scharf definierten Observablen mehr.
Quantenmechanische Erwartungswerte berechnen sich gemäß …‘“’•”—–™˜6 › š ,
wobei “’•”—–\˜\LœLLšxŸž O X |}LLœL¡ |€ bedeutet. (Dabei ist |€ ein vollständiges
Basis-System, wie oben angegeben.)  ist der Wert, den man bei wiederholter
Messung von  im Mittel erwarten kann.
O lässt sich definieren als
¢
Ein Abstandsmaß,
,
zwischen
beliebigen
Zuständen
ˆ Y£ ¢ _ ˆ Z“’•”—–\˜ _ " _ š . Der maximale Abstand ist ¤ * und wird für orthogo_
nale reine Zustände erreicht.
Aus zwei beliebigen Hilberträumen (1),
ˆ (2),
lässt sich ein sogenannter ProduktHilbertraum
_ konstruieren
ˆ
der Dimension ¥¦
ˆ mit den
Basis-Vektoren
|
„§¨c© _ . Ein beliebiger
~ §a
~ _ hat dann die ˆ ˆ Produkt-Zustand
ˆ ª _
Vektorkomponenten X¥|
. Jeder Zustand c^
~
uX © _ ~ _ #a~ O ~
im Gesamt-Hilbertraum lässt sich nach solchen Produkt-Zuständen
ˆ entwickeln.
Der sogenannte reduzierte Dichte-Operator zu Subsystem (1), , entsteht aus
durch Spur-Bildung nur über den Zustandsraum von Subsystem (2); entspre chendes gilt für _ . Für alle Subsystem-Eigenschaften benötigt man nur diese
reduzierte Information.
Ist c† in keiner Darstellung als einfacher Produkt-Zustand darstellbar, so ist
er “verschränkt” (quantenmechanisch korreliert). In diesem Fall sind beide reduzierte Dichte-Operatoren nicht-rein (“gemischt”). Der sehr zentrale Begriff der
Verschränkung (engl. entanglement) geht auf Schrödinger zurück, wird aber leider bis heute in kaum einem Lehrbuch der Quantenmechanik behandelt.
B. Entropien cAh
(1) Thermodynamische Entropie: In der Thermodynamik ist die Entropie eine
extensive Zustandsgröße, d.h. jedem einzelnen thermodynamischen System kann
(im Gleichgewicht) eine Entropie zugeordnet werden. Diese ist z.B. über die
zugeführte Wärme ¢\« messbar, ¢™Ž:¢\«l¬­ . (­ ist die absolute Temperatur.) Für
ein abgeschlossenes thermodynamisches System kann diese Entropie höchstens
10
zunehmen; der Maximalwert wird im Gleichgewicht erreicht (2. Hauptsatz).
(2) Informations-Entropie: Vom informationstheoretischen Standpunkt aus führt
man die Shannon’sche Entropie als Maß für Unkenntnis (des tatsächlichen Mikrozustandes) ein. Dieser Kenntnismangel wird durch eine Verteilungsfunktion über
mögliche Mikrozustände repräsentiert. Die Entropie kann damit als mittlere Anzahl von Ja/Nein-Antworten interpretiert werden, die notwendig wären, um bei
bekanntem Makrozustand den aktuellen Mikro-Zustand herauszufinden. (Für makroskopische Systeme wäre diese Anzahl allerdings in der Größenordnung =Bd™_¯® ,
also astronomisch groß. Physikalisch erhält man Antworten natürlich nur durch
geeignete Messungen.)
(3) Statistische Entropie: In der statistischen Mechanik wird die Entropie oft
als Maß für “Unordnung” interpretiert. Dazu betrachtet man zu einem vorgegebenen Makrozustand die Menge derjenigen Mikrozustände, welche mit jenem
Makrozustand verträglich sind. Bei einem Kontinuum von Zuständen (parametrisiert z.B. durch den Teilchen-Ort oder -Impuls) wird dadurch der zugängliche Parameterraum (als Fläche, Volumen etc.) zum Unordnungsmaß. Der sich
tatsächlich einstellende Makrozustand ist dann der “wahrscheinlichste”, d.h. der
mit der größten Unordnung (größten Zahl von verträglichen Mikrozuständen)
und damit der größten Entropie (als Logarithmus dieser Zahl). Dies ergibt eine
Deutung des Maximalprinzips der Entropie (2. Hauptsatz), erklärt aber nicht die
Entropie als Zustandsgröße jedes einzelnen thermodynamischen Systems.
(4) von Neumann Entropie:£ Diese Entropie ist für jeden quantenmechanischen
“’•”—–™˜° 9; "Mš . Ein reiner Zustand hat Z±d , der
Zustand definierbar,
'6587 Z
:9; J" , wenn die Dimension des Hilbertraums bedeumaximale Wert ist tet. (Hier steht also , die Zahl orthogonaler Zustände, die auch im Experiment an
einem einzelnen System eindeutig unterschieden werden könnten, nicht die sehr
viel größere Zahl ƒ möglicher
'6587 reiner Zustände!)
Ein Zustand mit a‘
ist “völlig unbestimmt”, d.h. jeder Eigenwert jedes
Operators würde mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
gemessen.
'°5<7
Ein nicht-reiner Zustand ( d{X:²Z
) lässt sich immer in reine Zustände zerlegen. Jede Zerlegung definiert ein “Ensemble”; dieses beschreibt, wie man sich
durch Mischung von reinen Zuständen entstanden denken kann. Da aber die
Zerlegung nicht eindeutig ist, ist auch die Mischungsvorschrift nicht eindeutig.
Zudem kann man jedes auch ohne jede Mischung durch Reduktion eines reinen
Zustandes aus einem erweiterten Produkt-Hilbertraum erzeugen. Ohne zusätzliche Information ist die “wahre” Herkunft von nicht entscheidbar.
Wohl-definierte Bewegungsgleichungen gibt es nur zu den Entropien (3) und (4).
Deren Invarianz unter Hamiltonscher bzw. Schrödingerschen Dynamik steht allerdings in krassem Widerspruch zu den Erwartungen der Thermodynamik.
C. “Landschaften” im Hilbertraum
11
Ähnlich, wie man den Zustand eines beliebigen klassischen -Teilchen-Sys
tems als Punkt in einem
-dimensionalen, die Orte und Impulse aller Teilchen
als Koordinaten enthaltenden, kartesischen Phasenraum veranschaulicht, kann man
sich den Zustand eines Quantensystems im -dimensionalen Hilbertraum als Punkt
in einem *h -dimensionalen kartesischen Raum veranschaulichen, der die Real
und Imaginärteile aller zur Beschreibung notwendigen Amplituden ~Š³ enthält,
wobei ~r´‰ž+³µ ~6³4 ¶¯´ . Diese Koordinaten haben allerdings, anders als im klassischen Fall, keine direkte physikalische Bedeutung, aber alle Bedeutung tragenden Größen können als Funktionen dieser Koordinaten geschrieben werden, also
auch Energie, Besetzungswahrscheinlichkeiten und sogar Entropie. Aufgrund der
Normierung ·~u ~r´¸ = liegen alle möglichen Zustände des Systems auf einer
Hypersphäre%Emit Radius ¹:º= . Man darf sich nun alle physikalischen Größen (=
Funktionen c„‰"
" als Landschaften
%
%° über dieser Hypersphäre vorstellen.
Untersucht man nun eine Größe ~r´/" , so kann man sich durch Berechnung
des Hilbertraum-Mittelwertes
» %E
» %
%
%
£ %
_
_ ~¼˜h½•³šh´/"•¾ ¢™½—³
(1)
~¼˜h½•³šh´4"•¾ ¢™½—³ z _ ³
³
entscheidende Informationen über die Struktur dieser Landschaft verschaffen, wo%
bei ~`˜h½—³&šh´ eine Parametrisierung der erwähnten Hypersphäre darstellt. Ist z
klein, so ist die entsprechende
Landschaft
weitgehend flach, für fast alle mögli%E
%
chen Zustände gilt dann ~m´4"r¿
. Eine solche Größe entwickelt eine Tendenz
zum Gleichgewicht. Besteht ein System aus zwei Subsystemen, ‚,V , von denen eines, , wesentlich größer ist (aus mehr Basiszuständen besteht), so zeigen alle das
kleinere System, , betreffende Größen eine solche Tendenz. Das hat folgenden
Grund: Alle ausschließlich betreffende Größen sind Funktionen des reduzierten
Dichteoperators , der wiederum eine Funktion des Gesamtzustandes ist:
Spur ˜• ~r´y·~uš
(2)
Diese Dichtematrix läßt sich aufspalten in einen gleichverteilten Gleichgewichtsˆ anteil,
= , und einen Anteil, Á , der die Abweichung vom Gleichgewicht be?
µ
À
schreibt,
= = R Á (3)
Für die Summe der Betragsquadrate aller Elemente dieser die Abweichung beschreibenden Matrix Sp ˜—Á _ š läßt sich analytisch das Hilbertraummittel berechÂR
nen:
£ =
Á
R
Sp ˜• _ šD
(4)
=
Da also diese Größe im Mittel für große verschwindet, aber an keiner Stelle negativ sein kann, darf man schließen, dass die ihr zugehörige Landschaft für
12
große praktisch flach ist, und die Abweichungen vom lokalen Gleichgewicht
für fast alle Gesamtzustände verschwinden. Da für Á d auch die maximale lokale Entropie erreicht wird, sind fast alle Gesamtzustände Zustände maximaler
lokaler Entropie.
LITERATUR
>=? P. Davies, The Physics of time Asymmetry, University of California Press,
Los Angeles, 1974
* O. Penrose, Foundations of statistical mechanics, Pergamon Press, Oxford
1970
cAh F. Schlögl, Probability and heat, Vieweg 1989
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> =BAh M. A. Nielsen, I. L. Chang, Quantum computation and quantum information, Cambridge University Press, Cambridge 2000
13
ABBILDUNGEN
$
"
*oÄF1
*ÅÄQ*
*oÄÆ.
PSfrag replacements
Abbildung 1: Hilbertraum-Statistik:
Relative Häufigkeit von Zuständen mit der
lokalen Entropie für ein 2-Niveausystem unter allen, für ein solches
System
zusammen mit verschieden großen Umgebungen der Dimension
º*™,/.0,V1 definierten, reinen Gesamtzuständen, ~
14
PSfrag replacements
C
Abbildung 2: Entropie als Funktion der mittleren Energie:Im Hilbertraum eines
Systems, , (hier: 3-dim. harmonischer Oszillator) zusammen mit einer Umgebung sind durch das Festlegen einer inneren Energie C:kXN
für das System
Energieschalen definiert, deren Grenzen das System unter mikrokanonischen Bedingungen nicht überschreiten kann.
Als Graustufe ist hier die relative Häufigkeit
von Zuständen der Entropie unter allen Zuständen der Energieschale C aufgetragen.
Offensichtlich gibt es zu jedem C eine dominierend häufige Entropie
.
Energieschale
PSfrag replacements
¿Ç
587
'6
¿Zd
Abbildung 3: Trajektorie im Hilbertraum:Schematischer Lauf von ~ K
"‰ durch
die Energieschale. Die Trajektorie ist nicht ergodisch, verläßt aber typischerweise
den kleinen Bereich kleiner Subsystem-Entropien, ¿Zd .
15
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
S
È
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
50
100
150
Zeit
200
250
300
Abbildung
4: Mikrokanonische Nebenbedingung: Zeitentwicklung der
Entropie
eines Spins in mikrokanonischem Kontakt mit einer Umgebung, :hd . Obwohl der Spin energetisch isoliert ist, wächst die Entropie. Die zugehörige Trajektorie ist nicht ergodisch, aber läuft offensichtlich in den Bereich maximaler
Entropie und verläßt diesen innerhalb der Beobachtungszeit nicht mehr. Eine andere mikrokanonische Wechselwirkung würde nur ein in Details abweichendes
Bild liefern.
400
350
300
250
n
É
200
150
100
50
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
S
Abbildung 5: Mikrokanonische
Nebenbedingung: Relative Häufigkeit von
Zuständen der Entropie unter den Zuständen der Energieschale an die die
zu Abb.5 gehörige Trajektorie gebunden ist. Offensichtlich stimmt die statistisch
häufigste Entropie mit der im Gleichgewicht erreichten überein (vgl. Abb.5).
16
frag replacements
Í
1
Í ÀÎ;Î
Í À Ï;Ï
Í ÀÐ;Ð
Í ÀÑ;Ñ
ÀÒ;Ò
0.9
0.8
0.7
ËYÊ ÌÌ
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
200
400
600
800
Zeit
1000
1200
1400
Abbildung 6: Kanonische Nebenbedingungen:Entwicklung der Besetzungswahrscheinlichkeiten eines äquidistanten 5-Niveau Systems (Niveauabstand zÅN ) im
kanonischen Kontakt mit einer Umgebung Ó=B1 . Nach der Relaxationszeit
wird ein vom Anfangszustand unabhängiges Gleichgewicht erreicht, bei dem die
(zeitgemittelten)
Besetzungswahrscheinlichkeiten Boltzmann-verteilt sind. ­W
ԓÕ
ª\Ö×
_
$
¢ _ "
PSfrag replacements
¢ _
Û
Û
5
ØhَÜ&ÚÝ ¬ Tr ˜ØhÙÞÜ&ÚÝ š ist
Abbildung 7: Kanonische Nebenbedingungen: Mit ª
µ
ein Gleichgewichtszustand definiert. Aufgetragen
ist hier die Häufigkeit von
5
£
"<_yš vom GleichgewichtsZuständen 5 mit dem Abstandsquadrat
¢v_[ Tr ˜ ª
}
Ô
Õ
µ
zustand ª mit ­¥ ªÖ× unter allen Zuständen der Energieschale durch die die
µ
_
Evolution in Abb.7 verläuft.
Offensichtlich sind Zustände nahe beim Gleichgewichtszustand am häufigsten.
17